2018届河北衡水中学高三数学理科复习模拟系列七-出神入化4 答案
（3） X 可能的取值为 0,1,2
C 2, 2,0 ， P 0,0, 2 ， M 0,1,1 .
1
因为点 N 是线段 CD 上一点，可设 DN DC 1, 2, 0 ，
117 （提示：独立重复事件的概率） ； 125
4 ． 15
2
a b c d a c b d
n ad bc
90 25 30 15 20 50 40 45 45
2
4.5 6.635
cos PMA cos AMB 0 ，
Байду номын сангаас
AN AD DN 1, 0, 0 1, 2, 0 1 , 2 , 0 MN AN AM 1 , 2 , 0 0,1,1 1 , 2 1, 1
2
2
m
2
1 24 1 6k 2 m 2 0 ，所以 m 2 1+6k 2 .
1 , 2 1, 1 1, 0, 0 2 2 1 2 1 1
1 5 2 3
2
1 5 1 12 1 10
1-6CACDBBA,7-12CDACA
13： 19 14： 12 15： 2, 16.
P ( X 0) 3 5 X P
2 1 1 2 C13 C2 C13 26 C2 78 26 1 ; P ( X 1) ; P ( X 2) 2 2 2 C15 105 35 C15 105 C15 105
MN 1 k x1 x2 1 k
2
2
x1 x2
2
4 x1 x2 1 k
2
5
所以当
1 12 1 10 1 1
18. 答案： （1）没有 99%以上的把握认为“分数与性别有关”； （2） （3）分布列见解析，期望为 解： （1）由于 K
2
1 BC AD ， 2
所以四边形 AMKD 为平行四边形，所以 AM / / DK ， 又因为 DK 平面 PDC ， AM 平面 PDC ， 所以 AM / / 平面 PCD . （2）因为 M 为 PB 的中点，设 PM MB x 在 PAB 中 ， PMA AMB ， 设 PMA ， 则 AMB ， 所 以
设 MN 与平面 PAB 所成角为 . 则 sin
x2 y 2 1 得 1 6k 2 x 2 12kmx 6 m 2 1 0 . 代入椭圆方程 6
，又面 PAB 的法向量为 1,0,0 ， 因为 12km 24 1 6k
0
1
2
17. 答案： （1） 0,
2 （2） 3, 4 . , , ； 6 3 5 5 2 sin 2 x ，整体法求出单调递增区间为 0, , , ； 3 6 6 6 3
2
6 m 2 1 12km 设 M x1 , y1 ， N x2 , y2 ，根据根与系数的关系得 x1 x2 ， x1 x2 . 1 6k 2 1 6k 2
则
2 2 12km 24 m 1 . 2 1 6k 2 1 6k
PM 2 AM 2 PA2 BM 2 AM 2 AB 2 由余弦定理得 0 2 PM AM 2 BM AM
即
故没有 99%以上的把握认为“分数与性别有关”． （2）由题意可得，一名男生测试分数在 120 以上的概率为 概率为
30 2 ，记事件 A :这三人中至少有一人分数在 120 以上的概率,且各人意愿相互独立 30 20 5 2 2 2 117 则 P A 1 P A 1 5 5 5 125 117 答：这三人中至少有一人分数在 120 以上的概率为 ． 125
（2）易得 C
a 2 b2 c 2 2a 2 2b2 ab b a 2 1 ， ，则由余弦定理可得 2 2 2 3 a b c ab a b
2 sin A b sin B 3 1 1 a 2 b2 c2 3 , 2 ，所以 2 3, 4 由正弦定理可得 a b2 c2 a sin A sin A 2 tan A 2 2
30 3 ,测试分数在 120 分以下的 30 20 5
x2 2 4 x2 2 4 0 ， 所 以 x 2 ， 则 PB 2 2 ， 所 以 PA2 AB 2 PB 2 ， 所 以 4x 4x
PA AB ， PA AD ， AP AB 且 AB AD A ，所以 PA 平面 ABCD ，且 BAD ABC 90 ，
解： （1）易得 f x
26 26 1 35 105 105 26 26 1 28 4 E( X ) 0 1 2 35 105 105 105 15
19. 解（1）取 PC 中点 K ，连接 MK , KD 因为 M 为 PB 的中点，所以 MK / / DC 且 MK
河北省衡水第一中学2018届高三三轮复习系列七出神入化4数学(理)试题Word版含详细答案
17-18衡水中学高三数学三轮复习（理科）出神入化（四）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{|23}M x x =-<<，2{|1,}N y y x x R ==+∈，则集合MN =（ ）A ．(2,)-+∞B ．(2,3)-C ．[1,3)D ．R 2.复数12iz i+=（i 是虚数单位）的虚部为（ ） A ．1- B ．i - C ．2i D ．23.已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，2a ，3a 成等比数列，则23a a +的值为（ ） A ．6- B ．8- C ．10- D ．12-4.某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）A ．56B ．60C ．120D ．140 5.2321(2)x x+-展开式中的常数项为（ ） A ．20 B ．20- C ．12- D ．8- 6.直线0x y m -+=与圆22210x y x +--=有两个不同交点的一个必要不充分条件是（ ）A ．01m <<B ．1m <C ．40m -<<D ．31m -<< 7.我国古代数学名著《九章算术》中的更相减损法的思想与下面的程序框图相似.执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a 等于（ ）A ．2B ．4C ．6D ．88.设1F ，2F 分别为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线某条渐近线于M 、N 两点，且满足：120MAN ∠=，则该双曲线的离心率为（ ）A ．73 B C ．3 D 9.定义在R 上的可导函数()f x ，其导函数记为()'f x ，满足()()()221f x f x x +-=-，且当1x ≤时，恒有()'2f x x +<.若()()3132f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞B ．1,13⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．[)1,+∞D ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦10.已知向量(3,1)OA =，(1,3)OB =-，(0,0)OC mOA nOB m n =->>，若[1,2]m n +∈，则||OC 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 11.已知定义在R 上的函数2()(0)xf x e mx m m =+->，当121x x +=时，不等式12()(0)()(1)f x f f x f +>+恒成立，则实数1x 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞B ．1(0,)2 C ．1(,1)2D ．(1,)+∞12.已知矩形ABCD 中，6AB =，4BC =，E ，F 分别是AB ，CD 上两动点，且AE DF =，把四边形BCFE 沿EF 折起，使平面BCFE ⊥平面ABCD ，若折得的几何体的体积最大，则该几何体外接球的体积为（ ） A ．28π B．3 C ．32π D．3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设某总体是由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为 ．1818 0792 4544 1716 5809 7983 8619...............第1行 6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238 (2)14.已知定义在R 上的函数()f x 与()g x ，若函数()f x 为偶函数，函数()g x 为奇函数，且()06af x dx =⎰，则()()2aa f x g x dx -+=⎡⎤⎣⎦⎰ ． 15.已知点(),P x y 满足10100x y x y x -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，2628x y y x +-+-+的取值范围是 ．16.已知数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足11b =，且对任意*n N ∈都有124n n S b +=-，函数()()21,0121,1x x f x f x x ⎧-≤<⎪=⎨-≥⎪⎩，方程()13f x =的根从小到大组成数列{}n a ，则121nn a b +-的取值范围是 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知函数()22sin cos 2cos f x a x x b x c =++()0,0a b >>，满足02f π⎛⎫=⎪⎝⎭，且当[]0,x π∈时，()f x 在6x π=取得最大值为52. （1）求函数()f x 在[]0,x π∈的单调递增区间；（2）在锐角ABC ∆的三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()32f C =，求222222a b c a b c +++-的取值范围.18.为及时了解男生和女生分别对高考数学试题接受程度，四川省招生考试办公室随机测试了90位成都七中高三学生，得到情况如下表：（1）判断是否有99%以上的把握认为“分数与性别有关”，并说明理由；（2）现把以上频率当作概率，若从成都七中全校学生中随机独立抽取三位男生测试，求这三人中至少有一人测评分数在120以上的概率.（3）已知15位测试分数在120以上得女生来自高三12班或14班，省招生考试办公室打算从这15位试分数在120以上得女生随机邀请两位来参加座谈，设邀请的2人中来自12班的人数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X .附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++19.如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90ABC PAD ∠=∠=，2PA AB BC ===，90ABC ∠=，1AD =，M 是棱PB 中点且AM =（1）求证：//AM 平面PCD ；（2）设点N 是线段CD 上一动点，且DN DC λ=，当直线MN 与平面PAB 所成的角最大时，求λ的值.20.已知双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数. （1）求椭圆C 的方程；（2）设动点M ，N 在椭圆C 上，且MN =MN 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值. 21.已知函数()ln xf x ax b x=-+在点()(),e f e 处的切线方程为2y ax e =-+. （1）求实数b 的值；（2）若存在20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，满足()014f x e ≤+，求实数a 的取值范围. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的普通方程为20x y --=，曲线C 的参数方程为2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点. （1）求线段AB 的长；（2）已知点P 在曲线C 上运动，当PAB ∆的面积最大时，求点P 的坐标及PAB ∆的最大面积.23.选修4-5：不等式选讲（1）已知1a b c ++=，证明：()()()222161113a b c +++++≥； （2）若对任意实数x ，不等式212x a x -+-≥恒成立，求实数a 的取值范围. 24.设函数()1ln xf x x e-=-，()()211g x a x x=--. （1）判断函数()y f x =零点的个数，并说明理由；（2）记()()()x xe exh x g x f x xe -=-+，讨论()h x 的单调性；（3）若()()f x g x <在()1,+∞恒成立，求实数a 的取值范围.25.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，直线y x =交椭圆C 于A 、B 两点，椭圆C 的右顶点为P ，且满足4PA PB +=. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线(0,0)y kx m k m =+≠≠与椭圆C 交于不同两点M 、N ，且定点10,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭满足MQ NQ =，求实数m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CACDB 6-10: BACDA 11、12：CA 二、填空题13. 19 14. 12 15. [)2,+∞ 16. 35三、解答题 17.答案：（1）0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）[)3,4. 解：（1）易得()55sin 2366f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，整体法求出单调递增区间为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （2）易得3C π=，则由余弦定理可得2222222222a b c a b ab a b c ab +++-=+-21b a a b ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 由正弦定理可得2sin sin 3sin sin A b B a A A π⎛⎫- ⎪⎝⎭==11,222⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，所以[)2222223,4a b c a b c ++∈+-.18.答案：（1）没有99%以上的把握认为“分数与性别有关”；（2）117125（提示：独立重复事件的概率）；（3）分布列见解析，期望为415. 解：（1）由于22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++290(25301520) 4.5 6.63550404545⨯-⨯==<⨯⨯⨯， 故没有99%以上的把握认为“分数与性别有关”. （2）由题意可得，一名男生测试分数在120以上的概率为30330205=+，测试分数在120分以下的概率为20230205=+，记事件A ：这三人中至少有一人分数在120以上的概率，且各人意愿相互独立，则()()22211711555125P A P A =-=-⋅⋅=.答：这三人中至少有一人分数在120以上的概率为117125.（3）X 可能的取值为0，1，2，2132157826(0)10535C P X C ====；1121321526(1)105C C P X C ===；222151(2)105C P X C ===.()01235105105E X =⨯+⨯+⨯10515==. 19.解：（1）取PC 中点K ，连接MK ，KD ， 因为M 为PB 的中点，所以//MK DC 且12MK BC AD ==， 所以四边形AMKD 为平行四边形，所以//AM DK ， 又因为DK ⊂平面PDC ，AM ⊄平面PDC ， 所以//AM 平面PCD .