2020-2021学年四川省乐山市高二下学期期末理科数学试卷【含答案】
2020-2021学年四川省泸州市高级中学校分校高二数学理下学期期末试卷含解析
2020-2021学年四川省泸州市高级中学校分校高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 分别写有数字1，2，3，4的4张卡片，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是（）A． B． C． D．参考答案：D2. 已知三个平面OAB、OBC、OAC相交于点O，，则交线OA与平面OBC所成的角的余弦值是（）A．B．C．D．参考答案：A略3. 如图所示的程序框图输出的结果是(A)3/4 (B)4/5(C)5/6 (D)6/7参考答案：C4. 函数的导数（）A． B． C． D．参考答案：C5. 已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）A．B．C．D．参考答案：D6. 已知角α的终边经过点（﹣4，﹣3），那么tanα等于（）A．B．C．﹣D．﹣参考答案：A【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】直接由正切函数的定义得答案．【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣4，﹣3），由正切函数的定义得：tanα=故选：A．7. 执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．8 B．9 C．27 D．36参考答案：B【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，故S=0，k=1，当k=1时，满足进行循环的条件，故S=1，k=2，当k=2时，满足进行循环的条件，故S=9，k=3，当k=3时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为9，故选：B8. 记等比数列的前项和为，若则（）A． 9 B．27 C．8 D．8参考答案：A略9. 已知，则的值为（）A、 B、 C、D、参考答案：A略10. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，O为AD中点，M是棱PC上的点，AD=2BC．（1）求证：平面POB⊥平面PAD；（2）若点M是棱PC的中点，求证：PA∥平面BMO．参考答案：【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知得四边形BCDO为平行四边形，O B⊥AD，从而BO⊥平面PAD，由此能证明平面POB⊥平面PAD．（2）连结AC，交BO于N，连结MN，由已知得MN∥PA，由此能证明PA∥平面BMO．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，BC=AD，O为AD的中点，∴四边形BCDO为平行四边形，∴CD∥BO．∵∠ADC=90°，∴∠AOB=90°即O B⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BO⊥平面PAD．∵BO?平面POB，∴平面POB⊥平面PAD．（2）证明：连结AC，交BO于N，连结MN，∵AD∥BC，O为AD中点，AD=2BC，∴N是AC的中点，又点M是棱PC的中点，∴MN∥PA，∵PA?平面BMO，MN?平面BMO，∴PA∥平面BMO．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 用数学归纳法证明，在验证n=1成立时，等式左边是▲.参考答案：12. 若是椭圆的两个焦点，过作直线与椭圆交于两点，则的周长为 .参考答案：13. 棱长为1的正方体的外接球的表面积为 ．参考答案：3π【考点】球内接多面体．【分析】本题考查一个常识，即：由正方体的体对角线的长就是外接球的直径的大小，因此可得到外接球的直径，进而求得R ，再代入球的表面积公式可得球的表面积．【解答】解：设正方体的棱长为a ，正方体外接球的半径为R ，则由正方体的体对角线的长就是外接球的直径的大小可知：2R=，即R===；所以外接球的表面积为：S 球=4πR 2=3π． 故答案为：3π14. 设函数f （x ）=，则定积分f （x ）dx= ．参考答案：【考点】67：定积分．【分析】利用定积分的运算法则，将所求写成两个定积分相加的形式，然后分别计算定积分即可．【解答】解：函数f （x ）=， 则定积分f （x ）dx==（）|+|=；故答案为：【点评】本题考查了定积分的计算；利用定积分运算法则的可加性解答．15. 关于图中的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，下列说法正确的有： ． ①P 点在线段BD 上运动，棱锥P ﹣AB 1D 1体积不变； ②P 点在线段BD 上运动，直线AP 与平面A 1B 1C 1D 1平行；③一个平面α截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三角形； ④一个平面α截此正方体，如果截面是四边形，则必为平行四边形；⑤平面α截正方体得到一个六边形（如图所示），则截面α在平面AB 1D 1与平面BDC 1间平行移动时此六边形周长先增大，后减小．参考答案：①②③【考点】棱柱的结构特征．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断．【解答】解：①中，BD ∥B 1D 1，B 1D 1?平面AB 1D 1，BD?平面AB 1D 1，∴BD ∥平面AB 1D 1，又P ∈BD ，∴棱锥P ﹣AB 1D 1体积不变是正确的，故①正确； ②中，P 点在线段BD 上运动，∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，直线AP?平面ABCD ，∴直线AP 与平面A 1B 1C 1D 1平行，故②正确；③中，一个平面α截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三角形，故③正确；④中，一个平面α截此正方体，如果截面是四边形，则可能是平行四边形，或梯形，故④错误；⑤中，截面α在平面AB 1D 1与平面BDC 1间平行移动时此六边形周长不变，故⑤错误． 故答案为：①②③．16. 设F 为抛物线的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若，则.参考答案：略17. 已知函数，点P()在函数图象上，那么的最小值是．参考答案：4三、解答题：本大题共5小题，共72分。
四川省乐山四校2020-2021学年高二第二学期半期联考数学理试题
A．9B．18C．20D．35
5．设不等式组 ,所表示的可行域为 ,现在区域 中任意丢进一个粒子，则该粒子落在直线 左上方的概率为( )
A． B． C． D．
6．若函数 在上可导，且满足 ，则一定有( )
A．函数 在 上为增函数
B．函数 在 上为减函数
C．函数 在 上为增函数
D．函数 在 上为减函数
7．设曲线 在点 处的切线方程垂直于直线为 ，则 ( )
A．0B．1C．2D．3
8．按如下程序框图，若输出结果为 ，则判断框内应补充的条件为( )
A． B． C． D．
9．将一枚质地均匀的骰子向上抛掷1次.设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则（ ）
A．0B．1C．2D．0或2
12．若对于任意 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值是( )
A． B．1C．2D．
二、填空题
13．某中学采用系统抽样方法，从该校高二年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从 这16个数中取的数是35，则在第1小组 中随机抽到的数是________．
16．设函数f（x）＝（2x﹣1）ex﹣ax+a，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则实数a的取值范围是_____．
四川省乐山十校2020学年高二数学下学期半期联考试题 理(含解析)
四川省乐山十校2020学年高二数学下学期半期联考试题理（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数，是z的共轭复数，则=A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】2.如果用反证法证明“数列的各项均小于”，那么应假设( )A. 数列的各项均大于B. 数列的各项均大于或等于C. 数列中存在一项，D. 数列中存在一项，【答案】D【解析】试题分析：各项均小于2，的否定是存在一项大于或等于2，所以选D考点：反证法3.函数，，那么任取一点，使的概率( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式，然后利用几何概型公式求出概率.【详解】,任取一点，使的概率，故本题选C.【点睛】本题考查了几何概型，正确解出不等式的解集是解决本题的关键.4. 执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】试题分析：程序执行的数据变化如下：成立，输出考点：程序框图5.，则等于( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据=f′（x0），将已知条件代入即可求出所求．解：∵=1，∴=f′（x0）=故选C．6.曲线在点（1,1）处切线的斜率等于（）.A. B. C. 2 D. 1【答案】C【解析】试题分析：由，得，故，故切线的斜率为，故选C.考点：导数的集合意义. 7.从甲、乙两种树苗中各抽测了株树苗的高度，其茎叶图如图所示．根据茎叶图，下列描述正确的是( )A. 甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗高度的中位数，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B. 甲种树苗高度的中位数大于乙种树苗高度的中位数，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C. 乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗高度的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D. 乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗高度的中位数，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐【答案】D【解析】从茎叶图的数据可以看出甲种树苗的平均高度为27，乙种树苗的平均高度为30，因此乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度．又从茎叶图分析知道，甲种树苗的高度集中在20到30之间，因此长势更集中．8.从装有20个红球和30个白球的罐子里任取两个球，下列情况中是互斥而不是对立的两个事件是( )A. 至少有一个红球，至少有一个白球B. 恰有一个红球，都是白球C. 至少有一个红球，都是白球D. 至多有一个红球，都是红球【答案】B【解析】【分析】由题意可知，基本事件分三类：一类是二个红球；一类是二个白球；一类是一红一白，结合互斥事件和对立事件的概念，选出正确的答案.【详解】由题意可知，基本事件分三类：一类是二个红球；一类是二个白球；一类是一红一白.选项A：至少有一个红球，包括一红球一白球，二红球，至少有一个白球，包括一白球一白球，二白球，这二个事件不互斥；选项B：恰有一个红球，那一个是白球，与二个都是白球，显然互斥但不对立，因为还有一个事件二个都是红球；选项C:至少有一个红球，包括一红一白，二红，显然与二白是对立事件；选项D;至多一个红球，包括一红一白，二白，显然与二红是对立事件，故本题选B.【点睛】本题考查了互斥事件、对立事件的概念以及它们之间的联系与区别.互斥事件是指两个事件不能同时发生，但是可以同时不发生，而对立事件是指两事件中必有一个发生，一个不发生，也就是说互斥不一定对立，但是对立一定互斥.9.给出个数，，，，，，其规律是：第个数是，第个数比第个数大，第个数比第个数大，第个数比第个数大，以此类推，要计算这个数的和．现已给出了该问题算法的程序框图如图，请在图中判断框中的①处和执行框中的②处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能( )A. ；B. ；C. ；D. ；【答案】A【解析】【分析】要计算这个数的和，这就需要循环50次，这样可以确定判断语句①，根据累加最的变化规律可以确定语句②.【详解】因为计算这个数的和，循环变量的初值为1，所以步长应该为1，故判断语句①应为，第个数是，第个数比第个数大，第个数比第个数大，第个数比第个数大，这样可以确定语句②为，故本题选A.【点睛】本题考查了补充循环结构，正确读懂题意是解本题的关键.10.已知某运动员每次投篮命中的概率为．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生到之间取整数值的随机数，指定，，，表示命中，，，，，，表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下组随机数：据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】观察数据，代表三次都命中的有431， 113共两个，而总的试验数据共20个，所以该运动员三次投篮都命中的概率为0，故选C．11.已知某次期中考试中，甲、乙两组学生的数学成绩如下：则下列结论正确的是( )A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】由题意得，同理，故选A.12.当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：当x=0时，原式恒成立；当时，原式等价于恒成立；当时，原式等价于恒成立；令，，令，即，，可知为y的增区间，为y的减区间，所以当时，即时，t=1时，即；当时，即时，y在上递减，在上递增，所以t=-1时，即；综上，可知a的取值范围是，故选C.考点：不等式恒成立问题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
四川省乐山市2020年高二第二学期数学期末监测试题含解析
