3.3为什么要用三级火箭来发射人造卫星 数学建模
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发射卫星为什么用三级火箭发射卫星为什么用三级火箭.
发射卫星为什么用三级火箭
从火箭的动力系统及整体结构分析， 讨论了理想火箭模型，回答了发射卫星为 什么不用一级而必须用多级火箭的问题。
主要内容
问题的提出 模型假设 模型建立 模型讨论
进一步思考的问题
问题的提出
一、问题
发射卫星为什么不用一级而必须用多 级火箭？为什么一般采用三级火箭系统？
火箭是一个复杂的系统，为了使问题简单明了，这 里只从动力系统及整体结构上分析，并假定引擎是足够 强大的。 1.为什么不能用一级火箭发射人造卫星。 （1）卫星进入轨道，火箭所需最低速度。 （2）火箭推进力及速度的分析。 （3）一级火箭末速度上限（目前技术条件下）。
设），曲线C为地球表面，C为′ 卫星轨道，其半径
为 r，卫星质量为m ，根据牛顿定律，地球对卫星
的引力为：
F =G× m r2
（1）
其中 G为引力常数，可根据卫星在地面的重量算出，即：
Gm = mg,G = gR 2
R2
代入式（1）得： F
=
mg
× ⎜⎛
R
⎟⎞2
⎝r⎠
（2） （3）
由假设（1），卫星所受到的引力即它作匀速圆周运动的向心
v = (1− λ)u ⋅ ln m0
（14）
mp
式（14）表明：当m0 足够大，便可使卫星达到我们所希望它
具有的任意速度。如考虑空气阻力，要使 v =10.5km/ s 才行。
理想火箭是设想把无用结构连续抛掉，显然实际上办不到，
现在建造多级火箭系统办法，来近似实现理想过程。记火箭 级数为n。当i级火箭燃料烧尽时，第i+1级火箭立即自动点火，
（15）
又据假设（2），m2 = kmp , m1 = k(m2 + mp ) ，代入式
从火箭的动力系统及整体结构分析， 讨论了理想火箭模型，回答了发射卫星为 什么不用一级而必须用多级火箭的问题。
主要内容
问题的提出 模型假设 模型建立 模型讨论
进一步思考的问题
问题的提出
一、问题
发射卫星为什么不用一级而必须用多 级火箭？为什么一般采用三级火箭系统？
火箭是一个复杂的系统，为了使问题简单明了，这 里只从动力系统及整体结构上分析，并假定引擎是足够 强大的。 1.为什么不能用一级火箭发射人造卫星。 （1）卫星进入轨道，火箭所需最低速度。 （2）火箭推进力及速度的分析。 （3）一级火箭末速度上限（目前技术条件下）。
设），曲线C为地球表面，C为′ 卫星轨道，其半径
为 r，卫星质量为m ，根据牛顿定律，地球对卫星
的引力为：
F =G× m r2
（1）
其中 G为引力常数，可根据卫星在地面的重量算出，即：
Gm = mg,G = gR 2
R2
代入式（1）得： F
=
mg
× ⎜⎛
R
⎟⎞2
⎝r⎠
（2） （3）
由假设（1），卫星所受到的引力即它作匀速圆周运动的向心
v = (1− λ)u ⋅ ln m0
（14）
mp
式（14）表明：当m0 足够大，便可使卫星达到我们所希望它
具有的任意速度。如考虑空气阻力，要使 v =10.5km/ s 才行。
理想火箭是设想把无用结构连续抛掉，显然实际上办不到，
现在建造多级火箭系统办法，来近似实现理想过程。记火箭 级数为n。当i级火箭燃料烧尽时，第i+1级火箭立即自动点火，
（15）
又据假设（2），m2 = kmp , m1 = k(m2 + mp ) ，代入式
三级火箭发射人造卫星的道理及研究
三级火箭发射人造卫星的道理及研究
摘要
目录
一、 问题重述
问题要求对三级火箭发射卫星的原理进行分析. 主要有如下五个问题 : 1.在卫星做匀速圆周运动的理想模型下求火箭的末速度.
2.火箭初速度为零，初质量为 ,火箭喷出的气体相对火箭的速度为 , 忽略重力和阻
力的影响,当火箭在飞行过程中速度 和质量
都随时间变化时证
5.实际上的是建造多级火箭一段段地丢弃无用的结构部分. 第 级火箭质量（燃料和结
构）为 , 为结构质量（ 对各级是一样的）. 为有效载荷.第 级燃料用完时丢
弃第 级结构，同时第
级点火. 另外,若燃烧级的初始质量与其负载质量之比为
（ 恒定）.证明 3 级火箭末速度为:
. 并分析
时需要多重的火箭（ 用之前的数据）, 比较用 2 级或 4 级火箭时的结果 ,由此得出 用 3 级火箭发射卫星的原因.