（2）因为M 为PB 的中点，设PM MB x ==，在PAB ∆中，∵PMA AMB π∠+∠=，设PMA θ∠=，则AMB πθ∠=-，所以cos cos 0PMA AMB ∠+∠=，由余弦定理得222222022PM AM PA BM AM AB PM AM BM AM+-+-+=⋅⋅， 即222424044x x x x +-+-+=，所以x =PB =222PA AB PB +=，所以PA AB ⊥，∵PA AD ⊥，AP AB ⊥且ABAD A =，所以PA ⊥平面ABCD ，且90BAD ABC ∠=∠=，以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0D ，()0,2,0B ，()2,2,0C ，()0,0,2P ，()0,1,1M ，因为点N 是线段CD 上一点，可设()1,2,0DN DC λλ==，()()()()()()1,0,01,2,01,2,01,2,00,1,11,21,1AN AD DN MN AN AM λλλλλλλ⎧=+=+=+⎪⎨=-=+-=+--⎪⎩，又面PAB 的法向量为()1,0,0，设MN 与平面PAB 所成角为θ，则sin θ=====，所以当1315λ=+时，即533λ=+，23λ=时，sin θ取得最大值. 所以MN 与平面PAB 所称的角最大时23λ=.20.解：（1）双曲线2215x y -=的焦点坐标为()因为双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221(0)x ya b a b+=>>的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以a ==，解得1b =. 故椭圆C 的方程为2216x y +=. （2）因为2MN =>，所以直线MN 的斜率存在. 因为直线MN 在y 轴上的截距为m ，所以可设直线MN 的方程为y kx m =+.代入椭圆方程2216x y +=得()()2221612610k x kmx m +++-=. 因为()()()2221224161km km∆=-+-()2224160k m =+->，所以2216m k <+.设()11,M x y ，()22,N x y ，根据根与系数的关系得1221216kmx x k -+=+，()21226116m x x k -=+.则12MN x =-==因为3MN =3=整理得 ()42221839791k k m k -++=+. 令211k t +=≥，则21k t =-.所以221875509t t m t -+-=15075189t t ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦75230593-⨯≤=. 等号成立的条件是53t =，此时223k =，253m =满足2216m k <+，符合题意.故m 的最大值21.解：（1）函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞，因为()ln xf x ax b x =-+，所以()2ln 1'ln x f x a x-=-. 所以函数()f x 在点()(),e f e 处的切线方程为y e ae b ax e --+=--，即y ax e b =-++. 已知函数()f x 在点()(),e f e 处的切线方程为2y ax e =-+，比较求得b e =.所以实数b 的值为e . （2）由()014f x e ≤+，即0001l n 4x a x e e x -+≤+.所以问题转化为11ln 4a x x ≥-在2,e e ⎡⎤⎣⎦上有解. 令()11ln 4h x x x=-，2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，则 ()2222211ln 4'4ln 4ln x xh x x x x xx-=-=(22ln ln 4ln x x x x +-=.令()ln p x x =-，所以当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有()1'0p xx ==<.所以函数()p x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，所以()()ln 0p x p e e <=-<. 所以()'0h x <，即()h x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减.所以()()22221111ln 424h x h e e e e ≥=-=-. 所以实数a 的取值范围为211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 22.解：（1）曲线C 的普通方程为221124x y +=. 将直线20x y --=代入221124x y +=中消去y 得，230x x -=，解得0x =或3x =.所以点()0,2A -，()3,1B ，所以AB ==（2）在曲线C 上求一点P ，使PAB ∆的面积最大，则点P 到直线l 的距离最大. 设过点P 且与直线l 平行的直线方程y x b =+.将y x b =+代入221124x y +=整理得，()2246340x bx b ++-=. 令()()22644340b b ∆=-⨯⨯-=，解得4b =±.将4b =±代入方程()2246340x bx b ++-=，解得3x =±.易知当点P 的坐标为()3,1-时，PAB ∆的面积最大.且点()3,1P -到直线l 的距离为d ==PAB ∆的最大面积为192S AB d =⨯⨯=. 23.解：（1）证明：因为1a b c ++=，所以()()()222111a b c +++++()22223a b c a b c =++++++2225a b c =+++.所以要证明()()()222161113a b c +++++≥，即证明22213a b c ++≥. 因为()()22222a b c a b c ab bc ca ++=++-++()()22222a b c a b c ≥++-++，所以()()22223a b ca b c ++≥++.因为1a b c ++=，所以22213a b c ++≥.所以()()()222161113a b c +++++≥. （2）设()21f x x a x =-+-.则“对任意实数x ，不等式212x a x -+-≥恒成立”等价于“()min 2f x ≥⎡⎤⎣⎦”.当12a <时，()31,11,2131,2x a x a f x x a a x x a x ⎧⎪-++<⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪-->⎪⎩，此时()min 1122f x f a ⎛⎫==-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， 要使212x a x -+-≥恒成立，必须122a -≥，解得32a ≤-. 当12a =时，1223x -≥不可能恒成立. 当12a >时，()131,211,231,x a x f x x a x a x a x a ⎧-++<⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩，此时()min 1122f x f a ⎛⎫==-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， 要使212x a x -+-≥恒成立，必须122a -≥，解得52a ≥. 综上可知，实数a 的取值为35,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 24.【解析】（1）由题意知0x >，∴()1'0xef x x x =+>， 故()f x 在()0,+∞单调递减，又()11f =-，()1110ee ef e ee-=-=->， 因此函数()y f x =在()1,e 内存在零点，所以()y f x =的零点的个数为1. （2）()()21111ln x x eh x a x x e x x e-=---++-2ln ax a x =--， ()2121'2(0)ax h x ax x x x-=-=>，当0a ≤时，()'0h x <，()h x 在()0,+∞上单调递减；当0a >时，由()'0h x =，解得x =， 所以x ⎛∈ ⎝时，()'0h x <，()h x 单调递减，x ⎫∈+∞⎪⎭时，()'0h x >，()h x 单调递增.综上0a ≤时，()h x 在()0,+∞单调递减，0a >时，()h x 在⎛ ⎝单调递减，在⎫+∞⎪⎭单调递增. （3）由题意：()21ln 1x e x a x e x -<--，问题等价于()211ln xe a x x x e -->-在()1,+∞恒成立，设()1x x xe e ex k x x e xe-=-=，若记()1x k x e ex =-，则()1'xk x e e =-， 当1x >时，()1'0k x >，()1k x 在()1,+∞单调递增，()()1110k x k >=，即()0k x >，若0a ≤，由于1x >，故()21ln 0a x x --<，故()()f x g x <，即当()()f x g x <在()1,+∞恒成立时，必有0a >.当0a >时，设()()21ln h x a x x =--，1>，则102a <<时，由（2）知x ⎛∈ ⎝，()h x 单调递减，x ⎫∈+∞⎪⎭，()h x 单调递增， 因此()10h h <=，而0k >，即存在1x =>，使()()f x g x <， 故当102a <<时，()()f x g x <不恒成立.1≤，即12a ≥时，设()()211ln xes x a x x x e=---+，()211'2x e s x ax x x e =-+-， 由于2ax x ≥且()10x k x e ex =->，即1x e e x <，故1x e e x->-，因此()22211121'x x s x x x x x x -+>-+-=()22221210x x x x x--+>=>， 故()s x 在()1,+∞单调递增. 所以()()10s x s >=时，即12a ≥时，()()f x g x <在()1,+∞恒成立. 综上：1,2a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()()f x g x <在()1,+∞恒成立.25.【答案】（1）2214x y +=；（2）166m <<.【解析】试题分析：（1）根据224PA PB PO a +===可求得2a =，再由离心率可得c ，于是可求得b ，进而得到椭圆的方程.（2）结合直线和椭圆的位置关系求解.将直线方程和椭圆方程联立消元后得到二次方程，由判别式大于零可得2241k m >-，结合MQ NQ =可得2614m k -=，从而得到关于m 的不等式组，解不等式组可得所求范围. 试题解析：（1）∵224PA PB PO a +===， ∴2a =，又2c a =，∴c = ∴2221b a c =-=，∴椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()222418440k x kmx m +++-=， ∵直线与椭圆交于不同的两点M 、N ，∴()()222264441440k m k m ∆=-+->，整理得2241k m >-. 设()11,M x y ，()22,N x y ， 则122841kmx x k -+=+，又设MN 中点D 的坐标为(),D D x y ，∴1224241D x x km x k +-==+，22244141D D k m my kx m m k k -=+=+=++. ∵MQ NQ =，∴DQ MN ⊥，即112D D y x k+=-， ∴2614m k -=， ∴2610611m m m ->⎧⎨->-⎩，解得166m <<. ∴实数m 的取值范围1,66⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
2018衡水中学高三七调理科数学试题及答案
2019-2018学年度上学期高三年级七调考试数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{|||2}A x x =<，{|}B x x a =>，全集U R =，若UA B ⊆，则有（ ）A ．0a =B ．2a ≤C ．2a ≥D ．2a < 2.若复数z 满意341z i +-=（i 为虚数单位），则z 的虚部是（ ） A ．-2 B ．4 C ．4i D ．-43.已知1，1a ，2a ，4成等差数列，1，1b ，2b ，3b ，4成等比数列，则122a ab +的值是（ ）A ．52B ．52- C ． 52或52- D ．124.如图，5个(,)x y 数据，去掉(3,10)D 后，下列说法错误的是（ ） A ．相关系数r 变大 B ．残差平方和变大C.相关指数2R 变大 D ．说明变量x 与预报变量y 的相关性变强5.已知1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使1290F PF ︒∠=，则该椭圆的离心率e 的取值范围为（ ） A．(0,2B．2C. D． 6.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(0,0,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，1(,1,0)2，绘制该四面体的三视图时，依据如下图所示的方向画正视图，则得到的侧（左）视图可以为（ ）A ．B ． C.D ．7.函数1()sin(ln)1x f x x -=+的图像大致为（ ） A ． B ．C. D ．8.更相减损术是中国古代数学专著《九章算术》中的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不行半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.”下图是该算法的程序框图，若输入102a =，238b =，则输出a 的值是（ ） A ． 68 B ．17 C.34 D ．369.已知e 为自然对数的底数，若对随意的1[,1]x e∈，总存在唯一的(0,)y ∈+∞，使得ln ln 1y yx x a y+++=成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞B ．(,0]-∞ C. 2(,]e eD ．(,1]-∞- 10.电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，须要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：电视台每周支配的甲、乙连续剧的总播放时长不多于600min ，广告的总播放时长不少于30min ，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用x ，y 表示每周支配播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为（ ）A ．6，3B ．5，2 C. 4，5 D ．2，7 11.已知在正四面体ABCD 中，M 是棱AD 的中点，O 是点A 在底面BCD 内的射影，则异面直线BM 与AO 所成角的余弦值为（ ）A ．6B ．3C.4D ．512.已知(sin ,sin )2a x x ωω=，1(sin ,)22b x ω=，其中0ω>，若函数1()2f x a b =⋅-在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是（ ） A ．1(0,]8 B ． 5(0,]8 C. 15(0,][,1]88⋃D ．115(0,][,]848⋃二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.如图，在半径为2的扇形AOB 中，90AOB ︒∠=，P 为弧AB 上的一点，若2OP OA ⋅=，则OP AB ⋅的值为 ．14.若从区间(0,)e （e 为自然对数的底数， 2.71828e =）内随机选取两个数，则这两个数之积小于e 的概率为 ．15.已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列四个论断中正确的是 ．（把你认为是正确论断的序号都写上） ①若sin cos A B a b =，则4B π=； ②若4B π=，2b =，a =③若a ，b ，c 成等差数列，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，则ABC 为正三角形；④若5a =，2c =，ABC 的面积4ABCS=，则3cos 5B =. 