四川省乐山市2020年高二第二学期数学期末监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．世界杯参赛球队共32支，现分成8个小组进行单循环赛，决出16强(各组的前2名小组出线)，这16个队按照确定的程序进行淘汰赛，决出8强，再决出4强，直到决出冠、亚军和第三名、第四名，则比赛进行的总场数为( ) A ．64 B ．72 C ．60 D ．56【答案】A 【解析】分析：先确定小组赛的场数，再确定淘汰赛的场数，最后求和.详解：因为8个小组进行单循环赛，所以小组赛的场数为24848C =因为16个队按照确定的程序进行淘汰赛，所以淘汰赛的场数为842216+++= 因此比赛进行的总场数为48+16=64， 选A.点睛：本题考查分类计数原理，考查基本求解能力.2．已知21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的各项系数和为32,则展开式中4x 的系数( ) A ．5 B ．40C ．20D ．10【答案】D 【解析】试题分析：先对二项式中的x 赋值1求出展开式的系数和，列出方程求出n 的值，代入二项式；再利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令通项中的x 的指数为4，求出r ，将r 的值代入通项求出二项展开式中x 4的系数．在21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭中，令x=1得到二项展开式的各项系数和为2n ，∴2n =32，∴n=5，得到521031511034,2r r r x T C x r r x -+⎛⎫+∴=∴-== ⎪⎝⎭∴二项展开式中x 4的系数2510C =，故选D. 考点：二项展开式的系数点评：求二项展开式的系数和常用的方法是给二项式中的x 赋值；解决二项展开式的特定项问题常用的方法是利用二项展开式的通项公式．3．若命题p ：x R ∀∈，ln 10x x -+<，则p ⌝是（ ） A ．x R ∀∈，ln 10x x -+≥ B ．0x R ∃∈，00ln 10x x -+≥ C ．x R ∀∈，ln 10x x -+= D ．0x R ∃∈，00ln 10x x -+<【答案】B【解析】 【分析】利用全称命题的否定是特称命题来判断. 【详解】解：命题p ：x R ∀∈，ln 10x x -+<，则p ⌝：0x R ∃∈，00ln 10x x -+≥. 故选：B . 【点睛】本题考查特称命题的否定，注意特称命题的否定要变全称命题，并且要否定结论，是基础题. 4．在同一直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后所得到的曲线A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】 由，得代入函数，化简可得出伸缩变换后所得曲线的解析式。
四川省乐山市2019-2020学年数学高二下期末学业质量监测试题含解析
四川省乐山市2019-2020学年数学高二下期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的是（）A．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条直线，若，则B．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条向量，若，则C．在平面内，若两个正三角形的边长的比为，则它们的面积比为.类比推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为，则它们的体积比为D．若，则复数.类比推理：“若，则”【答案】D【解析】【分析】对四个答案中类比所得的结论逐一进行判断，即可得到答案【详解】对于，空间中，三条直线，若，则与不一定平行，故错误对于，若，则若，则不正确，故错误对于，在平面上，正三角形的面积比是边长比的平方，类比推出在空间中，正四面体的体积是棱长比的立方，棱长比为，则它们的体积比为，故错误对于，在有理数中，由可得，，解得，故正确综上所述，故选【点睛】本题考查的知识点是类比推理，解题的关键是逐一判断命题的真假，属于基础题．2．下列说法错误的是()A ．回归直线过样本点的中心(),x yB ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C ．在回归直线方程$0.2 0.8y x =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量$y 平均增加0.2个单位 D ．对分类变量X 与Y ，随机变量2K 的观测值k 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小【答案】D【解析】【分析】【详解】分析：A. 两个变量是线性相关的，则回归直线过样本点的中心(),x yB. 两个随机变量的线性相关线越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；C.在回归直线方程ˆ0.20.8yx =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.2个单位 D.正确.详解：A. 两个变量是线性相关的，则回归直线过样本点的中心(),x y ；B. 两个随机变量的线性相关线越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；C.在回归直线方程ˆ0.20.8yx =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.2个单位 D.错误，随机变量2K 的观测值k 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大故选：D.点睛：本题考查了两个变量的线性相关关系的意义，线性回归方程，相关系数，以及独立性检验等，是概念辨析问题．3．设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1n n a a +>对任意*N n ∈成立”是“1q >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，由充分条件与必要条件的概念，即可判断出结果.【详解】因为{}n a 是公比为q 的等比数列，若1n n a a +>对任意*N n ∈成立，则111n n a q a q ->对任意*N n ∈成立，若10a >，则1q >；若10a <，则01q <<；所以由“1n n a a +>对任意*N n ∈成立”不能推出“1q >”；若1q >，10a <，则111n n a q a q -<，即1n n a a +<；所以由“1q >”不能推出“1n n a a +>对任意*N n ∈成立”； 因此，“1n n a a +>对任意*N n ∈成立”是“1q >”的既不充分也不必要条件.故选：D.【点睛】本题主要考查既不充分也不必要条件的判断，熟记概念即可，属于基础题型.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5+a 7+a 9＝21，则S 13＝（ ）A ．36B ．72C ．91D ．182 【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质求出77a =,根据等差数列的前n 项和公式13713S a =可得.【详解】因为{a n }为等差数列,所以5797321a a a a ++==,所以77a =, 所以1131313()2a a S +=71322a ⨯=71313791a ==⨯=. 故选C .【点睛】本题考查了等差数列的性质、等差数列的前n 项和.属于基础题.5．对任意的实数x 都有f(x ＋2)－f(x)＝2f(1)，若y ＝f(x －1)的图象关于x ＝1对称，且f(0)＝2，则f(2 015)＋f(2 016)＝( )A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】根据条件判断函数f （x ）是偶函数，结合条件关系求出函数的周期，进行转化计算即可．【详解】y=f （x ﹣1）的图象关于x=1对称，则函数y=f （x ）的图象关于x=0对称，即函数f （x ）是偶函数， 令x=﹣1，则f （﹣1+2）﹣f （﹣1）=2f （1），即f （1）﹣f （1）=2f （1）=0，即f （1）=0，则f （x +2）﹣f （x ）=2f （1）=0，即f （x +2）=f （x ），则函数的周期是2，又f （0）=2，则f （2015）+f （2016）=f （1）+f （0）=0+2=2，故选：B ．【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据抽象函数关系判断函数的周期性和奇偶性是解决本题的关键． 6．已知ABC ∆的边AB ，AC 的长分别为20,18，120BAC ∠=︒，则ABC ∆的角平分线AD 的长为（ ） A ．180319 B ．9019 C ．18019 D ．90319【答案】C【解析】【分析】利用角平分线定理以及平面向量的线性运算法则可得9101919AD AB AC =+u u u v u u u v u u u v ，两边平方，利用平面向量数量积的运算法则，化简即可得结果.【详解】如图，因为AD 是ABC ∆的角平分线，所以2010189BD AB DC AC ===， 所以1019AD AB BD AB BC =+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ()10910191919AB AC AB AB AC u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v =+-=+， 即9101919AD AB AC =+u u u v u u u v u u u v . 两边平方得2AD =u u u v 222211180 8120100182109182019219⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以18019AD AD ==u u u v ，故选C . 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算法则，以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=v v v v ；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =v v .7．已知函数2()21x f x a =++为奇函数,则()f a =（ ） A ．13 B ．23 C ．1- D ．12- 【答案】A【解析】【分析】根据奇函数性质,利用(0)0f =计算得到a ,再代入函数计算()f a【详解】由函数表达式可知，函数在0x =处有定义，则(0)0f =，1a =-，则2()121x f x =-++，1(1)3f -=.故选A.【点睛】解决本题的关键是利用奇函数性质(0)0f =,简化了计算,快速得到答案.8．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．516B ．38C ．716D ．12【答案】B【解析】【分析】设出大正方形的面积，求出阴影部分的面积，从而求出满足条件的概率即可．【详解】设“东方魔板”的面积是4，则阴影部分的三角形面积是1，阴影部分平行四边形的面积是12则满足条件的概率113248P +== 故选：B【点睛】本题考查了几何概型问题，考查面积之比，是一道基础题．9．刍薨（chuhong），中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“刍薨者，下有褒有广，而上有褒无广.刍，草也.薨，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍薨字面意思为茅草屋顶”，如图，为一刍薨的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则搭建它（无底面，不考虑厚度）需要的茅草面积至少为（）A．24 B．325C．64 D．326【答案】B【解析】茅草面积即为几何体的侧面积，由题意可知该几何体的侧面为两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形．其中，等腰梯形的上底长为4，下底长为8，高为224225+=；等腰三角形的底边长为4，高为224225+=．故侧面积为4812252(425)32522S+=⨯⨯+⨯⨯⨯=．即需要的茅草面积至少为325．选B．10．运行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．0B．12C．-1D．32-【答案】B 【解析】由题设中提供的算法流程图可知22017 cos cos cos333 Sπππ=++⋅⋅⋅+，由于()cos3f x xπ=的周期是263Tππ==，而201763361=⨯+，所以220171cos cos cos cos33332Sππππ=++⋅⋅⋅+==，应选答案B．11．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．恰有一个红球与恰有二个红球D．至少有一个红球与至少有一个白球【答案】C【解析】【详解】从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：3个球全是红球；2个红球和1个白球；1个红球2个白球；3个全是白球.选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；选项D中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；选项C中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有2个红球”互斥不对立，故选C.12．如图所示，这是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．28π+B．88π+C．48π+D．68π+【答案】A【解析】由三视图可知：该几何体分为上下两部分，下半部分是长、宽、高分别为4,2,1的长方体，上半部分为底面半径为1，高为2的两个半圆柱，故其体积为24211282Vππ=⨯⨯+⨯⨯=+，故选A.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知函数32,0,(),2,0x x f x t x x t x ⎧=∈⎨-++<⎩R …，若函数()(()2)g x f f x =-恰有4个不同的零点，则t 的取值范围为_______ .【答案】[16,0)-【解析】【分析】若函数()(()2)g x f f x =-恰有4个不同的零点，令()m f x =，即(2)0f m -=，讨论2m =或(02)s s ≤<，由0s =求得t ，结合图象进而得到答案.【详解】函数32,0()2,0x x f x x x t x ≥⎧=⎨-++<⎩，当0x <时，3()2f x x x t =-++的导数为22'()323()3f x x x x x =-+=--， 所以'()0f x <在0x <时恒成立，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，可令()(()2)0g x f f x =-=，再令()m f x =，即有(2)0f m -=，当0t ≥时，(2)0f m -=，只有2m =，()0g x =只有两解；当0t <时，(2)0f m -=有两解，可得2m =或(02)s s ≤<，由()2f x =和()f x s =各有两解，共4解，有(2)0f -≥，解得16t ≥-，可得t 的范围是：[16,0)-，故答案是：[16,0)-.