离散时间信号与系统
信号与系统-离散时间域分析
滤波器性能评估
分析滤波器的幅频响应、 相频响应、群延迟等性能 指标，以评估滤波器的性 能。
数字调制与解调技术
ASK调制与解调
通过改变载波的振幅来 传递数字信息，实现 ASK调制，并通过相干 或非相干解调方法恢复 原始信号。
FSK调制与解调
利用不同频率的载波表 示不同的数字信息，实 现FSK调制，通过鉴频 器或锁相环等实现FSK 信号的解调。
分类
根据信号的性质和特征，离散时间信 号可分为周期信号和非周期信号、确 定信号和随机信号等。
离散时间系统定义及性质
定义
离散时间系统是一种对离散时间输入 信号进行变换或处理的系统，其输出 也是离散时间信号。
性质
离散时间系统具有线性、时不变性、 因果性、稳定性等性质，这些性质对 于系统的分析和设计具有重要意义。
离散时间信号处理重要性
数字信号处理基础
理论分析基础
离散时间信号处理是数字信号处理的 基础，对于数字通信、音频视频处理、 雷达声呐等领域具有重要意义。
离散时间信号和系统分析的理论和方法 可以推广到连续时间信号和系统，为信 号处理和分析提供统一的理论框架。
计算机处理方便
离散时间信号适合计算机处理，可以 通过算法实现各种复杂的信号处理和 变换。
06 实验：离散时间信号处理 实践
实验目的和要求
理解和掌握离散时间 信号的基本概念和性 质
培养实验操作能力和 分析解决问题的能力
熟悉离散时间信号的 处理方法和实现过程
实验内容和步骤
01
实验内容
02
生成离散时间信号
对信号进行基本运算（如加减、乘除、平移、翻转等）
03
实验内容和步骤
01
对信号进行频谱分析，观察信号 的频谱特性
离散时间信号和系统理论知识介绍
离散时间信号和系统理论知识介绍离散时间信号和系统理论是信号与系统理论领域的重要分支，用于描述和分析在离散时间点上的信号及其相应的系统行为。
离散时间信号是在离散时间集合上定义的函数，通常由离散采样得到。
离散时间系统则是对输入离散时间信号进行操作和处理得到输出信号的过程。
离散时间信号是时间的一个离散序列，可以通过对连续时间信号进行采样得到。
最常见的离散时间信号是离散时间单位脉冲信号，其在一个时间点的值为1，其他时间点的值为0。
其他常见的离散时间信号包括阶跃信号、正弦信号、方波信号等。
每个离散时间信号都有其特定的频谱和幅度特性。
离散时间系统是对离散时间信号进行处理和操作的载体。
离散时间系统可以是线性系统或非线性系统。
线性系统可以通过线性时不变（LTI）系统模型来描述，即系统的输入和输出之间存在线性时不变关系。
LTI系统可以用巴特沃斯（Bartow）方程式或其它传输方程式来表示，并可以通过离散时间卷积来分析系统的响应。
非线性系统则不满足线性性质的要求，其描述和分析方法更为复杂。
离散时间信号和系统理论的基本概念包括线性性、时不变性、因果性和稳定性等。
线性性要求系统对输入信号的加法性和乘法性具有反应；时不变性要求系统的性质不随时间变化而改变；因果性要求系统的响应仅依赖于过去和当前的输入信号；稳定性要求系统的输出有界且有限。
离散时间信号和系统的分析方法包括时域分析和频域分析。
时域分析主要关注信号和系统在时间域上的行为，如脉冲响应、单位样本响应、单位阶跃响应等；频域分析则关注信号和系统在频域上的特性，如频谱分析、频率响应等。
离散时间信号和系统在实际应用中有广泛的应用。
例如，它们可以用于数字音频处理、数字图像处理、通信系统、控制系统等领域中。
在这些应用中，离散时间信号和系统的理论方法可以帮助我们分析和设计系统，优化信号处理算法，并提高系统的性能。
总而言之，离散时间信号和系统理论是信号与系统理论中重要的一部分，用于描述和分析离散时间信号和系统的特性。
第一章 离散时间信号与系统
k =−∞
∑ δ (k )
n
u (n )
1
1
1
1 L n
-1
0
1
2
3
单位阶跃序列示意图
3. 矩形序列
