数字信号处理基础
数字信号处理基础与数字滤波器设计原理
数字信号处理基础与数字滤波器设计原理数字信号处理（Digital Signal Processing，简称DSP）是指对数字信号进行各种算法操作和处理的一种技术方法。
数字滤波器是数字信号处理的重要组成部分，它可以对信号进行滤波、去噪、增强等处理，广泛应用于通信系统、音频处理、图像处理等领域。
本文将介绍数字信号处理的基础知识以及数字滤波器的设计原理。
一、数字信号处理基础数字信号是以离散时间和离散幅度为特点的信号。
与之相对的是模拟信号，模拟信号是连续时间和连续幅度的信号。
数字信号处理主要涉及到离散时间信号的采样、量化和离散化。
其中，采样是指将连续时间信号在一定时间间隔内进行离散采样，量化是指将连续幅度信号离散化为一系列的数字值。
数字信号处理的基础操作包括信号的变换、滤波和频谱分析等。
信号的变换可以将信号从时域转换到频域，常用的变换方法包括傅里叶变换、离散傅里叶变换和小波变换等。
滤波是对信号中某些特定频率成分的增强或抑制，常用的滤波方法有低通滤波、高通滤波、带通滤波和带阻滤波等。
频谱分析可以用于分析信号的频率特性，了解信号中包含的频率成分。
二、数字滤波器的基本概念数字滤波器是数字信号处理中最常用的工具之一，它可以从输入信号中选择性地提取或抑制某些频率成分。
根据滤波器的特性，可以将其分为无限长冲激响应（Infinite Impulse Response，IIR）滤波器和有限长冲激响应（Finite Impulse Response，FIR）滤波器。
无限长冲激响应滤波器是一种递归滤波器，其输出是输入信号与滤波器的冲激响应的卷积运算结果。
无限长冲激响应滤波器具有宽带特性和较好的频率响应，但在实际应用中会引入稳定性问题。
有限长冲激响应滤波器是一种非递归滤波器，其输出仅与输入信号和滤波器的系数有关，不涉及历史输入。
有限长冲激响应滤波器的稳定性较好，容易实现，并且可以通过调整滤波器的系数来实现不同的滤波效果。
三、数字滤波器设计原理数字滤波器的设计过程主要包括滤波器类型的选择、滤波器规格的确定和滤波器参数的计算。
数字信号处理基础
4∆x 3∆x 2∆x ∆x
t
量化误差 量化误差=量化电平－实际电平
最大量化误差为： 其绝对值为：
ε ( n ) max
∆x = ± 2
e = D 2b
一般来说，量化误差很小。通常假设A/D转 换器的位数为无限多，即量化误差为零。
增大程控增益实质上是通过减小动态范围D来减小 离散间隔 ，使得量 化电平更接近真实值
时域乘积对应 频域卷积
+∞
m = −∞
∑
采样结果
ˆ 理想抽样输出为： x(t) =
m=−∞
∑x(t)δ (t −mTs ) = ∑x(mTs )δ (t −mTs )
m=−∞
∞
∞
其频谱为：
1 ∞ 2π ˆ x( jΩ) = x( jΩ− jk ) ∑ Ts k=−∞ Ts
一个连续时间信号经过理想抽样后，其频谱将以抽样频率：
s (t )
时域采样
1
0
Ts
t
采样：就是利用周期性抽样脉冲序列 s (t ) 从连续信号 x(t ) 中抽
取一系列的离散值，得到抽样信号（或称抽样数据信号）即离散 时间信号，以 x(t ) 表示。抽样是模拟信号数字化的第一环节， ˆ 再经幅度量化编码后即得到数字信号 x (n) 。
x(t(t) ) ˆ x
信号数字化出现的问题
主要内容提要
时域采样、混叠和采样定理 量化与量化误差 截断、泄漏和窗函数 频域采样、时域周期延拓和栅栏效应 频率分辨力、整周期截断
引言—— 引言—— 数字信号处理的基本步骤
预处理 A/D 计算机 显示
预处理： 预处理： 电压幅值调理； 滤波； 隔离信号中的直流分量； 解调。 A/D转换： A/D转换： 转换 采样， 量化， 编码等。
数字信号处理第1章
…
x(n )
01 11
y(n )
11 21
z－ 1 z－ 1
并联型结构
0F 1F
1F 2F
z－ 1 z－ 1
…
数字信号处理基础－实现结构（IIR）
FIR的特点：
单位脉冲响应序列为有限个； 可快速实现； 可得到线性相位 滤波器阶数较高 IIR的特点： 滤波器阶数较低 可利用模拟滤波器现有形式
a N－ 1 aN
x(n －N)
z－ 1 b N
z－ 1 y(n －N)
直接Ⅰ型结构
…
数字信号处理基础－实现结构（IIR）
y (n) bi x(n 1) ai y (n i )
i 0 i 1
b0 a1 a2 z－ 1 z－ 1 b1 b2 x(n ) y(n )
M
N
… … …
若ai不等于0，输出依赖于以前的输出信号， 称为递归系统（有反馈）
