正切、余切函数的图象和性质
6-2.余弦,正切,作切函数的图象和性质(2)15-2
生1：正切函数的定义域是什么？邻生答：除了 ，k∈Z外的全体实数。
生2：正切函数的值域是整个y轴吗？邻生改正：应说成是全体实数
生3：
………
生10：学过四种三角函数都是奇数吗？都是增函数吗？邻生答：不对，反例是余弦函数）
生11：正切函数是它定义域上的增函数吗？（好问题！）邻生答：是，其它学生更正：不是。教师追问理由………
教师：大家谈的都很好，特别是评价组的同学不仅做出题目，还能“品出”出题者的本意，小结做的也很好。我请大家注意这节课的过程实际上给了我们学习新内容的一种宏观的程序：温故（相关知识准备）→新的学习对象与旧知识的联系→类比提问、差异思考发现问题和学习目标→找出规律，解决问题→应用成果，练习巩固（发散）→归纳收缩（小结）。这里的程序还没有完，还有一段是：→进一步的发散思考，探索新的问题和规
教师的评价应是激励性的。另外应引导学生注意学法，特别是对高一的学生。
作业：（直接勾画在书上）
黑板布置
（1）求函数y=tgx+cos2x和y=tgx-ctgx最小正周期。
（2）作出y=tgx·ctgx的图象。
（3）讨论y=atg(mx+n)+b (a>0，m≠0)的性质，及各个文字对函数
板书设计
第六章：三角函数的图象和性质
（4）函数 最小正周期是什么？
（5）求出 的单调增区间。
（6）作出函数 的图象，并说明它是由y=tgx经过怎样的变换得到的。
（7）讨论下面函数的奇偶性和最小周期： ，y=tg (mx+n)+b
学生D组7人上黑板解题。：求解过程及改错讨论略。
学生E组评价：首先对D组的解答做出评判（略）
学生15：我觉得（3）设计的好，它要求先用诱导公式转化成同名函数再比大小。
三角函数图像及性质的总结
第三节三角函数的图像与性质复习要求：1，理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质2，理解周期函数、最小正周期的概念3，学会用五点法画图知识点：1．正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的图像和性质3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。
4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
5．由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y =A sin （ωx +ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ωϕ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置。
6．对称轴与对称中心： sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈； cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+； 对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。
正余切函数的图像与性质
正余切函数的图像与性质正余切函数在数学中的应用在很多领域中都有体现。
在数学分析中，函数可以分为二种形式：一种是正余切函数。
二种是负余切函数，在函数的二次函数中。
它们可能是二次函数、正余切函数或反余切函数等。
本文对正余切函数图像与性质进行介绍并结合实际问题进行探讨。
一般用来表示函数 f (x)- z的函数。
f (x): f (x)是 x轴上一个周期内(y= h) x上一点一个邻域函数上发生函数 f (x)(x)= f (x)- y z (y)其中 f (x)为正数。
对于(x+ y)为正余切函数，则 f (x)就是一个连续余切函数[1],它可以通过下列方程描述: f (x)+ b (x)/2 f (x)=1/(x+ y)且 f (x)=1/2 n (1+1),其中 n (n)表示第(1)个点在任何一个点上(1+1),因此该函数具有两个切值。
它在一个有限时刻具有任意特征；对于任意时刻 t=1或者是不常数 f (x)为正整数时 t=0;因此f (x)为正余切函数(y=1)。
