正切函数和余切函数的图像和性质
正切函数和余切函数的图像和性质
正切函数和余切函数的图像和性质知识点：1.正切函数和余切函数的概念；2.正切函数与余切函数的图像和性质；3.正切函数与余切函数性质的应用；教学过程：1.正切函数和余切函数的概念：（1）正切函数---形如tan=的函数称为正切函数；y x余切函数--形如cot=的函数称为余切函数；y x2.函数的图像和性质：（1）正切函数的图像：见正切函数图像课件。
（2）正切函数图像：-（3）与切函数的图像：归纳填表格：例1.求下列函数的周期： （1）tan(3)3y x π=-+；（2）221tgxy tg x=+；（3）cot tan y x x =-；（4）22tan21tan 2xy x=-； （5）sin 1tan tan 2x y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭例2.求下列函数的单调区间： （1）tan(2)24y x π=++；（2）tan()123x y π=-+-；（3）12log cot y x ⎛= ⎝⎭ 例3.求下列函数的定义域：（1）tan 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）y =（3）y = 例4.（1）求函数21)tan tan ]y x x =-的定义域； （2）解不等式：23tan (2)(3tan(2)044x x ππ+-+≤例5.已知2tan tan y x a x =-，当1[0,],[0,]34x a π∈∈时，函数max y =a 的值；例6.已知函数tan ,(0,)2y x x π=∈，若1212,(0,),2x x x x π∈≠。
求证：1212()()()22f x f x x xf ++>。
常见三角函数图像及其性质
常见三角函数图像及其性质三角函数介绍正弦函数主词条：正弦函数格式：sin（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是csc（θ）的倒数函数图像：波形曲线值域：[]1,1-余弦函数主词条：余弦函数格式：cos（θ）作用：在直角三角形中，将大小为（单位为弧度）的角邻边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sec（θ）的倒数函数图像：波形曲线值域：[]1,1-正切函数主词条：正切函数格式：tan（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cot（θ）的倒数。
函数图像：上图平面直角坐标系反映值域：()∞-∞，+余切函数主词条：余切函数格式：cot（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度比对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是tan（θ）的倒数值域：()∞-∞，+正割函数主词条：正割函数格式：sec（θ）作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cos（θ）的倒数函数图像：上图平面直角坐标系反映值域：(][)∞-1-，1∞，+余割函数主词条：余割函数格式：csc（θ）作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sin（θ）的倒数值域：(][)∞-1-∞，+，1。
初中数学知识归纳三角函数的基本变换与性质
初中数学知识归纳三角函数的基本变换与性质三角函数是数学中的重要概念之一，它在初中数学学科中也占有重要地位。
了解三角函数的基本变换与性质对于学生打下坚实的数学基础非常重要。
本文将对初中数学中三角函数的基本变换与性质进行归纳总结。
一、正弦函数与余弦函数的基本变换与性质1. 基本变换正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的图像在平面直角坐标系中表现出一定的规律。
- 平移变换：对于正弦函数和余弦函数的图像，当自变量增加或减少一个周期时，图像会向左或向右平移。
这是因为正弦函数和余弦函数的周期是固定的。
- 垂直方向的伸缩：正弦函数和余弦函数的图像在垂直方向上也会有伸缩变换。
通过改变函数的振幅值（即函数的最大值和最小值的差异），可以实现对图像的垂直伸缩变换。
2. 基本性质- 周期性：正弦函数和余弦函数的周期都是360度或2π。
换句话说，当自变量增加或减少360度或2π时，函数的值会重复。
- 范围：正弦函数和余弦函数的值在闭区间[-1, 1]内变动。
也就是说，对于任何一个角度，正弦函数的值和余弦函数的值都不会超过-1和1。
二、正切函数与余切函数的基本变换与性质1. 基本变换正切函数和余切函数也是周期函数，它们的图像在平面直角坐标系中表现出一定的规律。
- 平移变换：正切函数和余切函数的图像在自变量增加或减少π时，会向左或向右平移。
这是因为正切函数和余切函数的周期是π。
