典型数理方程推导
数理方程公式大全
数理方程公式大集合1. 考察两端固定的弦的自由振动问题● 可得出 X"(x) + l X(x) ＝ 0 在不同的齐次边界条件下的本征函数系(表2-1). 容易发现如下的规律:● (1)若齐次边界条件含X (0)＝0，则本征函数为正弦函数；若齐次边界条件含X ‘ (0) ＝ 0，则本征函数为余弦函数 ● (2)若边界条件为同类齐次边界条件(均为第一类或均为第二类)，则本征函数的宗量为若边界条件属不同类齐次边界条件，则本征函数的宗量为2. 有界长杆的热传导问题3. 二维拉普拉斯方程的边值问题4. 圆域上拉普拉斯方程的边值问题 (化为极坐标)⎪⎩⎪⎨⎧====><<=),()0,( ),()0,( ,0),( ,0),0(),0 ,0( 2x x u x x u t l u t u t l x u a u t xx tt ψϕ sin )cos sin (),(1∑∞=+-=nn n tlxn l at n b l at n a l a n t x u ππππ,sin)(2dx lxn x la ln ⎰=πϕ,sin)(2dx lxn x an b ln ⎰=πψπ⎪⎩⎪⎨⎧===><<= ),()0,( ,0),( ,0),0( ),0 ,0( 2x x u t l u t u t l x u a u xx t ϕ,sin ),(1)(2l x n e a t x u n t l a n n ππ∑∞=-=,sin)(20dx l x n x l a l n ⎰=πϕ⎪⎩⎪⎨⎧====<<<<=+ .0),( ,0),0( ),(),( ),()0,(),y 0 ,0( 0y a u y u x g b x u x f x u b a x u u yy xx sin) (),(1∑∞=-+=n y an n y an n x an eb ea y x u πππ,sin )(20⎰=+an n xdx an x f a b a π,sin)(2⎰=+-ab an n b an n xdx an x g aeb ea πππ11),0(0r r <<5. 圆域内的泊松公式6. 无限长弦自由振动问题的达朗贝尔解为公式其中方程(3)的通解形式为7. 无限长弦强迫振动问题的解为公式和差化积sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]积化和差sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2（注意：此时公式前有负号） cosαcosβ= [cos(α-β)+cos(α+β)]/2 sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)]/2).(|θf u r r ==)20(πθ≤≤.)sin cos (21),(10∑∞=++=n n n n r n b n a a r u θθθ⎰=πθθθπ20cos )(1d n f r a n n ⎰=πθθθπ20sin )(1d n f r b nn), ,2 ,1 ,0( =n ),,2 ,1( =n ),( )(cos 2)(21),(0200220220r r d n r r r r r r f r u <--+-=⎰ϕϕθϕπθπ),0 ,( 2>+∞<<-∞=t x u a u xx tt)()0,( ),()0,(x x u x x u t ψϕ==2)()(),(at x at x t x u ++-=ϕϕ.)(21⎰+-+atx atxd a ααψ).()(),(at x g at x f t x u ++-=(3)),0 ,( ),(2>+∞<<-∞+=t x t x f u a u xx tt )()0,( ),()0,(x x u x x u t ψϕ==2)()(),(at x at x t x u ++-=ϕϕ⎰+-+atx atxd aααψ)(21..),(21)()(⎰⎰-+--+t t a x t a xd d f aτξτξττ222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∆是三维拉普拉斯算子。
初中数学公式推导大全
初中数学公式推导大全1.一次函数的斜率公式一次函数的一般形式为y=ax+b，其中a为斜率。
斜率表达式可以通过求导法则推导得到。
假设有一次函数y=ax+b，我们可以将其写成y=bx+a。
对其求导得到dy/dx=b。
根据斜率的定义，斜率是直线在x轴上的增量与y轴上的增量的比值。
而直线的斜率与斜率为b的导数相等，所以斜率公式可以记作a=b。
2.二次函数的顶点坐标公式二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c。
其顶点坐标可以通过求导法则推导得到。
二次函数的导数为dy/dx=2ax+b，令dy/dx=0，则得到x=-b/2a。
将x=-b/2a带入二次函数的方程中可以求得y，进而得到顶点的坐标。
3.直线的斜截式公式直线的斜截式公式是y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。
斜截式公式可以通过观察直线经过的两个点，利用点斜式公式推导得到。
点斜式公式为(y-y1)=k(x-x1)，其中(x1,y1)为直线上的已知点。
将点斜式公式中的x，y代入直线方程y=kx+b中，可以得到关于k和b的两个方程。
解这两个方程可以得到k和b的值，从而得到斜截式公式。
4.平方差公式平方差公式是(a+b)(a-b)=a^2-b^2平方差公式可以通过差的平方公式推导得到。
差的平方公式为(a-b)^2=a^2-2ab+b^2将差的平方公式中的2ab移项，可以得到(a-b)^2=a^2-b^2-2ab。
将(a-b)^2展开得到a^2-2ab+b^2=a^2-b^2-2ab，进一步化简得到(a+b)(a-b)=a^2-b^25.定积分的面积计算公式定积分可以表示曲线与x轴之间的面积。
对于曲线y=f(x)，在区间[a,b]上的面积可表示为∫[a,b]f(x)dx。
定积分的面积计算公式可以通过拆分区间并计算矩形面积的方法推导得到。
将区间[a,b]分为n个小区间，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n。
在每个小区间上取一点xi，计算对应的高度为f(xi)的矩形面积，即面积Ai=f(xi)Δx。
常见数学公式的推导记忆口诀(完整版)