【点睛】该题考查的是有关根据函数零点个数确定参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有画函数的图象，研究函数的单调性，分类讨论的思想，属于较难题目.14．已知点A 在函数3x y =的图象上，点B ，C 在函数93x y =⨯的图象上，若ABC ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，且点A ，C 的纵坐标相同，则点B 的横坐标的值为______. 【答案】31log 4 【解析】【分析】根据题意，设B 的坐标为(),93m m ⨯，结合题意分析可得A 、C 的坐标，进而可得ABC V 的直角边长为2，据此可得9332m m ⨯-=，即134m =，计算可得m 的值，即可得答案． 【详解】根据题意，设B 的坐标为(),93m m ⨯，如图：又由ABC V 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形且点A ，C 的纵坐标相同，则A 、B 的横坐标相同，故A 的坐标为(),3m m ，C 的坐标为()2,3m m -， 等腰直角三角形ABC V 的直角边长为2，则有9332m m ⨯-=，即134m =， 解可得31log 4m =， 故答案为：31log 4【点睛】 本题主要考查指数函数性质以及函数值的计算，属于中档题．15．若一个圆锥的母线长是底面半径的3倍，则该圆锥的侧面积是底面积的_________倍；【答案】1；【解析】【分析】分别计算侧面积和底面积后再比较．【详解】由题意3l r =，23S rl r ππ==侧，2S r π=底，∴3S S 侧底＝． 故答案为1．【点睛】本题考查圆锥的侧面积，掌握侧面积计算公式是解题关键．属于基础题．16．若复数()2223232z m m m m i =--+-+是纯虚数，则实数m 的值为____． 【答案】－12【解析】【分析】由纯虚数的定义，可以得到一个关于m 的等式和不等式，最后求出m 的值.【详解】 因为复数()2223232z m m m m i =--+-+是纯虚数，所以有222320320m m m m ⎧--=⎨-+≠⎩，12m ⇒=-.故答案为12-. 【点睛】本题考查了纯虚数的定义，解不等式和方程是解题的关键.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知函数()f x =|x a |-.（I ）当1a =时，求不等式()2f x ≥的解集；（II ）若不等式()3f x ≤的解集为{|15}x x -≤≤，求实数a 的值. 【答案】（I ）{|1x x ≤-或3}x ≥；（II ）2. 【解析】 【分析】（I ）代入a 的值，求出不等式的解集即可；（II ）解不等式，根据对应关系得到关于a 的方程组，解出即可． 【详解】（I ）当1a =时，由|12x |-≥，得12x -≥或12x -≤-， 解得：3x ≥或1x ≤-，故不等式()2f x ≥的解集是{|1x x ≤-或3}x ≥. （II ）|3x a|-≤Q ，33x a ∴-≤-≤，33a x a ∴-≤≤+又不等式()3f x ≤的解集为{|15}x x -≤≤，3135a a -=-⎧∴⎨+=⎩，解得2a =.【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查转化思想，方程思想，是一道基础题．18．为了解人们对“2019年3月在北京召开的第十三届全国人民代表大会第二次会议和政协第十三届全国委员会第二次会议”的关注度，某部门从年龄在15岁到65岁的人群中随机调查了100人，并得到如图所示的年龄频率分布直方图，在这100人中关注度非常髙的人数与年龄的统计结果如右表所示：年龄 关注度非常高的人数（Ⅰ）由频率分布直方图，估计这100人年龄的中位数和平均数；（Ⅱ）根据以上统计数据填写下面的22⨯列联表，据此表，能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为以45岁为分界点的不同人群对“两会”的关注度存在差异？（Ⅲ）按照分层抽样的方法从年龄在35岁以下的人中任选六人，再从六人中随机选两人，求两人中恰有一人年龄在25岁以下的概率是多少．参考数据：【答案】 (1)45;42(2) 不能在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为以45岁为分界点的不同人群对“两会”的关注度存在差异.(3)815P=.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图，可直接得到中位数；由每组的中间值乘以该组的频率再求和，可求出平均数；（2）先由题意完善列联表；根据22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，结合数据求出2K，再由临界值表，即可得出结果；（3）先由分层抽样，得到任选的6人中，年龄在25岁以下的有4人，设为A、B、C、D；年龄在25岁到35岁之间的有2人，设为M、N，用列举法分别列举出总的基本事件以及满足条件的基本事件，基本事件个数比，即为所求概率. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，45两侧的频率之和均为0.5， 所以估计这100人年龄的中位数为45（岁）；平均数为x 200.2300.1400.2500.3600.242=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（岁）； （2）由频率分布直方图可知，45岁以下共有50人，45岁以上共有50人. 列联表如下：∴22100(35104015) 1.333 3.84175255050K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯∴不能在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为以45岁为分界点的不同人群对“两会”的关注度存在差异.（3）年龄在25岁以下的人数为0.021010020⨯⨯=人， 年龄在25岁到35岁之间的人数为0.011010010⨯⨯=人按分层抽样的方法在这30人中任选六人，其中年龄在25岁以下的有4人，设为A 、B 、C 、D ；年龄在25岁到35岁之间的有2人，设为M 、N ，从这六人中随机选两人，有AB 、AC 、AD 、AM 、AN 、BC 、BD 、BM 、BN 、CD 、CM 、CN 、DM 、DN 、MN 共15种选法，而恰有一人年龄在25岁以下的选法有AM 、AN 、BM 、BN 、CM 、CN 、DM 、DN 共8种，∴“从六人中随机选两人，求两人中恰有一人年龄在25岁以下”的概率是815P = 【点睛】本题主要考查由频率分布直方图求中位数与平均数、独立性检验，以及古典概型等，熟记中位数与平均数的计算方法，独立性检验的基本思想，以及古典概型的概率计算公式即可，属于常考题型.19．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，90BAC ∠=︒，12AB AA ==，1AC =，M ，N 分别是11A B ，BC 的中点.（Ⅰ）证明：//MN 平面11ACC A ； （Ⅱ）求二面角M AN B --的余弦值. 【答案】 (1)见解析;(2)2121. 【解析】分析：解法一：依题意可知1,,AB AC AA 两两垂直，以A 点为原点建立空间直角坐标系A xyz -， （1）利用直线的方向向量和平面的法向量垂直，即可证得线面平面；（2）求出两个平面的法向量，利用两个向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值. 解法二：利用空间几何体的点线面位置关系的判定定理和二面角的定义求解：（1）设AC 的中点为D ，连接1,DN A D ，证明四边形1A DNM 为平行四边形，得出线线平行，利用线面平行的判定定理即可证得线面平面；（2）以及二面角的平面角，在直角三角形中求出其平面角的余弦值，即可得到二面角的余弦值. 详解：解法一：依条件可知AB 、AC 、1AA 两两垂直， 如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -.根据条件容易求出如下各点坐标：()0,0,0A ，()0,2,0B ，()1,0,0C -，()10,0,2A ，()10,2,2B ，()11,0,2C -，()0,1,2M ，1,1,02N ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（Ⅰ）证明：∵1,0,22MN u u u u v ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()0,2,0AB =u u u v ，是平面11ACC A 的一个法向量，且10022002MN AB ⋅=-⨯+⨯-⨯=u u u u v u u u v ，所以MN AB ⊥u u u u v u u u v .又∵MN ⊄平面11ACC A ，∴//MN 平面11ACC A ； （Ⅱ）设(),,n x y z =v是平面AMN 的法向量，因为()0,1,2AM u u u u v =，1,1,02AN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u v ，由00AM n AN n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v v u u u v v ，得020102y z x y ++=⎧⎪⎨-+=⎪⎩. 解得平面AMN 的一个法向量()4,2,1n =-v， 由已知，平面ABC 的一个法向量为()0,0,1n v=，cos ,21m n m n n m ⋅===-v vv v ，∴二面角M AN B --. 解法二：（Ⅰ）证明：设AC 的中点为D ，连接DN ，1A D ， ∵D ，N 分别是AC ，BC 的中点，∴1//2DN AB ， 又∵11112A M AB =，11//A B AB ， ∴1//A M DN ，∴四边形1A DNM 是平行四边形，∴1//A D MN ，∵1A D ⊂平面11ACC A ，MN ⊄平面11ACC A ， ∴//MN 平面11ACC A ；（Ⅱ）如图，设AB 的中点为H ，连接MH ，∴1//MH BB ，∵1BB ⊥底面ABC ，∵1BB AC ⊥，1BB AB ⊥，∴MH AC ⊥，AH AB ⊥， ∴AB AC A ⋂=，∴MH ⊥底面ABC ，在平面ABC 内，过点H 做HG AN ⊥，垂足为G ， 连接MG ，AN HG ⊥，AN MH ⊥，HG MH H ⋂=， ∴AN ⊥平面MHG ，则AN MG ⊥， ∴MGH ∠是二面角M AN B --的平面角， ∵12MH BB ==，由AGH BAC ∆~∆，得HG =所以MG ==cos 21HG MGH MG ∠==， ∴二面角M AN B --.点睛：本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20．如图所示的几何ABCDEF ，底ABCD 为菱形，2AB =，120ABC ∠=︒.平面BDEF ⊥底面ABCD ，//DE BF ，DE BD ⊥，222DE BF ==.（1）证明：平面AEF ⊥平面AFC ； （2）求二面角E AC F --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（26【解析】 【分析】（1）推导出AC BD ⊥，从而AC ⊥平面BDEF ，进而AC EF ⊥.再由BD DE ⊥，得DE ⊥平面ABCD ，推导出EF AF ⊥，从而EF ⊥平面AFC ，由此能证明平面AEF ⊥平面AFC ；（2）取EF 中点G ，从而OG ⊥平面ABCD ，以OA u u u r 、OB uuu r 、OG u u u r所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E AC F --的余弦值. 【详解】解：（1）由题意可知AC BD ⊥，又因为平面BDEF ⊥底面ABCD ，所以AC ⊥平面BDEF ， 从而AC EF ⊥.因为BD DE ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ， 易得6AF =6EF =AE 23=所以222AF FE AE +=，故EF AF ⊥. 又AF AC A =I ，所以EF ⊥平面AFC .又EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面AFC ；（2）取EF 中点G ，AC ，BD 相交于点O ，连结OG ，易证OG ⊥平面ABCD ，故OA 、OB 、OG 两两垂直，以O 为坐标原点，以OA u u u r 、OB uuu r 、OG u u u r所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则()3,0,0A，()3,0,0C -，()0,1,22E -，()0,1,2F ，所以()3,1,22AE =--u u u r，()23,0,0AC =-u u u r，()0,2,2EF =-u u u r . 由（1）可得平面AFC 的法向量为()0,2,2EF =-u u u r.设平面AEC 的法向量为(),,n x y z =r， 则0,0,n AE n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 即3220,0,x y z x ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩令2z =，得4y =，所以()0,4,2=rn .从而3cos ,363n EF n EF n EF ⋅===⋅r u u u rr u u u r r u u u r ，故二面角E AC F --的正弦值为6.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.21．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点O 重合，极轴与x 轴的正半轴重合，若直线l 的参数方程：12312x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为：22sin 30ρρθ--=． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求直线l 被曲线C 截得线段的长． 【答案】 (1) 31y x =-；22(1)4x y +-=.(2) 23. 【解析】分析：（1）直线l 的参数方程为：12312x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），消去参数t 即可；曲线C 的极坐标方程为：22sin 30ρρθ--=，利用互化公式即可；（2）几何法求弦长即可.