(完整版)贝叶斯统计-习题答案)

第一章 先验分布与后验分布

1.1 解：令120.1,0.2θθ==

设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则

22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从而有

5418

.03

.02936.07.01488.07

.01488.0)()|()()|()()|()|(2211111=?+??=+=

θπθθπθθπθθπA P A P A P A 4582

.0)|(1)|(4582

.03.02936.07.01488.03

.02936.0)()|()()|()()|()|(122211222=-==?+??=+=

A A or A P A P A P A θπθπθπθθπθθπθθπ

1.2 解：令121, 1.5λλ==

设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()X

P λ

∴3(3)3!

e P X λ

λλ-==

R 语言求：)4(/)exp(*)3(^gamma λλ-

1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从而有

111222(3)()

(3)0.2457

(3)(3)()

(3)0.7543

(3)

P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ========

==

1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则

33

58()(1)P A C θθθ=-

（1） 由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有

.10,)1(504)|(504)6,4(/1)

6,4(1

)6,4()1()

1()1()1()1()1()1()()|()

()|()|(53531

1

61

45

31

5

3

5

31

53

3

8

5

33810

<<-==-=

--=

--=

--=

=????--θθθθπθθθ

θθ

θθθ

θθ

θθθ

θθ

θθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求

（2）

.10,)1(840)|(840)7,4(/1)

7,4(1

)

7,4()1()

1()1()1()1()1(2)1()

1(2)1()()|()

()|()|(63631

1

71

4631

6

3

6

31

53

38

533810

<<-==-=

--=

--=

----=

=????--θθθθπθθθ

θθ

θθθ

θθ

θθθθθθ

θθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求

1.5 解：（1）由已知可得

.

5.125.11,

110110

/1)()|()

()|()|(,2010,10

1)(5.125.111)|(2

1

12211)|(12,21

21,

1)|(5.125.1120

10

11111111<<==

=

<<=

<<=+<<-==+<<-=??

θθ

θ

θπθθπθθπθθπθθθθθθθθd d x p x p x x p x p x x x p ，，即

，时，

当

（2）由已知可得

.

6.115.11,

1010110

/1)()|,,()

()|,,(),,|(,

2010,10

1)(6.115.111)|,,(,219.1121,214.1121,

211.1121,217.11212

15.11212112211)|,,(9.11,4.11,1.11,7.11,5.11,0.12,

6,2,1,2

121,

1)|,,(6.115.1120

10

621621621621621654321621<<==

=<<=

<<=+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-

========+<<-=??

θθ

θ

θπθθπθθπθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθd d x x x p x x x p x x x x x x p x x x p x x x x x x i x x x x p i ，即

，，时，当

【原答案：由已知可得 ()1,0.50.5P x x θθθ=-<<+

1

(),102010πθθ=

<< 11.611.51

()0.0110

m x d θ==?

从而有

()()

()10,11.511.6()

P x x m x θπθπθθ=

=<< 】

1.6 证明：设随机变量()X

P λ，λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知，则

即得证！

)

,(~),,|()

()|,,(),,|(,

0,)

()(,

!

!

)|,,(1

21)(1212111

1

2111

βαλπλλπλλπλλαβλπλ

λλλβαβλ

ααλ

λ

++∑∑∝?∝>Γ=∑=

==+--+--=-=-==∏∏

n x Ga x x x e

x x x p x x x e x e x e

x x x p n

i i n n x n n n

i i

n x n

i i x n n

i i n

i i

i

【原答案： (),0!

x e P x x λ

λλλ-=

>

1(),0()

e ααβλ

βπλλλα--=

>Γ 因此 11(1)()()()x x x P x e e e λαβλαβλπλλπλλλλ---+--+∝?∝= 所以 (,1)x Ga x λαβ++】 1.7 解：（1）由题意可知

.

1},max{,1

)/(1)

/(122

)()|,,()

()|,,(),,|(,10,1)(,

,2,1,10,22)|,,(121

}

,max{221

}

,max{21211

2121211

21

2

2111<<∝

==

=

<<==<<<=

=?

?