常见数学公式的推导记忆口诀(完整版)1. 二次方程求根公式：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a2. 三角函数的和差化积公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)3. 三角函数的倍角公式：sin2A = 2sinAcosAcos2A = cos²A - sin²A = 2cos²A - 1 = 1 - 2sin²Atan2A = (2tanA) / (1 - tan²A)4. 指数函数的性质：a^0 = 1a^1 = aa^(-n) = 1 / a^na^(m + n) = a^m × a^n(a^m)^n = a^(m × n)(ab)^n = a^n × b^n5. 对数函数的性质：loga(1) = 0loga(a) = 1loga(1 / a) = -1loga(mn) = loga(m) + loga(n) loga(m / n) = loga(m) - loga(n) loga(m^n) = n × loga(m)loga(b) = logc(b) / logc(a)6. 等比数列通项公式：aₙ = a₁ × r^(n - 1)7. 等差数列前n项和公式：Sₙ = (a₁ + aₙ) × n / 28. 余弦定理：c² = a² + b² - 2abcosC9. 正弦定理：sinA / a = sinB / b = sinC / c10. 高斯消元法：利用矩阵的初等行变换将线性方程组转化为最简形式，进而求得方程组的解。
数学常见知识推导公式大全
数学常见知识推导公式大全1.二次平方差公式：$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$2.平方差公式：$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$3.三次方差公式：$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$4.比例公式：$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$，则有 $ad = bc$5.二次方和公式：$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$6.二次方差公式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$7.三角恒等式：（其中a,b,c为任意角度）余弦定理：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$正弦定理：$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$余切定理：$\frac{\sin(A)}{\cos(A)} = \tan(A)$8.对数运算法则：$\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$$\log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$ $\log_a x^n = n \log_a x$9.二项式公式：$(a + b)^n = \binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \dots + \binom{n}{n-1}ab^{n-1} + \binom{n}{n}b^n$10.指数运算法则：$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$(a^m)^n = a^{mn}$11.对数换底公式：$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$12.圆的面积和周长：圆的面积：$A = \pi r^2$圆的周长：$C = 2\pi r$13.等差数列求和公式：$a_1 + a_2 + \dots + a_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$14.等比数列求和公式：$a_1 + a_2 + \dots + a_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}$，其中$r \neq 1$15.三角函数和差公式：$\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b$$\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b$$\tan(a \pm b) = \frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \tan b}$16.三角函数和差化积公式：$\sin a + \sin b = 2 \sin \left(\frac{a + b}{2}\right) \cos\left(\frac{a - b}{2}\right)$$\sin a - \sin b = 2 \cos \left(\frac{a + b}{2}\right) \sin\left(\frac{a - b}{2}\right)$$\cos a + \cos b = 2 \cos \left(\frac{a + b}{2}\right) \cos\left(\frac{a - b}{2}\right)$$\cos a - \cos b = -2 \sin \left(\frac{a + b}{2}\right) \sin \left(\frac{a - b}{2}\right)$以上是一些常见的数学推导公式。
数学物理方程 第一章典型方程和定解条件
sin ' tan ' u(x dx,t)
x
则
T T'
u
M'
ds
T'
'
M
gds
T
x
x dx x
T
u(
x dx, x
t)
u ( x, x
t
)
gds
ma
T
u(x dx,t) x
u ( x, x
t)
gds
ma
m ds
其中：
a 2u(x,t) t 2
ds dx
T
u(x dx,t) x
微小： 振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。
u
M'
ds
T'
'
M
gds
T
x
x dx x
牛顿运动定律：
横向：T cos T 'cos ' 0
纵向：T sin T 'sin ' gds ma 其中： cos 1 2 4 1
2! 4!
