4-3+角动量+角动量守恒定律-new概论
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角动量守恒定律_概述及解释说明
角动量守恒定律概述及解释说明1. 引言1.1 概述角动量守恒定律是物理学中一个重要的基本原理，它描述了在不受外力或转矩作用下，系统的总角动量将保持不变。
这一定律有着广泛的应用，在自然界和工程领域中都扮演着至关重要的角色。
1.2 文章结构本文将首先介绍角动量守恒定律的基本概念，包括角动量的定义和性质，以及角动量守恒的原理和在自然界中的应用。
接着我们会详细解释数学原理，包括刚体系统和非刚体系统中角动量守恒的推导过程，并探讨转矩与角动量之间的关系。
然后，我们将通过经典实例分析实验来验证角动量守恒定律，并探讨其应用和验证方法。
最后，我们会对角动量守恒定律的重要性进行总结，并回顾其在物理领域中的广泛应用，并展望未来研究方向。
1.3 目的本文旨在全面介绍角动量守恒定律，并深入探讨其数学原理、实验验证以及在实际应用中的案例。
通过对角动量守恒定律的深入理解，能够帮助读者更好地理解物理学中的基本原理，同时也有助于激发读者对未来研究方向的思考。
2. 角动量守恒定律的基本概念2.1 角动量的定义和性质角动量是刻画旋转运动的物理量，它与物体的质量、速度以及距离有关。
角动量的定义为一个物体在给定参考点周围旋转时所具有的动力学特性。
其数学表达式为L = r x p，其中L表示角动量，r表示从参考点到物体质心位置矢量，p表示物体的线性动量。
根据右手法则，可以确定角动量的方向与线性动量和半径之间的关系。
角动量具有以下几个重要性质：1) 角动量是矢量，在运算中需要考虑其方向；2) 角动量大小与速度、质量及距离之间的积相关；3) 在封闭系统中，总角动量守恒。
2.2 角动量守恒的原理角动量守恒指在一个封闭系统中，如果没有外力或外力矩作用于该系统，则系统总角动量将保持不变。
这意味着在不受外界干扰的情况下，系统内各个部分相对于共同参考点的角动量之和保持不变。
这一原理可以通过牛顿第二定律和牛顿第三定律的推导来解释。
根据牛顿第二定律，一个物体的角动量变化率等于作用在该物体上的转矩。
4-3角动量
1
对每个质点，根据角动量定理列方程 ：
பைடு நூலகம்
dln dl1 dl2 M1 , M2 , , M n dt dt dt
n个方程相加
d M 1 M 2 M n (l1 l2 ln ) dt
或
n dL M i dt i 1
2
考虑质点间的相互作用
M i M 外 M内
因为 M 内 0
直接表示为
所以 M 外
dL dt
dL M dt
质点系的角动量定理表述： 质点系对某参考点的角动量随时间的变化率，等 于该质点系所受外力对同一参考点的力矩的矢量和。
3
二、质点系角动量守恒定律
当 M 0 时
L 恒矢量
如果外力对参考点O的力矩的矢量和始终等于零 那么质点系对同一参考点的角动量不随时间变化。 当
M
z
0时
Lz
恒量
上式称为质点系对轴的角动量守恒定律。
4
*§4-3 质点系角动量守恒定律
一、质点系的角动量定理 设质点系有n个质点组成 质量 位矢
m1 , m2 ,, mn
速度
力矩
v1 , v2 ,, vn
M 1 , M 2 , , M n
r1 , r2 ,, rn
质点系的角动量为所有质点的角动量的矢量之和
n n L li ri mi vi i 1 i 1
对每个质点，根据角动量定理列方程 ：
பைடு நூலகம்
dln dl1 dl2 M1 , M2 , , M n dt dt dt
n个方程相加
d M 1 M 2 M n (l1 l2 ln ) dt
或
n dL M i dt i 1
2
考虑质点间的相互作用
M i M 外 M内
因为 M 内 0
直接表示为
所以 M 外
