利用空间向量知识求空间中的二面角ppt课件

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高中数学选修2-1精品课件：§3.2 第3课时用空间向量解决空间角

所成的角
＝
|a·b| |a||b|
范围 0，π2
直线与平面所成的角
设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sin θ＝_|_co_s_〈__a_，__n_〉__|_
＝
|a·n| |a||n|
0，π2
二ห้องสมุดไป่ตู้角
设二面角α－l－β为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则|cos θ|＝ |cos〈n1，n2〉| ＝ |n1·n2|
|n1||n2|
[0，π]
思考辨析判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
1.两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.( × ) 2.直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角.( × ) 3.二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角.( × ) 4.若二面角两个面的法向量的夹角为120°，则该二面角的大小等于60°或 120°.( √ )
(3)求平面的法向量n； →
(4)设线面角为 θ，则 sin θ＝|P→A·n|. |PA||n|
跟踪训练 2 如图所示，三棱柱 ABC － A1B1C1 中， CA ＝ CB ， AB ＝ AA1 ， ∠BAA1＝60°. (1)证明：AB⊥A1C；
证明取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B. 因为CA＝CB，所以OC⊥AB. 由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB. 因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C. 又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.

二面角法向量求法

空间角的大小与两条直线的方向有关，与直线的长度无关。
二面角的表示方法
二面角是由两个半平面所组成的图形，其大小由两个半平面
的夹角决定。
二面角可以用角度制或弧度制来表示，与平面角和空间角类
似。
二面角的大小与两个半平面的方向有关，与半平面的大小无关。
在求解二面角的大小时，通常需要先找到两个半平面的法向量，然后计算两个法向量之间的夹角即可得到二面角的大小。
二面角法向量求法
汇报人：XX 2024-01-23
• 引言 • 二面角的表示方法 • 法向量的求解方法 • 二面角法向量的性质 • 二面角法向量的应用 • 总结与展望
01
引言
二面角的定义
二面角是由两个半平面所组成的图形，其大小由这两个半平面的
夹角决定。
二面角的大小范围在0°到180°之间，当两个半平面重合时，二面角为0°；当两个半平面形成一条
面积射影定理
根据面积射影定理，二面角的余弦值等于两个半平面在棱上的投影面积之比。因此，可以通过求出两个半平面在棱上的投影面积，然后利用面积射影定理求出二面角的大小。
三垂线定理及其逆定理法
利用三垂线定理或其逆定理，可以构造出与二面角的棱垂直的线段，进而通过解三角形求出二面角的大小。
空间向量夹角公式
03
法向量的求解方法
平面法向量的求解方法
直接法
如果平面上的一个向量已知，则该向量即为平面的法向量。
待定系数法
设平面的法向量为 n=(x,y,z)，根据平面的方程可以列出关于x,y,z 的方程组，通过求解方程组得到法向量。
向量积法
如果平面上有两个不共线的向量a和b，则平面的法向量n可以通过计算向量a和b的向量积得到，即n=a×b。

空间向量应用-二面角

04
二面角的应用
在几何学中的应用
向量投影
在求解向量的投影时，可以利用二面角的概念，通过计算向量在某一平面上的投影长度，来得到该向量与该平面的夹角。
向量夹角
二面角的概念可以用于计算两个向量的夹角，通过比较两个向量的夹角与二面角的夹角，可以判断两个向量的方向关系。
在物理学中的应用
力的合成与分解
建筑设计
在建筑设计中，利用二面角的概念可以确定建筑物的位置、方向和高度等信息，以保证建筑物的安全和稳定性。
05
空间向量与二面角的关系
向量与二面角的关联
向量是既有大小又有方向的量，其大小和方向可以用来表示二面角的大小和方向。
二面角的大小和方向可以通过两个向量的夹角来描述，这个夹角就是二面角的平面角。
二面角的向量定义
总结词
二面角的向量定义是通过向量的投影和叉积来定义的，它是一个标量值，其大小等于两个向量的叉积的绝对值再除以两向量的模的乘积。
详细描述
二面角的向量定义是通过向量的投影和叉积来描述的。设两非零向量a和b分别属于两个半平面，那么二面角θ的大小可以用公式 ∣a×b∣/∣a∣∣b∣表示，其中a×b表示向量a和b 的叉积，∣a∣和∣b∣分别表示向量a和b的模。这个标量值的大小就等于二面角θ的大小。
二面角的性质
总结词
二面角具有一些重要的性质，如二面角的取值范围是[0,π]，二面角的大小与观察方向有关，以及二面角的补角等于其平面角的补角等。
详细描述
首先，二面角的取值范围是[0,π]，这是由其几何定义直接得出的。其次，二面角的大小与观察方向有关，即观察方向的不同可能导致二面角的大小发生变化。最后，二面角的补角等于其平面角的补角，这是由向量的性质得出的。