cos ' 1
sin tan u(x,t)
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学与物理的关系
数理不分家
☆ 数学物理方程： 用数学方程来描述一定的物理现象
数学物理方程（简称数理方程）是指自然科学和工程技术的各门 分支学科中出现的一些偏微分方程(有时也包括积分方程、微分方程等)， 它们反映了物理量关于时间的导数和关于空间变量的导数 之间的制约关系。例如声学、流体力学、电磁学、量子力学等等 方面的基本方程都属于数学物理方程的研究对象。
• 如图，取杆长方向为x轴方向，垂直于杆长 方向的各截面均用平行位置x标记；在任一 时刻t，此截面相对于平衡位置的位移为u( x, t )
典型数理方程推导
弦的强迫振动方程为
u 2 u a f ( x , t ), 2 2 t x
2 2
f 0 时，称为弦 的自由振动方程
其中 f ( x , t )
F ( x, t )
x E x
考察弦上一微小元素。设弦 上具有横坐标为 x 的点， 在时刻 t 的位置是 M,位移 NM 记作 u，显然在振动过 程中，位移u是x 和t 的函数 u(x,t)。在弦上任取一小 段 MM ' ，其长为 ds，设 为弦的线密度。
dV 牛顿运动定律： F m dt
一阶非线性齐次
二阶非线性齐次
二.偏微分方程的解
1.古典解：某个连续函数 u 代入偏微分方 程中，能使方程成为恒等式，则这个函数就 是该偏微分方程的古典解(P2)。
2.通解：解中含有相互独立的和偏微分方程 阶数相同的任意常数的解(P2) 。
3.特解：通过定解条件确定了解中的任意常 数后得到的解。
4.形式解：未经过验证的解为形式解。
.
f 0, 齐次方程； f 0, 非齐次方程。
注2：类似地可导出二维波动方程(如薄膜振动)和 三维波动方程(电磁波、声波等传播),其形式为
utt a
2
u
xx
u yy f x , y , t
utt a 2 uxx u yy uzz f x , y , z , t
弦振动模型(1)：
弦振动模型(2)：
弦振动模型(3)：
(3) 微小振动：位移后的弦在任一点上的斜率与1 相比很小；
(4) 横振动：弦的运动发生在同一平面内，弦上各 点沿着垂 直于x 轴的方向移动。
数理方程总结完整版
此方程的特征函数和特征值分别为：
②“左一右二”齐次边界条件的齐次方程： 2 2u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1 1 则
u ( x, t ) (Cn cos
sin
(n 1/ 2) x l
③：“左二右一”齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1
③“左二右一”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1
则
2 2 ( n 1/ 2) ( n 1/ 2) 2 此方程的特征函数和特征值分别为： X ( x) cos x, = = , n 1,2,3... 2 l l
②：“左一右二”齐次边界条件的齐次方程：
2 u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1
a 2 ( n1/2 )2 2 t l2
(n ) a (n ) a (n ) 2 2 2 u ( x, t ) (Cn cos t Dn sin t ) cos x l l l n 1
1
④“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t 2 x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
数学备考中的常用公式及推导过程整理
数学备考中的常用公式及推导过程整理数学备考是许多学生备战考试的重要环节。
在数学备考过程中，熟练掌握和灵活运用各种数学公式是必不可少的。
本文将对数学备考中常用的公式进行整理，并介绍其中的推导过程，以帮助读者更好地理解和应用这些公式。
一、数学备考中的常用公式1.1 代数公式1.1.1 二次方程的求根公式：对于二次方程 ax^2+bx+c=0，其求根公式为：\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]其中，a、b、c分别为二次项系数、一次项系数和常数项。
1.1.2 平方差公式：平方差公式可以用来展开和简化两个数的平方差。
其公式如下：\[(a+b)(a-b)=a^2-b^2\]1.1.3 二项式定理：二项式定理是展开(x+y)^n的公式，其中n为非负整数。
其公式如下：\[(x+y)^n=\sum_{k=0}^nC_n^kx^{n-k}y^k\]其中，\[C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}\]为组合数。
1.2 几何公式1.2.1 直角三角形三边关系：对于直角三角形，根据勾股定理，有以下公式：勾股定理：a^2+b^2=c^2其中，a、b为两个直角边的长度，c为斜边长。
1.2.2 三角函数公式：三角函数公式是数学备考中常用的工具。
以下是一些常用的三角函数公式：正弦函数公式：\[sin(a\pm b)=sinacosb\pm cosasinb\]余弦函数公式：\[cos(a\pm b)=cosacosb\mp sinasinb\]1.3 微积分公式1.3.1 定积分基本公式：定积分的基本公式如下：\[F(x)=\int{f(x)dx}\]其中，F(x)为积分函数，f(x)为被积函数。
1.3.2 泰勒级数公式：泰勒级数可以将一个函数展开为无穷级数的形式，其公式如下：\[f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)(x-a)^2}{2!}+...\]其中，f(x)为函数，f'(a)、f''(a)为函数在点a处的一阶、二阶导数。
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p0
－空气处于平衡状态时的压强，
0 －空气处于平衡状态时的密度。
§1.2.2 热传导方程推导
热传导：物体内各点的温度不同，则热量将从 高温点流向低温点。 设：函数 u(x,y,z,t) 表示物体G 内在位置 (x,y,z) 以及时刻 t 的温度。通过对任意一个小的体积元V 内的热平衡问题的研究，建立方程。 设定:(1)物体内部没有热源； (2)物体热传导系数为常数，即各向同性； (3)物体密度及比热（单位质量物质升高单 位温度所需热量）是常数。
.
