典型数理方程推导

.
f 0, 齐次方程； f 0, 非齐次方程。
注2：类似地可导出二维波动方程(如薄膜振动)和 三维波动方程(电磁波、声波等传播),其形式为
utt a
2
u
xx
u yy f x , y , t

utt a 2 uxx u yy uzz f x , y , z , t
§1.2 三类典型数理方程推导
导出数学物理方程的一般方法：
确定所研究的物理量； 建立适当的坐标系； 划出研究小单元，根据物理定律和实验资料写出 该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互 作用在一个短时间内对所研究物理量的影响， 表达为数学式; 简化整理，得到方程。
§1.2.1 弦的微小横振动
2 u( x , t ) Fds T sin T 'sin ' gds ds t 2
弦的强迫振动方程为
u 2 u a f ( x , t ), 2 2 t x
2 2
f 0 时，称为弦 的自由振动方程
其中 f ( x , t )
F ( x, t )
•微小振动：即弦的位置始终在一平面内的一条 直线段附近，且弦振动的幅度及弦在任意位置 处的切线的倾角都很小。 •拉紧有弹性：弦上各质点间的张力方向与弦的 切线方向一致，弦伸长形变与张力的关系服从 Hooke定律。
Βιβλιοθήκη Baidu Hooke's law：
• 胡克是17世纪英国最杰出的科学 家之一。他在力学、光学、天文学 等多方面都有重大成就。胡克定律 (弹性定律)，是胡克最重要发现之 一，也是力学最重要基本定律之一。 • 在弹性限度内，物体的形变跟引 起形变的外力成正比。
弦振动模型(1)：
弦振动模型(2)：
弦振动模型(3)：
(3) 微小振动：位移后的弦在任一点上的斜率与1 相比很小；
(4) 横振动：弦的运动发生在同一平面内，弦上各 点沿着垂 直于x 轴的方向移动。
u
u

M
ds
M'
T
'
M
M'
o
l
x
T
gds
o
x
x dx
x
几点假设说明：
•细：均匀细弦理解为弦的直径与弦的长度相比 可以忽略，以至可以将弦视为一条曲线，它的 线密度ρ为常数。 •柔软：只抗伸长,不抗弯曲,与板和梁不同。
2 2u u 2 a 0 的通解，其中 f,g是任两个二阶 2 2 t x
连续可微函数，a为正常数。(P24.习题1(1)) 解： u af ( x at ) ag ( x at )
t 2u 2 2 a f ( x at ) a g ( x at ) 2 2 t 2u u 2 a , 故 2 2 u t x f ( x at ) g ( x at ) x 移项即证。 2u f ( x at ) g ( x at ) 2 x
其中 a
2
T

.
小结：均匀弦的横振动方程推导基本思路
1. 确定物理量：位移量—
u ( x, t )
2. 研究邻近点的相互作用：受力分析
3. 短时间内这种相互作用对所研究物理量的 影响： dV 物理定律： F m dt 4. 数学语言描述: 简化整理→数学物理方程
注1：如果弦上还受到一个与振动方向相同的外 力，且外力密度为F(x,t)，则
①引起温度变化所吸收的热量ΔQ=流入的热量ΔQ’
②在时间Δt内微元段的温度升高为:
u( x, t t ) u( x, t ) ut t
注3: 均匀杆纵振动问题: 以 u(x,t) 表示杆上各点 的纵向位移，则杆的纵振动方程和弦的横振动方程 相同。(P16:例1.3.1，P24：习题1(5)) * 即不同的物理过程,可以用相同数学方程描述。


例：声学方程,其形式为
utt a u
2 2
p0 (a ) 0
2
其中
s —声波中的空气密度相对变化量，
一.基本概念
4.偏微分方程组：多个未知函数，多个PDE。 5.PDE的阶：出现在PDE中最高阶偏导数的阶数。 6.PDE的线性与非线性：
(1)如果PDE关于未知函数及其各阶偏导数是 一次的，则称为线性方程，反之称非线性方程。
(2)如非线性方程对未知函数的所有最高阶偏 导数都是线性的，则称它为拟线性方程。 (3)如非线性方程中方程对未知函数的最高阶 偏导数不是线性的，则称它完全非线性方程。
一.一维热传导方程推导 1.问题：
（1）考察一根均匀细杆内热量传播的过程
（2）热量沿x轴一维传播,侧面绝热 （3）设 u ( x, t ) 表示x 点在时刻 t 的温度 A
O
x
x+Δ x
2.方程的建立：
（1）分析：考察在时间间隔 t 到Δt 内,细杆上x到 x+Δx微元段的热量流动情况
（2）热平衡方程式:
例1.2.1(P7): 设有一根长为L的两端固定的拉紧的 均匀柔软富有弹性的弦,在受到初始扰动后，作微 小横振动。试确定弦的运动方程。即求给定时间 t 弦的位移 u(x,t)，其中 x 表示弦的横坐标。 假设: (1) 柔软且有弹性：任何时刻弦的张力总沿着弦的 切线方向；张力大小可按Hooke定律 。 (2) 细：弦的重量与其张力相比很小；
于是
2 u( x , t ) T tg T tg ' gdx dx t 2
u( x , t ) u( x dx , t ) tg , tg ' . x x
由微积分知识可知，在时刻 t 有
2 u( x , t ) T tg T tg ' gdx dx t 2
进一步，两边对y积分： 1 2 2 u( x , y ) u y dy f ( x ) ( y )dy f ( x ) x y
4 1 2 2 g( y )+f ( x ) x y 4
例二:验证 u( x, t ) f ( x at ) g ( x at ) 是方程
x E x
考察弦上一微小元素。设弦 上具有横坐标为 x 的点， 在时刻 t 的位置是 M,位移 NM 记作 u，显然在振动过 程中，位移u是x 和t 的函数 u(x,t)。在弦上任取一小 段 MM ' ，其长为 ds，设 为弦的线密度。
dV 牛顿运动定律： F m dt
一阶非线性齐次
二阶非线性齐次
二.偏微分方程的解
1.古典解：某个连续函数 u 代入偏微分方 程中，能使方程成为恒等式，则这个函数就 是该偏微分方程的古典解(P2)。
2.通解：解中含有相互独立的和偏微分方程 阶数相同的任意常数的解(P2) 。
3.特解：通过定解条件确定了解中的任意常 数后得到的解。
4.形式解：未经过验证的解为形式解。
解为：u g ( x) h(t )
x at 变换 x at
2u 0
解为：
u g ( x at) h( x at)
例一：(未知函数为二元函数) 5.
u xy xy
2
书例1.1.1(P2)
u 解：原方程可变形为： xy x y 1 2 两边对x积分： u y ( y ) x y 2
例:判断下列方程的阶、线性、齐次性
u u 2 xy 0; x y
u u 3u u 3 0; t x x
一阶线性齐次 三阶拟线性齐次
u 2 u 2 ( ) ( ) 0; x y
u u u u 2 0. 2 t x x
2 2
F m
dt
u
在垂直方向上(u方向)
2 u( x , t ) T sin T 'sin ' gds ds t 2

