为什么要用三级火箭来发射人造卫星
数学建模习题
数学建模习题1．木材采购问题一个木材贮运公司，有很大的仓库，用于贮运出售木材。
由于木材季度价格的变化，该公司于每季度初购进木材，一部分于本季度内出售，一部分贮存起来以后出售。
已知：该公司仓库的最大贮藏量为20万立方米，贮藏费用为：（a+bu ）元/万立方米，其中：a=70,b=100,u 为贮存时间（季度数）。
已知每季度的买进、卖出价及预计的销售量为：由于木材不易久贮，所有库贮木材于每年秋季售完。
确定最优采购计划。
2．飞机投放炸弹问题某战略轰炸机群奉命摧毁敌人军事目标。
已知该目标有四个要害部位，只要摧毁其中之一即可达到目的。
为完成此项任务的汽油耗量限制为48000公升，重型炸弹48枚、轻型炸弹32枚。
飞机携带重型炸弹时每公升汽油可飞行2公里，带轻型炸弹时每公汽油可飞行3公里。
又知每架飞机一次只能装载一枚炸弹，每出发轰炸一次除来回路程汽油消耗（空载时每公升汽油飞行4公里）外。
3．三级火箭发射问题建立一个模型说明要用三级火箭发射人造卫星的道理。
（1） 设卫星绕地球作匀速圆周运动，证明其速度为v=r g R ;，R 为地球半径，r 为卫星与地心距离，g 为地球表面重力加速度。
要把卫星送上离地面600km 的轨道，火箭末速v 应为多少。
（2） 设火箭飞行中速度为v （t ），质量为m （t ），初速为零，初始质量0m ，火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u ，忽视重力和阻力对火箭的影响。
用动量守恒原理证明v （t ）=)(ln 0t m mu 。
由此你认为要提高火箭的末速度应采取什么措施。
（3） 火箭质量包括3部分：有效载荷（卫星）p m ；燃料f m ；结构（外壳、燃料仓等）s m ，其中s m 在f m +s m 中的比例记作λ，一般λ不小于10%。
证明若p m =0（即火箭不带卫星），则燃料用完时火箭达到的最大速度为m ν=-λln u .已知目前的u=3km/s ，取λ=10%，求m ν。
这个结果说明什么。
多级火箭的应用原理是什么
多级火箭的应用原理介绍多级火箭是一种常见的航天器设计，它采用层级结构将多个火箭级联在一起。
这种设计在航天领域中被广泛应用，它能够提供更高的推进力和更大的载荷能力。
本文将介绍多级火箭的应用原理及其工作原理。
多级火箭的结构多级火箭由多个级组成，每个级都是一个独立的火箭。
每个级都包含一个或多个火箭发动机、燃料和氧化剂，以及控制和导航系统。
这些级通过分离装置连接在一起，最底部的级被称为第一级，最顶部的级被称为顶级。
工作原理多级火箭的工作原理可以概括为以下几个步骤：1.点火和起飞：首先，火箭的第一级点火启动发动机，并开始提供推力。
推力将火箭从地面推离，使其开始飞行。
2.燃料耗尽和分离：当第一级的燃料耗尽时，它就不再提供推力。
此时，分离装置被触发，将第一级从火箭上分离出来。
3.点火和工作：在第一级分离后，火箭的第二级点火启动发动机。
第二级开始提供推力，并将火箭继续推向目标。
4.燃料耗尽和分离：当第二级的燃料耗尽时，它也将被分离，依此类推。
每个级的分离都会减轻总重量，使后续级可以更高效地提供推力。
5.顶级：最后一个级是顶级，它通常用于将航天器送入轨道或其他目标。
一旦顶级完成任务，它也会分离。
多级火箭的工作原理可以确保在每个级耗尽燃料后都能够丢弃不需要的部分，从而减轻总重量。
这种结构使得火箭能够以较高的速度和效率前进，同时具有较大的载荷能力。
多级火箭的优势多级火箭相较于单级火箭有以下几个优势：1.更高的速度：多级火箭的结构使得每个级在分离后可以以更高的速度前进，从而实现更远的航程。
2.更大的载荷能力：多级火箭可以通过逐级丢弃不需要的部分，减轻总重量，从而实现更大的载荷能力。
这对于将卫星送入轨道等任务尤为重要。
3.更高的灵活性：多级火箭的结构允许在设计中使用不同类型的发动机和燃料组合，以满足不同的任务需求。
总结多级火箭是一种在航天领域中广泛应用的设计，它的应用原理基于逐级的燃料耗尽和分离。
多级火箭能够实现更高的速度、更大的载荷能力以及更高的灵活性。
火箭的分级原理
火箭的分级原理火箭作为一种重要的航天工具，具有强大的推力和较高的速度，能够将航天器送入太空。
火箭的分级原理是实现其离地表加速上升的关键。
本文将介绍火箭的分级原理，并对其作用和具体实施进行详细阐述。
