第四章 时变场

第四章时变电磁场电磁感应定律和全电流定律

电磁场基本方程组•分界面上的衔接条件动态位

坡印亭定理和坡印亭向量

第四章时变电磁场

时变电磁场的概念：

电场、磁场矢量不仅是空间坐标的函数，而且是时间的函数，这样的场称为时变电磁场。

在时变电磁场中，电场与磁场互相依存、互相制约，已不可能如前面三种静态场那样分别进行研究，而必须在一起进行统一研究。变化的磁场会产生电场，变化的电场会产生磁场，电场与磁场相互依存，构成统一的电磁场。

英国科学家麦克斯韦将静态场、恒定场、时变场的电磁基本特性用统一的电磁场基本方程组高度概括。电磁场基本方程组是研究宏观电磁场现象的理论基础。

第四章时变电磁场

在本章中，首先引出并扩展电磁感应定律的适用范围，在提出位移电流概念的基础上，将安培环路定律推广到时变场中，导出普遍适用的全电流定律。从而总结出得出变化的磁场产生电场、变化的电场产生磁场。

然后，总结电磁场的基本方程（即麦克斯韦方程组），媒质的构成方程和它在分界面的衔接条件。介绍动态位和达朗贝尔方程的解答，提出电磁场的波动性和电磁波概念。

其三，由基本方程出发推导出反映电磁场中能量守恒与能量转换的坡印廷定理和坡印廷矢量。再进一步介绍正旋稳态时变场中电磁场的基本方程和坡印廷矢量。

电磁感应定律全电流定律

Maxwell方程组

分界面上衔接条件动态位A ,

达朗贝尔方程正弦电磁场坡印亭定理与坡印亭矢量

电磁幅射( 应用)

时变场知识结构框图

4.1.1 电磁感应定律

(1) 定律的内容

1831年法拉弟在大量实验基础上归纳总结，提出了电磁感应定律。 l S 磁场中的线圈

当一导体回路l 所限定的面积S 中的磁

通发生变化时，在这个回路中就要产生

感应电势，形成感应电流。

感应电势的大小与S 中的磁通对时间

的变化率成正比，

感应电势的方向由楞次定律确定。楞次定律指出：感应电动势及其所产生的感应电流总是企图阻止与导体回路相交链的磁通的变化。

4.1.1 电磁感应定律

l S 磁场中的线圈 感应电动势可表示为d d d d d S

B S t t ψε=-=-⋅⎰ 式中“-”号体现楞次定律：当规

定感应电势的参考方向与回路交链的磁

通的方向成右手螺旋关系时，“-”号

反映感应电势的真实方向。实际上引起磁链变化的因素比较多，上式应写为偏导数形式

s B dS t t

ψε∂∂=-=-⎰⋅∂∂

4.1.1 电磁感应定律

分析电磁感应现象，是由于在导体中存在有一种感应电场，其场强ind E ind d l E l

ε=⋅⎰ l 为导体线圈回路于是电磁感应定律又可表示为ind d d l s E l B S t

∂⋅=-⋅∂⎰⎰ 要求式中l 回路循行方向与B 的方向符合右螺旋关系0B t ∂≠∂ 当时ind d 0l E S ⋅≠⎰

说明感应电场是有旋场

4.1.1 电磁感应定律

（2）法拉弟电磁感应定律的推广

法拉弟电磁感应定律反映了感应电势与导体回路l限定

面积中交链的磁通对时间变化率的关系，它没有涉及到导

体的材料特性和周围的媒质特性。

Maxwell在研究电磁场基本规律时将电磁感应定律作了推广。

当变化的磁场客观存在时，场中某一回路所交链的磁链

的变化也是客观存在的。在该处放置一导体回路，就可以产

生感应电势，测得感应电流，反映出感应电场的存在，感应

电流的大小与导体的电导率有关。

4.1.1 电磁感应定律

（2）法拉弟电磁感应定律的推广

假若在变化磁场中某处设想有一假想回路存在，它所交链的磁链同样在变化，显然也应当有感应电场存在，也同样具有感应电势，只不过不能测量到感应电流而已。

由此引伸，可以认为感应电场不仅仅存在于导体内，而且存在于变化磁场所在的场域空间。于是，我们对于感应电场的看法由一个导体回路扩展到了整个变化的磁场空间。

由上面分析，应当这样来理解电磁感应定律：在一个变化的磁场中总伴随着一个感应电场，总存在感应场强。这正是Maxwell的重大贡献。

4.1.1 电磁感应定律

（3）感应电动势与感应场强计算

按回路中磁链的变化可以分为以下三种情况：

①导体回路（或其一部分）与恒定磁场之间有相对运动 B d l v

ind E 导体棒以速度v 运动切割磁力

线，其上线元d l 中的电荷d q 沿棒运

动，形成元电流段v d q ，受到磁场作用力d d f qv B =⨯ 感应电场强d d ind f E v B q ==⨯ 感应电势为()l ind l E dl v B dl ε=⎰⋅=⎰⨯⋅ 图示均匀场、匀速运动时Blv =ε

(

)l d v B dl dt

ψε=-=⨯⋅⎰ 称为动生电动势，这是发电机工作原理，又称为发电机电势。

回路切割磁力线，磁场不变

4.1.1 电磁感应定律

（3）感应电动势与感应场强（涡旋电场）计算②导体回路不动，磁场随时间变化若考虑单匝情况，有

ind d d l s B E l S

t t ψε∂∂=⋅=-=-⎰⋅∂∂⎰

称为变压器电势。

③兼有上面两种情况

感应电势为：()l ind l S B E dl v B dl dS t

t ψε∂∂=⋅=-=⨯⋅-⋅∂∂⎰⎰⎰

变化的磁场产生感应电场

4.1.1 电磁感应定律（4）时变电场是有散有旋场

对于电磁感应定律

l ind s E dl B dS

t ∂

⋅=-⋅∂⎰⎰ 运用斯托克斯定理ind s s B E dS dS

t ∂∇⨯⋅=-⎰⋅∂⎰

考虑到回路l 的任意性，它所界定面积S 的任意性，必有

ind

B E t

∂∇⨯=-∂ 即为电磁感应定律的微分形式。

表明感应电场是有旋场，

E ind 线与B 线互相交链，是无头无尾的闭合矢量线。