勾股定理逆定理2
勾股定理的逆定理(2)
2m2n2 + n4 + 4m2n2
= m4 + 2m2n2 + n4
∴ a2 + c2 = b2
即: 三角形是直角三角形
科教园地
如果勾股定理的公式c2 = a2 + b2中的 a ，b ，c未知数，是第一个不定方程（即未知 数的个数多于方程的个数）也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式 各样的不定方程，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。 法国人费尔马（Pierre de Fermat, 1601-1665）虽然学的是法律，从事的也是 律师的职业，但他对数学却有浓厚的兴趣，在业余时间常读数学书，并自己从事一些 数学研究。他在阅读希腊数学家丢番图（Diophontus）的《算术》一书中论述求解 x2 + y2 = z2 的一般解的问题时，在书的空白处，用笔写下这样的心得：“反过来说 不可能把一个立方数分拆为两个立方数的和，一个四方数分拆成两个四方数之和。更 一般地，任何大于二的方数不能分拆为同样方数的两个之和。我已发现了一个绝妙的 证明，但因为空白太小，写不下整个证明”。用数学语言来表达，费尔马的结论是： 当n≥3时, xn + yn = zn 没有正整数解。 1983年，史皮娄（Lucien Szpiro）提出史皮娄猜想，并证明由史皮娄猜想可以推出， 对于充分大的指数，费尔马大定理均成立。1985年，与塞尔（D.W.Masser）等人提 出一系列等价猜想，其中一个称为abc猜想，由它可推出史皮娄猜想。1987年，史皮 娄又提出一系列猜想，由它们也能推出史皮娄猜想。这些猜想似乎更容易下手，但至 今一个也没有证明。 1987年，塞尔由伽罗华表示出发提出一些更强的猜想，称为塞尔强（弱）猜想。 由它不仅可以推出费尔马大定理，还可推出许多其他猜想，但这条路最终也没有能走 通。 英国数学家维尔斯正是沿着这一道路，在经过漫长的7年探索，终于在1993年6月取 得突破。最终在一九九五年完全证明费尔马大定理。解开了困惑世间300多年的谜 .
勾股定理的逆定理第二课件
即“海天”号沿西北方向航行.
变式运用：
“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶的速度不得超过70千米/时，一辆小汽车在一条城市街路的直道上行驶，某一时刻刚好行驶在路边车速检测仪的北偏东30°距离30米处，过了2秒后行驶了50米，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为40米. 问：2秒后小汽车在车速检测仪的哪个方向?这辆小汽车超速了吗?
判定直角三角形
作用：
逆定理:
应用举例：
港口
例1： “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
P
E
Q
R
N
应用举例：
A
B
C
D
20
15
7
24
A
B
C
D
4
E
3
60°
60°
如图BE⊥AE, ∠A=∠EBC=60°,AB=4,BC= CD= ， DE=3,求证:AD⊥CD
应用举例：
A
B
D
C
F
E
例4、如图：边长为4的正方形ABCD中，F是DC的中点， 且
，求证：AF⊥EF．
4
2
2
4
4
4
1
？
3
5
∴AF⊥EF．
车速检测仪
小汽车
30米
50米
2秒后
30°
北
40米
60°
小汽车在车速检测仪的北偏西60°方向
25米/秒=90千米/时 >70千米/时∴小汽车超速了
2勾股定理的逆定理
勾股定理的逆Array定理主讲：黄冈中学高级教师周建义一、互逆命题如果两个命题的题设、结论正好相反，那么就称这两个命题互为逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．如：若a＞0，b＞0，则ab＞0．逆命题：若ab＞0，则a＞0，b＞0．二、逆定理如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题就是这个定理的逆定理．三、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．判断一个三角形是否为直角三角形的步骤：①确定最大边；②算出最大边的平方以及另两边的平方和；③比较最大边的平方以及另两边的平方和．四、勾股数组能构成直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数组．（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），（11，60，61）…显然，若（a，b，c）为勾股数组，则（ka，kb，kc）也为勾股数组，其中k为正整数．例1、试判断：三边长分别为2n2＋2n，2n＋1，2n2＋2n＋1（n为正整数）的三角形是否是直角三角形．解：∵（2n2＋2n＋1）－（2n2＋2n）=1＞0，（2n2＋2n＋1）－（2n＋1）=2n2＞0．