高考数学一轮单元复习：第31讲 平面向量的概念及其线性运算
│要点探究
解答】 证明 证明： 【解答】 (1)证明：
共线， ∴ 共线， 它们有公共点B， 又∵它们有公共点 ， 三点共线． ∴A、B、D三点共线． 、 、 三点共线
│要点探究
(2)∵ ∵ 共线， 与 共线， 存在实数λ， ∴存在实数 ，使 即 ∴ 是不共线的两个非零向量， ∵ 是不共线的两个非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0. － ＝ － ＝ ， ＝ ∴k＝±1. ＝ 点评】 【 点评 】 利用两向量共线证明三点共线要强调有一个 公共点． 是两个不共线的非零向量， 公共点．若 是两个不共线的非零向量，则 的充要条件是λ＝ ＝ 这一结论结合待定系数法应用非常广 的充要条件是 ＝µ＝0.这一结论结合待定系数法应用非常广 泛．
│规律总结
2． 数形结合思想是向量加法 、 减法运算的核心 ， 向量 ． 数形结合思想是向量加法、 减法运算的核心， 是一个几何量， 是有“形 的量 的量， 是一个几何量 ， 是有 形 ”的量 ， 因此在研究向量的有关问 题时， 一定要结合图形进行分析判断求解， 题时 ， 一定要结合图形进行分析判断求解 ， 这是研究平面 向量最重要的方法与技巧． 向量最重要的方法与技巧． 3． 向量共线的充要条件常用来解决三点共线和两直线 ． 平行问题． 平行问题． 4．关于数量的代数运算的公式和法则在向量范围内并 ． 不完全适用，要防止负迁移． 不完全适用，要防止负迁移．
│要点探究
点评】 【 点评 】 向量的线性运算主要是利用三角形法则和平行 四边形法则，数形结合是必不可少的． 四边形法则 ， 数形结合是必不可少的 ． 在进行运算时表示向 量的字母顺序特点也要熟悉，如下题： 量的字母顺序特点也要熟悉，如下题： 已知A、 、 、 为平面内四点 求证： 、 、 为平面内四点， 变式题 已知 、 B、 C、 P为平面内四点， 求证 ： A、 B、 C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数 、n，使 三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m、 ， 三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数 m＋n，且m＋n＝1. ＋ ， ＋ ＝ 思路】 【 思路 】 题设条件中向量表达式未涉及 来转化． 用 来转化． 可以利
│平面向量的概念及其线性运算
│知识梳理 知识梳理
1．向量的有关概念 ． (1)向量的定义：既有大小 又有方向的量叫做向量． 向量的定义： 的量叫做向量． 向量的定义 (2)表示方法：用有向线段来表示向量．有向线段的 长度 表示方法： 表示方法 用有向线段来表示向量． 表示向量的大小， 表示向量的方向， 表示向量的大小 ， 用 箭头所指的方向 表示向量的方向 ， 用 字母a， ， 表示． 字母 ，b，…或用 …表示． (3)模：向量的长度 叫向量的模，记作 或 叫向量的模，记作|a|或 . 模 (4)零向量 ： 长度为 零 的向量叫做零向量 ， 记作 ， 零向 零向量： 的向量叫做零向量， 记作0， 零向量 量的方向不确定． 量的方向不确定．
│要点探究 要点探究
探究点1 探究点1 向量的有关概念
判断下列各命题是否正确： 例1 判断下列各命题是否正确： (1)零向量没有方向； 零向量没有方向； 零向量没有方向 (2)若|a|＝|b| ,则a=b； 若 ＝ 则 ； (3)单位向量都相等； 单位向量都相等； 单位向量都相等 (4)向量就是有向线段； 向量就是有向线段； 向量就是有向线段 (5)两相等向量若共起点，则终点也相同； 两相等向量若共起点， 两相等向量若共起点 则终点也相同； (6)若 a＝b，b＝c 则a＝c； 若 ＝ ， ＝ ＝ ； (7)若a∥b，b∥c，则a∥c； 若 ∥ ， ∥ ， ∥ ；
│要点探究
所在平面内的一点， 变式题 [2009·山东卷] 设P是△ABC所在平面内的一点， ( ) 则
思路】 由图形可知： 为 中点 中点． 【思路】 由图形可知：P为AC中点． 解析】 【解析】 B 因为 中点，所以应该选B. 中点，所以应该选 所以点P为线段 的 所以点 为线段AC的 为线段
│要点探究
探究点2 探究点2 向量的线性运算
例2 [ 2009·湖南卷 如图31－1所示，D，E，F分别是 湖南卷] 如图 － 所示， ， ， 分别是 湖南卷 所示 的边AB， ， 的中点 的中点， ( ) △ABC的边 ，BC，CA的中点，则 的边
│要点探究
【思路】 利用相等向量和三角形法则进行计算． 思路】 利用相等向量和三角形法则进行计算． 解析】 【解析】 A 得 ∵ 故选A. 故选 点评】 【点评】 利用中位线的性质得到相等向量和相反向量是解题 关键．向量的线性运算除三角形法则外还有平行四边形法则， 关键．向量的线性运算除三角形法则外还有平行四边形法则，如 下题： 下题： ∴ 或