- 垂直方向的伸缩：正切函数和余切函数的图像在垂直方向上也会有伸缩变换。
通过改变函数的振幅值，可以实现对图像的垂直伸缩变换。
2. 基本性质- 周期性：正切函数和余切函数的周期都是π。
也就是说，当自变量增加或减少π时，函数的值会重复。
- 水平渐近线：正切函数和余切函数都有水平渐近线，即当自变量趋于某些特定值时，函数值趋于无穷大或无穷小。
三、基本变换与性质的应用举例1. 应用举例：在三角函数的学习中，我们经常需要根据给定的变换规律绘制函数图像，或者根据函数图像求解相关问题。
高一数学正切函数和余切函数的图像与性质1(学生版)
（2）
例2、求函数 的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。
变式练习1：讨论函数 的性质
变式练习2： 的单调区间怎么求？
例3、观察正切曲线写出满足tanx＞0的x的值的范围：
变式练习：方法同上，求出分别满足下列条件的x的值的范围
（1）
（2）
例4、求下列函数的定义域
（1）y＝tan2x
例5、求学下列函数的最小正周期和单调区间
（1） ；
（2）
【课堂小练】
1、函数y＝tan（ax＋ ）（a≠0）的最小正周期为( )
2、以下函数中，不是奇函数的是( )
A y＝sinx＋tanxＢ．y＝xtanx－1Ｃ．y＝ Ｄ．y＝lg
3、下列命题中正确的是( )
A．y＝cosx在第二象限是减函数Ｂ．y＝tanx在定义域内是增函数
Ｃ．y＝｜cos（2x＋ ）｜的周期是 Ｄ．y＝sin｜x｜是周期为2π的偶函数
4、函数y＝ ＋ 的定义域是( )
A (2k＋1)π≤x≤(2k＋1)π＋ ，k∈Z
B (2k＋1)π＜x＜(2k＋1)π＋ ，k∈Z
C (2k＋1)π≤x＜(2k＋1)π＋ ，k∈Z
D (2k＋1)π＜x＜(2k＋1)π＋ 或x＝kπ，k∈Z
5、已知y＝tan2x－2tanx＋3，求它的最小值
6、求适合下列条件的 的集合：
6．单调性：在开区间 内，函数单调递增
余切函数y=cotx的图象及其性质（要求学生了解）：
——即将 的图象，向左平移 个单位，
再以x轴为对称轴上下翻折，即得 的图象
定义域：
值域：R，
当 时 ，当 时
周期：
奇偶性：奇函数
单调性：在区间 上函数单调递减
三角函数及反三角函数的图像及性质
三角函数与反三角函数的图像与性质一、三角函数的图像和性质1.正弦与余函数的图像与性质ycosx函数ysinx图像定域义RR值域1,11,1最值x2k时,y1，kZ最大2 x2k,y1kZ时，最大x2k时,y1，kZ最小x2k时,y1，kZ最小2单调性在每个[2k,2k]上递增22 在每个[2k,2k]上递增在每个[2k,2k]上递减3在每个[2k,2k]上递减22kZkZ奇偶性奇函数偶函数周期性是周期函数，2为最小正周期是周期函数，2为最小正周期对称性对称中心(k,0)，对称中心(,0)k，2对称轴:xk,(kZ)对称轴2:x k,(kZ)2.正切与余切函数的图像与性质函数ytanxycotx图像定域义{x|xR且xk,kZ}{x|xR且xk,k Z}2值域RR单调性在每个(k,k)上递增在每个(,)上递减kk22kZkZ奇偶性奇函数奇函数周期性是周期函数，为最小正周期是周期函数，为最小正周期对称性k对称中心(,0)2k 对称中心(,0)2二、反三角函数的图像与性质1.反正弦与反余函数的图像与性质反余弦函数yarccosx函数反正弦函数yarcsinx是ycosx，x0,的反函数是sin,yx，x的反函数22图像定域义1,11,1值域0,,22单调性在[1,1]上递增在[1,1]上递减奇偶性奇函数非奇非偶周期性无无对称性对称中心(0,0)对称中心(0,)22.反正切与反余切函数的图像与性质函数反正切函数yarctanx反余切函数yarccotx是ycotx，x0,的反函数是tan(,)yx，x的反函数22图像定域义(,,)(,,)值域,0,22单调性在(,,)上递增在(,,)上递减奇偶性奇函数非奇非偶周期性无无对称性对称中心(0,0)对称中心(0,)2。
高三数学三角函数知识点
高三数学三角函数知识点一、概述数学中的三角函数是一个重要的概念，主要包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
在高三数学学习中，掌握三角函数的相关知识点可以帮助我们解决各种复杂的几何问题，同时也是高考数学必考的内容。
二、正弦函数与余弦函数1.定义正弦函数(sin)：在直角三角形中，对于一个锐角A，正弦函数的值等于对边与斜边的比值，即sinA=对边/斜边。
余弦函数(cos)：在直角三角形中，对于一个锐角A，余弦函数的值等于邻边与斜边的比值，即cosA=邻边/斜边。
2.性质- 正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]。
- 余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]。
- 正弦函数与余弦函数的图像均为周期函数，周期为2π或360°。
