高数 定积分的应用
高数6—定积分应用
高数复习题6——定积分应用1． 从原点向曲线x y ln 1-=作切线，计算由切线、曲线和x 轴所围图形的面积． 2． 求曲线θcos 3=r 所围图形和曲线θcos 1+=r 所围图形的公共部分面积及边界曲线周长． 3． 摆线的一拱的方程为⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x ，π20≤≤t ，（1）求摆线一拱的弧长；（2）求摆线一拱与x 轴所围图形的面积；（3）求摆线一拱与x 轴所围图形绕x 轴旋转一周所成立体的体积． 4．若曲线 )1(-=x x y 与 x 轴所围成平面图形的面积等于曲线 xy 1=与 x = 1， x = λ，x 轴所围成平面图形的面积，求λ。
5．求曲线x y sin =（π≤≤x 0）和x 轴所围图形绕y 轴旋转一周所成立体的体积． 6．设20π<<t （t 为参数），曲线x y sin =与三条直线0,2,===y t x t x 所围平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积为)(t V ，求 t 的值使)(t V 取得最大值。
7．质点以速度 2sin )(t t t v =（米/秒）作直线运动，求质点从时间11=t 秒到时间π=2t秒内所经过的路程。
8．半圆形闸门半径为R （米），将其垂直放入水中，且直径与水面齐，设水密度1=ρ；设 坐标原点放在圆心，x 轴正向朝下，求闸门一侧所受的水压力。
9．一容器的边界曲面是由抛物线2x y =绕y 轴旋转而成的，其容积为π72)(3m ，容器中盛满水，问将水抽去π64)(3m 至少需作多少功．参考答案1． 从原点向曲线x y ln 1-=作切线，计算由切线、曲线和x 轴所围图形的面积． 解：设切点为),(00y x ，00001)(x y x x y =-=' 10-=y ，20e x = 所以切线方程为 x ee x e y 22211)(1-=---=，曲线与x 轴的交点为)0,(e面积22220111[(1ln )()]2ee e A x dx x x dx e e e e =-+---=-⎰⎰2． 求曲线θcos 3=r 所围图形和曲线θcos 1+=r 所围图形的公共部分面积及边界曲线周长．解：先求曲线的交点⎩⎨⎧+==θθcos 1cos 3r r 消r 得21cos =θ 所以3πθ±=面积2232031152[(1cos )(3cos )]224A d d πππθθθθπ=++=⎰⎰弧长2[]4l θθπ=+=+3． 摆线的一拱的方程为⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x ，π20≤≤t ，（1）求摆线一拱的弧长；222002sin 82tl a a dt a πππ====⎰⎰⎰（2）求摆线一拱与x 轴所围图形的面积；222220(1cos )3aA ydx a t dt a πππ==-=⎰⎰（3）求摆线一拱与x 轴所围图形绕x 轴旋转一周所成立体的体积．22233230(1cos )5aV y dx a t dt a πππππ==-=⎰⎰4．若曲线 )1(-=x x y 与 x 轴所围成平面图形的面积等于曲线 xy 1=与 x = 1， x =λ，x 轴所围成平面图形的面积，求λ。
高等数学(上册)-第5章第6讲(定积分的几何应用)[22页]
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5
二、 平面图形的面积
1. 直角坐标系中的平面图形的面积
在平面直角坐标系中求由曲线y f (x)，y g(x)和直线x a，x b围成图
形的面积A，其中函数f (x)，g(x)在区间[a,b]上连续，且f (x) g(x)，如图所示.
在区间[a,b] 上任取代表区间[x, x dx]，在区间两个端点处做垂直于x 轴的
A 1 r2 ( )d.
2
β
O
α
ρ 10
本讲内容
01 微元法 02 平面图形的面积 03 体积 04 平面曲线的弧长
11
三、 体积
1.旋转体的体积.
由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一 y 周而成的立体称为旋转体，这条直线称为旋转轴.
如圆柱、圆锥、圆台、球体都是旋转体. 设一旋转体由连续曲线 y f (x)，直线x a， O a
直线，由于 dx 非常小，这样介于两条直线之间的图形可以近似看成矩形，因
此面积微元可表示为
[ f (x) g(x)]dx,
于是，所求面积A为
b
A a [ f (x) g(x)]dx.
若f (x) g(x)，则有
A
b
[ f (x) g(x)]dx.
a
综合以上两种情况，由曲线 y f (x)，y g(x)
y x 1(y)
d
c O
x 2(y) x
7
二、 平面图形的面积 例 1 求由两抛物线y x2与x y2 所围成图形的面积A .
解
解方程组
y x
x2，得到两抛物线的交点为(0，0)，(1，1)， y 2，
y
两抛物线围成的图形如图所示.