│要点探究
(8)若四边形 若四边形ABCD是平行四边形，则 是平行四边形， 若四边形 是平行四边形 (9)a＝b的充要条件是 ＝|b|且a∥b. 的充要条件是|a|＝ 且 ∥ ＝ 的充要条件是 思路】 正确理解向量的有关概念，以概念为判断依据， 【思路】 正确理解向量的有关概念，以概念为判断依据， 或通过举反例说明． 或通过举反例说明． 不正确， 不正确， 【解答】 (1)不正确，零向量方向任意；(2)不正确，只能说 解答】 不正确 零向量方向任意； 不正确 明模相等，还有方向； 不正确 单位向量的模为1， 不正确， 明模相等， 还有方向 ； (3)不正确，单位向量的模为 ， 方向很 不正确， 正确； 多 ； (4)不正确 ， 有向线段是向量的一种表示形式 ； (5)正确 ； 不正确 有向线段是向量的一种表示形式； 正确 (6)正确，向量相等有传递性；(7)不正确，因若 ＝0，则对不共 正确， 不正确， 正确 向量相等有传递性； 不正确 因若b＝ ， 线的向量a， 也有 也有a∥ ， ∥ ； 线的向量 ，c也有 ∥0，0∥c；
│要点探究
变式题 若 是两个不共线的非零向量， 是两个不共线的非零向量， 与 起点
相同， 为何值时， 相同，则当t为何值时， 同一条直线上？ 同一条直线上？
三向量的终点在
思路】 设出三向量的终点，利用条件列方程组． 【思路】 设出三向量的终点，利用条件列方程组．
│要点探究
【解答】 设 解答】
要使A、B、C三点共线，只需 要使 、 、 三点共线， 三点共线 即
│规律总结 规律总结
1．本讲内容概念较多，应加深理解，熟练掌握． ．本讲内容概念较多，应加深理解，熟练掌握． (1)向量的有关概念： 向量、向量的模、 零向量、 单位向 向量的有关概念共线向量 相等向量、相反向量． 共线向量)、 量、平行向量 共线向量 、相等向量、相反向量． (2)向量加法与减法：三角形法则， 平行四边形法则， 运 向量加法与减法： 向量加法与减法 三角形法则，平行四边形法则， 算律及运算性质． 算律及运算性质． (3)向量数乘的定义及其运算律． 向量数乘的定义及其运算律． 向量数乘的定义及其运算律 (4)共线向量基本定理的内容及应用． 共线向量基本定理的内容及应用． 共线向量基本定理的内容及应用
│要点探究
(8)不正确，如图 不正确， (9) 不正确 ， 当 a∥b ， 且方向相反时 ， 即使 |a| ＝ |b| ， 也不 不正确， 且方向相反时， 能得到a＝b； 点评】 对于有关向量基本概念的考查， 【点评】 对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的含 义入手，也可以通过举出反例来排除或否定相关命题． 义入手，也可以通过举出反例来排除或否定相关命题．
[2009·全国卷Ⅰ] 设非零向量 全国卷Ⅰ 全国卷 则 ＝ A．150° B．120° ． ° ． ° C．60° D．30° ． ° ． ° 【思路】 数形结合． 思路】 数形结合．
【解析】 B 由向量加法的平行四边形法则，知 解析】 由向量加法的平行四边形法则， 可构 成菱形的两条相邻边， 成菱形的两条相邻边 ， 且 起点处的对角线长等于菱形的 边长，故选择B. 边长，故选择
│要点探究
探究点3 探究点3 共线向量定理的应用
例3 设两个非零向量a与b不共线， 设两个非零向量 与 不共线， 不共线 (1)若 若 求证： 、 、 三点共线 三点共线； 求证：A、B、D三点共线； (2)试确定实数 ，使ka＋b和a＋kb共线． 试确定实数k， 共线． 试确定实数 ＋ 和 ＋ 共线 思路】 可证 【思路】 (1)可证 共线． 待定系数法求 待定系数法求k. 共线．(2)待定系数法求
│知识梳理
个长度单位 (5) 单位向量 ： 长度为 1个长度单位 的向量叫做单位向 单位向量： 量． (6)共线向量 ： 共线向量： 的向量叫共线向量， 方向相同或相反 的向量叫共线向量， 共线 向量也叫平行向量，规定零向量与任何向量共线． 向量也叫平行向量，规定零向量与任何向量共线． (7)相等的向量： 相等的向量： 长度相等且方向相同的 向量叫相等的向 量． 2．向量的加法 (1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． (2)法则：三角形法则，平行四边形法则． 法则：三角形法则，平行四边形法则． (3)运算律：a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c). 运算律：
│知识梳理
