函数y=Asin(wx+φ)的图像与性质
龙文教育一对一个性化辅导教案学生王歆怡学校恒福中学 年级 高一 次数 第 3 次 科目 高中数学 教师徐慧武 日期2016-4-1时段17-19课题 函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与性质教学重点函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与性质、函数图像的变换方法、求函数)sin(ϕω+=x A y 的解析式教学难点 图象变换与函数解析式变换的内在联系的认识教学目标1.掌握函数)sin(ϕω+=x A y 的图像的变换的过程，掌握函数)sin(ϕω+=x A y 的有关性质；2.能够根据图像求出函数)sin(ϕω+=x A y 的解析式.教 学 步 骤 及 教 学 内 容一、教学衔接：1.通过沟通了解学生的思想动态和学生在校的学习内容；2.检查上次课的作业，并进行疑难解答. 二、内容讲解： 知识梳理 典例讲解考点一：函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与性质---p2 考点二：根据函数)sin(ϕω+=x A y 的图像确定解析式---p4 巩固练习三、课堂总结与反思：带领学生对本次课授课内容进行回顾、总结四、作业布置：安排巩固练习中的部分题目让学生课后完成管理人员签字： 日期： 年 月 日作业布置1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差备注：2、本次课后作业：课堂小结家长签字：日期：年月日函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与性质学生姓名： 授课时间：【知识梳理】◆ 知识点1：同角三角函数关系式（1）22sin cos αα+= ；（2）tan α= . ◆ 知识点2：诱导公式1.诱导公式一：（1）sin(2)k απ+= ；（2）cos(2)k απ+= ；（3）tan(2)k απ+= .2.诱导公式二：（1）sin()πα+= ；（2）cos()πα+= ；（3）tan()πα+= .3.诱导公式三：（1）sin()α-= ；（2）cos()α-= ；（3）tan()α-= .4.诱导公式四：（1）sin()πα-= ；（2）cos()πα-= ；（3）tan()πα-= .5.诱导公式五：（1）sin 2πα⎛⎫-⎪⎝⎭= ；（2）cos 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭= . 6.诱导公式六：（1）sin 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭= ；（2）cos 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭= . ※ 诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”. ◆ 知识点3：三角函数的图像与性质三角函数正弦函数sin y x =余弦函数cos y x =正切函数tan y x =图像定义域 值域 对称中心 对称轴 单调区间 奇偶性 最小正周期◆ 知识点4：函数)sin(ϕω+=x A y （其中0A >，0ω>）的图像1.将函数sin y x =的图像向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图像；2.将曲线上各点的横坐标变为原来的1ω倍，得到函数()sin y x ωϕ=+的图像； 3.把曲线上各点的纵坐标变为原来的A 倍，最终得到函数)sin(ϕω+=x A y 的图像. 4.A 称作为振幅，ϕ称为初相，x ωϕ+称为相位. ◆ 知识点5：函数)sin(ϕω+=x A y （0A >）的性质 1.定义域：R ；值域：[],A A -. （1）当2()2x k k Z πωϕπ+=+∈时，y 取得最大值A ； （2）当2()2x k k Z πωϕπ+=-∈时，y 取得最小值A -；2.最小正周期：2T πω=.3.单调性：（1）单调递增区间由22()22k x k k Z πππωϕπ-≤+≤+∈求得；（2）单调递减区间由322()22k x k k Z πππωϕπ+≤+≤+∈求得. 以上求单调区间的方法是针对0ω>的情况，当0ω<时，可利用诱导公式转化为0ω>的情况再求单调区间. 4.奇偶性: （1）当,2k k Z πϕπ=+∈时，函数)sin(ϕω+=x A y 是偶函数；当,k k Z ϕπ=∈时，函数)sin(ϕω+=x A y 是奇函数；（2）当,,2k k k Z πϕπϕπ≠+≠∈时，函数)sin(ϕω+=x A y 是非奇非偶函数.5.对称性：（1）对称轴方程：由,2x k k Z πωϕπ+=+∈求得；（2）对称中心：由,x k k Z ωϕπ+=∈给出对称中心的横坐标，纵坐标为0.【典型例题】考点一：函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与性质【例1】用“五点法”画出函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，并指出函数的周期、值域、单调区间、对称轴及对称中心，其图像如何由正弦函数图像变换得到？【变式1】用“五点法”画出函数2cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，并指出函数的周期、值域、单调区间、对称轴及对称中心，其图像如何由正弦函数图像变换得到？【例2】将函数sin y x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得函数图像上的各点向右平移10π个单位长度，所得图像的函数解析式为（ ）. A.sin 210y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B.1sin 220y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C.sin 25y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D.1sin 210y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【变式2】将函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象先向左平移6π，然后将所得图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为（ ）. A.cos y x =-B.sin 4y x =C.sin y x =D.sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【变式3】函数3sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ）. A.2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） B.32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） C.511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） D.5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）【例3】下列函数中最小正周期为π的是（ ）. A.sin 4x B.tan 2x C.1cos 2x D.sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【变式4】求下列函数的最小正周期. （1）2sin(3)4y x π=+； （2）2cos 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭； （3）1tan 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；【例4】试判断下列各函数的奇偶性: （1）()sin f x x =； （2）()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； （3）()x x f 2cos )(+=π.【变式5】下列函数中，以π为最小正周期的奇函数是（ ）. A.tan 2xB.cos 22x π⎛⎫+⎪⎝⎭C.sin xD.3sin 22x π⎛⎫+⎪⎝⎭考点二：根据函数)sin(ϕω+=x A y 的图像确定解析式【例1】函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图所示，则（ ）. A.4,2πϕπω==B.6,3πϕπω==C.4,4πϕπω==D.45,4πϕπω==【变式1】如图是函数()sin(),(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图象，则其解析式是____________.xy π6π35π63- 3O【变式2】已知函数())sin(ϕω+=x A x f （0A >，0ω>，2πϕ<）在一个周期内的图象如图所示，求()f x 的解析式.【巩固练习】1.函数⎪⎭⎫⎝⎛+=421sin 2πx y 的周期，振幅，初相分别是（ ）.A.4π，2，4π B.π4，2-，4π- C.π4，2，4π D.π2，2，4π2.为了得到函数R x x y ∈⎪⎭⎫⎝⎛+=,63sin 2π的图象，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图象上所有的点（ ）. A. 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短为原来的31倍（纵坐标不变）B. 向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短为原来的31倍（纵坐标不变）C. 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长为原来的3倍（纵坐标不变）D. 