用空间向量求空间角课件(共22张PPT)

向量的加法与数乘
向量的加法满足平行四边形法则或三角形法则，即$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$。
数乘是指实数与向量的乘积，满足分配律，即$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
向量的数量积
向量的数量积定义为$vec{a} cdot vec{b} = left| vec{a} right| times left| vec{b} right| times cos theta$，其中$theta$为两向量的夹角。
数量积满足交换律和分配律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$和$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
03 向量的向量积与混合积
向量的向量积
定义
两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b，其模长为 |a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a与b之间的夹角。
适用范围
适用于直线与平面不垂直的情况。
利用向量的混合积求二面角
1 2 3
定义
二面角是指两个平面之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a×b×c∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣∣c∣∣，其中a、 b和c分别是三个平面的法向量，θ是两个平面之间的夹角。
适用范围
适用于两个平面不平行的情况。
06 案例分析
案例一：利用空间向量求线线角
定义
线线角是指两条直线之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a⋅b∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣，其中a和b是两条直线的方向向量，

立体几何中的向量方法求空间角 ppt课件

a， b
rr
结论：cos |cosa,b|
•
(2011·陕西卷)如图，在△ABC中，∠ABC
＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD 把△ABD折起，使∠BDC＝90°.
• 设E为BC的中点，求AE与DB夹角的余弦值．
z
y
x
易得D(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，3，0)，
r uuur n， BA
2
r uuur n， BA
B
2
B
r
ruuu r n
结论：sin |cosn,AB|
• 1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(
)
•
A．120°
B．60°
•
C．30°
D．60°或30°
• 解析：由题意得直线l与平面α的法向量所在直线的夹角为60°，∴直线l与平面α所成的角
b Br
An
sin | cosn,AB|
3.二面角：
B
O
①方向向量法：
r n
B
A
C
l
D
②法向量法：
【注意】法向量的方向：一
coscosu A uB ur,C uuD ur uu A uuu B rurC uuuu D uu rr
进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等
ABCD 于法向量夹角的补角。
• (2)分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．
• 以上两种方法各有利弊，要善于结合题目的特点选择适当的方法解题．
rC
rD
1.异面直线所成r r角： a

高中新课标数学-二面角课件

设平面的一个法向量为 = (1 , 1 , 1 ),
则ቐ
∙ = 1 = 0
∙ = 1 + 1 = 0
,
取1 =1，可得1 = −1, 1 = 0,此时 = (−1,0,1),
平面角的正切值.
分析由PC⊥平面ABC,知平面ABC⊥平面PAC,从而B在平面PAC上的射
影在AC上,由此可用三垂线定理作出二面角的平面角.
解:∵PC⊥平面ABC,
∴平面PAC⊥平面ABC,交线为AC.作BD⊥AC于D点,据面面垂直性
质定理,BD⊥平面PAC,作DE⊥PA于E点,连接BE,据三垂线定理,则
2
2√3
√2
=
√2
a,
4
= √6.
故二面角 B-PA-C 的平面角的正切值为√6.
归纳总结
1.本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后,再用解三
角形的方法来求解.
2.二面角的定义求法主要有:
(1)由定义作出二面角的平面角;
(2)利用三垂线定理(逆定理)作出二面角的平面角;
(3)作二面角棱的垂面,则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是
解:以题意，, , 1 两两相互垂直。
以C为原点, ，， 1 的方向分别为轴, 轴, 轴正方向，
建立如图所示直角坐标系，则： C 0,0,0 , 0,1,0 , D(1,0,1) 1 (1,1,1)
所以=(0,1,0), =(1,0,1) , 1 =(-1,0,1) , 1 =(0,-1,2) ,
人教2019B版选择性必修第一册
第一章
空间向量与立体几何
1.2.4 二面角（1）
学习目标
1.掌握二面角的概念
2.理解二面角的平面角的含义

人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件第1章空间向量与立体几何 1.2.4 二面角

θ=<n1,n2>或π-<n1,n2>,特别地,sin θ=sin<n1,n2>.
3.设a=(0,1,1),b=(1,0,1)分别是平面α,β的两个法向量,则锐二面角α-l-β的大
小是(
)
A.45° B.90°
C.60°D.120°
解析:设锐二面角α-l-β的大小是θ,
|·|
1
1
则 cos θ=|||| =
= .