3．向量的减法 (1)定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法． 定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法． (2)法则：三角形法则，平行四边形法则． 法则：三角形法则，平行四边形法则． 4．实数与向量的积 (1)定义：实数λ与向量 a的积是一个向量， 记作λa，规定： 定义： 的积是一个向量， 规定： |λa|＝ |λ||a|， 当 λ＞ 0时， λa的方向与a的方向 相同；当 λ＜0时， λa的方向与a的方向 相反；当λ＝0时，λa与a平行． 平行． (2)运算律：λ(µa)＝(λµ)a， 运算律： (λ＋µ)a＝λa＋µa， λ(a＋b)＝λa＋λb. 5．向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有 向量共线定理： ⇔ λa(a≠0)． b＝ 且仅有一个实数λ，使得b＝λa，即b∥a
合集下载
平面向量的概念及其线性运算课件-2025届高三数学一轮复习
变条件)点C在线段AB上,且 = ,则=______,
3
−
8
=______.
【解析】由已知画图如下,
5
3
由图形知= ,=- .
8
8
3
核心考点·分类突破
考点一 平面向量的基本概念
1.(2023·北京模拟)设a,b是非零向量,则“ = ”是“a=b”的(
[例4](1)(一题多法)(2023·连云港模拟)设e1,e2是两个不共线的向量,已知= 2e1ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若三点A,B,D共线,则k的值为(
B.-2m+3n
C.3m+2n
D.2m+3n
【解析】选B.如图,
1
1
1
1
因为=+=+ =+ (-)=+ - ,
2
2
2
2
1
3
所以 = -,即=3-2=3n-2m.
2
2
3.(共线与模的关系不明确致误)已知非零向量a,b,那么“a=λb”是“|a+b|=|a|-|b|”
a的积的运算
相反
当λ<0时,λa与a的方向______;
当λ=0时,λa=___
0
λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a
=λa+μa;
λ(a+b)=λa+λb
微点拨 对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”.对平面向量减法应抓住“共起
点,连两终点,指向被减向量的终点”.
3.共线向量定理
b=λa
向量b与非零向量a共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使得______.
3
−
8
=______.
【解析】由已知画图如下,
5
3
由图形知= ,=- .
8
8
3
核心考点·分类突破
考点一 平面向量的基本概念
1.(2023·北京模拟)设a,b是非零向量,则“ = ”是“a=b”的(
[例4](1)(一题多法)(2023·连云港模拟)设e1,e2是两个不共线的向量,已知= 2e1ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若三点A,B,D共线,则k的值为(
B.-2m+3n
C.3m+2n
D.2m+3n
【解析】选B.如图,
1
1
1
1
因为=+=+ =+ (-)=+ - ,
2
2
2
2
1
3
所以 = -,即=3-2=3n-2m.
2
2
3.(共线与模的关系不明确致误)已知非零向量a,b,那么“a=λb”是“|a+b|=|a|-|b|”
a的积的运算
相反
当λ<0时,λa与a的方向______;
当λ=0时,λa=___
0
λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a
=λa+μa;
λ(a+b)=λa+λb
微点拨 对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”.对平面向量减法应抓住“共起
点,连两终点,指向被减向量的终点”.
3.共线向量定理
b=λa
向量b与非零向量a共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使得______.
平面向量的概念及其线性运算课件-2025届高三数学一轮复习
[总结反思]利用共线向量定理解题的方法
（1）是判断两个向量共线的主要依据.若 ,则与共线,且当时,与同向;当时,与 反向.
（2）若与不共线且，则 .
（3）要证明，，三点共线，只需证明与共线，即证 .若已知，，三点共线，则必有与共线，从而存在实数 ，使得 .
（4）（ ， 为实数），若，，三点共线，则 .
1.【微点1】（多选题）[2024·唐山六校联考] 对于任意向量， ，下列说法中正确的有( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 对于A，当， 为非零向量且不共线时，不等式不成立，故A错误；对于B，易知，故B正确；对于C，若非零向量， 方向相反，则，故C错误；对于D，易知，故D正确.故选 .