向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长为原来的3倍（纵坐标不变）3.函数3cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的递减区间是（ ）. A.5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） B.511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） C.,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） D.2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） 4.sin(660)︒-的值是（ ）.A.32-B.12-C.12D.325.若()21sin -=+A π，则=⎪⎭⎫⎝⎛-A 2cos π（ ）. A.21-B. 21C. 23-D. 236.已知函数3()sin 2()2f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，下面结论错误．．的是（ ）. A ．函数)(x f 的最小正周期为π B ．函数)(x f 是偶函数 C ．函数)(x f 的图象关于直线4x π=对称 D ．函数)(x f 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 7.已知:函数()2sin 2,4f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭. （1）作出函数在区间[]0,π上的图像；（2）求函数()f x 的周期、值域、单调区间、对称轴及对称中心，并描述该函数的图像如何由正弦函数图像变换得到.8.函数()sin()4f x A x πω=-(0,0A ω>>)的部分图像如右所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）设(0,)2πα∈，且6285f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan α的值.。
y=Asin(wx+ψ)的图象与性质(学生版)
sin()y A x ωϕ=+的图象与性质【知识要点】1.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x －φω －φω＋π2ω π－φω 3π2ω－φω 2π－φωωx ＋φ 0 π2 π 3π22π y ＝A sin(ωx ＋φ) 0 A 0 －A 0 2.函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤3.三角函数模型的应用(1)根据图像建立解析式或根据解析式作出图像． (2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型．【课前小练】1.为了得到函数2sin(),36x y x R π=+∈的图象, 只需把函数2sin ,y x x R =∈的图象上所有的点（ ）A ．向左平移6π个单位长度, 再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变) B ．向右平移6π个单位长度, 再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)C ．向左平移6π个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D ．向右平移6π个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)2.函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( )A ．2,3π-B.2,6π-C.4,6π-D.4,3π3.（2015高考陕西 理3）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．104.函数y=sin （2x+φ）的图象沿x 轴向左平移 8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ 的一个可能的值为（ ）3.4A π .4B π C.0 .4D π-【例题解析】考点一 五点法作y ＝Asin(ωx ＋φ)+B 图像例1： （2015高考湖北 理17）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+ 0 π2 π3π2 2πxπ35π6 sin()A x ωϕ+ 055-（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解 析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值.变式1：（2014—2015武汉重点中学期末联考）设函数()sin(2)(0)f x x ϕπϕ=+-<<，()y f x =图象的一条对称轴是8x π=（Ⅰ）求函数()y f x =的单调增区间； （Ⅱ）画出函数()y f x =在区间[]0,π上的图象.考点二：函数)sin(ϕω+=x A y 的解析式确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，B ＝M ＋m2.(2)求ω，确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT.(3)求φ，特殊点带入.例2： （2015高考新课标1 理8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈ B.13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -+∈ D ．13(2,2),44k k k Z -+∈变式2：函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则)0(f 的值是________．变式3：已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是（ ）D.C.B.A.2π2π2π2πππππ2221111OOO O y y y y xxxx变式4：函数()ϕω+=x y sin 的部分图象如右图，则ϕ、ω可以取的一组值是（ ） A. 2πω=，4πϕ=B. 3πω=，6πϕ=C. 4πω=，4πϕ=D. 4πω=，45πϕ=考点三：函数)sin(ϕω+=x A y 的图像变换例3： （2015高考山东 理3）要得到函数sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ）A ．向左平移12π个单位 B.向右平移12π个单位C ．向左平移3π个单位D ．向右平移3π个单位变式5：要得到cos(3)4y x π=-的图象，则需要把将sin(3)4y x π=-的图象向左平移的距离最短的单位为_______变式6：要得到函数2cos y x =的图象，只需将函数2sin(2)4y x π=+的图象上所有的点的 A 横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度B 横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）,再向左平行移动4π个单位长度 C 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再向左平行移动4π个单位长度 D 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度考点四：)sin(ϕω+=x A y 型函数的图象与性质的综合应用例4： 函数 )62sin(3)(π+=x x f 的部分图象如图所示.（1）写出)(x f 的最小正周期及图中00,y x 的值； （2）求)(x f 在区间]12,2[ππ--上的最大值和最小值.变式7：已知函数)20,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的图像与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图像上一个最低点为)2,32(-πM .（1）求)(x f 的解析式； （2）当,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求)(x f 的值域.考点五：)sin(ϕω+=x A y 型函数的应用举例例5： 为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人； ③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； (2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？变式8：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。
新高考数学考点12 y=Asin(wx+φ)的图像与性质考点分类讲义练习题附解析3
考点12 y=Asin(wx+φ)的图像与性质1、了解三角函数的周期性,画出 y =sin x , y =cos x , y =tan x 的图像,并能根据图像理解正弦函数、余弦函数在[ 0 ,2π ],正切函数的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与 x 轴的交点等)2. 了解三角函数 y = A sin ( ωx + φ )的实际意义及其参数 A , ω ,φ 对函数图像变化的影响;能画出 y = A sin (ωx +φ )的简图,能由正弦曲线 y =sin x 通过平移、伸缩变换得到 y = A sin ( ωx + φ )的图像 .3. 会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 .1. 三角函数的图像与性质是高考中的必考点,对这部分内容的考查,高考中大多以中、低档题为主,主要集中于对函数的周期、图像、单调性、值域(或最值)等几个方面的考查 . 要解决此类问题,要求学生熟练地掌握三角函数的图像,及正弦函数、余弦函数、正切函数的最基本的性质,并能运用这些性质去熟练地解题 .2. 利用三角函数的性质解决问题时,要重视化归思想的运用,即将复杂的三角函数转化为基本的正弦、余弦、正切函数来处理1、函数 f ( x ) = A sin ( ωx + φ )的图像的平移和伸缩变换以及根据图像确定 A , ω ,φ 问题是高考的热点,题型多样,难度中低档,主要考查识图、用图的能力,同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力 . 2、要牢牢记住函数 f ( x ) = A sin ( ωx + φ )的图像和性质。
