数学建模课件_卫星发射问题
航天器工程：航天器建模课件
• A secular perturbation, instead, causes a change proportional to time. Typical example: the advance of perihelion. • In the case of Mercury, the advance (greatly exaggerated in the figure) is 43 arcsec/year. • Only part of it is explained by newtonian dynamics. General relativity is needed to fully explain it. • In the case of the binary pulsar PSR1913+16 (the Hulse-Taylor pulsar, used to demonstrate the existence of gravitational waves) the advance is as large as 4.2o/year
The Many-Body problem
• Given at any time the positions and velocities of three or more massive particles, moving under their mutual gravitational forces, the masses also being known, calculate their positions and velocities at any other time. • This problem is orders of magnitude more difficult than the two-body problem we have considered. • If the bodies are not point-like and not spherical, additional complexity is added. • No general analytical solution has been found in the last three centuries, despite of the enormous amound of work carried out by people like Euler, Lagrange, Poincare, etc.
数学建模-三级火箭发射卫星
大学生数学建模承诺书我们仔细阅读了数学建模的规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
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所属班级（请填写完整的全名）：09级数学与应用数学班队员(打印并签名) ：1. 王茜2. 丁*燕3. 毕瑞4. 李*洋5. 王*彬小组负责人(打印并签名)：李*洋日期： 2012 年 5 月 1 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：题目：三级火箭发射人造卫星分析摘要：火箭是一个非常复杂的系统，本文主要从卫星的速度因素着手，忽略一些次要因素将问题简化，再利用所学物理学知识建立数学模型，得出火箭飞行速度与其初始质量和飞行过程中的质量关系，进而分析得出结论。
关键词：卫星发射 牛顿定律 三级火箭 动能守恒 万有引力定律一、问题重述建立一个模型说明要用三级火箭发射人造卫星的道理。
（1）设卫星绕地球做匀速圆周运动，证明其速度为r g R v /=，R 为地球半径，r 为卫星与地心距离，g 为地球地面重力加速度。
要把卫星送上离地面600km 的轨道，火箭末速度v 应为多少？（2）设火箭飞行中速度为)(t v ,质量为)(t m ,初速度为零，初始质量为 0m ,火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u ，忽略重力和阻力对火箭的影响。
用动量守恒原理证明)(ln)(0t m m u t v =。
由此你认为要提高火箭的末速度应采取什么措施？ （3）火箭质量包括3部分：有效载荷（卫星）p m ；燃料f m ；结构（外壳、燃料舱等）s m ，其中s m 在s f m m +中的比例计作λ，一般λ不小于10%。
高中物理精品课件：卫星发射、变轨和对接 双星模型
基础梳理 夯实必备知识
第一宇宙速度 v1＝ 7.9 km/s，是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运 (环绕速度) 动的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度
第二宇宙速度 (逃逸速度) v2＝11.2 km/s，是物体挣脱 地球 引力束缚的最小发射速度
第三宇宙速度 v3＝16.7 km/s，是物体挣脱太阳 引力束缚的最小发射速度
v1＝ωr1
④
v2＝ωr2
⑤
由③④⑤式得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算.
质量之积和各自的自转角速度无法求解.故选B、C.
例8 (多选)2019年人类天文史上首张黑洞图片正式公布.在宇宙中当一颗恒星 靠近黑洞时，黑洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统.在相互绕行的过 程中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被 吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被称之为“潮汐瓦解事件”.天鹅座X－1就是 一个由黑洞和恒星组成的双星系统，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀 速圆周运动，如图所示.在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑洞的距离不变， 则在这段时间内，下列说法正确的是
中子星合并的引力波.根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约
100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈.将两颗
中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利
用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星
A.质量之积
√C.速率之和
√B.质量之和
D.各自的自转角速度
加速度小于地球表面的重力加速度，故 D 错误.
