第二章时域离散时间信号与系统
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第二章 信号与系统的时域分析
17
二 卷积积分（The convolution integral） 若 (t ) h(t ) 则 (t ) h(t ) ＝ h (t )
x t x h t
x(t ) x( ) (t )d y(t ) x( )h (t )d
则 y(t ) ak yk (t )
k
4
信号与系统的时域分析:
一般的信号都可以表示为延迟冲激的线性组合。
结合系统的叠加性和时不变性，就能够用LTI的单位
冲激响应来完全表征任何一个LTI系统的特性。这样
一种表示在离散情况下称为卷积和；在连续时间情
况下称为卷积积分。
5
分析方法：
对信号分解可在时域进行，也可在频域或变换域 进行，相应地产生了对LTI系统的时域分析法、频 域分析法和变换域分析法。
h( n n kk n h ) uu (n k )k
1
1
k
0
...
0
k
n
12
运算过程：
k k) ,再随参变量 为 h(
点值累加，得到
将一个信号 xk 不动，另一个信号反转后成为
下，将 xk 与 hn k 对应点相乘，再把乘积的各
n
移位.在每个 n 值的情况
x( [ n] y x x[ (n n] )* [ (n) h2 (n n)] x ) y( n n) (h h1 ) 1 n h2 h (n ) h( n) h2 x(t ) 11 y(t ) x(t ) [h1 (t ) h2 (t )] h1 (t ) h2 (t )
0
16
对一般信号 x(t ) ，可以分成很多 宽度的区段， 用一个阶梯信号 x (t ) 近似表示 x(t ) .当 0 时，
二 卷积积分（The convolution integral） 若 (t ) h(t ) 则 (t ) h(t ) ＝ h (t )
x t x h t
x(t ) x( ) (t )d y(t ) x( )h (t )d
则 y(t ) ak yk (t )
k
4
信号与系统的时域分析:
一般的信号都可以表示为延迟冲激的线性组合。
结合系统的叠加性和时不变性，就能够用LTI的单位
冲激响应来完全表征任何一个LTI系统的特性。这样
一种表示在离散情况下称为卷积和；在连续时间情
况下称为卷积积分。
5
分析方法：
对信号分解可在时域进行，也可在频域或变换域 进行，相应地产生了对LTI系统的时域分析法、频 域分析法和变换域分析法。
h( n n kk n h ) uu (n k )k
1
1
k
0
...
0
k
n
12
运算过程：
k k) ,再随参变量 为 h(
点值累加，得到
将一个信号 xk 不动，另一个信号反转后成为
下，将 xk 与 hn k 对应点相乘，再把乘积的各
n
移位.在每个 n 值的情况
x( [ n] y x x[ (n n] )* [ (n) h2 (n n)] x ) y( n n) (h h1 ) 1 n h2 h (n ) h( n) h2 x(t ) 11 y(t ) x(t ) [h1 (t ) h2 (t )] h1 (t ) h2 (t )
0
16
对一般信号 x(t ) ，可以分成很多 宽度的区段， 用一个阶梯信号 x (t ) 近似表示 x(t ) .当 0 时，
时域离散信号和系统的频域分析
第2章 时域离散信号和系统的频域分析 本章主要内容
序列的傅里叶变换的定义和性质
周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号的傅里叶变换之间 的关系 序列的Z变换 利用Z变换分析信号和系统的频域特性
2.1 引言
信号和系统的两种分析方法： 时域分析方法和频率分析方法 (1)模拟信号和系统 信号用连续变量时间t的函数表示； 系统则用微分方程描述；
2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质 2.2.2 序列傅里叶变换的性质
1. FT的周期性 在FT定义式中， n取整数， 因此下式成立
X (e j )