16.设椭圆C 的两个焦点是1F ，2F ，过点1F 的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，若212||||PF F F =，且115||6||PF FQ =，则椭圆C 的离心率为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满意*231()n n S a n N =-∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列21{}nn a -的前n 项和n T . 18.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是梯形，//AD BC ，侧面11ABB A 为菱形，1DAB DAA ∠=∠. （1）求证：1A B AD ⊥.（2）若2AD AB BC ==，160A AB ︒∠=，D 在平面11ABB A 内的射影恰为线段1A B 的中点，求平面11DCC D 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.19.某保险公司针对企业职工推出一款意外保险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元. 保险公司把职工从事的全部岗位共分为A ，B ，C 三类工种，依据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）.（1）依据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，试分别确定各类工种每份保单保费的上限；（2）某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图所示，老板打算为全体职工购置此种保险，并以（1）中计算的各类保险上限购置，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润.20.，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点1F ，2F 为顶点的三角形的周长为1).一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且双曲线的实轴长等于虚轴长，设P 为该双曲线上异于顶点的随意一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A ，B 和C ，D ，且点,A C 在x 轴的同一侧.（1）求椭圆和双曲线的标准方程；（2）是否存在题设中的点P ，使得3||||||||4AB CD AB CD +=⋅若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.21. 已知函数1()x f x e a -=+，函数()ln g x ax x =+，a R ∈. （1）求函数()y g x =的单调区间；（2）若不等式()()1f x g x ≥+在区间[1,)+∞内恒成立，务实数a 的取值范围；（3）若(1,)x ∈+∞，求证不等式12ln 1x e x x -->-+成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为(1,0)，若直线l 的极坐标方程为cos()104πθ+-=，曲线C 的参数方程是244x m y m⎧=⎨=⎩，(m 为参数). （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的一般方程； （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11||||MA MB +. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数2()4f x x ax =++，()|1||1|g x x x =++-. （1）求不等式()3g x ≥的解集；（2）若2[2,2]x ∀∈-，1[2,2]x ∃∈-，使得不等式12()()f x g x ≤成立，务实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CBABB 6-10:BBCBA 11、12：BD 二、填空题 13.2-+ 14.2e15. ①③ 16.911三、解答题17.解：（1）当1n =时，11231S a =-，所以11a =； 当2n ≥时，11231n n S a --=-，则1122233n n n n n a S S a a --=-=-，即13n n a a -=.又因为11a =，所以数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，所以1*3()n n a n N -=∈. （2）由（1）得121213n n n n a ---=，所以122135232113333n n n n n T ----=+++++， ① ②-①，得221222212323333n n n n T ---=+++++-111112122332613313n n n n n -----+=+⨯-=--， 所以*113()3n n n T n N -+=-∈. 18.（1）证明：如图，连接1AB ，1A D ，BD ，设1AB 交1A B 于点O ，连接OD .由AD AD =，1AA AB =，1DAB DAA ∠=∠，得1AA D ABD ≅，所以1A D BD =.又O 是线段1A B 的中点，所以1OD A B ⊥，又依据菱形的性质得1AO A B ⊥，且AO OD O ⋂=，所以1A B ⊥平面ADO ，从而1A B AD ⊥.（2）解：由题意知DO ⊥平面11ABB A ，又11AO A B ⊥，即1OB OB ⊥，所以OB ，1OB ，OD 两两垂直. 以OB ，1OB ，OD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示.设22AD AB BC a ===，由160A AB ︒∠=，可知OB a =，1OA OB ==， 所以OD a ==，从而(0,,0)A，(,0,0)B a ，1,0)B ，(0,0,)D a .所以11(,0)CC BB a ==-.由12BC AD =，得1(,)2C a a ，所以1(,)2DC a a =-.设平面11DCC D 的法向量为000(,,)m x y z =，由100m CC m DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得000000102ax ax az ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩， 令01y =，则0x =，0z =(3,1,3m =.又平面11ABB A 的一个法向量为(0,0,)OD a =，所以33cos ,31||||31OD m a OD m OD m a⋅〈〉===.故平面11DCC D 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值为31. 19.解：（1）设工种A 的每份保单保费为a 元，保险公司每单的收益为随机变量X 元，则X 的分布列为 保险公司的期望收益为45511()(1)(5010)51010E X a a a =-+-⨯⨯=-（元）. 由题意得50.2a a -≤，解得 6.25a ≤(元).设工种B 的每份保单保费为b 元，赔付金期望值为45501021010⨯⨯=（元），则保险公司的期望利润为(10)b -元. 由题意得100.2b b -≤，解得12.5b ≤（元）.设工种C 的每份保单保费为c 元，赔付金期望值为4450105010⨯=（元）， 则保险公司的期望利润为(50)c -元. 由题意得500.2c c -≤，解得62.5c ≤（元）.综上，工种,,A B C 的每份保单保费的上限分别为6.25元，12.5元，62.5元.（2）购置A类产品的份数为2000060%12000⨯=（份），购置B类产品的份数为2000030%6000⨯=（份），购置C类产品的份数为2000010%2000⨯=（份），企业支付的总保费为12000 6.25600012.5200062.5275000⨯+⨯+⨯=（元），保险公司在这宗交易中的期望利润为27500020%55000⨯=（元）.20.解：（1）由题意知，椭圆离心率2cea==，即a=，又221)a c+=，所以a=2c=，所以2224b a c=-=，所以椭圆的标准方程为22184x y+=.所以椭圆的焦点坐标为(2,0)±，又双曲线为等轴双曲线，且顶点是该圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为22144x y-=.（2）设000(,)(2)P x y x≠±，则102PFykx=+，22PFykx=-，因为点P在双曲线22144x y-=上，所以121PF PFk k⋅=.设11(,)A x y，22(,)B x y，直线1PF的方程为(2)y k x=+，所以直线2PF的方程为1(2)y xk=-，联立22184(2)x yy k x⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2222(21)8880k x k x k+++-=，所以2122821kx xk+=-+，21228821kx xk-⋅=-+，所以||AB ===.同理可得221()]||12()1k CD k +=+221)2k k +=+. 由题知124||||||||cos ()3AB CD AB CD F PF θθ+=⋅⋅=∠，即411cos ()3||||CD AB θ=+=2432=. 因为1212||||cos PF PF PF PF θ⋅=， 即0000(2)(2)()()x x yy ---+--=2，又因为22004x y -=，所以202(4)2x-==2=208x =，204y =.即存在满意题意的点P ，且点P 的坐标为(2)±±.21.（1）解：函数()g x 的定义域为(0,)+∞， 因为()ln g x ax x =+，a R ∈，所以11()ax g x a xx+'=+=. 当0a ≥时，()0g x '>在区间(0,)+∞内恒成立，所以函数()g x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间； 当0a <时，令()0g x '>，得10x a<<-，令()0g x '<，得1x a>-，所以函数()g x 的单调递增区间为1(0,)a-，单调递减区间为1(,)a-+∞. （2）解：()()1f x g x ≥+在区间[1,)+∞内恒成立，即1ln 10x e x a ax --+--≤在区间[1,)+∞内恒成立. 设1()ln 1x F x e x a ax -=-+--，则(1)0F =，11x F e a x-'=--在区间[1,)+∞内单调递增，所以()(1)F x F a '≥'=-. 当0a ≤时，()0F x '≥，()F x 在区间[1,)+∞内为增函数，所以()(1)0F x F ≥=恒成立；当0a >时，(1)0F '<，因为()F x '在区间[1,)+∞内单调递增，所以0(1,)x ∃∈+∞，在区间0(1,)x 内，有()0F x '<，所以()F x 在区间0(1,)x 内单调递减，所以()(1)0F x F <=，这时不合题意. 综上所述，实数a 的取值范围为(,0]-∞.（3）证明：要证明在区间(1,)+∞内，12ln 1x e x x -->-+，只需证明1(ln 1)(ln )0x e x x x ---+->，由（2）知，当0a =时，在区间(1,)+∞内，有1ln 10x e x --->恒成立. 令()ln G x x x =-，在区间(1,)+∞内，11()10x G x x x-'=-=>， 所以函数()G x 在区间(1,)+∞内单调递增，所以()(1)10G x G >=>，即ln 0x x ->.所以1(ln 1)(ln )0x e x x x ---+->，所以原不等式成立.22.解：（1cos()104πθ+-=，得cos sin 10ρθρθ--=， 令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =，所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的一般方程为24y x =.（2）点M 的直角坐标为(1,0)，点M 在直线l 上.设直线l的参数方程为12xy⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t为参数），代入24y x=，得280t--=.设点,A B对应的参数分别为1t，2t，则12t t+=128t t=-，所以1212||11||||||t tMA MB t t-+==2218==.23.解：（1）()3g x≥，即|1||1|3x x++-≥，此不等式等价于1(1)(1)3xx x≤-⎧⎨-+--≥⎩或11(1)(1)3xx x-<<⎧⎨+--≥⎩或1113xx x≥⎧⎨++-≥⎩，解得32x≤-或32x≥，所以()3g x≥的解集为3{|2x x≤-或3}2x≥.（2）因为2[2,2]x∀∈-，1[2,2]x∃∈-，使得12()()f xg x≤成立，所以()()([2,2])min minf xg x x≤∈-.又()2ming x=，所以()2([2,2])minf x x≤∈-.当22a-≤-，即4a≥时，()(2)424822minf x f a a=-=-+=-≤，解得3a≥，所以4a≥；当22a-≥，即4a≤-时，()(2)424822minf x f a a==++=+≤，解得3a≤-，所以4a≤-；当222a-<-<，即44a-<<时，22()()42242mina a af x f=-=-+≤，解得a≥或a≤-，所以4a-<≤-4a≤<.综上，实数a的取值范围为(,)-∞-⋃+∞.。
河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试数学(理)试题(含答案解析)
