函数的性质与函数图像的关系
常用函数性质及图像
一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
（二）一次函数1、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。
当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数．⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．2、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数.注：正比例函数一般形式y=kx (k 不为零)①k 不为零②x 指数为1③b 取零当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时， 直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小．(1)解析式：y=kx（k 是常数，k≠0）(2)必过点：（0，0）、（1，k）(3)走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时， 图像经过二、四象限(4)增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小(5)倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴3、一次函数及性质一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式y=kx+b (k 不为零)①k 不为零②x 指数为1③b 取任意实数一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b）和（-kb，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）（1）解析式：y=kx+b(k、b 是常数，k ≠0)（2）必过点：（0，b）和（-kb，0）（3）走向：k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限⇔⎩⎨⎧><0b k 直线经过第一、二、四象限⇔⎩⎨⎧<<0b k 直线经过第二、三、四象限（4）增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴.（6）图像的平移：当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.4、一次函数y=kx＋b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.b>0b<0b=0k>0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，y随x的增大而增大k<0经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限图象从左到右下降，y随x的增大而减小5、正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）6、正比例函数和一次函数及性质正比例函数一次函数概念一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，是y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.自变量范围X 为全体实数图象一条直线必过点（0，0）、（1，k）（0，b）和（-kb，0）走向k>0时，直线经过一、三象限；k<0时，直线经过二、四象限k＞0，b＞0,直线经过第一、二、三象限k＞0，b＜0直线经过第一、三、四象限k＜0，b＞0直线经过第一、二、四象限k＜0，b＜0直线经过第二、三、四象限增减性k>0，y 随x 的增大而增大；（从左向右上升）k<0，y 随x 的增大而减小。
函数与图像的基本概念与性质
函数与图像的基本概念与性质一、函数的概念与性质1.函数的定义：函数是两个非空数集A、B之间的对应关系，记作f：A→B。
2.函数的性质：（1）一一对应：对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应。
（2）自变量与因变量：在函数f中，集合A称为函数的定义域，集合B称为函数的值域。
对于定义域中的任意一个元素x，在值域中都有唯一的元素y与之对应，称为函数值。
（3）函数的单调性：若对于定义域中的任意两个元素x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称函数f在定义域上为增函数；若对于定义域中的任意两个元素x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称函数f在定义域上为减函数。
3.函数的分类：（1）线性函数：形如f(x)=ax+b（a、b为常数，a≠0）的函数。
（2）二次函数：形如f(x)=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数。
（3）分段函数：形如f(x)={g1(x), x∈D1}{g2(x), x∈D2}的函数，其中D1、D2为定义域的子集，且D1∩D2=∅。
二、图像的概念与性质1.函数图像的定义：函数图像是指在平面直角坐标系中，根据函数的定义，将函数的定义域内的每一个点（x, f(x)）连接起来形成的图形。
2.函数图像的性质：（1）单调性：增函数的图像呈上升趋势，减函数的图像呈下降趋势。
（2）奇偶性：若函数f(-x)=-f(x)，则称函数f为奇函数；若函数f(-x)=f(x)，则称函数f为偶函数。
奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）周期性：若函数f(x+T)=f(x)，则称函数f为周期函数，T为函数的周期。
周期函数的图像具有周期性。
（4）拐点：函数图像在拐点处，曲线的斜率发生改变。
三、函数与图像的关系1.函数与图像的相互转化：通过函数的解析式，可以在平面直角坐标系中绘制出函数的图像；同时，根据函数图像的形状，可以反推出函数的解析式。
常见函数的图像和性质
常见函数的图像和性质在数学的世界里，函数就像是一座桥梁，连接着不同的数量关系。
而函数的图像和性质，则是我们理解和把握这些关系的关键。
今天，咱们就来一起聊聊常见函数的图像和性质。
首先，咱们来看看一次函数。
一次函数的表达式一般写作 y ＝ kx＋ b （k、b 为常数，k ≠ 0）。
它的图像是一条直线。
当 k ＞ 0 时，直线是上升的，意味着函数值 y 随着 x 的增大而增大；当 k ＜ 0 时，直线是下降的，函数值 y 随着 x 的增大而减小。
b 呢，则决定了直线与 y轴的交点，当 b ＞ 0 时，交点在 y 轴的正半轴；当 b ＜ 0 时，交点在 y 轴的负半轴；当 b ＝ 0 时，直线过原点。
再来说说反比例函数，它的表达式通常是 y ＝ k ／ x （k 为常数，k ≠ 0）。
反比例函数的图像是两条曲线，叫做双曲线。
当 k ＞ 0 时，双曲线在一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k ＜ 0 时，双曲线在二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。
二次函数也是常见函数中的重要一员，其表达式一般为 y ＝ ax²＋bx ＋ c （a、b、c 为常数，a ≠ 0）。
二次函数的图像是一条抛物线。
当a ＞ 0 时，抛物线开口向上，有最小值；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下，有最大值。
抛物线的对称轴是直线 x ＝ b ／ 2a 。
而且，判别式Δ ＝ b²4ac 能帮助我们判断抛物线与 x 轴的交点情况。
当Δ ＞ 0 时，抛物线与x 轴有两个交点；当Δ ＝ 0 时，抛物线与 x 轴有一个交点；当Δ ＜ 0 时，抛物线与 x 轴没有交点。
接下来看看指数函数，它的表达式是 y ＝ a^x （a ＞ 0 且a ≠ 1）。
当 a ＞ 1 时，函数单调递增，图像从左到右逐渐上升；当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数单调递减，图像从左到右逐渐下降。
指数函数的图像恒过点（0, 1)。
常见函数的图像和性质
常见函数的图像和性质函数是高中数学学习中不可避免的部分，常见函数有一些图像和性质。
本文将介绍常见函数的图像和性质，包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数。
线性函数是最基本的函数之一，也是最容易理解的函数之一。
线性函数的一般式是y = kx + b，其中k和b是常数，x和y表示函数的自变量和因变量。
线性函数的图像是一条直线，斜率k和截距b决定了直线的位置和倾斜程度。
当k>0时，函数是单调递增的，当k<0时，函数是单调递减的。
斜率越大，直线越陡峭，斜率越小，直线越平缓。
截距决定直线和y轴的交点。
当b>0时，直线在y轴上方，当b<0时，直线在y轴下方，当b=0时，直线经过原点。
线性函数的性质是简单的，任何两个不同的点都能确定一条直线，而且任何一条直线都可以写成y = kx + b的形式。
二次函数是另一个基本函数，一般式是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数。
二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线，抛物线的开口方向由系数a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。
二次函数图像的性质和线性函数有所不同，首先，二次函数不是单调函数，也就是说，它有一个最值点，最值点的坐标为（-b/2a，c-b^2/4a）。
第二，二次函数图像的对称轴是一个垂直于x轴的线，它的坐标是x = -b/2a。
第三，二次函数图像上任何一条水平线和抛物线只有一个交点，因此，二次函数也称为单峰函数。
指数函数是一种以底数为e的指数型函数，一般式是y = a^x，其中a是正常数。
指数函数的图像呈现出一种快速增长或快速衰减的趋势，指数函数的性质是独特的。
当a>1时，指数函数单调递增，当0<a<1时，指数函数单调递减，当a=1时，指数函数恒等于1。
指数函数图像的特点是固定的x值下y值呈指数型增长或衰减，在坐标系中的图像表现出“指数型曲线”。
函数性质图像知识点总结
函数性质图像知识点总结一、函数的定义在数学上，函数可以定义为一种特殊的关系，它将输入（自变量）映射到输出（因变量）。
具体来说，如果对于每一个自变量值，函数都有唯一的对应因变量值，那么这个关系就是一个函数。
形式上，我们可以用f(x)来表示函数，其中x是自变量，f(x)是对应的因变量。
例如，y = 2x + 3就是一个函数，其中y是因变量，x是自变量。
二、函数的性质1.定义域和值域函数的定义域是指所有可能的自变量值的集合，而值域是所有可能的因变量值的集合。
在图像上，定义域通常表示为x轴上的取值范围，而值域则表示为y轴上的取值范围。
例如，对于函数f(x) = x²，其定义域为所有实数，而值域为非负实数集合。
2.奇函数与偶函数奇函数与偶函数是函数的对称性质。
如果对于任意的x，有f(-x) = -f(x)，那么函数f(x)就是奇函数；如果对于任意的x，有f(-x) = f(x)，那么函数f(x)就是偶函数。