∏∏?

∏

∏====θθ

θ

θθθ

θ

θ

θ

θπθθπθθπθθπθθ

θ

θn n

x x n

n x x n

n

i i

n n

n

i i

n

n n n n

i i n

n

i i

n

i

n x x d d x x

d x x x p x x x p x x x n i x x

x x x x p n n

【原答案：由题意可知 ()1,01πθθ=<< 因此

1

2

2()12(1)x

x

m x d x θθ=?=-?

因此 2

()()1

(),1()1P x x x x m x x θπθπθθθ

=

=<<- （实质是新解当n=1的情形）】

（2） 由题意可知

.

1},max{,1

)/(1)

/(13232

)()|,,()

()|,,(),,|(,10,3)(,

,2,1,10,22)|,,(12

-21

}

,max{2

-22-21

}

,max{2

212

211

21212121

2122111<<∝

=

??=

=

<<==<<<=

=?

?

∏∏?

∏

∏====θθ

θ

θ

θθ

θθ

θθ

θ

θπθθπθθπθθθπθθ

θθn n x x n n x x n

n

i i

n n

n

i i

n

n n n n

i i n

n

i i

n

i

n x x d d x x

d x x x p x x x p x x x n i x x

x x x x p n n

【原答案：由题意可知 1

22

2()36x

m x d x θθθ=?=?

因此 ()()

()1,01()

P x x m x θπθπθθ=

=<<】 1.8 解：设A 为100个产品中3个不合格，则

3

397100()(1)P A C θθθ=-

由题意可知 199(202)

()(1),01(200)

πθθθθΓ=

-≤≤Γ 因此 3971994296()()()(1)(1)(1)A P A πθθπθθθθθθθ∝?∝--=- 由上可知)297,5(~)|(Be A θπ

1.9 解：设X 为某集团中人的高度，则2(,5)X

N θ

∴2

5

(,)10

X

N

θ ∴2

(176.53)5

()p x θθ--

=

由题意可知 2

(172.72)5.08()θπθ--=

又由于X 是θ的充分统计量，从而有

()()()()x x p x πθπθθπθ=∝?

2

2

2

(176.53)(172.72)(174.64)5

5.08

21.26

e

e

e

θθθ----

-

-

?∝?∝

因此 (174.64,1.26)x N θ

1.10 证明：设22(,),,N u u θ

σσ其中为已知

又由于X 是θ的充分统计量，从而有

()()()()x x p x πθπθθπθ=∝?

22

22

2

2

251()

()11

252()11

22525

2u x x u e

e

e

σθθθσσ

σ

+-

-

--

+?--

?+?∝∝

因此 22

2

251(,

)11

2525u x x

N σθσσ+++

又由于

2

111

25

25σ≤+ 所以 θ的后验标准差一定小于1

5

1.11 解：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)X U θ

.8,861)/(1192

192

)()|,,()

()|,,(),,|(,

4,192

)(.

81

)|,,(8,8,5.

3,2,1,0,1

)|,,(768

778

7

7

4

3213213214

3

3213213

321>?===

=

≥=

>=

====<<=

?

?

?

∞∞

∞

θθθθ

θθ

θθθ

θπθθπθθπθθθπθθθθθ

θd d d x x x p x x x p x x x x x x p x x x i x x x x p i ，时，当

【原答案：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)X

U θ

∴1

(),0p x x θθθ

=

<<

当8θ>时，3

1

()p x θθ=

43

8

1921

1

()8192

m x d θθθ

+∞

==?

从而有 7

()()3

()()128p x x m x θπθπθθ=

=, 计算错误】

1.12 证明：由题意可知 1

(),0,1,2,...,i n

p x x i n θθθ=

<<=

从而有 ()()()()x x p x πθπθθπθ∝?

00111

n n n αα

ααθθθθθ

++++∝?∝ 因此 θ的后验分布仍是Pareto 分布。

1.13 解：由题意可知

()()2

13

31645

1ααβααββαβαβ?=?+=??

???=??=?+++? 1.15 解：

（1）设λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知 由题意可知

.