燃料用完时火箭达到的最大速度 第 级火箭的质量（燃料和结构）
第 级火箭结构的质量 燃烧级初始质量与其负载质量之
比（ 保持不变） 第 级火箭的末速度
五、 模型的建立与求解
第一部分：准备工作 第二部分：问题 1 的 模型 第三部分：问题 2 的 模型 第四部分：问题 3 的 模型 第五部分：问题 4 的 模型 第六部分：问题 5 的 模型
明:
.并分析要提高末速度应采取的措施.
3.一般情况下火箭质量有三部分:有效载荷（卫星） ; 燃料 ; 结构（外壳、燃料仓
等） , 并记
,（
）.当
时，证明燃料用完时最大速度为
. 并分析
时的 .
4. 假 设 火 箭 的 结 构 质 量 与 燃 料 质 量 以 和
的比例同时不断减少,证明：
摘要
目录
一、 问题重述
问题要求对三级火箭发射卫星的原理进行分析. 主要有如下五个问题 : 1.在卫星做匀速圆周运动的理想模型下求火箭的末速度.
2.火箭初速度为零，初质量为 ,火箭喷出的气体相对火箭的速度为 , 忽略重力和阻
力的影响,当火箭在飞行过程中速度 和质量
都随时间变化时证
5.实际上的是建造多级火箭一段段地丢弃无用的结构部分. 第 级火箭质量（燃料和结
构）为 , 为结构质量（ 对各级是一样的）. 为有效载荷.第 级燃料用完时丢
弃第 级结构，同时第
级点火. 另外,若燃烧级的初始质量与其负载质量之比为
（ 恒定）.证明 3 级火箭末速度为:
. 并分析
时需要多重的火箭（ 用之前的数据）, 比较用 2 级或 4 级火箭时的结果 ,由此得出 用 3 级火箭发射卫星的原因.
燃料用完时火箭达到的最大速度 第 级火箭的质量（燃料和结构）
第 级火箭结构的质量 燃烧级初始质量与其负载质量之
比（ 保持不变） 第 级火箭的末速度
五、 模型的建立与求解
第一部分：准备工作 第二部分：问题 1 的 模型 第三部分：问题 2 的 模型 第四部分：问题 3 的 模型 第五部分：问题 4 的 模型 第六部分：问题 5 的 模型
明:
.并分析要提高末速度应采取的措施.
3.一般情况下火箭质量有三部分:有效载荷（卫星） ; 燃料 ; 结构（外壳、燃料仓
等） , 并记
,（
）.当
时，证明燃料用完时最大速度为
. 并分析
时的 .
4. 假 设 火 箭 的 结 构 质 量 与 燃 料 质 量 以 和
的比例同时不断减少,证明：
数学建模十六组
2020/5/2
报告制作
• 材料搜集： 全体人员 • 材料整理：李岩 刘楠 • 建立模型：惠煜宇 柴华 • Mathcad操作：惠煜宇 • 数学方程计算：刘楠 柴华 • 幻灯片制作：柴华 • 复查：刘楠 李岩 • 报告人：惠煜宇
2020/5/2
数为k，求出三级火箭的末速 v3的表达式 算要使 v3 10.5
千米／秒，发射1吨重的卫星需要多重的火箭（ u , 用以前的
数据）．若用2级或4级火箭，结果如何？由此能得出使用3级火 箭发射卫星的道理吗？
2020/5/2
（5）利用（2）的结果，v(t) uln m0 ，第一级火箭燃料用完
时 m (t)m p m 1m 2m 3 ，末速 v1
解： （1）地球对卫星引力为F
km r2
引力常数可由在地球表面满足 k R
2，g为，卫得星到质k量kRmR2
mg，
2g，于
是取Fgm9g.(8Rr(米 )2。/秒 又卫2）星，向R心6力4为0（F01千米mr）v2 ，,FF1给出 v R
g。
r
（千米），代入得火箭速度应为 v7.6（千米/秒）。
（4）在（2）的动量守恒式中左端不变，而右端丢弃的结
构部分的动量为 (m (t) m (t t)v ] (t)，喷出气体动量
为( 1 )m ( [ t ) m ( t t )v ( ] t ) ( u ]，
