《变量与函数》精讲

解:由x+2 ≠ 0得 x≠－2
∴自变量 n 的取值范围: x≠－2
h （4）
1 k k 1
k≤1且k ≠－1
解:自变量的取值范围是:
求下列函数的自变量x的取值范围：
1 y x
(x≠0)
1 y x 1
(x≠-1)
y x
(x≥2)
(x≥0)
y 4x 5
(x为一切实数）
y x2
1 2 y x 2
1. 在上面“试一试”中所出现的各 个函数中，自变量的取值有限制吗？ 如果有，写出它的取值范围。
y 10 x
(x取1到9的自然数)
y 180 2 x (0 x 90 ) 1 2 y x (0 x 10) 2
2. 在上面“试一试”的问题（ 1 ） 中，当涂黑的格子横向的加数为 3 时， 纵向的加数是多少？当纵向的加数为 6 时，横向的加数是多少？
2
（3）在 y = x 中的y与x； 不是
2
判断下列各式中y是x的函数吗？ 并找出中的自变量和因变量。
(1)y=3x
x2 (3)y= x 1
2 (2)y=4x +5
(4)y= x 1
2 (6)y =8x+4
(5)
y
2 =x +4
观 察:
1、某日的气温变化图
从图中我们可以看到，随着时间t（时）的变化，相应地 图 17.1.1 气温T（℃）也随之变化．
（2）开偶数次方中的被开方数必须大
于等于0。[ （a≥0) ] （3）开奇数次方中的被开方数为全体 实数。
a
求出下列函数中自变量的取值范围
（1）y=2x 解: 自变量 x 的取值范围:x为任何实数
（2） m
n 1
∴自变量 n 的取值范围: n≥1
3 x2
解: 由n-1≥0得n≥1
（ 3） y
观 察:
2、 2002年7月中国工商银行为 “整存整取”的存款方式规定的利 率
观察上表，说说随着存期x的增长， 相应的利率y是如何变化的．
观 察:
3 、收音机上的刻度盘的波长和频率分别是用米 （m）和千赫兹（kHz）为单位标刻的．下面是一 些对应的数：
细心的同学可能会发现： l 与 f 的乘积是一个定值 300000 ，即lf＝300 000，或者说 f = ． l 说明波长越大，频率f 就____________
S=x2
6
（2）秀水村的耕地面积是106m2，这个村人均耕 地面积y随着人数x的变化而变化
(3)长方形的周长是18
10 y x
,它的长是m，宽是n
；
m=9-n
认真审题：你会有意外的收获
汽车由永泰驶往相距1200公里外 的上海，它的平均速度是100 公 里/小时，则汽车距上海的的距离 s（公里）与行驶时间t（小时） 的函数关系式?
日常生活和自然界中函数的事例很多，你能举一个吗？
• 思考题： 填表并回答问题：
1 x y=+2x 2和－2 4 8和－8 9 16
18和－18 32和－32
（1）对于x的每一个值，y都有唯一的值与之 对应吗？答： 不是 。 （2）y是x的函数吗？为什么？
答：不是，因为y的值不是唯一的。
在某个变化过程中，有两个变量x和y，对于变 量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它 对应，我们就说x是自变量，y是因变量。 也称y是x的函数。
.
辨析是否是函数的关键： (1)是否存在变量, (2)是否符合唯一对应性；
下列变化中，哪些y是x的函数？哪些不是？说明理由。 xy=2 x2+y2=10 x+y=5 |y|=3x+1 y=x2-4x+5
自我挑战
1、判断下列问题中的变量y是不是x的函数？
（1）在 y = 2x 中的y与x； 是 （2）在 y = x 中的y与x； 是
∴自变量的取值范围是: 0 ≤ x ≤ 500
(3)当 x = 200时,函数 y 的值为:y=50－0.1×200=30
因此,当汽车行驶200 km时,油箱中还有油30L
１、一辆汽车的油箱中现有汽油100L，如果不再 加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x （单位：千米）的增加而减少，平均耗油量为0.2L/ 千米。 （1）写出表示与x的函数关系的式子。 （2）指出自变量x的取值范围。 （3）汽车行驶100千米时，油箱中还有多少汽油？
（2）试写出等腰三角形中顶角的度数 y与底角的度数x之间的函数关系式．
y 180 2 x

y
x
（ 3 ）如图，等腰直角△ ABC的直角边长与正方 形 MNPQ的边长均为 10 cm， AC与 MN在同一直 线上，开始时 A点与M点重合，让△ ABC向右运 动，最后 A 点与 N 点重合．试写出重叠部分面积 ycm2与MA长度x cm之间的函数关系式．
指出前面三个问题中的自变量与函数. 1.“票房收入问题”中y=10x，对于x的每一个值，y都有 唯一 的值与之对应，所以 x 是自变量，y是x的函数. 唯一 的 2.“行程问题”中s=60t，对于t的每一个值，s都有 s 是 t 的函数. 值与之对应，所以 t 是自变量， 3.“气温变化问题”，对于时间t的每一个值，气温T都 有唯一的值与之对应，所以 t 是自变量， T 是 t 的函数.