f 0, 齐次方程； f 0, 非齐次方程。
注2：类似地可导出二维波动方程(如薄膜振动)和 三维波动方程(电磁波、声波等传播),其形式为
utt a
2
u
xx
u yy f x , y , t
utt a 2 uxx u yy uzz f x , y , z , t
一.一维热传导方程推导 1.问题：
（1）考察一根均匀细杆内热量传播的过程
（2）热量沿x轴一维传播,侧面绝热 （3）设 u ( x, t ) 表示x 点在时刻 t 的温度 A
O
x
x+Δ x
2.方程的建立：
（1）分析：考察在时间间隔 t 到Δt 内,细杆上x到 x+Δx微元段的热量流动情况
（2）热平衡方程式:
第1章 典型数理方程推导和定解问题
§1.1 偏微分方程基本概念 §1.2 三类典型数理方程推导 §1.3 定解问题及其适定性 §1.4 偏微分方程线性叠加原理
数学物理方法研究问题的步骤：
写出定解问题：包括泛定方程和定解条件，把物 理问题转化为数学语言(数学语言翻译物理规律) 求解：数理方程的求解方法大致有行波法、分离 变量法、积分变换法、格林函数法、数值解法等， 以上解法我们将在以后一一阐述。 分析解答：解出答案，需分析其意义及适定 性。 适定性：指解是存在的唯一的而且是稳定的。 对物理规律进行解释。
其中 a
2
T
.
小结：均匀弦的横振动方程推导基本思路
1. 确定物理量：位移量—
u ( x, t )
2. 研究邻近点的相互作用：受力分析
3. 短时间内这种相互作用对所研究物理量的 影响： dV 物理定律： F m dt 4. 数学语言描述: 简化整理→数学物理方程
注1：如果弦上还受到一个与振动方向相同的外 力，且外力密度为F(x,t)，则
§1.2 三类典型数理方程推导
导出数学物理方程的一般方法：
确定所研究的物理量； 建立适当的坐标系； 划出研究小单元，根据物理定律和实验资料写出 该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互 作用在一个短时间内对所研究物理量的影响， 表达为数学式; 简化整理，得到方程。
§1.2.1 弦的微小横振动
解为：u g ( x) h(t )
x at 变换 x at
2u 0
解为：
u g ( x at) h( x at)
例一：(未知函数为二元函数) 5.