例3 宇航员在一星球上以速度v0竖直上抛一质量为m的物体，经2t后落 回手中，已知该星球半径为R，则该星球的第一宇宙速度的大小为
2009数学建模C题 卫星跟踪解析
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题卫星和飞船的跟踪测控卫星和飞船在国民经济和国防建设中有着重要的作用，对它们的发射和运行过程进行测控是航天系统的一个重要组成部分，理想的状况是对卫星和飞船（特别是载人飞船）进行全程跟踪测控。
测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域，且在与地平面夹角3度的范围内测控效果不好，实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域。
在一个卫星或飞船的发射与运行过程中，往往有多个测控站联合完成测控任务，如神州七号飞船发射和运行过程中测控站的分布如下图所示：图片来源/jrzg/2008-09/24/content_1104882.htm请利用模型分析卫星或飞船的测控情况，具体问题如下：1. 在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控？2.如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度为H 的球面S上运行。
考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，问至少应该建立多少个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的？3. 收集我国一个卫星或飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息，分析这些测控站点对该卫星所能测控的范围。
卫星的跟踪测控问题简析摘要：本文主要利用计算几何与图论的有关知识，分析和解决了卫星的跟踪测控问题，并应用仿真模拟手段对地球自转、非自转、不同轨道、不同纬度的卫星跟踪测控进行了较为详细的讨论。
针对问题一、问题二给出了求解过程和结果，并提出了优化改进模型，针对第三问通过神舟七号卫星参数和测控站点分布数据分析了测控站点对该卫星所能测控的范围。
（1）问题一考虑到所有测控站点与卫星的运行轨道共面，测控点个数只与卫星轨道的高度相关，将问题一转化为考虑卫星不同轨道高度、地球无自转情况下，测控站点最少测控模型求解问题。
从而得到：低轨道卫星（小于500km）至少需要10个测控站，中轨道卫星（500~2000km）至少需要5个测控站，高轨道卫星（2000~20000km）至少需要3个测控站，太阳同步卫星（700~1000km）至少需要7个测控站，地球同步卫星轨道高度（35786km）远大于7651.5km，至少需要3个测控站。
数学建模卫星通信
卫星通信调度问题摘要这是一个卫星通信具有最短传输时间方案的制定问题。
采用拆分法，即将时间传输矩阵写成若干个矩阵的和，然后对这些矩阵最优化处理，最终得到最短传输时间的方案：4000000404000040 、300300000030030 ……在此方案下，最短传输时间为：45s 。
在此基础上，得到一般情况下具有最短传输时间的方案。
先将矩阵补充成每行每列的和均为原矩阵最大行和列和的矩阵，同样运用拆分法， 每次从矩阵的最大值中拆分1组成每行每列最多只有1个1的若干矩阵的和，从而得到最短传输时间方案，此方案的最短传输时间就是拆分的矩阵的个数。
考虑在数据传输时以概率p 发生错误，数据的丢失量X 服从)1,5(2N 的正态分布,传输量Y 服从)1,4(2-N ，传输量的分布函数：()()dt y F y y2421+-∞-⎰=π所以，每个拆分后的传输矩阵的传输时间的分布函数为：[])(4max)4(*)3(*)2(*)1(y F Fy F y F y F y F ==则其密度函数为l(y)就是对上式求导，再对l(y)积分就可以得到最短传输时间的方案。
一、问题重述卫星数字通信系统由一颗卫星和一组地面站组成。
地面站扮演与地基通信网之间的接口的角色。
通过SS-TDMA技术，卫星可以为每个地面站发配连接时间。
考虑这样的问题，在A地有4个发射站，在B地有4个接收站，表1给出了一个TRAF是在发射站i和接收站j之间传输的数据量，由于44⨯的数据传输矩阵，M所有线路的传输速率都相同，因此数据量可以以单位为秒的传输时间计。
表1. 数据传输矩阵TRAF及传输时间的下界在此卫星上有一个转发器，允许在四个发射器和四个接收器之间进行任意的排列组合。
这些连接即对数据传输矩阵中某个元素的一部分进行路由安排，称为一个工作模式。