三、正切函数与余切函数1.定义正切函数(tan)：在直角三角形中，对于一个锐角A，正切函数的值等于对边与邻边的比值，即tanA=对边/邻边。
余切函数(cot)：在直角三角形中，对于一个锐角A，余切函数的值等于邻边与对边的比值，即cotA=邻边/对边。
2.性质- 正切函数的定义域为实数集，值域为全体实数。
- 余切函数的定义域为实数集，值域为全体实数。
- 正切函数与余切函数的图像均为周期函数，周期为π或180°。
四、三角函数的基本关系1.正弦函数与余弦函数的关系- sin(π/2 - A) = cosA- cos(π/2 - A) = sinA2.正切函数与余切函数的关系- tanA = 1 / cotA- cotA = 1 / tanA3.正弦函数与余切函数的关系- sinA / cotA = cosA- cotA / sinA = cosA五、三角函数的图像与性质1.正弦函数与余弦函数的图像- 正弦函数为奇函数，图像关于原点对称。
- 余弦函数为偶函数，图像关于y轴对称。
2.正切函数与余切函数的图像- 正切函数为奇函数，图像关于原点对称。
- 余切函数为奇函数，图像关于原点对称。
第8讲 正切函数图像及其性质(讲义)解析版
第8讲 正切函数图像及其性质知识梳理1、正切函数的图像：可选择的区间作出它的图像，通过单位圆和正切线，类比正、余弦函数图像的画法作出正切函数的图像根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数tan ,y x x R =∈，且()2x k k Z ππ≠+∈的图像，称“正切曲线”.由正弦函数图像可知： （1）定义域：{|()}2x x k k Z ππ≠+∈，（2）值域：R 观察：当x 从小于，时，tan x →+∞当x 从大于，时，tan x →-∞.（3）周期性：T π=（4）奇偶性：tan()tan x x -=-，所以是奇函数⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ()z k k ∈+2ππ2π+π−→−k x ()z k k ∈+ππ2ππk x +−→−2x yyx（5）单调性：在开区间(,),22k k k Zππππ-++∈内，函数单调递增.（6）中心对称点：,0,2kk Zπ⎛⎫∈⎪⎝⎭2、余切函数的图象：⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛-==2tan2tancotππxxxy即将xy tan=的图象，向左平移2π个单位，再以x轴为对称轴上下翻折，即得xy cot=的图象由余弦函数图像可知：（1）定义域：{|()}x x k k Zπ≠∈，（2）值域：R（3）周期性：Tπ=（4）奇偶性：tan()tanx x-=-，所以是奇函数（5）单调性：在开区间(,),k k k Zπππ+∈内，函数单调递增.（6）中心对称点：,0,2k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭例题解析一、正切函数的图像例1．（2020·全国高一课时练习）设函数()tan 33x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. （1）求函数f (x )的最小正周期､对称中心； （2）作出函数f (x )在一个周期内的简图.【答案】（1）最小正周期3π，对称中心是3,02k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭()k Z ∈；（2）答案见解析. 【分析】（1）首先根据正切函数的周期公式即可得到函数()f x 的周期，再根据正切函数的对称中心即可得到函数()f x 的对称中心.（2）根据函数的解析式得到()f x 的图象与x 轴的交点坐标为(),0π，图象上的7,14π⎛⎫ ⎪⎝⎭、,14π⎛⎫- ⎪⎝⎭两点，再找到两侧相邻的渐近线方程，画出函数的图象即可. 【详解】（1）()tan 33x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，313T ππ==，令332x k ππ-=，k Z ∈，解得32x k ππ=+，k Z ∈， 故对称中心为3,02k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭()k Z ∈. （2）令033x π-=，解得x π=，令334x ππ-=，解得74x π=，令334x ππ-=-，解得4x π=， 令332x ππ-=，解得52x π=，令332x ππ-=-，解得2x π=-，所以函数()tan 33x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象与x 轴的一个交点坐标为(),0π， 图象上的点有7,14π⎛⎫⎪⎝⎭、,14π⎛⎫- ⎪⎝⎭两点， 在这个5,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭周期内左右两侧相邻的渐近线方程分别为2x π=-和52x π=， 从而得到函数()f x 在一个周期5,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内的简图(如图).