0,)

()|,,(),,|(.

0,)()(.

,2,1,0,)|()|,,()(

1

212111

1

211

1

>∑∝?∝>Γ==>∑===+--+---=-===∏∏λλ

λπλλπλλαβλπλλλλλ

βαβλ

ααλ

λn

i i n

i i

i

x n n n i x n

n

i x n

i i n e

x x x p x x x e n i x e

e

x p x x x p

所以(,)Ga αβ是参数λ的共轭先验分布。

【原答案：设λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知 由题意可知

1

1()(),0,1,2,...,n

i

i n

x n i i i p x p x e

x i n λ

λλλ=-=∑==>=∏

从而有 ()()()x p x πλλπλ∝? 1

1

()11

n

n

i

i i i x x n n e e e

λ

βλ

αβλ

αλλ

λ

==--+

--+-∑

∑∝?=

因此 1

(,)n

i i x

Ga n x λαβ=++∑

所以 (,)Ga αβ是参数λ的共轭先验分布】 （3） 由题意可知

20.00020.000420.0001α

αβαββ

?=?=??

??

?=??=?? 1.16 解：设2112

1

(,)(,

)2X

N N θσθθ=，则

2

21

()

12

(,)x

p xθθ

θθ--

=

∴

2

21

1

()

2

122

(,)

n

i

i

n x

p x e

θθ

θθθ=

--

∑

∝

由题意可知

12

2

1

(0,)

2

N

θθ

θ2

(,)

Ga

θαλ

从而有()()()21

1

1()

2

121222

,

()

e

αα

θθλ

λ

πθθπθθπθθ

α

+--+

=∝

Γ

因此()()

22

211

11

1(1)2

1

2

1212122

,(,),

n n

i i

i i

n n x x x p x e

θθθλ

α

πθθθθπθθθ==

??

+-+-++

??

+-??

??

∑∑

∝∝

1.19 证明：设λ的先验分布为()

πλ，()

X Pλ，则

(),0

!

x e

P x

x

λ

λ

λλ

-

=>

∴∏

∏

=

=

-

∑

=

==

n

i

n

i

i

n

x

i

n

x

e

x

p

x

x

x

p

n

i

i

1

1

2

1

!

)

|

(

)

|

,

,

(1

λ

λ

λ

λ

,

从而有

)

(

)

(

)

|

,

,

(

)

,

,

|

(1

2

1

2

1

λ

π

λ

λ

π

λ

λ

πλ?

∑

∝

?

∝-

=

n

x

n

n

e

x

x

x

p

x

x

x

n

i

i

令

1

n

i

i

T x

=

=∑，则)

(

~λ

n

P

T,

)

(

)

(

)

|

(

)

|

(

)!

(

)

(

)

|

(

1

1

1

1

1

1

λ

π

λ

λ

π

λ

λ

π

λ

λ

λ

λ

?

∑

∝

?

∝

∑

∑

∑

=

-

=

=

=

=

-

=

=

∑

∑

n

x

n

i

i

n

i

i

n

i

n

i

i

n

x

i

e

x

p

x

x

e

n

x

p

n

i

i

n

i

i

所以，)

,

,

|

(

)

|

(

2

1

1

n

n

i

i

x

x

x

x

λ

π

λ

π=

∑

=

, 的充分统计量。

是

故λ

∑

=

n

i

i

x

1

第二章贝叶斯推断

2.1 解：由题意可知()1,01

πθθ

=<<

设n

x

x

x,

,

,

2

1

是从随机变量X中抽取的随机样本，则

∏∏=-=-∑-=-===n i n

x n

n

i x i n n

i i i x p x x x p 1

1

1

211

)1()

1()|()|,,(θθθθθθ

从而有

1

0,)1()

()|,,(),,|(1

2121<<∑-∝?∝-=θθθθπθθπn

x n

n n n

i i x x x p x x x

所以

)

1,1(~),,|(1

21+-+∑=n x n Be x x x n

i i n θπ

（1）由题意可知 3,11==x n

,

5

2

322?)