M
N
ds
M'
T
'
T
gds
而位移后的弦的斜率很小，即
o
x
N'
x dx
x
0, ' 0 sin tg , sin ' tg ', ds dx.
u

M
N
ds
M'
T
'
T
gds
o
x
N'
x dx
x
T’=T(x+△x)
在弧段 MM ' 的水平方向上满足： T 'cos ' T cos 0
倾角很小，即 0, ' 0
近似
T T'
Newton's laws of motion:
• 艾萨克· 牛顿是英国伟大的数学 家、物理学家、天文学家和自然哲 学家，其研究领域包括了物理学、 数学、天文学、神学、玄学、自然 哲学和炼金术。牛顿的主要贡献有 发明了微积分，发现了万有引力定 律和经典力学，设计并实际制造了 第一架反射式望远镜等等，被誉为 人类历史上最伟大，最有影响力的 科学家。 dV
T 1 u( x dx, t ) u( x, t ) 2u( x, t ) g 2 dx x x t 2 u( x , t ) x 2
略去重力，可得 u(x,t) 近似地满足方程
2 2u u 2 a , 2 2 t x
一维波动方程
－空气定比热与定容比热之比值，
p0
－空气处于平衡状态时的压强，
0 －空气处于平衡状态时的密度。
§1.2.2 热传导方程推导
热传导：物体内各点的温度不同，则热量将从 高温点流向低温点。 设：函数 u(x,y,z,t) 表示物体G 内在位置 (x,y,z) 以及时刻 t 的温度。通过对任意一个小的体积元V 内的热平衡问题的研究，建立方程。 设定:(1)物体内部没有热源； (2)物体热传导系数为常数，即各向同性； (3)物体密度及比热（单位质量物质升高单 位温度所需热量）是常数。
例一 ： (设未知函数为二元函数)
u 1. x 0 u u 2. t a x 0
解为： u f ( y )
x 变换 x at
u a 0
解为：u f ( x at)
例一：(未知函数为二元函数)
2u 0 3. xt
2 2u u 2 0 4. 2 a 2 t x
§1.1 偏微分方程基本概念
一.基本概念和定义
1.微分方程:含有自变量,未知函数以及未知函数 的导数或微分的方程(Differential Equation)
2.常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程.
du d nu F x , u, , n 0 dx dx
一.基本概念
3.偏微分方程(Partial Differential Equation)：
含有未知函数关于自变量的偏导数的等式(描述 自变量、未知函数及其偏导数之间的关系)。一般 形式为：
F x , y , , u, u x, u y, , u xx, u xy, 0


注：F 可以不显含自变量和未知函数，但必须含 有未知函数的某个偏导数。
一.基本概念
7.自由项：方程中不含未知函数及其偏导数的项。 8.PDE的齐次与非齐次： (1)自由项为零的方程称为齐次偏微分方程。 (2)自由项非零的方程称为非齐次偏微分方程。
3 思考： (1)ut bi u xi 0; i 1 2
(2)ut u sin t ;
(3)utt u x du x t 0 (4)ut uu x 0; (5)(u x ) 2 u y 8 x 2 (6)ut u xx u xxxx u 2
第1章 典型数理方程推导和定解问题
§1.1 偏微分方程基本概念 §1.2 三类典型数理方程推导 §1.3 定解问题及其适定性 §1.4 偏微分方程线性叠加原理
数学物理方法研究问题的步骤：
写出定解问题：包括泛定方程和定解条件，把物 理问题转化为数学语言(数学语言翻译物理规律) 求解：数理方程的求解方法大致有行波法、分离 变量法、积分变换法、格林函数法、数值解法等， 以上解法我们将在以后一一阐述。 分析解答：解出答案，需分析其意义及适定 性。 适定性：指解是存在的唯一的而且是稳定的。 对物理规律进行解释。