考研数学一元函数微分学复习指导
考研数学习题课讲义--2 一元函数微分学
(A) 都存在且相等
(B) 都不存在
(C) 都存在但不相等
(D) 仅有一个存在.
题型二 导数与微分的计算
解题注意: 基本初等函数的求导公式(16+2)、求导法则(复合、参数函数、隐函数、对数求导 法)的理解 例 7 求下列函数的导数: (1) ������ = ������������(������ + √������������ + ������������ ) 例 8 设 ������(������) = (������������������
− ������) (������������������
− ������) … (������������������
������������������������������������ ������
3
例 9 设 f (u) 可微, ������ = ������(������������������������ ������)当自变量在 x = − ������ 处取得增量 x = 0.1 时, 相应函 数增量 y 的线性主部为 0.2, 则 ������′(������) = ________.
= ______________ .
������−������������������ ������������ ������
例 4 设函数 f (x) 在 x = 0 处连续, 且满足 ������������������ ������������[������(������)+������] = ������, 则 f (0) = _______.
������→������
例 5 设 F (x) = f (x)(1 + |sinx| ), f (x)可导, 则 f (0) = 0 是 F (x) 在 x = 0 处可导的 (A) 充分必 要条件 (B) 充分但非必要条件 (C) 必要但非充分条件 (D) 即非充分又非必要条件
考研数学一元函数微分学常考察的题型
考研数学一元函数微分学常考察的题型考研数学一元函数微分学常考察的题型一元函数微分学是考研数学重难点，不少考生卡在这里。
店铺为大家精心准备了考研数学一元函数微分学题型考点，欢迎大家前来阅读。
考研数学一元函数微分学常考察的5种题型▶一元函数微分学有四大部分1、概念部分，重点有导数和微分的定义，特别要会利用导数定义讲座分段函数在分界点的可导性，高阶导数，可导与连续的关系;2、运算部分，重点是基本初等函的导数、微分公式，四则运算的导数、微分公式以及反函数、隐函数和由参数方程确定的函数的求导公式等;3、理论部分，重点是罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理;4、应用部分，重点是利用导数研究函数的性态(包括函数的单调性与极值，函数图形的凹凸性与拐点，渐近线)，最值应用题，利用洛必达法则求极限，以及导数在经济领域的应用，如“弹性”、“边际”等等。
▶常见题型1、求给定函数的导数或微分(包括高阶段导数)，包括隐函数和由参数方程确定的函数求导。
2、利用罗尔定理，拉格朗定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理证明有关命题和不等式，如“证明在开区间至少存在一点满足……”，或讨论方程在给定区间内的根的个数等。
此类题的证明，经常要构造辅助函数，而辅助函数的'构造技巧性较强，要求读者既能从题目所给条件进行分析推导逐步引出所需的辅助函数，也能从所需证明的结论(或其变形)出发“递推”出所要构造的辅函数，此外，在证明中还经常用到函数的单调性判断和连续数的介值定理等。
3、利用洛必达法则求七种未定型的极限。
4、几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用题，解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所论区间。
5、利用导数研究函数性态和描绘函数图像，等等。
考研高等数学题型归纳分析▶求极限无论数学一、数学二还是数学三，求极限是高等数学的基本要求，所以也是每年必考的内容。
区别在于有时以4分小题形式出现，题目简单;有时以大题出现，需要使用的方法综合性强。
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2． x ， 0 的洛必达法则 0
（1）当 x 时，函 f（x）及 F（x）都趋于零；
（2）当|x|＞N 时， f (x) 及 F (x) 都存在且 F (x) 0 ；
（3）
lim
x
f (x) F (x)
存在（或为无穷大），则
lim
x
f (x) F ( x)
lim
x
f (x) F (x)
3．使用洛必达法则，应注意
(sin x)(n) sin(x n ) 2
（3）余弦函数的 n 阶导数
(cos x)(n) cos(x n ) 2
（4）函数 ln(1 x) 的 n 阶导数
[ln(1
x)](n)
(1)n1
(n 1)! (1 x)n
（5）幂函数 y x 的 n 阶导数（ 是任意常数）
(x )(n) ( 1)( 2) ( n 1)xn
3．由参数方程所确定的函数的导数
参数方程 （1）一阶导数x (t)y(t)
( t )
dy dx
(t) (t )
其中，φ（t）和ψ（t）都可导，且 (t) 0 ．
（2）二阶导数
d 2 y (t)(t) (t)(t)
dx2
3 (t )
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特别地，有
(xn )(n) n(n 1)(n 2) 3 2 1 n!