3,2(~)|(1=+=∴E

Be x θθπ

(2) 由题意可知 5,2,3,3321====x x x n

3

1844?)

8,4(~),,|(321=+=∴E Be x x x θθπ

【原答案: 由题意可知 ()1,01πθθ=<<

设n x x x ,,,21 是从随机变量X 中抽取的随机样本，则

11()()(1)n

i

i n

x n

i i p x p x θθθθ==∑==-∏

从而有 ()()1()(1),01n

i

i x n

x p x πθθπθθθθ=∑∝?∝-<<

所以 1

(1,1)n

i i x

Be n x θ=++∑

（1） 由题意可知 n=1,x=3 ∴(2,4)x

Be θ

∴21

?243

E

θ==+

（2） 由题意可知 1233,3,2,5n x x x ====

∴(4,11)x

Be θ

∴44

?41115

E

θ==+ ， 由于原题几何分布分布律出错，导致结果出错】 2.2 解：设X 为银行为顾客服务的时间，则 ()x p x e λλλ-=

∏∏=-=-∑====n i x n n i x i n n

i i

i e

e x p x x x p 1

1

211

)|()|,,(λ

λλλλλ

设λ的先验分布为(,)Ga αβ，则

20.20.040.21α

αβαββ

?=?=??

??

?=??=?? 由题意可知 3.8x =

从而有

)()|,,(),,|(2121λπλλπ?∝n n x x x p x x x

()11

111n n

i i

i i x x nx n n n e e e

e λβλ

λβαλβ

ααλλ

λ

λ==??

?-+- ?-+--+-+-??

∑

∑∝?==

因此有

)2.76,04.20(),(~),,|(21Ga x n n Ga x x x n =++βαλπ

所以有

26.02

.7604.20),,|(?21===n E x x x E λλ

()()()1110

?() 4.0021

n

nx n nx nx E x e d n n αλβαββθλλλλαα++∞

-+--+-++==?==Γ++-? 2.3 解：设X 为磁带的缺陷数，则()X p θ

∏∏∏

=-==-∑=

===3

1

331

3

1

321!

!