dL dt
dL M dt
质点系的角动量定理表述： 质点系对某参考点的角动量随时间的变化率，等 于该质点系所受外力对同一参考点的力矩的矢量和。
3
二、质点系角动量守恒定律
当 M 0 时
L 恒矢量
如果外力对参考点O的力矩的矢量和始终等于零 那么质点系对同一参考点的角动量不随时间变化。 当
M
z
0时
Lz
恒量
上式称为质点系对轴的角动量守恒定律。
4
*§4-3 质点系角动量守恒定律
一、质点系的角动量定理 设质点系有n个质点组成 质量 位矢
m1 , m2 ,, mn
速度
力矩
v1 , v2 ,, vn
M 1 , M 2 , , M n
r1 , r2 ,, rn
质点系的角动量为所有质点的角动量的矢量之和
n n L li ri mi vi i 1 i 1
4-3角动量 角动量守恒定律
A
B
1 v∝ r
r r
近 日
v v 彗星
点
A
rA
r F
r v B远
rB
B点
日
vA > vB
r vA
彗星
13
4-3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体转动
比较
t2
r r ∫ Fdt =ΔP
t1
r r dP F= dt
动量
r r dL M= dt t
2
角动量
r r ∫ M
7
4-3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体转动
讨论 子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计
系统的动量、角动量和机械能是否守恒？ 系统的动量、角动量和机械能是否守恒？
o
v v
子 弹 击 入 杆
o
圆 锥 摆
o
v θ T
'
m
v v
v p
o
v v
R
以子弹和沙袋为系统 以子弹和杆为系统 圆锥摆系统 守恒； 不守恒； 动量: 不守恒； 守恒； 不守恒； 动量 不守恒； 角动量: 守恒； 守恒； 守恒； 角动量 守恒； 守恒； 守恒； 不守恒 . 机械能: 守恒 . 8 机械能 不守恒 .
考虑到
θ =ωt
7lg 12v0 dr g = cosωt = cos( t) dt 2ω 24v0 7l
21
4-3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体转动
r L
本节小结： 本节小结：
角动量： 一.角动量：
L = Jω
质点的角动量： ⑴质点的角动量：
第四章 刚体转动
vM = 2gh
6mvM ω= (m′ + 6m)l
B
1 v∝ r
r r
近 日
v v 彗星
点
A
rA
r F
r v B远
rB
B点
日
vA > vB
r vA
彗星
13
4-3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体转动
比较
t2
r r ∫ Fdt =ΔP
t1
r r dP F= dt
动量
r r dL M= dt t
2
角动量
r r ∫ M
7
4-3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体转动
讨论 子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计
系统的动量、角动量和机械能是否守恒？ 系统的动量、角动量和机械能是否守恒？
o
v v
子 弹 击 入 杆
o
圆 锥 摆
o
v θ T
'
m
v v
v p
o
v v
R
以子弹和沙袋为系统 以子弹和杆为系统 圆锥摆系统 守恒； 不守恒； 动量: 不守恒； 守恒； 不守恒； 动量 不守恒； 角动量: 守恒； 守恒； 守恒； 角动量 守恒； 守恒； 守恒； 不守恒 . 机械能: 守恒 . 8 机械能 不守恒 .