答案:B

2
)
2.在正四面体ABCD中,二面角A-BC-D的余弦值为(
1
A.2
1
B.3
3
C. 3
)
3
D. 2
解析:如图,设BC的中点为E,底面正三角形BCD的中心为O,则∠AEO就是二
面角A-BC-D的平面角.
3
3
1
在 Rt△AOE 中,AE= 2 AB,EO= 6 AB,则 cos∠AEO= = 3.
二面角B-AP-C的大小.
解:如图,过点B作BM⊥AC交AC于点M,过点M作MN⊥AP交AP于点N,连接
BN,由三垂线定理知BN⊥PA.
∴∠MNB为所求二面角的平面角.
设AB=BC=AC=PC=1,
3
2
∴BM= ,MN= ,
2
4
3
∴tan∠MNB= 2 = √6.故∠MNB=arctan√6,
2
4
APC的一个法向量.
·
∵cos<a,n>=||||=0,∴<a,n>=90°,
∴二面角A-PC-B为90°.
用法向量法求二面角的大小的优点是不需要确定二面角的平面角,缺点是
计算量大.若二面角两个半平面的法向量分别是n1,n2,设二面角的大小为θ,

向量法-求二面角大小

空间向量法---求二面角的大小
运用“空间向量法”---求“二面角的大小”的解题步骤：
① 建立空间直角坐标系； ② 求出所需各点的坐标； ③ 求出两个平面的法向量； ④ 求出两个法向量的夹角； ⑤ 写出所求二面角的大小。
空间向量法---求二面角的大小
运用“空间向量法”---求“二面角的大小”的解题步骤：
(1) 证明: AN⊥平面PAD .
(2) 求二面角C-AM-N的大小 .
P
M
A
D
B
NC
【练习3】如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面是边长为2的菱形, ∠ABC=60O , PA⊥底面ABCD,PA=2, M,N分别为PC,BC的中点.
(1) 证明: AN⊥平面PAD .
(2) 求二面角C-AM-N的大小 .
∴ cosq =
6
3
得 tanq =
2
2
∴
所求面SCD与面SBA所成二面角的正切值是22
【练习2】已知点E、F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1、 CC1上的点, 且 BE1=2EB, CF=2FC1 .
(1) 求面AEF与面ABC所成二面角的正切值 .
【练习3】如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面是边长为2的菱形, ∠ABC=60O , PA⊥底面ABCD,PA=2, M,N分别为PC,BC的中点.
=
3 3
由条件知,二面角A-CD-E为锐角，∴
所求二面角的余弦值为
3 3
【练习1】如下图, 在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,
∠ABC=90O
,
SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1,
AD=
1 2
.