详解：（1）直线l 的普通方程为31y x =-，曲线C 的普通方程为()2214x y +-=; （2）曲线C 表示以()0,1为圆心，2为半径的圆， 圆心到直线l 的距离1d =，故直线l 被曲线C 截得的线段长为222212 3.-=． 点睛：求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用； (2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．使用后一种方法时，应注意若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．22． 已知函数f(x)＝|x ＋a|＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x －4|的解集包含[1，2]，求a 的取值范围． 【答案】 (1) {x|x≥4或x≤1}；(2) [－3，0]. 【解析】试题分析：（1）解绝对值不等式首先分情况去掉绝对值不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于-2-x≤a≤2-x 在[1，2]上恒成立，由此求得求a 的取值范围试题解析：（1）当a ＝－3时，f （x ）＝25,2{1,2325,3x x x x x -+≤<<-≥当x≤2时，由f （x ）≥3得－2x ＋5≥3，解得x≤1； 当2＜x ＜3时，f （x ）≥3无解；当x≥3时，由f （x ）≥3得2x －5≥3，解得x≥4.所以f （x ）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}． 6分 （2）f （x ）≤|x －4||x －4|－|x －2|≥|x ＋a|.当x ∈[1，2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a|（4－x ）－（2－x ）≥|x ＋a|－2－a≤x≤2－a ，由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0，故满足条件的实数a的取值范围为[－3，0]．考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数。
四川省乐山市2020年高二下数学期末监测试题含解析
四川省乐山市2020年高二(下)数学期末监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知全集，，，则集合（ ） A ． B ．C ．D ．2．曲线3123y x x =-在1x =处的切线的倾斜角是 （ ） A ．6π B ．34π C ．4π D ．3π 3．若()2,1,3a x =-，()1,2,9b y =，如果a 与b 为共线向量，则（ ） A ．1x =，1y = B ．16x =-，32y =C ．1x =-，1y =D ．1x =-，1y =-4．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》 中记载的算筹. 古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算， 算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把 各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示， 十位、千位、十万位用横式表示， 以此类推．例如 8455 用算筹表示就是，则以下用算筹表示的四位数正确的为（ ）A ．B ．C ．D ．5．设P ，Q 分别是圆()2262x y +-=和椭圆22110x y +=上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．52B 462C ．62D ．72+6．已知集合{1,2,3,4,5}A =，{5,8,9}B =，现从这两个集合中各取出一个元素组成一个新的双元素组合，则可以组成这样的新集合的个数为（ ）7．在一个袋子中装有12个除颜色外其他均相同的小球，其中有红球6个、白球4个、黄球2个，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有黄但没有白的概率为（ ） A ．13B ．14C ．16D ．188．某个几何体的三视图如图所示（其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆），则该几何体的体积为（ ）A ．8010π+B ．8020π+C ．9214π+D ．12010π+9．已知直线l 与抛物线24x y =交于A 、B 两点，若四边形OAMB 为矩形，记直线OM 的斜率为k ，则k的最小值为（ ）． A ．4B ．22C ．2D ．210．某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥四个面的面积中最大的是A ．5B ．3C ．352D ．3511．某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，将数据制成茎叶图如图，若用样本估计总体，年龄在(,)x s x s -+内的人数占公司总人数的百分比是（精确到1%）（ ）12．已知函数()3sin cos (0)f x wx wx w =+>在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值范围是（ ） A ．8,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．8,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．204,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．20,73⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知正三棱锥底面边长为2，侧棱长为3，则它的侧面与底面所成二面角的余弦值为________. 14．某电视台连续播放7个不同的广告，其中4个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求所有的公益广告必须连续播放，则不同的播放方式的种数为_______. 15．已知函数()3222,1,1x x f x x ax a x ⎧+-≤-=⎨-+>-⎩，若函数()1y f x a =-+恰有2个零点，则实数a 的取值范围是______.16．某超市国庆大酬宾，购物满100元可参加一次游戏抽奖活动，游戏抽奖规则如下：顾客将一个半径适当的小球放入如图所示的容器正上方的入口处，小球自由落下过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中，落入A 袋得奖金4元，落入B 袋得奖金8元，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左向右下落的概率都为12.已知李女士当天在该超市购物消费128元，按照活动要求，李女士的活动奖金期望值为_____元.三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数21()ln ()2f x x x mx x m R =--∈. （1）若函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，求实数m 的取值范围；（2）若函数()f x 在(0,)+∞上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：12ln ln 2x x +>. 18．已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过两点()0,1A ，()2,3B ． （1）求圆C 的方程；（2）若点P 在圆C 上，求点P 到直线3110x y ++=的距离的最小值．19．（6分）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，2a b =，1cos 4A =. （1）求sinB 的值；（2）若ABC ∆的面积为15，求c 的值.20．（6分）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2, 2.CA CB CD BD AB AD ======（Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ； （Ⅱ）求点E 到平面ACD 的距离.21．（6分）某区组织部为了了解全区科级干部“党风廉政知识”的学习情况，按照分层抽样的方法，从全区320名正科级干部和1280名副科级干部中抽取40名科级干部预测全区科级干部“党风廉政知识”的学习情况.现将这40名科级干部分为正科级干部组和副科级干部组，利用同一份试卷分别进行预测.经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下表： 分组 人数 平均成绩 标准差 正科级干部组 a80 6 副科级干部组 b704（1）求,a b ；（2）求这40名科级干部预测成绩的平均分x 和标准差s ；（3）假设该区科级干部的“党风廉政知识”预测成绩服从正态分布()2,N μσ，用样本平均数x 作为μ的估计值μ∧，用样本标准差s 作为σ的估计值σ∧.利用估计值估计：该区科级干部“党风廉政知识”预测成绩小于60分的约为多少人？附：若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=；(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=；(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=.22．（8分）已知()()33sin 2f x x x πωπω⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭()2cos 0x ωω->的最小正周期为T π=．(1)求43f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； (2)在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是为a ，b ，c ，若()2cos cos a c B b C -=，求角B 的大小以及()f A 的取值范围．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】试题分析：因为A ∪B={x|x≤0或x≥1}，所以，故选D.考点：集合的运算. 2．B 【解析】分析：先求导数，再根据导数几何意义得斜率，最后得倾斜角. 详解：因为3123y x x =-，所以22y x '=- 所以曲线3123y x x =-在1x =处的切线的斜率为121,-=- 因此倾斜角是34π，选B.点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化. 3．B 【解析】 【分析】利用向量共线的充要条件即可求出． 【详解】解：a 与b 为共线向量，∴存在实数λ使得λa b ，∴21239x y λλλ-=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得163213x y λ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩．故选：B ． 【点睛】本题考查空间向量共线定理的应用，属于基础题. 4．D 【解析】 【分析】根据题意直接判断即可. 【详解】根据“各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示”的原则，只有D 符合，故选D. 【点睛】本题主要考查合情推理，属于基础题型. 5．C 【解析】 【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P ，Q 两点间的最大距离. 【详解】圆()2262x y +-=的圆心为M(0,6)，设()00,Q x y ，则2200110x y +=， 即[]01,1y ∈-，MQ ==[]0,?1,1y ∈-∴当0y =- 23时，MQ =最大PQ 的最大值为. 故选C. 【点睛】本题考查了椭圆与圆的综合，圆外任意一点到圆的最大距离是这个点到圆心的距离与圆的半径之和，根据圆外点在椭圆上，即可列出椭圆上一点到圆心的距离的解析式，结合函数最值，即可求得椭圆上一点到圆上一点的最大值. 6．C 【解析】 【分析】利用分类计数加法原理和分步计数乘法原理计算即可，注意5这个特殊元素的处理. 【详解】已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}5,8,9B =，现从这两个集合中各取出一个元素组成一个新的双元素组合，分为2类：含5，不含5；则可以组成这样的新集合的个数为34214⨯+=个. 故选C. 7．C 【解析】分析：由已知得取出的3球中有2红1黄或2黄1红，2红1黄的情况有3种，2黄1红的情况也有3种，由此能求出记下的颜色中有红有黄但没有白的概率.详解：从袋中随机摸出一个球，摸到红球、白球、黄球的概率分别为111,,236， 由已知得取出的3球中有2红1黄或2黄1红， 2红1黄的情况有3种，2黄1红的情况也有3种，∴下的颜色中有红有黄但没有白的概率为1111111332266626P =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.故选：C.点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率计算公式的合理运用. 8．A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由三视图可知该几何体的体积等于长方体体积和半个圆柱体积之和，214542580102V ππ=⋅⋅+⋅⋅⋅=+．考点：三视图与体积． 9．B 【解析】 【分析】设直线方程y mx t =+并与抛物线方程联立,根据OA OB ⊥,借助韦达定理化简得4t =.根据AB ,OM 相互平分,由中点坐标公式可得01212x x x y y y =+⎧⎨=+⎩,即可求得00k y x =,根据基本不等式即可求得k 最小值. 【详解】设()00,M x y ,()11,A x y ,()22,B x y 设直线l :y mx t =+将直线l 与24x y =联立方程组,消掉y :24y mx tx y=+⎧⎨=⎩ 得: 2440x mx t --=由韦达定理可得:124x x m += ┄①,124x x t =- ┄②OA OB ⊥，故0OA OB ⋅=,可得:12120x x y y +=┄③ ()11,A x y ，()22,B x y ，是24x y =上的点,∴2114x y = 2224x y =, 可得:()2121216x x y y =┄④由③④可得:12160x x +=,结合②可得:4t =AB 和OM 相互平分,由中点坐标公式可得01212x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，结合①②可得:0124m x x x =+=,()22212121202444x x x x x x y +-=+= 221632484m m +==+， 故2004824k y m m x m m+===+， 根据对勾函数(对号函数)可知0m >时,222m m+≥. (当且仅当2m =)0m <时,222m m+≤-.