1、【2020年江苏卷】.将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.2、【2020年全国1卷】设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A.10π9 B.7π6 C. 4π3D. 3π2 3、【2020年全国3卷】16.关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 4、【2020年天津卷】8.已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值； ③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是 A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③5、【2020年山东卷】.下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A. πsin(3x +）B. πsin(2)3x - C. πcos(26x +）D. 5πcos(2)6x - 6、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=2sin cos ++x xx x 在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．7、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③8、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=|cos2x |B ．f (x )=|sin2x |C ．f (x )=cos|x |D ．f (x )=sin|x |9、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0,10π）单调递增④ω的取值范围是[1229510，) 其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③D ．①③④10、【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2- B． CD ．211、【2018年高考江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________．12、【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域．题型一 三角函数的性质1、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）设函数2sin cos ()(,0)x x xf x a R a ax +=∈≠，若(2019)2f -=，(2019)f =( )A ．2B ．-2C ．2019D ．-20192、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π63、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()sin cos f x x x =+，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为πB ．()y f x =图象的一条对称轴方程为4x π=C ．()f x 的最小值为2-D ．()f x 的0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数4、（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数()sin 2f x a x x =的图象关于直线12x π=-对称，若()()124f x f x ⋅=-，则12a x x -的最小值为（ ） A ．4πB ．2π C ．πD ．2π5、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．π-是()f x 的一个周期B ．()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移3π得到 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()y f x =的图像关于直线1712x π=对称 6、.（2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模）已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>，将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于__________.7、（2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题）已知函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω的最小值为_____. 8、(2019南京学情调研）已知函数f(x)＝2sin (2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2的图像关于直线x ＝π6对称，则f(0)的值为________．9、(2019苏锡常镇调研）函数()cos()(0)3f x x πωω=->的图像关于直线2x π=对称，则ω的最小值为 ．10、(2019苏州期初调查） 已知函数f(x)＝sin (2x ＋φ)(0≤φ<π)的一条对称轴是x ＝－512π，则φ＝________．11、(2019南京、盐城二模）若函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，且相邻两条对称轴间的距离为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________．题型二 三角函数图像的变换1、（2020届山东师范大学附中高三月考）为了得函数23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数2y sin x =的图象（ ） A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移3π单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向右平移3π个单位2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）将曲线()cos 2y f x x =上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移4π个单位长度，得到曲线cos 2y x =，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．-1C D ．3、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0a a >个单位得到函数()πcos 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则a 的值可以为（ ）A ．5π12B ．7π12C ．19π24D ．41π244、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）函数f(x)＝sin(wx ＋φ)(w ＞0，φ＜2π)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移6π个单位后得到的函数图象关于直线x ＝2π对称，则函数f(x)的解析式为（ ）A ．f(x)＝sin(2x ＋3π) B ．f(x)＝sin(2x －3π) C ．f(x)＝sin(2x ＋6π) D ．f(x)＝sin(2x －6π)5、（2020·蒙阴县实验中学高三期末）关于函数()22cos cos(2)12f x x x π=-+-的描述正确的是（ ）A ．其图象可由2y x =的图象向左平移8π个单位得到 B ．()f x 在(0,)2π单调递增C ．()f x 在[]0,π有2个零点D ．()f x 在[,0]2π-的最小值为6、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度得到()g x 图象，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()g x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．函数()g x 图象关于直线712x π=对称 C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称7、(2019无锡期末） 已知直线y ＝a(x ＋2)(a>0) 与函数 y ＝|cos x|的图像恰有四个公共点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4), 其中 x 1<x 2<x 3<x 4，则x 4＋1tan x 4＝________． 