既可解得 v(t)(1)ulnm0 。当燃料用完时，丢弃m
下m
p，于是火箭末速
vm ((1t))ulnm0 mp
此可知，在忽略重力阻力，不携带卫星的情况下，火箭的最大速
度为7（千米/秒），达不到进入圆形轨道的火箭速度7.6千米/秒，
所以用单级火箭不能发射卫星。
报告制作
• 材料搜集： 全体人员 • 材料整理：李岩 刘楠 • 建立模型：惠煜宇 柴华 • Mathcad操作：惠煜宇 • 数学方程计算：刘楠 柴华 • 幻灯片制作：柴华 • 复查：刘楠 李岩 • 报告人：惠煜宇
2020/5/2
数为k，求出三级火箭的末速 v3的表达式 算要使 v3 10.5
千米／秒，发射1吨重的卫星需要多重的火箭（ u , 用以前的
数据）．若用2级或4级火箭，结果如何？由此能得出使用3级火 箭发射卫星的道理吗？
2020/5/2
（5）利用（2）的结果，v(t) uln m0 ，第一级火箭燃料用完
时 m (t)m p m 1m 2m 3 ，末速 v1
解： （1）地球对卫星引力为F
km r2
引力常数可由在地球表面满足 k R
2，g为，卫得星到质k量kRmR2
mg，
2g，于
是取Fgm9g.(8Rr(米 )2。/秒 又卫2）星，向R心6力4为0（F01千米mr）v2 ，,FF1给出 v R
g。
r
（千米），代入得火箭速度应为 v7.6（千米/秒）。
（4）在（2）的动量守恒式中左端不变，而右端丢弃的结
构部分的动量为 (m (t) m (t t)v ] (t)，喷出气体动量
为( 1 )m ( [ t ) m ( t t )v ( ] t ) ( u ]，
既可解得 v(t)(1)ulnm0 。当燃料用完时，丢弃m
下m
p，于是火箭末速
vm ((1t))ulnm0 mp
此可知，在忽略重力阻力，不携带卫星的情况下，火箭的最大速
度为7（千米/秒），达不到进入圆形轨道的火箭速度7.6千米/秒，
所以用单级火箭不能发射卫星。
数学建模十六组
的最大速度为vm =? ．已知目前的u＝3千米／秒，取 10%，
再求 v m。这个结果说明什么?
（3）将m s m f m s m c m p ，且 mp 0 代入（2）
的结果
v(t) ul，n 即m0得
m(t)
vm
u。ln(1)
当u 3（米/秒），10%，v m 7 (千 /秒 ) 米 7 .6 (千 /秒 ) 米 ，由
此可知，在忽略重力阻力，不携带卫星的情况下，火箭的最大速
度为7（千米/秒），达不到进入圆形轨道的火箭速度7.6千米/秒，
所以用单级火箭不能发射卫星。
2020/8/1
④假设火箭燃料燃烧的同时，不断丢弃无用的结构部分，即结
构质量与燃料质量以和1 的比例同时减少，运用一些关系
求出v(t)的表达式 ．再，燃料用完时火箭未速为多少？
s ，只剩
2020/8/1
⑤ 其实④是个理想化的模型，实际上只能用建造多级火箭的
办法一段段地丢弃无用的结构．记 m i 为第i级火箭质量（燃料和 结构），m i 为结构质量（ 对各级是一样的）．有效载荷仍用m p
表示。当第1级的燃料用完时丢弃第1级的结构，同时第2级点 火．再设燃料的初始质量与其负载质量之比保持不变，比例系
（4）在（2）的动量守恒式中左端不变，而右端丢弃的结
构部分的动量为 (m (t) m (t t)v ] (t)，喷出气体动量
为( 1 )m ( [ t ) m ( t t )v ( ] t ) ( u ]，
既可解得 v(t)(1)ulnm0 。当燃料用完时，丢弃m
下m
p，于是火箭末速
vm ((1t))ulnm0 mp
2020/8/1
报告制作
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再求 v m。这个结果说明什么?