考虑到
θ =ωt
7lg 12v0 dr g = cosωt = cos( t) dt 2ω 24v0 7l
21
4-3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体转动
r L
本节小结： 本节小结：
角动量： 一.角动量：
L = Jω
质点的角动量： ⑴质点的角动量：
第四章 刚体转动
vM = 2gh
6mvM ω= (m′ + 6m)l
4-3 角动量 角动量守恒定律
2 2 2
在光滑的水平桌面上，放有质量为M的木块 木块与一弹簧相连， 的木块， 例 在光滑的水平桌面上，放有质量为 的木块，木块与一弹簧相连， 弹簧的另一端固定在O点 弹簧的劲度系数为k，设有一质量为m的子弹以 弹簧的另一端固定在 点，弹簧的劲度系数为 ，设有一质量为 的子弹以 垂直于OA射向 并嵌在木块内， 射向M并嵌在木块内 所示.弹簧原长 初速 垂直于 射向 并嵌在木块内，如图 所示 弹簧原长 ，子弹击 v0 l0 中木块后，木块M运动到 点时刻，弹簧长度变为l，此时OB垂直于 运动到B点时刻 垂直于OA， 中木块后，木块 运动到 点时刻，弹簧长度变为 ，此时 垂直于 ， 求在B点时 点时， 求在 点时，木块的运动速度 . v2 解 击中瞬间，在水平面内，子弹与木块组成 的系统沿 v0 方向动量守恒，即有
M h N B l C
l/2
A
设跷板是匀质的，长度为 ， 设跷板是匀质的，长度为l，质量为m'， 跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动， 跷板可绕中部支撑点 在竖直平面内转动， 演员的质量均为m．． 演员的质量均为 ．． 碰撞前M落在 A点的速度 解 碰撞前M落在 A点的速度
vM = (2 gh)
l0 (m + M)v1 = l (m + M)v 2 sin θ
由①、②式联立求得 v2 的大小为
k(l − l0 ) 2 m2 2 v2 = v0 − (m + M) 2 m+M
由③式求得 v2 与OB的夹角为
θ = arcsin
l0 mv 0
2 l m 2 v 0 − k(l − l0 ) 2 (m + M)
l u= ω 2
12
碰撞后的瞬间， 、 具有相同的线速度 碰撞后的瞬间，M、N具有相同的线速度
在光滑的水平桌面上，放有质量为M的木块 木块与一弹簧相连， 的木块， 例 在光滑的水平桌面上，放有质量为 的木块，木块与一弹簧相连， 弹簧的另一端固定在O点 弹簧的劲度系数为k，设有一质量为m的子弹以 弹簧的另一端固定在 点，弹簧的劲度系数为 ，设有一质量为 的子弹以 垂直于OA射向 并嵌在木块内， 射向M并嵌在木块内 所示.弹簧原长 初速 垂直于 射向 并嵌在木块内，如图 所示 弹簧原长 ，子弹击 v0 l0 中木块后，木块M运动到 点时刻，弹簧长度变为l，此时OB垂直于 运动到B点时刻 垂直于OA， 中木块后，木块 运动到 点时刻，弹簧长度变为 ，此时 垂直于 ， 求在B点时 点时， 求在 点时，木块的运动速度 . v2 解 击中瞬间，在水平面内，子弹与木块组成 的系统沿 v0 方向动量守恒，即有
M h N B l C
l/2
A
设跷板是匀质的，长度为 ， 设跷板是匀质的，长度为l，质量为m'， 跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动， 跷板可绕中部支撑点 在竖直平面内转动， 演员的质量均为m．． 演员的质量均为 ．． 碰撞前M落在 A点的速度 解 碰撞前M落在 A点的速度
vM = (2 gh)
l0 (m + M)v1 = l (m + M)v 2 sin θ
由①、②式联立求得 v2 的大小为
k(l − l0 ) 2 m2 2 v2 = v0 − (m + M) 2 m+M
由③式求得 v2 与OB的夹角为
θ = arcsin
l0 mv 0
2 l m 2 v 0 − k(l − l0 ) 2 (m + M)
l u= ω 2
12
碰撞后的瞬间， 、 具有相同的线速度 碰撞后的瞬间，M、N具有相同的线速度
4-3 角动量 角动量守恒定律【普通物理学】
v0
v
u
A
h
14
质量 m'在 A 点和 B 点只受有心力作用 ,
角动量守恒
mv0 (R h) mvBR
vB (R h)v0 R 1 727 m s1
飞船在 A点喷出气体后，在到达月球的 过程中，机械能守恒
1 2
mvA2
G
mMm Rh
1 2
mvB2
G
mM m R
15
1 2
mv
2 A
mi
ri
2，合 )外M力di i矩(n J0)
dt
dt dt
18
对定轴转的刚体，受合外力矩M，从
t1到 t2内，角速度从ω1变为 ω2，积分可得：
t2
t1
Mdt
J2
J1
非刚体定轴转动的角动量定理
t2
t1
Mdt
J 22
J11
当转轴给定时，作用在物体上的冲量
矩等于角动量的增量 ——定轴转动的角动
量定理.
