CH2 离散时间信号

n ≥ 0 −1 ≤ n < 0 n < −1
2 , n < 0 y (n) = n + 1, n ≥ 0
n
1 1 n 2 ( 2 ) + n + 1, n ≥ 0 3 z ( n) = x ( n) + y ( n) = , n = −1 2 2n , n < −1
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所以
1 ∞ jmΩst M (t ) = ∑ e T m =−∞
可见，冲击序列M(t)的各次谐波都具有相等 的幅度1/T。将M(t)的级数表示代入采样序列 的傅立叶变换式：
ˆ ˆ X a ( jΩ) = F [ xa (t )] = F [ xa (t ) M (t ) ] = ∫ xa (t ) M (t )e − jΩt dt
∞
X a ( j Ω − jm Ω s )
T
−Ω N
X a ( jΩ ) T
X a ( j Ωa+ j Ω s+ XΩ s )j Ω + j Ω X ( )j a( s) T T T
ΩN
−Ω N
ΩN Ωs Ωs Ωs
可见，理想采样信号 的频谱是以Ωs为间隔 而重复，这种情况叫 做：周期延拓
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[4]翻褶(折迭)
如果有x(n),则x(-n)是以n=0为对称轴将x(n)加 以翻褶的序列。
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例题：
1 1 n ( ) , n≥−1 x(n) =2 2 0, n<−1
求x(-n);
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1 1 n ( ) , n≥−1 x(n) =2 2 0, n<−1 1 1 −n ( ) , −n≥−1 x(−n) =2 2 0, −n<−1 1 1 −n ( ) , n≤1 x(−n) =2 2 0, n>1
定义：开关闭合时间τ→0时，为理想采样。 特点：采样序列表示为冲激函数的序列，这些 冲激函数准确地出现在采样瞬间，其积分幅度 准确地等于输入信号在采样瞬间的幅度。 即：理想采样可看作是对冲激脉冲载波的调幅 过程。
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我们用M(t)表示这个冲击载波， ∞
M (t ) =
则有
n = −∞
X c ( jΩ )
- ΩN
ΩN
Ω
2π/T L - Ωs
S ( jΩ) L 0 Ωs Ω
1 T L - Ωs - ΩN
X s ( jΩ ) L ΩN Ωs Ω
( Ω s > 2Ω N ) 1 X s ( jΩ) T L - Ω s - ΩN ΩN Ω s ( Ω s < 2Ω N ) L Ω
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问题2：如何使用信号呢？
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信号的运算
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 移位/延迟 相加 相乘 翻褶(折迭) 累加 差分 尺度变换 卷积
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[1]移位/延迟
对于信号x(n),若信号y1(n)和y2(n)分别定义为： y1(n)=x(n-k) y2(n)=x(n+k) 则y1和y2是整个x(n)在X轴上右移、左移k个 抽样周期所得的新序列。 实际中：由一系列移位寄存器来实现的。
s
级数的基频就是采样频率
Ω s = 2π T = 2π f s
m = −∞
m = −∞
式中的傅立叶系数
am 1 T2 = M ( t ) e − jm Ω s t d t T ∫− T 2 1 T2 ∞ = ∫ T ∑ δ ( t − nT ) e − jm Ω s t dt T − 2 n = −∞ 1 T2 1 − jm Ω s t = ∫ T δ (t ) e dt = − T T 2
X a ( jΩ) ↔ xa (t )
) ˆ X a ( jΩ) ↔ xa (t )
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先看冲激序列 M(t)，这是一个周期函数 ( 周期 T )，可用付氏级数展开: 可用付氏级数展开: ∞ ∞ M ( t ) = ∑ δ ( t − n T ) = ∑ a m e jm Ω t
采样过程 连续信号的基本概念 取样定理
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采样过程
采样器：一般由电开关 组成，开关每隔Ｔ秒短 暂地闭合一次，将连续 信号接通,实现一次采样。
离散时间信号x(n)由连续时间信号xa(t)的取样构成 离散时间信号x(n)由连续时间信号xa(t)的取样构成
x( n ) = xa ( nT )
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CH2: 离散时间信号
主讲教师：王崇骏
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主要内容
引言 典型离散时间信号及一般表示方法 数字信号的产生 数字信号基本运算
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引言
定义：离散时间信号是能用数字序列表示的 信号，如：
{ x ( n ), n ∈整数集} z
x(n)表示在时间nT上的瞬间值，T表示相邻两 个取样点之间的间隔。注意：T不是专指时间
ˆ xa (t )
实际采样
xa (t )
t
ˆ xa (t )
0 t
理想采样
t
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采样信号的频谱
设： X a ( jΩ) =
−1
F [ xa (t )] = ∫ xa (t )e− jΩt dt
−∞
∞
对应反变换是：
1 ∞ xa (t) = F [ Xa ( jΩ)] = ∫ Xa ( jΩ)ejΩt dΩ 2π −∞
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例题
x(n)
1 1/2 1/4 1/8 ... -2 -1 0 1 2
1 1 n ( ) , n ≥ −1 x( 已知： n) = 2 2 0, n < −1
求x(n+1).