相同
相反
平行
续表
2.向量的线性运算
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量和的运算
_
①交换律： ；#b#②结合律：
减法
求两个向量差的运算
三角形法则
平行四边形法则
三角形法则
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
数乘
求实数 与向量 的积的运算
（1） .#b#（2）当时，与 的方向相同；当时，的方向与 的方向相反；当时，
3.已知（ , 为实数）,若,,三点共线,则 .
4.向量三角不等式①已知非零向量,,则（当与 反向共线时左边等号成立;当与 同向共线时右边等号成立）;②已知非零向量,,则（当与 同向共线时左边等号成立;当与 反向共线时右边等号成立）.
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ _____.
[解析] ，为不共线的非零向量，， ，，则， .因为，所以与不共线，所以，， 三点不共线，故A不正确；因为，所以与共线，所以，，三点共线，故B正确；因为 ，所以与不共线，所以，，三点不共线，故C不正确；因为 ，所以与不共线，所以，， 三点不共线，故D不正确.故选B.
（1）是判断两个向量共线的主要依据.若 ,则与共线,且当时,与同向;当时,与 反向.
（2）若与不共线且，则 .
（3）要证明，，三点共线，只需证明与共线，即证 .若已知，，三点共线，则必有与共线，从而存在实数 ，使得 .
（4）（ ， 为实数），若，，三点共线，则 .
1.【微点1】（多选题）[2024·唐山六校联考] 对于任意向量， ，下列说法中正确的有( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 对于A，当， 为非零向量且不共线时，不等式不成立，故A错误；对于B，易知，故B正确；对于C，若非零向量， 方向相反，则，故C错误；对于D，易知，故D正确.故选 .
相同
相反
平行
续表
2.向量的线性运算
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量和的运算
_
①交换律： ；#b#②结合律：
减法
求两个向量差的运算
三角形法则
平行四边形法则
三角形法则
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
数乘
求实数 与向量 的积的运算
（1） .#b#（2）当时，与 的方向相同；当时，的方向与 的方向相反；当时，
3.已知（ , 为实数）,若,,三点共线,则 .
4.向量三角不等式①已知非零向量,,则（当与 反向共线时左边等号成立;当与 同向共线时右边等号成立）;②已知非零向量,,则（当与 同向共线时左边等号成立;当与 反向共线时右边等号成立）.
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ _____.
[解析] ，为不共线的非零向量，， ，，则， .因为，所以与不共线，所以，， 三点不共线，故A不正确；因为，所以与共线，所以，，三点共线，故B正确；因为 ，所以与不共线，所以，，三点不共线，故C不正确；因为 ，所以与不共线，所以，， 三点不共线，故D不正确.故选B.
向量的概念及线性运算+课件-2023届高三数学一轮复习
(4)实数与向量的积(数乘)．
①定义：实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λa，λa 与 a 平行．规定： |λa|＝__|λ_||_a|___，当 λ ＞ 0 时，λa 的方向与 a 的方向 相同 ；当 λ ＜ 0 时，λa 的方向与 a 的方向 相反 ；当 λ＝0 时，λa＝0.
②运算律：λ(μa)＝_(λ_μ_)a__，(λ＋μ)a＝_λ_a＋__μ_a __，λ(a＋b)＝_λ_a_＋_λ_b___．
面内的任意一点，则O→A＋O→B＋O→C＋O→D等于( D )
→ A.OM
B．2O→M
C．3O→M
D．4O→M
【解析】 因为 M 是平行四边形 ABCD 对角线 AC，BD 的交点，所以O→A＋
O→C＝2O→M，O→B＋O→D＝2O→M.所以O→A＋O→B＋O→C＋O→D＝4O→M.
故选 D.
(3)在△ABC 中，延长 BC 至点 M 使得 BC＝2CM，连接 AM，点 N 为 AM 上
A.1A→B－1A→D 23
C．－1A→B＋1A→D 23
B.1A→B－1A→D 32
D．－1A→B＋1A→D 32
4.如图所示，设 O 是△ABC 内部一点，且O→A＋O→C＝－2O→B，则△ABC 与
△AOC 的面积之比为( )
A．4∶1
B．2∶1
C．3∶2
D．4∶3
5、如图所示，在△ABC 中，点 O 是 BC 的中点．过点 O 的直线分别交直线 AB，AC 于不同的两点 M，N，若A→B＝mA→M，A→C＝nA→N，则 m＋n 的值为________
2、如图所示，在△ABC 中，A→N＝1A→C，P 是 BN 上的一点，若A→P＝mA→B＋ 2 A→C，
高三一轮总复习文科数课件：-平面向量的概念及其线性运算 .ppt..共42页
敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
高三一轮总复习文科数课件：-平面向 量的概念及其线性运算 .ppt..