如果 f (x)是常数时最多最大值为1时称为零切函数(1- better);其中 f (x)表示从0到0的所有空间，如果 f (x)=0被称为余切数，则这个余切函数具有两个正数部分或者一个负数部分都满足；如果其中一个是零切函数，那么另一个正余切函数可以用任意方法表达。
根据不等式，其中是：当 f (x)为正时; q为次常数; e为二次函数; z代表 f (x); p代表第 i个时刻上一次(x+ y)发生函数(x)是因为第二个值是常数且正，所以有一种性质就是(x一、定义余切函数是一个有特殊含义的命题。
它可以用表示任何空间，任何点，或任何非点上变化所形成的特殊值来描述和表示。
其性质与与其他余切公式相比它具有特别突出的优点。
例如，它可以用来表示正、负数的余切结构或者是余切组合。
余切函数可以是正还是负？正余切的定义一般是表示一个或多个点上的某个点和该空间的任何一点的集合上。
三角函数的正切与余切的关系
三角函数的正切与余切的关系三角函数是数学中一个重要的分支，其中正切和余切是两个常见的三角函数。
正切函数和余切函数之间存在着一定的关系，本文将探讨正切与余切之间的关系以及相关性质。
一、正切和余切的定义1. 正切函数的定义正切函数（tangent function）是指在单位圆上，某一角的正切值等于这个角的对边长度与邻边长度的比值。
设角度为θ，那么正切函数的定义公式可以表示为：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)2. 余切函数的定义余切函数（cotangent function）是指在单位圆上，某一角的余切值等于这个角的邻边长度与对边长度的比值。
设角度为θ，那么余切函数的定义公式可以表示为：cot(θ) = cos(θ) / sin(θ)二、正切与余切的关系1. 互为倒数关系正切函数与余切函数之间存在互为倒数的关系。
可以通过以上定义公式进行证明：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)cot(θ) = cos(θ) / sin(θ)将正切函数的定义公式中的sin(θ) / cos(θ) 乘上cos(θ) / cos(θ)，得到：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ) * cos(θ) / cos(θ)= sin(θ) * cos(θ) / (cos^2(θ))根据三角恒等式sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1，我们可以将cos^2(θ) 转换成 1 - sin^2(θ)，代入上式：tan(θ) = sin(θ) * (1 - sin^2(θ)) / (1 - sin^2(θ))= sin(θ) * (1 - sin^2(θ)) / cos^2(θ)根据三角恒等式sin^2(θ)+ cos^2(θ) = 1，可以将上式简化为：tan(θ) = sin(θ) / cos^2(θ)= 1 / (cos(θ) / sin(θ))= 1 / cot(θ)所以，正切函数与余切函数之间满足互为倒数的关系。
高一数学正切函数和余切函数的图像与性质1(学生版)
（2）
例2、求函数 的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。
变式练习1：讨论函数 的性质
变式练习2： 的单调区间怎么求？
例3、观察正切曲线写出满足tanx＞0的x的值的范围：
变式练习：方法同上，求出分别满足下列条件的x的值的范围
（1）
（2）
例4、求下列函数的定义域
（1）y＝tan2x
例5、求学下列函数的最小正周期和单调区间
（1） ；
（2）
【课堂小练】
1、函数y＝tan（ax＋ ）（a≠0）的最小正周期为( )
2、以下函数中，不是奇函数的是( )
A y＝sinx＋tanxＢ．y＝xtanx－1Ｃ．y＝ Ｄ．y＝lg
3、下列命题中正确的是( )
A．y＝cosx在第二象限是减函数Ｂ．y＝tanx在定义域内是增函数
Ｃ．y＝｜cos（2x＋ ）｜的周期是 Ｄ．y＝sin｜x｜是周期为2π的偶函数
4、函数y＝ ＋ 的定义域是( )
A (2k＋1)π≤x≤(2k＋1)π＋ ，k∈Z
B (2k＋1)π＜x＜(2k＋1)π＋ ，k∈Z
C (2k＋1)π≤x＜(2k＋1)π＋ ，k∈Z
D (2k＋1)π＜x＜(2k＋1)π＋ 或x＝kπ，k∈Z
5、已知y＝tan2x－2tanx＋3，求它的最小值
6、求适合下列条件的 的集合：