y(n) ai y (n i) bl x(n l )
i 1 i 0
N
M
通常此时n趋于无穷大时，h(n)也不为0，对 脉冲响应无限长的系统称为IIR（无限长单 位脉冲响应滤波器）
数字信号处理基础－系统实现结构
数字信号处理基础－实现结构（IIR）
y(n) bi x(n i) ai y (n i)
i 0 i 1
x(n) x(n－ 1) x(n－ 2) b0 z－ 1 b 1 z
－ 1
M
N
y(n ) a1 a2 z－ 1 z
－ 1
y(n－ 1) y(n－ 2)
b2
…
…
…
…
数字信号处理基础
2014-11-25
20
表1.2 要求作公式用的几个Z变换
序列
Z变换
( n)
u ( n)
R N ( n)
1
收敛域
全Z平面
1 (1 z 1 ) (1 z N ) (1 z 1 )
解 由公式得 (n) x(n) y (n)
运算过程如下表格：
2014-11-25 7
m
x ( m ) y ( n m)
m
x(m) y(m) y(-m) y(1-m) y(2-m) y(3-m) y(4-m) y(5-m)
… -3 –2 –1 0 1 2 3 4 5… 3 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2
数学语言描述： y (n) T [ x(n)]
2014-11-25
满足y (n n0 ) T [ x(n n0 )]
11
3 系统的单位脉冲响应
单位脉冲响应是指系统在单位脉冲序列 (n)作用下的响应 数学表达为 h(n) T [ (n)]
说明：线性移不变离散时间系统的输出序列等于输入序列和 系统单位脉冲响应的线性卷积
1 X ( z ) a u (n) z a z (az ) 1 1 az n n 0 n 0 ROC : az 1 1 z a
n n n n 1 n
z
2014-11-25
a的圆外
17
3 Z变换的性质
1）线性
X ( z ) Z [ x(n)] ROC ：R1 Y ( z ) Z [ y(n)] ROC ：R2 Z [ax(n) by (n)] aX ( z ) bY ( z ) ROC : R1 R2
数字信号处理基础-ppt课件信号分析与处理
4.filtering modified the spectrum of a signal by eliminating one or more frequency elements from it.
5.digital signal processing has many applications, including speech recognition,music and voice synthesis,image processing,cellular phones,modems,and audio and video compression.
2020/4/13
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第2章 模数转换和数模转换
2.1 简单的DSP系统(A Simple DSP System) 2.2 采样(Sampling) 2.3 量化(Quantization) 2.4 模数转换(Analog-to-Digital Conversion) 2.5 数模转换(Digital-to-Analog Conversion) 小结 (Chapter Summary)
2020/4/13
1.5 语音、音乐、图像及其他 1.5 SPEECH,MUSIC,IMAGES,AND MORE
DSP在许多领域都有惊人的应用，并且应用的数量与日俱增。
1）利用数字语音信号(speech signals)中的信息可以识别连续语 音中的大量词汇。
2）DSP在音乐和其他声音处理方面有着重要的作用。
数字信号处理基础
数字信号处理基础一、概述数字信号处理（Digital Signal Processing）是一种涉及数字信号的处理技术，包括数字滤波、谱分析、数据压缩、图像处理等等。
数字信号处理广泛应用于通信、音频、视频等领域，尤其在现代通信系统中占据着重要地位。
数字信号处理的基础知识包括离散时间信号、离散时间系统和傅里叶变换等。
本文将对数字信号处理的基础知识做进一步介绍。
二、离散时间信号1. 离散时间信号的定义离散时间信号是指信号的取样点只能在离散的时间间隔内取样。
其数学表达式可表示为：x[n] = x(nT)其中x[n]表示离散时间信号，x为实数或复数的函数，n为离散时间信号的序号，T为采样间隔。
离散时间信号是离散的，与连续时间信号不同，这是数字信号处理的基础。