(xn )(nk) 0 (k 1, 2, 3, )
3．莱布尼茨公式
n
(uv)(n) Cknu(nk )v(k ) k 0
三、特殊函数的导数
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1．分段函数的导数
（1）对于 x→a 或 x→∞时的未定式 ，也有相应的洛必达法则；
2022年考研数学综合指导：数学二各科目各章节复习重点
考研数学复习要找到正确的方法，好的复习方法可以事半功倍。
为大家整理了“2022年考研数学综合指导：数学二各科目各章节复习重点”，帮助考研人提升考研复习效率。
2022年考研数学综合指导：数学二各科目各章节复习重点高数第一章函数、极限、连续等价无穷小代换、洛必达法则、泰勒展开式求函数的极限函数连续的概念、函数间断点的类型判断函数连续性与间断点的类型第二章一元函数微分学导数的定义、可导与连续之间的关系按定义求一点处的导数，可导与连续的关系函数的单调性、函数的极值讨论函数的单调性、极值闭区间上连续函数的性质、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理微分中值定理及其应用第三章一元函数积分学积分上限的函数及其导数变限积分求导问题有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的积分计算被积函数为有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的不定积分和定积分第四章多元函数微积分学隐函数、偏导数、全微分的存在性以及它们之间的因果关系函数在一点处极限的存在性，连续性，偏导数的存在性，全微分存在性与偏导数的连续性的讨论与它们之间的因果关系二重积分的概念、性质及计算二重积分的计算及应用第五章常微分方程一阶线性微分方程、齐次方程，微分方程的简单应用用微分方程解决一些应用问题线性代数第一章行列式行列式的运算计算抽象矩阵的行列式第二章矩阵矩阵的运算求矩阵高次幂等矩阵的初等变换、初等矩阵与初等变换有关的命题第三章向量向量组的线性相关及无关的有关性质及判别法向量组的线性相关性线性组合与线性表示判定向量能否由向量组线性表示第四章线性方程组齐次线性方程组的基础解系和通解的求法求齐次线性方程组的基础解系、通解第五章矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵特征值和特征向量的性质，化为相似对角阵的方法有关实对称矩阵的问题相似变换、相似矩阵的概念及性质相似矩阵的判定及逆问题第六章二次型二次型的概念求二次型的矩阵和秩合同变换与合同矩阵的概念判定合同矩阵。
考研数学微积分复习备考攻略
考研数学微积分复习备考攻略考研数学复习需要大家把弱项强化突击，题型挨个分析，这样才能更好的通关。
为大家精心准备了考研数学微积分复习备考指南，欢送大家前来阅读。
微积分是经管类考研数学局部必考的科目，它占整个考研数学的比例为56%，分值为84分(总分150分)。
微积分的根本内容可以分为三大块：一元函数微积分，多元函数微积分(主要是二元函数)，无穷级数和常微分方程与差分方程。
一元函数微积分学的知识点是考研数学三微积分局部出题的重点，应引起重视。
多元函数微积分学的出题焦点是二元函数的微分及二重积分的计算。
无穷级数和常微分方程与差分方程考查主要集中在数项级数的求和、幂级数的和函数、收敛区间及收敛域、解简单的常微分方程等。
那么微积分如何复习才能成为真正的高手呢?一、根本内容扎实过一遍事实上，数学三考微积分相关内容的题目都不是太难，但是出题老师似乎对根本计算及应用情有独钟，所以对根底知识扎扎实实地复习一遍是最好的应对方法。
阅读教材虽然是奠定根底的一种良方，但参考一下一些辅导资料，如《微积分过关与提高》等，能够有效帮助同学们从不同角度理解根本概念、根本原理，加深对定理、公式的印象，增加根本方法及技巧的摄入量。
对根本内容的复习不能只注重速度而无视质量。
在看书时带着思考，并不时提出问题，这才是好的读懂知识的方法。
二、读书抓重点在看教材及辅导资料时要依三大块分清重点、次重点、非重点。