例： 一个三角形的底边为5，高h可以任意伸缩，三角 5 形的面积也随之发生了变化. h 解:（1）面积s随高h变化的关系式s = ， 2 5 h 其中常量是 2 ，变量是 h和s ， 是自变 量， s 是 h 的函数； 7.5 （2）当h=3时，面积s=______， 25 ； （3）当h=10时，面积s=______
互动乐园
8 6 4 2 0 0 -2 -4 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
这三个问题，它们具有函数 关系吗 ? 是怎样表示函数关 系的? 图象法
波长 l(m)
300
500
600
1000
1500
列表法
频率 f(kHz) 1000 600 500 300 200
f=300 000 / λ
S(千米)
3.温度变化问题：如图一，是北京春季某一 天的气温Ｔ随时间t变化的图象，看图回答：
（1）这天的8时的气温是 4 ℃，14时的气温是 8 ℃， 22时的气温是 6 ℃； （2）这一天中，最高气温是 10 ℃，最低气温 是 -2 ℃； 小结：天气温度随 时间 的变化而变化，即T随 t 的变 化而变化；
例1 一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果 不再加油，那么油箱中的余油量y（单位：L） 随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平 均耗油量为0.1L/km。
（1）写出表示y与x的函数关系的式子。 （2）指出自变量x的取值范围 （3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？ 解:(1) 函数关系式为: y = 50－0.1x (2) 由x≥0及50－0.1x ≥0 得 0 ≤ x ≤ 500
例1 求下列函数中自变量x的取值范围：
（1） y＝3x－1； （2） y＝2x2＋7；
（3） y=
1 ； x2
（4） y＝ x 2 ．
（1）（2）中x取任意实数，原式都有意义 解： （3）中，x≠－2时，原式有意义． （4）中x≥2时，原式有意义．
确定函数自变量取值范围的条件：
1 （1）分母不等于0；[ （a≠ 0)] a
第17章 函数及其图象
17.1 变量与函数
教学目标
（1）认识常量、变量（包括自变 量与 因变量） （2）了解函数的概念和三种表示 方法 （3）学会分析简单实际问题中的 函数关系，并能举பைடு நூலகம்实例
创设问题情境 2.行程问题：汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行 驶里程为s千米，行驶时间为t小时.请根据题意填表：
y x2
3
(x为一切实数）
求下面的函数自变量的取值范围：
y 3x 5
2x y x 1
y x6
3
y x 1
想想下面这几道题——
y x 2 x 3
y 1 x6
x 1 y x 3
y x 4 5 x
x 9 y x 10
5 3x y x3 x2
S=πr2
解析法
★函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法
例题
写出下列问题中的函数关系式，并指出其中的 常量与变量：
①时速为110千米的火车行驶的路程s(千米)与时间t(小 时)之间的关系式； ②底边长为10的三角形的面积S与这边上的高h之间的关 系式； ③某种弹簧原长20厘米，每挂重物1千克，伸长0.2厘米, 挂上重物后的长度y(厘米)与所挂重物x(千克)之间的关系式; 解:① s=110t 常量是110,变量是t和s. ② S=5h 常量是5, 变量是h和S. ③ y=20+0.2x 常量是20和0.2,变量是x和y.
t(时) 1 2 3 … 10
60 120 180 600 小结：行驶路程随 时间 的变化而变化，有关系式 s= 60t ，即s随 t 的变化而变化； 1.票房收入问题：每张电影票的售价为10元. （1）若一场售出150张电影票，则该场的票房收入 是1500 元； （2）若一场售出205张电影票，则该场的票房收入 是 2050 元； （3）若设一场售出x张电影票，票房收入为 y元，则 y= 10x 。 小结：票房收入随售出的电影票数变化而变化，即 y随 x 的变化而变化；
判断下列等式中，哪些y是x的函数？
(1) y=2x+1 x5 y (3) x 8 (5)
(2) y (4) y
x 1
2
y x
2
x
（1）填写如图所示的加法表，然后把所有填有 10的格子涂黑，看看你能发现什么?