8、（2020届江苏省南通市高三下学期3月开学考试）将函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0>ω）的图象向左平移π3个单位长度后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为______.题型三 三角函数的解析式1、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭，则( ) A ．把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 2y x =的图象B ．函数()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．函数()f x 在区间[]0,2π内有五个零点D ．函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为12、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知()sin()f x A x ωφ=+（0,04,)2A πωφ><<<）过点1(0,)2，且当6x π=时，函数()f x 取得最大值1.（1）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()g x ，求函数()g x 的表达式； （2）在（1）的条件下，函数2()()()2cos 1h x f x g x x =++-，求()h x 在[0,]2π上的值域.解析附后考点12 y=Asin(wx+φ)的图像与性质1、【答案】524x π=-【解析】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=- 72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈当1k =-时524x π=-故答案为：524x π=-2、【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭， 将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω=== 故选：C 3、【答案】②③【解析】对于命题①，152622f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误. 故答案为：②③. 4、【答案】B【解析】因为()sin()3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确；51()sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确； 将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin()3y x π=+的图象， 故③正确. 故选：B. 5、【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A, 当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭ 故选：BC. 6、【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 7、【答案】C 【解析】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当ππ2x <<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误． 当0πx ≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当π0x -≤<时，()()sin sin f x x x =--2sin x =-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C ． 8、【答案】A【解析】作出因为sin ||y x =的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D ； 因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ；作出cos2y x =图象如图2，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递增，A 正确； 作出sin 2y x =的图象如图3，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递减，排除B ，故选A ．图1图2图39、【答案】Df x在[0,2π]上有5个零点，可画出大致图象，【解析】①若()f x在(0,2π)有且仅有3个极大值点.故①正确；由图1可知，()f x在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；②由图1、2可知，()10、【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=； 又12π()sin,2π,122g x A x T ωω=∴==∴2ω=，又π()4g =2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f =故选C. 11、【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，因为ππ22-<<ϕ，所以π0,.6k ==-ϕ【名师点睛】由对称轴得2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，再根据限制范围求结果.函数()sin y A x B =++ωϕ（A >0，ω>0）的性质：(1)max min ,y A B y A B =+=-+； (2)最小正周期2πT =ω；(3)由()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴； (4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间;由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间.12、【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[1-．【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+， 故2sin cos 0x θ=， 所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈， 因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y f x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭π123x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[122-+．题型一 三角函数的性质1、【答案】B 【解析】因为2sin cos ()x x xf x ax+=， 所以22sin()cos()sin cos ()()x x x x x xf x f x ax ax ---+-==-=-， 因此函数()f x 为奇函数，又(2019)2f -=，所以(2019)(2019)2f f =--=-. 故选B 2、【答案】B 【解析】因为函数()()cos f x x ωϕ=+的最小正周期为π，所以22πωπ==，又对任意的x ，都使得()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 在3x π=上取得最小值，则223k πϕππ+=+，k Z ∈， 即2,3k k Z πϕπ=+∈，所以()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ，则函数()y f x =在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故a 的最大值是3π. 故选B3、【答案】B 【解析】()sin cos )4f x x x x π=+=+， 对A ，()f x ∴的最小正周期为2π，故A 错误；对B ，()42f ππ==()y f x ∴=图象的一条对称轴方程为4x π=，故B 正确；对C ，()f x 的最小值为，故C 错误； 对D ，由[0,]2x π∈，得3[,]444x πππ+∈，则()f x 在[0,]2π上先增后减，故D 错误． 故选：B ． 4、【答案】B 【解析】()f x 的图象关于直线12x π=-对称，(0)()6f f π∴=-，即-1a =，则()sin 222sin 26f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，12()()4f x f x =-，1()2f x ∴=，2()2f x =-或1()2f x =-，2()2f x =，即1()f x ，2()f x 一个为最大值，一个为最小值， 则12||x x -的最小值为2T， T π=，12||x x ∴-的最小值为2π， 即12a x x -的最小值为2π.故选：B ． 5、【答案】ACD 【解析】()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为π，故π-也是其周期，故A 正确；()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移6π得到，故B 错误；()77()()sin sin 066323f f ππππππ⎛⎫+==-== ⎪⎝⎭，故C 正确； sin sin 17175()1262sin 132f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ =⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD 6、【答案】4【解析】由题得12=,4,()42n n n Z ππωω⨯⨯∴=∈, 因为0>ω，所以ω的最小值等于4.故答案为：4 7、【答案】43. 