(当且仅当2m =-) 所以22k ≥. 故选:B. 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,通过联立直线方程与抛物线方程的方程组,应用一元二次方程根与系数的关系,得到“目标函数”的解析式,确定函数的性质进行求解. 10．C 【解析】作出三棱锥P−ABC 的直观图如图所示，过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，连结PD. 由三视图可知PA ⊥平面ABC ， BD=AD=1,CD=PA=2,∴22223, 5.5, 2.BC PD PA AD AC AD CD AB PD ==+==+==⊥.∴131,222ABC ABPS BC AD S AB PA =⨯⨯==⨯⨯=115,222ACPBCPSAC PA S BC PD =⨯⨯==⨯⨯=.∴三棱锥P−ABC 的四个面中，侧面PBC 的面积最大2. 故选C.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽. 11．A 【解析】 【分析】求出样本平均值与方差，可得年龄在(,)x s x s -+内的人数有5人，利用古典概型概率公式可得结果. 【详解】363637374440434443409x ++++++++==,2161699160916910099s ++++++++==103s =,年龄在(,)x s x s -+内，即110130,33⎛⎫⎪⎝⎭内的人数有5人， 所以年龄在(,)x s x s -+内的人数占公司总人数的百分比是等于505609≈，故选A.【点睛】样本数据的算术平均数公式 12n 1(++...+)x x x x n=． 样本方差公式2222121[()()...()]n s x x x x x x n=-+-++-，标准差s =12．B 【解析】 【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果． 【详解】由题意，函数()cos 2sin()6f x x x x πωωω=+=+，令6x t πω+=，所以()2sin f x t =，在区间上,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦恰有一个最大值点和最小值点， 则函数()2sin f x t =恰有一个最大值点和一个最小值点在区间,[436]6πωππωπ+-+， 则3246232362ππωππππωππ⎧-<-+≤-⎪⎪⎨⎪≤+<⎪⎩，解答8203314ωω⎧≤<⎪⎨⎪≤<⎩，即834ω≤<，故选B ． 【点睛】本题主要考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．【解析】 【分析】先做出二面角的平面角，再运用余弦定理求得二面角的余弦值． 【详解】取正三棱锥S ABC -的底边AC 的中点，连接SD 和BD ,则在底面正ABC ∆中，BD AC ⊥，且边长为2，所以BD =， 在等腰SAC ∆中，边长为3,2SA SC AC ===， 所以SD AC ⊥且SD =所以SDB ∠就是侧面SAC 与底面ABC 所成二面角的平面角，所以在SDB ∆中，222cos 2SD DB BD SDB SD DB +-∠==⨯⨯， 故得解.【点睛】本题考查二面角，属于基础题. 14．720 【解析】 【分析】分两步求解，第一步将所有的公益广告捆绑一起当成一个元素和其他4个不同商业广告进行排列，第二部对3个不同的公益广告进行排列，得结果 【详解】解：由题意，第一步将所有的公益广告捆绑一起当成一个元素和其他4个不同商业广告进行排列，不同的安排方式有55120A =种，第二部对3个不同的公益广告进行排列，不同的安排方式有336A =种，故总的不同安排方式有53531206720A A =⨯=种，故答案为：720. 【点睛】本题考查捆绑法解排列组合问题，是基础题.15．3321,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由题意可得()1f x a =-有两个不等实根，作出22y x =+-，1x ≤-，32y x ax a =-+，1x >-的图象，结合导数求得极值，考虑极小值与1a -的关系，计算可得所求范围． 【详解】函数()1y f x a =-+恰有2个零点， 可得()1f x a =-有两个不等实根，由32y x ax a =-+的导数为2'32y x ax =-，当0a <时，()23232x ax x x a -=-，当23ax <或0x >时，0y '>，当203a x <<时，0y '<， 可得23ax =处取得极大值，0x =取得极小值，且32y x ax a =-+过()1,1--，()0,a ，作出22y x =+-，1x ≤-，32y x ax a =-+，1x >-的图象，以及直线1y a =-，如图 ，此时()f x 与1y a =-有两个交点, 只需满足21a a -<-<，即1a -<， 又0a <， 所以10a -<<，当0a >时，32y x ax a =-+在23a x =处取得极小值3427a a -，0x =取得极大值a ，如图，只需满足34127a a a -<-，解得3322a <又0a >，所以33202a <<时，()f x 与1y a =-有两个交点，当0a =时，显然()f x 与1y =-有两个交点，满足题意，综上可得a的范围是1,2⎛- ⎝⎭，故答案为：⎛- ⎝⎭.【点睛】本题考查分段函数的图象和性质，考查导数的运用：求单调性和极值，考查图象变换，属于难题． 16．5 【解析】 【分析】先记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，分别求出其对应概率，再由题意得到抽取活动奖金的可能取值，进而可求出结果. 【详解】记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，由题意可得()33111224⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P B ，所以3()1()4=-=P A P B .因为李女士当天在该超市购物消费128元，按照活动要求，李女士可参加一次抽奖， 抽取活动奖金的可能取值为4,8=X ， 所以期望为()4()8()325=+=+=E X P A P B . 故答案为5 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望，熟记概念即可，属于常考题型. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17． (1)1[,)e+∞;(2)见解析. 【解析】分析：（1）由题意得出'()ln 0f x x mx =-≤在定义域(0,)+∞上恒成立，即max ln ()xm x≥， 设ln ()xh x x =，则21ln '()x h x x -=，由此利用导数求得函数单调性与最值，即可求解； （2）由（1）知'()ln f x x mx =-，由函数()f x 在(0,)+∞上存在两个极值点1x ，2x ，推导出∴12ln ln x x +112212(1)ln 1x xx x x x +⋅=-，设12(0,1)x t x =∈，则12(1)ln ln ln 1t t x x t +⋅+=-，要证12ln ln 2x x +>，只需证2(1)ln 01t t t --<+，构造函数2(1)()ln 1t g t t t -=-+，利用导数求得函数的单调性与最值，即可作出求解.详解：（1）∵()()21ln 2f x x x mx x m R =--∈在()0,+∞上是减函数， ∴()'ln 0f x x mx =-≤在定义域()0,+∞上恒成立，∴maxln x m x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，设()ln x h x x =，则()21ln 'xh x x-=， 由()'0h x >，得()0,x e ∈，由()'0h x <，得x e >， ∴函数()h x 在()0,e 上递增，在(),e +∞上递减， ∴()()max 1h x h e e ==，∴1m e ≥. 故实数m 的取值范围是1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 证明：（2）由（1）知()'ln f x x mx =-，∵函数()f x 在()0,+∞上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，∴112200lnx mx lnx mx -=⎧⎨-=⎩，则12121212ln ln ln ln x x m x x x x m x x +⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪-⎩，∴12121212ln ln ln ln x x x x x x x x +-=+-，∴12112122ln ln ln x x x x x x x x ++=⋅-1122121ln 1x x x x x x ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭=-， 设()120,1x t x =∈，则()121ln ln ln 1t t x x t +⋅+=-， 要证12ln ln 2x x +>，只需证()1ln 21t t t +⋅>-，只需证()21ln 1t t t -<+，只需证()21ln 01t t t --<+，构造函数()()21ln 1t g t t t -=-+，则()()()()222114'011t g t t t t t -=-=>++，∴()()21ln 1t g t t t -=-+在()0,1t ∈上递增，∴()()10g t g <=，即()()21ln 01t g t t t -=-<+，∴12ln ln 2x x +>.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用. 18．（1）()22310x y -+=（2【解析】 【分析】（1）设圆心在x 轴上的方程是()222x a y r -+=，代入两点求圆的方程；（2）利用数形结合可得最短距离是圆心到直线的距离-半径. 【详解】解：（1）由于圆C 的圆心在x 轴上，故可设圆心为(),0a ，半径为()0r r >， 又过点()0,1A ，()2,3B ，故()()22222201,23,a r a r ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩解得3,a r =⎧⎪⎨=⎪⎩ 故圆C 的方程()22310x y -+=．（2）由于圆C 的圆心为()3,0，圆心到直线3110x y ++=的距离为 又点P 在圆C 上，故点P 到直线3110x y ++=的距离的最小值为r ==． 【点睛】本题考查了圆的方程以及圆有关的最值问题，属于简单题型，当直线和圆相离时，圆上的点到直线的最短距离是圆心到直线的距离-半径，最长的距离是圆心到直线的距离+半径. 19．(1)sin 8B =;(2)4. 【解析】分析：先根据1cos 4A =，求得sinA 的值，再结合正弦定理求解即可；（2）先由cosA 的余弦定理可得c ，b 的关系，然后根据三角形面积公式即可求得c. 详解：（1）由1cos 4A =得sin 4A =， 由2a b =及正弦定理可得sin sin b A B a ==. （2）根据余弦定理可得2221cos 24b c a A bc +-==，代入2a b =得2224124b c b bc +-=，整理得22260c bc b --=，即()()2320c b c b +-=，解得2c b =，∴211sin 228ABC S ac B c ∆==⨯=4c =. 点睛：考查正余弦定理解三角形的应用，三角形面积公式，对定理公式的灵活运用是解题关键，属于基础题.20．（Ⅰ）详见解析 （Ⅱ）7【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）要证明AO ⊥平面BCD ，需要证明AO OC ⊥，AO BD ⊥，证明时主要是利用已知条件中的线段长度满足勾股定理和等腰三角形三线合一的性质（Ⅱ）中由已知条件空间直角坐标系容易建立，因此可采用空间向量求解，以O 为坐标原点，以,,OB OC OA 方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面ACD的法向量(3,1,n =-和斜线的方向向量1(,22EC =-，代入公式EC n d n⋅=计算试题解析：（Ⅰ）证明：,AB AD O =为BD 的中点，AO BD ∴⊥，2AD =,1OD =，1AO ∴=，2,CB CD BD OC ===∴=又2,CA =222CA OA OC ∴=+，AO OC ∴⊥，BD OC O ⋂=，,BD OC 均在平面BCD 内，AO ∴⊥平面BCD（Ⅱ）方法一：以O 为坐标原点，以,,OB OC OA 方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则1(0,0,1),(1,0,0),(1,0,0),(2A B C D E -，(0,3,1),(1,3,0)AC CD=-=--设n为平面ACD的法向量，则n AC⊥，n CD⊥30,{30,y zx y-=∴+=取n(3,1,3)=--，13(,,0)22EC=-，则点E到平面ACD的距离为32177EC ndn⋅===方法二：设点H在CD上，且14DH DC=，连AH，2,CB CD DB===O为BD的中点，OH CD∴⊥AO⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，,AO CD∴⊥,,AO OH O AO OH⋂=⊂平面AOH，CD平面AOHCD⊂平面ACD，∴平面AOH⊥平面ACD，且交线为AH过点O作OP AH⊥于点P，则OP∴⊥平面ACD,O E分别为,BD BC的中点，则//,OE CD OE⊄平面ACD，CD⊂平面ACD，//OE∴平面ACD，E∴点到平面ACD的距离即OP，31372121,,,2277AO OHAO OH AH OPAH⨯⋅===∴===故点E到平面ACD的距离为21考点：1.线面垂直的判定；2.点到面的距离21．（1）8,32；（2）72，6；（3）36. 【解析】 【分析】（1）首先求得样本容量与总体的比为140，根据比例可求得,a b ；（2）根据平均数计算公式可求得平均数；根据正科级和副科级干部组的标准差可分别求得正科级和副科级干部组每个人成绩的平方和；代入方差公式可求得总体的方差，进而得到标准差；（3）首先确定μ的估计值ˆ72μ=，σ的估计值ˆ6σ=；根据3σ原则求得()60840.9544P X <<=；根据正态分布曲线可求得()00860.22P X =≤，从而可求得预测成绩小于60分的人数. 