【点睛】本题主要考查正切函数的周期和对称中心，同时考查了正切函数的图象，关键点是找出图象上的点用描点法画图象，属于中档题.例2．（2020·全国高一课时练习）已知函数()sin cos xf x x=． （1）求函数()f x 的定义域；（2）用定义判断函数()f x 的奇偶性； （3）在[],ππ-上作出函数()f x 的图象．【答案】（1）,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭；（2）奇函数,见解析；(3)见解析 【分析】（1）根据cos 0x ≠,求解即可；（2）由（1）可知()f x 的定义域关于原点对称,判定()f x -和()f x 的关系,从而判定奇偶性；（3）将()f x 写为分段函数,画出图象即可【详解】（1）由cos 0x ≠,得2x k ππ≠+（k Z ∈）,所以函数()f x 的定义域是,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.（2）由（1）知函数()f x 的定义域关于原点对称,因为()()()()sin sin cos cos x xf x f x xx ---===--,所以()f x 是奇函数. （3）()tan ,22tan ,22x x f x x x x ππππππ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪--≤<-<≤⎪⎩或,所以()f x 在[],ππ-上的图象如图所示,【点睛】本题考查函数定义域,考查奇偶性的判断,考查函数图象. 例3.作函数||y tan x =的图像. 【难度】★★ 【答案】如图 【解析】||y tan x =等价于 0,2()0,2tanx x x k y k Z tanx x x k ππππ⎧≥≠+⎪⎪=∈⎨⎪-<≠+⎪⎩，图像如图所示．例4.求函数()tan tan f x x x =+的定义域、周期、单调增区间，并画草图． 【难度】★★★【答案】定义域：{|,}2x x k k Z ππ≠+∈ ，周期：T π=，单调增区间：[,)2k k πππ+（1）tan 0x > （2）tan 0x = （3）tan 0x < （4）tan x >【难度】★ 【答案】（1）Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛+,2,πππ, （2）{}z k k x x ∈=,π （3）Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛-,,2πππ, （4）Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++，ππππ2,3例6.根据正切函数图像，写出使下列不等式成立的x 值的集合： （1）0tan 1≥+x （2）3tan -x 0≥ 【难度】★★ 【答案】（1） [,),42k k k Z ππππ-+∈（2）[,),32k k k Z ππππ++∈例7.比较下列两数的大小（1）2tan7π与10tan 7π （2）6tan 5π与13tan()5π- （3）81cot 与191cot 【难度】★ 【答案】（1）2tan7π<10tan 7π （2）6tan 5π>13tan()5π- （3）81cot <191cot 例8.函数sin y x =与tan y x =的图像在[2,2]ππ-上的交点有 （ ）.A 3个 .B 5个 .C 7个 .D .D 9个【难度】★★【答案】B【巩固训练】1．作出函数|tan |y x =的图象. 【难度】★★ 【答案】如图2．利用图像，不等式tan 21x <≤的解集为____________. 【难度】★★ 【答案】(,],2628k k k Z ππππ-+∈3．比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭⎫⎝⎛-517tan π的大小 【难度】★【答案】tan413tan -=⎪⎭⎫⎝⎛-π 4π，52tan517tan ππ-=⎪⎭⎫⎝⎛-，⎪⎭⎫⎝⎛=<<2,0tan ,5240πππ在x y内单调递增. ⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan4tan即 4．若()tan()4f x x π=+，试比较(1),(0),(1)f f f -，并按从小到大的顺序排列：_________. 【难度】★★【答案】(1)(1)(0)f f f <-<5.（2020·全国高一课时练习）设函数()tan 23π⎛⎫=-⎪⎝⎭x f x . （1）求函数f (x )的最小正周期，对称中心； （2）作出函数()f x 在一个周期内的简图．