【解析】由题意可得,32k k Z ππωπ⨯+=∈，求得22,3k k Z ω=-∈， 又0>ω，则ω的最小值为43， 故答案为：43. 8、【答案】. 1【解析】由题意，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝±2，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1，又因为－π2＜φ＜π2， －π6<π3＋φ<5π6，所以π3＋φ＝π2，即φ＝π6，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，f(0)＝1.9、【答案】.32【解析】解法1：根据余弦函数的图像及性质，令ππωk x =-3，Z k ∈得ωππk x +=3，令23πωππ=+k 得k 232+=ω，Z k ∈，又因为0>ω，所以当0=k 时ω取得最小值为.32 解法2：由条件可得1)2(±=πf ，即1)32cos(±=-πωπ，则ππωπk =-32，Z k ∈，解得k 232+=ω，Z k ∈，又因为0>ω，所以当0=k 时ω取得最小值为.32解后反思：利用整体思想，结合三角函数的图像及性质是解决这类问题的关键！10、【答案】π3【解析】因为函数f(x)的一条对称轴是x ＝－512π，所以2×⎝⎛⎭⎫－5π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π＋4π3，k ∈Z ，又因为0≤φ<π，所以φ＝π3.11、【答案】.3【解析】由相邻两条对称轴间的距离为π2，知其最小正周期T ＝2×π2＝π，从而得ω＝2πT ＝2ππ＝2，又f(x)＝2sin (2x ＋φ)的图像经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，所以2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝2，解得φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，又因为0<φ<π，所以φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，即有f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin 2π3＝ 3.题型二 三角函数图像的变换1、【答案】A 【解析】不妨设函数2y sin x =的图象沿横轴所在直线平移ϕ个单位后得到函数23y sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象． 于是，函数2y sin x =平移ϕ个单位后得到函数，sin 2()y x ϕ=+，即sin(22)y x ϕ=+， 所以有223k πϕπ=+，6k πϕπ=+，取0k =，6π=ϕ．答案为A ． 2、【答案】D 【解析】把cos 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，得cos 2()cos(2)sin 242y x x x ππ=+=+=-的图象，再把所得图象各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得图象的函数式为sin(22)sin 4y x x =-⨯=-， sin 42sin 2cos 2()cos 2y x x x f x x =-=-=，∴()2sin 2f x x =-，∴()2sin63f ππ=-=．故选：D. 3、【答案】C【解析】由题意知，3()cos(2)sin(2)44g x x x ππ=+=+，其图像向左平移a 个单位得到函数3()sin(22)4f x x a π=++， 而函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以有32243a k πππ+=+5224a k ππ=-+，取1k =得1924a π=.答案选C.4、【答案】D【解析】因为函数()()f x sin ωx φ=+的最小正周期是π，所以2ππω=，解得ω2=，所以()()f x sin 2x φ=+， 将该函数的图像向右平移π6个单位后，得到图像所对应的函数解析式为ππy sin 2x φsin 2x φ63⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由此函数图像关于直线πx 2=对称，得： πππ2φk π232⨯+-=+，即πφk π,k Z 6=-∈，取k 0=，得πφ6=-，满足πφ2<，所以函数()f x 的解析式为()πf x sin 2x 6⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选D. 5、【答案】ACD【解析】由题：()22cos cos(2)1cos 2sin 2)24f x x x x x x ππ=-+-=+=+，由2y x =的图象向左平移8π个单位，得到)))84y x x ππ=+=+，所以选项A 正确；令222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得其增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈ ()f x 在(0,)8π单调递增，在(,)82ππ单调递减，所以选项B 不正确；解()0,2,4f x x k k Z ππ=+=∈，得：,28k x k Z ππ=-∈，[0,]x π∈， 所以x 取37,88ππ，所以选项C 正确；3[,0],2[,],sin(2)[1,244442x x x πππππ∈-+∈-+∈-，()[f x ∈， 所以选项D 正确. 故选：ACD6、【答案】ABD【解析】函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移2π个单位长度得到()ππsin 223g x x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由于7π7π2ππsin sin 112632g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故7π12x =是()g x 的对称轴，B 选项正确. 由于π2π2πsin sin 00333g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()g x 的对称中心，D 选项正确.由π2ππ2232x -≤-≤，解得π7π1212x ≤≤，即()g x 在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，故A 选项正确、C 选项错误. 故选：ABD.7、【答案】－2【解析】根据图形可得直线y ＝a(x ＋2)与函数y ＝－cos x 的图像相切于点(x 4，－cos x 4)，其中x 4∈⎝⎛⎭⎫π4，π.因为y ＝sin x ，由导数的几何意义可得a ＝sin x 4＝－cos x 4－0x 4＋2，化简得x 4＋1tan x 4＝－2.8、【答案】12【解析】将函数f （x ）＝sin （ωx 6π-）（ω＞0）的图象向左平移3π个单位后，可得函数y ＝sin （ωx 36πωπ+-）的图象，再根据所得图象关于直线x ＝π对称，可得ωπ36πωπ+-=k π2π+，k ∈Z ， ∴当k ＝0时，ω取得最小值为12，故答案为12．题型三 三角函数的解析式1、【答案】D【解析】因为函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以2sin 23πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，因此2,32k k Z ππϕπ+=+∈， 所以2,6k k Z πϕπ=+∈， 因此()2sin(2)2sin 222sin 266f x x x k x ππϕπ⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； A 选项，把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，故A 错； B 选项，由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是：2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故B 错； C 选项，由()2sin 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得2,6x k k Z ππ+=∈，即,122k x k Z ππ=-+∈， 因此[]0,2x π∈，所以5111723,,,12121212x ππππ=，共四个零点，故C 错； D 选项，因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因此1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以[]2sin 21,26x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小值为1，故D 正确； 故选：D.2、【答案】(1)()sin(2)6g x x π=-；(2)[1,2]-.【解析】 (1)由函数()f x 取得最大值1，可得1A =,函数过10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭得12sin φ=，,26ππφφ<= 12,6662f k k Z ππππωπ⎛⎫=⇒+=+∈ ⎪⎝⎭，∵04ω<<，∴2ω= ()26f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()266g x f x sin x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2) ()22226h x x cos x sin x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 710,,2,21266626x x sin x πππππ⎡⎤⎛⎫∈≤+≤-≤+≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 12226sin x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，值域为[]1,2-.。
