法向量求二面角-空间向量
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二面角法向量求法
空间角的大小与两条直线的方向有关，与直线 的长度无关。
二面角的表示方法
二面角是由两个半平面所组成 的图形，其大小由两个半平面
的夹角决定。
二面角可以用角度制或弧度制 来表示，与平面角和空间角类
似。
二面角的大小与两个半平面的 方向有关，与半平面的大小无 关。
在求解二面角的大小时，通常 需要先找到两个半平面的法向 量，然后计算两个法向量之间 的夹角即可得到二面角的大小 。
二面角法向量求法
汇报人：XX 2024-01-23
• 引言 • 二面角的表示方法 • 法向量的求解方法 • 二面角法向量的性质 • 二面角法向量的应用 • 总结与展望
01
引言
二面角的定义
二面角是由两个半平面所组成的 图形，其大小由这两个半平面的
夹角决定。
二面角的大小范围在0°到180°之 间，当两个半平面重合时，二面 角为0°；当两个半平面形成一条
面积射影定理
根据面积射影定理，二面角的余弦值等于两个半 平面在棱上的投影面积之比。因此，可以通过求 出两个半平面在棱上的投影面积，然后利用面积 射影定理求出二面角的大小。
三垂线定理及其逆定理法
利用三垂线定理或其逆定理，可以构造出与二面 角的棱垂直的线段，进而通过解三角形求出二面 角的大小。
空间向量夹角公式
03
法向量的求解方法
平面法向量的求解方法
直接法
如果平面上的一个向量 已知，则该向量即为平 面的法向量。
待定系数法
设平面的法向量为 n=(x,y,z)，根据平面的 方程可以列出关于x,y,z 的方程组，通过求解方 程组得到法向量。
向量积法
如果平面上有两个不共 线的向量a和b，则平面 的法向量n可以通过计 算向量a和b的向量积得 到，即n=a×b。
二面角的表示方法
二面角是由两个半平面所组成 的图形，其大小由两个半平面
的夹角决定。
二面角可以用角度制或弧度制 来表示，与平面角和空间角类
似。
二面角的大小与两个半平面的 方向有关，与半平面的大小无 关。
在求解二面角的大小时，通常 需要先找到两个半平面的法向 量，然后计算两个法向量之间 的夹角即可得到二面角的大小 。
二面角法向量求法
汇报人：XX 2024-01-23
• 引言 • 二面角的表示方法 • 法向量的求解方法 • 二面角法向量的性质 • 二面角法向量的应用 • 总结与展望
01
引言
二面角的定义
二面角是由两个半平面所组成的 图形，其大小由这两个半平面的
夹角决定。
二面角的大小范围在0°到180°之 间，当两个半平面重合时，二面 角为0°；当两个半平面形成一条
面积射影定理
根据面积射影定理，二面角的余弦值等于两个半 平面在棱上的投影面积之比。因此，可以通过求 出两个半平面在棱上的投影面积，然后利用面积 射影定理求出二面角的大小。
三垂线定理及其逆定理法
利用三垂线定理或其逆定理，可以构造出与二面 角的棱垂直的线段，进而通过解三角形求出二面 角的大小。
空间向量夹角公式
03
法向量的求解方法
平面法向量的求解方法
直接法
如果平面上的一个向量 已知，则该向量即为平 面的法向量。
待定系数法
设平面的法向量为 n=(x,y,z)，根据平面的 方程可以列出关于x,y,z 的方程组，通过求解方 程组得到法向量。
向量积法
如果平面上有两个不共 线的向量a和b，则平面 的法向量n可以通过计 算向量a和b的向量积得 到，即n=a×b。
法向量法求二面角课件-2025届高三数学一轮复习
∵平面， ⊂ 平面，则.
平面，、 ⊂ 平面，则, .
∴ 以为原点，为x轴，以过点与平行的直线为轴，为轴 . 建立
空间直角坐标系.
1、建立坐标系
所以 0,0,0 , 0,0,1 , 1,1,0 , 1,0,0 ,
| ∙ |
1
1
3、利用数量积
所以： = | , | =
=
=
2∙ 2 2
所以二面角 − −
的大小为
3
4、判断角大小
变式训练，构建模型
2、如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，
A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，O1O⊥底
n1，
n2
n1，
n2
l
cos
n1，
n2
n1，
n2
l
cos n1, n2 cos
cos n , n
1
2
总结:解题时我们只需观察图形是二面角是锐角还是钝角，
再根据所求法向量夹角的余弦值下结论即可！
法向量法求二面角的步骤：
1、建立坐标系，两两互垂直
面ABCD. 求二面角B－A1C－D的余弦值.