2017-2018学年度上学期高三年级七调考试数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{|||2}A x x =<，{|}B x x a =>，全集U =R ，若UA B ⊆，则有（ ）A. 0a =B. 2a ≤C. 2a ≥D. 2a <【答案】C 【解析】(){}2,2,U A C B x a =-=≤,所以2a ≤,故选C.2. 若复数z 满足341z i +-=（i 为虚数单位），则z 的虚部是（ ） A. -2B. 4C. 4iD. -4【答案】B 【解析】24i z =-+,虚部为4,故选B.3. 已知1，1a ，2a ，4成等差数列，1，1b ，2b ，3b ，4成等比数列，则122a ab +的值是（ ） A .52B. 52-C.52或52- D.12【答案】A 【解析】依题意可知21222145,144,2a a b b +=+==⨯==,所以12252a ab +=. 4. 如图所示，5组数据(),x y 中去掉()3,10D 后，下列说法错误的是( )A. 残差平方和变大B. 相关系数r 变大C. 相关指数2R 变大D. 解释变量x 与预报变量y 的相关性变强【答案】A 【解析】 【分析】由散点图知，去掉(3,10)D 后，y 与x 的线性相关加强，由相关系数r ，相关指数2R 及残差平方和与相关性的关系得出选项．【详解】解：由散点图知，去掉(3,10)D 后，y 与x 的线性相关加强，且为正相关， 所以r 变大，2R 变大，残差平方和变小． 故选A ．【点睛】本题考查刻画两个变量相关性强弱的量：相关系数r ，相关指数2R 及残差平方和，属于基础题．5. 已知12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使1290F PF ∠=，则椭圆的离心率e 的取值范围为A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由椭圆上存在点P ，使1290F PF ∠=可得以原点为圆心，以c 为半径的圆与椭圆有公共点， ∴c b ≥，∴2222c b a c ≥=-，∴2212c a ≥∴2c e a =≥． 由01e <<，∴12e ≤<，即椭圆离心率e 的取值范围为⎫⎪⎪⎣⎭．选B ． 点睛：求椭圆离心率或其范围的方法(1)求出a ，b ，c 的值，由222222221c a b b e a a a-===-直接求．(2)列出含有a ，b ，c 的方程(或不等式)，借助于222b a c =-消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．6. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是1(0,0,0),(1,0,1,(0,1,1),(,1,0)2），绘制该四面体三视图时, 按照如下图所示的方向画正视图，则得到左视图可以为（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】将四面体放在如图正方体中，得到如图四面体，得到如图的左视图，故选B.7. 函数()1ln1x f x sin x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭的图象大致为 A.B.C.D.【答案】B 【解析】由于0x ≠,故排除A 选项.()()1sin ln1x f x f x x --⎛⎫-==- ⎪-+⎝⎭,所以函数为奇函数,图象关于原点对称,排除C选项.()()12sin ln sin ln 303f ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭,排除D 选项,故选B.8. 更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之”下图是该算法的程序框图，如果输入102a =，238b =，则输出的a 值是A. 17B. 34C. 36D. 68【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图进行模拟运算即可得出．【详解】根据程序框图，输入的102a =，238b =，因为ab ，且a b <，所以238102136b =-=；第二次循环，13610234b =-=；第三次循环，1023468a =-=；第四次循环，683434a =-= ，此时34a b ==，输出34a =，故选B ．【点睛】本题主要考查更相减损术的理解以及程序框图的理解、识别和应用． 9. 已知e 为自然对数的底数，若对任意的1[,1]x e∈，总存在唯一的(0,)∈+∞y ，使得ln ln 1+++=y yx x a y成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. (,0)-∞ B. (,0]-∞C. 2(,]e eD. (,1]-∞-【答案】B 【解析】【详解】ln 1x x a ++,()'1ln g x x =+,故函数在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增,()()111g g x g a e ⎛⎫<<=+ ⎪⎝⎭()ln 1y f y y =+,()21ln yf y y -'=, ()f y 在()0,e 上递增时，上递减，在上()1f y >任意的1[,1]x e∈，总存在唯一的(0,)∈+∞y ，使得ln ln 1+++=y yx x a y成立故选B.10.电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于600min ，广告的总播放时长不少于30min ，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为（ ） A. 6，3B. 5，2C. 4，5D. 2，7【答案】A 【解析】依题意得7060600553000x y x y x yx y +≤⎧⎪+≥⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩,目标函数为6025z x y =+,画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点()6,3处取得最大值.故选A.11. 正四面体ABCD中，M是棱AD的中点，O是点A在底面BCD内的射影，则异面直线BM与AO所成角的余弦值为（）A. 2B.2C.2D.2【答案】B 【解析】如图，设正四面体的棱长是1，则2BM =，高3AO ==，设点M 在底面内的射影是N ，则126MN AO ==，所以BMN ∠即为所求异面直线所成角，则cos 3NM BMN BM ∠==，应选答案B ．点睛：解答本题的关键是依据异面直线所成角的定义，先找出异面直线BM 与AO 所成的角BMN ∠，再运用解直角三角形的知识求出cos NM BMN BM ∠==，从而使得问题巧妙获解． 12. 已知(sin,sin )2a x x ωω=，1(sin,)22b x ω=，其中0>ω，若函数1()2f x a b =⋅-在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是（ ） A. 1(0,]8B. 5(0,]8C. 15(0,][,1]88⋃ D. 115(0,][,]848⋃【答案】D 【解析】 【详解】(sin,sin )2a x x ωω=，1(sin,)22b x ω=，其中0>ω，2111111sin sin cos sin ),2222222(241)f x a b x x x x x ωπωωωω=⋅-+-=-+-=-=2π2π,01T ωω=≥<≤,当(,2)x ππ∈时，(,2),444x πππωωπωπ-∈--故()ππ4π2π1π4k k ωπω⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩()k Z ∈，解得15428k k ω+≤≤+()k Z ∈，01ω<≤，k=0时,解得1548ω≤≤，当k=-1时解得108ω<≤. 故选：D.【点睛】本小题主要考查数量积的坐标运算,考查利用辅助角公式进行三角函数式子的化简合并,考查函数零点个数的问题,考查运算求解能力.首先利用两个向量数量积的坐标运算,将题目所给向量的数量积表达式求解出来,用辅助角公式合并后结合函数的周期和零点列出不等式,求解得ω的取值范围.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 如图，在半径为2的扇形AOB 中，AOB 90∠=，P 为AB 上的一点，若2OP OA ⋅=，则OP AB ⋅的值为______．【答案】223-+【解析】【详解】因为•2OP OA =,所以21cos 2223AOP AOP π∠==∴∠=⨯ 以O 为坐标原点,OA 为x 轴建系，则(2,0),(0,2),3)(1,3)(2,2)223A B P OP AB ∴⋅=⋅-=-+14. 若从区间[0]e ，（e 为自然对数的底数， 2.71828e =）内随机选取两个数，则这两个数之积不．小于．．e 的概率为_____________．【答案】2 【解析】设[],0,x y e ∈，由xy e ≥，得ey x≥，所以所求概率()211222ln 221ee e e dx ex e x e e x P e e e e⎛⎫- ⎪--⎝⎭====-⎰． 点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．15. 已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列四个论断中正确的是__________．（把你认为是正确论断的序号都写上） ①若sin cos A B a b=，则4B π=；②若4B π=，2b =，3a =③若a ，b ，c 成等差数列，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，则ABC 为正三角形；④若5a =，2c =，ABC 的面积4ABCS =，则3cos 5B =. 【答案】①③ 【解析】①由正弦定理可得tan 1B =，又(0,)B π∈，所以4B π=，正确．②由于b a >，所以钝角三角形，只有一种．错．③由等差数列，可得22a c b ac +=≥，得2b ac ≥,sinAsinB=sin 2B ，得，2ac b =,所以a b c ==，等边三角形，对．④14sin 5sin 4,sin ,25S ac B B B ====2435<<，所以2334B ππ<<或43B ππ<<，3cos 5B =或35，错．综上所述，选①③． 【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化 第三步：求结果，判定是否符合条件，或有多解情况．16. 设椭圆C 的两个焦点是12F F 、，过1F 的直线与椭圆C 交于P Q 、，若212||||PF F F =，且1156PF FQ =，则椭圆的离心率为__________． 【答案】911【解析】设椭圆22121122 100056x y a b F c F c PF FQ a b+-=＝（＞＞），（，），（，），，设 1165PF m FQ m ==，， 由椭圆的定义可得21225QF a QF a m =-=- ，2122PF F F c ==， 可得2263c a m a c m =-∴-=．，① 取1PF 的中点K ，连接2KF ，则2KF PQ ，⊥由勾股定理可得222222||PF PKQF QK -=-， 即为2222492564c m a m m （），-=-- 化简即为222210()5()22101533a a c a c a c am m ---=+=+，可得：6a+6c=15a-5c 即911a c = 则离心率911c e a ．== 即答案为911． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足*231()n n S a n N =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列21n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）1*3()n n a n N -=∈.（2）*113()3n n n T n N -+=-∈. 【解析】【试题分析】(1)利用11,1,2n n n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列的通项公式.(2)利用错位相减求和法求得数列的前n 项和.【试题解析】（1）当1n =时，11231S a =-，所以11a =；当2n ≥时，11231n n S a --=-，则1122233n n n n n a S S a a --=-=-，即13n n a a -=.又因为11a =，所以数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以()1*3n n a n N -=∈.（2）由（1）得121213n n n n a ---=，所以122135232113333n n n n n T ----=+++++， ① 3252321333333n n n n n T ----=+++++， ② ②-①，得221222212323333n n n n T ---=+++++-111112122332613313n n n n n -----+=+⨯-=--，所以()*1133n n n T n N -+=-∈. 【点睛】本小题主要考查数列通项公式的求法,考查错位相减法求数列的前n 项和.对于已知n S 求n a 的题目,首先要求出1a 的值,然后利用11,1,2n nn a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列的通项公式,最后要验证当1n =时是否成立.若一个数列是由一个等差数列乘以一个等比数列所得,那么可以利用错位相减法求其前n 项和.18. 如图所示，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是梯形，AD BC ∥，侧面11ABB A 为菱形，1DAB DAA ∠=∠.（Ⅰ）求证：1A B AD ⊥；（Ⅱ）若2AD AB BC ==，160A AB ∠=︒，直线AD 与平面11ABB A 所成的角为30，求平面11DCC D 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）见解析（2）39331【解析】试题分析：（1）考虑用向量法来证明，即计算来证明.具体方法是将转化为同起点的向量，即，利用，1DAB DAA ∠=∠可求得；（2）设线段1A B 的中点为O 以射线OB 、射线1OB 、射线OD 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，利用向量法求得二面角的余弦值为39331. 试题解析：（1）解一：因为侧面11ABB A 为菱形，所以，又1DAB DAA ∠=∠，所以，，1A B AD ⊥．（2）设线段1A B 的中点为O ，连接1DO AB 、，由题意知DO ⊥平面 11ABB A ，因为侧面11ABB A 为菱形，所以11AB A B ⊥，故可分别以射线OB 、射线1OB 、射线OD 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -．设22AD AB BC a ===，由0160A AB ∠=可知1,3OB a OA OB a ===，所以22OD AD OA a =-=，从而()()()()10,3,0,,0,0,0,3,0,0,0,A a B a B a D a -，所以．由可得31,,22C a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以．设平面11DCC D 的一个法向量为，由，得0000030{3102ax ay ax ay az -+=+-=取01y =，则003,33x z ==，所以．又平面11ABB A 的法向量为，所以．考点：空间向量证明垂直与求二面角.19. 某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元.保险公司把职工从事的所有岗位共分为A 、B 、C 三类工种，根据历史数据统计出三类工种的每赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）.（Ⅰ）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，试分别确定各类工种每张保单保费的上限；（Ⅱ）某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图，老板准备为全体职工每人购买一份此种保险，并以（Ⅰ）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润.【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）55000元. 【解析】试题分析：（I ）设工种A 每份保单的保费，则需赔付时，收入为450100a -⨯<，根据概率分布可计算出保费的期望值为5a -，令50.2a a -≤解得 6.25a ≤.同理可求得工种,B C 保费的期望值；（II ）按照每个工种的人数计算出份数然后乘以（1）得到的期望值，即为总的利润. 试题解析：（Ⅰ）设工种A 的每份保单保费为a 元，设保险公司每单的收益为随机变量X ，则X 的分布列为保险公司期望收益为51110EX a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ()451501010a -⨯⨯ 5a =- 根据规则50.2a a -≤ 解得 6.25a ≤元，设工种B 的每份保单保费为b 元，赔付金期望值为45501021010⨯⨯=元，则保险公司期望利润为10b -元，根据规则100.2b b -≤，解得12.5b ≤元，设工种C 的每份保单保费为c 元，赔付金期望值为4450105010⨯=元，则保险公司期望利润为50c -元，根据规则500.2c c -≤，解得62.5c ≤元.（Ⅱ）购买A 类产品的份数为2000060%12000⨯=份， 购买B 类产品的份数为2000030%6000⨯=份， 购买C 类产品的份数为2000010%2000⨯=份，企业支付的总保费为12000 6.25⨯+ 600012.5⨯+ 200062.5275000⨯=元， 保险公司在这宗交易中的期望利润为27500020%55000⨯=元.20. 