0
0
得 L mR 3 2 (2g sin )1 2
L mR2
( 2g sin )1 2
R
10
*例2 一质量为 m 的登月飞船，在离 月球表面高度 h 处绕月球作圆周运动．飞船 采用如下登月方式：当飞船位于点 A 时，它 向外侧短时间喷射出粒子流，使飞船与月球 相切地到达点 B , 且OA 与 OB 垂直．飞船 所喷气体相对飞船的速度为 u 1.00 104 m s1 试问：登月飞船在登月过程中所需消耗燃料
力的时间累积效应： 冲量、动量、动量定理．
力矩的时间累积效应： 冲量矩、角动量、角动量定理．
1
一 质点的角动量定理和角动量守恒定律
3_4角动量 角动量守恒定律.
t1
Mdt
J2
J1
4 – 4 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体的转动
刚体定轴转动的角动量定理
t2 t1
Mdt
J2
J1
刚体转动的角动量定理：刚体所受的冲量矩等于 刚体转动角动量的增量.
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律
若 M 0 ，则 L J 常量
刚体所受的合力矩为零时，刚体转动角动量为一 恒矢量.
1 (1 ml 2 ma2 ) 2
23
W 1 J 2
2
mga(1 cos30) mg l (1 cos30)
2
v g(2 3)(ml 2ma)(ml2 3ma2 ) 6 ma
4 – 4 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体的转动
例3 质量很小长度为l 的均匀细杆,可绕过其中心 O
o
m'
30
L mr2 J
a
mva ( 1 ml 2 m a2 )
3
v m
3mva m'l 2 3ma2
4 – 4 角动量 角动量守恒定律
m'l
3mva 2 3ma2
射入竿后，以子弹、细杆和 地球为系统 ，机械能守恒 .
第四章 刚体的转动
o 30
a v m'
4 – 4 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体的转动
力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理.
力矩的时间累积效应
冲量矩、角动量、
角动量定理.
一 质点的角动量定理和角动量守恒定律
质点运动状态的描述
p mv Ek mv2 2
Mdt
J2
J1
4 – 4 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体的转动
刚体定轴转动的角动量定理
t2 t1
Mdt
J2
J1
刚体转动的角动量定理：刚体所受的冲量矩等于 刚体转动角动量的增量.
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律
若 M 0 ，则 L J 常量
刚体所受的合力矩为零时，刚体转动角动量为一 恒矢量.
1 (1 ml 2 ma2 ) 2
23
W 1 J 2
2
mga(1 cos30) mg l (1 cos30)
2
v g(2 3)(ml 2ma)(ml2 3ma2 ) 6 ma
4 – 4 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体的转动
例3 质量很小长度为l 的均匀细杆,可绕过其中心 O
o
m'
30
L mr2 J
a
mva ( 1 ml 2 m a2 )
3
v m
3mva m'l 2 3ma2
4 – 4 角动量 角动量守恒定律
m'l
3mva 2 3ma2
射入竿后，以子弹、细杆和 地球为系统 ，机械能守恒 .
第四章 刚体的转动
o 30
a v m'
4 – 4 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体的转动
力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理.
力矩的时间累积效应
冲量矩、角动量、
角动量定理.