)|()|,,(3

1

i i

x i i i x i x e x e

x p x x x p i i

i

θ

θ

θ

θθθ

由题意可知 ()21,02

e θ

πθθθ-=>

从而有

.16

11411),,|(,411?),

4,11(~),,|(),,|(6,0,2)()|,,(),,|(2321321410321321233213213

1

===∝===∑∝?∝---=x x x Var Ga x x x e x x x x x x e e x x x p x x x E x i i

θθθπθθπθθ

θπθθπθ

θ

θ即：时，

当

2.4 解：设X 为n 个产品中不合格数，则(,)X bin n θ

由题意可知 ()49(1),01πθθθθ∝-<< （1） 由题意可知(20,)X

bin θ

∴317()(1)p x θθθ∝-

∴()()()x p x πθθπθ∝?31749726(1)(1)(1)θθθθθθ∝-?-=-

因此 (8,27)x Be θ

又626725

()7(1)26(1)0x πθθ

θθθ'∝---

所以 7?33

MD

θ= （2） 由题意可知(20,)X

bin θ且()726(1)πθθθ=-

∴20()(1)p x θθ∝-

∴()()()x p x πθθπθ∝?72620746(1)(1)(1)θθθθθ∝-?-=-

因此 (8,47)x Be θ

所以 78??,5355

MD E

θθ== 2.5 解:设2(,2)X

N θ，则222σ=

令2

2

04

n

n σσ=

=

设(,1)N u θ

，则1τ=，且211(,)x

N u θτ

其中 22

0122

2200u x u στστστ

------=+++

22

2

1

1

1

1

τ

στ=

+

21

4

?()()0.14

E MSE Var x n θθτ===≤+ 2.6 解：设X 为1000名成年人中投赞成票的人数，则(1000,)X

bin θ

（1）由题意可知 710710

2901000(710)(1),01p C θθθθ=-<<

a.()()710290711290710(710)(1)(1)A p πθθπθθθθθθ∝?∝-?=-

∴710

(712,291)Be θ

b.()()7102903713290710(710)(1)(1)B p πθθπθθθθθθ∝?∝-?=-

∴710

(714,291)Be θ

（2）a.712

?(710)0.7098712291

E

E θθ===+

b. 714?(710)0.7104714291E

E θθ===+ （3）由题意可知10001000()(1),01x

x x p x C θθθθ-=-<<

a.()()100011000()(1)(1)x x x x A x p x πθθπθθθθθθ-+-∝?∝-?=-

∴(2,1001)x

Be x x θ+-

∴2?()1003

EA

x E x θθ+== b.()()1000331000()(1)(1)x x x x B x p x πθθπθθθθθθ-+-∝?∝-?=-

∴(4,1001)x

Be x x θ+-

∴4

?()1005

EB x E x θθ

+==

∴?EA θ-?EB θ=21003x +-41005

x +=

2.7 解：由题意可知 1

(),0p x x θθθ

=

<<

1

(),0,1,2,...,i n

p x x i n θθθ∴=

<<=

令{}1012max ,,,...,n x x x θθ=，则

()1

01

()()()n m x p x d n α

α

θαθθπθθαθ+∞

+=?=+?

从而有 ()()111

()(),()n n p x n x m x α

αθπθαθπθθθθ++++=

=> 1

11

1

1

()1

?()(1)n E n n n E x d n α

ααθαθθθθ

θθαθ++∞

+++-+===

+-?

1

2

2

11

2

1

()1

()(2)n n n n E x d n α

ααθαθθθ

θθαθ++∞

+++-+==

+-? 22222(1)

11

11

?()()()()(2)(1)E

n n MSE Var x E x E x n n ααθθθθαθαθ+-+-==-=-+-+- 2.8 解：

（1）由题意可知 2

1221()2n x n p x x e θθθ--??∝ ???

()(1)

e β

αθπθθ--+∝

因此 ()22

1(1)(1)222

12x

n

x n

n x x e e e

ββ

ααθθ

θπθθ

θ

θ+

-

-

-

--++-+??

∝∝ ???

所以 (,)22

n x

x IGa θαβ++

（2）2

2

2()1222x Var x n n βθαα?

?+ ?

??=????+-+- ? ?????

2()12

x E x n

βθα+

=+- （3） 由题意可知 2

2

21()n nx p x e

θ

θθ-??

∝ ???

()2

2

(1)2

nx n x e

βαθ

πθθ

+--++∝

2(,)22

n nx x

IGa θαβ∴++

22?12MD

nx n βθα+

∴=++ 2

2?12

E nx

n βθα+

=+-

第三章 先验分布的确定

3.1 大学生中戴眼镜的比例是0.7 3.6 （1）由题意可知

因此，该密度既不是位置密度也不是尺度密度。 （2）由题意可知

令 ，则 1

,11

()2

0x p x θθθ?-<<+?=??? 其他

2

22

1111

()1p x x x β

θπβπβ

β=

=

+??

+ ???211

1x x ?βπβ??= ?????

+ ???

1()x p x θ?ββ??= ?

??

因此，该密度是尺度密度。 （3）由题意可知

令 ，则

因此，该密度是尺度密度。

3.8 解：（1）由题意可知 设12,,...,n X X X

是来自X 的简单随机样本，则

对上式分别求一阶导、二阶导得

（2）由题意可知

设12,,...,n X X X 是来自X 的简单随机样本，则

()2

1

1

1

1

ln ()ln ln ()ln(1)i

n

n

n

n

x i n

i i i i i i l x p x C x n x θθθθ======++--∑∑∑∏

对上式分别求一阶导、二阶导得

（3）由题意可知 1()(1)x m x x m p x C θθθ+-=-

()

10

00(),a a x p x x x x x θ-+??

=

> ?

??

()

100a x x a x x ?-+????= ? ?????

0001(),x p x x x x x θ???=> ???()!

x e

p x x θ

θθ-=()1

1

1

1

1

ln ()ln

ln ln !