6．单调性：在开区间 内，函数单调递增
余切函数y=cotx的图象及其性质（要求学生了解）：
——即将 的图象，向左平移 个单位，
再以x轴为对称轴上下翻折，即得 的图象
定义域：
值域：R，
当 时 ，当 时
周期：
奇偶性：奇函数
单调性：在区间 上函数单调递减
函数名正弦余弦正切余切正割余割
函数名正弦余弦正切余切正割余割这些函数都是三角函数的一部分，它们在数学和物理中都有广泛的应用。
以下是对这些函数的基本介绍：1.正弦函数（Sine Function）和余弦函数（Cosine Function）：正弦函数和余弦函数都与三角形的边长有关。
在直角三角形中，正弦函数是三角形的对边（opposite）与斜边（hypotenuse）的比值，记为sin(x)；余弦函数是三角形的邻边（adjacent）与斜边的比值，记为cos(x)。
正弦和余弦函数的图像都是周期性的，这意味着它们在一定间隔内重复。
2.正切函数（Tangent Function）和余切函数（Cotangent Function）：正切函数和余切函数是正弦函数和余弦函数的比值。
正切函数是正弦函数除以余弦函数，记为tan(x)；余切函数是余弦函数除以正弦函数，记为cot(x)。
正切函数的图像也是周期性的，但余切函数的图像并非周期性。
3.正割函数（Secant Function）和余割函数（Cosecant Function）：正割函数和余割函数分别是正弦函数和余弦函数的倒数。
正割函数是sec(x) = 1/cos(x)，余割函数是csc(x) = 1/sin(x)。
它们的图形也是周期性的。
这些函数在三角学中有着重要的应用。
例如，它们可以用来描述振动、波动、声音传播等物理现象。
在计算机图形学中，这些函数也常被用来生成旋转、缩放、平移等变换。
此外，这些函数在解决一些数学问题时也非常有用，比如求解极值、最优解、零点等。
除了基本的三角函数，还有许多派生出来的三角函数，如反正弦函数（Inverse Sine Function）、反余弦函数（Inverse Cosine Function）、反正切函数（Inverse Tangent Function）等。
这些函数的定义域是有限的，值域是整个实数集。
它们通常被用于求解一些方程的根，比如求解三角形的角度等。
三角函数基本性质
三角函数基本性质三角函数是数学中常见的函数类型，它们在解决几何、物理和工程问题中起到了重要的作用。
本文将介绍三角函数的基本性质，包括定义域、值域、周期性等。
1. 正弦函数（sin）的基本性质：正弦函数的定义域为实数集R，值域为闭区间[-1, 1]。
其图像为一条连续的曲线，通过坐标原点，关于y轴对称。
正弦函数是一个周期函数，其周期为2π（或360度）。
在定义域内，正弦函数是奇函数，即满足sin(-x) = -sin(x)。
2. 余弦函数（cos）的基本性质：余弦函数的定义域为实数集R，值域为闭区间[-1, 1]。
其图像为一条连续的曲线，通过坐标原点，关于x轴对称。
余弦函数也是一个周期函数，其周期为2π（或360度）。
在定义域内，余弦函数是偶函数，即满足cos(-x) = cos(x)。
3. 正切函数（tan）的基本性质：正切函数的定义域为实数集R，在其定义域内，正切函数有无穷多个极值点。
其图像没有定义域内的极值点，但在周期性为π的点处有无穷多个间断点。
正切函数的值域为实数集R。
4. 余切函数（cot）的基本性质：余切函数的定义域为实数集R，在其定义域内，余切函数有无穷多个极值点。
其图像没有定义域内的极值点，但在周期性为π的点处有无穷多个间断点。
余切函数的值域为实数集R。
5. 正割函数（sec）的基本性质：正割函数的定义域为实数集R，其在定义域内没有极值点。
其图像在周期性为2π的点处有无穷多个间断点。
注意到正割函数与余弦函数的关系，即sec(x) = 1/cos(x)。
6. 余割函数（csc）的基本性质：余割函数的定义域为实数集R，其在定义域内没有极值点。
其图像在周期性为2π的点处有无穷多个间断点。
注意到余割函数与正弦函数的关系，即csc(x) = 1/sin(x)。
三角函数的基本性质对于解决几何、物理和工程问题至关重要。
在解决角度、周期性、波动等问题时，我们可以利用这些性质计算和推导。
三角函数还与复数、级数等数学概念有着广泛的联系，为更深入的数学研究提供了基础。
高中数学必修一-三角函数图像性质总结(精华版)
