平面几何初步知识

第八周 星期日 平面几何初步知识思索，多少次使人感到痛苦，却不多少次给予人们欣喜和欢乐．愿你们从思索中去生发智慧，获得快乐．每周必清1.立体图形由点、线、面组成，面有平面，也有曲面，面面相交得线，线线相交得点，即：点动成线，先动成面，面动成体．2.线段、射线、直线的联系与区别： ⑴ 区别：见下表 名称 区 别 端点个数 延伸状态 长度 直线 无 向两方无限延伸 不确定，不可度量 射线 一个 向一方无限延伸 不确定，不可度量 线段两个向两方都不延伸能确定，可以度量⑵ 联系：线段是射线的一部分，也是直线的一部分，将线段向一方无限延伸就形成了射线，向两方无限延伸就形成了直线．线段的中点：如点C 是线段AB 的中点，则AB BC AC 21==或BC AC AB 22==；若AB BC AC 21==，则点C 是线段AB 的中点． 线段、直线的性质：两点之间的所有连线中，线段最短；经过两点有且只有一条直线． 3.角的单位及换算：061'=ο，061''='，03601''=ο同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等；对顶角相等；互为邻补角的两个角等于ο1804.在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：平行或相交，5.平行线的性质：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．[这个问题容易错1] 已知AC ∥DE ，∠C =ο26,∠CBE =ο37则∠BED 的度数是( ) A.63°B.83°C.73°D.53°[解] 因为οοο633726=+=∠+∠=∠B C CAEAC ∥DE 所以ο63=∠=∠AED CAE易错分析 本题主要是利用平行线的性质，在利用此性质时，要注意的是找准相对应的角6.平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等；两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，垂直于同一条直线的两条直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行．7.垂线是直线，垂线段是一条线段，点到直线的距离不是指垂线段，而是指垂线段的长度．8.三视图分为左视图、俯视图、主视图． 9.五种基本作图方法 ⑴作一条线段等于已知线段⑵作一个角等于已知角⑶作已知角的平分线⑷过定点作已知直线的垂线⑸作线段的垂直平分线10.定义：把某一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．对应点：若图形上点P经过旋转变为点P,那么这两个点叫做这个旋转的对应点．性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角角旋转角．③旋转前后的图形全等．11.对某一件事作出正确或不正确判断的句子叫做命题；正确的命题叫做真命题，不正确的命题叫做假命题；要说明一个命题是假命题，常用的方法是举出一个反例；要说明一个命题是真命题，常用推理方法每周必想[例1] 在下列命题中，是真命题的是（）A．两条对角线相等的四边形是矩形B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形D ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形[例2] 一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把由圆锥与圆柱组成的几何体（如图所示，圆锥在圆柱上底面正中间放置）摆在讲桌上，请你在指定的方框内分别画出这个几何体的三视图（从正面、左面、上面看得到的视图）．[解析] 正确的三视图如图所示：[例3] 如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有一个△ABC 和一点O ，△ABC 的顶点和点O 均与小正方形的顶点重合．（1）在方格纸中，将△ABC 向下平移5个单位长度得到△111C B A ，请画出△111C B A （2）在方格纸中，将△ABC 绕点O 旋转180°得到△222C B A ，请画出△222C B A[解析] 如图所示主视图 左视图 俯视图[例4]根据下列步骤画图．．并标明相应的字母:（直接在图１中画图） ①以已知线段AB （图1）为直径画半圆O ；②在半圆O 上取不同于点A B 、的一点C ，连接AC BC 、； ③过点O 画OD BC ∥交半圆O 于点D ． （2）尺规作图．．：（保留作图痕迹，不要求写作法、证明） 已知：AOB ∠（图2）．求作：AOB ∠的平分线．[解析] （1）如图1所示 （2）如图2所示①以点O 为圆心，以适当长为半径作弧交OA OB 、于两点C D 、②分别以点C D 、为圆心，以大于12CD 长为半径作弧，两弧相交于点E③作射线OE[例5] 如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt △OAB 斜边OB 在y 轴上，且OB =4．