韩信点兵与中国剩余定理

这就是《孙子算经》中“物不知其数” 一题的解，有无穷多解，最小的正整数解是 23（ k 2 时）。
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x 3n1 1 (1); x 5n2 x 7n 3
y 3n1 y 5n2 1 (2); y 7n 3
z 3n1 (3) z 5n2 z 7n 1 3
y 3n1 y 5n2 1 (2); y 7n 3
z 3n1 (3) z 5n2 z 7n 1 3
（1）式意味着，在5和7的公倍数中（35，70， 105，…）寻找被3除余1的数； （2）式意味着，在3和7的公倍数中（21，42， 63，…）寻找被5除余1的数； （3）式意味着，在3和5的公倍数中（15，30， 45，…）寻找被7除余1的数。
用等式两边减23来求解，有
x 23 3(n1 7) x 23 5(n2 4) x 23 7(n 3) 3 x 23 k [3,5, 7] k 105 x 105k 23, k 0,1, 2,3,
③ 求“用2，3，4，5，6，7，8，9除 都余1”
的数。
④ 求“用5，7，9，11 除都余2”的数。
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2．《孙子算经》中“有物不知其数” 问题的解答
问题:今有物不知其数，
三三数之剩2，
五五数之剩3，
七七数之剩2，
问物几何？
1）筛法.
2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，…（用3除余2）
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对（1）式而言，这个数可以取70，对（2）式而言，这个
数可以取21，对（3）式而言，这个数可以取15。
x 3n1 1 (1); x 5n2 x 7n 3
y 3n1 y 5n2 1 (2); y 7n 3
z 3n1 (3) z 5n2 z 7n 1 3
X=6k-1, k=1,2,3,4,……
问题： 今有物不知其数，二二数之剩1，三三
数之剩2，四四数之剩3，五五数之剩4，六六
数之剩5，七七数之剩6，八八数之剩7，九九 数之剩8，问物几何？
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②寻找规律
设问题中，需要求的数是 于是我们把被除数
x ，则 x 被2，3，4，
x 1 是
5，6，7，8，9去除，所得的余数都是比除数少1， 4，5，6，7，8，9均整除。也就是说，
然后韩信就凭这些数，可以求得这队士兵的总人数。
2
2.《孙子算经》中的题目
3
二．问题的解答
1．从另一个问题入手
问题：今有物不知其数，二二数之剩1，三三
数之剩2，四四数之剩3，五五数之剩4，六六数
之剩5，七七数之剩6，八八数之剩7，九九数之 剩8，问物几何？
1）筛法
1，3，5，7，9，11，13，15，17，19， 21，23，25，… （ 用2除余1）
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（3）式两边同减15变为
z 15 3(n1 5) z 15 5(n2 3) z 15 7(n 2) 2
于是得到
z 15 k3 [3,5,7] k3 105 z 105k3 15, k3 0,1, 2,
5， 11， 17， 23， … （ 用3除余2） 11， 23，… （ 用4除余3）
再从中挑“用5除余4”的数，…
化繁为简的思想
当问题中有很多类似的条件时，我们先只看其中两
三个条件，这就是化繁为简。
一个复杂的问题，如果在简化时仍然保留了原来问
题的特点和本质，那么简化就“不失一般性”。
学会“简化问题”与学会“推广问题”一样，是一 种重要的数学能力。
多了一个“k 0 要求。
” ，因这时 x
也是正数，合
这两组解是一样的，都是“23，23+105，
23+2×105，……”。
原因是82+23=105，故令k k 1， 第一组解就成为
x 105(k 1) 82 105k 105 82 105k 23
[2,3,4,5,6,7,8,9]的倍数。
x 再加1，则 x 1就可被2，3，
2,3,4,5,6,7,8,9的公倍数，从而是其最小公倍数
x 1 k [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] k
即 x 2520 k 1,k 1, 2, 3,
2520, k
1, 2, 3,
这就是原问题的全部解，有无穷多个解，其中第 一个解是 2519 ；我们只取正数解，因为“物体的 个数”总是正整数。
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[思 ] ： ① 求“用2除余1，3除余2，… 用m除余
m－ 1”的数。
② 求“用a除余a －1，用b除余b－1，用c
除余c－1”的数。
（a,b,c是任意大于1的自然数）
4，…
x 2n1 1 中的x. x 3 n 2 2