• 矩形序列又称门函数序列，定义如下：
1 (0 ≤ n ≤ N −1) Rn (n) = 0 (n < 0 orn ≥ N) = u(n) −u(n − n0 )
R (n )
k
1
1
1
1
卷积和计算的步骤
•置换： z(n) →z(m) •翻转：x(m) ，z(m) →z(-m) 翻转： • 移位：z(-m) → z(n-m) 移位： •相乘：z(n-m) • x(m) （m值相同） 相乘： 相加： =∑ • 相加：y(n) =∑{z(n-m) • x(m)}
图解法举例
• 设两离散信号如图，求卷积和
四、用单位抽样序列表示 任意序列
• 任意序列都可以表示成单位抽样序列的加 ∞ 权和。 x(n) = ∑ x(m)δ (n − m)
m = −∞
x ( n) x(n)δ (n − m) = 0
m=n 其他
五、序列的能量
• 序列的能量为：序列各序列值的平方和：
∞
E=
n = −∞
∑ x ( n)
L
-1 0 1 2 k −1 k n
矩形序列示意图
4. 斜变序列
单位斜变序列R(n)可以看成是单位斜变信号 R(t)的抽样信号，如下图所示，表示为：
n R (n) = nu ( n) = 0
n
0
n<0
R (n) 2 1
3
L n -1 0 1 2 3
离散时间信号与系统
若要
2
2 若要 为有理数（N/k），则： T0 2 N NT k T
为整数，T0应为T的整数倍；
kT 0
即N个抽样间隔应等于连续正弦信号的k 个周期.
25
四、序列的能量 x(n)的能量定义为序列各样本的平方和，即：
E
n
x ( n)
2
26
1.3
连续时间信号的采样
采样器可以看成是一个电子开关，开关每隔T秒闭
合一次，（理想采样闭合时间无穷短，实际采样闭
合时间τ秒，）对输入信号进行采样。
采样过程可以看成脉冲调幅， xa(t)为调制信号，被 调脉冲载波是周期为T的周期性脉冲串。当脉冲宽 度为τ时，实际采样，τ→0时，理想采样。
29
实际采样：
T
p(t)为脉冲 序列 …
n
a为实数，当
a 1时, 收敛 a 1时, 发散
17
5.复指数序列 complex exponent sequence
① 实、虚部
x(n) Ae
( j ) n
x(n) Ae jn
为数字域频率。
② 极坐标
x(n) Ae jn | x(n) | e j arg[ x ( n)]
X a ( j) xa (t )e
jt
dt
33
s (t )
n
(t nT )
s (t ) Ak e jk s t
周期函数
利用傅立叶级数展开，可得：
k
s=2/T，s称为采样角频率 fs=1/T，fs为采样频率
1 T2 其中： Ak T s (t )e jk s t dt T 2 1 T2 T (t nT )e jk s t dt T 2 n 1 T2 1 jk s t T (t )e dt 2 T T
第1章 离散时间信号和系统
第1章 思考题参考解答1．变化规律已知的信号称之为确定信号，反之，变化规律不确定的信号称之为随机信号。
以固定常数周期变化的信号称之为周期信号，否则称之为非周期信号。
函数随时间连续变化的信号称之为连续时间信号，也称之为模拟信号。
自变量取离散值变化的信号称之为离散时间信号。
离散信号幅值按照一定精度要求量化后所得信号称之为数字信号。
2．对于最高频率为f c 的非周期信号，选取f s ＝2f c 可以从采样点恢复原来的连续信号。
而对于最高频率为f c 的非周期信号，选取f s ＝2f c 一般不能从采样点恢复原来的连续信号的周期信号，通常采用远高于2f c 的采样频率才能从采样点恢复原来的周期连续信号。
3．被采样信号如果含有折叠频率以上的高频成分，或者含有干扰噪声，这些频率成分将不满足采样恢复定理的条件，必然产生频率混叠，导致无法恢复被采样信号。
4．线性时不变系统的单位脉冲响应h (n )满足n <0，h (n )=0，则系统是因果的。