解
因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，又
O1O⊥底面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直.
如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角
坐标系.
设棱长为2，因为∠CBA＝60°，
所以 OB＝ 3，OC＝1，
平面，、 ⊂ 平面，则, .
∴ 以为原点，为x轴，以过点与平行的直线为轴，为轴 . 建立
空间直角坐标系.
1、建立坐标系
所以 0,0,0 , 0,0,1 , 1,1,0 , 1,0,0 ,
| ∙ |
1
1
3、利用数量积
所以： = | , | =
=
=
2∙ 2 2
所以二面角 − −
的大小为
3
4、判断角大小
变式训练，构建模型
2、如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，
A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，O1O⊥底
n1，
n2
n1，
n2
l
cos
n1，
n2
n1，
n2
l
cos n1, n2 cos
cos n , n
1
2
总结:解题时我们只需观察图形是二面角是锐角还是钝角，
再根据所求法向量夹角的余弦值下结论即可！
法向量法求二面角的步骤：
1、建立坐标系，两两互垂直
面ABCD. 求二面角B－A1C－D的余弦值.
解
因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，又
O1O⊥底面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直.
如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角
坐标系.
设棱长为2，因为∠CBA＝60°，
所以 OB＝ 3，OC＝1，
利用法向量求二面角
转 转 转
2
课前热身
在正方体ABCD A1B1C1D1中，求锐二面角A1 DB A的余弦值。
解：作DB的中点O, 连结AO 1 , AO 在正方体中A1D AB, AD AB AO BD, AO BD 1
AOA 为二面角A1 DB A的平面角 1 A1 不妨设AA 2，则AO 2，
7
课后练习
在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO ⊥面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8， PO=4，AO=3，OD=2. 在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二 面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理 由。
P
A O Bห้องสมุดไป่ตู้D
C
课堂总 结
思想方法
1.利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、 面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、 利用数量积的夹角公式计算. 2.合理建立空间直角坐标系 (1)使用空间向量解决立体几何问题的关键环节之一就是建立空间直角坐标系， 建系 方法的不同可能导致解题的简繁程度不同. (2)一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就 以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽 可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建 立时以其中的垂直相交直线为基本出发点. (3)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系， 在没有现成的垂直关系时要通过其 他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系.
课题：利用法向量求二面角
——小越中学 章惠芳
1
复习回顾
2
课前热身
在正方体ABCD A1B1C1D1中，求锐二面角A1 DB A的余弦值。
解：作DB的中点O, 连结AO 1 , AO 在正方体中A1D AB, AD AB AO BD, AO BD 1
AOA 为二面角A1 DB A的平面角 1 A1 不妨设AA 2，则AO 2，
7
课后练习
在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO ⊥面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8， PO=4，AO=3，OD=2. 在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二 面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理 由。
P
A O Bห้องสมุดไป่ตู้D
C
课堂总 结
思想方法
1.利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、 面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、 利用数量积的夹角公式计算. 2.合理建立空间直角坐标系 (1)使用空间向量解决立体几何问题的关键环节之一就是建立空间直角坐标系， 建系 方法的不同可能导致解题的简繁程度不同. (2)一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就 以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽 可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建 立时以其中的垂直相交直线为基本出发点. (3)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系， 在没有现成的垂直关系时要通过其 他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系.
课题：利用法向量求二面角
——小越中学 章惠芳
1
复习回顾
向量法-求二面角大小
空间向量法---求二面角的大小
运用“空间向量法”---求“二面角的大小”的解题步骤：
① 建立空间直角坐标系； ② 求出所需各点的坐标； ③ 求出两个平面的法向量； ④ 求出两个法向量的夹角； ⑤ 写出所求二面角的大小。
空间向量法---求二面角的大小
运用“空间向量法”---求“二面角的大小”的解题步骤：
(1) 证明: AN⊥平面PAD .
(2) 求二面角C-AM-N的大小 .
P
M
A
D
B
NC
【练习3】 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面是边长为2的菱形, ∠ABC=60O , PA⊥底面ABCD,PA=2, M,N分别为PC,BC的中点.