一、火箭分级的作用火箭分级是为了解决火箭发射过程中的一些重要问题，包括飞行中的质量变化、气动力、动力平衡等。
通过分级设计，可以实现以下几个目标：1. 质量减轻：随着火箭上升，燃料和氧化剂会不断被耗尽，质量会逐渐减轻。
而分级设计可以使每个级别只携带相对较小的燃料和氧化剂，从而减轻每个级别的质量，提高整体效率。
2. 动力平衡：火箭发射过程中，推力需要在引擎和火箭结构之间平衡，以保证飞行的稳定性。
通过分级设计，可以在每个级别中正确配置引擎和燃料，以达到动力平衡的效果。
3. 气动力减小：分级设计还可以减小空气阻力对火箭的影响。
较高的火箭部分会脱离下面的低速空气流场，减小空气阻力，提高整体飞行效率。
二、火箭分级的具体实施火箭通常采用多级分离式设计，其中每个级别都由燃料、氧化剂和引擎组成，且各个级别之间通过连接件相互连接。
下面将对每个级别的功能和实施进行介绍：1. 第一级（底级）：第一级是整个火箭最底部的级别，负责提供最大的推力。
它通常由固体燃料推进剂组成，具有较高的推力瞬间，以便使火箭能够逃离地球引力的束缚。
一旦推进剂燃烧完毕，第一级会被分离，并由其他级别继续推进。
2. 第二级（中级）：第二级是位于第一级之上的级别，通常由液体燃料和液氧组成。
它在第一级分离后继续提供推力，并为火箭进一步升空提供动力。
第二级推进剂的质量相对较小，逐渐减轻整个火箭的负载。
3. 第三级（上级）：第三级是位于第二级之上的级别，它通常由液体燃料和液氧组成。
第三级的推力较小，但速度较高，主要用于将航天器送入预定的轨道和速度。
一旦完成任务，第三级会被分离。
三、火箭分级的注意事项在火箭的分级设计中，有几个注意事项需要考虑：1. 分离机构：每个级别之间的连接件和分离机构需要设计合理，以保证分离的准确性和可靠性。
发射卫星为什么用三级火箭
微分方程建模：发射卫星为什么用三级火箭微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。
把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步：1. 根据实际要求确定要研究的量(自变量、未知函数、必要的参数等)并确定坐标系。
2. 找出这些量所满足的基本规律(物理的、几何的、化学的或生物学的等等)。
3. 运用这些规律列出方程和定解条件。
列方程常见的方法有：（i）按规律直接列方程在数学、力学、物理、化学等学科中许多自然现象所满足的规律已为人们所熟悉，并直接由微分方程所描述。
如牛顿第二定律、放射性物质的放射性规律等。
我们常利用这些规律对某些实际问题列出微分方程。
（ii）微元分析法与任意区域上取积分的方法自然界中也有许多现象所满足的规律是通过变量的微元之间的关系式来表达的。
对于这类问题，我们不能直接列出自变量和未知函数及其变化率之间的关系式，而是通过微元分析法，利用已知的规律建立一些变量（自变量与未知函数）的微元之间的关系式，然后再通过取极限的方法得到微分方程，或等价地通过任意区域上取积分的方法来建立微分方程。
（iii）模拟近似法在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚而且相当复杂，因而需要根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设。
在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法列出微分方程。
在实际的微分方程建模过程中，也往往是上述方法的综合应用。
不论应用哪种方法，通常要根据实际情况，作出一定的假设与简化，并要把模型的理论或计算结果与实际情况进行对照验证，以修改模型使之更准确地描述实际问题并进而达到预测预报的目的。
本章将利用上述方法讨论具体的微分方程的建模问题。
§1 发射卫星为什么用三级火箭采用运载火箭把人造卫星发射到高空轨道上运行，为什么不能用一级火箭而必须用多级火箭系统？下面通过建立运载火箭有关的数学模型来回答上述问题。
多级火箭建模讲解
得：
2
3ln
mm022.是呢m1m1mm否？1PP 三最11级简 火 单 0箭 的.mmm1m就 方PP2 2是 法11最 就 省 是
3ln
k 1 2 0.1k 1
6 ln
r
假设(i)
（2）设火g箭=9推.8进1米力/及秒速2，度得的:分析
假设：火箭重力及空气阻力均不计
