数值分析习题
数值分析试题与答案
一、单项选择题（每小题3分,共15分）1. 和分别作为π(de)近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰,则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y (de)拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0,()110l x =B ．()00l x ＝0,()111l x =C ．()00l x ＝1,()111l x = D ．()00l x ＝1,()111l x =4. 设求方程()0f x =(de)根(de)牛顿法收敛,则它具有（ ）敛速.A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到(de)第3个方程（ ）.A ．232x x -+=B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+=D ．230.5 1.5x x -=-二、填空题（每小题3分,共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ,2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时,科茨系数()()()33301213,88C C C ===,那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ,所以()0f x =在区间内有根.5. 取步长0.1h =,用欧拉法解初值问题()211y y yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩(de)计算公式 .0,1,2分 人三、计算题（每题15分,共60分）1. 已知函数211y x =+(de)一组数据：求分段线性插值函数,并计算()1.5f (de)近似值.1. 解 []0,1x ∈,()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=---[]1,2x ∈,()210.50.20.30.81221x x L x x --=⨯+⨯=-+--所以分段线性插值函数为()[][]10.50,10.80.31,2x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩ ()1.50.80.3 1.50.35L =-⨯=2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1） 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2） 对于初始值()()00,0,0X =,应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X （保留小数点后五位数字）.1.解 原方程组同解变形为1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m =高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩ (0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间(de)近似根（1）请指出为什么初值应取2 （2）请用牛顿法求出近似根,精确到. 3. 解()331f x x x =--,()130f =-<,()210f =>()233f x x '=-,()12f x x ''=,()2240f =>,故取2x =作初始值4. 写出梯形公式和辛卜生公式,并用来分别计算积分111dxx+⎰.四、证明题（本题10分）确定下列求积公式中(de)待定系数,并证明确定后(de)求积公式具有3次代数精确度()()()()1010hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰证明：求积公式中含有三个待定系数,即101,,A A A -,将()21,,f x x x =分别代入求一、 填空（共20分,每题2分）1. 设2.3149541...x *=,取5位有效数字,则所得(de)近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---,()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商 ()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ,=∞||||X .4．求方程 21.250x x --= (de)近似根,用迭代公式 1.25x x =+,取初始值 01x =, 那么 1______x =。
数值分析课后习题答案
0 1
0 10 1 1 0 0 0 1
0 0 12 1 1 2 0 0 0
1 2
0 0 0 1 1 0
1 2
1 2
1 2
1
0 0 0 1 0
1 2
1 2
0
1 2
1 2
0
0
0
341 1 1
2-5.对矩阵A进行LDLT分解和GGT分解，并求解方程组
Ax=b，其中
16 4 8
1
A 4 5 4 , b 2
8 4 22
3
解
16 A 4
4 5
84
44 11
2-3(1).对矩阵A进行LU分解,并求解方程组Ax=b,其中
2 1 1 A1 3 2
4 ,b6
1 2 2
5
解
2 A 1
1 3
1 2
2 11
22
1
5 2
1
3 21来自，所以 A12
1
2 1 1
5 3
2-2(1).用列主元Gauss消元法解方程组
3 2 6x1 4 10 7 0x2 7 5 1 5x3 6
解
3 2 6 4 10 7 0 7 10 7 0 7
r1r2
消元
10 7 0 7 3 2 6 4 0 0.1 6 6.1
r=0.5101-n/3.162…<0.5101-n/3<0.01% 因此只需n=5.即取101/2=3.1623
数值分析习题含答案
x1 )
f (x0)
(x
x 0 )( x x0 x1
x1 )
f ' ( x0 )
(x ( x1
x0)
2 2
x0 )
f ( x1 )
R ( x)
其中 R(x) 由以下计算得到： 构造辅助函数：
(t ) f (t ) N 2 (t ) (t (x x0 ) (t x0 ) ( x
2 2
x1 ) x1 )
f [ 2 ,2 ] =-2089 ，
0 1 2 7
0 1 7
f (x)
M ,
x
[ a , b ] ，证明：在任意相邻两节点间
R1 ( x )
1 8
Mh
2
。
x xi x xi M
1
f ( ) R1 i ( x ) 2 M 8 h 2,
h ,
2
x
8 ,n
[ xi , xi
1
]
R1 ( x )
max R1 i ( x )
1 2
s
2
[( x
xi
1
))( x
x
i
1 2
)( x
x i )]
e
4
h
3
[ s( s
1)( s
1)] 24
3 9
e h
4
3
10
6
3!