!

n

i

i x n n

n

n i i i n

i i i i

i e l x p x x n x x θ

θ

θθθθ=-====∑===--∑∏∏∏1

1n i i l x n θθ

=?=

-?∑22

2

1

1n i

i l x

θ

θ

=?=-

?∑22211()n x x i i l n

I E

E x θ

θ

θθθθ=?????=-==???????

??∑()πθ=

()(1)x x n x

n p x C θθθ-=-2

1

1

1

1n

i n

i i i n x l x θθθ

==-?=-?-∑

∑()

2

21

2

22

1

1

1n

i

n

i i i n x l x θθθ==-?=--

?-∑∑()2

221

22211()(1)1n

i n

x x i i i n x l n I E E x θ

θ

θθθθθθ==??-???????=-=+=???--????

????

∑∑()πθ=

设12,,...,n X X X 是来自X 的简单随机样本，则

()1

1

1

1

ln ()ln ln ln(1)i

i n

n

n

x i x m i i i i l x p x C

nm x θθθθ+-=====++-∑∑∏

对上式分别求一阶导、二阶导得

（4）由题意可知 设12,,...,n X X X 是来自X 的简单随机样本，则

()()()1

1

1

ln ()ln ln 1ln n

n

n

i i i i i i l x p x n n x x αθαλααλ=====-Γ+--∑∑∏

对上式分别关于α求一阶导、二阶导得

(5)

设12,,...,n X X X 是来自X 的简单随机样本，则 ()()()1

1

1

ln ()ln ln 1ln n

n

n

i i i i i i l x p x n n x x λθαλααλ=====-Γ+--∑∑∏

对上式分别关于

λ求一阶导、二阶导得

（6）由题意可知 设12,,...,n X X X 是来自X 的简单随机样本，则

()()()1

1

1

,ln ()ln ln 1ln n

n

n

i i i i i i l x p x n n x x αλθαλααλ=====-Γ+--∑∑∏

对上式分别关于λ求导得 111n i i l nm x θθθ=?=-?-∑()212

221n i i x l nm θθθ=?=--?-∑()21

2

222()(1)1n

i x x i x l nm nm I E E θθθθθθθθ=??

???????=-=+=???--????????

∑()πθ=1()ln ln ()n

i i l n n x αλαα='?Γ=-+?Γ∑()()()()()222l n αααααα''''ΓΓ-ΓΓ?=-?Γ()

1(),0

x

p x x e x ααλλαα--=>Γ()()()()()()()()()()2222()x x l I E E n n αααααααααααααα??'

'''''''ΓΓ-ΓΓΓΓ-ΓΓ???=-==?????ΓΓ????()πα=

1

n

i i l n x αλλ=?=-?∑222

l n αλλ?=-?,0

x

e x λ->2222()x x l n n I E E λλααλλλλ?????

=-==?????????()πλ=

222

l n α

λλ?=-?()

1(,),0x

p x x e x ααλλαλα--=

>Γ()()()()()

2

22l n αααααα''''

ΓΓ-ΓΓ?=-?Γl n

αλλ

?=??

令(),θαλ=，则

3.9 证明：由题意可知 ()()ln i i i i i l x p x θθ=

()

i i πθ=由于各i X 独立，因此有

()()121

1

(,,...,)ln ln k

k

k i i i i i i i i l x x x

p x p x θθθ====∑∏

由上式可得出

因此有 ()()1

det k

i i I I θθ==∏

所以

3.10 解: 由题意可知 ()0.01

20.01,0e θ

πθθθ--=>

因此有 所以有

3.11解：由题意可知

()()()()()()()()()()()22222

det 1n

n n I n

n αααααααααλ

θαλααλλ''''ΓΓ-ΓΓ-

??

''''ΓΓ-ΓΓΓ==-??Γ??

-()()()()()()()()()()2222

l E E n n ααααααααααα??''''''''ΓΓ-ΓΓΓΓ-ΓΓ??

?-==?????ΓΓ????2222l n n E E ααλλλ?????-==?????????()l n E αλλ?-=-??()2

2n πθαλ?=?()()22i i i i

l x I E θθθ??

?=- ? ????