卫星离地面高度 卫星速度
(公里)
(公里/秒)
分析：记火箭在时刻t的质量和速度分别为m(t)和υ(t)
有： m(t t) m(t) dm t O(t2 )
100
7.86
记火箭喷出的气体相d对t 于火箭的速度为20u0 （常数），7.80
§1 为什么要用三级火箭来发射人造卫星
构造数学模型，以说明为什么不能用一级火箭而必须用多 级火箭来发射人造卫星？为什么一般都采用三级火箭系统？
1、为什么不能用一级火箭发射人造卫星?
（1）卫星能在轨道上运动的最低速度
假设：（i） 卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星
在此轨道上作匀速圆周运动。
（ii）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫
的调整，以保证区域内飞机互不相撞；
（5）忽略调整方向角引起的误差，忽略飞机速度变化所 引起的误差，即认为飞机做匀速飞行。
3 符号的约定
D 代表本问题中某一高层中的正方形区域
Pi 代表第i架飞机，
v 飞机的飞行速度
t 时间
(xi, yi ) 第i架飞机的位置
(xi0, yi0)第i架飞机的初始时刻（即新飞机到达区域边缘的时刻）
又应用W（Wn131 .1WW112） WW可m32 in求WWk得n11k12末nk速k1kn2度ulan：kn[mk1W1 1
长征一号
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它的一、二级火箭采用当时的成熟技术，并为发射卫星做了适应性修改，第三级是新研制的以固体燃料为推进剂的上面级。
1967年11月，决定由中国运载火箭技术研究院负责研制。
1968年初，完成了火箭的总体设计，之后又用了两年左右的时间完成了各种大型的地面试验。
1970年4月24日，长征一号火箭首次发射，将中国第一颗人造地球卫星东方红一号顺利送入轨道，发射获得圆满成功。
1971年3月3日，长征一号火箭第二次发射，把实践一号科学试验卫星准确送入轨道，又一次取得圆满成功。
相对于70度倾角、440公里高的圆轨道，长征一号火箭的运载能力为300公斤，此火箭共进行了两次发射，均获得成功。
长征一号的研制成功，揭开了我国航天活动的序幕。
为了提高长征一号火箭的运载能力，适应国内外小型卫星发射市场需求，根据长征一号改进的长征一号丁火箭正时刻准备着进入发射市场。
长征一号丁的低轨道（185公里）运载能力为850 公斤，同步轨道的运载能力为200公斤。
“长征一号Ｄ”运载火箭是"长征一号"火箭的改进型，主要改进有：提高了一子级发动机推力；提高二、三子级性能；采用“平台－计算机”全惯性制导，经过改进，“长征一号Ｄ”火箭可以发射各种低轨道卫星，并已投入商业发射。
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数学建模答案 (5)
一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分)1．模型模型是系统知识的抽象表示。
我们不能仅仅通过语言来描述一个系统，也不能仅仅通过记忆来记录关于系统的知识。
知识是通过某种媒介来表达的，这种媒介所表达的内容就是模型。
而知识形成媒介的过程就是建模，或者称为模型化。
通常模型可以使用多种不同的媒介来表达，比如纸质或电子文档、缩微模型/原型、音像制品等等。
而表达模型的体现方式也是多种多样的，常见的有图表、公式、原型、文字描述等等。
2．数学模型由数字、字母、或其他数学符号组成的，描述现实对象（原型）数量规律的数学结构。
具体地说，数学模型也可以描述为：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构称之为数学模型.如概率的功利化定义。
3．抽象模型通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接存储在大脑中的模型称之谓思维模型。
从实际的人、物、事和概念中抽取所关心的共同特性，忽略非本质的细节把这些特性用各种概念精确地加以描述。
二、简答题（每小题满分8分，共24分）1．模型的分类按照模型替代原型的方式，模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类.形象模型：直观模型、物理模型、分子结构模型等;抽象模型：思维模型、符号模型、数学模型等。