(1) 证明: AN⊥平面PAD .
(2) 求二面角C-AM-N的大小 .
∴ cosq =
6
3
得 tanq =
2
2
∴
所求面SCD与面SBA所成二面角的正切值是22
【练习2】 已知点E、F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1、 CC1上的点, 且 BE1=2EB, CF=2FC1 .
(1) 求面AEF与面ABC所成二面角的正切值 .
【练习3】 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面是边长为2的菱形, ∠ABC=60O , PA⊥底面ABCD,PA=2, M,N分别为PC,BC的中点.
=
3 3
由条件知,二面角A-CD-E为锐角，∴
所求二面角的余弦值为
3 3
【练习1】 如下图, 在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,
∠ABC=90O
,
SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1,
AD=
1 2
.
法向量法求二面角
显然平面SBA的一个法向量为
n1 = (1， 0) 0，，
设平面SCD的一个法向量为
S D
z 1 C
1 SA = , 2
B 1 y
A x
n 2 = ( x，y，z )，
则 n 2 ⊥ 平面SCD
图5
1 AD = . 2
n 2 • SD = 0 ∴ ⇒ n2 • SC = 0
x−z =0 取 z = 2, 则 n2 = (2 , − 1, 2) 2 x + 2 y − z = 0
∴ A1Q = (2, 2, −2), QD = (−2, 20)
面AA1D的法向量 n1 = (1,0,0) 设面A1DQ的法向量为
z
A1
D1 B1 DC1n2 = (a1 , a2 , a3 ),
2
y
Q
C B
4 2
O（A） （ ）
x
则
n2 ⋅ A1Q = 2a1 + 2a2 − 2a3 = 0, n2 ⋅ QD = −2a1 + 2a2 = 0,
令y=1,取平面的一个法向量为
n = (1,1,1)
注：因为平面的法向量有无数个，方向可上，可下， 模可大可小，我们只要求出平面的某个法向量即可.
例题4. 例题 在长方体ABCD—A1B1C1D1中， AB=2，BC=4，AA1=2,点Q是BC的中点， 求此时二面角A—A1D—Q的大小． 解 ： 如图2，建立空间直角坐标系． 依题意：A1（0，0，2），Q（2，2，0）， D（0，4，0），
解：延长BA，CD 交于E，则面SCD∩面SBA=SE.
AD 1 ∵ AD / / BC 且 = BC 2
5 2
空间向量法求二面角
徐沟中学高二年级数学学案 命制人： 董晓燕 郭凯丽 复查人：段红蕊空间向量法求二面角学习目标：1．让学生初步理解用与二面角的平面角两边平行的向量的夹角计算二面角大小的方法；让学生初步了解二面角的平面角与两个面的法向量的夹角的关系；并能解决与之有关的简单问题．新知自学：让学生观察两平面的法向量的夹角与二面角的平面角之间的关系，引导学生用法向量的夹角解图1 图2课堂互学：例1；在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=4，AA 1=2,点Q 是BC 的中点，求此时二面角A —A 1D —Q 的大小．例2．如图，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，若2AB BC BD ==，求二面角B ACD --的正弦值例3：如图5，在底面是直角梯形的四棱锥S —A BCD 中，AD//BC ，∠A BC=900，S A ⊥面A BCD ，S A =21，A B=BC=1，A D=21。
求侧面SCD 与面SB A 所成的二面角的大小。
总结提炼：随堂检测：1.如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角11C B A A --的大小；能力提升：1.如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，平面A 1BC ⊥侧面A 1ABB 1，且AA 1=AB=2．（1）求证：AB ⊥BC ；（2）若直线AC 与平面A 1BC 所成的角为6π，求锐二面角A-A 1C-B 的大小．A BC DEF ϕω θ βlα2n 1nθ β lαϕ1n2n O （A ） B A 1 C 1 B 1D 1 D CQ zy x 图4AzyDCBS 图5ABCD1A1C1B。
二面角的求法和利用空间向量解决立体几何问题
二面角的定义:
1、定义
从一条直线出发的两个半平面所组成
的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角
l
的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.