结论：
n
x( n)e j ( 2 M ) n , M为整数
(1) 序列的傅里叶变换是频率ω的连续周期函数，周期是2π。 (2) X(ejω)可展成傅里叶级数， x(n)是其系数。 X(ejω)表示了信 号在频域中的分布规律。 (3) 在ω＝0,〒2π,〒4π…表示信号的直流分量，在ω＝(2M＋1)π
j j
2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质
(5) 研究FT的对称性 (a) 将序列x(n)表示成实部xr(n)与虚部xi(n)的形式
x(n)=xr(n)+jxi(n)
将上式进行FT， 得到: X(e jω)=Xe(e jω)+Xo(e jω)
j j j jjj n j n n j n n n
1 1 [ X (e jj ) X (e jj )] X e (e ) [ X (e ) X (e )] X e (e ) 2 2 1 j j ) 1 [ X ( e j ) X ( e j )] X o (e ) [ X (e j ) X (e j )] X o (e 2 2
序列的傅里叶变换的定义和性质
周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号的傅里叶变换之间 的关系 序列的Z变换 利用Z变换分析信号和系统的频域特性
2.1 引言
信号和系统的两种分析方法： 时域分析方法和频率分析方法 (1)模拟信号和系统 信号用连续变量时间t的函数表示； 系统则用微分方程描述；
2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质 2.2.2 序列傅里叶变换的性质
1. FT的周期性 在FT定义式中， n取整数， 因此下式成立
X (e j )
结论：
n
x( n)e j ( 2 M ) n , M为整数
(1) 序列的傅里叶变换是频率ω的连续周期函数，周期是2π。 (2) X(ejω)可展成傅里叶级数， x(n)是其系数。 X(ejω)表示了信 号在频域中的分布规律。 (3) 在ω＝0,〒2π,〒4π…表示信号的直流分量，在ω＝(2M＋1)π
j j
2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质
(5) 研究FT的对称性 (a) 将序列x(n)表示成实部xr(n)与虚部xi(n)的形式
x(n)=xr(n)+jxi(n)
将上式进行FT， 得到: X(e jω)=Xe(e jω)+Xo(e jω)
j j j jjj n j n n j n n n
1 1 [ X (e jj ) X (e jj )] X e (e ) [ X (e ) X (e )] X e (e ) 2 2 1 j j ) 1 [ X ( e j ) X ( e j )] X o (e ) [ X (e j ) X (e j )] X o (e 2 2
第二章(1)时域离散信号和系统的频域分析
第二章 离散时间信号和离 时间系统
2.1 引言
一. FT是重要的变换
1.分析有限长序列的有用工具。 2.在信号处理的理论上有重要意义。 3.在运算方法上起核心作用，谱分析、 卷积、相关都可以通DFT在计算机上 实现。
二、本章主要讨论内容
♦ 付里叶变换的推导 ♦ 付里叶变换的有关性质 ♦ 离散序列付里叶变换逼近连续时间信号的问题 ♦ 序列的Z变换 ♦ Z变换与系统的关系
实部为偶 对称序列 虚部为奇 对称序列
0
n
0
n
（2）定义：若xo(n)满足 xo(n)= -xo*(-n)； （2.2.13）， 则称xo(n)为共轭反对称序列。 将其分成实部和虚部： 用-n取代 n并取共轭：
xo (n) = xor (n) + jxoi (n)
xo*(-n)= xor(-n)-jxoi(-n)
∞
(2.2.8) (2.2.9)
证: FT [ x(n ± n0 )] =
k = n ± n0 → =
n =−∞
∑
x(n ± n0 )e − jω n
k =−∞
∑
∞
x(k )e − jω ( k ∓ n0 ) = e ± jω n0