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把上边每个方程两边都加上1，成为
x 1 2(n1 1) x 1 3(n2 1)
这说明，
x 1
既是2的倍数，又是3的
倍数，因此，它是 2 与 3 的公倍数。由此想到
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只有前两个条件的简化题目的解为： X+1=k g[2,3], k=1,2,3,4,……
这里，（1），（2），（3）三式分别叫三个“单子因构件”， 分别解得
x 105k1 70 y 105k2 21 z 105k3 15
每个单因子构件，都是用某一个数去除余1，用另两个数去除均 余0的情况。再据题目要求余数分别是2，3，2的情况，凑成
s 2x 3 y 2z
于是（1）式两边同减70变为这样：第二个等式右边仍是5 的倍数，第三个等式右边仍是7的倍数，而第一个等式右边 因为减的70是“用3除余1”的数，正好原来也多一个1，减 没了。第一个等式右边也成为了倍数，是3的倍数。
x 70 3(n1 23) x 70 5(n2 14) x 70 7(n 10) 3
l 1, 2,3
代入试算、分析，
x 2 7h 7(n3 h) (或h 1, 2,3)
最后发现，为达到目的（三个等式的右 边分别是3，5，7的倍数），最小的加
数是82（l=11,5+7l=82 时)（或最小的
减数是23，即当h=3时,2+7h=23)
用等式两边加82来求解，有 x 82 3(n1 28) x 82 k [3,5, 7] k 105 x 82 5(n2 17) x 82 7(n 12) x 105k 82, k 1, 2,3, 3
x 70 k1 [3,5, 7] k1 105 x 105k1 70, k1 0,1, 2,
（2）式两边同减21变为
y 21 3(n1 7) y 21 5(n2 4) y 21 7(n 3) 3 y 21 k2 [3,5, 7] k2 105 y 105k2 21, k2 0,1, 2,
x 105k1 70 y 105k2 21 z 105k3 15
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现在重复一下：所得的x是被3除余1，
被5和7除余0的数；y是被5除余1，被3
和7除余0的数；z是被7除余1，被3和5
除余0的数。
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那么，凑出
s 2x 3 y 2z
，
s 不就是我们需要求的数吗？
天津师范大学初等教育学院 李林波
1、“韩信点兵”的故事
韩信阅兵时，让一队士兵5人一行排队从他面前走过， 他记下最后一行士兵的人数（1人）；再让这队士兵6人一
行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（5 人）；再让这队士兵7人一行排队从他面前走过，他记下 最后一行士兵的人数（4人），再让这队士兵11人一行排 队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（10人）。
x 3n1 1 (1); x 5n2 x 7n 3
y 3n1 y 5n2 1 (2); y 7n 3
z 3n1 (3) z 5n2 z 7n 1 3
x 3n1 1 (1); x 5n2 x 7n 3
于是我们要求的数是
s 2x 3 y 2z 2(105k1 70) 3(105k2 21) 2(1(2k1 3k2 2k3 ) 70 2 21 3 15 2 105k k 2, 1,0,1, 2,3,
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因为，用3去除s时，除y及除z均余0
除3y及除2z均余0，
又除x余1 除2x余2，∴用3除s时余2。
用5去除s时，除x及除z均余0
除2x及除2z均余0，
又除y余1除3y余3，∴用5除s时余3。
用7去除s时，除x及除y均余0

除2x及除3y均余0，
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又除z余1除2z余2， ∴用7除s时余2。
便转化成第二组解。
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但是，这82和23来之不易；并且如果 题目中的余数变了，就得重新试算，所以 这方法缺少一般性，为使它具有一般性，
要做根本的修改。
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3）单因子构件凑成法
x 3n1 2 x 5n2 3 x 7n 2 3 (*)
我们先对（*）式作两个方面的简化：一方面是每次只 考虑“一个除式”有余数的情况（即另两个除式都是整除 的情况）；另一方面是把余数都简化为最简单的1。这样得 到三组方程。
8，23，… 23，… 由此得到，23是最小的一个解。
（用5除余3） （用7除余2）