（3）将m s m f m s m c m p ，且 mp 0 代入（2）
的结果
v(t) ul，n 即m0得
m(t)
vm
u。ln(1)
当u 3（米/秒），10%，v m 7 (千 /秒 ) 米 7 .6 (千 /秒 ) 米 ，由
此可知，在忽略重力阻力，不携带卫星的情况下，火箭的最大速
度为7（千米/秒），达不到进入圆形轨道的火箭速度7.6千米/秒，
所以用单级火箭不能发射卫星。
2020/8/1
④假设火箭燃料燃烧的同时，不断丢弃无用的结构部分，即结
构质量与燃料质量以和1 的比例同时减少，运用一些关系
求出v(t)的表达式 ．再，燃料用完时火箭未速为多少？
s ，只剩
2020/8/1
⑤ 其实④是个理想化的模型，实际上只能用建造多级火箭的
办法一段段地丢弃无用的结构．记 m i 为第i级火箭质量（燃料和 结构），m i 为结构质量（ 对各级是一样的）．有效载荷仍用m p
表示。当第1级的燃料用完时丢弃第1级的结构，同时第2级点 火．再设燃料的初始质量与其负载质量之比保持不变，比例系
（4）在（2）的动量守恒式中左端不变，而右端丢弃的结
构部分的动量为 (m (t) m (t t)v ] (t)，喷出气体动量
为( 1 )m ( [ t ) m ( t t )v ( ] t ) ( u ]，
既可解得 v(t)(1)ulnm0 。当燃料用完时，丢弃m
下m
p，于是火箭末速
vm ((1t))ulnm0 mp
2020/8/1
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三级火箭发射卫星数学模型
v xn)u]
根据Lagrange乘数法，令
F 1 0, x1 x1 x1
F
1
0,
x1 x2 x2
x1x2 xn
F 1 0, xn xn xn
v ln ( x 1 x 2 x n ) u .
与1-β 的比例同时进行。
2）建模与分析
在[t, t+Δt ]时段丢弃的结构质量为 [m (t)m (t t)].
烧掉的燃料质量 (1 )[m (t) m (t t)].
在t 时刻动量为m(t) v(t) ，而在t+Δt 时刻的动量为
m (t t)v (t t) [(m (t) m (t t)]v (t) [(1 )[m (t) m (t t)](v (t) u )
1. 多级火箭的速度
1）模型假设 为了简单起见，先作如下假设： (1)mi 用表示第i级火箭质量， mp表示有效负载。
(2)设各级火箭具有相同的， mi表示第i级结构质量, (1- ) mi表示
第i (3)喷气相对火箭的速度u 相同。
2）模型建立与求解
火箭的初始质量为
m 0m 1 m 2 m n m p
m (tt)m (t)dmt(t) dt
m ( t)d v v ( t)d m d m v ( t) ( 1 )d m ( v ( t) u )
d t d t d t
d t
m(t)dv(1)dmu
dt
dt
dv (1) u
dm
m
v (t) (1 )u ln m (t) C
v(0) 0
度，也就是说单级火箭不能用于发射卫星。
3) 模型分析
单级火箭一直将将燃料仓和发动 机带到了末端，而未将这些丢弃,火 箭发动机作了许多无用功。也就是 说发动机必须把整个沉重的火箭加 速到最后,但是当燃料耗尽时,发动 机加速的仅仅是一个空的燃料仓.
数学建模习题
数学建模习题1．木材采购问题一个木材贮运公司，有很大的仓库，用于贮运出售木材。
由于木材季度价格的变化，该公司于每季度初购进木材，一部分于本季度内出售，一部分贮存起来以后出售。
已知:该公司仓库的最大贮藏量为20万立方米，贮藏费用为（a+bu）元/万立方米，其中：a=70,b=100,u为贮存时间（季度数）。
已知每季度的买进、卖出价及预计的销售量为:2．飞机投放炸弹问题某战略轰炸机群奉命摧毁敌人军事目标。
已知该目标有四个要害部位，只要摧毁其中之一即可达到目的。
为完成此项任务的汽油耗量限制为48000公升，重型炸弹48枚、轻型炸弹32枚。
飞机携带重型炸弹时每公升汽油可飞行2 公里，带轻型炸弹时每公汽油可飞行3公里。
又知每架飞机一次只能装载一枚炸弹，每出发轰炸一次除来回路程汽油消耗（空载时每公升汽油飞行4公里）外。
起飞和降落每次各消耗100公升。
有关数据如下表所示：为了使摧毁敌方军事目标的可能性最大，应如何确定飞机轰炸的方案。
3．三级火箭发射问题建立一个模型说明要用三级火箭发射人造卫星的道理。
（1）设卫星绕地球作匀速圆周运动，证明其速度为v= R^gr;, R为地球半径,r为卫星与地心距离，g为地球表面重力加速度。