奇函数在原点对称，而偶函数在y轴对称。
3.单调性函数的单调性是指在定义域上，函数值的增减关系。
如果对于任意的x₁和x₂，当x₁< x₂时有f(x₁)≤f(x₂)，那么函数f(x)就是递增的；如果对于任意的x₁和x₂，当x₁< x₂时有f(x₁)≥f(x₂)，那么函数f(x)就是递减的。
4.周期性如果存在一个正数T，使得对于所有的x，有f(x+T) = f(x)，那么函数f(x)就是周期函数。
其中最小的T称为函数的周期，通常用P来表示。
常见的周期函数有sin(x)和cos(x)。
5.有界性函数的有界性是指函数值的范围限制。
如果存在两个实数M和N，使得对于任意的x，有|f(x)| ≤ M，那么函数f(x)就是有界的。
如果函数在定义域上有上界和下界，则称为有界函数。
6.反函数若对于一个函数f(x)，存在一个函数g(x)，使得f(g(x)) = x且g(f(x)) = x，那么函数g(x)就是函数f(x)的反函数。
一次函数的函数关系与函数图像探究
一次函数的函数关系与函数图像探究一、函数关系的基本概念在数学中，函数关系是描述自变量（x）与因变量（y）之间的对应关系。
一次函数是指具有形如y=ax+b的函数表达式的函数关系，其中a和b为常数，且a不等于0。
二、一次函数的函数关系1. 函数关系式一次函数的函数关系可以表示为y=ax+b，其中a表示斜率，b表示截距。
斜率为a决定了函数图像的倾斜程度，正值表示图像向右上方倾斜，负值表示图像向右下方倾斜；截距b表示了函数图像与y轴的交点。
2. 函数关系的性质（1）定义域与值域：一次函数的定义域为全体实数集R，值域也为全体实数集R。
（2）单调性：当a>0时，函数关系随x的增大而增大，为增函数；当a<0时，函数关系随x的增大而减小，为减函数。
（3）奇偶性：一次函数是一个奇函数，即关于原点对称。
（4）最值：若a>0，则函数关系无最小值，但存在最大值；若a<0，则函数关系无最大值，但存在最小值。
三、一次函数的函数图像1. 函数图像的绘制（1）确定基本点：选择两个不同的x值，计算对应的y值，得到函数图像上的两个点，注意选择不同的x值可以获得较大的图像范围。
（2）绘制直线：通过所选的基本点，画出函数关系的图像。
注意，一次函数的图像是一条直线。
2. 函数图像的特征（1）斜率：斜率为正值时，图像向右上方倾斜；斜率为负值时，图像向右下方倾斜。
斜率绝对值越大，图像的倾斜程度越大。
（2）截距：截距表示函数图像与y轴的交点，当截距为正值时，图像位于y轴上方；当截距为负值时，图像位于y轴下方。
四、实际应用一次函数的函数关系和函数图像在现实生活中有广泛的应用。
例如：1. 物理学中的速度和位移关系：一次函数可以用来描述质点运动的速度和位移之间的关系。
2. 经济学中的成本和产量关系：一次函数可以用来描述企业的成本和产量之间的关系。
总结：本文介绍了一次函数的函数关系与函数图像的探究，包括函数关系的基本概念、函数关系的性质、函数图像的绘制方法以及实际应用。
函数的图像与性质
函数的图像与性质函数是数学领域中的重要概念，它描述了两个集合之间的对应关系。
函数的图像是指函数的输入与输出之间的关系在坐标平面中所形成的图形。
函数的图像不仅反映了函数的性质，还能帮助我们更好地理解和应用函数。
一、函数的图像函数的图像可以通过绘制函数的图表或者绘制函数的曲线来展示。
在绘制函数的图像时，我们通常使用直角坐标系，其中横轴表示函数的输入，纵轴表示函数的输出。
例如，考虑函数f(x) = x^2，我们可以通过选取不同的x值，计算出对应的f(x)值，并将这些点在坐标平面上连接起来，就得到了函数f(x) = x^2的图像。
这个图像是一个抛物线，开口朝上，并且经过点(0,0)。
二、函数的性质函数的图像可以反映函数的一些重要性质，例如函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等。
1. 定义域和值域：函数的定义域是指函数的输入可能取值的范围，而值域是指函数的输出可能取值的范围。
通过观察函数的图像，我们可以确定函数的定义域和值域。
2. 奇偶性：一个函数被称为奇函数，当且仅当对于任意的x，有f(-x) = -f(x)；一个函数被称为偶函数，当且仅当对于任意的x，有f(-x) = f(x)。
通过观察函数的图像，我们可以确定函数的奇偶性。
3. 单调性：一个函数在其定义域内的某个区间上是增函数，当且仅当对于任意的x1 < x2，有f(x1) < f(x2)；一个函数在其定义域内的某个区间上是减函数，当且仅当对于任意的x1 < x2，有f(x1) > f(x2)。
通过观察函数的图像，我们可以确定函数的单调性。
三、函数图像的应用函数的图像不仅仅是一种美观的几何形状，它还能帮助我们更好地理解和应用函数。
1. 函数的最值：通过观察函数的图像，我们可以确定函数的最大值和最小值。
最大值和最小值对于解决实际问题和优化函数的应用非常重要。
2. 函数的零点：函数的零点是指使得函数等于零的输入值。
在函数的图像上，零点对应的是函数与横轴的交点。
函数的性质和图像
函数的性质和图像函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了两个变量之间的关系。
函数的性质和图像是我们理解和研究函数的重要工具。
首先，让我们来谈谈函数的定义。
简单来说，如果对于给定的一个变量 x 的取值范围，都有唯一确定的变量 y 的值与之对应，那么我们就说 y 是 x 的函数。
比如说，y ＝ 2x 就是一个函数，当 x 取 1 时，y就是 2；x 取 2 时，y 就是 4，而且对于每个 x 的值，对应的 y 值都是唯一确定的。
函数的性质有很多，其中单调性是一个关键的性质。
单调性指的是函数值随着自变量的增大是增大还是减小。
如果函数值随着自变量的增大而增大，我们就说这个函数是单调递增的；反之，如果函数值随着自变量的增大而减小，那就是单调递减的。