2．数学建模的基本步骤1）建模准备：确立建模课题的过程；2）建模假设：根据建模的目的对原型进行抽象、简化。
有目的性原则、简明性原则、真实性原则和全面性原则；3）构造模型：在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的各条款，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学刻划实际问题的数学模型.；4）模型求解：构造数学模型之后，方法和算法，并借助计算机完成对模型的求解；5）模型分析：根据建模的目的要求，对模型求解的数字结果，或进行稳定性分析，或进行系统参数的灵敏度分析，或进行误差分析等。
新教材高中物理第一章动量和动量守恒定律第四节动量守恒定律的应用课件粤教版选择性
3. 如图所示是一门旧式大炮，炮车和炮弹的质量分别是M和m， 炮筒与地面的夹角为α，炮弹射出出口时相对于地面的速度 为v0。不计炮车与地面的摩擦，求炮车向后反冲的速度的大小。 解析：取炮弹与炮车组成的系统为研究对象，因不计炮车与地面的摩擦，所以 水平方向动量守恒。炮弹发射前，系统的总动量为零，炮弹发射后，炮弹的水 平分速度为 v0cos α，设 v0 的水平方向为正方向，根据动量守恒定律有 mv0cos α －Mv＝0，所以炮车向后反冲的速度大小为 v＝mv0Mcos α。 答案：mv0Mcos α
典例1 反冲小车静止放在水平光滑玻璃上，点燃酒精，蒸汽将橡皮塞水平喷 出，小车沿相反方向运动。如果小车运动前的总质量M＝3 kg，水平喷出的橡皮 塞的质量m＝0.1 kg。
(1)若橡皮塞喷出时获得的水平速度v＝2.9 m/s，求小车的反冲速度； (2)若橡皮塞喷出时速度大小不变，方向与水平方向成60°角，小车的反冲速 度又如何(小车一直在水平方向运动)?
(1)一个系统初、末状态动量大小相等，即动量守恒。
(×)
(2)两个做匀速直线运动的物体发生碰撞，两个物体组成的系统动量守恒。 (√ )
(3)系统动量守恒也就是系统的动量变化量为零。
(√ )
3．想一想
有两位同学静止在滑冰场上，不论谁推谁一下，两个人都会向相反方向滑去，
他们的动量都发生了变化，他们的总动量在推动前后是否发生了变化？
提示：(1)人对船的摩擦力。小船向左运动，即与人运动的方向相反。 (2)不运动。小船和人组成的系统动量守恒，当人的速度为零时，船的速度也 为零。 (3)不可能。由系统动量守恒可知，人和船相对于地面的速度方向一定相反， 不可能向同一个方向运动，且人船位移比等于它们质量的反比。
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假设: 假设: i) 卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆,卫星 卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆, (
在此轨道上作匀速圆周运动. 在此轨道上作匀速圆周运动. ii)地球是固定于空间中的均匀球体, (ii)地球是固定于空间中的均匀球体,其它星球对卫 R为地球半径, 为地球半径, 星的引力忽略不计. 星的引力忽略不计. 分析: 分析:
三级火箭比二级火箭 几乎节省了一半
要使υ 公里/秒 要使 3=10.5公里 秒,则(k+1)/(0.1k+1)≈3.21,k≈3.25,而 公里 , , (m1+ m2+ m3+ mP)/ mP≈77. .
考虑N级火箭: 考虑N级火箭: 级火箭的总质量( 记n级火箭的总质量(包含有效负载 P)为m0 ,在 级火箭的总质量 包含有效负载m 相同的假设下可以计算出相应的m 的值,见表3-2 相同的假设下可以计算出相应的 0/ mP的值,见表
类似地,可以推算出三级火箭: 类似地,可以推算出三级火箭:
υ3 = u ln
m1 + m2 + m3 + mP m + m3 + mP m + mP 2 3 λ m1 + m2 + m3 + mP λ m2 + m3 + mP λ m3 + mP
3
在同样假设下: 在同样假设下:
k +1 k +1 υ3 = 3ln = 9 ln 0.1k + 1 0.1k + 1
得到: m dm = u (1 λ ) dm 得到:
上天的! 上天的!