8
h
1 . 317
则用二次插值的步长应：
h
0 .6585
10
2
2-6 对区间 [a,b] 作步长为 h 的剖分，且 做线性插值，其误差限为 证明：区间上的误差限： 误差限： 2-7 设 f ( x ) 解： 自变量 1 2
数值分析期末试题及答案
数值分析期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法不是用于求解线性方程组的？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比法D. 追赶法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法属于：A. 多项式插值B. 样条插值C. 线性插值D. 非线性插值答案：A3. 以下哪个选项不是数值分析中的误差来源？A. 截断误差B. 舍入误差C. 计算误差D. 测量误差答案：C4. 在数值积分中，梯形法则的误差项是：A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 牛顿插值法中，插值多项式的一般形式为：______。
答案：f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + ...2. 牛顿迭代法求解方程的根时，迭代公式为：x_{n+1} = x_n -f(x_n) / __________。
答案：f'(x_n)3. 在数值分析中，______ 用于衡量函数在区间上的近似积分值与真实积分值之间的差异。
答案：误差4. 线性方程组的解法中，______ 法是利用矩阵的LU分解来求解。
答案：克兰特三、解答题（每题10分，共60分）1. 给定函数f(x) = e^(-x)，使用拉格朗日插值法，求x = 0.5时的插值值。
解答：首先选取插值节点x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1，对应的函数值分别为f(0) = 1, f(0.5) = e^(-0.5), f(1) = e^(-1)。
拉格朗日插值多项式为：L(x) = f(0) * (x-0.5)(x-1) / (0-0.5)(0-1) + f(0.5) * (x-0)(x-1) / (0.5-0)(0.5-1) + f(1) * (x-0)(x-0.5) / (1-0)(1-0.5)将x = 0.5代入得：L(0.5) = 1 * (0.5-0.5)(0.5-1) / (0-0.5)(0-1) + e^(-0.5) * (0.5-0)(0.5-1) / (0.5-0)(0.5-1) + e^(-1) * (0.5-0)(0.5-0.5) / (1-0)(1-0.5)计算得L(0.5) = e^(-0.5)。
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9
1
xdx T4
h[ 2
f
1
3
2 k 1
f
xk
f
9]
2[ 1 2 3 5 7 9] 2
17.2277
（2）用 n 4 的复合辛普森公式
由于 h 2 ， f x
x
，
xk
1
2k k
1, 2,3，
x
k
1
2
2k k
0,1, 2,3，所以，有
2
3
9
1
xdx S4
h[ 6
f
1
若 span1, x，则0 (x) 1 ，1(x) x ，这样，有
2
1
0 ,0 1dx 1
0
1,1
1 0
x2dx
1 3
0
,1
1,0
1
0
xdx
1 2
1
f ,0 exdx 1.7183
0
1
f ,1 xexdx 1
0
所以，法方程为
1
1
1
2 1
a0
a1
1.7183 1
1 0
1
23
2 1
a0
a1
6 1
12
3
再回代解该方程，得到
a1
4
，
a0
11 6
故，所求最佳平方逼近多项式为
S1*
(
x)
11 6
4x
例 3、 设 f (x) ex ， x [0,1] ，试求 f (x) 在[0, 1]上关于 (x) 1 ， span1, x的最
佳平方逼近多项式。 解：
1
4
x1
1 5
数值分析期末考试题及答案
数值分析期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 插值法D. 傅里叶变换答案：B2. 以下哪个选项不是数值分析中的误差类型？A. 舍入误差B. 截断误差C. 测量误差D. 累积误差答案：C3. 多项式插值中，拉格朗日插值法的特点是：A. 插值点必须等距分布B. 插值多项式的次数与插值点的个数相同C. 插值多项式是唯一的D. 插值多项式在插值点处的值都为1答案：B4. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解非线性方程？A. 辛普森法则B. 牛顿迭代法C. 欧拉法D. 龙格-库塔法答案：B5. 以下哪个是数值稳定性的指标？A. 收敛性B. 收敛速度C. 条件数D. 误差传播答案：C二、简答题（每题10分，共20分）1. 简述高斯消元法求解线性方程组的基本原理。