2、二面角的表示方法
二面角－AB－
A
C
B
二面角－ l－
D
l
B
A
二面角C－AB－ D
F
E
A
B
D
C
二面角C－AB－ E
二面角的平面角:
以二面角的棱上任意一点为端
点, 在两个面内分别作垂直于棱的 两条射线, 这两条射线所成的角叫 做二面角的平面角。
面面平行
∥ n1 ∥ n2 n1 kn2
二、垂直关系：
设直线 l, m 的方向向量分别为 AB,CD ，
平面 , 的法向量分别为 n1 , n2 ， 线线垂直:
l ⊥ m AB ⊥ CD AB • CD 0 ；
Bl
A
平面 内的两个相交向量垂直
(4)解方程组，令其中一个量的值求另外两个， 即得法向量。
一、平行关系：
设直线 l, m 的方向向量分别为 AB,CD ，
lm
BD
平面 , 的法向量分别为
线线平行:
n1
, n2
，
l ∥ m AB ∥ CD AB kCD
；
x1 y1
=
A
x2 y2
=
C
x3 y3
线面平行
AB
l ∥ AB n1 AB n1 0 ；
分别作垂直于a 的两条射线OA,OB，则∠AOB就 是此二面角的平面角。
2、垂线法: 在一个平面 内选一点A向另一平面 作 垂线AB，
垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足 为O， 连结AO，则∠AOB就是二面角的平面角。
向量法求二面角
3.
用向量法求二面角
思考：能否用法向量求二面角的大小？
A n
B O
n2
n1
n1, n2
用向量法求二面角
n2 n1
同
进
同
出
n2 n1
取 补 角
n2来自n2n1 一
进
一
出
取
n1
等 角
法2：图形的特征来判定相等、互补
用向量法求二面角
例1 如所示，ABCD是一直角梯形，ABC=900 ,
SA 平面ABCD, SA AB BC 1, AD 1 , 2
求面SCD与面SBA所成二面角 z
的余弦值. 方法一：几何法
S n1
n2
方法二：向量法
B
C
易知面SBA的法向量n1
AD
1 (0, , 0)
A
x
2
面SCD的法向量可取n2 (1, 2,1)
Dy
用向量法求二面角
变式练习 如图所示，ABCD是一直角梯形，ABC=900 ,
二面角及其度量
用向量法求二面角
一、教材分析
二面角及其度量是高中数学选修2--1第3章空间向量在立体几 何中的应用中的部分内容。空间向量的引入为代数方法处理立 体几何问题提供了一种重要的工具和方法。本节课是在学生掌 握了用空间向量求线面角的基础上进行的延伸和拓展。求空间 角是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。
二、教学目标
知识目标 :
掌握空间向量求二面角的方法；.
能力目标：
培养学生观察分析、类比转化的能力； 培养空间想象能力
用向量法求二面角
思考：能否用法向量求二面角的大小？
A n
B O
n2
n1
n1, n2
用向量法求二面角
n2 n1
同
进
同
出
n2 n1
取 补 角
n2来自n2n1 一
进
一
出
取
n1
等 角
法2：图形的特征来判定相等、互补
用向量法求二面角
例1 如所示，ABCD是一直角梯形，ABC=900 ,
SA 平面ABCD, SA AB BC 1, AD 1 , 2
求面SCD与面SBA所成二面角 z
的余弦值. 方法一：几何法
S n1
n2
方法二：向量法
B
C
易知面SBA的法向量n1
AD
1 (0, , 0)
A
x
2
面SCD的法向量可取n2 (1, 2,1)
Dy
用向量法求二面角
变式练习 如图所示，ABCD是一直角梯形，ABC=900 ,
二面角及其度量
用向量法求二面角
一、教材分析
二面角及其度量是高中数学选修2--1第3章空间向量在立体几 何中的应用中的部分内容。空间向量的引入为代数方法处理立 体几何问题提供了一种重要的工具和方法。本节课是在学生掌 握了用空间向量求线面角的基础上进行的延伸和拓展。求空间 角是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。
二、教学目标
知识目标 :
掌握空间向量求二面角的方法；.