函数y=Asin(wx+φ)的性质与图象解题策略(解析版)
函数y=Asin(wx+φ)的性质与图象解题策略sin y x = cos y x = tan y x =图像定义域 R R,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k Z ∈时，max 1y =；当22x k ππ=-()k Z ∈时，min1y =-．当()2x k k Z π=∈时，max 1y =；当2x k ππ=+()k Z ∈时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上是减函数．在[]()2,2k k k Z πππ-+∈上是增函数； 在[]2,2k k πππ+()k Z ∈上是减函数． 在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ()k Z ∈上是增函数．对称性对称中心()(),0k k Z π∈ 对称轴()2x k k Z ππ=+∈对称中心(),02k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭ 对称轴()x k k Z π=∈对称中心(),02k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭无对称轴例1：1．（2022·北京·人大附中模拟预测）函数()cos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图像关于直线2x π=对称，则ω可以为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．1【答案】C【详解】()cos()(0)3f x x πωω=->对称轴为：22(0)()3233x k k k k Z πππωπωπωω-=⇒-=⇒=+>∈函 数 性 质当0k =时，ω取值为23.故选:C.2.（多选）（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数()sin 042f x x ππωω⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭在区间()0,1上可能（ ）A ．单调递增B ．有零点C ．有最小值D ．有极大值【答案】AD【详解】因为01x <<且02πω<<，则444x πππωω<+<+，3444ππωπ<+<， 所以，函数()f x 在()0,1上不可能有零点，B 错；当442πππω<+≤时，即当04πω<≤时，()f x 在()0,1上单调递增，A 对；函数()f x 在()0,1上可能有极大值，但无最小值，C 错D 对.故选：AD. 举一三1．（2022·河北邯郸·二模）函数()πsin(2)3f x x =+在ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上的值域为（ ）A ．(]0,1B ．⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．⎛⎤⎥⎝⎦ D ．[]1,1- 【答案】C【详解】当ππ,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，ππ2,π33x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，当ππ232x +=时，即π12x = 时，()πsin(2)3f x x =+取最大值1，当ππ233x +=-，即π3x =- 时，()πsin(2)3f x x =+取最小值大于 ，故值域为⎛⎤ ⎥⎝⎦2．（多选）（2022·北京东城·三模）下列函数中最小正周期不是π的周期函数为（ ） A ．sin y x = B ．sin y x =C ．cos y x =D ．tan y x =【答案】AC解：对于A 选项，sin y x =为偶函数，当0x ≥时，sin y x =，为周期函数，周期为2π；当0x <时，sin y x =-，为周期函数，周期为2π，但在整个定义域上，函数不具有周期性，故错误；对于B 选项，sin y x =的图像是将sin y x =图像在x 轴下方的翻到x 轴上方，进而函数为周期函数，周期是π，故正确；对于C 选项，cos cos y x x ==，故周期为2π，错误；对于D 选项，tan y x =图像是将tan y x =图像在x 轴下方的翻到x 轴上方，其周期性不变，故依然为π，正确；3．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【详解】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件；取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭， 32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件. 4．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））若0απ<<，则sin20α>的概率为______ 【详解】∵0απ<<，022απ<<，由sin20α>可得02απ<<，即02πα<<，∴若0απ<<，则sin20α>的概率为122ππ=.六．函数y=Asin(wx+φ)的图象1、将函数sin y x =的图象上所有的点，向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y A x ωϕ=+的图象。
人教版数学必修四1.5 函数y=Asin(wx φ )的图象和性质 教案
三角函数)sin(ϕω+=x A y 的图像和性质高考考纲解读：三角函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的平移和伸缩变换以及根据图象确定ϕω,,A 问题是高考的热点，题型多样，难度中低档，主要考查识图、用图的能力，同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力。
本节课的指导思想是以2015湖北高考17题为典型母题，在此基础上进行了三个变式，分散考点，逐步加深对知识的理解，帮助学生掌握解题技能。
教学目标：掌握五点作图法作出三角函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的图像 理解三角函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的图像和性质。
教学重点：三角函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的图像伸缩变换和性质。
教学难点：解决三角函数的综合问题 教学手段：合作学习，讲练结合 教学过程： （一）高考考纲解读函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的平移和伸缩变换以及根据图象确定ϕω,,A 问题是高考的热点，题型多样，难度中低档，主要考查识图、用图的能力，同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力。
（二）高考母题引领三角函数)sin(ϕω+=x A y 复习母题鉴析(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并写出函数f(x)的解析式；(2)将y ＝f(x)图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g(x)的图象，求y ＝g(x)的图象离原点O 最近的对称中心．选题意义：本题叙述简洁明了，不拖泥带水．题目的大条件是以学生十分熟悉的一元二次方程的根为背景给出的，显得平和而贴切．试题一共设置了两问，设问角度新颖，梯度明显，体现了浅入深出、简局表哥约而不简单的命题风格．本题所包含的主要数学知识有：五点作图法、三角函数的图像变换、由图表求三角函数解析式，三角函数的性质等；所涉及的数学思想有换元思想、整体代换思想和函数与方程思想等；考查的主要数学技能有数学运算和逻辑推理。
函数y=Asin(wx+φ)的图像与性质版
考点一、
已知函数y=2sin 2 x 3 (1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象．
y A sin( x )
的图象
1.设函数 f ( x) sin x 3 cos x( 0) （1）求它的振幅、周期； （2）用五点法作出它在一个周期内的图象。
1.已知函数
f ( x) sin x a cos x 的图象的一条 5 对称轴是x 则函数 g ( x) a sin x cos x
的最大值是（）
3
2 2 A. 3
2 3 B. 3
4 C. 3
2 6 D. 3
的对称轴的距离是（ ）
2 2 2. f ( x) sin( 3 x 2 ) sin( 3 ) 的图象的相邻的两条
如图所示， (1)求f(x)的最小正周期及解析式； (2)设 g ( x) f ( x) cos 2 x, 求函数
在区间 0, 2 上的最大值与最小值。
g ( x)
将函数y=sin x的图象经过下列哪种变换可以得 到函数y=cos 2x的图象( ) A.先向左平移 个单位，然后再沿x轴将横坐标压缩到 1 原来的 (纵坐标不变)
3
)
的图象(
单位长度； 单位长度； 单位长度；
D.向右平移
2
4. 将函数y=sin 2x的图象向左平移 4 个单位，
再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是(
A. y=2cos2x B. y=2sin2x
)
C. y=1+sin 2 x
5.函数y=sin
4 5x 2
2 A. 3
1.6函数y=Asin(wx+φ)的性质与图象