答案：高斯消元法是一种直接解法，通过行变换将增广矩阵转换为上三角形式，然后通过回代求解线性方程组。
它包括三个基本操作：行交换、行乘以非零常数、行相加。
2. 解释什么是数值稳定性，并举例说明。
答案：数值稳定性是指数值解对输入数据小的扰动不敏感的性质。
例如，某些数值方法在计算过程中可能会放大舍入误差，导致结果不可靠，这样的方法就被认为是数值不稳定的。
三、计算题（每题15分，共30分）1. 给定线性方程组：\[\begin{align*}x + 2y - z &= 4 \\3x - y + 2z &= 1 \\-x + y + z &= 2\end{align*}\]使用高斯消元法求解该方程组，并给出解。
答案：首先将增广矩阵转换为上三角形式，然后回代求解，得到\( x = 1, y = 2, z = 1 \)。
2. 给定函数 \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \)，使用拉格朗日插值法在\( x = 0, 1, 2 \) 处插值，并求出插值多项式。
《数值分析》练习题及答案解析
《数值分析》练习题及答案解析一、单选题1. 以下误差公式不正确的是（ D ）A ．()1212x x x x ∆-≈∆-∆B ．()1212x x x x ∆+≈∆+∆C ．()122112x x x x x x ∆≈∆+∆D ．1122()x x x x ∆≈∆-∆ 2. 已知等距节点的插值型求积公式()()352kkk f x dx A f x =≈∑⎰，那么3kk A==∑（ C ）A ．1 B. 2 C.3 D. 4 3.辛卜生公式的余项为（ c ）A ．()()32880b a f η-''-B ．()()312b a f η-''-C ．()()()542880b a f η--D ．()()()452880b a f η--4. 用紧凑格式对矩阵4222222312A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦进行的三角分解，则22r ＝（ A ） A ．1 B ．12C ．–1D ．–25. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ D ） A ．()00l x ＝0,()110l x = B ． ()00l x ＝0，()111l x = C ．()00l x ＝1，()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x =6. 用二分法求方程()0f x =在区间[],a b 上的根，若给定误差限ε，则计算二分次数的公式是n ≥（ D ）A ．ln()ln 1ln 2b a ε-++ B. ln()ln 1ln 2b a ε-+-C.ln()ln 1ln 2b a ε--+ D. ln()ln 1ln 2b a ε--- 7.若用列主元消去法求解下列线性方程组,其主元必定在系数矩阵主对角线上的方程组是（ B )A ．123123123104025261x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=-⎩ B 。
数值分析习题
习题11. 填空题(1) 为便于算法在计算机上实现，必须将一个数学问题分解为 _________ 的 _______ 运算; (2) 在数值计算中为避免损失有效数字，尽量避免两个 _________ 数作减法运算；为避免误差的扩大，也尽量避免分母的绝对值 ______________ 分子的绝对值；(3) 误差有四大来源，数值分析主要处理其中的 __________ 和 ___________ ; (4) 有效数字越多•相对误差越_________ ;2. 用例1.4的算法计算価•迭代3次•计算结果保留4位有效数字.3. 推导开平方运算的误差限公式，并说明什么情况下结果误差不大于自变量误差.4. 以下各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似数，指出它们的有效数位、误差限和相对误差限.斗=0.3040, x 2 =5.1x10% 兀=400,些=°・°°3346, x 5 = 0.875x 1Q-55. 证明1.2.3之定理1. 1.6. 若钢珠的的直径d 的相对误差为1.0%,则它的体积卩的相对误差将为多少。