【答案】（1）2T π=，2,03ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭k ()k Z ∈；（2）图象见解析【分析】（1）首先根据正切函数的周期公式即可得到函数()tan 23π⎛⎫=-⎪⎝⎭x f x 的周期，再根据正切函数的对称中心即可得到函数()tan 23π⎛⎫=-⎪⎝⎭x f x 的对称中心. （2）首先根据函数的解析式得到数()tan 23π⎛⎫=-⎪⎝⎭x f x 的图象与x 轴的一个交点坐标为2,03π⎛⎫⎪⎝⎭，在这个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为3x π=-和53x π=，再画出函数的图象即可.【详解】（1）()tan 23π⎛⎫=- ⎪⎝⎭x f x ，212T ππ==.令232ππ-=x k ，k Z ∈，解得23ππ=+x k ，k Z ∈， 故对称中心为2,03ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭k ()k Z ∈.（2）令023x π-=，解得23x π=，令234x ππ-=，解得76x π=， 令234x ππ-=-，解得6x π=，令232x ππ-=，解得53x π=， 令232x ππ-=-，解得3x π=-， 所以函数()tan 23π⎛⎫=-⎪⎝⎭x f x 的图象与x 轴的一个交点坐标为2,03π⎛⎫⎪⎝⎭， 在这个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为3x π=-和53x π=. 故函数在一个周期内的函数图象为：【点睛】本题主要考查正切函数的周期和对称中心，同时考查了正切函数的图象，属于中档题.二、正切函数的定义域及值域1、正切函数的定义域例1.求下列函数的定义域（1）tan 2y x = （2）y = （3）cos tan y x x =⋅ （4）11tan y x=+ 【难度】★ 【答案】（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,24ππ （2）Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-,3,3ππππ （3）,2x x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭且 （4）,,42x x k x k k Z ππππ⎧⎫≠-≠+∈⎨⎬⎩⎭且例2．（2019·宝山区·上海交大附中高一期末）下列四个函数中，与函数()tan f x x =完全相同的是（ ）A ．22tan21tan 2xy x =- B ．1cot y x = C ．sin 21cos 2x y x =+ D ．1cos 2sin 2x y x -=【答案】C【分析】先判断函数的定义域是否相同，再通过化简判断对应关系是否相同，从而判断出与()f x 相同的函数.【详解】()f x 的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭， A. 22tan 21tan 2x y x =-，因为tan 12,22x x k k Z ππ⎧≠±⎪⎪⎨⎪≠+∈⎪⎩，所以,24,22x k k Z x k k Z ππππ⎧≠±+∈⎪⎪⎨⎪≠+∈⎪⎩， 定义域为{|22x x k ππ≠±或2,}x k k Z ππ≠+∈，与()tan f x x =定义域不相同； B. 1cot y x =，因为cos 0sin 0x x ≠⎧⎨≠⎩，所以,2,x k k Z x k k Zπππ⎧≠+∈⎪⎨⎪≠∈⎩， 所以定义域为,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭，与()tan f x x =定义域不相同； C. sin 21cos 2x y x =+，因为1cos20x +≠，所以定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭， 又因为2sin 22sin cos tan 1cos 22cos x x x y x x x ===+，所以与()tan f x x =相同； D. 1cos 2sin 2x y x-=，因为sin 20x ≠，所以2,x k k Z π≠∈，定义域为|,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭， 与()tan f x x =定义域不相同.故选：C.【点睛】本题考查与三角函数有关的相同函数的判断，难度一般.判断相同函数时，首先判断定义域是否相同，定义域相同时再去判断对应关系是否相同（函数化简），结合定义域与对应关系即可判断出是否是相同函数.例3．（2019·上海市大同中学高一期中）函数arcsin tan 2y x x =+的定义域是________【答案】[1,)(,)(,1]4444ππππ--- 【分析】解不等式11,2,2x x k k Z ππ-≤≤⎧⎪⎨≠+∈⎪⎩即得解. 