教师辅导讲义()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，T 叫做该函数的周期.4、⑴)sin(ϕω+=x A y 对称轴：令2x k πωϕπ+=+，得ωϕππ-+=2k x对称中心：πϕωk x =+，得ωϕπ-=k x ，))(0,(Z k k ∈-ωϕπ； ⑵)cos(ϕω+=x A y 对称轴：令πϕωk x =+，得ωϕπ-=k x ；对称中心：2ππϕω+=+k x ，得ωϕππ-+=2k x ，))(0,2(Z k k ∈-+ωϕππ；⑶周期公式:①函数sin()y A x ωϕ=+及cos()y A x ωϕ=+的周期ωπ2=T (A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0).②函数()φω+=x A y tan 的周期ωπ=T (A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0). 6. 五点法作的简图，设，取0、、、、来求相应的值以及对应的y 值再描点作图。
7. )sin(ϕ+ω=x A y 的的图像8. 函数的变换：（1）函数的平移变换)sin(ϕω+=x A y ϕω+=x t 2ππ23ππ2xA ．B ．C ．D ．3．（多选）已知a 是实数，则函数f (x )=1+sin ax 的值可能是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．已知函数()sin f x x ω=（其中0ω>）图象过(,1)π-点，且在区间(0,)3π上单调递增，则ω的值为_______.【本知识点小结1】【例题解析2】探究φ对y=sin(x +φ)的图象的影响1．将函数()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移4π个单位长度后，所得图像对应的函数解析式可以是（ ）A ．3sin 12y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．23sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．53sin 12y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．3sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2．函数()2sin(2)02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象如图所示，现将()y f x =的图象向右平移6π个单位长度，所得图象对应的函数解析式为（ ）A ．2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．2cos2y x = D ．2sin 2y x =3．（多选）要得到函数sin y x =的图象，只需将sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．先将图像向右平移8π，再将图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍B ．先将图像向右平移2π，再将图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍 C ．先将图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再将图像向右平移4πD ．先将图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再将图像向右平移8π4．在平面直角坐标系中，将曲线:sin 2C y x =上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，所得新的曲线的方程为______________________________．【巩固练习2】1．将函数sin y x =的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的图象的解析式是（ ）A ．πsin 24y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭B ．πsin 24y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭C ．πsin 24y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D ．πsin 24y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2．函数2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的振幅、频率和初相分别为（ ）A ．2，1π，4πB ．2，12π，4π C ．2，1π，8π D ．2，12π，8π-3．（多选）已知函数()3sin()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于直线4x π=-对称B ．()f x 的图象的对称中心是,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．将()f x 的图象向右平移12π个单位长度，得到3sin3y x =的图象 D ．将()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到3sin3y x =的图象 4．将函数()sin 06y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图像分别向左､向右各平移6π个单位长度后，所得的两个函数图像的对称轴重合，则ω的最小值为___________.C ．()f x 的图象关于点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D ．()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内是增函数4．函数()()ππ2sin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x 解析式为__________．【本知识点小结4】 四、当堂检测限时（分钟） 用时（分钟）难度 分值 得分 得分率一、单选题1．()cos y x ωϕ=+的部分图像如图所示，则其单调递减区间为（ ）A ．172,2,Z 1212k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭B ．17,,Z 1212k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭C ．172π,2π,Z 1212k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭D ．17π,π,Z 1212k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭2．已知曲线12π:sin 3C y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为π，2:sin C y x =，则下面结论正确的是（ ） A ．把2C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线1CB ．把2C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度，得到曲线1CC ．把2C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度，得到曲线1CD ．把2C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度，得到曲线1C3．已知函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象，给出以下四个论断（ ）A ．()f x 的图象关于直线5π8x =-对称B ．()f x 的图象的一个对称中心为7π,08⎛⎫⎪⎝⎭C ．()f x 在区间π3π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数D ．()f x 可由3sin 2y x =-向左平移π8个单位4．如图是函数π()3sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象，则,ωϕ的值是（ ）A ．2,3ωϕ==πB ．π2,6ωϕ== C ．1π,23ωϕ== D ．1π,26ωϕ==5．（2021秋•渝水区校级月考）若将函数y ＝sin （3x +φ）的图象向右平移π4个单位后得到的图象关于点（π3，0）对称，则|φ|的最小值是（ ） A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π46．（2021秋•谯城区校级月考）已知函数f(x)=Ksin(ωx +φ)(K ＞0，0＜ω＜10，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，点A(0，√32)，B(7π24，−1)，则将函数f （x ）图象向左平移π12个单位长度，然后横坐标变为原来的2倍、纵坐标不变，得到的图象对应的函数解析式是（ ）A ．y =sin(2x +5π12) B ．y =sin(8x +5π12)C ．y =sin(2x +2π3)D ．y =sin(8x +2π3)C ．0x ∃∈R 且00x ≠，使得()()00f x f x =-D ．x ∀∈R ，都有()56f x f x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭11．（2021秋•湛江月考）函数f （x ）＝3cos （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的最小正周期为4π，将f （x ）的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g （x ）的图象，且g （x ）是奇函数，则（ ） A ．