(假定钢珠为 标准的球形)7. 若跑道长的测量有0.欣的误差，对400m 成绩为60s 的运动员的成绩将会带来多大的误差和相对误差.8. 为使J 亦的近似数相对误差小于0. 05%,试问该保留几位有效数字.9. 一个园柱体的工件•直径d 为10・25±0・25mm.高力为40. 00± 1.00mm •则它的体枳卩的近 似值、误差和相对误差为多少.10证明对一元函数运算有并求出/(x) = tanx,x = 1.57时的k 值，从而说明/(x) = tanx 在人任彳时是病态问题.11. 定义多元函数运算s =》g,其中工q =1，£(舌)“,r-l求出w(S)的表达式，并说明q 全为正数时，计算是稳定的，q 有正有负时，误差难以控制.12. 下列各式应如何改进•使计算更准确：其中"(4) y = ^p'+q 2 - P, (p>O,q>O,p»q)习题21. 填空题(1) Gauss 消元法求解线性方程组的的过程中若主元素为零会发生 _______________ 主元素的绝对值太小会发生 ___________ ;(2) Gauss 消元法求解线性方程组的计算工作量以乘除法次数计大约为 ___________ .平方根法求解对称正定线性方程组的计算工作量以乘除法次数计大约为 __________ ;(3) 直接£〃分解法解线性方程组时的计算量以乘除法计为 __________ ,追赶法解对角占优的三对角方程组肘的计算量以乘除法计为 _____________ ；⑷ ；)阀二——•114= ------- ・——；t 0(5) A =yt > 1 p{A) _________ , cond 2(A) = _________I"丿(6) A = b 9c > b > a > 0 p{A) _______________ , cond ?(A) = ________4. 用Gauss —Jordan 消元法求:(卜l 《l)f 1 1 -1)T(1)八1 2 -2 ,b =1一2 1 1 丿丄2 6、3(1)心10 -7 0 ,b = 7< 5 -1 5丿r4 3 2 r3 4 3 21(2) A =•—2 3 4 3 -1<1 2 3 4;r0 2 0 1、2 232-2 (2) A =b =4-3 01-76 1 -6-56 ,(i) y =⑵y =1l — x(心1)2・用Gauss 消元法求解下列方程组Ax = b3.用列主元消元法解下列方程组Ax = b.2 1 0 J -1 o>5. 用直接厶U 分解方法求1题中两个矩阵的厶（/分解，并求解此二方程组.6. 用平方根法解方程组Ax = b<3 2 1、‘4、2 2 1 ,b = 3J 1 1丿O7.用追赶法解三对角方程组Ax = b2 -1一1 2 0-I0 0 0T0 A = 0 一1 2 -1 0 ,b = 00 0 -1 2 -1<0 0 0 -1 2丿©8. 证明:（1） 单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵. （2） 两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵. 9. 由厶=却冴・・£［「（见（2. 18）式），证明：10 •证明向量范数有下列等价性质: （1）14^14^14⑶|HL<H 2<^Kii. 求下列矩阵的||州删2，lkt“（q ）.81 3、(2) A= 1 10 2、3 26,12. 求 cond 2 (A)1 A = 1-13)2丿'13. 证明:⑴若A 是正交矩阵，即A rA = /f 则cond 2(A) = l ； (2)若A 是对称正定阵，心是A 的最大特征值，人是最小特征值，则cond 2(A )=习题31. 填空题：(1) 当A 具有严格对角线优势或具有对角优势且 ____________ 时，线性方程组Ax=b 用Jacobi 迭代法和Gauss —Seidel 迭代法均收敛； (2) 当线性方程组的系数矩阵力对称正定时, ___________ 迭代法收敛. (3) 线性方程组迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵的 _________ 小于1; S0R 法收敛的必要条件是 ______________ ;(4) 用迭代法求解线性方程组，若⑷，q _______________ 时不收敛，g 接近 _______ 时收 敛较快，g 接近 _______ 时收敛较慢；(5)(1 \\A= ?，$= _________ : Bs = _______ ； Q(坊)= _______ ； °(块)= ___ ・2. 