阅读数学图书与文艺社科类图书有个区别，就是内容没有那么强的故事性，同时所述理论有一定抽象性，所以在此再一次提醒同学们读书需要不断思考其逻辑结构。
比方在看函数极限的性质中的局部有界性时，能够联系其在几何上的表现来理解，并思考其实质含义及应用。
三大块内容中，一元函数的微积分是根底，定义一元函数微积分的极限及微积分的主要研究对象——函数及连续是根底中的根底。
这个局部也是每年必定会出题考查的，必须引起注意。
多元函数微积分，主要是二元函数微积分，这个局部大家需要记很多公式及解题捷径。
2023考研数学高数暑期复习资料：一元函数微分学 (2)
2023考研数学高数暑期复习资料：一元函数微分学1500字一元函数微分学是数学高等教育中重要的一门课程，也是数学高考研究生入学考试(简称考研)中的必考内容之一。
在2023考研数学高数暑期复习中，我们可以从以下几个方面进行系统的学习和复习。
一、基础知识梳理1. 函数的概念和性质：包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。
2. 极限和连续：掌握函数极限的定义和性质，熟悉常见函数的极限计算方法，了解函数的连续性与极限的关系。
3. 导数和微分：掌握函数导数的定义和基本性质，熟悉常见函数的导数计算方法，了解导数在函数图像上的几何意义。
4. 高阶导数和高阶微分：了解高阶导数的定义和高阶微分的计算方法，掌握泰勒公式的应用。
二、常用函数的导数计算方法1. 幂函数导数计算：了解幂函数和其导函数的关系，熟悉常见幂函数的导数计算方法。
2. 指数函数和对数函数导数计算：掌握指数函数和对数函数的定义和性质，熟悉常见指数函数和对数函数的导数计算方法。
3. 三角函数导数计算：熟悉常见三角函数的导数计算方法，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
4. 反三角函数导数计算：了解反三角函数的定义和性质，熟悉常见反三角函数的导数计算方法。
三、函数的极限与连续性1. 函数极限的定义和性质：了解函数极限的定义和性质，掌握极限的四则运算和极限存在的判定方法。
2. 函数的连续性：熟悉函数连续性的定义和性质，掌握函数连续性的判定方法和连续函数的运算性质。
四、函数的应用1. 泰勒展开与应用：了解泰勒公式的定义和应用，掌握泰勒展开的计算方法和应用，如利用泰勒展开求函数的近似值和函数的极值等。
2. 函数的最值与最值问题：了解函数的最值概念和性质，掌握函数最值问题的求解方法，包括最大值、最小值和最值的存在性等。
以上是一元函数微分学的暑期复习资料大纲，希望对2023考研数学高数的备考有所帮助。
在复习过程中，可以结合教材和习题进行系统地学习和练习，加深对知识点的理解和掌握。
考研微积分学习指导-一元函数微分学
1.3 导数与微分一、知识要点（一） 导数概念1． 设函数()x f y =在点0x 的某邻域内有定义，当自变量x 在0x 处取得改变量x ∆（0≠∆x ）时，函数相应取得增量00()()y f x x f x ∆=+∆-()()xx f x x f x ∆-∆+→∆000lim存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导，0x 为()x f y =的可导点，并称此极限为函数()y f x =在点0x 处的导数，记为 00000()()limlimx x x x f x x f x yy x x=∆→∆→+∆-∆'==∆∆ 或0()f x '，x x dy dx=，()x x df x dx =2.如果令x x x ∆+=0，则当0→∆x 时，0x x →，于是，导数0()f x '的定义又可以表示为()()()000limx x x f x f x f x x →-='→3.若上述极限不存在，则称()x f 在0x 点处不可导或不存在导数，0x 为()x f 的不可导点.特别当上述极限为无穷大时，此时导数不存在，或称()x f 在点0x 处的导数为无穷大.4.如果函数()x f y =在开区间()b a ,内每一点处都可导，则称()x f y =在()b a ,内可导.