若∞<=∑∞-∞=P n h n |)(|，则系统是稳定的。
5．ω表示数字角频率，Ω表示模拟角频率。
ω=ΩT (T 表示采样周期)。
6．不一定。
只有当周期信号的采样序列满足x (n )= x (n +N )时，才构成一个周期序列。
7．常系数差分方程描述的系统若满足叠加原理，则一定是线性时不变系统。
否则，常系数差分方程描述的系统不是线性时不变系统。
8．该说法错误。
需要增加采样和量化两道工序。
9．受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统不一定找得到。
因此，数字信号处理系统的分析方法是先对采样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长效应所造成的影响。
故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。
10、只有当系统是线性时不变时，有y (n )= h (n )*x (n )。
11、时域采样在频域产生周期延拓效应。
12．输入信号x a (t )先通过一个前置低通模拟滤波器限制其最高频率在一定数值之内，使其满足采样频率定理的条件。
离散时间信号与离散系统
三、离散信号的基本运算
1.加减运算（对应样点值相加减）
如 (n) U (n) U (n 1)
函数
U (n) (n k)
k 0
2.相乘（除）运算（对应样点值相乘除）
如 因果信号（序列）f (n)U (n) — — — n 0 才有非零值
离散信号与系统的时域分析
反因果信号 f (n)U (n 1) ――― n 0 才有非零值
n －m n －m
0
m
注意： （1）f (n) 1与 (n) 区别
（2） (t) 与 (n) 区别
离散信号与系统的时域分析
n
函数
2. 单位阶跃序列
1, n 0 U (n) 0, n 0
位移
U
(n
m)
1, 0,
nm nm
注意与 U(t) 区别
3.矩形序列
1, GN (n) 0,
0 n N 1 其他
离散信号与系统的时域分析
U(n)
1
仿真
源码
0 12 GN(n) 1
0 1 N-1 N
n
函数1
函数2
仿真
n
源码
仿真 源码
以上三种序列关系
（1）U
(n)
(nk)＝n Nhomakorabea(k
)
k 0
k
t
U (t) ( )d
证明：
(n k) (n) (n 1) (n 2) ...
k 0
k
n
(k
(1 2
n),
f
(2n)
f
(n)
解：f (n) {10
n0,1,2,3 其他
1
12 3
函数
第一章 离散时间信号与系统1
根据定义
n y ( n ) 1 ( 1 ) k , n 1 2 2 k 1 y ( n) 0, n 1
14
我们计算几个值，画出图形。显然，
n 2 n 1 n0 n 1 n2
y(2) 0
1 3 2 2 3 1 7 y(1) y(0) x(1) 2 4 4 7 1 15 y(2) y(1) x(2) 4 8 8
j 0 n
0 ：复正弦的数字域频率 用欧拉公式将复指数序列展开： n n n x(n) e (cos0 n j sin 0 n) e cos0 n j e sin 0 n
用极坐标表示 其中 x(n)
x(n) x (n)
n
e
j arg[ x ( n )]
f2 (t )
0 1 1 0
, t 1 , 1 t 1 , 1 t 3 , t 3
定义域是连续的（-∞，∞），但是函数值只取-1，0，1三个离 散的值。（在间断点-1，1，3处一般不定义其函数值） f 以上两例中，1 (t ) 我们也称为模拟信号。
8
2 n , n 1 1 1 1 1 z (n) x(n) y(n) 2 ( 2 ) 2 3 , n 1 2 1 1 n 2 ( 2 ) n 1, n 0