用Jacobi 迭代法和Gauss —Seidel 迭代法求解方程组V 1 0、'3 ''-81 1 丫和‘1、 (1)1 2 1= -5 ; (2)1-5 1 x 2 = 16W 1 2,宀< 1 1 -仏丿6各分量第三位稳定即可停止.3•庄SOR 法解方程组，取60 = 0.9 ,与取CO = 1 (即Gauss-Seidel 法)作比较.(32 1]/ \<-5> -5 7 3 £ = 13 2 \ -5 7 /<X 3>4・下面是一些方程组的系数阵，试判断它们对Jacobi 迭代法，Gauss-Seidel 迭代法的收 敛性"5 2 1(\ 2) 1 3 2 ; ⑵…13 21 1 2\ / (1)flOO 99、99 9J(2) COS0A --sin& COS0 y6•设‘1 a 宀A= a 1 a ,d 为实数;⑴a 1；(1) 若q 正定，a 的取值范围；(2) 若Jacobi 迭代法收敛，a 的取值范围.习题41. 填空题：(1) 毎法主要用于求一般矩阵的 __________________ 特征值，Jacobi 旅转法用于求对称矩阵的 ______ 待征值；(2) 古典的Jacobi 法是选择 ______________ 的一对 _____________ 元素将其消为零； (3) Q?方法用于求 ___________ 矩阵的全部特征值，庾黑法加上原点平移用于一个近似特征值的 _________ 和求出对应的 ______________ ■2. 用嫁法求矩阵•〔6 2 1'-4 14 0、⑴ 2 3 1, (2)-5 13 0,1 1 1、-1 0 2 丿按模最大的特征值和对应的特征向量，精确到小数三位.-11 11 1 '3.已知： A= 11 9 -2< 1—2 13>"-2 1 0 0'21 2、1 -2 10 1 2 1 ;(4)1 -2 1-2 1 2\、01 -2；10 -1 I —1 -1 _i -r -1 -15 -1 -1 10；5.方程组a\\ 如、 / 、 丙=*<U2\ “22丿 1兀丿如证明用Jacobi 迭代法收敛的充要条件是:5 -1取t =15,作原点平移的幕法，求按模最大特征值.‘4 1 4、4.A= I 10 1、4 1 10,用反無法加原点平移求最接近12的特征值与相应的特征向量，迭代三次.5.若A的特征值为人，易，…，九,r是一实数，证明：人―『是〃的特征值，且特征向量不变.6.已知x =(3,2,l)7求平面反射阵H使y = Hx=(0,*,0)‘，即使x的1, 3两个分量化零.5 3 2、7.A= 3 3 1<2 1 6丿试用Jacobi 转法求作一次症转，消去最大的非对角元，写出旋转矩阵，求出〃角和结果./ r 0(3x2)、8.设已知2是人的特征值，相应的特征向量为(4卫2,6)丁，证明几也是丁的特征值，相应的特征向量为(坷,《2，偽,0,0『.9.证明定理4. 5.10.证明(4. 21)中的A,.和£+1相似.习题51.填空題(1)用二分法求方程x3+x-l = 0在［0,1］内的根，迭代一次后，根的存在区间为___________ ,迭代两次后根的存在区间为_____________ ；(2)设/(x)可微，则求方程x = /(%)根的Newton迭代格式为______________________ ;(3)(p(x) = x + C(x2-5),若要使迭代格式x k+} =(p(x k)局部收敛到a = >/5 ,则C取值范围为_____________ ;(4)用迭代格式x k+l=x k-AJ\x k )求解方程f(x) = x3-x2-x-\ = 0的根，要使迭代序列｛忑｝是二阶收敛，则心二;2 1(5)迭代格式兀+|=二忑+斗收敛于根a二_______________ ,此迭代格式是__________ 阶收3 x k敛的.2.证明Newton迭代格式(5. 10)满足3.方程/一9十+ 18尢一6 = 0, xe［0,+oo)的根全正实根，试用逐次扫描法(出1),找出它的全部实根的存在区间，并用二分法求出最大实根，精确到0.01.4.用二分法求下列方程的根，精度£ = 0・001・仃)x-x+4=0(2) b+10x — 2 = 0 xe[0J]5.用迭代法求X3-2X-5= 0的正根，简略判断以下三种迭代格式:在x() = 2附近的收敛情况，并选择收敛的方法求此根.精度£ = 10_.6.方程= e~x(1)证明它在(0,1)区间有且只有一个实根；(2)证明x k+i = e~Xt,k = 0,1,---,在(0,1)区间内收敛;(3)用Newton迭代法求出此根,精确到5位有效数字.7.对方程X3-3X-1=0,分别用(1)Newton法(州=2)； (2)割线法(观=2,召=1.9)求其根.精度f = 10~4.8.用迭代法求下列方程的最小正根(1) x5 -4x-2 = 0: (2) 2tanx—x = 0 ；(3) x = 2sinx9.