【详解】由题得11,2,2x x k k Z ππ-≤≤⎧⎪⎨≠+∈⎪⎩所以x ∈[1,)(,)(,1]4444ππππ---. 故函数的定义域为[1,)(,)(,1]4444ππππ--- 故答案为[1,)(,)(,1]4444ππππ---【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，考查反三角函数和正切函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.例4．（2017·上海杨浦区·复旦附中高一期中）已知函数()()lg tan 1f x x =-()f x 的定义域是____.【答案】3,,4242ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】由意义得出2tan 1090x x ->⎧⎨-≥⎩，解出该不等式组即可得出函数()y f x =的定义域. 【详解】函数()()lg tan 1f x x =-+2tan 1090x x ->⎧∴⎨-≥⎩， ()4233k x k k Z x ππππ⎧+<<+∈⎪∴⎨⎪-≤≤⎩，3,,4242x ππππ⎛⎫⎛⎫∴∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，函数()y f x =的定义域为3,,4242ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：3,,4242ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查函数定义域的求解， 同时也涉及了正切不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.例5.求函数y =lg(tan x -+3cos 2+x 的定义域． 【难度】★★【答案】(,),32k k k Z ππππ++∈【解析】tan 2cos 0,2x x x k k Z ππ⎧>⎪⎪≥⎨⎪⎪≠+∈⎩ 由此不等式组作图： ∴(,),32k k k Z ππππ++∈ 【巩固训练】1．函数tan 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域为__________ 【难度】★【答案】,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭2．与函数)42tan(π+=x y 的图象不相交的一条直线是 （ ）.A 2π=x .B 2π-=x .C 4π=x .D 8π=x【难度】★【答案】D3．求下列函数的定义域(1)1tan y x = ；(2)sin tan()log (2cos 1)4x y x x π=+⋅- ． 【难度】★★★【答案】见解析解：等价转化为求一个不等式组的解 (1)sin 0tan 0,()2x x x k k Z ππ⎧⎪≥⎪≠⎨⎪⎪≠+∈⎩(2,2),,()2x k k x k k Z πππππ⇒∈+≠+∈ (2) 2cos 10sin 0,()42x x x k k Z πππ⎧⎪->⎪>⎨⎪⎪+≠+∈⎩⇒(2,2)33(2,2)(2,2)224x k k x k k k k x k πππππππππππππ⎧∈-+⎪⎪⎪∈+++⎨⎪⎪≠=⎪⎩(2,2)(2,2),()443x k k k k k Z πππππππ⇒∈+++∈． 注：转化过程中要注意必须是等价转换，才能保证结果既不扩大也不缩小．在求条件组的解时，常会求角集得交集，可以画数轴，用单位圆或函数的图像，应熟练掌握这种技能．2、正切函数的值域与最值例1．（2016·上海浦东新区·华师大二附中高一期中）设函数()sin 2sin 1cos 2cos x x f x x x-=+-，关于()f x 的性质，下列说法正确的是_________. ①定义域是,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭；②值域是R ；③最小正周期是π； ④()f x 是奇函数；⑤()f x 在定义域上单调递增.【答案】③④【分析】先求定义域，再化简函数解析式，根据正切函数性质求值域、求周期、判断单调性与奇偶性.【详解】()sin 2sin 1cos 2cos 01cos 2cos x x f x x x x x-=∴+-≠+- 22cos cos 0cos 0x x x ∴-≠∴≠且1cos 2x ≠， 定义域是,,23x x k x k k Z ππππ⎧⎫≠+≠±∈⎨⎬⎩⎭； ()sin 2sin sin (2cos 1)tan 1cos 2cos cos (2cos 1)x x x x f x x x x x x --===+--所以()f x ≠()f x 最小正周期是π；()f x 是奇函数；()f x 在定义域上不具有单调性故答案为：③④【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及函数综合性质，考查综合分析求解能力，属中档题.