在一个模式中传输矩阵中某个元素的一部分就称为一个数据包。
工作模式也是一个44⨯的矩阵M，其中每一行每一列都至多有一个非零的数据包。
三级火箭模型 PPT
v Rg 7.9km / s 第一宇宙速度
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四 火箭的推力
假设条件： (1)将火箭简化为燃料仓+发动机 (2)不考虑空气阻力等
设 m(t ) ：t时刻火箭的质量
v(t ) ：t时刻火箭的速度
这样，在t时刻火箭的动量为： m(t )v(t ) 在t t 时间火箭的动量为:
ms (mF ms) (m0 mp)
m0 m0 m0 V uln uln uln m p ms m p (m 0 m p ) m 0 (1)m p
当mp=0，（即没有装载东西）时，
Vmax uln 1
u与都是技术条件决定的， u
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五 火箭系统的质量
m0 m p mF ms
初始时刻 有效载量 燃 料 火箭结构的质量
由（四）中的结果可知：火箭的末速度：V uln
m0 m p ms
引入重要指标:
ms mF 火箭的结构比: 1 mF m s mF m s 2018/7/21
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五 火箭系统的质量
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设卫星绕地球匀速运动，其线速度为v，此时没有切向 加速度，而法向加速度为 v 2 / r 此时有
v2 R m( ) mg ( ) 2 r r 所以 v R g 这就是卫星绕地球运行 r 不致于掉下去的速度
2：卫星的运行速度
卫星是用火箭送入轨道的，因此火箭的末速度也 应为v。 (km ) 若 r R 6371 ，则
火箭的结构外型涉及到强度与阻力
火箭的控制系统
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我们现在讨论的是：
运载火箭将卫星送入轨道,并在轨道上运行. 卫星的速度是通过火箭推进器加速火箭的飞 行而获得的，而由牛顿第二定律
数学建模教程-三级火箭运载模型
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八 n级火箭的质量分配
V : 火箭末速度
已知：U :
：
气体喷射速度
结构比
？如何使 选得 取mm1p,最m2大,...,mn
m0 : 初始总质量
即
max
f
( ) m1,m2,mn,mp
_ mp min f (m)
m0
max
^
f
(x)
m
p
mp
mp m1 m2 mn m0
（1m）0
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ln
mp
m0 m1m2
mn
mp m2mn mp m2m3mn
...
mp mn mp mn
V n
（2）
mp, m1, m2, ..., mn 0
(3)
a 记
i
mp mi mn mp mi1 mn
(i 1,2,,n)
则
ln
a1
1(a1
1)
a2
1(a2
an
1) 1(an
发动机的功力 火箭的结构外型涉及到强度与阻力 火箭的控制系统
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我们现在讨论的是：
运载火箭将卫星送入轨道,并在轨道上运行. 卫星的速度是通过火箭推进器加速火箭的飞 行而获得的，而由牛顿第二定律
F ma F: 推力
a: 火箭推进器加速度
可推出加速度：a F m
F a m a
引入重要指标:
火箭的结构比:
ms mF ms
1
mF mF ms
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五 火箭系统的质量
ms (mF ms)(m0 mp)
V uln m0 uln
《卫星的发射和运行》课件(精品)
⑴定周期：T=24h=86400s ⑵定点：相对于地面静止。 ⑶定轨道：同步卫星轨道必须在赤道上空 ⑷定高度：由 G Mm m( 2 )2 ( R h)
( R h) 2 T 2 2 2 GMT R gT 7 3 h 3 R R 3.6 10 (m) 2 2 4 4
2 r T 84.8 min V
阅读教材并回答：三种宇宙速度（发射速度）
第三宇宙速度:物体挣脱太阳引力,飞出太
阳系的速度. （逃逸速度）
V = 16.7 km/s V = 7.9km/s V = 11.2 km/s
第二宇宙速度:物体克服地球引力,永远脱离地球的速度.