设有方程3x2-e x=0(1)以力=1,找出根的全部存在区间；(2)验证在区间［0,1］上Newton法的区间收敛定理条件不成立；⑶ 验证取x() = 0.21 ,用Newton法不收敛;(4)用Newton下山法，取x()=0.21求出根的近似值，精度£ = 10_・10.分别用Jacobi法,Gauss—Seidel法求解非线性方程组\+2y-3=0<2x2 + y2-5 = 0在(1.5,0. 7)附近的根,精确到IO-4.11.分别用Newton法,简化Newton法求解非线性方程组sin x + cos y = 0<x+y = l在(0,1)附近的根,精确到10*.习题61.填空題(1)设J\x) = x5+x3+x + \ ,则 /[0,1]______________ , /[0,1,2]= _________________ /[0,1,2,3,4,习= ___________ : /[0,1,2,3,4,5,6] = ________________ .(2)设?o(x)，/i(x),…,/”(%)是以节点0,1,2, •••,/?的Lagrange 插值基函数,则£儿(羽= _______________；£旳伙)= _______________ •;-() J-0(3)设/(0) = 0,/⑴=16,/(2) = 46,则/[0,1]= ____________ , /[0,1,2]= ____________ ,/(X)的二次Newton插值多项式为________________________ ・2.3-利用心在“畤能及壬处的值，求S哙的近似值，并估计误差.4.利用数据计算积分［千，当二时的兀的取值.5.试用Newton插值求经过点(一3,-1), (0,2), (3,-2), (6,10)的三次插值多项式.6.求满足Pg) = f(Xo),P(xJ = f(xJ及Pg = f(XQ)的次数不超过2次的插值多项式Pg,并给出其误差表达式.7.设比是互异节点,3 是Lagrange插值基函数(j =0,1,2,,证明(1)£<,(%)三1；(2)$>乂(力三十伙=0,1,2,…丿)；(3)£(◎一x)k/丿(x)三0 仏=0,1,2,•••/).8 •设有如下数据试计算此表中函数的差分表，并分别利用Newton向前，向后插值公式求出它的插值多项式. 9.试构造一个三次Hermite插值多项式使其满足/(0) = 1,广(0) = 0.5, /(1) = 2,广⑴=0.510・已知函数/(X)的数据表分别用Newton向前插值公式和向后插值公式求x=0. 05, x二0. 42, X二0. 75的近似值.11.对函数f(x) = sinx进行分段线性插值，要求误差不超过0.5x10"，问步长力应如何选取.12.设有数据用三转角插值法求满足下述条件的三次样条插值函数(1)570.25) = 1.0000 , 570.53) = 0.6868(2)S"(0.25) = —2 , S"(0.53) = 0.647913.证明定理6.6.习题81 •填空題⑴ “+1个点的插值型数值积分公式f 的代数精度至少是_____ ,最高不超过__________ .(2)梯形公式有______ 次代数精度，Simpson公式有______ 次代数精度.(3)求积公式打⑴川細(0)+ /(/?)]+ 加[八0)_/伽中的参数& =时，才能保证该求积公式的代数精度达到最高，最高代数精度为__________ •2.确定下列求积公式的求积系数和求积节点，使其代数精度尽量高，并指出其最高代数精度.(1)『/(X)厶a A)/(0) + AJ(//) + A2f(2h)f(f(x)dx q+ 2/(“) + 3/(x2)]⑶£ f(x)dx = A/(-D + AJ (-# + A J(4) jj Mdx a AJ(x{) + A2/(0) + AJ(l)⑸[/⑴厶« f(xj + f(x2)3.分别利用复化梯形公式，复化Simpson公式，复化Cotes公式计算下列积分(1)「一3 二8)Jo4 + x2(2)^yfxdx (n =10)(3)("=io)(4)(弘—抽讼・5二6)(5)P —Jx (/? =8)J() x4.用Romberg公式计算枳分(1) 丄(精度要求£ = 10一‘)⑵佃 + cos4xdx(精度要求£ = 10-5)5.分别取节点数为2, 3, 4利用Gauss—Legendre求积公式计算积分(1) 「一厶，(2) 「八心，(3) f-dxJ T I+ Q血Ji X6.利用Gauss型求积公式，分别取节点数2, 3, 4计算积分(1) £e~x yfxdx , (2) J e~x <1 + x2 dx7.