要把卫星送上离地面600km 的轨道，火箭末速v应为多少。
（2）设火箭飞行中速度为v（t）,质量为m（t）,初速为零，初始质量m，火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u，忽视重力和阻力对火箭的影响。
用动量守恒原理证明v（t）= u in j。
由此你认为要提高火箭的末速度应采取什么措m（t）施。
（3）火箭质量包括3部分：有效载荷（卫星）m；燃料m；结构（外壳、燃料仓等）m，其中m 在m + m中的比例记作九P一般九不小于10%。
证明若m p =0（即火箭不带卫星），则燃料用完时火箭达到的最大速度为v =-u in九. 已知，目前的u=3km/s，取九=10%，求v。
这个结果说明什么。
（4）假设火箭燃料燃烧的同时，不断丢弃无用的结构部分，即结构质量与燃料质量以和1-的比例同时减少，用动量守恒原理证明v（t）=（1-九）u in %。
发射卫星为什么用三级火箭
微分方程建模：发射卫星为什么用三级火箭微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。
把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步：1. 根据实际要求确定要研究的量(自变量、未知函数、必要的参数等)并确定坐标系。
2. 找出这些量所满足的基本规律(物理的、几何的、化学的或生物学的等等)。
3. 运用这些规律列出方程和定解条件。
列方程常见的方法有：（i）按规律直接列方程在数学、力学、物理、化学等学科中许多自然现象所满足的规律已为人们所熟悉，并直接由微分方程所描述。
如牛顿第二定律、放射性物质的放射性规律等。
我们常利用这些规律对某些实际问题列出微分方程。
（ii）微元分析法与任意区域上取积分的方法自然界中也有许多现象所满足的规律是通过变量的微元之间的关系式来表达的。
对于这类问题，我们不能直接列出自变量和未知函数及其变化率之间的关系式，而是通过微元分析法，利用已知的规律建立一些变量（自变量与未知函数）的微元之间的关系式，然后再通过取极限的方法得到微分方程，或等价地通过任意区域上取积分的方法来建立微分方程。
（iii）模拟近似法在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚而且相当复杂，因而需要根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设。
在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法列出微分方程。
在实际的微分方程建模过程中，也往往是上述方法的综合应用。
不论应用哪种方法，通常要根据实际情况，作出一定的假设与简化，并要把模型的理论或计算结果与实际情况进行对照验证，以修改模型使之更准确地描述实际问题并进而达到预测预报的目的。
本章将利用上述方法讨论具体的微分方程的建模问题。
§1 发射卫星为什么用三级火箭采用运载火箭把人造卫星发射到高空轨道上运行，为什么不能用一级火箭而必须用多级火箭系统？下面通过建立运载火箭有关的数学模型来回答上述问题。
发射卫星为什么用三级火箭
u
ln
m0 m(t
)
(1.9)
m0 是火箭初始质量， v0 是 t = 0 时的速度，
(1.9)式的结果表明火箭速度变化仅依赖于两个因素：
（1）喷出的气体相对于火箭的速度 u（已 假定为常数）；
（2）t 时刻火箭质量 m(t) 和 t=0 时刻火箭 质量 m0 之比。
这就为设计火箭时提高火箭速度指出了正 确的方向：
(1.19)
v u
ln
mP
m3
m0 m3 m2
mP m3 m2
mP m3
mP m3
现在的问题是如何选择m1、m2、m3使mP最 大。由于(1.16)式复杂，问题棘手，但当引入 新变数以后，问题就变简单了。
v ≈7km/s
前面(1.5)式推出卫星要进入圆形轨道，火箭 末速度为7.6km/s，而刚才推导的火箭速度是在假 定忽略空气阻力、重力、不携带任何东西的情况 下，最大速度才7km/s。由此得出，单级火箭是 不能用于发射卫星的。
由以上分析还可以发现，该火箭模型的缺 点在于发动机必须把整个沉重的火箭加速到底， 但是当燃料耗尽时，发动机加速的仅仅是一个 空的燃料仓，作了许多无用功。因此，有待改 进火箭的设计。
令mi为第i级质量（燃料+结构），
mi
为结构质量，
(1 )mi 为燃料质量。