（1）画出△OAB 绕原点O 顺时针旋转90°后得到的三角形；（2）求线段OB 在上述旋转过程中所扫过部分图形的面积（即旋转前后OB 与点B 轨迹所围成的封闭图形的面积）．[解析]（1）画图正确（如图） （2）所扫过部分图形是扇形，它的面积是：290π44π360⨯=．图2OBABA 图1B A 图1 图2 O B A E D O CCD每周必练1. 如图，直线l 1∥l 2，则α为 （ ） A ．150° B ．140° C ．130° D ．120°2. 一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形， 则这个长方体的高和底面边长分别为 （ ） A ．3，22 B ．2，22 C ．3，2 D ．2，33. 图1中不是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图，将正六边形绕其对称中心O 旋转后，恰好能与原来的正六边形重合，那么旋转的角度至少是 度．5．如图，9030AOB B ∠=∠=°，°，A OB ''△可以看作是由AOB △绕点O 顺时针旋转α角度得到的．若点A '在AB 上，则旋转角α的大小可以是（ ）． A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°6．下列命题中不成立．．．的是（ ） A ．矩形的对角线相等B ．三边对应相等的两个三角形全等C ．两个相似三角形面积的比等于其相似比的平方D ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形主视图 左视图俯视图223A O BA 'B '130° 70°α l 1l 27．右图是某一几何体的三视图，则这个几何体是（ ）． Ａ．长方体 Ｂ．圆锥Ｃ．圆枉 Ｄ．正三棱柱8．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC DC ⊥，将梯形沿对角线BD 折叠，点A恰好落在DC 边上的点A '处，若∠BC A '＝20°，则∠BD A '的度数为（ ）． Ａ．15° Ｂ．20° Ｃ．25° Ｄ．30°9.由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么该几何体的左视图是（ ）10．ABC △在如图所示的平面直角坐标系中，将ABC △向右平移3个单位长度后得111A B C △，再将111A B C △绕点O 旋转180°后得到222A B C △，则下列说法正确的是（ ）A ．1A 的坐标为()31，B ．113ABB A S =四边形C ．222B C =D ．245AC O ∠=°11．一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图 是它的主视图和俯视图，那么组成该几何体所需小正 方体的个数最少为 （ ） Ａ．3 Ｂ．4 Ｃ．5 Ｄ．612．下列图形中，对称轴有且只有3条的是（ ） A ．菱形 B ．等边三角形 C ．正方形 D ．圆13．一个角是80°，它的余角是（ ） A ．10°B ．100°C ．80°D ．120°1 2A .B .C .D . 2 3143 2 10 32 1 3- x yA B C2- 1- 1-2- 3-14．如图，某村有一块三角形的空地（即△ABC ），其中A 点处靠近水源，现村长准备将它分给甲、乙两农户耕种，分配方案规定，按每户人口数量来平均分配，且甲、乙两农户所分土地都要靠近水源（即A 点），已知甲农户有1人，乙农户有3人，请你把它分出来．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不要求证明）15．如图，在对Rt △OAB依次进行位似、轴对称和平移变换后得到△O ′A′B ′．（1）在坐标纸上画出这几次变换相应的图形； （2）设P （x ，y ）为△OAB 边上任一点， 依次写出这几次变换后点P 对应点的坐标．每周必冲1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）2．如图，AB //CD ,C E 平分∠ACD ，若∠1=250，那么∠2的度数是O AB xO ′ B ′A ′y A ． B ． C ．D ．3．如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后， 点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置． 若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于 （ ） （A ） 70° （B ） 65° （C ） 50°（D ） 25°4．如图9，P 是∠BAC 内的一点，PE AB PF AC ⊥⊥，，垂足分别为点E F ，，AF AE =求证：（1）PF PE =；（2）点P 在∠BAC 的角平分线上． 5．如图所示，在Rt ABC △中，90ABC =︒∠．