用节点数为4的Gauss —Laguerre求积公式和Gauss—Hermite求积公式计算积分的近似值，并与准确值/=—作比较・28.分别用两点公式与三点公式求f(x)=一在x=l・0,x二1.2的导数值，并估计误差, (l + x)・其中/(x)的数据由下表给出习题91.填空題(1)解初值问题的Euler法是________ 阶方法，梯形方法是 _____ 阶方法，标准R-K方法是_____ 阶方法.(2)解初值问题#(x) = 20(x—y),y(O) = 1时，为保证计算的稳定性，若用经典的四阶R-K方法，步长0V/Y ________ ・采用Euler方法，步长力的取值范围为______ ,若采用Euler 梯形方法，步长力的取值范围为_______ 若采用Adams外推法，步长力的范围为________ ,若采用Adams内插法，步长方的取值范围为__________ .(3) __________________________________________ 求解初值问题Euler方法的局部截断误差为_____________________________________________ Euler梯形方法的局部截断误差为_____________ , Adams外推法的局部截断误差为_______________ Adams内插法的局部截断误差为_____________ .2.对初值问题1 ?/ = ----- -2y~0<x<l1 + JC.y(o)= oX试用Euler法取步长〃二0. 1和“二0.2计算其近似解，并与准确解y =—匚进行比较.1 + JC3.利用Euler预测一校正法和四阶经典R-K方法，取步长h=Q. 1,求解方程y f = x+y 0<x<\y(O) = 1并与准确解y(x) = -x-\ + 2e x进行比较.4.用待定系数法推导二步法公式>\+1 = y> + ~ (5齐+1 + 一Z-i)并证明它是三阶公式，求出它的局部截断误差.5.用Adams预测一校正法求解y = -y20 < X < 1.y(o)= 1并与准确解y(x)=—进行比较.1 + x6.用Euler中点公式计算y f = -y O< x< 2.5y(O) = 1取步长/?=0. 25,与准确解>'=比较，并说明中点公式是不稳定的.7.写出用经典的R-K方法及Adams预测一校正法解初值问题)/ = _8y + 7z< z，=兀2 + yzy(O) = l,z(O) = O的计算公式.8.写出用Euler方法及Euler预测一校正法解二阶常微分方程初值问題),/r + siny = 0y(O) = 1, V(O) = 0的计算公式.9.证明用单步法y1+i = X+呵兀+£, x+,x)解方程= -2ax的初值问题，可以给出准确解.。
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xk
2 2.5 3
4
5 5.5
yk
4 4.5 6
8
8.5
9
试用直线拟合这组数据. (计算过程保留 3 位小数)。（最小二乘线性逼近）
6 用最小二乘原理求一个形如 y a bx2 的经验公式,使与下列数据相拟合。
xk 19 25 31 38 44
yk （最小二乘二次逼近）
19 32.3 49 73.3 97.8
)
n
试证明
x
k j
l
j
(x)
xk
( k 0,1,...n ) 。（拉格朗日插值基函数的性质）
j0
4 已知 sin 0.32 0.314567, sin 0.34 0.333487, sin 0.36 0.352274，用抛物线插值计
算 sin 0.3367的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值）
5
用余弦函数 cos x 在 x0
0 ， x1
4
， x2
2
三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值
多项式, 并近似计算 cos 及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉格朗 6
日二次插值）
6 已知函数值 f (0) 6, f (1) 10, f (3) 46, f (4) 82, f (6) 212 ，求函数的四阶均差
f [0, 1, 3, 4, 6]和二阶均差 f [4, 1, 3] 。（均差的计算）
7 设 f (x) (x x0 )( x x1 )(x xn ) 求 f [x0, x1 x p ] 之值，其中 p n 1 ，而节点
xi (i 0,1,n 1) 互异。（均差的计算）
8 如下函数值表
给出。(2)写出余项 R(x) f (x) H (x) 的表达式。（埃尔米特插值及其余项的计算）。