则所求面积 A 为
A
高数6.3 定积分应用案例
F 1121.9767 0.91442 12.7, 37407.031(kg )
比较可知，此时租用客机比购买客机合算. 当 r 6% 时,
600 P (1 e 0.0615 ) 5934.3 (万美元), 0.06
此时购买客机比租用客机合算.
高等数学 第6章 定积分的应用
§6.3
定积分应用案例
二. 转售机器的最佳时间
（周）的减函数 由于折旧等因素，某机器转售价格 R( t )是时间 t
因此，加在整个窗面上的压力为
z0 z
dz
F d F 2 z l ( z ) dz
z0 z0
z1
z1
z1
图 5 －21
因为 A 2
z1 z0
l ( z )dz
2 z1 z l(z) d z 形心 z A z0
因此
F z A
高等数学 第6章 定积分的应用
§6.3
t 3 A ln 32 A 96ln 32 48 f (333) e e dt 12.01 A (元) 0 4 4
因此,
最大总利润
P f (333) A 11.01 A,
3A 机器卖了 (元 ) 128
高等数学 第6章 定积分的应用
§6.3
定积分应用案例
三. 潜艇的观察窗问题
第6章 定积分的应用
§6.3 定积分应用案例
高等数学 第6章 定积分的应用
§6.3
定积分应用案例
一、租客机还是买客机 某航空公司为了发展新航线的航运业务， 需要增加5架
波音747客机,如果购进一架客机需要一次支付5000万
美元现金， 客机的使用寿命为15年. 如果租用一架客机， 每年需要支付600万美元的租金，租金以均匀货币流的方
高数课件第六章定积分的应用：第二节定积分的几何应用
y
c
b O
x
bx
x
x x 1 sh dx ch dx c c b x xb s 2 ch dx 2c sh 0 c c 0 x b 1 x 2c sh ( c ch ) c sh c c c c
2
e e ch x 2 x x e e sh x 2 (ch x) sh x
Hale Waihona Puke 2 (t ) 2 (t ) d t
因此所求弧长
s
2 (t ) 2 (t ) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
令 x r ( ) cos , y r ( ) sin , 则得
dx [r ( ) cos r ( ) sin ]d dy [r ( ) sin r ( ) cos ]d
2
选 x 为积分变量 (1) x [2, 0], dA1 ( x 3 6 x x 2 )dx 于是所求面积 A A1 A2
特别注意:
各积分区间 A ( x 3 6 x x 2 )dx 0 (x x 6 x)dx 上被积函数的 2 253 形式不同． . 12
0
3
2
3
x2 1 练习：1.求曲线 y , y 与直线 x 3 2 1 x 2
x 3 所围成的图形的面积。
2.求曲线 xy 1 与直线
x y 0 y 2
x y 2
P1
2
所围成的图形的面积。 2014考研题
提示：1
P2
y
1
32 1 0 2 1 1 3 x 1 x 1 1 s 2[ ( )d x ( ( 3 3 2) ) d x ] 2 0 1 x 1 3 2 2 1 x2
高数二 6.2定积分的几何应用
2
3 2
2 sin
1 s、旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x) 、
直线x a 、x b 及x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
可看作平面图OABC 与OBC
x x1( y) o
A
2a x
分别绕y 轴旋转构成旋转体的体积之差.
Vy
2a
x
2
2
(
y
)dt
0
2a
x
2
1
(
y
)dt
0
a2 (t sin t)2 a sin tdt 2 a2 (t sin t)2 a sin tdt 0
a3 2 (t sin t)2 sin tdt 63a3 . 0
取积分变量为x ，
y
y f (x)
x [a,b]
在[a,b]上任取小区 o
x x dx
x
间[ x, x dx]，
取以dx 为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄
片的体积为体积元素， dV [ f ( x)]2 dx
旋转体的体积为 V b [ f ( x)]2 dx a
例 1 连接坐标原点O 及点P(h, r)的直线、直线
V
aa
a
2 3
2
x3
3
dx
32 105
a3 .