【详解】（1）样本容量与总体的比为：401320128040=+则抽取的正科级干部人数为1320840a =⨯=；副科级干部人数为112803240b =⨯=， （2）这40名科级干部预测成绩的平均分：80870327240x ⨯+⨯== 设正科级干部组每人的预测成绩分别为1238,,,,x x x x ⋅⋅⋅，副科级干部组每人的预测成绩分别为9101140,,,,x x x x ⋅⋅⋅则正科级干部组预测成绩的方差为：()2222221128188068s x x x ⎡⎤=++⋅⋅⋅+-⨯=⎣⎦ 解得：()222221288680x x x ++⋅⋅⋅+=⨯+副科级干部组预测成绩的方差为：()22222229104013270432s x x x ⎡⎤=++⋅⋅⋅+-⨯=⎣⎦ 解得：()222229104032470x x x ++⋅⋅⋅+=⨯+这40名科级干部预测成绩的方差为()()222222221289104014040s x x x x x x x ⎡⎤=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-⨯⎣⎦ ()()22222186803247040723640⎡⎤=⨯++⨯+-⨯=⎣⎦6s ∴==∴这40名科级干部预测成绩的平均分为72，标准差为6（3）由72x =，6s =，得μ的估计值ˆ72μ=，σ的估计值ˆ6σ= 由()220.9544P X μσμσ-<<+=得：()60840.9544P X <<=()()()()1608416084110.95440.022282P X P X P X =∴⨯-=≤=≥=-<<⎡⎤⎣⎦ ∴所求人数为：16000.022836.4836⨯=≈人【点睛】本题考查统计中的频数的计算、平均数和方差、标准差的求解、正态分布中的概率求解问题，是对统计知识的综合考查，属于常规题型. 22． (1) 12;(2) 3B π=,()11,2f A ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦.【解析】试题分析：（1） 根据三角恒等变换的公式，得()1sin(2)62f x wx π=--，根据周期，得1w =，即()1sin(2)62f x x π=--，即可求解4()3f π的值；（2）根据正弦定理和三角恒等变换的公式，化简()2cos cos a c B b C -=，可得1cos 2B =，可得3B π=，进而求得1sin 2,162A π⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求解()f A 的取值范围. 试题解析：(1)∵()()3sin 2f x x x ππωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭22cos cos cos x x x x ωωωω-=-11cos222x x ωω=-- 1sin 262x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由函数()f x 的最小正周期为T π=，即22ππω=，得1ω=，∴()1sin 262f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴441sin 23362f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 511sin 222π=-=． （2）∵()2cos cos a c B b C -=，∴由正弦定理可得()2sin sin cos A C B - sin cos B C =，∴2sin cos sin cos cos sin A B B C B C =+ ()sin sin B C A =+=．∵sin 0A >，∴1cos 2B =．∵()0,B π∈，3B π=．∵23A C B ππ+=-=，∴20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴72,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴1sin 2,162A π⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()11sin 21,622f A A π⎛⎫⎛⎤=--∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦．。
四川省乐山市2020年高二下数学期末监测试题含解析
四川省乐山市2020年高二下数学期末监测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．双曲线2213x y a -=的离心率等于2，则实数a 等于（ ）A ．1BC ．3D ．6【答案】A 【解析】 【分析】利用离心率的平方列方程，解方程求得a 的值. 【详解】 由34a a+=可得1a =，从而选A. 【点睛】本小题主要考查已知双曲线的离心率求参数，考查方程的思想，属于基础题. 2．以下说法正确的是（ ）A ．命题“x R ∀∈，2250x x ++>”的否定是“0x R ∃∈，200250x x ++<”B ．命题“x ，y 互为倒数，则1xy=”的逆命题为真C ．命题“若x ，y 都是偶数，则x y +是偶数”的否命题为真D ．“1m ≤-”是“133m≥”的充要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题的知识判断A 选项的正确性.写出原命题的逆命题并判断真假性，由此判断B 选项的正确性. .写出原命题的否命题并判断真假性，由此判断C 选项的正确性.根据充要条件的知识判断D 选项的正确性. 【详解】对于A 选项，原命题是全称命题，其否定是特称命题，注意到要否定结论，故否定应是“0x R ∃∈，200250x x ++≤”，所以A 选项错误.对于B 选项，原命题的逆命题是“若1xy =，则,x y 互为倒数”，是真命题，故B 选项正确.对于C 选项，原命题的否命题为“若,x y 不都是偶数，则x y +不是偶数”，当,x y 都为奇数时，x y +是偶数，故为假命题.所以C 选项错误.对于D 选项，由113313mm -≥=⇒≥-，所以. “1m ≤-”不是“133m ≥”的充要条件.故D 选项错误. 综上所述可知，B 选项正确. 故选：B 【点睛】本小题主要考查全称命题的否定、逆命题、否命题以及充要条件等知识，属于基础题.3．已知1232727272727S C C C C =++++，则S 除以9所得的余数是A ．2B ．3C ．5D ．7【答案】D 【解析】 【分析】根据组合数的性质，将1232727272727S C C C C =++++化简为()9911--，再展开即可得出结果.【详解】()9123272799081827272727999C C C C 21819119C 9C 9C 2S =++++=-=-=--=-++-，所以除以9的余数为1．选D. 【点睛】本题考查组合数的性质，考查二项式定理的应用，属于基础题. 4．已知复数满足(13)z i i =-，则z 共轭复数z =( ) A ．3i + B ．13i +C ．13i -D ．3i -【答案】D 【解析】 【分析】先利用复数的乘法将复数z 表示为一般形式，然后利用共轭复数的定义得出z . 【详解】()21333z i i i i i =-=-=+，因此，3z i =-，故选D.【点睛】本题考查复数的乘法运算以及共轭复数的概念，解复数相关的问题，首先利用复数四则运算性质将复数表示为一般形式，然后针对实部和虚部求解，考查计算能力，属于基础题．5．A 、B 、C 、D 、E 、F 六名同学站成一排照相，其中A 、B 两人相邻的不同排法数是（ ） A ．720种 B ．360种C ．240种D ．120种【答案】C先把A 、B 两人捆绑在一起，然后再与其余四人全排列即可求出A 、B 两人相邻的不同排法数. 【详解】首先把把A 、B 两人捆绑在一起，有22212A =⨯=种不同的排法，最后与其余四人全排列有5554321120A =⨯⨯⨯⨯=种不同的排法，根据分步计算原理，A 、B 两人相邻的不同排法数是52521202240A A =⨯=，故本题选C.【点睛】本题考查了全排列和分步计算原理，运用捆绑法是解题的关键.6．同时具有性质“①最小正周期是π”②图象关于,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称；③在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是增函数的一个函数可以是（ ） A ．4sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】利用所给条件逐条验证，最小正周期是π得出2ω=，把②③分别代入选项验证可得. 【详解】 把6x π=代入A 选项可得sin()0y π=-=，符合；把6x π=代入B 选项可得sin 00y ==，符合；把6x π=代入C 选项可得cos 1y π==-，不符合，排除C ；把6x π=代入D 选项可得sin12y π==，不符合，排除D ；当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，4452[,]336x πππ-∈--，此时为减函数；当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，πππ2[,]336x -∈-，此时为增函数；故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，侧重考查直观想象的核心素养. 7．i 为虚数单位，复数512i+的共轭复数是（ ） A ．12i -B ．12i +C ．2i -D ．2i +分析：直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．详解：()()()51251 2.121212i i i i i ⋅-==-++- 则复数512i+的共轭复数是12i +. 故选C.点睛：本题考查复数的除法的运算法则的应用，复数的基本概念，是基础题．8．①线性回归方程对应的直线ˆˆˆy bx a =+至少经过其样本数据点1122(,),(,)(,)n n x y x y x y 中的一个点；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1,)N σ(0)σ>，若ξ位于区域(0,1)内的概率为0.4，则ξ位于区域(0,2)内的概率为0.8；④对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大．其中真命题的序号为( ) A ．①④ B ．②④C ．①③D ．②③【答案】D 【解析】对于①，因为线性回归方程是由最小二乘法计算出来的，所以它不一定经过其样本数据点，一定经过(,)x y ，故错误；对于②，根据随机变量的相关系数知，两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故正确；对于③，变量ξ服从正态分布()21,N σ，则(02)2(01)0.8P P ξξ<<=<<=，故正确；对于④，随机变量2K 的观测值越大，判断“X 与Y 有关系”的把握越大，故错误. 故选D.点睛：在回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线方程必过(,)x y 点，可能所有的样本数据点都不在直线上. 9．已知直线00x x at y y bt，=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）上两点,A B 对应的参数值分别是12,t t ，则||=AB （ ）A．12t t +B ．12t t - C12t t - D【答案】C 【解析】试题分析：依题意，{{x xx x atty y bty y==+⇒==+=+，由直线参数方程几何意义得1212AB m m t=-=-，选C．考点：直线参数方程几何意义10．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有( )种.A．36B．30C．12D．6【答案】A【解析】从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，因为先从其余3人中选出1人担任文艺委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，所以不同的选法共有123436C A=种.本题选择A选项.11．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立做了15次和20次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线为l1和l2，已知在两人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t，那么下列说法正确的是( ) A．直线l1和直线l2有交点(s，t)B．直线l1和直线l2相交，但交点未必是点(s，t)C．直线l1和直线l2必定重合D．直线l1和直线l2由于斜率相等，所以必定平行【答案】A【解析】【分析】根据回归直线过样本数据中心点，并结合回归直线的斜率来进行判断。
四川省乐山市2020年高二第二学期数学期末监测试题含解析