k =−∞
∑
∞
∞
x(k )e − jω k = e ± jω n0 X (e jω ) x ( n ) e − j (ω ∓ ω 0 ) n = X ( e j (ω ∓ ω 0 ) )
∞
n =−∞
∑
∞
x(n)e− jω n
= ∑ RN (n)e n
n =−∞
− jω n
N-1 ∞ = ∑ e − jω n
n =0
设N＝4其幅度和相 位随ω变化如下图所 示
2.1 引言
一. FT是重要的变换
1.分析有限长序列的有用工具。 2.在信号处理的理论上有重要意义。 3.在运算方法上起核心作用，谱分析、 卷积、相关都可以通DFT在计算机上 实现。
二、本章主要讨论内容
♦ 付里叶变换的推导 ♦ 付里叶变换的有关性质 ♦ 离散序列付里叶变换逼近连续时间信号的问题 ♦ 序列的Z变换 ♦ Z变换与系统的关系
实部为偶 对称序列 虚部为奇 对称序列
0
n
0
n
（2）定义：若xo(n)满足 xo(n)= -xo*(-n)； （2.2.13）， 则称xo(n)为共轭反对称序列。 将其分成实部和虚部： 用-n取代 n并取共轭：
xo (n) = xor (n) + jxoi (n)
xo*(-n)= xor(-n)-jxoi(-n)
∞
(2.2.8) (2.2.9)
证: FT [ x(n ± n0 )] =
k = n ± n0 → =
n =−∞
∑
x(n ± n0 )e − jω n
k =−∞
∑
∞
x(k )e − jω ( k ∓ n0 ) = e ± jω n0
k =−∞
∑
∞
∞
x(k )e − jω k = e ± jω n0 X (e jω ) x ( n ) e − j (ω ∓ ω 0 ) n = X ( e j (ω ∓ ω 0 ) )
∞
n =−∞
∑
∞
x(n)e− jω n
= ∑ RN (n)e n
n =−∞
− jω n
N-1 ∞ = ∑ e − jω n
n =0
设N＝4其幅度和相 位随ω变化如下图所 示
数字信号处理第三版第2章.ppt
| z | 2
试利用部分分式展开法求其Z反变换。
解：
X (z)
A1 1 2z 1
1
A2 0.5
z
1
4 1 1 1 3 1 2z1 3 1 0.5z1
x(n)
4 3
2n
1 3
(0.5)n
u(n)
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
例： 设
X (z)
7）终值定理：设x(n)为因果序列，且X(z)=Z［x(n)］的全部
极点，除有一个一阶极点可以在z=1 处外，其余都在单位
圆内，则 ： lim x(n) lim[(z 1)X (z)]
n
z1
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
8）序列卷积（卷积定理）
若： y(n) x(n) h(n) x(m)h(n m) m
3z (z 3)2
z2
3z , 6z 9
试利用长除法求其Z反变换。
解：
| z | 3
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.5.4 Z 变换的性质和定理
1）线性性质
Z［ax(n)+by(n)］=aX(z)+bY(z)
2）序列的移位 Z[x(n m)] zm X (z) Rx | z | Rx
2 j c
c (Rx , Rx )
直接利用围线积分的方法计算逆Z变换比较麻烦。 下面介绍几种常用的逆Z变换计算方法： 1）用留数定理求逆Z变换（了解） 2）部分分式展开法（掌握） 3）幂级数展开法（长除法）
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
例： 设
1
第2章 离散时间信号与系统-1-2节
5 m , m 0 z (m) 将m替换成m-n 0, m 0
5 ( mn ) , m n 0 z[(m n)] 0, m n 0
x ( n ) * z ( n)
n
5n m , n m z ( n m) 0, n m
m
m
[ x(m) z(n m)] [3