类似地，如果旋转体是由连续曲线
x ( y)、直线 y c 、 y d 及y 轴所围
成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体，
体积为
高数三：函数平均值和定积分的经济学应用
三、平均值在实际问题中，常常用一组数据的算术平均值来描述这组数据的概貌。
例如：对某一零件的长度进行n 次测量，每次测得的值为。
通常用算术平均值作为这个零件长度的近似值。
然而，有时还需要计算一个连续函数在区间上的一切值的平均值。
我们已经知道，速度为的物体作直线运动，它在时间间隔上所经过的路程为用去除路程s ，即得它在时间间隔上的平均速度，为一般地，设函数在区间上连续，则它在上的平均值，等于它在上的定积分除以区间的长度b-a ，即图 5-34这个公式叫做函数的平均值公式。
它可变形为它的几何解释是：以为底、为曲边的曲边梯形面积，等于高为的同底矩形的面积（见图5-33）图 5-33例6 求从O到T这段时间内自由落体的平均速度。
解：自由速度为。
所以要计算的平均速度（见图5-34）为例7 计算纯电阻电路中正弦交流电在一个周期内功率的平均值。
解设电阻为R，那么电路中R两端的电压为而功率因为交流电的周期为，所以在一个周期上，P的平均值为就是说，纯电阻电路中正弦交流电的平均功率等于电流和电压的峰值乘积的一半。
通常交流电器上标明的功率是平均功率。
四、定积分在经济上的应用举例定积分在经济活动中应用很广泛。
如，已知某经济函数的边际函数的条件下，求原经济函数的改变量时，就需用定积分来解决。
例8 设某工厂生产某产品，边际产量为时间t的函数，已知求从t=1到t=3这两个小时的总产量。
解：因为总产量是它的边际产量的原函数。
所以，从t=1到t=3这两小时的总产量是（千件）例9 已知生产某产品x件的边际收入是( 元/件)求生产此产品1000件时的总收入，平均收入，及生产1000件到2000件时所增加的收入和平均收入。
解：设总收入函数为，总产量为1000件时的总收入R（1000），为平均收入产量从1000件到2000件所增加的收入为，其平均收入为例10 设某产品的总成本C（单位：万元）的边际成本是产量x（单位：百台）的函数，;总收入（单位：万元）的边际收入是产量x的函数，求：1）产量由1百台增加到5百台总成本，总收入各增加多少？2）已知固定成本C（0）为1万元，分别求出总成本、总收入，总利润与产量的关系式。
高等数学第六章第二节定积分在几何学上的应用课件.ppt
解:
cos x 0,
2
x
2
s
2
2
2 2 0
1 y2 dx 1 ( cos x)2 dx
2 2
2 cos x dx
0
2
2
2
2
sin
x 2
2
0
4
的弧长.
例11. 计算摆线
一拱
的弧长 .
y
解: ds
(dd
x t
)2
(
d d
y t
)
2
d
t
o
a2 (1 cos t)2 a2 sin2 t d t
1 y2 dx
因此所求弧长
s b 1 y2 dx a
b
a
1 f 2(x) dx
y
y f (x)
ds
o a xxdxb x
(2) 曲线弧由参数方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
2 (t) 2 (t) dt
因此所求弧长
s
2 (t) 2 (t) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
y b
o x ax
则 V 2 a y2 dx 0
(利用对称性)
2
b2 a2
a
(a
2
x2
)
dx
0
2
b2 a2
a2 x
1 3
x3
a 0
4 ab2
3
方法2 利用椭圆参数方程
则 V 20a y2 dx 2 ab2 sin3t d t
2 ab2 2 1
3
4 ab2
3
特别当b
=
a
大一高数定积分的应用知识点
大一高数定积分的应用知识点大一高数课程中，定积分是一个重要的概念和工具。
它在数学和其他领域中有着广泛的应用。
通过对定积分的学习和理解，我们可以更好地理解和应用高数的知识。
下面将介绍一些大一高数定积分的应用知识点。
一、定积分的定义和基本性质定积分的定义是通过极限的思想得出的。
在闭区间[a, b]上，将函数f(x)的每一个小区间[a, x]上的面积（可以是正数、负数或零）都加起来，这个和就是函数f(x)在闭区间[a, b]上的定积分，记作∫[a, b]f(x)dx。
定积分有以下的基本性质：1. 定积分的可加性：∫[a, b]f(x)dx + ∫[b, c]f(x)dx等于∫[a, c]f(x)dx。
2. 定积分的线性性质：若f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上可积，则有∫[a, b](f(x) + g(x))dx = ∫[a, b]f(x)dx + ∫[a, b]g(x)dx。
3. 定积分的估值定理：若f(x)在闭区间[a, b]上是连续的，则存在一个点c∈[a, b]，使得∫[a, b]f(x)dx = f(c)(b - a)。
二、定积分的几何意义和物理意义定积分的几何意义是函数图像和x轴以及闭区间[a, b]所围成的图形的面积。
当函数图像在x轴上方时，定积分为正数；当函数图像在x轴下方时，定积分为负数；当函数图像与x轴相交时，定积分为零。
定积分的物理意义是函数图像和x轴所围成的部分的面积与某物理量的关系。
例如，若f(x)表示一个速度函数，那么∫[a, b]f(x)dx就表示从时间a到时间b内物体所走过的路程。
三、定积分的基本应用1. 函数曲线所围图形的面积计算：通过定积分可以求解函数曲线所围图形的面积，如矩形、三角形、梯形、圆形等。
例如，若要求解函数y = x^2在区间[0, 1]上的面积，可以计算∫[0, 1]x^2dx = [x^3/3]0^1 = 1/3。
2. 曲线的弧长计算：通过定积分可以求解曲线的弧长。