耗尽时,结构质量也逐渐抛尽,它的最终质量为 耗尽时,结构质量也逐渐抛尽,它的最终质量为mP, 所以最终速度为: υ = u (1 λ ) ln m0 所以最终速度为:
mP
3,理想过程的实际逼近——多级火箭卫星系统 理想过程的实际逼近 多级火箭卫星系统 记火箭级数为n,当第 级火箭的燃料烧尽时 级火箭的燃料烧尽时, 记火箭级数为 ,当第i级火箭的燃料烧尽时,第i+1级火 级火 箭立即自动点火,并抛弃已经无用的第i级火箭.用mi表示第 箭立即自动点火,并抛弃已经无用的第 级火箭. 级火箭 i级火箭的质量,mP表示有效负载. 级火箭的质量, 表示有效负载. 级火箭的质量 为简单起见,先作如下假设: 为简单起见,先作如下假设: 级火箭中λm (i)设各级火箭具有相同的 ,即i级火箭中 i为结构 )设各级火箭具有相同的λ 即 级火箭中 质量,( ,(1-λ) 为燃料质量. 质量,( )mi为燃料质量. (ii)设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变, )设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变, 并记比值为k. 该假设有点强加 的味道, 的味道,先权作 考虑二级火箭: 考虑二级火箭: 讨论的方便吧 由3.11式,当第一级火箭燃烧完时,其末速度为: 式 当第一级火箭燃烧完时,其末速度为:
表3-2
n(级数) (级数) 1 2 3 4 5 … … ∞(理想) 理想) 50
火箭质量( 吨 ) / 149 77 65 火箭质量 ( 当然若燃料的价钱很便宜 60
而推进器的价钱很贵切且 制作工艺非常复杂的话, 制作工艺非常复杂的话, 由于工艺的复杂性及每节火箭 也可选择二级火箭. 也可选择二级火箭. 都需配备一个推进器, 都需配备一个推进器,所以使 用四级或四级以上火箭是不合 算的, 算的,三级火箭提供了一个最 好的方案. 好的方案.
分析: 约为6400 6400公里 约为6400公里 根据牛顿第三定律,地球对卫星的引力为: 根据牛顿第三定律,地球对卫星的引力为 F = km 在地面有: 在地面有: km = mg 2
R
得: k=gR2
2
r2
故引力: 故引力:
R F = mg r
假设(ii)
卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力 mυ 2 故又有: 故又有: F = 从而: υ = R g 从而:
又由假设( ), ),m 又由假设(ii), 2=kmP,m1=k(m2+mP),代入上式, ,代入上式, 并仍设u=3公里 秒,且为了计算方便,近似取 公里/秒 且为了计算方便,近似取λ=0.1,则 并仍设 公里 , 可得: 可得: m m
1 + 1 2 + 1 2 m2 + mP mP k +1 k +1 υ2 = 3ln = 3ln = 6 ln 0.1m1 0.1m2 0.1k + 1 0.1k + 1 + 1 + 1 是否三级火箭就是最省 + m2呢mP 最简单的方法就是 ? mP 10.5 k +1 对四级, 对四级 = e 6 ≈ 5.75 要使υ 公里/秒 则应使: 要使 2=10.5公里 秒,则应使 公里 ,五级等火箭进 0.1k + 1 行讨论. 行讨论. 即k≈11.2,而: m1 + m2 + mP ≈ 149 , mP
§3.3 为什么要用三级火箭来发射人造卫星
1,为什么不能用一级火箭发射人造卫星? 为什么不能用一级火箭发射人造卫星? (1)卫星能在轨道上运动的最低速度
构造数学模型, 构造数学模型,以说明为什么不能用一级火箭而必须用多 级火箭来发射人造卫星?为什么一般都采用三级火箭系统? 级火箭来发射人造卫星?为什么一般都采用三级火箭系统?
dt
v
200 7.80 记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u(常数), 记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为 (常数),
dm m(t )υ (t ) = m(t + t )υ (t + t ) t + O (t 2 ) (υ (t ) 7.58 u) 600 dt m-dm dυ dm m 800 由此解得: 故: m = u 由此解得:υ (t ) = υ0 + u ln 0 7.47 ) (3.11) dm dt dt m(t ) 7.37 1000 一定的情况下, υ0和m0一定的情况下, 火箭速度υ(t) υ(t)由喷发 火箭速度υ(t)由喷发 u-v 速度u及质量比决定. 速度u及质量比决定.