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
高三一轮总复习文科数课件：-平面向 量的概念及其线性运算 .ppt..
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：平面向量的概念及线性运算
当λ<0时，λa的方向与a的方向 相反 ； λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λ_b_
当λ＝0时，λa＝__0__
知识梳理
3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 b＝λa .
常用结论
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最 后一个向量终点的向量，即A—1→A2＋A—2→A3＋A—3→A4＋…＋—A—n－—1A→n ＝A—1→An，特 别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量. 2.若 F 为线段 AB 的中点，O 为平面内任意一点，则O→F＝12(O→A＋O→B).
常用结论
3.若 A，B，C 是平面内不共线的三点，则P→A＋P→B＋P→C＝0⇔P 为△ABC 的重心，A→P＝13(A→B＋A→C). 4.对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关.( √ ) (2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.( × )
√B.A→M＋M→B＋B→O＋O→M＝A→M
C.A→B＋B→C－A→C＝0 D.A→B－A→D－D→C＝B→C
教材改编题
3.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝－__13__.
由题意知存在k∈R，
使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，
所以λ1＝＝－3kk，，
解得k＝13， λ＝－13.
知识梳理
2.向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义)
运算律
加法
交换律：a＋b＝ b＋a ； 结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c)_
当λ＝0时，λa＝__0__
知识梳理
3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 b＝λa .
常用结论
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最 后一个向量终点的向量，即A—1→A2＋A—2→A3＋A—3→A4＋…＋—A—n－—1A→n ＝A—1→An，特 别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量. 2.若 F 为线段 AB 的中点，O 为平面内任意一点，则O→F＝12(O→A＋O→B).
常用结论
3.若 A，B，C 是平面内不共线的三点，则P→A＋P→B＋P→C＝0⇔P 为△ABC 的重心，A→P＝13(A→B＋A→C). 4.对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关.( √ ) (2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.( × )
√B.A→M＋M→B＋B→O＋O→M＝A→M
C.A→B＋B→C－A→C＝0 D.A→B－A→D－D→C＝B→C
教材改编题
3.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝－__13__.
由题意知存在k∈R，
使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，
所以λ1＝＝－3kk，，
解得k＝13， λ＝－13.
知识梳理
2.向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义)
运算律
加法
交换律：a＋b＝ b＋a ； 结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c)_
高考数学一轮总复习-平面向量的概念、线性运算及坐标运算-知识点梳理
平面向量的概念、线性运算及坐标运算【考纲要求】1．了解向量的实际背景；理解平面向量的概念及向量相等的含义；理解向量的几何表示.2．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；了解向量线性运算的性质及其几何意义.3．了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件.【知识网络】【考点梳理】【高清课堂：平面向量的概念与线性运算401193知识要点】 考点一、向量的概念1．向量:既有大小又有方向的量.通常用有向线段AB 表示，其中A 为起点，B 为终点. 向量AB 的长度|AB |又称为向量的模；长度为0的向量叫做零向量，长度为1的向量叫做单位向量.2．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行. 平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量. 3．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等.4. 与a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量，规定零向量的相反向量是零向量. 要点诠释：①有向线段的起、终点决定向量的方向，AB 与BA 表示不同方向的向量；平面向量平面向量的概念平面向量的坐标表示平面向量的基本定理 平面向量的线性运算②有向线段的长度决定向量的大小，用|AB |表示，|AB ||BA |=.③任意两个非零的相等向量可经过平移重合在一起，因此可用一个有向线段表示，而与起点无关. 考点二、向量的加法、减法 1．向量加法的平行四边形法则 平行四边形ABCD 中（如图），向量AD 与AB 的和为AC ,记作:AD AB AC +=.