(2) /(航+如型三角函数的奇偶性（i ） g （x ） = /沏（颜+如（x€ R）(x)为偶函数匕鼠U 力（而+ 出=j4sin （-<at + 炉）（x W 氏）0 sin 曲匚*0=。
（工 W R ）7Tcos 卯=。
=上7T+一1左 e Z ）由此得 2 ,同理，式夫4皿皈+双相的 为奇函数 =顺@=0/3=上网海2)（ii ）飙# =+劭SwR]妖N = .Aa 式题+钠为偶函数见双t")；就= 式以+如为奇函数7T=中=无产+ — (k e Z)3、周期性(1)基本公式(ii) 〃皈+⑺+氏型三角函数的周期竺y =+ G + 5 =加+中出 的周期为何；（一）三角函数的性质1、定义域与值域2、奇偶性(1)基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx y= tanx ； 偶函数：y=cosx.(i )基本三角函数的周期的周期为；丁.y=sinx , y=cosx 的周期为 之并 ；y = tanx , y = cotx4-212yy=cotxy=tanx 3-32X 03 27 3,y=cosx-5-4 .7223 2322 5 2“如血的+朗+9=心服如+沟+用的周期为何.（2）认知⑴A =1/W +创型函数的周期y = |月劭（枷+或）| j = A 匚。
5（西+励|（ii ）若函数为,（收斗劭 型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （iii ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验一一猜想一一证明.（3）特殊情形研究JT(i ) y = tanx — cotx 的最小正周期为27T（ii ） y=卜由H+|M 幻的最小正周期为，；7T（iii ） y = sin 4x + cos 4x 的最小正周期为，. _由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象 .4、单调性（1）基本三角函数的单调区间（族）依从三角函数图象识证“三部曲”：①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的 一个周期；②写特解：在所选周期内写出函数的增区问（或减区问）；③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数 的增区间族（或减区间族）循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族 .揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域（2） y=/（而+初 型三角函数的单调区问的周期为y = （助+切1_r= |达匚祖（姗+阖| 的周期为 7T(ii) > = 1/(耽+如+同3=0)的周期1y 二|金£血（为工卜8］妣+3）+甘¥ = |例如（而+5+上］ J = |总二加侬大+的+. 的周期为祠；,7T的周期为:. 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对 数的周期不变.注意这一点与（i ）的区别.y=八加+◎+上的解析式施加绝对值后，该函此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为 ①换元、分解：令u =z 中,将所给函数分解为内、外两层：y = f (u) , u =®x+卯;②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出 f (u)的单调性，而后利用(1)中公 式写出关于u 的不等式；③还原、结论：将u =^+W 代入②中u 的不等式，解出x 的取值范围，并用集合或区间 形成结论.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:/y sinx y cosxy tanxy cotxy Asin x(A 、 >0)定义域 R R x | x R 且 x k 1 ,k Zx| x R 且x k ,k ZR值域 [1, 1][1, 1]R RA, A周期性 2 22奇偶性奇函数 偶函数奇函数 奇函数当 0,非奇非偶 当0,奇函数单调性[2 2k , —2k ] 2上为增函 数； [2 2k ,3——2k ] 2上为减函 数(k Z )[2k 1 , 2k ]上为增函 数[2k , 2k 1 ]上为减函数(k Z )一k ,一 k 2 2 上为增函数(k Z )k , k 1上为减函数(k Z )2k2(A),2k -2( A)上为增函数；2k 一------ 2— (A), 2k------ 2——(A)上为减函数(k Z )注意：①y sinx 与y sinx 的单调性正好相反；y cosx 与y cosx 的单调性也同样相反.