如图，已知椭圆的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为()421，一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且它的实轴长等于虚轴长，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为,A B 和,C D ，其中,A C 在x 轴的同一侧. （1）求椭圆和双曲线的标准方程；（2）是否存在题设中的点P，使得34AB CD AB CD +=⋅？若存在， 求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22144x y -=（2）(22,2)±±【解析】试题分析：（1）由椭圆定义可得22a c += ()421+，再结合离心率为c a = 2，解出22a =，24b =，由双曲线的顶点是该椭圆的焦点，得12a =,再根据实轴长等于虚轴长得12b =（2）设P 点坐标，利用点斜式表示直线AB,CD 方程,利用韦达定理及弦长公式求AB CD ，；根据椭圆性质确定直线AB,CD 斜率关系，根据焦点三角形求向量夹角，综合条件可解得P 点坐标 试题解析：解：（1）由题意知，椭圆离心率为c a = 22，得2a c =，又22a c += ()421+，所以可解得22a =， 2c =，所以2224b a c =-=，所以椭圆的标准方程为22184x y +=；所以椭圆的焦点坐标为（2±，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为22144x y -=（2）设(),P x y ，则，在双曲线上，，设方程为，2PF 的方程为，设，则()()2222221218880842x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩，22121222888,2121k k x x x x k k -+=-⋅=++，同理，， 由题知，，.，()()()()22222222222242424242424x x x x x x x x x x x ∴-=++-⋅-+-⋅=+⋅-⋅=- ,.点睛：直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.21. 已知函数1()x f x e a -=+，函数(x)ln g ax x =+，a R ∈. （1）求函数()y g x =的单调区间；（2）若不等式()()1f x g x ≥+在区间[1,)+∞内恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若(1,)x ∈+∞，求证不等式12ln 1x e x x -->-+成立. 【答案】（1）见解析.（2）(,0]-∞.（3）见解析.【解析】试题分析：对函数求导，讨论a ，确定单调区间和单调性；作差构造新函数，利用导数 判断函数的单调性，根据不等式恒成立条件，求出a 的范围；借助第二步的结论，证明不等式. 试题解析： （Ⅰ）()ln ,g x ax x a R =+∈，()11ax g x a x x'+∴=+= 当0a ≥时，增区间()0,+∞，无减区间 当0a <时，增区间10,a -⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（Ⅱ）()()1f x g x ≥+即1ln 10x e x a ax --+--≥在[)1,+∞上恒成立 设()1ln 1x F x ex a ax -=-+--，考虑到()10F =()11x F x e a x --'=-，在[)1,+∞上为增函数111,0x x e x-≥-≥，∴当0a ≤时，()0F x '≥()F x 在[)1,+∞上为增函数，()0F x ≥恒成立当0a >时，()10F '<， ()'F x '在[)1,+∞上为增函数()01,x ∃∈+∞，在()01,x 上，()0F x '<，()F x 递减， ()0F x <，这时不合题意，综上所述，0a ≤（Ⅲ）要证明在[)1,+∞上，12ln 1x e x x -->-+ 只需证明()()1ln 1ln 0x ex x x ---+->由（Ⅱ）当a=0时，在[)1,+∞上，1ln 10x e x ---≥恒成立 再令()ln G x x x =- 在[)1,+∞上，()1110x G x x x='-=-≥，()G x 递增，所以()()110G x G ≥=> 即1100x e lnx x lnx -⎧--≥⎨->⎩，相加，得()()1ln 1ln 0x e x x x ---+->所以原不等式成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为()1,0，若直线lcos 104θπ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是244x m y m⎧=⎨=⎩，（m 为参数). （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程； （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB+. 【答案】（1）10x y --=，24y x =；（2）1 【解析】【试题分析】(1)cos 104πθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭展开后利用公式直接转化为直角坐标方程.对C 消去m 后得到直角坐标方程.(2)求出直线l 的参数方程,代入抛物线,利用直线参数的几何意义求得11MA MB+的值. 【试题解析】 （1cos 104πθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得cos sin 10ρθρθ--=， 令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =，所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =. （2）点M 的直角坐标为()1,0，点M 在直线l 上.设直线l的参数方程为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =，得280t --=.设点,A B 对应的参数分别为1t ，2t，则12t t +=128t t =-，所以121211t t MA MB t t -+==1==. 23. 选修4-5：不等式选讲已知函数2()4f x x ax =++，()|1||1|g x x x =++-. （1）求不等式()3g x ≥的解集；（2）若2[2,2]x ∀∈-，1[2,2]x ∃∈-，使得不等式12()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3{|2x x 或3}2x ≥.（2）(,)-∞-⋃+∞.【解析】【试题分析】(1)利用零点分段法去绝对值,将()g x 转化为分段函数来求得不等式的解集.(2)依题意有()()[]()2,2min min f x g x x ≤∈-,对a 分类讨论函数()f x 的最小值,由此得到a 的取值范围.【试题解析】（1）()3g x ≥，即113x x ++-≥，此不等式等价于()()1113x x x ≤-⎧⎨-+--≥⎩或()()11113x x x -<<⎧⎨+--≥⎩或1113x x x ≥⎧⎨++-≥⎩，解得32x ≤-或32x ≥，所以()3g x ≥的解集为3{|2x x ≤-或3}2x ≥. （2）因为[]22,2x ∀∈-，[]12,2x ∃∈-，使得()()12f x g x ≤成立，所以()()[]()2,2min min f x g x x ≤∈-.又()2min g x =，所以()[]()22,2min f x x ≤∈-. 当22a-≤-，即4a ≥时，()()2424822min f x f a a =-=-+=-≤，解得3a ≥，所以4a ≥； 当22a-≥，即4a ≤-时，()()2424822min f x f a a ==++=+≤，解得3a ≤-，所以4a ≤-；当222a -<-<，即44a -<<时，()2242242min a aa f x f ⎛⎫=-=-+≤ ⎪⎝⎭，解得a ≥a ≤-，所以4a -<≤-4a ≤<.综上，实数a的取值范围为[(),-∞-⋃+∞.。
2018衡水中学高三七调理科数学试题及答案
2017-2018学年度上学期高三年级七调考试数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|||2}A x x =<，{|}B x x a =>，全集U R =，若U A B ⊆ð，则有（ ） A ．0a = B ．2a ≤ C ．2a ≥ D ．2a <2.若复数z 满足341z i +-=（i 为虚数单位），则z 的虚部是（ ） A ．-2 B ．4 C ．4i D ．-43.已知1，1a ，2a ，4成等差数列，1，1b ，2b ，3b ，4成等比数列，则122a ab +的值是（ ） A ．52 B ．52- C ． 52或52- D ． 124.如图，5个(,)x y 数据，去掉(3,10)D 后，下列说法错误的是（ ）A ．相关系数r 变大B ．残差平方和变大C.相关指数2R 变大 D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强5.已知1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使1290F PF ︒∠=，则该椭圆的离心率e 的取值范围为（ ）A．(0,2B．2 C. (0,]2 D．,1)2 6.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(0,0,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，1(,1,0)2，绘制该四面体的三视图时，按照如下图所示的方向画正视图，则得到的侧（左）视图可以为（ ）A ．B ． C.D ．7.函数1()sin(ln)1x f x x -=+的图像大致为（ ） A ． B ．C. D ．8.更相减损术是中国古代数学专著《九章算术》中的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.”下图是该算法的程序框图，若输入102a =，238b =，则输出a 的值是（ ）A ． 68B ．17 C.34 D ．369.已知e 为自然对数的底数，若对任意的1[,1]x e∈，总存在唯一的(0,)y ∈+∞，使得ln ln 1y yx x a y+++=成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞ B ．(,0]-∞ C. 2(,]e eD ．(,1]-∞-10.电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于600min ，广告的总播放时长不少于30min ，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为（ ）A ．6，3B ．5，2 C. 4，5 D ．2，711.已知在正四面体ABCD 中，M 是棱AD 的中点，O 是点A 在底面BCD 内的射影，则异面直线BM 与AO 所成角的余弦值为（ ）A ．6 B ．3 C.4 D ．512.已知(sin,sin )2a x x ωω=，1(sin,)22b x ω=，其中0ω>，若函数1()2f x a b =⋅-在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是（ ）A ．1(0,]8 B ． 5(0,]8 C. 15(0,][,1]88⋃ D ．115(0,][,]848⋃二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图，在半径为2的扇形AOB 中，90AOB ︒∠=，P 为弧AB 上的一点，若2OP OA ⋅=，则OP AB ⋅的值为 ．14.若从区间(0,)e （e 为自然对数的底数， 2.71828e =）内随机选取两个数，则这两个数之积小于e 的概率为 ．15.已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列四个论断中正确的是 ．（把你认为是正确论断的序号都写上） ①若sin cos A B a b =，则4B π=； ②若4B π=，2b =，a =③若a ，b ，c 成等差数列，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，则ABC 为正三角形； ④若5a =，2c =，ABC 的面积4ABCS=，则3cos 5B =. 16.设椭圆C 的两个焦点是1F ，2F ，过点1F 的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，若212||||PF F F =，且115||6||PF FQ =，则椭圆C 的离心率为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足*231()n n S a n N =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列21{}nn a -的前n 项和n T . 18.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是梯形，//AD BC ，侧面11ABB A 为菱形，1DAB DAA ∠=∠.（1）求证：1A B AD ⊥.（2）若2AD AB BC ==，160A AB ︒∠=，D 在平面11ABB A 内的射影恰为线段1A B 的中点，求平面11DCC D 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.19.某保险公司针对企业职工推出一款意外保险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元. 保险公司把职工从事的所有岗位共分为A ，B ，C 三类工种，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）.（1）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，试分别确定各类工种每份保单保费的上限；（2）某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图所示，老板准备为全体职工购买此种保险，并以（1）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润.20.如图，已知椭圆的离心率为2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点1F ，2F 为顶点的三角形的周长为1).一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且双曲线的实轴长等于虚轴长，设P 为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A ，B 和C ，D ，且点,A C 在x 轴的同一侧.（1）求椭圆和双曲线的标准方程；（2）是否存在题设中的点P ，使得3||||||||4AB CD AB CD +=⋅？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 21. 已知函数1()x f x ea -=+，函数()ln g x ax x =+，a R ∈.（1）求函数()y g x =的单调区间；（2）若不等式()()1f x g x ≥+在区间[1,)+∞内恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若(1,)x ∈+∞，求证不等式12ln 1x ex x -->-+成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为(1,0)，若直线l cos()104πθ+-=，曲线C 的参数方程是244x m y m⎧=⎨=⎩，(m 为参数). （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程； （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11||||MA MB +. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数2()4f x x ax =++，()|1||1|g x x x =++-. （1）求不等式()3g x ≥的解集；（2）若2[2,2]x ∀∈-，1[2,2]x ∃∈-，使得不等式12()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CBABB 6-10:BBCBA 11、12：BD 二、填空题13. 2-+ 14.2e 15. ①③ 16. 911三、解答题17.解：（1）当1n =时，11231S a =-，所以11a =；当2n ≥时，11231n n S a --=-，则1122233n n n n n a S S a a --=-=-，即13n n a a -=.又因为11a =，所以数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，所以1*3()n n a n N -=∈.（2）由（1）得121213n n n n a ---=，所以122135232113333n n n n n T ----=+++++， ① 3252321333333n n n n n T ----=+++++， ② ②-①，得221222212323333n n n n T ---=+++++-111112122332613313n n n n n -----+=+⨯-=--， 所以*113()3n n n T n N -+=-∈. 18.（1）证明：如图，连接1AB ，1A D ，BD ，设1AB 交1A B 于点O ，连接OD . 由AD AD =，1AA AB =，1DAB DAA ∠=∠，得1AA D ABD ≅，所以1A D BD =. 又O 是线段1A B 的中点，所以1OD A B ⊥，又根据菱形的性质得1AO A B ⊥，且AO OD O ⋂=，所以1A B ⊥平面ADO ，从而1A B AD ⊥.（2）解：由题意知DO ⊥平面11ABB A ，又11AO A B ⊥，即1OB OB ⊥，所以OB ，1OB ，OD 两两垂直. 以OB ，1OB ，OD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示.设22AD AB BC a ===，由160A AB ︒∠=，可知OB a =，1OA OB ==，所以OD a ==，从而(0,,0)A ，(,0,0)B a，1,0)B ，(0,0,)D a .所以11(,0)CC BB a ==-.由12BC AD =，得1(,)2C a a a，所以1(,)2DC a a =-. 设平面11DCC D 的法向量为000(,,)m x y z =，由100m CC m DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得0000001022ax ax ay az ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩， 令01y =，则0x =0z =(3,1,3m =. 又平面11ABB A 的一个法向量为(0,0,)OD a =，所以33cos ,||||31OD m a OD m OD m a⋅〈〉===. 故平面11DCC D 与平面11ABB A . 19.解：（1）设工种A 的每份保单保费为a 元，保险公司每单的收益为随机变量X 元，则X 的分布列为保险公司的期望收益为45511()(1)(5010)51010E X a a a =-+-⨯⨯=-（元）. 由题意得50.2a a -≤，解得 6.25a ≤(元).设工种B 的每份保单保费为b 元，赔付金期望值为45501021010⨯⨯=（元）， 则保险公司的期望利润为(10)b -元. 由题意得100.2b b -≤，解得12.5b ≤（元）.设工种C 的每份保单保费为c 元，赔付金期望值为4450105010⨯=（元）， 则保险公司的期望利润为(50)c -元. 由题意得500.2c c -≤，解得62.5c ≤（元）. 综上，工种,,A B C 的每份保单保费的上限分别为6.25元，12.5元，62.5元. （2）购买A 类产品的份数为2000060%12000⨯=（份）， 购买B 类产品的份数为2000030%6000⨯=（份）， 购买C 类产品的份数为2000010%2000⨯=（份），企业支付的总保费为12000 6.25600012.5200062.5275000⨯+⨯+⨯=（元）， 保险公司在这宗交易中的期望利润为27500020%55000⨯=（元）.20.解：（1）由题意知，椭圆离心率2c e a ==，即a =，又221)a c +=，所以a =2c =，所以2224b a c =-=，所以椭圆的标准方程为22184x y +=. 所以椭圆的焦点坐标为(2,0)±，又双曲线为等轴双曲线，且顶点是该圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为22144x y -=. （2）设000(,)(2)P x y x ≠±，则1002PF y k x =+，2002PF y k x =-，因为点P 在双曲线22144x y -=上，所以121PF PF k k ⋅=. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线1PF 的方程为(2)y k x =+， 所以直线2PF 的方程为1(2)y x k=-， 联立22184(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2222(21)8880k x k x k +++-=， 所以2122821k x x k +=-+，21228821k x x k -⋅=-+，所以||AB ===.同理可得221()]||12()1k CD k +=+221)2k k +=+.由题知124||||||||cos ()3AB CD AB CD F PF θθ+=⋅⋅=∠，即411cos ()3||||CD AB θ=+=2432=. 因为1212||||cos PF PF PF PF θ⋅=， 即0000(2)(2)()()x x yy ---+--=2，又因为22004x y -=，所以202(4)2x-==2=208x=，204y =.即存在满足题意的点P ，且点P 的坐标为(2)±±. 21.（1）解：函数()g x 的定义域为(0,)+∞，因为()ln g x ax x =+，a R ∈，所以11()ax g x a x x+'=+=. 当0a ≥时，()0g x '>在区间(0,)+∞内恒成立，所以函数()g x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间；当0a <时，令()0g x '>，得10x a <<-，令()0g x '<，得1x a>-， 所以函数()g x 的单调递增区间为1(0,)a -，单调递减区间为1(,)a -+∞. （2）解：()()1f x g x ≥+在区间[1,)+∞内恒成立，即1ln 10x e x a ax --+--≤在区间[1,)+∞内恒成立.设1()ln 1x F x e x a ax -=-+--，则(1)0F =，11x F e a x-'=--在区间[1,)+∞内单调递增，所以()(1)F x F a '≥'=-. 当0a ≤时，()0F x '≥，()F x 在区间[1,)+∞内为增函数，所以()(1)0F x F ≥=恒成立； 当0a >时，(1)0F '<，因为()F x '在区间[1,)+∞内单调递增，所以0(1,)x ∃∈+∞，在区间0(1,)x 内，有()0F x '<，所以()F x 在区间0(1,)x 内单调递减，所以()(1)0F x F <=，这时不合题意.综上所述，实数a 的取值范围为(,0]-∞.（3）证明：要证明在区间(1,)+∞内，12ln 1x e x x -->-+，只需证明1(ln 1)(ln )0x e x x x ---+->，由（2）知，当0a =时，在区间(1,)+∞内，有1ln 10x e x --->恒成立.令()ln G x x x =-，在区间(1,)+∞内，11()10x G x x x-'=-=>， 所以函数()G x 在区间(1,)+∞内单调递增，所以()(1)10G x G >=>，即ln 0x x ->. 所以1(ln 1)(ln )0x e x x x ---+->，所以原不等式成立.22.解：（1cos()104πθ+-=，得cos sin 10ρθρθ--=，令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =，所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =.（2）点M 的直角坐标为(1,0)，点M 在直线l 上. 设直线l的参数方程为122x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =，得280t --=.设点,A B 对应的参数分别为1t ，2t，则12t t +=128t t =-， 所以1212||11||||||t t MA MB t t -+==221==. 23.解：（1）()3g x ≥，即|1||1|3x x ++-≥，此不等式等价于1(1)(1)3x x x ≤-⎧⎨-+--≥⎩或11(1)(1)3x x x -<<⎧⎨+--≥⎩或1113x x x ≥⎧⎨++-≥⎩，解得32x ≤-或32x ≥，所以()3g x ≥的解集为3{|2x x ≤-或3}2x ≥. （2）因为2[2,2]x ∀∈-，1[2,2]x ∃∈-，使得12()()f x g x ≤成立，所以()()([2,2])min min f x g x x ≤∈-.又()2min g x =，所以()2([2,2])min f x x ≤∈-. 当22a -≤-，即4a ≥时，()(2)424822min f x f a a =-=-+=-≤，解得3a ≥，所以4a ≥； 当22a -≥，即4a ≤-时，()(2)424822min f x f a a ==++=+≤，解得3a ≤-，所以4a ≤-； 当222a -<-<，即44a -<<时，22()()42242min a a a f x f =-=-+≤，解得a ≥a ≤-，所以4a -<≤-4a ≤<.综上，实数a的取值范围为(,)-∞-⋃+∞.上学期七调考试注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2018年高考数学模拟试卷(衡水中学理科)
2018年衡水中学高考数学全真模拟试卷（理科）第1卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分•在每个小题给出的四个选项中, 有一项是符合题目要求的•）21. ( 5 分)(2018?衡中模拟)已知集合A={x|x v 1}, B={y|y=|x|} ，则A A B=A . ? B. ( 0 , 1) C . [0 , 1) D .2. （5分）（2018?衡中模拟）设随机变量2E-N (3 ,c ),若P (E>4) =0.2 ,)0.8 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2x B. y= ± 「；x C . y= ± x D . y=35. （5分）（2018?衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为 1 : 2: 3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1 ,「2,「3,那么门+「2+「3的值为（）等差数列{a n}中，a 3=7 , a5=11，若 b n= .3 ii 1D. 54A . 2B . 3C .126. （5分）（2018?衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）的前8项和为（732B.[0, 1](3 VE（5分）（2018?衡中模拟）已知复数z=3（i为虚数单位），则r =1 B.—1 C.D.（5分）（2018?衡中模拟）过双曲线b2=1 (a >0, b >0)的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若/ PFQ=n,则双曲线的渐近线方程为（A. y= ±7. （5分）（2018?衡中模拟），则数列{b n}10 2& （ 5 分）（2018?衡中模拟）已知（x - 3） =a °+a i （x+1 ） +a 2 （x+1 ） + …+a 10 （x+1 ）10，则 a 8=（）A . 45B . 180C .- 180D . 7209. （ 5分）（2018?衡中模拟）如图为三棱锥值范围（）A . （11，25 ）B . （12，22 ）C . （12，17）D . （14，20）S- ABC 的三视图，其表面积为（A . 16B . 8 丨，+6 工C . 16 一， 10 . （5分）（2018?衡中模拟）已知椭圆 F （- 3, 0）,P 为椭圆上一动点，椭圆内部点 M （- 1，3）满足PF+PM 的最大值为率为（）A.— B •阻 | C .丄 D .2V3 2方 3 3In （號+1）（掘>0）（x ）=，若函数 y=f （x ）- kx 恒（e x -l GKO ）有一个零点，贝U k 的取值范围为（）A . k w 0B . k w 0 或 k > 1C . k < 0 或 k > eD . k < 0 或 k12. （5分）（2018?衡中模拟）已知数列｛a n ｝的通项公式为 a n = - 2n+p ，数列｛b n ｝的通项公 ，若在数列｛c n ｝中C 6< C n （n € N , n 丰6）,则p 的取D . 16+6丨・（a >b >0）的左焦点17,则椭圆的离心11 . （ 5分）（2018?衡中模拟）已知 式为b n =2、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分•把答案填在题中的横线上.)13 •(5分)(2018?衡中模拟)若平面向量1、卜满足| i|=2|［上的投影为________ •14 • (5分)(2018?衡中模拟)若数列｛a n｝满足a i=a 2=1 ,a +2, n=2k_1 (k G N*)、,a n+2 = ，则数列｛a n｝前2n项和S2n = _______ •.2斗，n=2k(kG N*)y^4>015 • (5分)(2018 ?衡中模拟)若直线ax+ (a - 2) y+4 - a=0把区域' 3x4-y<^9 分成jt十面积相等的两部分，则一的最大值为z+4a16. (5 分)(2018 ?衡中模拟)已知函数f (x) = ( a+1 ) Inx+' ' x2( a v- 1 )对3任意的X1、X2> 0,恒有|f ( X1 ) - f (X2) | > 4|x 1 - X2|，则a的取值范围为 _________________ •三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17 • (12分)(2018?衡中模拟)在厶ABC中，角A , B, C所对的边分别为a , b , c，满足c=1，且cosBsinC+ (a - sinB) cos (A+B ) =0(1 )求C的大小；(2)求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角 A , B的值.18 . （12分）（2018?衡中模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA丄底面ABCD , AD //BC，/ ABC=90 ° , PA=AB=BC=2 , AD=1 , M 是棱PB 中点.（I）求证：平面PBC丄平面PCD ;（n）设点N是线段CD上一动点，且I -■!=入：当直线MN与平面PAB所成的角最大时, 求入的值.19 . （12分）（2018?衡中模拟）如图是两个独立的转盘（ A ）、（B）,在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60 °、120 °、180。
2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷 理科数学