（起点相同） 2．向量加法的三角形法则根据向量相等的定义有:AB DC =，即在ΔADC 中，AD DC AC +=. 首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点. 规定:零向量与向量AB 的和等于AB . 3. 向量的减法向量AB 与向量BA 叫做相反向量.记作:AB BA =-. 则AB CD AB DC -=+. 要点诠释：①关于两个向量的和应注意：两个向量的和仍是一个向量；使用三角形法则时要注意“首尾相连”；当两个向量共线时，三角形法则适用，而平行四边形法则不适用.②向量减法运算应注意：向量的减法实质是加法的逆运算，差仍为一个向量；用三角形法则作向量减法时，记住“连结两个向量的终点，箭头指向被减向量”. 要点三、实数与向量的积 1．定义：一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa ，它的长与方向规定如下： （1）||||||λ=λ⋅a a ；（2）当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反； 当λ=0时，0λ=a ；2．运算律设λ，μ为实数，则 （1）()()λμ=λμa a ； （2）()λ+μ=λ+μa a a ； （3）()λ+=λ+λa b a b3．向量共线的充要条件已知向量a 、b 是两个非零共线向量，即//a b ，则a 与b 的方向相同或相反. 向量(0)≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使=λb a . 要点诠释：①向量数乘的特殊情况：当0λ=时，0λ=a ；当0=a 时，也有0λ=a ；实数和向量可以求积，但是不能求和、求差.②平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基地的向量是不共线的向量. 考点四、平面向量的坐标运算 1．平面向量的坐标表示选取直角坐标系的x 轴、y 轴上的单位向量i ，j 为基底，由平面向量基本定理，该平面内任一向量a 表示成x y =+a i j 的形式，由于a 与数对（x,y ）是一一对应的，因此把（x,y ）叫做向量a 的坐标表示. 2．平面向量的坐标运算已知11(x ,y )=a ，22(x ,y )=b ，则 （1）1212(x x ,y y )±=±±a b （2）11(x ,y )λ=λλa 3．平行向量的坐标表示已知11(x ,y )=a ，22(x ,y )=b ，则1221//x y x y 0⇔-=a b （0→≠b ） 要点诠释：①若11(x ,y )=a ，22(x ,y )=b ，则//a b 的充要条件不能表示成1122x y x y =，因为22x ,y 有可能等于0，所以应表示为1221x y x y 0-=；同时//a b 的充要条件也不能错记为1122x y x y 0-=，1212x x y y 0-=等.②若11(x ,y )=a ，22(x ,y )=b ，则//a b 的充要条件是=λb a ，这与1221x y x y 0-=在本质上是没有差异的，只是形式上不同. 【典型例题】类型一、平面向量的相关概念例1. 下列说法中正确的是① 非零向量a 与非零向量b 共线，向量b 与非零向量c 共线，则向量a 与向量c 共线； ② 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点； ③ 向量a 与b 不共线，则a 与b 所在直线的夹角为锐角；④ 零向量模为0，没有方向；⑤ 始点相同的两个非零向量不平行； ⑥ 两个向量相等，它们的长度就相等；⑦ 若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线。
高考数学(理)一轮复习课件：平面向量的概念及其线性运算(新人教A版)共31页文档
设 a0 为单位向量，①若 a 为平面内的某个向量，则 a＝|a|a0；②若 a 与 a0 平行，则 a＝|a|a0；③若 a 与 a0 平行且 |a|＝1，则 a＝a0.上述命题中，假命题个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3
第33讲 │ 要点探究
[思路] 从相等向量与共线向量的定义出发，注意从模和方 向两方面进行考虑．
[思路] 由 a，tb，13(a＋b)三向量的终点共线，得 m＝λn 这样一种形式，由平面向量的基本定理得方程组，解方程组 得 t 的值．
第33讲 │ 要点探究
[解答] 设O→A＝a，O→B＝tb，O→C＝13(a＋b)， ∴A→C＝O→C－O→A＝－23a＋13b，A→B＝O→B－O→A＝tb－a. 要使 A、B、C 三点共线，只需A→C＝λA→B(λ∈R)， 即－23a＋13b＝λ(tb－a)． 因为 a，b 是两个不共线的非零向量，则由平面向量的基本定理，得
第33讲 │ 要点探究
[思路] 向量概念的关键词是大小和方向，正确理解向量 的有关概念是解决这类问题的关键；要注意特殊情况，否定 命题只要举出一个反例即可．
第33讲 │ 要点探究
②③ [解析] ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定 相同．
②正确．∵A→B＝D→C，∴|A→B|＝|D→C|且A→B∥D→C. 又 A，B，C，D 是不共线的四点，∴四边形 ABCD 为平行四边形；反 之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则A→B∥D→C且|A→B|＝|D→C|，因此A→B＝D→C. ③正确．∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同； 又 b＝c，∴b，c 的长度相等且方向相同， ∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c. ④不正确．当 a∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到 a＝b， 故|a|＝|b|且 a∥b 不是 a＝b 的充要条件，而是必要不充分条件． ⑤不正确．考虑 b＝0 这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是②③.