比如说，一次函数 y ＝2x 就是单调递增的，而 y ＝－2x 就是单调递减的。
再来说说奇偶性。
如果对于函数 f(x)，都有 f(x) ＝ f(x)，那么这个函数就是偶函数；如果 f(x) ＝ f(x)，那就是奇函数。
偶函数的图像关于y 轴对称，比如 y ＝ x²；奇函数的图像关于原点对称，比如 y ＝ x³。
还有周期性。
如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，f(x ＋ T) ＝ f(x)都成立，那么就把函数 y ＝ f(x)叫做周期函数，周期为 T。
像正弦函数 y ＝ sin x 就是周期函数，其周期为2π。
接下来，我们聊聊函数的图像。
函数的图像可以直观地展现函数的性质。
以一次函数 y ＝ 2x ＋ 1 为例，它的图像是一条直线。
我们可以通过找两个点，比如当 x ＝ 0 时，y ＝ 1；当 x ＝ 1 时，y ＝ 3，然后连接这两个点就得到了函数的图像。
从图像上，我们可以很容易地看出这个函数是单调递增的。
二次函数 y ＝ x²的图像是一条抛物线。
它的顶点在原点，开口向上。
通过图像，我们能清楚地看到函数的最小值在顶点处取得。
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函数的性质与函数图像的关系
由特殊到一般,得出指数函数的
图象特征,进一步得出图象性质：
教师组织学生结合图像讨论指数函数的性质。
探究：指数函数的图象和性质
问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？
研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 探索研究：
1．在同一坐标系中画出下列函数的图象：
（1）x )31
(y =
（2）x )21
(y =
（3）x 2y = （4）x 3y = （5）x 5y =
2．从画出的图象中你能发现函
数x 2y =的图象和函数x )2
1
(y =的图象有什么关系？可否利用x 2y =的图象
画出x )2
1
(y =的图象？
3．从画出的图象（x 2y =、x 3y =和x 5y =）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？
图象特征 函数性质
1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<< 向x 、y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R + 函数图象都过定点（0，1） 1a 0=
自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数
减函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于1
在第一象限内的图象纵坐标都小于1
1a ,0x x >>
1a ,0x x <>
在第二象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都大于1
1a ,0x x << 1,0><x a x
图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始增长
较慢，到了某一值后增长速度极
快；
函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；
（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； （4）当1a >时，若21x x <，则)x (f )x (f 21<；[来源:学科网
要充分调动学生的积极性、主动性，发挥他们的潜能，尽量由学生自主得出性质，以便能够更深刻的记忆、更熟练的运用。
在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图像与性质，是本节的重点。
关键在于弄清底数a 对于函数值变
化的影响。
对于时函数值变化的不同情
况，学生往往容易混淆，这是教学中的一个难点。
为此，必须利用图像，数形结合。
教师亲自板演，学生亲自在课前准备好的坐标系里画图，而不是采用几何画板直接得到图像，目的是使学生更加信服，加深印象，并为以后画图解题，采用数形结合思想方法打下基础。
师生共同总结指数函数的性质，教师边总结边板书
特别地，函数值的分布情况如下：
强调指数函数的单调性与底数a的关系，并具体分析了函数值的分布情况，深刻理解指数函数值域情况。
巩固与练习
例1：比较下列各题中两值的大小
教师引导学生观察这些指数值的特征，思考比较大小的方法。
（1）（2）两题底相同，指数不同，（3）（4）两题可化为同底的，可以利用函数的单调性比较大小。
（5）题底不同，指数相同，可以利用函数的图像比较大小。
（6）题底不同，指数也不同，可以借助中介值比较大小。
例2：已知下列不等式 , 比较m,n的大小 :
这是指数函数性质的简单应用，使学生在解题过程中加深对指数函数的图像及性质的理解和记忆。
（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。
（2）指数函数的值域为大于0的实数集合。
（3）函数图形都是下凹的。
（4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。
（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。
其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。
（7）函数总是通过（0，1）这点。
（8）显然指数函数无界。