u xy xy
2
书例1.1.1(P2)
u 解：原方程可变形为： xy x y 1 2 两边对x积分： u y ( y ) x y 2
注3: 均匀杆纵振动问题: 以 u(x,t) 表示杆上各点 的纵向位移，则杆的纵振动方程和弦的横振动方程 相同。(P16:例1.3.1，P24：习题1(5)) * 即不同的物理过程,可以用相同数学方程描述。
例：声学方程,其形式为
utt a u
2 2
p0 (a ) 0
2
其中
s —声波中的空气密度相对变化量，
例1.2.1(P7): 设有一根长为L的两端固定的拉紧的 均匀柔软富有弹性的弦,在受到初始扰动后，作微 小横振动。试确定弦的运动方程。即求给定时间 t 弦的位移 u(x,t)，其中 x 表示弦的横坐标。 假设: (1) 柔软且有弹性：任何时刻弦的张力总沿着弦的 切线方向；张力大小可按Hooke定律 。 (2) 细：弦的重量与其张力相比很小；
于是
2 u( x , t ) T tg T tg ' gdx dx t 2
u( x , t ) u( x dx , t ) tg , tg ' . x x
由微积分知识可知，在时刻 t 有
2 u( x , t ) T tg T tg ' gdx dx t 2
2 u( x , t ) Fds T sin T 'sin ' gds ds t 2
弦的强迫振动方程为
u 2 u a f ( x , t ), 2 2 t x
2 2
f 0 时，称为弦 的自由振动方程
其中 f ( x , t )
F ( x, t )
进一步，两边对y积分： 1 2 2 u( x , y ) u y dy f ( x ) ( y )dy f ( x ) x y
4 1 2 2 g( y )+f ( x ) x y 4
例二:验证 u( x, t ) f ( x at ) g ( x at ) 是方程
2 2u u 2 a 0 的通解，其中 f,g是任两个二阶 2 2 t x
连续可微函数，a为正常数。(P24.习题1(1)) 解： u af ( x at ) ag ( x at )
t 2u 2 2 a f ( x at ) a g ( x at ) 2 2 t 2u u 2 a , 故 2 2 u t x f ( x at ) g ( x at ) x 移项即证。 2u f ( x at ) g ( x at ) 2 x
例一 ： (设未知函数为二元函数)
u 1. x 0 u u 2. t a x 0
解为： u f ( y )
x 变换 x at
u a 0
解为：u f ( x at)
例一：(未知函数为二元函数)
2u 0 3. xt
2 2u u 2 0 4. 2 a 2 t x
3.偏微分方程(Partial Differential Equation)：
含有未知函数关于自变量的偏导数的等式(描述 自变量、未知函数及其偏导数之间的关系)。一般 形式为：
F x , y , , u, u x, u y, , u xx, u xy, 0
注：F 可以不显含自变量和未知函数，但必须含 有未知函数的某个偏导数。
•微小振动：即弦的位置始终在一平面内的一条 直线段附近，且弦振动的幅度及弦在任意位置 处的切线的倾角都很小。 •拉紧有弹性：弦上各质点间的张力方向与弦的 切线方向一致，弦伸长形变与张力的关系服从 Hooke定律。
Hooke's law：
• 胡克是17世纪英国最杰出的科学 家之一。他在力学、光学、天文学 等多方面都有重大成就。胡克定律 (弹性定律)，是胡克最重要发现之 一，也是力学最重要基本定律之一。 • 在弹性限度内，物体的形变跟引 起形变的外力成正比。
F m
dt
u
在垂直方向上(u方向)
2 u( x , t ) T sin T 'sin ' gds ds t 2
M
N
ds
M'
T
'
T
gds
而位移后的弦的斜率很小，即
o
x
N'
x dx
x
0, ' 0 sin tg , sin ' tg ', ds dx.
一阶非线性齐次
二阶非线性齐次
二.偏微分方程的解
1.古典解：某个连续函数 u 代入偏微分方 程中，能使方程成为恒等式，则这个函数就 是该偏微分方程的古典解(P2)。
2.通解：解中含有相互独立的和偏微分方程 阶数相同的任意常数的解(P2) 。
3.特解：通过定解条件确定了解中的任意常 数后得到的解。
4.形式解：未经过验证的解为形式解。
u
M
N
ds
M'
T
'
T
gds
o
x
N'
x dx
x
T’=T(x+△x)
在弧段 MM ' 的水平方向上满足： T 'cos ' T cos 0
倾角很小，即 0, ' 0
近似
T T'
Newton's laws of motion:
• 艾萨克· 牛顿是英国伟大的数学 家、物理学家、天文学家和自然哲 学家，其研究领域包括了物理学、 数学、天文学、神学、玄学、自然 哲学和炼金术。牛顿的主要贡献有 发明了微积分，发现了万有引力定 律和经典力学，设计并实际制造了 第一架反射式望远镜等等，被誉为 人类历史上最伟大，最有影响力的 科学家。 dV
①引起温度变化所吸收的热量ΔQ=流入的热量ΔQ’
②在时间Δt内微元段的温度升高为:
u( x, t t ) u( x, t ) ut t
一.基本概念
4.偏微分方程组：多个未知函数，多个PDE。 5.PDE的阶：出现在PDE中最高阶偏导数的阶数。 6.PDE的线性与非线性：
(1)如果PDE关于未知函数及其各阶偏导数是 一次的，则称为线性方程，反之称非线性方程。
(2)如非线性方程对未知函数的所有最高阶偏 导数都是线性的，则称它为拟线性方程。 (3)如非线性方程中方程对未知函数的最高阶 偏导数不是线性的，则称它完全非线性方程。