一般 地，若y f(x)在［a,b ］上递增(减)，则y f (x)在［a,b ］上递减(增)y忖n x 与y cosx 的周期是.-(k Z),对称中心(k ,0); y cos( x )的对称轴方); y tan( x )的对称中心(工,0).,02③ y sin( x )或 y cos( x )0)的周期T 2y tan x 的周期为2 2 (T _ T 2，如图，翻折无效)④y sin( x )的对称轴方程是x k 程是x k (k Z ),对称中心(ky cos2x 原点对称 y cos( 2x) cos2x⑤ 当 tan tan 1, k ,(k Z) ; tan tan 1, k ,(k Z).⑥y cosx 与y s in x _ 2k是同一函数，而y ( x )是偶函数，则2 1 、，、y ( x ) sin( x k ) cos( x).2⑦函数y tanx 在R 上为增函数.(耳［只能在某个单调区间单调递增 .若在整个定义域,y tanx 为增函数，同样也是错误的］.⑧定义域关于原点对称是f (x)具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件：一是定义域 关于原点对称(奇偶都要)，二是满足奇偶性条件，偶函数：f( x) f(x),奇函数：f( x) f(x)) 奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：y tanx 是奇函数，y tan(x 1)是非奇非偶.(定义域不 3 关于原点对称)奇函数特有性质：若0 x 的定义域，则f(x)一定有f(0) 0. (0 x 的定义域，则无此性质)⑨y sinx 不是周期函数；y sinx 为周期函数(T )； y cosx 是周期函数(如图)；y cosx 为周期函数(T )；y cos2x1的周期为(如图)，并非所有周期函数都有最小正周期,2y f (x) 5 f (x k),k R . ⑩ y a cos bsinVa 2 b 2sin( ) cos b 有 Va 2 b 2 y .、形如y Asin( x )的函数:11、几个物理量：A 一振幅；f 1—频率(周期的倒数)；x 一相包； 一初相；2、函数y Asin( x )表达式的确定：A 由最值确定； 由周期确定； 由图象上的特殊点确定，如 f(x) Asin( x )(A 0,0, | 3.函数 y Asin( x ) B (其中 A 0,0)最大值是A B,最小值是B A,周期是T —,最小正周期T 六频率是f「相位是x,初相是；其图象的对称轴是直线x k 7k Z),凡| "^0的图象如图所小，则f (x)(答：f(x)152sin(-2x -));y=| cos2x+1/2|图象是该图象与直线y B 的交点都是该图象的对称中心4、研究函数y Asin( x )性质的方法：类比于研究y sin x 的性质，只需将y Asin( x ) 中的x 看成y sinx 中的x,但在求y Asin( x )的单调区间时，要特别注意 A 和 的 符号，通过诱导公式先将 化正。
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正切、余切函数的图象和性质
正切、余切函数的图象和性质张思明教学目的：教学过程择录：一、引题：师：对比上一节的习题，请同学们看一看自己的作业本，对正弦和余弦函数，在作业中，我们已涉及了多少类型的问题？生众：P159正弦，余弦函数的定义域：P158正弦，余弦函数的最值：P158正弦，余弦函数的奇偶性P159正弦，余弦函数的单调性P159正弦，余弦函数的应用一-----比大小P158正弦，余弦函数的周期P159正弦，余弦函数的图象P160正弦，余弦函数性质的应用教师在黑板上书写：定义域值域奇偶性单调性比大小求最小正周期作图应用教师：今天我们来学习正切、余切函数的图象和性质，可以想一想，我们要觖决什么问题？生众：不就是上面这几点问题吗？教师：说的不错，我们就是要来解决把“正弦、余弦函数”换成“正切、余切函数”后~后面加一个“是什么？”这样一些问题。