例2．（2020·上海高一课时练习）求下列函数的值域：（1）1tan ,,01tan 2+⎛⎫=∈- ⎪-⎝⎭x y x x π； （2）2tan 3tan 1,,34⎡⎤=+-∈-⎢⎥⎣⎦y x x x ππ． 【答案】（1）(1,1)-；（2）13,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【分析】（1）由定义域可得()tan ,0x ∈-∞，令tan t x =则(),0t ∈-∞，所以1211t 1t y t +-==-+--，再根据幂函数的性质计算可得； （2）利用换元法将函数转化为二次函数，根据二次函数的性质计算可得；【详解】解：（1）因为1tan ,,01tan 2+⎛⎫=∈- ⎪-⎝⎭x y x x π，所以()tan ,0x ∈-∞ 令tan t x =则(),0t ∈-∞ 所以1211t 1t y t +-==-+-- 因为(),0t ∈-∞，所以()1,1t -∈-∞-，()11,01t ∈--，()2210,t -∈-， ()211,11t --+∈--，即()1,1y ∈- （2）因为2tan 3tan 1,,34⎡⎤=+-∈-⎢⎥⎣⎦y x x x ππ所以tan x ⎡⎤∈⎣⎦令tan m x =，m ⎡⎤∈⎣⎦所以()223133124y f m m m m ⎛⎫==+-=+- ⎪⎝⎭所以()f m 在3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减， 31324f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()13f =，(2f =-所以()13,34f m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦即函数的值域为13,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查正切函数的性质的应用，换元法求函数的值域，属于中档题. 例3．（2020·上海高一课时练习）求下列函数的值域：（1）tan ,,626⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦y x x πππ； （2）2tan 1,,1tan 46+⎛⎫=∈- ⎪-⎝⎭x y x x ππ； （3）2sec 2tan 1,,33⎡⎤=++∈-⎢⎥⎣⎦y ππθθθ．【答案】（1）[；（2）12⎛- ⎝⎭；（3）[1,5+ 【分析】（1）首先令6t x π=+，得到tan y t =，再根据tan y t =的单调性即可得到函数的值域.（2）首先令tan t x =，得到213211t y t t+==-+--，再根据函数的单调性即可得到值域.（3）首先将函数化简为2tan 2tan 2y θθ=++，令tan t θ=，得到222y t t =++，再利用二次函数的性质即可求出函数的值域. 【详解】（1）令6t x π=+，因为,26x ππ⎡∈⎤-⎢⎥⎣⎦，所以,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 又tan y t =在,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以所求函数值域为[． （2）令tan t x =，因为,46⎛⎫∈- ⎪⎝⎭x ππ，所以⎛∈- ⎝⎭t ．212(1)332,1,1113⎛+-+===-+∈- ---⎝⎭t t y t t t t ． 因为1y t =-为减函数，所以31y t =-在⎛∈- ⎝⎭t 为增函数， 即：321=-+-y t在⎛∈- ⎝⎭t 上为增函数， 所以min 31222y =-+=-，max 522y +=-=.所以函数的值域为12⎛- ⎝⎭． （3）222221sin cos 2tan 1=2tan 1tan 2tan 2cos cos y θθθθθθθθ+=++++=++． 令tan ,,33⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦t ππθθ，所以[∈t ．2222(1)1,[=++=++∈y t t t t ．当1t =-时，min 1y =，当t =时，max 5y =+所以函数的值域为[1,5+．【点睛】本题主要考查正切函数的值域问题，利用换元法求值域为解决本题的关键，属于中档题.例4.函数2tan ,0,124y x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域为 【难度】★ 【答案】[]32,324- 例5.若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈4,3ππx ，求函数1tan 2cos 12++=x x y 的最值及相应的x 值；. 