()()2

2

22

i i i i i l x l x θθθθ??=??()

2

0i i j l x θθθ?=??()()()()

1

1

det k k k

i

i

i

i i i I I πθθθπθ=====

==∏∏()0.01

0.01

1

23

(,)()e

0.010.01e

,0

x x

h x p x e x θ

θ

θ

θθπθθθθθ+------===>>0.01

0.01

0.013

00

111()0.01e

e

e 0.010.01x x x x

x x m x d x x θ

θ

θθθθ

+++-

---??==+=

??++??

?12121

1

(,,...,,,...,)()!

i

i

x n n

i n n i i i i i e p x x x p x x θ

θθθθθ-====∏∏

()()

()1

1

1121

1

1,,...,()n

i

i

i n n

n

n

n i i i n i i i e

e

αα

α

β

θβθαβ

β

πθθθπθθθαα=----===∑??=== ?ΓΓ??

∏∏

∏

所以有 ()(,)()h x p x θθπθ= 进而有 第四章 决策者的收益、损失与效用

4.1 解：

令123::θθθ畅销，:一般，滞销；123::a a a 大批生产，:中批生产，小批生产

（1）312

1

231005010(,)3040960206a a a Q a θθθθ?? ? ?= ?-- ???

（2）

1,2,360,1

min (,)20,26,3

i j i j Q a j j θ=-=??

=-=??=?

1,2,3

1,2,3

max min (,)6i j j i Q a θ==∴=

因此，在悲观准则下，最优行动为

3a

（3）1,2,3100,1max (,)50,210,3

i j

i j Q a j j θ==??

==??=?

1,2,3

1,2,3

max max (,)100i j j i Q a θ==∴=

因此，在乐观准则下，最优行动为

1a

（4）1()0.81000.2(60)68H a =?+?-=

23()0.8500.2(20)36()0.8100.269.2

H a H a =?+?-==?+?=

因此，在乐观系数为0.8时，最优行动为

1a

4.2（1）1,2,335,1

max (,)30,2

i j i j Q a j θ==?=?=?

1,2

1,2,3

max max (,)35i j j i Q a θ==∴=

()12121212(0,)

()(,,...,,,...,),,...,...n n n n

m x p x x x d d d θθθπθθθθθθ+∞=

?

因此，在乐观准则下，最优行动为1a

（2）1,2,317,1

min (,)13,2i j i j Q a j θ==?=?=?

1,2

1,2,3

max min (,)17i j j i Q a θ==∴=

因此，在悲观准则下，最优行动为1a （3）1()0.7350.31729.6H a =?+?= 2()0.7300.31324.9H a =?+?= 因此，在乐观系数为0.7时，最优行动为1a 4.3解：由题可知

()11000.6300.3(60)0.163Q a =?+?+-?= ()()23500.6400.3(20)0.140100.690.360.19.3

Q a Q a =?+?+-?==?+?+?=

因此，在先验期望准则下，最优行动为1a 4.4解;(1)

{}:510θθΘ=∈≤≤A =Θ

(2)()5,(,)5,a a

Q a a a θθθθθ?--<=?≥?

3

5

6

1

2

4

12

34

5

62524

2322212025302928272625

30353433322530

35

40

39

38253035404544253035404550a a a a a a Q θθθθθθ?? ? ? ? ?= ? ?

? ??

? (3) 1,2,...,625,124,223,3

min (,)22,421,520,6

i j i j j j Q a j j j θ==??=?

?==?=?

?=?

=?

1,2,...,6

1,2,...,6

max min (,)20i j j i Q a θ==∴=

因此，在悲观准则下，最优行动为6a

(4) ()1()2512525H a αα=?+-?= ()2()30124246H a ααα=?+-?=+ ()3()351232312H a ααα=?+-?=+ ()4()401222218H a ααα=?+-?=+ ()5()451212124H a ααα=?+-?=+ ()6()501202030H a ααα=?+-?=+

4.5

解：35

6

12412345

6

0123455012

3410501

2315105012201510501252015105

0a a a a a a L θθθθθθ?? ? ?

? ?= ?

? ? ??