请同学们带的这些问题看书5分钟。
[评述]：这里是通过作业小结的方式引入问题。
学生常常是很肓目的做作业，很少观察作业所涉及的问题类型和范围。
教师有意识地引导学生作这种观察，既培养了学生看课本的习惯，又自然引出了今天的课题和要探索解决的问题。
二、学生自己回顾性设问，5分钟以后：学生阅读完毕，教师指导第一组学生为相邻的同桌的同学就前面七个方向提一个有关正、余切函数性质的问题，要求是后面的同学不要提前面已经提到过的问题，并请同桌同学对着大家回答。
做完后，问、答的两组学生角色交换。
其它组的同学一边听，一边作判断，对的放过，不对时请同一行的同学予以更正：生1：正切函数的定义域是什么？邻生答：除了，k∈Z外的全体实数。
生2：正切函数的值域是整个y轴吗？邻生改正：应说成是全体实数生3：.........生10：学过四种三角函数都是奇数吗？都是增函数吗？邻生答：不对，反例是余弦函数）生11：正切函数是它定义域上的增函数吗？邻生答：是，其它学生更正：不是。
教师追问理由 (12)
正切函数是一个周期为2的函数吗？邻生回答：准确地说正切函数是最小正周期为的周期函数。
生13：余切函数也是一个以2为周期的周期函数，这个说法对吗？邻生：不对，另外的学生答：对，……… 学生即席讨论………。
生14：怎样由y=tgx的图象得到y=ctgx的图象？，邻生答：可以先把y=tgx的图象以x轴为轴，翻转180度，再向右平移。
另一个邻座同学：也可以先把y=tgx的图象以y轴为轴，翻转180度，再向右平移。
教师插说：我怎么不懂了？为什么把y=tgx的图象以x轴为轴，翻转180度和把y=tgx的图象
以y轴为轴，翻转180度的效果一样？…学生讨论得到：因为y=tgx是奇函数，f(-x)=-f(x)。
教师又插说：非要先翻转后平移吗？…学生讨论略。
[评论]学生自己设计问题，自问他答，其它学生协助判定是否正确，可以在很大程度上调动学生自己学习的主动性。
但问题的难易控制有一定难度，先问的人设计问题相对容易些，可以用往复问答的方式来解决。
邻座的学生作答，同一横行同学做答的是非判定，这样做目的是让反馈的更快、更广些。
从学生问答情况看，基本达到了目的。
三、自己提出问题，设计问题，当堂练习，自己作评价。
师：下面请第3组同学为大家设计一组课堂练习可以讨论。
要求是七个方面都要覆盖。
请第四组同学上黑板解：其它同学在下面解。
再请第5组同学：评价题目和解法的长短。
请第6组同学对应设计课后作业。
请第7组同学：作全课的小结[评述]活动覆盖面大，学生在教师控制的“方向”上直接参与练习设计，求解，并且加入练习题设计及解法的评价和全课小结，目的是让学生学会“品题”，“品课”，这本身是对学生掌握学法的一种引导，对培养学生的自学能力十分重要。
第3组学生上黑板设计的题目：求函数的定义域。
求函数的值域。
比较和的大小。
函数最小正周期是什么？求出的单调增区间。
作出函数的图象，并说明它是由y=tgx经过怎样的变换得到的。
讨论下面函数的奇偶性和最小周期：，y=tg (mx+n)+b 学生D组7人上黑板解题。
：求解过程及改错讨论略。
学生E组评价：首先对D组的解答做出评判学生15：我觉得设计的好，它要求先用诱导公式转化成同名函数再比大小。
学生16：我先纠正解答中的错误，原解认为最小正周期是，这是一个明显的错误，因为它不是正数。
我觉得设计的目的就是要考查最小正周期的表达式中绝对值这一个最容易被忽略的地方。
我认为此题设计的很好。
学生17：我觉得设计的不很好，原因是，对数后面根号似乎多余，因为对数对真数的要求和算术根大体一致。
又复合函数的内、外层函数y=lgt, 都是增函数，再讨论递增区间，显得“挖潜”不够，不如将y=lgt或换成某种减函数如。
这样可以考察到更多的复合函数单调性的知识。
……[评述]：这里有一个集体协作的场景，组长“派”任务和个人主动抢任务结合，学困生强以优先，各尽其能，各显所长。
教师可以在旁边观察、欣赏、记录。
作出鼓励或引导性的“旁白”。
第七组的两个代表，上来做了全课的总结：学生17：今天我们学习了正切、余切、函数的性质，我觉得比较重要的是要把握函数的性质，就要去研究什么东西？这里面主要是定义域，值域单调性、奇偶性、周期性，和由此得到的函数的图象。
对于正、余切函数的性质我觉得通过它们的图象去记忆，去理解是最容易的。
只要记住函数的基本图象，我们就可以说出相应的性质。
简单地说可以从图象直观走向看增减性、是否对称看奇偶性、是否可重复看周期。