此时，对于任意的()b a x ,∈，都存在唯一确定的导数()x f '.因此，()x f '是x 的函数，称为()x f 的导函数，简称为导数.导函数()x f '也可记为y '或dx dy 或()dxx df（二）导数的几何意义1.函数()x f y =在点0x 处可导，则其导数()0x f '为曲线()x f y =在点()()00,x f x 处的切线斜率.特别的，若()00='x f ，则曲线()x f y =在点()()00,x f x 的切线平行于OX 轴;若()∞='0x f ，则曲线()x f y =在点()()00,x f x 的切线垂直于OX 轴.2.曲线()x f y =在点()()00,x f x 处的切线方程为()()000x x x f y y -'=-当()00='x f 时，切线方程为00=-y y 当()∞='0x f 时，切线方程为00=-x x 3.曲线()x f y =在点()()00,x f x 处的法线方程为()()0001x x x f y y -'-=- ()()00≠'x f （三）函数的可导性与连续性的关系1．函数()x f y =在0x 处可导，则在0x 处连续. 因()xyx f x ∆∆='→∆00lim存在，故有()00lim lim lim lim 00000=⋅'=∆∆∆=⎪⎭⎫⎝⎛∆∆∆=∆→∆→∆→∆→∆x f x x y x x y y x x x x . 因此，()x f 在点0x 连续.2.函数()x f 在点0x 连续，()x f 在点0x 不一定可导.（四）求导法则设函数()x u 和()x v 在点x 处可导，则()()u x v x ±、()()u x v x ⋅和()()u x v x 也在该点可导（对于商的情形，要求()0v x ≠）且有。
考研数学考试大纲解析及复习重点一元函数微分学
2016考研数学考试大纲解析及复习重点—一元函数微分学9月18日这个在中国历史上成为转折点的一天，同样也为20XX年参加考研的同学带来了重磅消息—20XX年考研大纲正式发布，下面凯程教育数学教研室老师就按章节来分析大纲的要求以及复习该章节的重点：一、大纲要求:一元函数微分学1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系.2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理.6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间内，设函数具有二阶导数.当时，的图形是凹的;当时，的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形.9.(数一、数二)了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径.二、复习重点本部分的重点归纳起来有四方面：基本概念方面：导数的定义，特别掌握利用导数的定义讨论分段函数在分段点的可导性理论方面：重点是罗尔定理，拉格朗日定理，会通过引入辅助函数，证明中值定理辅助函数的构造技巧性较强，能从所需证明的结论及其变形出发构造函数，要特别注意与函数的单调性和介值定理结合起来的证明题。
计算方面：重点是基本初等函数的导数，微分公式，四则运算的导数、微分公式以及反函数和隐函数的求导公式应用方面：重点是利用导数研究函数的性态，数一、数二注意物理方面的应用，数三注意解决经济问题。
2021考研高等数学重点公式详解-一元微分微分学
＋
一 f一 nn1(一 !x0－) （x-xv0
f
+R
(x)
→ 其中Rn (x)= o[(x-x0 ）吁， （x Xo).
如果取X0 =0，从而泰勒公式变成较简单的形式，称为麦克劳林公式．
－常见的麦克劳林公式z H ＝ ＋ x ＋ x 句，． ＋ x
－ 暗？ 但
xn
．．x e 、， 唱－A 、‘，，，
23
�
n+l
L (l+x)°
=l＋αx
＋
α（α －1)
一一一－
x2
＋
…
＝t，
寺α（α －1）…（α － k+l)
�
n!