? ()[]11(,)50.09100.15150.4200.2250.114.45L a E L a θθ==?+?+?+?+?= ()[]22(,)10.0650.15100.4150.2200.19.81L a E L a θθ==?+?+?+?+?= 同理可得

()()()()34565.71, 2.51, 1.71, 2.11L a L a L a L a ==== 因此，在该先验分布之下5a 为最优行动。

4.6解：312

1

230302560500

1505301018369180a a a L θθθ?? ? ?= ? ??? 4.7解：3121

2315050100100200200501000a a a Q θθθ??- ? ?=- ? ???

4.8解：（1）()250,,750500,a a

W a a a

θθθθ

（2）()()()250,,500,a a

L a a a θθθθθ-

4.9解：令1θ为010%θ<≤时的状态，2θ为10%20%θ<≤时的状态，3θ为20%θ<时的状态，

1a 为第一种支付办法，2a 为第二种支付办法，则

12

1

231004*********a a Q θθθ?? ? ?= ?- ???

因此有

()()10%

20%

1

11010%20%,100(2,4)30(2,4)50(2,4)47.9Q a E Q a Be d Be d Be d θ

θθθθ==+-=???????

()()1

220,40(2,4)40Q a E Q a Be d θθθ===?????

所以该厂决策者应采取第一种支付办法。

4.10解：由题意知()10,6

,530,6L a θθθθ≤?=?->?

()2305,6

,0,6L a θθθθ-≤?=?>?

()1

,01010πθθ=

<< 因此有 ()[]()610110611

(,)053041010L a E L a d d θθθθθ==?+?-=??

()[]()62201

(,)305910

L a E L a d θθθθ==?-=?

在先验期望损失最小的原则下最优行动为1a

4.11证明：()()()[]222,2L a E L a E a a aE E θθθθθθθθ????==-=-+????????

4.12证明：设m 是先验分布的中位数，a 是任一不同于m 的行动，且a>m,则

(),(,),2(),,m a m L m L a m a m a a m a θθθθθθ-≤?

?

-=-+<

其中m a θ<<时，2()m a a m θ-+≤-

因此(),(,),,m a m

L m L a a m m θθθθ-≤?-≤?->?

所以()()()()()()()(,),0L m L a E L m L a m a P m a m P m θθθθθθθ-=-≤-≤+->≤????

4.15 由题意可知 121

251051a a Q θθ?? ?= ?-??

（1）()()11,5Q a E Q a θθ==???? ()()22, 4.5Q a E Q a θθ==???? 因此，期望收益决策为1a

（2）121

221021a a U θθ?? ?= ???

()()11,2U a E U a θθ==???? ()()22, 5.5U a E U a θθ==???? 因此，期望效用决策为2a

（3）121

21252127a a U θθ?? ?'= ???

()()11,12U a E U a θθ==???? ()()22,29.5U a E U a θθ==???? 因此，新期望效用决策仍为2a

4.16解: 由题意可知 12

123994003990a a Q θθ??

?= ???

(1) ()()11,399Q a E Q a θθ==???? ()()22,399.2Q a E Q a θθ==????

因此，按直线效用曲线决策，他应该不参加保险。

（2）12

12

8.266598.284278.266590a a U θθ??

?'= ??? ()()11,8.26659U a E U a θθ==???? ()()22,8.2677U a E U a θθ==????

因此，在该效用曲线下，不应该参加保险。

第五章 貝葉斯決策

5.1解：由題意可知 設X 為三件中的不合格品數，則(3,)X b θ

從而有 ()33()1,0,1,2,3x

x x p x C x θθθ-=-=

因此有

繼而有

()1

,00.120.12

πθθ=

<<()()331(,)()1,0,1,2,3,00.120.12

x

x x h x p x C x θθπθθθθ-==

-=<<()0.120.123001(0)(0,)10.83

0.12

m h d d θθθθ==-=??()0.120.122

001(1)(1,)310.152496

0.12m h d d θθθθθ==-=??()0.12

0.12

20

1

(2)(2,)310.0131050.12

m h d d θθθθθ==-=?

?