2. 离散时间信号的分类离散时间信号可以按照实部虚部的性质进行分类。
实部虚部都为实数的信号被称为实信号，实部虚部都为复数的信号被称为复信号。
此外，还有一种称为实部为零的纯虚信号，实部为零，虚部非零。
三、离散时间系统离散时间系统是指离散时间信号在离散时间下的输入和输出之间的关系。
离散时间系统可以分为线性系统和非线性系统。
线性系统满足以下两个性质：1. 叠加性：当系统输入为信号x1[n]和x2[n]时，系统的输出为y1[n]和y2[n]，则当输入为x1[n] + x2[n]时，系统的输出为y1[n] +y2[n]。
2. 齐次性：当系统输入为信号ax1[n]时，系统的输出为ay1[n]，其中a为实数，则当输入为x1[n]时，系统的输出为y1[n]。
非线性系统不满足上述性质。
四、傅里叶变换傅里叶变换可以将一个信号分解成许多不同频率分量的叠加，包含离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）和快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）两种。
1. 离散傅里叶变换（DFT）离散傅里叶变换可以将离散时间信号变换为频域的信号，公式如下：其中N为信号的长度，k为傅里叶变换的频率。
数字信号处理基础
数字信号处理基础数字信号处理（Digital Signal Processing, DSP）是指通过数字技术对模拟信号进行采样、量化和编码，然后利用数字计算机进行信号处理的技术。
它广泛应用于通信、音视频处理、图像处理等领域。
本文将介绍数字信号处理的基础知识和常用算法。
一、数字信号处理的基础概念1.1 信号的采样与量化在数字信号处理中，信号的采样是指对模拟信号进行时间上的离散，将连续时间信号转化为离散时间信号。
采样定理（奈奎斯特定理）规定，当信号的最高频率不超过采样频率一半时，信号可以完全恢复。
采样频率过低会导致混叠现象，采样频率过高则浪费存储和计算资源。
信号的量化是指将连续幅度的信号转化为离散幅度的信号。
量化过程中，信号的幅度根据一定的精度进行划分，并用一个有限的比特数来表示每个划分区间的取值。
量化误差会引入信号的失真，因此需要在精度和存储空间之间进行权衡。
1.2 Z变换和离散时间信号的频域表示Z变换是一种用于离散时间信号的频域表示的数学工具。
它将离散信号的时间域表达式转化为Z域中的复数函数，其中Z是一个复数变量。
通过对Z变换结果的分析，可以获得信号的频率响应、系统的稳定性等信息。
有限长离散时间信号可以通过离散时间傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）转化为频率域表示。
DFT是Z变换在单位圆上的离散采样。
通过DFT计算，可以得到信号在不同频率下的幅度和相位。
二、数字信号处理常用算法2.1 快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）FFT是一种高效的计算DFT的算法，它通过将长度N的DFT分解为多个长度为N/2的DFT相加，从而大大减少了计算复杂度。
FFT广泛应用于频谱分析、滤波、信号重建等领域。
2.2 滤波器设计滤波器是数字信号处理中常用的模块，用于对信号进行频率的选择性衰减或增强。
滤波器的设计可以采用时域方法和频域方法。
时域方法包括有限脉冲响应（Finite Impulse Response, FIR）和无限脉冲响应（Infinite Impulse Response, IIR）滤波器设计，频域方法主要是基于窗函数的设计方法。
数字信号处理知识点
数字信号处理知识点1. 引言数字信号处理（Digital Signal Processing，DSP）是应用数字计算技术来过滤、压缩、存储、生成、识别和其他方式处理信号的科学领域。
本文旨在概述数字信号处理的核心技术和知识点，为学习和应用DSP提供明确的指导。
2. 信号的基本概念2.1 模拟信号与数字信号2.2 信号的时域和频域特性2.3 采样定理（奈奎斯特定理）2.4 量化和编码2.5 信号重构3. 离散时间信号与系统3.1 离散时间信号的定义3.2 线性时不变（LTI）系统3.3 卷积和系统响应3.4 Z变换及其应用3.5 差分方程4. 傅里叶分析4.1 傅里叶级数4.2 傅里叶变换4.3 快速傅里叶变换（FFT）4.4 频谱分析5. 滤波器设计5.1 滤波器的基本概念5.2 理想滤波器5.3 窗函数法5.4 IIR滤波器设计5.5 FIR滤波器设计6. 信号的检测与估计6.1 信号检测理论6.2 最小二乘估计6.3 卡尔曼滤波6.4 信号的自适应滤波7. 语音与图像处理7.1 语音信号的特性7.2 语音编码技术7.3 图像信号的基本概念7.4 图像压缩技术7.5 图像增强技术8. 实时数字信号处理系统8.1 DSP芯片的特性8.2 实时操作系统8.3 硬件与软件协同设计8.4 系统性能评估9. 应用实例9.1 通信系统中的DSP应用9.2 生物医学信号处理9.3 音频和视频处理9.4 雷达和声纳系统10. 结论数字信号处理是一个多学科交叉的领域，涉及信号理论、数学、计算机科学和电子工程。