能力目标：
培养学生观察分析、类比转化的能力； 培养空间想象能力
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用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的发 展趋势，向量是用代数的方法解决立体几何问 题的主要工具，故，学会用向量法解立体几何问 题是学好立体几何的基础。
精品
平面法向量 在立体几何中的应用
——利用法向量求二面角
精品
(一)平面的法向量的定义：
如果n,那么向
量n叫做平面的
法向量
n
精品
（二）平面法向量的应用
1、利用平面法向量求直线 A 与平面所成的角：
直线与平面所成的
角等于平面的法向 量所在的直线与已 知直线的夹角的余
n
B
C
角。
如图：直线AB与平面所成的角
=
2
( =<BA , n > )
精品
例
2、利用平面法向量求二面角的大小
m n
求二面角的大小，先求出两个半平面的法向 量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或 互补求出二面角的大小
如图：二面角的大小等于-<m ,n>
精品
2、利用平面法向量求二面角的大小
指入、指出平面的法 向量的夹角的大小就 是二面角的大小。
F B
2
解：（2）建系如图， D1 z
M
C1
由（1）得：面ENF
的法向量为
n=A1
E
（1，1，0），又
N B1
MF=（1，1，-2）
EF=（-1，1，-2）
D
设面EMF的法向量
Cy
为m=（x,y,z) ，则
F
{ MF.m=0 EFm=0
{-xx++yy--22zz==00
A
B
x
令z=1,则m=(0,2,1)
C1 A1
B1 E
C A
D
精品
B
2.(广州二模）如图，P A 平 面 A B C , B A C 9 0 0 D,E,F分别是AB,BC,CP的中点，AB=AC =1,PA=2.(1)求直线PA和平面DEF所成的 角的大小； (2)求点P到平面DEF的距离。
P
F
A
C
D
精品
E
B
小结： 1、本节主要复习了法向量在求线面角和二面 角方面的应用，注意所求角与法向量的联系， 掌握基本的思想方法。 2、立体几何问题求解的思想方法的发展趋势
cos<m,n>=10/5 由题意可知，所
{
x=0 y=2z
求二面角为锐角，故所求二面角的 大小为arccos(10/5)
精品
（2）如图，在空间直角坐标系中，BC=2， 原点O为BC的中点，点A的坐标是（1，1， 0）点D在平面yoz上，且BDC=90º， DCB=30º,求二面角D-BA-C的大小
cos<ED,n>=1/4<ED,n>=arccos(1/4)
二面角D-BA-C的大小为arccos(1/4)
例
精品
例２．在四面体 ABCD中，AB⊥面 BCD，
BC=CD，∠BCD＝9 0 0，∠ADB= 3 0 0 ．E、F
分别是AＣ、AD的中点。 １）求证 平面BEF⊥平面ABC； ２）求二面角ＥＦ－Ｂ－ＣＤ的大小。
（2，1，2） N
（1，2，2） 则
MF=（1,1，-2）
NF=（0，0，-2）
EF=（-1，1，-2），
设平面ENF的法向量 A
为n=(x,y,z),
x
D1 z E
D
{ 则
EFn=0 NFn=0
{
-x+y-2z=0 -2z=0
{ x=y 令x=y=1,则n=(1,1,0)
z=0
精品
M
C1
N B1
Cy
m n
如图：二面角的大小等于<m ,n>
精品
例1：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1
中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，
C1D1，B1C1的中点，求二面角M-EF-
N的大小
D1
M
C1
A1
E
N B1
D
A
精品
C
F B
(2)
解：（1）建系如图
所示，设正方体棱长
为2,则M（0，1，2）
F（1，2，0） E A1
zＡ
Ｆ
Ｂ
x 精品
Ｅ
Ｄ
y
Ｃ
广州一模
1.如图,正 A B C 按 它 的 一 个 法 向 量 n 平 移 到 A 1 B 1 C 1
D ,E 分 别 是 B C ,C C 1 的 中 点 ， ABAA1 2
(1)证 明 ： BEAB 1;
( 2 ) 求 二 面 角 B A B 1 D 的 大 小 。
(0,-1/2,3/2) z D
B
E
(0,-1,0)
O 30º
y
C (0,1,0)
x
精品
A (1,1,0)
解：由题可知B（0，-1，0），C（0，1，0）， 又A（1，1，0），得AC=1，AB=5，又 BC=2， ACB=90º，又BCD=30º， BDC=90º，故BD=1，CD=3，由D点向 BC作垂线DE，则DE=3/2，OE=1/2，得D （0，-1/2，3/2）， E（0，-1/2，0）， ED=(0,0,3/2),BA=(1,2,0),BD=(0,1/2,3/ 2),面ABC的法向量为ED，可求得面ABD的 法向量为n=(23,-3,1)