为简单起见，设所有各级火箭λ值是一样的， 喷气相对速度 u 在各级也相同。
先分析三级火箭的入轨过程，初始质量为
m0 mP m3 m2 m1
当第一级燃料用完时，剩余质量为 mP m3 m2 m1
三、火箭系统质量的计算 火箭系统质量由下列部分组成：
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r
r
假设(i)
（2）火箭推进力及速度的分析 设g=9.81米/秒2，得: 假设：火箭重力及空气阻力均不计
卫星离地面高度 (公里) 卫星速度 (公里/秒) 7.86
分析：记火箭在时刻t的质量和速度分别为m(t)和υ(t) 100 dm 2 t O(t ) 有： m(t t ) m(t )
dt
v
200 7.80 记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为 u（常数），
dm 2 m(t ) (t ) m(t t ) (t t ) t O ( t u) 600 ) ( (t ) 7.58 dt m-dm d dm m0 7.47 800 故： m u 由此解得： (t ) 0 u ln (3.11) dm dt dt m(t ) 7.37 1000 υ0和m0一定的情况下， 火箭速度υ(t)由喷发 u-v 速度u及质量比决定。
n（级数） 1 2 3 4 5 … … ∞（理想） 50 / 149 77 65 60 火箭质量（吨） 当然若燃料的价钱很便宜
而推进器的价钱很贵切且 制作工艺非常复杂的话， 由于工艺的复杂性及每节火箭 也可选择二级火箭。 都需配备一个推进器，所以使
用四级或四级以上火箭是不合 算的，三级火箭提供了一个最 好的方案。
2 u ln
当第二级火箭燃尽时，末速度为：
2 2 u ln
m1 m2 mP m1 m2 mP
m m2 mP m2 mP m mP u ln 1 2 m2 mP m m m m m 1 2 P 2 P
由动量守恒定理：
400
7.69
（2）火箭推进力及速度的分析 现将火箭——卫星系统的质量分成三部分： （i）mP（有效负载，如卫星） （ii）mF（燃料质量） （iii）mS（结构质量——如外壳、燃料容器及推进器）。 最终质量为mP + mS ，初始速度为0， mO 所以末速度： u ln
P S 火箭推进力在加速整个火箭时，其 实际效益越来越低。如果将结构质 根据目前的技术条件和燃料性 量在燃料燃烧过程中不断减少，那 能，u只能达到3公里/秒，即使 么末速度能达到要求吗？ 发射空壳火箭，其末速度也不 超过6.6公里/秒。 目前根本不 可能用一级火箭发射人造卫星
又由假设（ii），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入上式， 并仍设u=3公里/秒，且为了计算方便，近似取λ=0.1，则 可得： m m
1 1 2 1 2 m m m k 1 k 1 P P 2 3ln 2 3ln 6ln 0.1m1 0.1m2 0.1k 1 0.1k 1 1 1 是否三级火箭就是最省 mP m2呢？最简单的方法就是 mP 10.5 k 1 对四级、五级等火箭进 e 6 5.75 要使υ2=10.5公里 /秒，则应使: 0.1k 1 行讨论。 即k≈11.2，而: m1 m2 mP 149 mP
m m
2、理想火箭模型 假设： 记结构质量mS在mS + mF中占的比例为λ，假设火 箭理想地好，它能随时抛弃无用的结构，即结构质量 与燃料质量以λ与（1-λ）的比例同时减少。
建模: 由
m(t ) (t ) m(t t )
考虑到空气阻力和重力等因素，估 dt dt 只要 m 足够大，我们可以 计（按比例的粗略估计）发射卫星 0 解得： m 使卫星达到我们希望它具 要使 υ=10.5 秒才行，则可推 (t ) 公里 u (1 / ) ln 0 m(t ) 算出m0/ 有的任意速度。 mp约为51,即发射一吨重的 理想火箭与一级火箭最大的区别在于，当火箭燃料 卫星大约需要50吨重的理想火箭
得到： m dm u (1 ) dm
dm dm (t )t (1 ) ( (t ) u ) t O(t 2 ) dt dt 哈哈，我还是有可能
上天的！
耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为mP，
所以最终速度为： u (1 ) ln m0
§3.3 为什么要用三级火箭来发射人造卫星
1、为什么不能用一级火箭发射人造卫星?