掌握DSP的基础知识对于理解和设计现代通信系统、音频和视频处理系统以及其他相关应用至关重要。
请注意，本文仅为数字信号处理知识点的概述，每个部分都需要深入学习才能完全理解和应用。
读者应参考相关教材、课程和实践项目，以获得更全面和深入的知识。
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anu(n)：左边指数序列
描述指数增长、衰减特性；如：生物繁衍、存款 本息、大气传播、电路震荡
6. 复指数序列
j n
n
a = re j
jn
x(n) (re ) r e
n
r (cosn j sin n)
ej n复正弦信号傅里叶变换的基函数、系统的特征函数
离散信号（序列）的基本运算
H (e )
j
H ( j )
无失真传输系统的频率响应
离散系统z域分析
z变换是离散系统分析与综合的重要工具
z变换定义及收敛域
X ( z)
n
x[n]z
n
单边、双边
收敛域(ROC): R |z| R+ 序列特性对收敛域的影响 1) 有限长序列 z 变换的收敛域
f (k ) (1 2
| h(n) |
H ( z)
n
n h ( n ) z
一定包括单位圆|z|=1，也就是H(e jω)存在
因果且稳定
因果稳定系统的系统函数H(z)必须在从单位圆到∞ 的整个z域内收敛，即
Rx | z |
Rx 1
也就是说，系统函数的全部极点必须在单位圆内。
数字信号处理
1.1 离散时间信号与系统 1.2 傅里叶变换 1.3 数字滤波器
信号的分类
1. 确定性信号和随机信号 平稳和非平稳（时变）信号 2. 连续信号x(t)和离散信号x(n) / 数字信号/序列 3. 周期信号和非周期信号
x(t ) x(t kT )
E
x(n) x(n kN )
离散时 间系统
输出序列
y(n) = T{x(n)}
系统性质
1. 线性
T{ax1 (n) bx2 (n)} aT{x1 (n)} bT{x2 (n)}
y(n)=2x(n)+3 / y(n) = Im[x(n)] 2. 时不变 T{x(n)}=y(n)，T{x (n-m)}=y(n-m) y(n)=x(2n)
n
h( n) z
H (e ) H ( z) z e j
j
2 Y ( z) 1 6 z 2 z 6 H ( z) 1 2 2 E( z) 1 5z 6 z z 5z 6
借助z变换，在系统的不同描述方法之间架起桥梁
系统的因果、稳定性与H(z)的收敛域
f (k ) b k u(k 1) a k u(k ) b 1 z 1
F ( z)
k
b z a z
k k k k 0
1
az 1 1
k k 0
k
(b z ) (az 1 ) k
1 k 1
z z bz za
h(n)、H(z)、差分方程区分IIR和FIR系统
(1)单位脉冲响应h(n)
如果系统的单位冲脉冲应延伸到无穷长 ，则称为 “无限长单位脉冲响应系统”，简写为IIR系统。
h(n) 0.5 u(n) infinite impulse response
n
如果系统的单位脉冲响应是一个有限长序列，则称 为“有限长单位脉冲响应系统”，简称为FIR系统。
时域插值，造成在数字频率域上频谱压缩
加防混叠滤波器的抽取器系统
将待抽取序列的频谱限制在| | 范围内 D
xd (n) H (e j ) 1, | | x ( n) D ↓D h( n) 0 x I ( n) xe (n) x ( n) I , | | j ↑I h( n) H (e ) I If s If s fs 0, xId (n) x ( n)
az 1 1
1 z 1 1 az za
|a| 时其ZT存在， 其收敛域是半径为|a| 的圆外区域。
Re[ z ]
3) 反因果序列z变换及其收敛域
f (k ) a u(k 1)
k
F ( z)
k
a u(k 1) z
h(n) z变换
零、极点图
H ( z)
n
z变换 差分方程
H (e j ) 框图/流图
H ( z)