m0
( 5n m )]
n n 3 m n 1 (3 / 5) n 1 ,n 0 5 ( ) , n 0 5 1 3 / 5 m0 5 0, n 0 0, n 0 3n 1 5n 1 ,n 0 2 2 0, n 0
n=1
n=2
n=3
n=4
【例2-5】（P15）已知 ，
x(n) {
n ,1n3 2 0,其他
h(n) {
求：
1,0n2 0,其他
y (n) x(n) h(n)
m
x ( m )h ( n m )
【例2-5】（P15）
0.5， 1 ， 1.5 1， 1， 1 ×—————————————————— 0.5， 1 ， 1.5 0.5， 1 ， 1.5 0.5， 1 ， 1.5 + ————————————————————— 0.5， 1.5， 3， 2.5 ， 1.5
1
2
3
4
y(n)
0 -2 -4 1
-3
-2
-1
0 (b)
1
2
3
4
z(n)
0
-1 -4
-3
-2
-1
0 (c)
1
2
3
第二章 时域离散信号和系统(数字信号处理)
第二章 时域离散信号和系统
6. 复指数序列
x(n)=e(σ+jω0)n 式中ω0为数字域频率，设σ=0，用极坐标和实部虚 部表示如下式： x(n)=e jω0n
x(n)=cos(ω0n)+jsin(ω0n)
由于n取整数，下面等式成立： e j(ω0+2πM)n= e jω0n, M=0,±1,±2…
第二章 时域离散信号和系统
图1.2.5 正弦序列
第二章 时域离散信号和系统
则要求N=(2π/ω0)k，式中k与N均取整数，且k的取
值要保证N是最小的正整数，满足这些条件，正弦序列 才是以N为周期的周期序列。
正弦序列有以下三种情况：
(1)当2π/ ω0为整数时，k=1，正弦序列是以2π/ ω0 为周期的周期序列。例如sin(π/8)n， ω0 =π/8，2π/ ω0 =16,该正弦序列周期为16。
例 设x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。
解 按照公式，
y (n )
m
R ( m) R ( n m)
4 4
上式中矩形序列长度为4，求解上式主要是根据矩
形序列的非零值区间确定求和的上、下限，R4(m)的非
令n-k=m，代入上式得到
u( n )
n
( m)
n
第二章 时域离散信号和系统
u(n) 1 „ n 0 1 2 3
单位阶跃序列
第二章 时域离散信号和系统
3. 矩形序列RN(n) 1, RN(n)= 0， 0≤n≤N-1 其它n
上式中N称为矩形序列的长度。当N=4时，R4(n)的
第二章 时域离散信号和系统
第2章 时域离散信号和系统
第2章 连续时间信号和离散时间信号的时域分析
第2章 连续时间信号和离散时间信号的时域分析
2．单位冲激信号 1) 单位冲激信号(Delta函数)的定义
∞ δ (t )dt = 1 ∫ ∞ (2-14) δ (t ) = 0 t ≠ 0 冲激信号用箭头表示，如图2.8(a)所示。冲激信号具有强度，其
强度就是冲激信号对时间的定积分值。在图中以括号注明，以与信 号的幅值相区分。 冲激信号可以延时至任意时刻 t0 ，以符号 δ (t t 0 ) 表示，定义 为
Ae st = Ae(σ + jω
0 )t
= Aeσ t cos(ω0 t ) + jAeσ t sin(ω0 t )
(2-8)
式(2-8)表明，一个复指数信号可以分解为实部﹑虚部两部分。 实部﹑虚部分别为幅度按指数规律变化的正弦信号。若 σ < 0 ，复指 数信号的实部﹑虚部为减幅正弦信号，波形如图2.4(a)﹑(b)所示。 若 σ > 0 ，其实部﹑虚部为增幅正弦信号，波形如图2.4(c)﹑(d)所 示。
第2章 连续时间信号和离散时间信号的时域分析
4．抽样函数 抽样函数是指 sin t 与 t 之比构成的函数，其定义如下：
sin t Sa(t ) = t
抽样函数的波形如图2.5所示。
(2-10)
图2.5 抽样函数的波形 抽样函数具有以下性质：
Sa(0) = 1， Sa(kπ) = 0 ，k
= ±1, ±2,L ∫∞ Sa(t )dt = π