图 1· 9 在求序列的和的时候要注意：相同序列 (n) 的序列值相加。
9
4．积（相乘） 两序列的积指相同序号 (n) 的序列值逐项对应相乘： z (n) x(n) y(n) 0.5, n 1 1.5, n 0 例1.1.4已知序列 x(n) = 1, n 1 求 y(n) x(n) 2 x(n) x(n 2) 0.5, n 2 0, n为其它值
6.离散时间信号与系统的时域分析
0, n 1 1 z ( n) x ( n) y ( n) , n 1 2 1 n 1 ( 2 )( n 1)( 2 ) , n 0
6 线性时不变离散系统的时域分析
5. 累加 设某一序列为x(n),则x(n)的累加序列 y(n)定义为
y ( n)
k
x(k ) x(n) * u(n)
n
根据上述性质可以推得以下结论：
f (n n1 ) * (n n2 ) f (n n1 n2 )
6 线性时不变离散系统的时域分析
例 已知 x1 (n) (n) 3 (n 1) 2 (n 2) x2 (n) u(n) u(n 3) 试求信号 x (n) ，它满足 x(n) x1 (n) x2 (n) 解：可利用上面讲述的性质求解。
1 1/ 2 1/4 -2 -1 0 1 1/8 ... 2
n
x(-n) 1 1/2 1/8 1/4 ... -2 -1 0
1
2
n
6 线性时不变离散系统的时域分析
3.序列的加减 两序列的加、减是指同序号(n)的序列值逐项对 应相加得一新序列。
6 线性时不变离散系统的时域分析
例：
x(n) 1 1/2 1/4 -2 -1 0 y(n) 2 1 1/4 1/2 1 2 n …
6 线性时不变离散系统的时域分析
2.单位阶跃序列
u（n）
1, u ( n) 0,
n0 n0
u(n)
...
-1 0 1 2 3 n
(n) u (n) u (n) u (n 1)
m 0
u (n) (n m) (n) (n 1) (n 2)
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(1) t
0 T 2T 3T 4T 5T
采样脉冲序列
采样冲激序列
理想采样序列 理想冲激采样
M (t) (t nT )
n
xa (t) xa (t)M(t)
xa (t)
xa (t)
(t
nT )
xa (t) (t nT )
n
n
2020/12/30
编辑ppt
4
2 频谱的周期延拓
实际工作中的应用 Application in engineering
S 2 MAX
采样前置低通滤波(抗混叠滤波)
Anti-aliasing filter
选择充分的采样频率
Oversampling – high sampling rate
ADVANTAGES
Simple anti-aliasing filters Low signal-to-noise ratio (SNR)
1
2
X
a
(
j)e
jt
d
理想采样信号 xˆ a (t ) 的傅立叶变换为 Xˆ a ( j) ：
Xˆ a ( j) F[ xˆ a (t )] F[ xa (t )M (t )]
分析 Xˆ a ( j) 和 X a ( j) 的内在联系
2020/12/30
编辑ppt
5
因为M(t)为周期函数，故可用傅氏级数表示：
1 T
Xa(
m
j
jm s )
推导结果的意义： 一个连续信号经过理想采样后，它的频谱每隔一个采
样频率s重复出现一次，也就是产生了频谱的周期延拓。
从脉冲调制的角度解释：
因M(t)具有大小相等的各阶谐波分量，当M(t)被xa(t) 调幅后， xa(t)的频谱就被调制到M(t)的各阶谐波上了，出 现了基带频谱的搬移。
编辑ppt
2
1.1 采样
采样实例 — 音乐播放
xa(t)
xa t
采样 & 保持
T
t
量化 & 编码
xˆ a t xa t M t
t
x(n)
x n
n
-1 0 1 2
…..