【难度】★★ 【答案】4x π=-时，min 1y =； 4x π=时，max 5y =例6.已知2tan tan y x a x =-，当1[0,],[0,]34x a π∈∈时，函数max y =，求实数a 的值. 【难度】★ 【答案】323-=a 例7.求函数252tan 4tan 3y x x =-+的值域. 【难度】★★【答案】(0,5] 【巩固训练】1．求函数sin tan ,[,]44y x x x ππ=+∈-的值域【难度】★★【答案】[1]-+2．求函数2)1(tan 12-+=x y 的最大值，并求当函数取得最大值时，自变量x 的集合. 【难度】★★【答案】2max =y ，此时⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x x ,4ππ3．已知2tan 2tan 3y x x =-+，求它的最小值【难度】★★【答案】当tan 1x =时，min 2y =4．函数2tan 4tan 1y x x =+-的值域为____________ 【难度】★ 【答案】[)5,-+∞【解析】令tan t x =则转化为t 的二次函数求最值。
三角函数与反三角函数的图像与性质
三角函数与反三角函数的图像与性质一、三角函数的图像和性质
R R
-1,1-1,1
x = + 2 k 时, y= 1，k Z x = -+ 2k时, y最小= -1，k Z x = 2k 时, y= 1，k Z x = + 2 k 时, y = - 1，k Z
在每个［-+2k,+2k］上递增在每个［+ 2k, 3+ 2k］上递减k Z 在每个［-+ 2k, 2k］上递增在每个［2k, + 2k］上递减
k Z
是周期函数，2为最小正周期是周期函数，2为最小正周期
对称中心(k, 0) ，对称轴:x = +k,(k Z)对称中心(+ k, 0) ，对称轴: x = k,(k Z)
{x| x R且x +k,k Z}{x| x R且x+k,k Z} R R
在每个(-+k,+k)上递增
k Z 在每个(k,+ k)上递减
k Z
是周期函数，为最小正周期是周期函数，为最小正周期对称中心(k2,0)对称中心(k2,0)
二、反三角函数的图像与性质
反正弦函数y= arcsin x
是y=sin x，x-2,2的反函数反余弦函数y= arccos x 是y = cos x，x0,的反函数
-1,1-1,1
0,
对称中心(0,)
2. 反正切与反余切函数的图像与性质
反正切函数y= arctan x
是y = tan x，x(-,) 的反函数
22反余切函数y= arccot x
是y = cot x，x(0,)的反函数
(-,+,)(-,+,)
(0,)
在(-,+,)上递增在(-,+,)上递减
对称中心(0,)。
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正切函数和余切函数的
图像和性质
WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】
正切函数和余切函数的图像和性质知识点：
1.正切函数和余切函数的概念；
2.正切函数与余切函数的图像和性质；
3.正切函数与余切函数性质的应用；
教学过程：
1.正切函数和余切函数的概念：
（1）正切函数---形如tan
=的函数称为正切函数；
y x
余切函数--形如cot
=的函数称为余切函数；
y x
2.函数的图像和性质：
（1）正切函数的图像：
见正切函数图像课件。
（2）正切函数图像：
（3）与切函数的图像：
归纳填表格：
例1.求下列函数的周期：
（1）tan(3)3
y x π
=-+； （2）221tgx y tg x =+
； （3）cot tan y x x =-；
（4）2
2tan
21tan 2
x y x =-； （5）sin 1tan tan 2x y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭ 例2.求下列函数的单调区间：
（1）tan(2)24
y x π
=++； （2）tan()123
x y π=-+-； （3）12log cot y x ⎛= ⎝⎭
例3.求下列函数的定义域：
（1）tan 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
； （2）y =
（3）y =
例4.（1）求函数21)tan tan ]y x x =-的定义域；
（2）解不等式：23tan (2)(3tan(2)044
x x ππ+-+≤
例5.已知2tan tan y x a x =-，当1[0,],[0,]34
x a π∈∈时，函数max y =a 的值；
例6.已知函数tan ,(0,)2y x x π=∈，若1212,(0,),2
x x x x π∈≠。
求证：1212()()()22f x f x x x f ++>。