12 若 f (x) c2[a,b], f (a) f (b) 0 ，试证明：
max | f (x) | 1 b a2 max | f (x) |（插值余项的应用）
a xb
8
a xb
13 设 f (2) 1, f (0) 1, f (2) 2, 求 p(x) 使 p(xi ) f (xi ) ( i 0, 1, 2 ) ；
x
0
1
2
4
f (x)
1
9
23
3
建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造）
9 求一个次数小于等于三次多项式 p(x) ，满足如下插值条件： p(1) 2 ， p(2) 4 ，
p(2) 3 ， p(3) 12 。（插值多项式的构造）
2
10 构造一个三次多项式 H (x) ，使它满足条件 H (0) 1, H (1) 0, H (2) 1, H (1) 1（埃
上的最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近） 3 证明：切比雪夫多项式序列
Tk (x) cos(k arccos x)
在区间 1,1上带权 (x) 1 正交。（正交多项式的证明）
1 x2
4
求矛盾方程组：
x1 x1
x2 3 2x2 4
的最小二乘解。（最小二乘法）
x1
x2
2
5 已知一组试验数据
效数字？（有效数字的计算）
4 设 x 0， x 的相对误差为 ，求 ln x 的误差和相对误差？（误差的计算） 5 测 得 某 圆 柱 体 高 度 h 的 值 为 h* 20cm ， 底 面 半 径 r 的 值 为 r* 5cm ， 已 知
| h h* | 0.2cm ， | r r * | 0.1cm ，求圆柱体体积 v r 2h 的绝对误差限与相对误差
2 已知 y x, x0 4, x1 9，用线性插值求 7 的近似值。（拉格朗日线性插值）
3 若 x j ( j 0,1,...n) 为互异节点，且有
l
j
(x)
(x
(x j
x0 )(x x1)(x x0 )(x j x1 )(x j
x j1 )(x x j1 )(x j
x
j1 )(x xn ) x j1 )(x j xn
4
第四章 数值积分
习题主要考察点：代数精度的计算，构造插值型求积公式（梯形，辛甫生公式），复化求积
第一章 绪论 习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为 0.5 105 ,那么近似数 0.003400 有几位有效数字？（有效数字的计算） 2 3.14159具有 4 位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 3 已知 a 1.2031，b 0.978是经过四舍五入后得到的近似值，问 a b ，a b 有几位有
限。（误差限的计算）
6 设 x 的相对误差为 a% ,求 y x n 的相对误差。（函数误差的计算） 7 计算球的体积，为了使体积的相对误差限为1% ，问度量半径 r 时允许的相对误差限为多
大？（函数误差的计算）
1
8 设 I n e1 x nIn1 (n 0, 1, 2)
尔米特插值）。
3
11 设 f (x) x 2 , x0 1/ 4, x1 1, x2 9 / 4 。(1)试求 f (x) 在 1/ 4, 9 / 4上的三次埃尔米
特插值多项式 H (x) ，使得 H (x j ) f (x j ), j 0,1,2, H (x1 ) f (x1 ) ， H (x) 以升幂形式
（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计 算方法的比较选择）
1
第二章 插值法
习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插
值余项的计算和应用。
1 已知 f (1) 2, f (1) 1, f (2) 1，求 f (x) 的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值）
又设 | f (x) | M ，则估计余项 r(x) f (x) p(x) 的大小。（插值误差的估计）
3
第三章 函数逼近
习题主要考察点：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。
1 设 f (x) sin x ，求 f (x) 于[0, 1] 上的线性最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近）
2 令 f (x) e x , 1 x 1，且设 p(x) a0 a1x ,求 a0 , a1 使得 p(x) 为 f (x) 于[1, 1]