第2章 连续时间信号和离散时间信号的时域分析
应用阶跃信号与延时阶跃信号，可以表示任意的矩形波脉冲信号。 例如，图2.7(a)所示的矩形波信号可由图2.7(b)表示,即 :
f (t ) = u (t T ) u (t 3T )
数字信号处理习题答案
n
2π [ ( 0 2kπ) δ( 0 2kπ)]
式中
k
ω0=Ω0T=0.5π rad 上式推导过程中， 指数序列的傅里叶变换仍然不存在， 只有引入奇异函
数δ函数才能写出它的傅里叶变换表示式。
解： (1) x(n)序列的波形如题2解图（一）所示。 (2) x(n)=－3δ(n+4)－δ(n+3)+δ(n+2)+3δ(n+1)+6δ(n) +6δ(n－1)+6δ(n－2)+6δ(n－3)+6δ(n－4)
第1章 时域离散信号与时域离散系统
（3） x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，再乘以2， 画出图形如题2解图 （二）所示。
n
1=n+1
m0
3
1=8－n
mn4
④ n>7时， y(n)=0
题8解图（1）
最后结果为 0 n<0或n>7
y(n)= n+1 0≤n≤3 8－n 4≤n≤7
y(n)的波形如题8解图（1）所示。 (2) y(n) =2R4(n)*［δ(n)－δ(n－2)］=2R4(n)－2R4(n－2) = 2［δ(n)+δ(n－1)－δ(n+4)－δ(n+5)
y(n)=(2－0.5n)R5(n)+31×0.5nu(n－5)
第1章 时域离散信号与时域离散系统
13． 有一连续信号xa(t)=cos(2πft+j)， 式中， f=20 Hz, j=π/2
（1） 求出xa(t)
（2） 用采样间隔T=0.02 s对xa(t)进行采样， 试写出采样信号xˆa (t)
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b
s
c
Xˆ a ( j)
0
s
G( j)
T
T 0 T
ya (t) F 1[Ya ( j)]
d
X a ( j)
xa (t)
0 c
c
取样内差公式(时域滤波进行分析)
讨论采样信号 xˆa (t) 通过理想低通滤波器G（j）的响应过程。 理想低通G（j）的冲激响应为
g(t) 1
2
G( j)e jt d T
xp (t) xa (t)PT (t)
一般 很小, 越小，采样输出脉冲的幅度越接近输入
信号在离散时间点上的瞬时值。
实际抽样与理想抽样
xa (t)
xa (t)
0
p (t)
1
0
t
p(t) T (t)
t
1
0
xˆa (t)
T
0
T
t
xˆa (t)
T
t
0
非理想采样
t
0
理想抽样
t
实际抽样与理想抽样
xa t xa t
分量。即 s 2h ，才能保证无混叠。
X a ( j)
Xˆ a( j)
h Ωh为最高频率分量
s
0
s
2s
表一些典型的数字信号处理系统
应用系统 地质勘探
上限频率 fmax 500Hz
采样频率 fs 1-2 kHz
生物医学 机械振动
语音 音乐 视频
1kHz ２kHz ４kHz ２０kHz ４MHz
２-４kHz 4-10 kHz 8-16 kHz 40-96 kHz 8-10 MHz
实际抽样：
xa t xa t • PT t
当 0
理想抽样：
x a t xa t• T t
理想采样
冲激函数： T t t nT n
理想抽样输出：xˆa (t) xa (t) T (t)
xa (t) (t nT ) n
xa (nT ) (t nT ) m
对式
P (t) (t nT )
n
n
这里，g(t-nT) 称为内插函数
sin (t nT )
g (t nT )
T
(t nT )
T
特点：在采样点nT上，函数值为1，其余采样点上，值为零。
内插公式表明，连续函数xa（t）可以由它的采样值xa（nT）来表示，它等于 xa（nT）乘上对应的内插函数的总和，如右下图所示。
xa (t) ga (t 2T )
xa (t)
xp (t)
xa (t)
M(t)
xˆa (t)
T
采样频率：
fs
1 T