（1）卫星能在轨道上运动的最低速度
构造数学模型，以说明为什么不能用一级火箭而必须用多 级火箭来发射人造卫星？为什么一般都采用三级火中心的某一平面上的圆，卫星
在此轨道上作匀速圆周运动。 （ii）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫 R为地球半径， 星的引力忽略不计。
mP
3、理想过程的实际逼近——多级火箭卫星系统
记火箭级数为n，当第i级火箭的燃料烧尽时，第i+1级火 箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第i级火箭。用mi表示第 i级火箭的质量，mP表示有效负载。 为简单起见，先作如下假设： （i）设各级火箭具有相同的λ ,即i级火箭中λmi为结构 质量，（1-λ）mi为燃料质量。 （ii）设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变， 并记比值为k。 该假设有点强加 的味道，先权作 考虑二级火箭： 讨论的方便吧 由3.11式，当第一级火箭燃烧完时，其末速度为：
Wn1 W2 W3
记 Wn W1 可以解出最优结构设计应满足： k , , kn k1 kk k最小 1 2 n 问题化为，在 υ 一定的条件下，求使 k … k W W n 1 2 n
2 n 1
12u ln (1 )] n[ k1 (1 )][ kn Wn1 n m W m W m W 2 2 3 n n 1 1
类似地，可以推算出三级火箭：
3 u ln
m1 m2 m3 mP m m3 mP m mP 2 3 m m m m m m m m m 2 3 P 2 3 P 3 P 1
3
在同样假设下:
k 1 k 1 3 3ln 9ln 0.1k 1 0.1k 1
分析： 约为6400公里 根据牛顿第三定律，地球对卫星的引力为: F km 2 得: k=gR2 在地面有: km mg R2 2 R 故引力: F mg r
r
假设(ii)
卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力 2 m 故又有: F 从而: R g
三级火箭比二级火箭 几乎节省了一半
要使υ3=10.5公里/秒，则(k+1)/(0.1k+1)≈3.21，k≈3.25，而 （m1+ m2+ m3+ mP）/ mP≈77。
考虑N级火箭： 记n级火箭的总质量（包含有效负载mP）为m0 ，在 相同的假设下可以计算出相应的m0/ mP的值，见表3-2
表 3-2
4、火箭结构的优化设计 3中已经能说过假设(ii)有点强加的味道；现去掉该 假设，在各级火箭具有相同λ的粗糙假设下，来讨论火箭 结构的最优设计。 记 …+ W Wn W1=m m 解条件极值问题： 火箭结构优化设计讨论 1 n+ m P 1+ W W 中我们得到与假设（ ii ） =m mn2 + kn n 1 + min km 1kP 2 2+… 则 W2 n u ln W1 Wn …… 相符的结果，这说明前 k 1 1 2 k 1k n1 1 面的讨论都是有效的！ s . t . C W2 Wn 1 m Wn= mn+ P [ k (1 )][ k (1 )] 1 k k n n Wn+1= m u ln P [ k1 (1 )][ kn (1 )] 或等价地求解无约束极值问题： 应用（3.11）可求得末速度： k1k2 kn W W W W min k k k a C Wn W2 又 1 W1 n k 1 2 11 2 k k
r
假设(i)
（2）火箭推进力及速度的分析 设g=9.81米/秒2，得: 假设：火箭重力及空气阻力均不计
卫星离地面高度 (公里) 卫星速度 (公里/秒) 7.86
分析：记火箭在时刻t的质量和速度分别为m(t)和υ(t) 100 dm 2 t O(t ) 有： m(t t ) m(t )
dt
v
200 7.80 记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为 u（常数），
dm 2 m(t ) (t ) m(t t ) (t t ) t O ( t u) 600 ) ( (t ) 7.58 dt m-dm d dm m0 7.47 800 故： m u 由此解得： (t ) 0 u ln (3.11) dm dt dt m(t ) 7.37 1000 υ0和m0一定的情况下， 火箭速度υ(t)由喷发 u-v 速度u及质量比决定。
n（级数） 1 2 3 4 5 … … ∞（理想） 50 / 149 77 65 60 火箭质量（吨） 当然若燃料的价钱很便宜
而推进器的价钱很贵切且 制作工艺非常复杂的话， 由于工艺的复杂性及每节火箭 也可选择二级火箭。 都需配备一个推进器，所以使
用四级或四级以上火箭是不合 算的，三级火箭提供了一个最 好的方案。
2 u ln
当第二级火箭燃尽时，末速度为：
2 2 u ln
m1 m2 mP m1 m2 mP
m m2 mP m2 mP m mP u ln 1 2 m2 mP m m m m m 1 2 P 2 P
由动量守恒定理：
400
7.69
（2）火箭推进力及速度的分析 现将火箭——卫星系统的质量分成三部分： （i）mP（有效负载，如卫星） （ii）mF（燃料质量） （iii）mS（结构质量——如外壳、燃料容器及推进器）。 最终质量为mP + mS ，初始速度为0， mO 所以末速度： u ln