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（七）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[2018·孝义模拟]已知全集{}1,2,3,4U =，若{}1,3A =，{}3B =，则()()U U A B 痧等于（ ） A ．{}1,2 B ．{}1,4C ．{}2,3D ．{}2,4【答案】D【解析】根据题意得到{} 2,4U A =ð，U B ð{}1,2,4=，故得到()()U U A B 痧{}2,4=．故答案为：D ．2．[2018·海南二模]已知复数z 满足()34i 34i z +=-，z 的共轭复数，则z =（ ）班级 姓名 准考证号 考场号 座位号此卷只装订不密封A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】，1z ==，故选：A ．3．[2018·大同一中]如果数据1x ，2x ，…，n x 的平均数为x ，方差为28，则152x +，252x +，…，52n x +的平均数和方差分别为（ ）A ．2,8xB ．252,8x +CD【答案】C【解析】2258⨯，故选C ． 4．[2018·龙岩期末]《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日共织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12【答案】B【解析】设第一天织布1a 尺，从第二天起每天比第一天多织d 尺，由已知得：1111721284715a d a d a d a d +=⎧⎨+++++=⎩，解得11a =，1d =，∴第十日所织尺数为101910a a d =+=，故选B ．5．[2018·宁德质检]已知0.41.9a =，0.4log 1.9b =， 1.90.4c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >>【答案】 C【解析】0.401.9 1.91a =>=，0.40.4log 1.91log 0b =<=， 1.9000.40.41c <=<=，a cb ∴>>，故选C ．6．[2018·江西联考]如图，在圆心角为直角的扇形OAB 区域中，M ，N 分别为OA ，OB 的中点，在M ，N 两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以OA ，OB 为直径的圆，在扇形OAB 内随机取一点，则能够同时收到两个基站信号的概率是（ ）A 2B 11C 4D 1【答案】B【解析】设C 为两端弧的交点，由OA 的中点为M ，则90CMO ∠=︒，半径为OA r =，所以扇形OAB2221112168OMC S S r r -=π-△，两个圆的弧OC 围成的故选B ．7．[2018·深圳中学]某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．23B ．1C ．43 D ．83【答案】C【解析】该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积114222323V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．故选C ．8．[2018·海南二模]已知函数()20172017log x f x =+)20173x x -+-+，则关于x 的不等式()()126f x f x -+>的解集为（ ） A ．(),1-∞ B ．()1,+∞C ．()1,2D ．()1,4【答案】A【解析】由题意易知：()201720172017log x x g x -=-+)x +为奇函数且在()-∞+∞，上单调递增，∴()()12336g x g x -+++>，即()() 21g x g x >-，∴21x x >-，∴1x <，∴不等式()()126f x f x -+>的解集为(),1-∞，故选：A ．9．[2018·宿州一模]在如图所示的程序框图中，若输入的2s =，输出的2018s >，则判断框内可以填入的条件是（ ）A ．9i >B ．10i ≤C ．10i ≥D ．11i ≥【答案】D【解析】输入2S =，1i =，242S ==；2i =，382S ==；当10i =，1122048S ==； 当10111i =+=，当11i ≥时，满足条件，退出循环，2048S =，故选D ．10．[2018·华师附中]已知关于x 在区间[)0,2π上有两个根12,x x m 的取值范围是（ ）A ．()B ．(⎤⎦C ．⎡⎣D ．[)0,1【答案】Dsin cos x x m +=[)0,2x ∈π的图像，由图可知，要使得方程在区间[)0,2π上有两个根1,x ，2x 01m <≤．故选D ．11．[2018·阳春一中]已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()e 23x f x x f x '=++（e 是自然对数的底数），()01f =，若不等式()0f x k -<的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是（ ）A B C D 【答案】C【解析】可设23G x x x c =++（），()()001G f ==，1c ∴=．()()231e x f x x x ∴=++，()()()()254e 14e x x f x x x x x ∴'=++=++．可得：4x =-时，函数()f x 取得极大值，1x =-时，函数()f x 取得极小值．()110e f -=-<，()01f =又当x →-∞时，()0f x →．不等式()0f x k -＜的解集中恰有两个整数1-，2-．故k C ．12．[2018·佳木斯一中]已知椭圆2215y x +=与抛物线2x ay =有相同的焦点F ，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，4AF =，PA PO +的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】椭圆2215y x +=，2514c ∴=-=，即2c =，则椭圆的焦点为()0,2±，不妨取焦点()0,2，抛物线2x ay =44a y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴抛物线的焦点坐标为0,4a ⎛⎫⎪⎝⎭，椭圆2215y x +=与抛物线2x ay =有相同的焦点F ，24a ∴=，即8a =，则抛物线方程为28x y =，准线方程为2y =-，4AF =，由抛物线的定义得：A ∴到准线的距离为4，24y +=，即A 点的纵坐标2y =，又点A 在抛物线上，4x ∴=±，不妨取点A 坐标()4,2A ，A 关于准线的对称点的坐标为()4,6B -，则PA PO PB PO OB +=+≥，即O ，P ，B 三点共线时，有最小值，最小值为OB ====，故选A ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
河北衡水中学 2018 届高三数学 三 轮复习答案
分 (Ⅱ) ( i )由所给数据求得的线性回归方程为 yˆ =6.6x−138.6，相关
指数为
R2= 1
( 6
i 1
yi
yˆi )2
( 6
i 1
yi
y )2
1
236.64 3930
1 0.0602 0.9398.
……
……………7 分
因为 0.9398<0.9522,根据相关指数的含义可知 回归方程 yˆ =0.06e0.2303x 比线性回归方程 yˆ =6.6x−138.6 拟合效
系列七---------出神入化（1）
组编：刘建梅
审核： 关勇
果更好．…………………9 分 ( ii )由( i )得当温度 x=35C 时， yˆ =0.06e0.230335=0.06e8.0605． 又∵e8.0605≈3167 ∴ yˆ ≈0.063167≈190（个）． 即 当 温 度 x=35 C 时 ， 该 种 药 用 昆 虫 的 产 卵 数 估 计 为 190 个．…………………12 分
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出神入化（1）答案
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1.C
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认真细致 分分必争
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17.
认真细致 分分必争
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20.
19.【答案】(Ⅰ) yˆ =6.6x−138.6．(Ⅱ)(i)答案见解析；(2)190.
解 析 ： (Ⅰ) 由 题 意 得 ，
bˆ
【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三数学理科三轮复习系列七-出神入化7(解析版)
河北衡水中学2018届高三数学理科三轮复习系列七-出神入化7 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用对数函数的性质化简集合，利用补集和交集定义的求解即可.详解：因为，，又因为集合，故选D.点睛：本题主要考查描述法表示集合的概念，交集和补集的运算，属于简单题. 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且不属于集合的元素的集合.2. 若复数满足，其中为虚数单位，则共轭复数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，故选B.3. 拋物线的准线方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】抛物线可化为，焦点在轴上，抛物线的准线方程是，故选D.4. 已知某厂的产品合格率为0.8，现抽出10件产品检查，则下列说法正确的是（）A. 合格产品少于8件B. 合格产品多于8件C. 合格产品正好是8件D. 合格产品可能是8件【答案】D【解析】由已知中某厂的产品合格率为，则抽出件产品检査合格产品约为件，根据概率的意义，可得合格产品可能是件，故选D.5. 在中，点在边上，且，设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，，故选B.6. 当时，执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 9B. 15C. 31D. 63【答案】C【解析】由程序框图可知，，，退出循环，输出的值为，故选C..................................7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由正视图与侧视图可知，该几何体可以为如图所示的正方体截去一部分后的四棱锥，如图所示，由图知该几何体的俯视图为，故选D.8. 已知定义在上的函数满足，当时，，设在上的最大值为，则（）A. 7B.C.D. 14【答案】A【解析】分析：，就是函数向右平移个单位，最大值变为原来的倍，当时，，可得，利用等比数列的通项公式可得，从而可得结果.详解：，就是函数向右平移个单位，最大值变为原来的倍，当时，，，，，故选A.点睛：本题主要考查二次函数的单调性，等比数列的通项公式，意在考查转化与划归思想与计算能力，以及综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.9. 已知函数(为自然对数的底)，则的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：求出导函数，利用导函数判断函数的单调性，根据数形结合，利用零点存在定理判断极值点位置，结合，利用排除法可得结果.详解：函数的极值点就是的根，相当于函数和函数交点的横坐标，画出函数图象如图，由图知函数和函数有两个交点，因为,.所以，可排除选项；由，可排除选项，故选C.点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.10. 双曲线的左、右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与轴和双曲线的右支分别交于两点，若点平分线段，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】双曲线的左焦点为,直线的方程为，令，则，即，因为平分线段，根据中点坐标公式可得，代入双曲线方程，可得，由于，则，化简可得，解得，由，解得，故选B. 【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于的等式，最后解出的值.11. 已知是函数在上的所有零点之和，则的值为（）A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】B【解析】分析：函数的零点，转化为两个函数的图形的交点的横坐标，利用函数的对称性求解即可.详解：,由，可得，函数在上的所有零点之和，等价于与图象交点横坐标之和，函数的图象关于直线对称，函数的图象也关于直线对称，如图，两个函数共有个交点，两组都关于对称，函数，在上的所有零点之和，故选B.点睛：本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力，是中档题. 函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数有零点函数在轴有交点方程有根函数与有交点.12. 定义：如杲函数在区间上存在，满足，，则称函数是在区间上的一个双中值函数，己知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，∵函数是区间上的双中值函数，∴区间上存在，满足解得∴实数的取值范围是.故答案为．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 函数的图象在点处的切线与直线平行，则的极值点是__________．【答案】【解析】分析：求出函数的导数，根据，求出的值，从而求出的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的极值点即可.详解：，故，解得，故，令，解得，因为时，时所以是函数的极值点，故答案为.点睛：本题考查函数的单调性，极值问题，考查导数的几何意义，是一道基础题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.14. 如图，在正方体中，，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为__________．【答案】【解析】试题分析：设，中点为，连接，由中位线定理得，根据正方体的性质可知，，可得平面，进而平面，因为平面，所以平面平面，故答案为．考点：1、正方体的性质及三角形中位线定理；2、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理．【方法点睛】本题主要考查正方体的性质及三角形中位线定理、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，属于难题．解答空间几何体中的平行、垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间的平行、垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；解答本题的关键是由线线垂直证明线面垂直，进而证明面面垂直．15. 已知定义在上的偶函数满足，且当时，，若方程恰有两个根，则的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：方程恰有两个根，等价于的图象与的图象有两个交点，画出函数图象，结合图象可得结果.详解：时，，是偶函数且周期是，可得整个函数的图象，令，本题转化为两个函数交点的问题，结合图象，当直线过点时，；当直线与相切时，；所以，若交点在纵轴右边，符合题意的的取值范围是；因为函数是偶函数，结合函数的对称性可得，若交点在纵轴左边，符合题意的的取值范围是；所以若方程恰有两个根，则的取值范围是，故答案为.