一 质点的角动量定理和角动量守恒定律
质点运动状态的描述
p mv Ek mv2 2
4-3 角动量 角动量守恒定律-new
t2
t1
Mdt J2 J1
非刚体定轴转动的角动量定理
t2
t1
Mdt J 22 J11
26
dL 若 M 0，则 L J =常量 M J dt
刚体定轴转动的角动量守恒定律
v
（有心力）
· F r
m
F 0 ， M 0 F过O点：有心力（如行星受中 心恒星的万有引力） L
质点的角动量 L r p dL dp F， ？ dt dt dL d dp dr (r p) r p dt dt dt dt
dL dp r r F dt dt
dr v, v p 0 dt
引
r2
32
自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律
电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等
33
动量定理和角动量定理的比较
dP F dt t2
动量定理
Fdt ΔP t1 F 0 P 0
dL M dt t2
L r (mv) 常矢量
O
（1） mv r sin =const.， （2）轨道在同一平面内。 27
讨论
守恒条件 M 0 若 J 不变，不变； 若 J 变， 也变，但 L J 不变.
内力矩不改变系统的角动量. 在冲击等问题中 M
in
M L 常量
ex
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
28
讨论
许多现象都可 以用角动量守恒来 说明. 花样滑冰 跳水运动员跳水
43角动量角动量守恒定律
r
F
dL
M
dt dt
dt
14
物理学
第五版
质点的合外力矩
4-3 角动量
M
dL
dt
角动量守恒定律
作用于质点的合外力对参考点 O 的力矩，等于质点对 该点 O 的角动量随时间的变化率.
2 质点的角动量定理
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩
t2
M
dt
t1
3 质点的角动量守恒定律
M 0 , L 恒矢量
做匀变速转动．
与二维平面圆周 运动情况相同
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at
0 t
x
x0
v0t
1 2
at 2
0
0t
1 2
t
2
v2
v02 2a(x x0 )
2
2 0
2 (
0
)
3
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
三 角量与线量的关系
ω d
dt
dω dt
4-3 角动量 角动量守恒定律
对定轴转的刚体，受合外力矩M，从t1到t2内，角速度
M从 1变d(为J)2， 积dL分可得： dt dt
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩 J2 J1
刚体的角动量定理： 刚体绕定轴转动时，刚体的冲量矩等 于角动量的增量
非刚体定轴转动的角动量定理
了解
t2
t1
Mdt
J 22
i
i
L J
2 M刚 i体定dd轴Lti 转动ddt的(m角ir动i2量)定理
O ri
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mv0r0 mvr v v0r0 r
思考：
1.动能是否守恒？ 2.动量是否守恒？ 3.角动量是否守恒？
20
例题
例4：卫星绕地球沿椭圆轨道运行，地球的 中心位于椭圆的一个焦点上，地球 R=6378km，卫星距地面的最近距离 h1=439km, 最远距离h2=2384km,卫星 在近地点 A1的速度v1=8.10km/s，求： 卫星在远地点A2的速度 v2.
本节内容 力的时间累积效应：
冲量、动量、动量定理． 力矩的时间累积效应：
冲量矩、角动量、角动量定理．
1
质点的角动量
质 量为m 的质点以 速度 v 在空间运动，某 时对 O 的位矢为 r，质
点对O 的角 动量 L r p r mv
x L
大小 L rmvsin
L
的方向符合右手法则
zL
22
刚体定轴转动的角动量
将刚体视为质点系处理，
对每一个质点有 Li miri
2
z
对整L 个刚体m求i和ri 2
i
(
miri2 )
O ri
vi
mi
i
刚体的转动惯量
刚体的角动量
L
J
23
刚体定轴转动的角动量定理
质M点i mi受ddL合ti 力 d矩(dMJti()包括ddMt (iemx、iri
v
rm
o
y
v
r
2
质点角动量的说明
1.