四川省乐山市2020年高二第二学期数学期末监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且斜率为1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则1F AB ∆的内切圆半径为( )A ．7BCD ．72．某校开设10门课程供学生选修，其中A 、B 、C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位学生选修三门，则每位学生不同的选修方案种数是( )A ．70B ．98C ．108D ．1203．甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为（ ） A ．72种 B ．52种 C ．36种 D ．24种4．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，若{a n }和都是等差数列，且公差相等，则a 6＝( ) A ． 32 B ． 114 C ．. 72 D ．15．若当x θ=时,函数()3sin 4cos f x x x =+取得最大值,则cos θ=( )A ．35B ．45C ．35D ．45- 6．如表是某厂节能降耗技术改造后，在生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据：若根据如表提供的数据，用最小二乘法可求得y 对x 的回归直线方程是0.70.35y x =+，则表中m 的值为（ ）A ．4B ．4.5C ．3D ．3.57．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的六个顶点都在球O 的球面上，且侧棱AA 1⊥平面ABC ，若AB=AC=3，12,83BAC AA π∠==，则球的表面积为（ ） A ．36π B ．64π C ．100π D ．104π8．欧拉公式e ix ＝cos x ＋isin x(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．函数22232x y x x -=--的定义域为（ ） A ．(],2-∞ B ．11,,222⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,,222⎛⎫⎛⎤-∞-- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ D ．(],1-∞10．已知椭圆4cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点分别为,A B ，动点P 是椭圆上任一点，则PAB ∆面积的最大值为（ ）A ．()621-B ．()621+C ．125D ．24511．对于复数123、、z z z ，给出下列三个运算式子：（1）1212z z z z +≤+，（2）1212z z z z ⋅=⋅，（3）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅.其中正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 12．若函数，，且有三个零点，则的取值范围为（ ） A ． B ． C ． D ．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知x ∈R ，若xi x =，i 是虚数单位，则x =____________．14．已知F 为抛物线C ：264y x =的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A ，B 两点，设FA FB >，则FA FB=_______. 15．某学校拟从2名男教师和1名女教师中随机选派2名教师去参加一个教师培训活动，则2名男教师去参加培训的概率是_______．16．已知二项式2n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中各项的二项式系数之和是16，则2244nx x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中的含4x 项的系数是_________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．某村计划建造一个室内面积为800平米的矩形蔬菜温室，在温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大的种植面积是多少？18．已知函数32()3f x x x x m =+-+，2()23g x x x -=+，若直线2y x a =-与函数()f x ，()g x 的图象均相切.（1）求实数,a m 的值；（2）当0m >时，求()()()F x f x g x =-在[]1,1-上的最值.19．（6分）已知矩阵1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，向量93α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （1）求A 的特征值1λ、2λ和特征向量1α、2α；（2）求5A α的值.20．（6分）已知二项式()22nx x --． （1）若展开式中第二项系数与第四项系数之比为1:8，求二项展开式的系数之和．（2）若展开式中只有第6项的二项式系数最大，求展开式中的常数项．21．（6分）已知函数()3213f x x ax bx =++在3x =-处取得极大值为9. （1）求,a b 的值；（2）求曲线()y f x =在3x =处的切线方程.22．（8分）已知函数，在点处的切线方程为． （1）求的解析式； （2）求的单调区间； （3）若函数在定义域内恒有成立，求的取值范围．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．C【解析】分析：根据韦达定理结合三角形面积公式求出1F AB ∆的面积S ，利用椭圆的定义求出三角形的周长c ，代入内切圆半径2S r c=，从而可得结果. 详解：椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ， 则2F 的坐标为()1,0，过2F 且斜率为1的直线为1y x =-，即1x y =+， 代入22143x y +=，得27690y y +-=，则1277y y -==，故1F AB ∆的面积121227S c y y =⋅⋅-=， 1F AB ∆的周长48c a ==，故1F AB ∆的内切圆半径27S r c ==，故选C. 点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质与椭圆定义的应用，属于中档题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.2．B【解析】根据题意，分2种情况讨论：①、从A,B,C 三门中选出1门,其余7门中选出2门,有126337C C =种选法， ②、从除A,B,C 三门之外的7门中选出3门,有3357C =种选法； 故不同的选法有63+35=98种；故选：B.点睛：（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．3．C【解析】【分析】【详解】当丙在第一或第五位置时，有1323224A A =种排法；当丙在第二或第四位置时，有222228A A =种排法；当丙在第三或位置时，有22224A A =种排法；则不同的排法种数为36种.4．B【解析】【分析】设等差数列{a n }和的公差为d ，可得a n =a 1+（n ﹣1）d （n ﹣1）d ，于是d 2d ，化简整理可得a 1，d ，即可得出．【详解】设等差数列{a n }和的公差为d ，则a n =a 1+（n ﹣1）d （n ﹣1）d ，d 2d ，平方化为：a 1+d=d 2+，2a 1+3d=4d 2+，可得：a 1=d ﹣d 2，代入a 1+d=d 2+，化为d （2d ﹣1）=0，解得d=0或12． d=0时，可得a 1=0，舍去． ∴12d =，a 1=14． ∴a 6=11115424+⨯=． 故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查等差数列的通项和前n 项和，意在考查学生岁这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)d 2d 求出d.5．B【解析】【分析】函数()f x 解析式提取5变形后,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的性质可得结果.【详解】()()345sin cos 555f x x x sin x α⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，其中43,cos 55sin αα==, 当2,2x k k Z παπ+=+∈，即22x k ππα=+-时，()f x 取得最大值5 ,22k ππαθ∴+-=，则4cos cos 225k sin πθπαα⎛⎫=+-== ⎪⎝⎭，故选B. 【点睛】 此题考查了两角和与差的正弦函数公式、辅助角公式的应用，以及正弦函数最值，熟练掌握公式是解本题的关键.6．A【解析】由题意可得11(3+4+5+6)=4.5,(2.53 4.5)0.25 2.544x y m m ==+++=+，故样本中心为(4.5,0.25 2.5)m +。
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2020-2021学年四川省乐山市高二下学期期末理科数学试卷一、选择题（共12小题，每题5分，满分60分）.1．下列叙述随机事件的频率与概率的关系中哪个是正确的（）A．频率就是概率B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．概率是随机的，在试验前不能确定D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率2．复数的虚部是（）A．﹣B．C．﹣D．3．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）＝2xf'（e）+lnx（e为自然对数的底数），则f'（e）等于（）A．B．e C．﹣D．﹣e4．某班有8名优秀学生，其中男生有5人，女生有3人．现从中选3人参加一次答辩比赛，要求选出的3人中，既有男生又有女生，则不同的选法共有（）A．45种B．56种C．90种D．120种5．执行如图程序后输出的结果是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．26．为了调查学生的课外阅读情况，小王从高一年级两个班中的92人中抽取30人了解情况，若用系统抽样的方法，则抽样的间隔和随机剔除的个数分别为（）A．3，2 B．2，3 C．2，30 D．30，27．在抛掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都是，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A∪C（C是B的对立事件）发生的概率为（）A．B．C．D．8．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点N在AC上，点M在A1D上，且A1M＝，MN∥面AA1B1B，则MN的长为（）A．B．C．2 D．9．河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”，把一到十分为五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北：二七同道，为火居南：三八为朋，为木居东：四九为友，为金居西：五十同途，为土居中现从这十个数中随机抽取4个数，则能成为两组的概率是（）A．B．C．D．10．函数f（x）的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（）A．f'（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）B．f'（2）＜f（3）﹣f（2）＜f'（3）C．f'（2）＜f'（3）＜f（3）﹣f（2）D．f（3）﹣f（2）＜f'（2）＜f'（3）11．甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人15分钟，过时即可离去，则两人能会面的概率是（）A．B．C．D．12．已知函数，曲线y＝f（x）上总存在两点M（x1，y1），N（x2，y2）使曲线y＝f（x）在M，N两点处的切线互相平行，则x1•x2的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．的展开式中的中间一项是．14．甲、乙两名篮球运动员在几场比赛中得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人在这几场比赛中得分的中位数之和为．15．已知复数z＝（t﹣1）+（t+1）i（i为虚数单位，t∈R），则|z|的最小值为．16．已知函数f（x）＝若x2＞x1且f（x1）＝f（x2），则x1﹣x2的最大值是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17．已知函数f（x）＝﹣x3+bx+c在x＝﹣2处取得极值﹣10．（1）求b，c的值；（2）求函数f（x）的单调区间．18．某市居民用水拟实行阶梯水价．每人月用水量中不超过ω立方米的部分按4元/立方米收费，超出ω立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10000名居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图．（1）如果ω为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，ω至少定为多少？（2）假如同组中的每一个数据用该组区间的右端点值替代．当ω＝3时，估计该市居民该月的人均水费为多少？19．设函数f（x ）＝．（1）若f（x）在（2，+∞）上存在单调递减区间，求a的取值范围；（2）当0＜a＜2时，f（x）在区间[1，4]上的最大值为，求f（x）在该区间上的最小值．20．某高校为了加快打造一流名校步伐，生源质量不断改善．据统计，该校2014年到2020年所招的学生高考成绩不低于600分的人数y与对应年份代号x的数据如表：年份2014 2015 2016 2017 2018 2019 20201 2 3 4 5 6 7年份代号x29 33 36 44 48 52 59不低于600分的人数y（单位：人）（1）若y关于x具有较强的线性相关关系，求y关于x 的线性回归方程，并预测2021年该校所招的学生高考成绩不低于600分的人数；（2）今有A、B、C、D四位同学报考该校，已知A、B、C 被录取的概率均为，D被录取的概率为，且每位同学是否被录取相互不受影响，用X表示此4人中被录取的人数，求X的分布列与数学期望．参考公式：，．参考数据：，．21．如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，O为AB中点，平面POC⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，PA＝PB＝BC＝AB＝2，AD＝3．（1）求证：平面PAB⊥面ABCD；（2）求二面角O﹣PD﹣C的余弦值．22．已知函数f（x）＝（x﹣2）e x+a（a∈R）．（1）试确定函数f（x）的零点个数；（2）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．参考答案一、选择题（共12小题，每题5分，满分60分）.1．下列叙述随机事件的频率与概率的关系中哪个是正确的（）A．频率就是概率B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．概率是随机的，在试验前不能确定D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率解：事件A的频率是指事件A发生的频数与n次事件中事件A出现的次数比，一般来说，随机事件A在每次实验中是否会发生是不能预料的，但在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间[0，1]中的某个常数上，这个常数就是事件A的概率．∴随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率．