如开关每次闭合τ秒，则采样器的输出是一串重复周 期为T，宽度为τ的脉冲，脉冲的幅度是这段时间内信 号的幅度(如图)，这一采样过程可看作是一个脉冲调幅
过程，脉冲载波是一串周期为T、宽度为 的 矩形脉冲
，以PT(t)表示,调制信号是输入的连续信号xa(t),则采样 输出为
ga (t T )
ga (t 3T )
0
t
T
2T
3T
在每一个采样点上，由于只有该采样值对应的内插函数不为零，所以保证 了各采样点上信号值不变，而采样之间的信号则由各采样值内插函数的波形 延伸迭加而成。
内插公式的意义: 证明了只要满足采样频率高于两倍信号最高频谱，整个连续信号就可以用 它的采样值完全代表，而不损失任何信息——奈奎斯特定律。
信号内容是否丢失（采样序列能否代表原始 信号、如何不失真地还原信号）
由离散信号恢复连续信号的条件
2、采样过程
1.取样器 • 可以看成是一个电子开关。 • 开关每隔T秒闭合一次（对理想抽样，闭合时间应无穷短， 对实际抽样，闭合时间是秒，但 <<T）使输入信号得以 抽样，得到连续信号的抽样输出信号。
2
s
sin s t
sin t
2 s
e
jt d
2
2 s t
2
T
t
T
频域相乘对应时域卷积，利用卷积公式，则采样信号经理想低通后的输出为
y(t)
xˆa ( )g(t )d
xa n
( )
(
nT ) g(t
)d
xa ( )g(t ) ( nT )d xa (nT )g(t nT )
2.1.1信号的采样与采样定理 1.采样的定义：就是利用周期性抽样脉冲序列
pT(t),从连续信号xa(t)中抽取一系列的离散值 ，得到抽样信号（或称抽样数据信号）即离 散时间信号。
抽样是模拟信号数字化的第一环节，再经幅 度量化、编码后即得到数字信号x(n)。
研究内容：
信号经采样后发生的变化（如频谱的变化）
两边进行傅立叶变换
n
得：P
(
j)
2
T
k
(
ks )
xˆa (t) xa (t) p (t)，对此式两边进行傅立叶变换，得：
Xˆ a ( j)
1
2
X a ( j) P ( j)，将带入并计算卷积
Xˆ a ( j)
1
2
X a ( j) P ( j)
1
2
X
a
(
j)
2
T
k
k
s
1 T
k
补充：正弦信号的抽样
x(t) Asin(0t ) Asin(2 f0t ) 取fs 2 f0时，x(n) Asin( n ) 当 0时，x(n) Asin( n)，x(0) x(1) 0，无法显示正弦信号的周期变化； 所以，对正弦信号采样，须满足fs 2 fc，即fs 3fc
2.1.2信号的恢复
先决条件滤波器，其频率特性为 a xˆa (t) G( j) yˆa(t)
G(
j)
T
0
s 2
s
2
就可得到原信号的频谱：
Ya ( j) Xˆ a ( j)H ( j) 1
T X a ( j) T X a ( j)
在作傅立叶反变换可得到原信号
出原信号，抽样频率必须大于等于两倍原信号最高频
率分量。即 s 2h 。这就是奈奎斯特采样定理。最
小采样频率称为奈奎斯特采样频率。
混叠现象 :
X a ( j)
S 2h
s
0
s
2s
结论
1.抽样信号的频谱是模拟信号频谱以抽样频率 为周期进行周期延拓而成
2.频谱幅度是原信号频谱幅度的1/T倍
3.抽样频率必须大于等于两倍原信号最高频率
T
a
(
j)的频谱
是X a ( j)频谱以s为间隔而重复, 这
种情况称作周期延拓.
s 2h
混叠现象 : S 2h
所以，理想采样信号的频谱是连续信号频谱的周期 延拓,重复周期为s(采样角频率), 幅度原来的1/T。
奈奎斯特取样定理
由上图可知，用一截止频率为
s 2
的低通滤器对 Xˆ a ( j)
滤波可以得 X a ( j). 因此，要想抽样后能不失真的还原
Xa
(
j)
ks
1 T k
Xa
(
j
)
ks
d
1 T
k
Xa(
j
jks )
结论：采样信号的 频谱是原连续信号 的频谱以采样频率 为周期，进行周期 延拓形成的。
Xˆ a (
j)
1 T
k
Xa(
j
jks )
可见，该频谱为周期性信号，其
周期为
2
T s,
k
0时,为
X a j ,所以Xˆ