点睛：已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .16. 如图所示，平面四边形的对角线交点位于四边形的内部，，当变化时，对角线的最大值为__________．【答案】【解析】设，则由余弦定理可得，由正弦定理可得，，时，有最大值，取得最大值为，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列满足：.（1）设，求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）由可得,由此可得，利用累加法可得数列的通项公式；（2）由（1）可知，利用分组求和法与错位相减法，结合等差数列的求和公式与等比数列的求和公式，从而可得结果.详解：（1）由可得又∵，∴，由，得，累加法可得：化简并代入得：；（2）由（1）可知，设数列的前项和则①②②∴又∵的前项和为，∴点睛：“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.18. 某学校为了解高三复习效果，从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取50名考生的数学成绩，分成6组制成频率分布直方图如图所示：（1）求的值；并且计算这50名同学数学成绩的样本平均数；（2）该学校为制定下阶段的复习计划，从成绩在的同学中选出3位作为代表进行座谈，记成绩在的同学人数位，写出的分布列，并求出期望.【答案】（1），；（2）见解析【解析】试题分析：（1）由解得，根据各矩形中点横坐标与纵坐标的积求和即可得到该校名学生成绩的平均值；（2）成绩在的同学人数为，成绩在人数为，，的可能取值为，根据排列组合知识求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.试题解析：（1）由题解得(2)成绩在的同学人数为6，成绩在人数为4，，，，所以的分布列为19. 已知四棱锥，底面为正方形，且底面，过的平面与侧面的交线为，且满足(表示的面积).（1）证明：平面；（2）当时，二面角的余弦值为，求的值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）由正方形性质可得，从而得平面，根据线面平行的性质定理可得，由三角形中位线定理可得，进而根据线面平行的判定定理可得平面；（2）∵底面为正方形，且底面，两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，设，，分别求出平面的一个法向量及平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得，从而可得结果.试题解析：（1）由题知四边形ABCD为正方形∴AB//CD，又平面PCD，AB平面PCD∴AB//平面PCD又AB平面ABFE，平面ABFE∩平面PCD=EF∴EF // AB，又AB//CD∴EF //CD，由S△PEF：S四边形CDEF=1:3知E、F分别为PC、PD的中点连接BD交AC与G，则G为BD中点，在△PBD中EG为中位线，∴ EG//PB∵ EG//PB，EG平面ACE，PB平面ACE∴PB//平面ACE.（2）∵底面ABCD为正方形，且PA⊥底面ABCD，∴PA、AB、AD两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz，设AB=AD=2a，AP=2b，则A（0，0，0），D（0，2a，0），C（2a，2a，0）G（a，a，0），P（0，0，2b），F（a，a，b），∵PA⊥底面ABCD，DG底面ABCD，∴DG⊥PA ，∵四边形ABCD为正方形∴AC⊥BD,即DG⊥AC，AC∩PA=A∴DG⊥平面CAF，∴平面CAF的一个法向量为设平面AFD的一个法向量为而由得取可得为平面AED的一个法向量，设二面角C—AF—D的大小为则得又∴∴当二面角C—AF—D的余弦值为时.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 已知椭圆过点，顺次连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为，点.（1）求椭圆的方程；（2）已知点，是椭圆上的两点，（i）若，且为等边三角形，求的面积;（ii)若，证明：不可能是等边三角形.【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）根据面积公式得到，以及点在曲线上，代入得到，以及，求得；（Ⅱ）（ⅰ）根据等边三角形的性质，可得直线的倾斜角是或，这样求得直线的方程，联立椭圆方程，得到点的坐标，求得面积；（ⅱ）因为，所以斜率存在，设直线的方程是，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，并且表示线段中点的坐标，若是等边三角形，则，可求得，不合题意.试题解析：（Ⅰ）依题意，，，联立两式，解得，，故椭圆的方程为. （Ⅱ）（ⅰ）由且为等边三角形及椭圆的对称性可知，直线和直线与轴的夹角为，由可得.即或，当时，的面积为；当时，的面积为.（ⅱ）因为，故直线斜率存在，设直线，中点为，联立消去得，由得到，①所以，，所以.又，若为等边三角形，则有，即，即，化简得，②由②得点横坐标为，不合题意.故不可能为等边三角形.（用点差法求点坐标也可）21. 已知函数.（1）若，试讨论函数的单调性；（2）设，当对任意的恒成立时，求函数的最大值的取值范围.【答案】（1）在上递减，在上递增；（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）求导得.结合，可得在上递减，在上递增.（Ⅱ）由对任意的恒成立可得.又由（Ⅰ）知，当时，，可得对求导，研究其最值，并求其范围即可试题解析：（Ⅰ）.因为，则时时，∴在上递减，在上递增.（Ⅱ）当时，若，则.所以对任意的恒成立，.由（Ⅰ）知，当时，在上递减，在上递增.依题意，有，∴.∴.设，则，∵，∴，∴在上递增，∵，.因此，存在唯一，使得，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减.因此在处取得最大值，最大值为，设，则，∴在上递减，∴，∴∴时的最大值.反之，任取，下证，∵在上递减，在上递增，且时，∴任取，存在唯一的，使得.∵，∴在上递减，∴时，.综上，当对任意的恒成立时，函数最大值，最大值的取值范围为.注：后半部分的证明是为了说明当在内变化时，能取遍内的所有值，从而的最大值能取遍内所有的值，防止把的最大值的取值范围变大.22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.（1）求直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线相交于两点，求.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由消去得：，把代入，得直线的极坐标方程；（2）利用将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程可得，利用点到直线距离公式以及勾股定理可得的值.试题解析：（Ⅰ）由消去得：，把代入，得，所以曲线C的极坐标方程为（Ⅱ）即圆C的圆心C（0，-1）到直线的距离所以23. 已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数的图像与轴没有交点，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）【解析】分析：（1）不等式等价于或，从而可得结果；（2）分类讨论，根据函数图象与轴无交点，得到关于的不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可得结果.详解：（1）时，不等式可化为，即∴或，即或.（2）当时，，要使函数与轴无交点，只需即当时，，函数与轴有交点.当时，，要使函数与轴无交点，只需此时无解.综上可知，当时，函数与轴无交点.点睛：绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．24. 甲题型：给出如图数阵表格形式，表格内是按某种规律排列成的有限个正整数.（1）记第一行的自左至右构成数列，是的前项和，试求；（2）记为第列第行交点的数字，观察数阵请写出表达式，若，试求出的值. 【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）观察表格中数据，找出共同特性，可得，利用分组求和可得结果；（2）由（1）知，第族第一个数（首项），通过观察表格找出共同特性可得，设，∵，现对可能取值进行赋值试探，然后确定.详解：（1）根据上述分析，数列其实就是第族的首项记，观察知：，，归纳得：.（2）由（1）知，第族第一个数（首项）.通过观察表格，找出共同特性可得，，，.于是观察归纳得:(其中为行数，表示列数设)设，∵，现对可能取值进行赋值试探，然后确定.取，则，∵易知，故必然，于是2017必在第64族的位置上，故2017是第64族中的第一行数.∴.点睛：本题主要考查归纳推理，属于难题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.25. 已知为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，并在轴上方交双曲线于点，且.（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别是和，试求的值；（3）过圆上任意一点作切线交双曲线于两个不同点，中点为，证明：.【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】分析：(1) 在直角三角形中，，解得，从而可得双曲线的方程；（2）确定两条渐近线方程，设双曲线上的点，求出点到两条渐近线的距离，利用在双曲线上，及向量的数量积公式，结合即可求得结论；（3）分类讨论: ①当切线的斜率存在，设切钱的方程代入双曲线中，利用韦达定理、弦长公式以及点到直线距离公式，结合直线与圆相切，可得成立；②当切线的斜率不存在时，求出的坐标，即可得到结论.详解：（1）根据已知条件得，∴焦点坐标为，∵轴，∴在直角三角形中，，解得，于是所求双曲线方程为.（2）根据（1）易得两条双曲线渐近线方程分別为，，设点，则，又在双曲线上，所以于是.（3）①当直线的斜率不存在时，则，于是，此时，即命题成立.②当直线的斜率存在时，设的方程为切线与的交点坐标为，于是有消去化成关于的二次为.∵为的中点，∴即坐标为则，又点到直线的距离为，.代入得：，，故得证.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，意在考查学生理解力、分析判断能力以及综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.在得到三角形的面积的表达式后，能否利用换元的方法，观察出其中的函数背景成了完全解决问题的关键.。
普通高等学校高三招生全国统一考试仿真卷(七)数学(理)含答案【精选】.doc
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（七）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集{}1,2,3,4U =，若{}1,3A =，{}3B =，则()()U UA B I 痧等于（ ）A ．{}1,2B ．{}1,4C ．{}2,3D ．{}2,42．已知复数z 满足()34i 34i z +=-，z 为z 的共轭复数，则z =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．如果数据1x ，2x ，…，n x 的平均数为x ，方差为28，则152x +，252x +，…，52n x +的平均数和方差分别为（ ） A ．2,8xB ．252,8x +C ．252,258x +⨯D ．2,258x ⨯4．《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日共织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（ ） A ．9B ．10C ．11D ．125．已知0.41.9a =，0.4log 1.9b =， 1.90.4c =，则（ ）姓名 准考证号 考场号 座位号卷只装订不密封A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >>6．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 区域中，M ，N 分别为OA ，OB 的中点，在M ，N 两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以OA ，OB 为直径的圆，在扇形OAB 内随机取一点，则能够同时收到两个基站信号的概率是（ ）A ．21-πB ．112-πC ．42-πD ．1π7．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．23B ．1C ．43D ．838．已知函数()20172017log x f x =+)2120173x x x -++-+，则关于x 的不等式()()126f x f x -+>的解集为（ ）A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．()1,2D ．()1,49．在如图所示的程序框图中，若输入的2s =，输出的2018s >，则判断框内可以填入的条件是（ ）开始输入x结束是否输出s 2s s =1i =1i i =+A ．9i >B ．10i ≤C ．10i ≥D ．11i ≥10．已知关于x在区间[)0,2π上有两个根12,x x ，m 的取值范围是（） A ．()B ．(⎤⎦C ．⎡⎣D ．[)0,111．已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()e 23x f x x f x '=++（e 是自然对数的底数），()01f =，若不等式()0f xk -<的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是（ ）ABC D 12．已知椭圆2215y x +=与抛物线2x ay =有相同的焦点F，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且4AF =，则PA PO+的最小值为（ ） A．B ．C ．D ．第Ⅱ卷卷包括必考题和选考题两部分。
2018届河北省衡水中学高三下学期期中考试理科数学试题及答案精品
成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示语文成绩
与数学成绩，若在该样本中，数学成绩优秀率是 30%，求 a、b 的值；
（ 3）在语文成绩为及格的学生中，已知
a 10,b 8 ，设随机变量
a b ，求① 的分布列、期望 ; ②数学成绩为优秀的人数比及格的
24. （本小题满分 10 分）选修 4-5 ，不等式选讲 在平面直角坐标系中，定义点 P(x1, y1) 、 Q( x2 , y2 ) 之间的直角距离
为 L( P,Q ) | x1 x2 | | y1 y2 |，点 A(x,1) ， B(1,2) ， C (5, 2) （1）若 L ( A, B) L( A,C) ，求 x 的取值范围； （2）当 x R 时，不等式 L ( A, B) t L( A, C ) 恒成立，求 t 的最小值 .
∴ O 为 B1C 中点又 D 为 AC 中点 , 从而 DO // AB1 (4 分)
∵ AB1 平面 BDC 1 , DO 平面 BDC1 ∴ AB1 // 平面 BDC1 (6 分) （Ⅱ）建立空间直角坐标系 B xyz 如图所示 ,
33
则 B(0,0,0) , A(
3,1,0) ,
C (0,2,0)
4
D．2k 或 2k 一 1 （ k∈Z）
4
C． 0
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、 填空题（每题 5分，共 20分。把答案填在答题纸的横线上）
13．设等比数列 { an} 满足公比 q N * ，a n N * ，且 { a n } 中的任意两项之积
也 是 该 数 列 中 的 一 项 ， 若 a1 281 ， 则 q 的 所 有 可 能 取 值 的 集 合