xe(-1,1)
四．导数应用 1.函数单调性的判定法
设函数y=f(x） 在［a,b］ 上连续， 在（α，b）内可导，
f (1）如果在徊，b）内 ’（x)>O, 那么函数y=f(x） 在［a,b］上单调增加：
fl 那么称 f(x） #43;2一 x2 )J｜〉
/
(x 1 )+f(x2)，那么称
2
J(x）
在
I上的图形是凸的． (2）曲线凹凸性的判定
定理 设 f(x） 在 ［a,b］上连续，在怡，b） 内具有二阶导数，则
f 1）若在 （a,b）内
’
。）＞0，则
f(x）在［α，b］上的阁形是凹的：
f'(x0)= 』旦艺 ＝』曰 ！（与 ＋艺－ ！（而）
2.左右导数定义
如果＿lim_ X 呻句
f(xx】 )--fx…o(x。 o ) 存在，则称此极限为 J(x）
在点Xo处的左导数，记作／Jxo,)
l － 节. 如果..＇
考研数学真题 第二章 一元函数微分学
′(uf ) 在u x= ϕ( ) 处的值,
′[ϕf ( )]x= f ′(u) u=ϕ( x)
例 2: 设 f (2xx +1) = ln( 2 + 2) ，求 f ′(2x +1) [ f (2x +]1) ′
2 隐 的导
由 程 F(x, y) = 0 决 的
1. 复合 的链式 则
dy y ( f) ,x求 = 的主要 :
d2x
3
⎛dx ⎞
分 程 dy2 + ( y +sin)x ⎜⎝dy
=⎟0 为关于未知 ⎠
y 的 程。
y = f −1(x) x∈ C , y ∈ A
例5 ：设 y = f (2x2 +1) , (x < 0) 的
为 =x ( g) ,y且 f (3) = 0 , f ′(3) =1 , f ′′(3) = 2 ，则 g′′(0) =
2
∫ 例 3（09 年
⎪ ⎧x = 二）:曲线 ⎨
1−t eu2 du
0
( ) ⎪ ⎩y = t 2 ln 2 − t 2
，在点(0 , 0) 处的 线 程为
5
例 4: 设 f ′ (t) 存在且不为 ，求由
⎧x =−tf ′(t) f (t) 程⎨
⎩y = f ′(t)
d2 y
的 的二阶导
.
dx2
例 5:设 f (0) = 0 ，则 f (x) 在 x= 0 可导的 要 件是( )
f (1− cos h)
（A） lim
存在；
h→ 0
h2
f (h −sin h)
（C） lim
存在；
h→ 0
h2
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考研数学一元函数微分学复习指导
来源：文都教育
一元函数微分学在微积分中占有极重要的位置，导数和微分是微分学两个基本概念，是研究函数局部性态的基础，微分中值定理建立了函数和导数之间的关系。
为了便于大家复习，文都考研数学教研室老师帮大家梳理了本章的知识点和常考题型。
【大纲内容】
导数和微分的概念
导数的几何意义和物理意义（数三经济意义）
函数的可导性与连续性之间的关系
平面曲线的切线和法线
导数和微分的四则运算基本初等函数的导数
复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数（数三不要求）的微分法
高阶导数
一阶微分形式的不变性
微分中值定理
洛必达法则
函数单调性的判别
函数的极值
函数图形的凹凸性、拐点及渐近线
函数图形的描绘
函数的最大值和最小值
弧微分、曲率的概念、曲率圆与曲率半径（数三不要求）
【大纲要求】
1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义（数三经济意义），会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系.
2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.
3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.
4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数（数三不要求）以及反函数的导数.
5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理（数三了解），了解并会用柯西(Cauchy)中值定理.
6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.
7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用.
8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间(),a b
内，设函数
()
f x
具有二阶导数。
当
()
''0
f x>
时，
()
f x
的图形是凹的;当
()
''0
f x<
时，
()
f x
的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、
铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形.
9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径.（数三不要求）
【常考题型】
1.导数概念；
2.求给定函数的导数或微分（包括高阶导数）隐函数和由参数方程确定的函数求导；
3.函数的单调性和极值；
4.曲线的凹凸性与拐点；
5.利用微分中值定理证明有关命题和不等式或讨论方程在给定区间内的根的个数；
6.利用洛必达法则求极限；
7.几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用题。
解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间。