故选：D．2．复数的虚部是（）A．﹣B．C．﹣D．解：∵＝，∴复数的虚部是．故选：B．3．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）＝2xf'（e）+lnx（e为自然对数的底数），则f'（e）等于（）A．B．e C．﹣D．﹣e解：根据题意，f（x）＝2xf'（e）+lnx，其导数f′（x）＝2f'（e）+，令x＝e，可得f′（e）＝2f'（e）+，变形可得f′（e）＝﹣，故选：C．4．某班有8名优秀学生，其中男生有5人，女生有3人．现从中选3人参加一次答辩比赛，要求选出的3人中，既有男生又有女生，则不同的选法共有（）A．45种B．56种C．90种D．120种解：根据题意，分2种情况讨论：①选出的3人中有2男1女，有＝30种选法，②选出的3人中有1男2女，有＝15种选法，则有30+15＝45种选法；故选：A．5．执行如图程序后输出的结果是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2解：模拟程序语言的运行过程，如下：n＝5，s＝0满足条件s＜14，执行循环体，s＝5，n＝4满足条件s＜14，执行循环体，s＝9，n＝3满足条件s＜14，执行循环体，s＝12，n＝2满足条件s＜14，执行循环体，s＝14，n＝1此时，不满足条件s＜14，退出循环，输出n的值为1．故选：C．6．为了调查学生的课外阅读情况，小王从高一年级两个班中的92人中抽取30人了解情况，若用系统抽样的方法，则抽样的间隔和随机剔除的个数分别为（）A．3，2 B．2，3 C．2，30 D．30，2解：因为92÷30不是整数，所以必须先剔除部分个体，即剔除2个个体即可，然后将90个数据分为30组，故抽样的间隔为2．故选：A．7．在抛掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都是，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A∪C（C是B的对立事件）发生的概率为（）A．B．C．D．解：由题意，事件C表示“向上的面大于等于4的点出现”，即C＝{4，5，6}，A＝{2，4}，故A∪C＝{2，4，5，6}，故事件A∪C发生的概率为＝，故选：D．8．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点N在AC上，点M在A1D上，且A1M＝，MN∥面AA1B1B，则MN的长为（）A．B．C．2 D．解：如图，在△A1AD中，作ME∥AD，交AA1于点E，在△ABC中，作NF∥BC，交AB 于点F，连接EF，∵正方体的棱长为2，∴AC＝A1D＝2，∵A1M＝，∴由＝＝，可得＝＝，可得A1E＝1，可得AE＝EM＝1，∵MN∥面AA1B1B，面MNEF∩面AA1B1B＝EF，∵MN∥EF，又EM∥AD∥FN，∴四边形EMNF是平行四边形，可得NF＝EM＝1，∴由，可得，可得AF＝1，∴EF＝＝＝，∴MN＝EF＝．故选：A．9．河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”，把一到十分为五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北：二七同道，为火居南：三八为朋，为木居东：四九为友，为金居西：五十同途，为土居中现从这十个数中随机抽取4个数，则能成为两组的概率是（）A．B．C．D．解：现从这十个数中随机抽取4个数，基本事件总数n＝，能成为两组包含的基本事件个数m＝，则能成为两组的概率是p＝＝．故选：C．10．函数f（x）的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（）A．f'（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）B．f'（2）＜f（3）﹣f（2）＜f'（3）C．f'（2）＜f'（3）＜f（3）﹣f（2）D．f（3）﹣f（2）＜f'（2）＜f'（3）解：由图可得，0＜f′（2）＜f′（3）．设A（2，f（2）），B（3，f（3）），则f（3）﹣f（2）＝，即为直线AB的斜率．由图可知，直线AB的斜率大于f′（2）小于f′（3），即f'（2）＜f（3）﹣f（2）＜f'（3）．故选：B．11．甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人15分钟，过时即可离去，则两人能会面的概率是（）A．B．C．D．解：设甲、乙从6时起分别经过x分钟和y分钟到达会面地点，则，若两人能够会面，则需，在如图所示的直角坐标系下，（x，y）的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示：由几何概型的概率公式得：P（A）＝＝＝＝，所以，两人能会面的概率是，故选：D．12．已知函数，曲线y＝f（x）上总存在两点M（x1，y1），N（x2，y2）使曲线y＝f（x）在M，N两点处的切线互相平行，则x1•x2的取值范围是（）A．B．C．D．解：由题意，可得f′（x1）＝f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2），即，化简得：，即，解得，当且仅当x1＝x2时取等号，则对∀k∈（0，+∞）恒成立．记g（k）＝，k∈（0，+∞），g′（k）＝，令g′（k）＝0，得k＝1，且当k＞1，g′（k）＞0，则g（k）单调递增，k＜1，g′（k）＜0，则g（k）单调递减，故当k＝1时，g（k）取最大值为g（1）＝，故，故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．的展开式中的中间一项是﹣20．解：由于的展开式共有7项，故中的中间一项是第四项，即T4＝•（﹣3）3••x0＝﹣20，故答案为：﹣20．14．甲、乙两名篮球运动员在几场比赛中得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人在这几场比赛中得分的中位数之和为52．解：由已知中的茎叶图可得：甲、乙两人这几场比赛得分的中位数分别为：24和28，甲、乙两人这几场比赛得分的中位数的和为：24+28＝52．故答案是：52．15．已知复数z＝（t﹣1）+（t+1）i（i为虚数单位，t∈R），则|z|的最小值为．解：∵z＝（t﹣1）+（t+1）i，∴，当t2＝0时，|z|取得最小值．故答案为：．16．已知函数f（x）＝若x2＞x1且f（x1）＝f（x2），则x1﹣x2的最大值是3ln3﹣8．解：令lnx＝2，解得x＝e2；令lnx＝0，解得x＝1．如图：结合函数图象可知若要满足f（x1）＝f（x2），且x2＞x1，则，且.，解得x1＝3lnx2﹣5．则x1﹣x2＝3lnx2﹣x2，令g（x）＝3lnx﹣x﹣5，x∈[1，e2），则，令g'（x）＝0，解得x＝3，故g（x）在区间（1，3）上单调递增，在区间（3，e2）上单调递减，则g（x）在x＝3时取最大值g（3）＝3ln3﹣8，即x1﹣x2的最大值为3ln3﹣8．故答案为：3ln3﹣8．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17．已知函数f（x）＝﹣x3+bx+c在x＝﹣2处取得极值﹣10．（1）求b，c的值；（2）求函数f（x）的单调区间．解：（1）由题知f'（x）＝﹣3x2+b，∴f'（﹣2）＝0，即﹣3×（﹣2）2+b＝0．∴b＝12．又∵f（﹣2）＝﹣10，即﹣（﹣2）3+（﹣2）×12+c＝﹣10．∴c＝6．（2）由（1）知f（x）＝﹣x3+12x+6．∴f'（x）＝﹣3x2+12＝﹣3（x+2）（x﹣2）．令f'（x）＞0，可得﹣2＜x＜2；令f'（x）＜0，可得x＜﹣2或x＞2，∴f（x）在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）上单调递减，在（﹣2，2）上单调递增．18．某市居民用水拟实行阶梯水价．每人月用水量中不超过ω立方米的部分按4元/立方米收费，超出ω立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10000名居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图．（1）如果ω为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，ω至少定为多少？（2）假如同组中的每一个数据用该组区间的右端点值替代．当ω＝3时，估计该市居民该月的人均水费为多少？解：（1）由用水量的频率直方图可知：该市居民该月用水量在区间[0.5，1]，（1，1.5]，（1.5，2]，（2，2.5]，（2.5，3]内的频率依次是0，05，0.1，0.15，0.25，0.3，∴该月用水量不超过3立方米的居民占：0.05+0.1+0.15+0.25+0.3＝85%．而用水量不超过2立方米的居民占：0.05+0.1+0.15＝30%．∵ω是正数，∴为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，ω就定为3．（2）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：组号 1 2 3 4 5 6 7 8分组[2，4] （4，6] （6，8] （8，10] （10，12] （12，17] （17，22] （22，27] 频率0.05 0.1 0.15 0.25 0.3 0.05 0.05 0.05 根据题意，该市居民该月的人均水费估价为：4×0.05+6×0.1+8×0.15+10×0.25+12×0.3+17×0.05+22×0.05+27×0.05＝11.4（元）．答：该市居民该月的人均水费为11.4（元）．19．设函数f（x）＝．（1）若f（x）在（2，+∞）上存在单调递减区间，求a的取值范围；（2）当0＜a＜2时，f（x）在区间[1，4]上的最大值为，求f（x）在该区间上的最小值．【解答】解：（1）f'（x）＝x2﹣x﹣2a．若f（x）在（2，+∞）上有单调递减区间，则f'（x）＝x2﹣x﹣2a＜0在（2，+∞）上有解．即2a＞x2﹣x在（2，+∞）上有解．令，易知g（x）＞g（2）＝2，∴2a＞2，∴a＞1，即a∈（1，+∞）．（2）令f'（x）＝0得两根，，∴f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减．当0＜a＜2时，x1＜1＜x2＜4，∴f（x）在[1，4]上的最小值为f（x2），又∵．即f（4）＞f（1）．∴f（x）在[1，4]上的最大值为．则，∴a＝1．则．∴f（x）在[1，4]上最小值为．20．某高校为了加快打造一流名校步伐，生源质量不断改善．据统计，该校2014年到2020年所招的学生高考成绩不低于600分的人数y与对应年份代号x的数据如表：年份2014 2015 2016 2017 2018 2019 20201 2 3 4 5 6 7年份代号x29 33 36 44 48 52 59不低于600分的人数y（单位：人）（1）若y关于x具有较强的线性相关关系，求y关于x 的线性回归方程，并预测2021年该校所招的学生高考成绩不低于600分的人数；（2）今有A、B、C、D四位同学报考该校，已知A、B、C 被录取的概率均为，D被录取的概率为，且每位同学是否被录取相互不受影响，用X表示此4人中被录取的人数，求X的分布列与数学期望．参考公式：，．参考数据：，．解：（1）＝（1+2+3+4+5+6+7）＝4，＝（29+33+36+44+48+52+59）＝43，．＝9+4+1+0+1+4+9＝28，∴＝＝5，＝43﹣5×4＝23．∴回归直线方程为，∴该高校2021年所招的学生高考成绩不低于600分的人数预测值为：＝5×8+23＝63人；（2）用X表示此4人中被录取的人数，则X的可能取值为0，1，2，3，4，P（X＝0）＝（）3＝，P（X＝1）＝+（）3＝，P（X＝2）＝+＝，P（X＝3）＝+＝，P（X＝4）＝＝，∴X的分布列为：X0 1 2 3 4P数学期望E（X）＝＝．21．如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，O为AB中点，平面POC⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，PA＝PB＝BC＝AB＝2，AD＝3．（1）求证：平面PAB⊥面ABCD；（2）求二面角O﹣PD﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，BC＝AB＝2，AD＝3．∴OC＝，OD＝，CD＝，∵OD2＝OC2+DC2＝10，∴OC⊥CD，即CD⊥平面POC，∴CD⊥PO．∵PA＝PB＝AB，O为AB中点，∴PO⊥AB，∴PO⊥底面ABCD，∵PO⊂平面PAB，∴平面PAB⊥面ABCD…（2）解：过点C作CM⊥OD于点M，过点M作MN⊥PD于点N，连接CN．则由于PO⊥平面OCD，PO⊂平面POD，所以平面POD⊥平面OCD，∵CM⊂平面OCD，平面POD∩平面OCD＝OD，∴CM⊥平面POD，∴CM⊥PD，∵MN⊥PD，MN∩CM＝M，∴PD⊥平面MCN，∴PD⊥NC，即∠MNC是二面角O﹣PD﹣C的平面角．在Rt△OCD中，CM＝＝，在Rt△PCD中，CN＝＝，所以MN＝，所以二面角O﹣PD﹣C的余弦值为．…22．已知函数f（x）＝（x﹣2）e x+a（a∈R）．（1）试确定函数f（x）的零点个数；（2）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．解：（1）由f（x）＝0得a＝（2﹣x）e x，令g（x）＝（2﹣x）e x，函数的零点个数即是直线y＝a与曲线g（x）＝（2﹣x）e x的图象的交点个数，因为g'（x）＝﹣e x+（2﹣x）e x＝（1﹣x）e x，由g'（x）＞0得x＜1，所以g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，同理可得g（x）在（1，+∞）上单调递减，当x＝1时，函数g（x）由最大值，g（x）max＝g（1）＝e，又当x＜2时，g（x）＞0，g（2）＝0，当x＞2时，g（x）＜0，作出函数g（x）的大致图象，当a＞e时，函数f（x）没有零点，当a＝e或a＜0时，函数f（x）只有一个零点，当0＜a＜e时，函数f（x）有两个零点．（2）证明：函数的零点即直线y＝a与曲线g（x）＝（2﹣x）e x的图象的交点的横坐标，由（1）知0＜a＜e，不妨设x1＜1＜x2，得2﹣x2＜1，因为g（x）＝（2﹣x）e x在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以函数f（x）＝﹣g（x）+a在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，要证x1+x2＜2，只需证x1＜2﹣x2，故只需证f（x1）＞f（2﹣x2），又f（x1）＝0，故只需证f（2﹣x2）＜0，由a＝g（x2）得＝，构造函数h（x）＝﹣xe2﹣x﹣（x﹣2）e x，则h'（x）＝（1﹣x）（e x﹣e2﹣x），当x＞1时，e x＞e2﹣x，h'（x）＜0，故函数h（x）在（1，+∞）上单调递减，所以当x＞1时，h（x）＜h（1）＝0，即当x2＞1时，f（2﹣x2）＜0，即x1+x2＜2．。