第一宇宙速度:物体在地表附近绕地球做匀速圆周运动的速
三类人造地球卫星轨道：
①赤道轨道，卫星轨道在赤道平面，卫星 始终处于赤道上方 ②极地轨道，卫星轨道平面与赤道平面垂 直，卫星通过两极上空 ③一般轨道，卫星轨道和赤道成一定角度。
地球同步卫星
问题4：你能否 形象的描述它的轨道？
轨道与赤道重合
卫星位于赤道的正上 方的某一高度
同步卫星：相对于地面静止，公 转周期和地球自转周期相同的卫 星。
r最小，是最小发射速度。
归纳：第一宇宙速度是最小发射速度，也是最 大运行速度。
人造地球卫星
思考讨论四：人造地球卫星的运行轨道 如图所示，A、B、C、D四条轨道中不能作为卫 星轨道的是哪一条？
北
F2
西
赤道平面
F1
F3
东
南
轨道中心
地心
万有引力 提供向心力 ________
人造地球卫星的运行轨道
所有卫星都在以地心为圆心的圆（或椭圆） 轨道上
卫星发射
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m3 3.26, m2 13.87, m1 59
同理对n级火箭,有:
m0 1 mp p
n
v p exp( ) nu
m0 v exp箭级数质量为:
级数 1 2 3 4 5 质量 无 149 77 65 60 ….. 50
卫星发射问题
1.卫星的运行速度
V gR 2 / r
R为地球半径,r为卫星到地心距离。 当卫星位于地面上空600km，可得卫星速 度v=7.6km/s。
2.火箭速度的计算
m0 v( t ) v0 u ln m( t )
m0为火箭初始质量，v0为初速度，u 为喷出气体相对与火箭运动的速度， 目前为3km / s。
取v 10.5km / s, u 3km / s, 0.1, 则： m0 77 mp
说明发射1吨重的卫星，需要77吨重的火箭。
同时可得到：
m3 (a 1)mp
m1 a (a 1)mp
2
m2 a(a 1)m p
m2 m1 1 则 a 4.26 m3 m2 p
3.理想化火箭模型
火箭系统质量组成
(1)净载质量 mp
(2)燃料质量 m f
(3)结构质量 ms (包括发动机和燃料仓质量)
考虑一级火箭，设燃料耗尽，最终速度：
m0 v u. ln( ) m p ms ms 1 1 设 ，一般 或 。 m f ms 8 10
当m p 0，火箭能到达的最终速 度：
二级燃料用完时速度：
m p m2 m3 v2 v1 u ln( ) m p m2 m3
三级燃料用完时速度：
m p m3 v3 v2 u ln( ) m p m3
m p m2 m3 m p m3 v m0 ln( )( )( ) u m p m1 m2 m3 m p m2 m3 m p m3 则：
v u. ln 1
取u 3km/ s, 0.1 ，则v 6.9km/ s.
单级火箭不能发射卫星。 考虑火箭连续抛弃结构质量，可得： m0 v (1 ) u ln( ) mp 考虑空气阻力和重力因素，理想火箭终 速度不是7.6km/s，而是10.5km/s， 取u 3km/ s, 0.1 ，则：
m0 50 mp
说明发射1吨重的卫星，需要50吨重的火 箭。 4.多级火箭发射模型 令mi为第i级质量(燃料加结构质量)，mi为 结构质量， )mi为燃料质量 (1
考虑三级火箭，初始质量
m0 mp m1 m2 m3
可得一级燃料用完时速度：
m0 v1 u ln( ) m p m1 m2 m3
m0 令 a1 ， m p m2 m3 m p m2 m3 m p m3 a2 , a3 m p m3 mp v 当a1 a2 a3 a时， 最大。 u v 令 p exp( )得 3u 3 m0 1 mp p