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利用向量法求二面角的两种方法
(1) 若AB,CD分别是两个平面α,β内与棱 l垂直的异面直线, 则两个平面的夹角的大小就是向量 AB 与 CD 的夹角, 如图①. (2) 设n1, n2分别是平面α,β的法向量 , 则向量n1与n2的夹角 ( 或其补角) 就是两个平面夹角的大小, 如图②
第七章空间中的向量方法
第八章第七讲立体几何中的向量方法
第3课时利用向量知识求空间二面角
第七章空间中的向量方法
掌握利用向量方法解决面面的夹角的求法．重点：二面角与向量夹角的关系．难点：如何用直线的方向向量和平面的法向量来表达线面角和二面角．
第七章空间中的向量方法
知识点：二面角温故知新 1．回顾复习二面角及其平面角的定义，求法．思维导航 2．怎样用空间向量来求二面角的大小？
? 1 ＝－ 1 . 3? 3 3
故所求两平面所成角的余弦值为 1.
3
第七章空间中的向量方法
练习：如图所示，四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面 ABCD，PD＝AB＝2，E，F，G 分别为PC，PD，BC的中点． (1)求证：PA⊥EF. (2)求二面角 D-FG-E 的余弦值．
则 PA EF ＝1×0＋0×2＋( －2) ×0＝0，所以PA⊥EF.
第七章空间中的向量方法
(2) 易知 DF ＝(0 ，0，1) ， EF＝(1 ，0，0) ， FG＝ ( －2，1，－1) ，设平面DFG的法向量 m＝(x 1，y1，z 1) ，
则
??m DF ? 0，
? ?m
FG
?
0，
第七章空间中的向量方法
3．用向量方法求二面角平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向
量大为小为n2，φ，<n则1，|cons2φ>|＝＝_θ_，|c_o_则s_θ_二|__面__角＝α_－_||n_ln－1_1|··_n|nβ_22为|_| _θ_或_．π－θ．设二面角
第七章空间中的向量方法
例题讲解：正方体 ABEF-DCE′F′中 , M,N分别为 AC,BF 的中点 (如图 ),求平面 MNA 与平面 MNB 所成角的余弦值 .
第七章空间中的向量方法
【解析】方法一：设正方体棱长为 1. 以B为坐标原点， BA，BE，BC所在直线分别为 x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系 B-xyz ，则A(1 ，0，0) ，B(0 ，0， 0) ．取MN的中点 G，连接 BG，AG，则 G( 1，1，1)．因为△AMN，△BMN为等腰三角形， 2 4 4 所以AG⊥MN，BG⊥MN.所以∠AGB为二面角的平面角或其补角．
因为 GA＝( 1，－ 1，－ 1 )，
244
GB＝(－ 1，－ 1，－ 1 )， 244
所以
cos〈GA，GB〉＝
GA GA
GB GB
＝?
1
8 ＝－1 .
3? 3
3
88
第七章空间中的向量方法
故所求两平面所成角的余弦值为 1 .
3
方法二：设平面AMN的法向量n1＝(x ，y，z) ．
AM＝(－ 1，0，1 )，AN＝(－ 1，1，0．)
22
22
??AM n1 ? 0，
? ? AN
n1
?
0，
? ??
?
1 2
x
?
1 2
z
?
0，
?
? ?
பைடு நூலகம்
?
1 2
x
?
1 2
y
?
0.
令x＝1，解得y＝1，z ＝1，
所以n1＝(1 ，1，1) ．同理可求得平面BMN的一个法向量
n2＝(1 ，－1，－1) ．
所以
cos 〈n1，n2〉=
n1 n2 ＝ n1 n2
解得
?z1 ? 0，
? ?
?
2x1
?
y1
?
z1
?
0.
令x1＝1，得m＝(1 ，2，0) 是平面DFG的一个法向量．
第七章空间中的向量方法
设平面EFG的法向量n＝(x 2，y2，z 2) ，
同理可得n＝(0 ，1，1) 是平面EFG的一个法向量．
因为cos
〈m，n〉＝
|
m m|
n |n
＝ |
2 5
＝ 2
2＝ 10
10 ， 5
设二面角D-FG-E 的平面角为θ，由图可知θ＝π－〈 m，
n〉，
所以cos θ＝－ 10，
5
所以二面角D-FG-E 的余弦值为－
.150 ，
第七章空间中的向量方法
课后训练： (1)在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为 (0,-1,3), (2,2,4), 则这个二面角的余弦值为( )
第七章空间中的向量方法
A. 15 6
B．－ 15 6
C. 15 3
D．以上都不对
(2)PA ⊥平面ABC，AC⊥BC，PA ＝AC＝1，BC＝2. 求二面角A-PB-C的余弦值．
第七章空间中的向量方法
课堂小结：利用空间向量求二面角的方法 (1) 若AB,CD分别是两个平面α,β内与棱 l垂直的异面直线, 则两个平面的夹角的大小就是向量 AB与 CD 的夹角。。。。 (2) 设n1, n2分别是平面α,β的法向量 , 则向量n1与n2的夹角 ( 或其补角) 就是两个平面夹角的大小。
第七章空间中的向量方法
【解析】以D为坐标原点, 建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz,D(0,0,0),A(0,2,0),C(-2,0,0),P(0,0,2),E(-1,0,1), F(0,0,1),G(-2,1,0).
(1) 证明：由于 PA ＝(0 ，2，－2) ， EF ＝(1 ，0，0) ，