y(k ) 5 y(k 1) 6 y(k 2) e(k ) 6e(k 2) 1 2 2 Y ( z )(1 5 z 6 z ) E ( z )(1 6 z )
F ( z)
3
k 0
2 1)
k
f (k ) z
k
z 2 2 z 3 2 z 1 z 2
ROC 0 z
有限长序列的z变换的收敛域至少是有限z平面
2) 因果序列z变换及其收敛域
f ( n) a n u ( n)
1 n ( az F ( z ) a u ( n) z ) n n n n 0
4. 稳定性 有界输入产生有界的输出
LTI系统稳定的充分必要条件 y(n) = x(n) +2y(n-1)
n
h( n )
系统的描述方法
常系数线性差分方程 / 微分方程
单位抽样响应 系统函数 零、极点图 框图/流图(实现结构) 频率响应
h( n) H ( z)
h(t ) H ( s)
1) 相加与相乘 2) 翻转 3) 差分 x1(n) + x2(n) x(n) x ( n) c x(n)
x(n) x(n 1) x(n) x(n) x(n) x(n 1)
x(n) x(nN)
z
1
4) 位移（延时）
x ( n)
y ( n)
单位延时
5) 卷积
y(n) x(n) h(n)
Im[ z ]
zb
za
azb
双边序列当|a|<|b|时其z变 换存在，收敛域为 |a|<|z|<|b|的环状区域 当|a||b|时没有公共收敛域， 即其z变换不存在！
半径为|b|
Re[ z ]
半径为|a|
系统函数H(z) (transfer function, system function)
t nT
n 0
1
2 1 1}
x(n)={1, 1, 2, -1, 1; n= -1, 0, 1, 2, 3} 丢失了具体的时间信息，只表明信号的先后顺序
典型离散信号（序列）
1. 单位脉冲序列
1 n 0 (n) 0 n 0
h(n)
2. 单位阶跃序列
1 n 0 u (n) 0 n 0
FIR系统一般采用非递归结构实现
有时FIR系统也使用递归结构实现，可以提高计算效率 栗子：L点的滑动平均器：
1 y (n) [ x(n) x(n 1) x(n L 1)] L 1 y (n) [ x(n) x(n 1) x(n L 1) x(n L) x(n L)] L 1 y (n) y (n 1) [ x(n) x(n L)] END L
LTI (linear time-invariant) LSI (linear shift invariant)
3. 因果性（Causality）
系统n时刻的输出只与n时刻及以前的输入有关 因果的LTI：h(n)=0, n<0. y(n) = [x(n+1) + x(n) + x(n-1)] /3
x(n-k)有关，而且和各y(n-k)有关。 FIR 系统中，没有反馈环路，称之为“非递归型”结 构。FIR系统的输出只和各输入x(n-k)有关。
IIR系统只能采用递归型结构实现
y(n) ay(n 1) bx(n) cx(n 1) y(n) ax(n) bx(n 1) cx(n 2)
x(n) x(t ) t nT A sin( 0 nT ) A sin( 0 n )
T
数字频率与模拟频率的关系 是一个相对频率
f 2 T fs fs
5. 指数序列
x(n) a , n Z
n
anu(n)：右边指数序列
|a| 1序列有界 |a| 1序列有界
6) 抽取(decimation)与插值(interpolation) x(Dn) 是x(n)的抽取序列 D为正整数 每D个样值抽取一个 x(n/I) 是x(n)的插值序列
I为正整数
每两个样值之间插入（I -1）个零值
选择合适的I和D，就能够任意地改变采样频率fs
一般是先做I倍插值，再做D倍抽取 时域抽取，造成在数字频率域上频谱展宽
y ( n)
acc
m
x(m)h(n m)
卷积的FFT算法 卷积的实时处理 分段卷积 重叠相加法和重叠保留法
重叠相加法： h(n)为M点，将x(n)分为每段L点，L和M的数量级相同 可得每段的卷积结果 yi(n) 为 L+M-1 点，由于每段 xi(n) 为 L点 ，故相邻两段输出序列必然有 (M-1)个点发生重 叠，应该将重叠部分相加再和不重叠的部分共同组成 卷积结果y(n)。 重叠保留法： 将x(n)分段，每段L个点,在每一段的前边补上前一段 最后(M-1)个值，组成L+M-1点序列xi(n) 然后用FFT实现h(n)和xi(n)的L+M-1点圆周卷积，卷积 结果的前(M-1)点发生混叠，舍去混叠点后，用每段的 后L个值，首尾相接构成y(n)。
k
k
k
a
1
k
z
k
(a z )
1 k 1