第33讲 │ 要点探究
[思路] 从相等向量与共线向量的定义出发，注意从模和方 向两方面进行考虑．
[思路] 由 a，tb，13(a＋b)三向量的终点共线，得 m＝λn 这样一种形式，由平面向量的基本定理得方程组，解方程组 得 t 的值．
第33讲 │ 要点探究
[解答] 设O→A＝a，O→B＝tb，O→C＝13(a＋b)， ∴A→C＝O→C－O→A＝－23a＋13b，A→B＝O→B－O→A＝tb－a. 要使 A、B、C 三点共线，只需A→C＝λA→B(λ∈R)， 即－23a＋13b＝λ(tb－a)． 因为 a，b 是两个不共线的非零向量，则由平面向量的基本定理，得
第33讲 │ 要点探究
[思路] 向量概念的关键词是大小和方向，正确理解向量 的有关概念是解决这类问题的关键；要注意特殊情况，否定 命题只要举出一个反例即可．
第33讲 │ 要点探究
②③ [解析] ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定 相同．
②正确．∵A→B＝D→C，∴|A→B|＝|D→C|且A→B∥D→C. 又 A，B，C，D 是不共线的四点，∴四边形 ABCD 为平行四边形；反 之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则A→B∥D→C且|A→B|＝|D→C|，因此A→B＝D→C. ③正确．∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同； 又 b＝c，∴b，c 的长度相等且方向相同， ∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c. ④不正确．当 a∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到 a＝b， 故|a|＝|b|且 a∥b 不是 a＝b 的充要条件，而是必要不充分条件． ⑤不正确．考虑 b＝0 这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是②③.
高考数学一轮专题复习 31向量的概念和线性运算课件 苏教版
④不正确，当b＝0时，a∥c不一定成
立． ③正确．
答案:2
向量的相关概念较多，且容易 混淆，所以在学习中要分清，理解各 概念的实质．注意向量相等应满足的 两个条件：①模相等；②方向相 同．还要注意零向量的特殊性，尤其 是判定向量共线时不要忽略零向量．
【变式练习1】 下列命题中正确的有___④____. ①单位向量都相等； ②长度相等且方向相反的两个向量不一定 是共线向量； ③若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且a与b同向， 则a>b； ④对于任意向量a、b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.
1 三点共线定理：平面上三点A、
B、C共线的充要条件是：存在实数、 ，使OA＝OB＋ OC，其中＋＝1，
O为平面内的任意一点．
(2)①平面内有任意三个点O、A、B.
若M 是线段AB的中点，则OM＝1 (OA＋OB)； 2
②ABC中，G为重心，则AB＋BC＋CA
＝0；GA＋GB＋GC＝0； ③有限个向量a1，a2， ，an相加，可以
考纲泛读
高考展望
⑤会用向量方法解决某些 简单的平面几何问题，会 用向量方法解决某些简单 的力学问题和其他一些实 际问题．
⑥理解复数的概念，如复 数相等、共轭复数、复数 与复平面内的点或向量的 一一对应关系．
⑦理解复数的四则运算， 了解复数的几何意义.
高考对复数知 识的考查要求不 高，多以填空题 的形式考查复数 的概念与复数的 四则运算．因此， 在考试中，应力 求在与复数知识 相关的小题中拿 满分.
【变式练习3】 若a，b是两个不共线的非零向量，t R. 若a与b起点相同，t为何值时，a，tb， 1 (a＋b)三向量的终点在一直线上？ 3
【解析】设a－tb＝[a－1 (a＋b)]，
立． ③正确．
答案:2
向量的相关概念较多，且容易 混淆，所以在学习中要分清，理解各 概念的实质．注意向量相等应满足的 两个条件：①模相等；②方向相 同．还要注意零向量的特殊性，尤其 是判定向量共线时不要忽略零向量．
【变式练习1】 下列命题中正确的有___④____. ①单位向量都相等； ②长度相等且方向相反的两个向量不一定 是共线向量； ③若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且a与b同向， 则a>b； ④对于任意向量a、b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.
1 三点共线定理：平面上三点A、
B、C共线的充要条件是：存在实数、 ，使OA＝OB＋ OC，其中＋＝1，
O为平面内的任意一点．
(2)①平面内有任意三个点O、A、B.
若M 是线段AB的中点，则OM＝1 (OA＋OB)； 2
②ABC中，G为重心，则AB＋BC＋CA
＝0；GA＋GB＋GC＝0； ③有限个向量a1，a2， ，an相加，可以
考纲泛读
高考展望
⑤会用向量方法解决某些 简单的平面几何问题，会 用向量方法解决某些简单 的力学问题和其他一些实 际问题．
⑥理解复数的概念，如复 数相等、共轭复数、复数 与复平面内的点或向量的 一一对应关系．
⑦理解复数的四则运算， 了解复数的几何意义.
高考对复数知 识的考查要求不 高，多以填空题 的形式考查复数 的概念与复数的 四则运算．因此， 在考试中，应力 求在与复数知识 相关的小题中拿 满分.