n
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x(n)
1 1/2 1/4 1/8 ... -2 1 1/2 1/4 1/8 -2 -1 0 1 -1 0
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ห้องสมุดไป่ตู้
典型离散时间信号
[1] 单位脉冲/单位抽样信号 [2] 延时单位脉冲/脉冲串序列 [3] 单位阶跃 [4] 复正弦序列
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单位脉冲/单位抽样信号
序列δ(n) 也称为离散冲激（简称冲激），是一种 最常用也最重要的序列
1 δ(n)= 0
n = 0 n ≠ 0
…
2n , n < 0 y (n) = n + 1, n ≥ 0
求: z ( n ) = x ( n ) + y ( n )
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1 1 n ( ) , n ≥ −1 x(n) = 2 2 0, n < −1
1 1 n 2 (2) , 1 1 n x(n) = ( ) , 2 2 0,
p(n)=
δ ( n − m)
1
m =−∞
∑ δ ( n − m)
-2 -1 0 1 m
∞
n
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单位阶跃
在大于等于0的离散时间点上有无穷个幅度为1 的数值，类似于连续时间信号中的单位阶跃脉 u(n) 冲。
µ(n)=
1 n ≥ 0 0 n < 0
-1 0 1 2 3
...
n
u(n) = ∑δ (n − m) = δ (n) + δ (n −1) + δ (n − 2) +L
n
1 1 n ( ) , n ≥ −2 x ( n + 1) = 4 2 0, n < −2
x(n+1)
1
2
n
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[2]相加
… 两个信号在同时刻n对应的值相加，表示为： y(n)=x1(n)+x2(n)
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例题
1 1 n ( ) , n ≥ −1 x(n) = 2 2 0, n < −1
n + 1, n ≥ 0 y (n) = 2n , − 1 ≤ n < 0 2 n , n < −1
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=
+
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=
—
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[3]相乘
两个信号在同时刻n对应的值相乘，表示为： y(n)=x1(n)x2(n) 标量乘：在n时刻对应的值扩大c倍，表示为：
-2 -1
δ (n)
1
0 1 2
n
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延时单位脉冲/脉冲串序列
延时单位脉冲序列δ(n-m) δ(n-m)是在δ(n)的基础上，在时 间轴上延迟了m个抽样周期得到的。 如果m从 -∞变到+∞，那么δ(n) δ(n)的所有移位可形 成一个无限长的脉冲串序列p(n) p(n) 1 n=m δ(n-m)= 0 n≠m
y(n)=c.x (n)
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例题
1 1 n ( ) , n ≥ −1 x(n) = 2 2 0, n < −1
…
2n , n < 0 y (n) = n + 1, n ≥ 0
求: z ( n ) = x ( n ) × y ( n )
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xa (t )
P(t)
ˆ xa (t )
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x p ( t ) = xa ( t ) p ( t )
一般τ很小, τ越小， 采样输出脉冲的幅 度越接近输入信号 在离散时间点上的 瞬时值。 理想采样