精品
平面法向量 在立体几何中的应用
——利用法向量求二面角
精品
(一)平面的法向量的定义：
如果n,那么向
量n叫做平面的
法向量
n
精品
（二）平面法向量的应用
1、利用平面法向量求直线 A 与平面所成的角：
直线与平面所成的
角等于平面的法向 量所在的直线与已 知直线的夹角的余
n
B
C
角。
如图：直线AB与平面所成的角
=
2
( =<BA , n > )
精品
例
2、利用平面法向量求二面角的大小
m n
求二面角的大小，先求出两个半平面的法向 量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或 互补求出二面角的大小
如图：二面角的大小等于-<m ,n>
精品
2、利用平面法向量求二面角的大小
指入、指出平面的法 向量的夹角的大小就 是二面角的大小。
F B
2
解：（2）建系如图， D1 z
M
C1
由（1）得：面ENF
的法向量为
n=A1
E
（1，1，0），又
N B1
MF=（1，1，-2）
EF=（-1，1，-2）
D
设面EMF的法向量
Cy
为m=（x,y,z) ，则
F
{ MF.m=0 EFm=0
{-xx++yy--22zz==00
A
B
x
令z=1,则m=(0,2,1)
C1 A1
B1 E
C A
D
精品
B
2.(广州二模）如图，P A 平 面 A B C , B A C 9 0 0 D,E,F分别是AB,BC,CP的中点，AB=AC =1,PA=2.(1)求直线PA和平面DEF所成的 角的大小； (2)求点P到平面DEF的距离。
P
F
A
C
D
精品
E
B
小结： 1、本节主要复习了法向量在求线面角和二面 角方面的应用，注意所求角与法向量的联系， 掌握基本的思想方法。 2、立体几何问题求解的思想方法的发展趋势
cos<m,n>=10/5 由题意可知，所
{
x=0 y=2z
求二面角为锐角，故所求二面角的 大小为arccos(10/5)
精品
（2）如图，在空间直角坐标系中，BC=2， 原点O为BC的中点，点A的坐标是（1，1， 0）点D在平面yoz上，且BDC=90º， DCB=30º,求二面角D-BA-C的大小
cos<ED,n>=1/4<ED,n>=arccos(1/4)
二面角D-BA-C的大小为arccos(1/4)
例
精品
例２．在四面体 ABCD中，AB⊥面 BCD，
BC=CD，∠BCD＝9 0 0，∠ADB= 3 0 0 ．E、F
分别是AＣ、AD的中点。 １）求证 平面BEF⊥平面ABC； ２）求二面角ＥＦ－Ｂ－ＣＤ的大小。
（2，1，2） N
（1，2，2） 则
MF=（1,1，-2）
NF=（0，0，-2）
EF=（-1，1，-2），
设平面ENF的法向量 A
为n=(x,y,z),
x
D1 z E
D
{ 则
EFn=0 NFn=0
{
-x+y-2z=0 -2z=0
{ x=y 令x=y=1,则n=(1,1,0)
z=0
精品
M
C1
N B1
Cy
m n
如图：二面角的大小等于<m ,n>
精品
例1：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1
中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，
C1D1，B1C1的中点，求二面角M-EF-
N的大小
D1
M
C1
A1
E
N B1
D
A
精品
C
F B
(2)
解：（1）建系如图
所示，设正方体棱长
为2,则M（0，1，2）
F（1，2，0） E A1
zＡ
Ｆ
Ｂ
x 精品
Ｅ
Ｄ
y
Ｃ
广州一模
1.如图,正 A B C 按 它 的 一 个 法 向 量 n 平 移 到 A 1 B 1 C 1
D ,E 分 别 是 B C ,C C 1 的 中 点 ， ABAA1 2
(1)证 明 ： BEAB 1;
( 2 ) 求 二 面 角 B A B 1 D 的 大 小 。
(0,-1/2,3/2) z D
B
E
(0,-1,0)
O 30º
y
C (0,1,0)
x
精品
A (1,1,0)
解：由题可知B（0，-1，0），C（0，1，0）， 又A（1，1，0），得AC=1，AB=5，又 BC=2， ACB=90º，又BCD=30º， BDC=90º，故BD=1，CD=3，由D点向 BC作垂线DE，则DE=3/2，OE=1/2，得D （0，-1/2，3/2）， E（0，-1/2，0）， ED=(0,0,3/2),BA=(1,2,0),BD=(0,1/2,3/ 2),面ABC的法向量为ED，可求得面ABD的 法向量为n=(23,-3,1)