L的方 向垂直于
r
和
p所决定的平面。
2. r p的顺序不能颠倒。
3. 必须小于180o。
4. 角动量单位：kg·m2·s-1
3
质点角动量的性质
1. 矢量性 Lrp
2. 瞬时性 L r mv
L
r
o
p
m
3. 相对性 r 为质点到固定点 O的位矢，相对
于质点角动量的增量。
上式表明在力矩的持续作用下质点角动量的 变化。反映的是力矩在 t 时间内的累积效应。
8
角动量守恒定理
当
M
0
时，dL
0 ，由此
L
常矢量
dt
即： 如果对于某一固定点, 质点所受合外力矩为零,
则此质点对该固定点的角动量矢量保持不变.
Hale Waihona Puke 关于合外力矩为零, 有二 种情 况:
当
F
0或
Miin
2 )
)
对刚体求和
i
Mi
i
M
in i
i
M
ex i
d( dt
i
mi ri 2 )
对定轴转动的刚体 Miin 0
24
刚体定轴转动的角动量定理
定轴转动刚体的合外力矩
M
M
i ex
d( dt
mi ri
2
)
d(J)
dt
dL
J
dt
喷气体相对飞船的速度为 u 1.00104 m s1
试问：登月飞船在登月过程中所需消耗燃料
的质量m是多少?
13
例题
A 的速解度设v0飞, 船月在球点质
量 mM ,由万有引力和
牛顿定律
G
mMm (R h)2
m
v02 Rh
B vB
R
O
vA
v0
v
u
A
h
g
G
mM R2
v0
(
R2 g )1 Rh
2
v
,
v
p
0
dt
6
质点的角动量定理
dL
r
dp
r
F
dt dt
M rF
dL
M
dt
作用于质点的合外力对参考点 O 的力矩，等于质点对该点 O 的角 动量随时间的变化率。
7
质点的角动量定理
M
dL
dt
t2 t1
M dt
L2
L1
质点的角动量定理
t2
M
dt
t1
冲量矩
对同一参考点O，质点所受的冲量矩等
10
例题
解 小球受力 P、FN作用, FN 的力矩为
零，重力矩垂直纸面向里
M mgRcos
由质点的角动量定理
mgR cos dL
dt
dL mgRcos dt
11
例题
考虑到 d dt, L mRv mR2
得LdL m2gR3 cos θ dθ
由题设条件积分上式
L LdL m2gR3
M
F //
r
r
M
F
0
rF
0
有心力作用下质点对力心的角动量守恒。
9
例题
例1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平 面内. 一质量为 m 的小 球穿在圆环上, 并可在 圆环上滑动. 小球开始 时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的 水平面上)，然后从 A 点开始下滑．设小球与圆环间的摩擦力略 去不计．求小球滑到点 B 时对环心 O 的角 动量和角速度．
1 612
m s1
15
例题
质量 m'在 A 点和 B 点只受有心力作用 ,
角动量守恒
mv0 (R h) mvBR vB (R h)v0 R 1 709 m s1
飞船在 A点喷出气体后，在到达月球的 过程中，机械能守恒
1 2
mv
2 A
G
mM m Rh
1 2
mvB2
G
mM m R
17
例题
1 2
mv
2 A
G
mM m Rh
1 2
mvB2
G
mM m R
即
vA2
vB2
2G
mM Rh
2G
mM R
vA 1 615 m s1
于是 v (vA2 v02 )1 2 100 m s1
而 (m)u mv m mv u 120 kg
P61,3-6式
18
例题 例3 在光滑桌面上开一小孔，把系在轻绳一
21
例题
卫星
解：卫星在运动过程中
v1 受地球引力，力矩为零，
A2
h2
h1
因此角动 量守恒。
A1
LA1 LA2