【变式练习3】 若a，b是两个不共线的非零向量，t R. 若a与b起点相同，t为何值时，a，tb， 1 (a＋b)三向量的终点在一直线上？ 3
【解析】设a－tb＝[a－1 (a＋b)]，
2024版高考数学总复习：平面向量的概念与线性运算课件
相反
乘
λa＝__
0
运算律
λ(μa)＝(λμ)a；
λa＋μa
(λ＋μ)a＝______；
λa＋λb
λ(a＋b)＝________
3．向量共线定理
向量a(a≠0) 与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ， 使 得
b＝λa
______．
4．常用结论
1
(1)设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝ (
3
4．已知□ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，
则＝________，＝___________．(用a，b表示)
b－a
－a－b
解析：如图， ＝＝ − ＝b－a， ＝
− ＝－ − ＝－a－b.
1
2
3
4
5
5．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝_____．
是λ＋μ＝1.
(5)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(|a|2＋|b|2)．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．
(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
( √ )
(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.
( × )
(3)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线
2
(2)若G是△ABC的重心，D是BC边的中点，则
① + + ＝0.
1
②＝ ( + )．
3
1
1
③＝ ( + )＝ (
2
6
+ )．
+ ).
(3)在四边形ABCD中，若E为AD的中点，F为BC的中点，则 +
乘
λa＝__
0
运算律
λ(μa)＝(λμ)a；
λa＋μa
(λ＋μ)a＝______；
λa＋λb
λ(a＋b)＝________
3．向量共线定理
向量a(a≠0) 与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ， 使 得
b＝λa
______．
4．常用结论
1
(1)设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝ (
3
4．已知□ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，
则＝________，＝___________．(用a，b表示)
b－a
－a－b
解析：如图， ＝＝ − ＝b－a， ＝
− ＝－ − ＝－a－b.
1
2
3
4
5
5．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝_____．
是λ＋μ＝1.
(5)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(|a|2＋|b|2)．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．
(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
( √ )
(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.
( × )
(3)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线
2
(2)若G是△ABC的重心，D是BC边的中点，则
① + + ＝0.
1
②＝ ( + )．
3
1
1
③＝ ( + )＝ (
2
6
+ )．
+ ).
(3)在四边形ABCD中，若E为AD的中点，F为BC的中点，则 +
2020届高考数学一轮总复习第五单元平面向量与复数第31讲平面向量的概念及线性运算课件理新人教A版
答案：21
向量的线性运算 共线定理的应用 向量的线性运算的综合问题
考点1·向量的线性运算
uuur uuur
【例 1】(经典真题)设 D 为△ABC 所在平面内一点，BC ＝3 CD ，则( )
A.
uuur AD
＝－13
uuur AB
＋43
uuur AC
B.
uuur AD
＝13
uuur AB
－43
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AD ＝ AB ＋ BD ＝ AB ＋ BC ＋ CD
＝
uuur AB
＋34
uuur BC
＝
uuur AB
＋34(
uuur AC
－
uuur AB
)
＝－31
uuur AB
＋43
uuur AC
.
(方法 2)在△ACD 中利用向量的加法：
uuur AD
－
uuur AB
)＋uuur AB来自＝－31uuur AB
＋43
uuur AC
.
答案：A
【变式探究】
1. (2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，
E 为 AD 的中点，则 EB ＝( )
A.34 AB －41 AC B.41 AB －34 AC
3 C.4
AB ＋14 AC
1 D.4
【例 3】O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个
uuur uuur
点，动点
P
满足
uuur OP
＝
uur OA
＋λ(
|
uAuBur AB
|
＋
向量的线性运算 共线定理的应用 向量的线性运算的综合问题
考点1·向量的线性运算
uuur uuur
【例 1】(经典真题)设 D 为△ABC 所在平面内一点，BC ＝3 CD ，则( )
A.
uuur AD
＝－13
uuur AB
＋43
uuur AC
B.
uuur AD
＝13
uuur AB
－43
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AD ＝ AB ＋ BD ＝ AB ＋ BC ＋ CD
＝
uuur AB
＋34
uuur BC
＝
uuur AB
＋34(
uuur AC
－
uuur AB
)
＝－31
uuur AB
＋43
uuur AC
.
(方法 2)在△ACD 中利用向量的加法：
uuur AD
－
uuur AB
)＋uuur AB来自＝－31uuur AB
＋43
uuur AC
.
答案：A
【变式探究】
1. (2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，
E 为 AD 的中点，则 EB ＝( )
A.34 AB －41 AC B.41 AB －34 AC
3 C.4
AB ＋14 AC
1 D.4
【例 3】O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个
uuur uuur
点，动点
P
满足
uuur OP
＝
uur OA
＋λ(
|
uAuBur AB
|
＋