幅度量化
不考虑
2020/12/30
编辑ppt
3
(1) 理想采样
T
pt
M t
T
When 0
t
0 T 2T 3T 4T 5T
第一章 时域离散信号和时域离散系统 Discrete-time Signal and System
1.1 采样 1.2 离散时间信号——序列 1.3 离散时间系统与差分方程 1.4 总结
2020/12/30
编辑ppt
1
1.1 采样
采样实例 — 音乐播放
真实音乐
传感器
A/D 数字音乐
2020/12/30
M (t) (t nT )
a e jmst m
n
m
级数的基频，即采样频率为：
s
2
T
2fs
s : 角频率
fs : 频率
根据傅氏级数的知识，可得系数am:
am
1 T
T 2
T
M
(
t
)e
2
jmst dt
1 T
T 2
T 2
n
(t
nT
)e
jmst dt
当|t|T/2时，仅有一个(t)，故：
2020/12/30
编辑ppt
8
频谱周期延拓的两种情况 （1）信号最高频谱 < s/2
频谱的周期延拓
s
由图可见： 2
如果xa(t)是实带限信号，且最高 频谱不超过s/2，即：
Xa(
j)
X
a
(
j
)，|
0，|
|
s
|
s 2
2
则 Xˆ a ( j)中，基带及各次谐波调制频谱彼此不重叠。
2020/12/30
e jm st
T m
理想采样序列 xa (t ) 的傅立叶变换
Xˆ a ( j)
xa
(t
)e
jt dt
xa
(t
)
M
(t
)e
jt
dt
2020/12/30
编辑ppt
7
Xˆ
a
(
j)
xa
(t )e
jt dt
xa
(t)M
(t )e
jt dt
1
T m
xa
(
t
)e
j
(
m
s
)t
dt
编辑ppt
9
（2）信号最高频谱 > s/2 ？
各次调制频谱就会相互交叠起 来，出现频谱的“混淆”现象
信号的无失真恢复
频谱的混淆 Overlap of spectrum
Foldover region
Definition 折叠频率 folding frequency：采样频率的一半 s/2。 奈奎斯特采样频率 Nyquist sampling rate：正确采样所必
Spectrum repeated at multiples of the sampling frequency
采样后信号频谱的变化？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
设输入信号 xa (t ) 的傅立叶变换为 Xa ( j) ，则：
Xa ( j) F[ xa (t)]
xa
(t
)e
jt
dt
xa (t)
F 1[ Xa (
j)]
• 语音：<4kHz
• 音乐：<20kHz
• 超声：20kHz~xxMHz
• FM收音机：MHz • 雷达：xGHz •…
通用仪器：直流~300MHz 微波仪器：>300MHz
需的最低采样率，信号最高频率的2倍。 奈奎斯特间隔 Nyquist interval: 最大允许的采样间隔
2020/12/30
TS
c
1 编2辑fpcpt
1 fs
10
2020/12/30
编辑ppt
11
奈奎斯特采样定理 Nyquist sampling theorem
模拟信号的采样频率s必须大于或等于信号中最高频率 max的两倍，才能保证其频谱不产生混叠且不失真还原。
1
am T
T
2
T 2
n
(t )e jmst dt
1 T
2020/12/30
编辑ppt
M (t) 1
e jm st
T m
6
上述推导的意义：
冲激序列M(t)具有梳状谱结构，即它的各次谐波都 具有相等的幅度：1/T
F[M (t)]
1 T
-1 0 1 2 3 4
/ s
M (t) 1
– 放大/衰减
Amplifier
– 滤波
Filter
– 信号转换
Signal Conversion
– ……
• 将外部信号采入系统（CPU、MPU、DSP…）， 并加以处理，最后输出…
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编辑ppt
14
工程中A/D基本定义
• 信号的频率
– 代表信号变化快慢的物理量
– 不同的信号频率不同：
2020/12/30
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12
实际工程中的应用
抗混叠 滤波器 过采样 采样较高采样率
S 6 8MAX
xa t
Analog input
采样后发生的变化?
频谱发生的变化? 信号内容发生的变化? 重构条件?
2020/12/30
编辑ppt
13
工程实践中的信号采集
• 传感器 Sensors
• 信号调理 Signal Conditioning