v2
在A1和A2两点处角动量方向相同
LA1 LA2
LA1 rmv R h1 mv1 LA2 rmv R h2 mv2
mv1 R h1 mv2 R h2
v2
R h1 R h2
端的小球放在桌面上，绳的另一端穿过 小孔而执于手中。设开始时小球以速率 v0 作半径为 r0 的圆周运动 (图)，然后向 下缓慢拉绳使小球的转动半径减为 r，求 这时小球的速率 v。
19
例题
解：
N
mg
0
M 0
T
//
(r)
L1 L2
O rv N
Tmg
绳缓慢拉下，每一瞬时均可看
作小球近似作圆周运动。
不同点 r 值不同,则 L也不同。
4
质点做圆周运动的角动量
质点以作半径为 r
的圆周运动，相对圆心
L mr2 J
L
p
o
m r
5
质点的角动量定理
质点的角动量
L
dp
rFp，dL
？
dL
d
dt (r p)
r
d t dp
dr
p
dt dt
dt dt
dL
r
dp
r
F
dt dt
dr
cos d
0
0
L mR3 2 (2g sin )1 2
L mR2
( 2g sin )1 2
R
12
例题
例2 一质量为 m 的登月飞船，在离月 球表面高度 h 处绕月球作圆周运动．飞船采 用如下登月方式：当飞船位于点 A 时，它向 外侧短时间喷射出粒子流，使飞船与月球相 切地到达点 B , 且OA 与 OB 垂直．飞船所
思考：
1.动能是否守恒？ 2.动量是否守恒？ 3.角动量是否守恒？
20
例题
例4：卫星绕地球沿椭圆轨道运行，地球的 中心位于椭圆的一个焦点上，地球 R=6378km，卫星距地面的最近距离 h1=439km, 最远距离h2=2384km,卫星 在近地点 A1的速度v1=8.10km/s，求： 卫星在远地点A2的速度 v2.
本节内容 力的时间累积效应：
冲量、动量、动量定理． 力矩的时间累积效应：
冲量矩、角动量、角动量定理．
1
质点的角动量
质 量为m 的质点以 速度 v 在空间运动，某 时对 O 的位矢为 r，质
点对O 的角 动量 L r p r mv
x L
大小 L rmvsin
L
的方向符合右手法则
zL
22
刚体定轴转动的角动量
将刚体视为质点系处理，
对每一个质点有 Li miri
2
z
对整L 个刚体m求i和ri 2
i
(
miri2 )
O ri
vi
mi
i
刚体的转动惯量
刚体的角动量
L
J
23
刚体定轴转动的角动量定理
质M点i mi受ddL合ti 力 d矩(dMJti()包括ddMt (iemx、iri
v
rm
o
y
v
r
2
质点角动量的说明
1.
L的方 向垂直于
r
和
p所决定的平面。
2. r p的顺序不能颠倒。
3. 必须小于180o。
4. 角动量单位：kg·m2·s-1
3
质点角动量的性质
1. 矢量性 Lrp
2. 瞬时性 L r mv
L
r
o
p
m
3. 相对性 r 为质点到固定点 O的位矢，相对
于质点角动量的增量。
上式表明在力矩的持续作用下质点角动量的 变化。反映的是力矩在 t 时间内的累积效应。
8
角动量守恒定理
当
M
0
时，dL
0 ，由此
L
常矢量
dt
即： 如果对于某一固定点, 质点所受合外力矩为零,
则此质点对该固定点的角动量矢量保持不变.
Hale Waihona Puke 关于合外力矩为零, 有二 种情 况:
当
F
0或
Miin
2 )
)
对刚体求和
i
Mi
i
M
in i
i
M
ex i
d( dt
i
mi ri 2 )
对定轴转动的刚体 Miin 0
24
刚体定轴转动的角动量定理
定轴转动刚体的合外力矩
M
M
i ex
d( dt
mi ri
2
)
d(J)
dt
dL
J
dt
喷气体相对飞船的速度为 u 1.00104 m s1
试问：登月飞船在登月过程中所需消耗燃料
的质量m是多少?