φ=π3B ．g （x ）在区间[π3，3π2]上的最大值为﹣3C ．φ=π6D ．g （x ）在区间[π3，3π2]的最大值为−3212．（2021秋•湖南月考）已知函数y ＝A sin （ωx +φ）（πA ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图，将该函数的图象向x 轴负方向平移π6个单位，再把所得曲线上点的横坐标变为原来2倍（纵坐标不变），得到函数f （x ）的图象．下列结论正确的是（ ）A ．当−π5≤x ≤2π3时，f （x ）的取值范围是[﹣1，2] B ．f （−41π6）=√3C ．曲线y ＝f （x ）的对称轴是x ＝k π+π2（k ∈Z ）D ．若|x 1﹣x 2|＜π2，则|f （x 1）﹣f （x 2）|＜4三．填空题 13．已知函数()()cos (0,0π)f x x ωϕωϕ=+>≤≤是奇函数，且在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是严格减函数，则ω的最大值为_______________．14．已知函数()y f x =的表达式()()1sin 20,022f x A x A πϕϕ⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭，()y f x =的图象在y 轴上的截距为1，且关于直线12x π=对称，若存在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()23m m f x -≥成立，则实数m 的取值范围为______．。
函数y=Asin(wx+φ)的图像(1)
新余市第六中学 高中数学 必修④
y=
1 3
∙cos(x)
1
2
2
3
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函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质
思考
在物理和工程技术的许 多问题中，经常会遇到 形如
y A sin(x )
的函数（其中 A, , 是常数）。
那么函数y A sin(x )图像是怎样的？有什么 性质？ 与函数y sin x有什么关系？
2
y = 3 ∙sin(x) y = sin(x)
1
π 2
π
3π 2
2π
5π 2
3π
1
y=
1 3
∙sin(x)
2
3
新余市第六中学 高中数学 必修④
函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质
思考
函数y A cos x与y cos x有什么关系？ 请同学们自己总结。
新余市第六中学 高中数学 必修④
6
(4) y sin( x
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函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质
思考
①函数y A sin( x )与y sin x有什么关系？ ②函数y cos( x )与y cos x有什么关系？ ③函数y A cos( x )与y cos x有什么关系？ 请同学们自己归纳总结。
最值 对称性
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函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质
2
y = 2∙sin(x) y = sin(x)
1.5
1
Байду номын сангаас
函数y=Asin(wx+φ)的图象与性质(图文运用)
函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象【学习目标】1、理解sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>函数中,,A ωϕ的涵义;2、能根据sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的部分图象求出其中的参数，并能简单应用;3、渗透数形结合思想，一题多解、一题多变思想. 【学习重点】三角函数的图形变换及相关题型的求解. 【学习难点】已知图形求参数，其中参数φ的求解. 一、自主学习1、若函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>表示一个振动量，则这个振动的振幅为 ， 周期为 ，初相为 ，频率为 ，相位为 ．2、“五点法”作图“五点法”作sin()y A x ωϕ=+的简图，主要是通过变量代换，设z x ωϕ=+由z 取 ， ， ， ， 来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.2、平移变换：由函数sin y x =的图象经怎样的变换可得到函数sin()y x b ϕ=++的图象？ ． 3、伸缩变换：（纵向伸缩）由函数sin y x =的图象经怎样的变换可得到函数sin (0)y A x A =>的图象？ ． 4、伸缩变换：（横向伸缩）由函数sin y x =的图象经怎样的变换可得到函数sin (0)y x ωω=> 的图象？ ． 5、函数sin y x =象到函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象变换.得到sin()y x ωϕ=+的图象得到sin()y x ϕ=+的图象画出sin y x =的图象得到sin()y A x ωϕ=+的图得到sin()y x ωϕ=+的图象得到sin y x ω=的图象画出sin y x =的图象得到sin()y A x ωϕ=+的图6、如何根据条件求函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的解析式？二、课前热身 1、函数2sin(3)7y x π=+的振幅是 ，相位是 ，初相是 ，周期是 ．2、为了得到函数R x x y ∈+=),3cos(的图象，只需把余弦曲线上所有的点向 （左或右）平行移动 个单位长度. 3、要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只要sin 2y x =的图象向 （左或右）平行移动个单位长度.4、把函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移3π个单位后，所得图象对应函数解析式为 .5、要得到函数sin()26x y π=-+的图象，可由sin()2xy =-的图象向 （左或右）平行移动 个单位长度.6、把函数sin y x =的图象上所有的点的纵坐标变为原来的13倍（横坐标不变）所得图象的解析式为 .7、将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，再把所得图象上各点横坐标变为原来的5倍，则最后所得图象的解析式为 .三、典型例题分析例1、作出函数3sin(2),3y x x R π=+∈的简图，说明它与sin y x =图象之间的关系.变式练习：已知函数13sin()24y x π=-（1）用五点法作出函数的图象；（2）说明它由sin y x =图象经过怎么样的变化得到的；（3）求此函数的振幅、周期和初相；（4）求此函数的对称轴、对称中心坐标。
第五课时函数y=Asin(wx+φ)的图象与性质
1 例1.作函数 y 2 sin x 及 y sin x 的图象. 2
解：1. 列表：
x
sin x 2 sin x
0 0 0 0
2
3 2
2 0 0 0
1
0 0 0
1
2
2
1 sin x 2
1 2
1 2
2. 描点、作图：
y 2 1 O y=2sinx
y=sinx
2
x
1 1 y= sinx 2
2 O
3
4 x
1
y sin x
y 1 sin 1 x 2 2
y 1 s in 1 x 的 图 象 与 y s in x 的 图 象 的 关 系 ： 2 2 方法2： (3)
y sin x
图象上各点横坐标 伸长为原来的2倍
y sin 1 x 2
图象上各点纵坐标
y 1 sin 1 x 2 2 缩短为原来的一半
总结：
y A sin( x ) B.
伸缩变换（左右 、上下A）.
变换有两种： 平移变换（左右 、上下B）;
当 函 数 y=Asin(ωx+φ),(A>0,ω>0),x ∈[0,+∞)表示一个振动量时 ,A 就表示 这个量振动时离开平衡位置的最大距离, 通常把它叫做这个振动的振幅 ; 往复振 动一次所需要的时间 T=2π/ω, 它叫做 振动的周期 ; 单位时间内往复振动的次 数 f=1/T=ω/2π, 它 叫 做 振 动 的 频 率 ;ωx+φ叫做相位 ,φ 叫做初相 ( 即当 x=0 时的相).
函数y=sinx ( >0且≠1)的图象可以看作
是把 y=sin x 的图象上所有点的横坐标缩短 (当>1时)或伸长(当0<<1时) 到原来的 倍(纵坐标不变) 而得到的.
高中数学(北师大必修四)优质课件 1.8 函数y=Asin(wx+φ)的图像与性质(一)
探究点1 振幅A对三角函数图像的影响
例1 作函数 y = 2sin x 和 y = 1 sin x 的简图，并
2
说明它们与函数y=sinx的关系.
解:（1）列表.
x
0
2
3 2
2
y= sin x 0
1
0
-1
0
y=2sin x 0
2
y= 1 sin x 2
0
1 2
0
-2
0
0
-1
0
2
（2）画图 y
探究点2 参数对函数y=Asin(x+)的影响
例2 画出函数y sin（x ）和y sin(x )的简图，并说明
4
6
它们与函数y sin x的关系.
采用类比法
解:(1)列表
（2）画图
1y
4
O
1 6
y sin(x ) 6
2
x
y sin(x π ) 4
从函数图像和解析式可以看出，把函数y sin x的图像向左平移 个单位长 4
上的简图向左、右延拓就可以得到函数y 2sin x, y 1 sin x在R上的图像.
2
（4）讨论性质.
从图像上可看出，在区间0,
2上，函数y
2
sin
x在
0,
2
和
3 2
,
2
上是增加的，在
2
,
3 2
上是减少的；
函数y 2sin x与x轴交点的横坐标是0, ，2;
函数y 2sin x的值域是 2, 2，最大值是2，最小值是 2.
2
像上每个点的横坐标不变，而纵坐标缩短为原来的1 ，
2