由动量守恒定理: 由动量守恒定理:
400
7.69
(2)火箭推进力及速度的分析 现将火箭——卫星系统的质量分成三部分: 卫星系统的质量分成三部分: 现将火箭 卫星系统的质量分成三部分 有效负载,如卫星) (i)mP(有效负载,如卫星) ) 燃料质量) (ii)mF(燃料质量) ) 结构质量——如外壳,燃料容器及推进器). 如外壳, (iii)mS(结构质量 ) 如外壳 燃料容器及推进器). 最终质量为m 初始速度为0, 最终质量为 P + mS ,初始速度为 , 所以末速度: 所以末速度: = u ln mO υ
υ2 = u ln
当第二级火箭燃尽时,末速度为: 当第二级火箭燃尽时,末速度为:
υ2 = υ2 + u ln
m1 + m2 + mP λ m1 + m2 + mP
m + m2 + mP m2 + mP m + mP = u ln 1 2 λ m2 + mP λ m1 + m2 + mP λ m2 + mP
[ )] λ k (1 n[λ m1 + W λ )]+λ kn + (1m λ+ W n +1 1 + 2 λ 能说过假设(ii)有点强加的味道;现去掉该 中已经能说过假设(ii)有点强加的味道; (ii)有点强加的味道 假设,在各级火箭具有相同λ的粗糙假设下, 假设,在各级火箭具有相同λ的粗糙假设下,来讨论火箭 结构的最优设计. 结构的最优设计. 记 W =m +…+ W:+ m m 解条件极值问题: P 解条件极值问题 1 n 1 火箭结构优化设计讨论 Wn 1 W2{k k k 中我们得到与假设( }) 中我们得到与假设(ii) Wn +1 则 W2=mu+…+ min+ mPn υn = 2 ln mn 1 2 W1 , 相符的结果,这说明前 Wn …… 相符的结果1 + 1 k1k k λ λ 面的讨论都是有效的!W 1 + 1 面的讨论都是有效的!2 n +1 n s.t2. W P Wn= mn+m [λ k + (1 λ )][λ k + (1 λ )] = C 1 k k n n Wn+1= mln =u P [ λ k1 + (1 λ )] [ λ k n + 或等价地求解无约束极值问题: 或等价地求解无约束极值问题:(1 λ )] 应用(3.11)可求得末速度: 应用(3.11)可求得末速度: k1k 2 kn W W1 W1 W2 k11 2 kn a W1 min k Wn C W2 又 = = k = u lnk υ k
r
r
假设(i)
(2)火箭推进力及速度的分析 设g=9.81米/秒2,得: g=9.81米 假设:火箭重力及空气阻力均不计 假设:
卫星离地面高度 公里) (公里) 卫星速度 公里/ (公里/秒) 7.86
分析:记火箭在时刻 的质量和速度分别为 的质量和速度分别为m(t)和υ(t) 分析:记火箭在时刻t的质量和速度分别为 和 100 dm 2 t + O (t ) 有: m(t + t ) m(t ) =
m +m
2,理想火箭模型 假设: 记结构质量m 假设: 记结构质量 S在mS + mF中占的比例为 ,假设火 中占的比例为λ, 箭理想地好,它能随时抛弃无用的结构, 箭理想地好,它能随时抛弃无用的结构,即结构质量 与燃料质量以λ与 与燃料质量以 与(1-λ)的比例同时减少. )的比例同时减少. 建模: 建模: 由
m(t )υ (t ) = m(t + t ) λ dm dm υ (t )t (1 λ ) (υ (t ) u )t + O(t 2 ) dt 哈哈, dt 哈哈,我还是有可能