13
例题
A 的速解度设v0飞, 船月在球点质
量 mM ,由万有引力和
牛顿定律
G
mMm (R h)2
m
v02 Rh
B vB
R
O
vA
v0
v
u
A
h
g
G
mM R2
v0
(
R2 g )1 Rh
2
v
,
v
p
0
dt
6
质点的角动量定理
dL
r
dp
r
F
dt dt
M rF
dL
M
dt
作用于质点的合外力对参考点 O 的力矩，等于质点对该点 O 的角 动量随时间的变化率。
7
质点的角动量定理
M
dL
dt
t2 t1
M dt
L2
L1
质点的角动量定理
t2
M
dt
t1
冲量矩
对同一参考点O，质点所受的冲量矩等
10
例题
解 小球受力 P、FN作用, FN 的力矩为
零，重力矩垂直纸面向里
M mgRcos
由质点的角动量定理
mgR cos dL
dt
dL mgRcos dt
11
例题
考虑到 d dt, L mRv mR2
得LdL m2gR3 cos θ dθ
由题设条件积分上式
L LdL m2gR3
M
F //
r
r
M
F
0
rF
0
有心力作用下质点对力心的角动量守恒。
9
例题
例1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平 面内. 一质量为 m 的小 球穿在圆环上, 并可在 圆环上滑动. 小球开始 时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的 水平面上)，然后从 A 点开始下滑．设小球与圆环间的摩擦力略 去不计．求小球滑到点 B 时对环心 O 的角 动量和角速度．
1 612
m s1
15
例题
质量 m'在 A 点和 B 点只受有心力作用 ,
角动量守恒
mv0 (R h) mvBR vB (R h)v0 R 1 709 m s1
飞船在 A点喷出气体后，在到达月球的 过程中，机械能守恒
1 2
mv
2 A
G
mM m Rh
1 2
mvB2
G
mM m R
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例题
1 2
mv
2 A
G
mM m Rh
1 2
mvB2
G
mM m R
即
vA2
vB2
2G
mM Rh
2G
mM R
vA 1 615 m s1
于是 v (vA2 v02 )1 2 100 m s1
而 (m)u mv m mv u 120 kg
P61,3-6式
18
例题 例3 在光滑桌面上开一小孔，把系在轻绳一
21
例题
卫星
解：卫星在运动过程中
v1 受地球引力，力矩为零，
A2
h2
h1
因此角动 量守恒。
A1
LA1 LA2
v2
在A1和A2两点处角动量方向相同
LA1 LA2
LA1 rmv R h1 mv1 LA2 rmv R h2 mv2
mv1 R h1 mv2 R h2
v2
R h1 R h2
端的小球放在桌面上，绳的另一端穿过 小孔而执于手中。设开始时小球以速率 v0 作半径为 r0 的圆周运动 (图)，然后向 下缓慢拉绳使小球的转动半径减为 r，求 这时小球的速率 v。
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例题
解：
N
mg
0
M 0
T
//
(r)
L1 L2
O rv N
Tmg
绳缓慢拉下，每一瞬时均可看
作小球近似作圆周运动。
不同点 r 值不同,则 L也不同。
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质点做圆周运动的角动量
质点以作半径为 r
的圆周运动，相对圆心
L mr2 J
L
p
o
m r
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质点的角动量定理
质点的角动量
L
dp
rFp，dL
？
dL
d
dt (r p)
r
d t dp
dr
p
dt dt
dt dt
dL
r
dp
r
F
dt dt
dr
cos d
0
0
L mR3 2 (2g sin )1 2
L mR2
( 2g sin )1 2
R
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例题
例2 一质量为 m 的登月飞船，在离月 球表面高度 h 处绕月球作圆周运动．飞船采 用如下登月方式：当飞船位于点 A 时，它向 外侧短时间喷射出粒子流，使飞船与月球相 切地到达点 B , 且OA 与 OB 垂直．飞船所