将Rt ABC △绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC △，点E 在AC 上，再将Rt ABC △沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF △．连接AD ．（1）求证：四边形AFCD 是菱形； （2）连接BE 并延长交AD 于G ，连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？6．如图，在Rt ABC △中，ο90=∠ACB , ο60=∠B ，2=BC ．点O 是AC 的中点， 过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D .过点C作CE ∥AB 交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α.(1)①当α=________度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为_________；②当α=________度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为_________；(2)当α=90°时,判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．EDBC′FCD ′AA DF C E GB[这些问题解法多]１．如图，A 是MON ∠边OM 上一点，AE ON ∥． （1）在图中作MON ∠的角平分线OB ，交AE 于点B ；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）在（1）中，过点A 画OB 的垂线，垂足为点D ，交ON 于点C ，连接CB ，将图形补充完整，并证明四边形OABC 是菱形．解：（1）如图，射线OB 为所求作的图形．（2）方法一：OB Q 平分MON AOB BOC ∠∴∠=∠，． AE ON ABO BOC ∴∠=∠Q ∥，． AOB ABO AO AB ∴∠=∠=，． AD OB BD OD ⊥∴=Q ，．在ADB △和CDO △中ABD COD BD OD ADB CDO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，，， ADB CDO AB OC ∴=△≌△，．AB OC Q ∥，∴四边形OABC 是平行四边形． AO AB =Q ，∴四边形OABC 是菱形． 方法二：同方法一， AOB ABO ∠=∠，AO AB =．AD OB ⊥Q 于点D ，∴90OD DB ADO CDO =∠=∠=，°．A OE MAOBCD EN M在AOD △和COD △中AOD COD OD OD ADO CDO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，，， ∴AOD COD AD CD =△≌△，．∴四边形OABC 是平行四边形．AO AB =Q （或AC OB ⊥），∴四边形OABC 是菱形．[周末精彩阅读]使用最久的数学教科书——《几何原本》《几何原本》（The Elements ）由希腊数学家欧几里得（Euclid ，公元前330年～公元前275年）所著，是用公理方法建立演绎数学体系的最早典范．是至今流传最广、影响最大的一部世界数学名著．《几何原本》全书共13卷．第1卷，给出了欧几里得几何学的基本概念、定义、公理、公设等；第2卷，面积和变换；第3卷，圆及其有关图形；第4卷，多边形及圆与正多边形的作图；第5、6卷，比例与相似形；第7卷，数论；第8卷，连比例；第9卷，数论；第10卷，不可通约量的理论；第11卷，立体几何；第12卷，利用“穷竭法”证明圆面积的比等于半径平方的比；球体积的比等于半径立方的比，等等；第13卷，正多面体．《几何原本》一书从很少的几个定义、公设、公理出发，推导出大量结果，最重要的是它给出的公理体系标志着演绎数学的成熟，主导了其后数学发展的主要方向，使公理化成为现代数学的根本特征之一．《几何原本》是数学史上的一个伟大的里程碑，问世以来，受到广泛的重视与传播．除《圣经》之外，没有任何一本著作，其使用、研究与印行之广泛能与《几何原本》相比．2000多年来,它一直支配着几何的教学．因此，有人称《几何原本》为数学的《圣经》． 战争使大量人类文化和珍贵书籍化为灰烬．欧几里得的《几何原本》手稿至今也荡然无存．现存《几何原本》的一种版本是公元4世纪末泰恩(Theon)的《几何原本》修订本．还有一个版本是18世纪在梵蒂冈图书馆发现的一个10世纪的《几何原本》希腊手抄本，其内容早于泰恩的修订本．《几何原本》传人中国，首先应归功于明末科学家徐光启．徐光启(1562～1633)，字子先，上海吴淞人．他在加强国防、发展农业、兴修水利、修改历法等方面都有相当的贡献，对引进西方数学和历法更是不遗余力．他认识意大利传教士利玛窦之后，决定一起翻译西方科学著作．利玛窦主张先译天文历法书籍，以求得天子的赏识．但徐光启坚持按逻辑顺序，先译《几何原本》．他们于1606年完成前6卷的翻译，1607年在北京印刷发行．