P S 火箭推进力在加速整个火箭时，其 实际效益越来越低。如果将结构质 根据目前的技术条件和燃料性 量在燃料燃烧过程中不断减少，那 能，u只能达到3公里/秒，即使 么末速度能达到要求吗？ 发射空壳火箭，其末速度也不 超过6.6公里/秒。 目前根本不 可能用一级火箭发射人造卫星
又由假设（ii），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入上式， 并仍设u=3公里/秒，且为了计算方便，近似取λ=0.1，则 可得： m m
1 1 2 1 2 m m m k 1 k 1 P P 2 3ln 2 3ln 6ln 0.1m1 0.1m2 0.1k 1 0.1k 1 1 1 是否三级火箭就是最省 mP m2呢？最简单的方法就是 mP 10.5 k 1 对四级、五级等火箭进 e 6 5.75 要使υ2=10.5公里 /秒，则应使: 0.1k 1 行讨论。 即k≈11.2，而: m1 m2 mP 149 mP
m m
2、理想火箭模型 假设： 记结构质量mS在mS + mF中占的比例为λ，假设火 箭理想地好，它能随时抛弃无用的结构，即结构质量 与燃料质量以λ与（1-λ）的比例同时减少。
建模: 由
m(t ) (t ) m(t t )
考虑到空气阻力和重力等因素，估 dt dt 只要 m 足够大，我们可以 计（按比例的粗略估计）发射卫星 0 解得： m 使卫星达到我们希望它具 要使 υ=10.5 秒才行，则可推 (t ) 公里 u (1 / ) ln 0 m(t ) 算出m0/ 有的任意速度。 mp约为51,即发射一吨重的 理想火箭与一级火箭最大的区别在于，当火箭燃料 卫星大约需要50吨重的理想火箭
得到： m dm u (1 ) dm
dm dm (t )t (1 ) ( (t ) u ) t O(t 2 ) dt dt 哈哈，我还是有可能
上天的！
耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为mP，
所以最终速度为： u (1 ) ln m0
§3.3 为什么要用三级火箭来发射人造卫星
1、为什么不能用一级火箭发射人造卫星?
（1）卫星能在轨道上运动的最低速度
构造数学模型，以说明为什么不能用一级火箭而必须用多 级火箭来发射人造卫星？为什么一般都采用三级火中心的某一平面上的圆，卫星
在此轨道上作匀速圆周运动。 （ii）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫 R为地球半径， 星的引力忽略不计。
mP
3、理想过程的实际逼近——多级火箭卫星系统
记火箭级数为n，当第i级火箭的燃料烧尽时，第i+1级火 箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第i级火箭。用mi表示第 i级火箭的质量，mP表示有效负载。 为简单起见，先作如下假设： （i）设各级火箭具有相同的λ ,即i级火箭中λmi为结构 质量，（1-λ）mi为燃料质量。 （ii）设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变， 并记比值为k。 该假设有点强加 的味道，先权作 考虑二级火箭： 讨论的方便吧 由3.11式，当第一级火箭燃烧完时，其末速度为：
Wn1 W2 W3
记 Wn W1 可以解出最优结构设计应满足： k , , kn k1 kk k最小 1 2 n 问题化为，在 υ 一定的条件下，求使 k … k W W n 1 2 n
2 n 1
12u ln (1 )] n[ k1 (1 )][ kn Wn1 n m W m W m W 2 2 3 n n 1 1
类似地，可以推算出三级火箭：
3 u ln
m1 m2 m3 mP m m3 mP m mP 2 3 m m m m m m m m m 2 3 P 2 3 P 3 P 1
3
在同样假设下:
k 1 k 1 3 3ln 9ln 0.1k 1 0.1k 1
分析： 约为6400公里 根据牛顿第三定律，地球对卫星的引力为: F km 2 得: k=gR2 在地面有: km mg R2 2 R 故引力: F mg r
r
假设(ii)
卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力 2 m 故又有: F 从而: R g
三级火箭比二级火箭 几乎节省了一半
要使υ3=10.5公里/秒，则(k+1)/(0.1k+1)≈3.21，k≈3.25，而 （m1+ m2+ m3+ mP）/ mP≈77。
考虑N级火箭： 记n级火箭的总质量（包含有效负载mP）为m0 ，在 相同的假设下可以计算出相应的m0/ mP的值，见表3-2
表 3-2
4、火箭结构的优化设计 3中已经能说过假设(ii)有点强加的味道；现去掉该 假设，在各级火箭具有相同λ的粗糙假设下，来讨论火箭 结构的最优设计。 记 …+ W Wn W1=m m 解条件极值问题： 火箭结构优化设计讨论 1 n+ m P 1+ W W 中我们得到与假设（ ii ） =m mn2 + kn n 1 + min km 1kP 2 2+… 则 W2 n u ln W1 Wn …… 相符的结果，这说明前 k 1 1 2 k 1k n1 1 面的讨论都是有效的！ s . t . C W2 Wn 1 m Wn= mn+ P [ k (1 )][ k (1 )] 1 k k n n Wn+1= m u ln P [ k1 (1 )][ kn (1 )] 或等价地求解无约束极值问题： 应用（3.11）可求得末速度： k1k2 kn W W W W min k k k a C Wn W2 又 1 W1 n k 1 2 11 2 k k