徐光启和利玛窦《几何原本》中译本的一个伟大贡献在于确定了研究图形的这一学科中文名称为“几何”，并确定了几何学中一些基本术语的译名．“几何”的原文是“geometria”，徐光启和利玛窦在翻译时，取“geo”的音为“几何”，而“几何”二字中文原意又有“衡量大小”的意思．用“几何”译“geometria”，音义兼顾，确是神来之笔．几何学中最基本的一些术语，如点、线、直线、平行线、角、三角形和四边形等中文译名，都是这个译本定下来的．这些译名一直流传到今天，且东渡日本等国，影响深远．徐光启要求全部译完《几何原本》，但利玛窦却认为应当适可而止．由于利玛窦的坚持，《几何原本》的后9卷的翻译推迟了200多年，才由清代数学家李善兰和英国人伟烈亚力合作完成．李善兰(1811～1882)，字壬叔，号秋纫，浙江海宁人，自幼喜欢数学．1852年到上海后，李善兰与伟烈亚力相约，继续完成徐光启、利玛窦未完成的事业，合作翻译《几何原本》后9卷，并与1856年完成此项工作．至此，欧几里得的这一伟大著作第一次完整地引入中国，对中国近代数学的发展起到了重要的作用．徐光启在评论《几何原本》时还说过：“此书为益能令学理者祛其浮气，练其精心；学事者资其定法，发其巧思，故举世无一人不当学．”其大意是：读《几何原本》的好处在于能去掉浮夸之气，练就精思的习惯，会按一定的法则，培养巧妙的思考．所以全世界人人都要学习几何．第八周 星期日平面几何初步知识1.D[解析] 此题利用平行线的性质，根据内错角和同旁内角即可求出2.C[解析] 通过三视图即可求出3. D[解析] 根据中心对称图形图形的概念可得4. 60°[解析]6060360= 5. C[解析] 由题意可得三角形O A A '是等边三角形，即ο60=α6. D[解析] 由命题定义可判断7. A[解析] 由三视图的概念可确定8. C[解析] 由翻折可知：CDB ADB ∠=∠; 又因为AD ∥BC ,所以DBC ADB ∠=∠，所以DBC CDB ∠=∠ 因为三角形DBC 是直角三角形，所以ο45=∠=∠DBC CDB ，所以ο25='∠BD A9. B[解析] 由三视图的概念可确定10. D[解析] 由平移和旋转的概念可以得出11.D[解析] 由三视图的概念可确定12. B13. A[解析] οοο108090=-14. [解析]15. [解析]（2）设坐标纸中方格边长为单位1，则 P （x ，y ）2O u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u r 以为位似中心放大为原来的倍（2x ，2y ）y u u u u u u u u u u u r 经轴翻折（-2x ，2y ）4u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u r 向右平移个单位（24x -+，2y ）5u u u u u u u u u u u u u u u u u u u r 向上平移个单位（24x -+，25y +） 每周必冲1. B[解析] 根据轴对称图形和中心对称图形概念确定2. 500[解析] ο50122=∠=∠3.C[解析] 由线平行可得DEF EFB ∠=∠；由翻折可得ο65=∠=∠DEF EFB 所以ο130='∠D DE 所以 ο50='∠D AE4. 证明：（1）如图1，连结AP ，,,AC PF AB PE ⊥⊥Θ∴ο90=∠=∠AFP AEP O A B xO ′ B ′ A ′ y又AP AP AF AE ==,∴Rt △AEP ≌Rt △AFP ，∴ PF PE =（2）∵Rt △AEP ≌Rt △AFP∴FAP EAP ∠=∠∴AP 是BAC ∠的角平分线，故点P 在BAC ∠的角平分线上5. （1）证明：Rt DEC △是由Rt ABC △绕C 点旋转60︒得到 ∴60AC DC ACB ACD ===︒，∠∠∴ACD △是等边三角形∴AD DC AC ==又∵Rt ABF △是由Rt ABC △沿AB 所在直线翻转180︒得到 ∴90AC AF ABF ABC ===︒，∠∠∴FBC ∠是平角∴点F 、B 、C 三点共线∴AFC △是等边三角形∴AF FC AC ==∴AD DC FC AF ===∴四边形AFCD 是菱形（2）四边形ABCG 是矩形证明：由（1）可知：ACD △是等边三角形，DE AC ⊥于E ∴AE EC =∵AG BC ∥∴EAG ECB AGE EBC ==∠∠，∠∠∴AEG CEB △≌△∴AG BC =∴四边形ABCG 是平行四边形，而90ABC =︒∠ ∴四边形ABCG 是矩形6. （1）①1,30；② ,60 5.1（2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形 ∵∠α=∠ACB =900，∴BC //DE ∵CE //AB , ∴四边形EDBC 是平行四边形. 在Rt △ACB 中，∠ACB =900，∠B =600,BC =2 ∴ο30=∠A ∴32,4==AC AB ∴321==AC AO = 在Rt △AOD 中， ο30=∠A ∴2=AD∴2=BD∴BC BD =又∵四边形EDBC 是平行四边形，∴四边形EDBC 是菱形。