∴2n2＋2n＋1为三角形中最大边．又∵（2n2＋2n＋1）2=4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，（2n2＋2n）2＋（2n＋1）2=4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，∴（2n2＋2n＋1）2=（2n2＋2n）2＋（2n＋1）2．由勾股定理的逆定理知，此三角形为直角三角形．例2、如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求△ABC的面积．解：∵BD2＋AD2=36＋64=100=102=AB2，∴△ABD为直角三角形．（备注：视频中板书有误，去掉中间的“形”）∴AD⊥BC，即∠ADC=90°．在Rt△ADC中，由勾股定理得．∴BC=BD＋DC=6＋15=21．．∴△ABC的面积为84.例3、如图，P为正△ABC内一点，且PC=3，PB=4，PA=5，求∠BPC的度数．解：将△APC绕点C逆时针旋转60°，得△BP′C．连接PP′.∴△APC≌△BP′C，∠PCP′=60°．∴P′C=PC=3，P′B=PA=5．∴△PCP′为正三角形．∴PP′=PC=3，∠P′PC=60°．在△BPP′中，PB2＋P′P2=42＋32=52=P′B2．∴△BPP′为直角三角形．∴∠BPP′=90°．∴∠BPC=∠BPP′＋∠P′PC=90°＋60°=150°．例4、△ABC中，D为直线BC上一点，且AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，求BC的长．图①图②解：①当D在BC边上时，如图①所示．∵AD2＋BD2=122＋52=132=AB2，∴△ABD为直角三角形，即AD⊥BC.在Rt△ADC中，由勾股定理得.∴BC=BD＋DC=5＋9=14.②当D在CB延长线上时，如图②所示，由①可知CD=9，∴BC=CD－BD=9－5=4．-返回-太奇教育集团黄冈中学网校版权所有。
初二数学勾股定理的逆定理2[人教版]
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F为DC BC.
【证明】设正方形ABCD的边长为4a， A
D
则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.
F
在Rt△ABE中，由勾股定理得
AE 2＝AB 2＋BE 2＝(4a)2＋(3a)2＝25a2. B
EC
在Rt△ADF中，由勾股定理得
AF 2＝AD2＋DF 2＝(4a)2＋(2a)2＝20a2.
在Rt△ECF中，由勾股定理得
练习
1．已知：a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2 (m、n为正整数，m＞n). 试判定由a、b、c组成的三角形是不是直 角三角形．
不是
(二)解答题：
练习
2．五边形ABCDE的各边的长都是12， ∠A＝∠E＝90°，M为五边形内一 点，且MA＝13，MB＝5， 求ME、MC、MD的长．
ME＝ 193
A 4B
AD2＝132＝169，
∴ AC2＋CD2＝AD2.
∴∴∴SS△S△四△A边ACADB形CC＝AD＝B是C21D21直AAC＝角B·C·SB三△DCA＝角B＝C21形＋21×.S×△5A×3C×D1＝24＝＝3636.0，.
四 、新课
例4
求已中证知点：：，∠如E为E图FBA，C＝上正9一0方°点形. ，AB且CDEC中＝，14
例2 已知△ABC中，AC＝2 6 ，BC＝2 2 ， AB＝4 2 ， 求AB上的高CD的长.
【解】由于(2 6)2 (2 2 )2 24 8 32 (4 2 )2 ,
所以△ABC是以∠C为直角的三角形．于是
1 2
AB·CD＝
1 2
BC·AC，
CD 2 6 2 2 6 42
三 、引入
一般地说，在平面几何中，经常是利 用直线间的位置关系，角的数量关系而判 定直角的；而勾股定理的逆定理则是通过 边的计算判定直角的. 三角形的三边长a、 b、c有关系a2＋b2＝c2，则这个三角形是 直角三角形；如果a2＋b2 ≠c2，则这个三 角形不是直角三角形.
17.3.2 勾股定理的逆定理(课件)冀教版数学八年级上册
否相等.
易
错
易 ∴a2+b2≠c2，∴ 三角形不是直角三角形.
混
［错因］c 不是三角形的最长边.
分
析
第二课时 勾股定理的逆定理
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易错警示 三角形三边长用 a，b，c 表示时，易把 c
易
错
2+b2=c2”.
当作最长边，直接套用逆定理中的“a
易
混
领悟提能 勾股定理的逆定理的实质是两直角边的平方
分
析
和等于斜边长的平方，斜边为最长边，故运用勾股定理的
易
混
分 ，试判断该三角形是不是直角三角形.
析
第二课时 勾股定理的逆定理
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［解析］利用勾股定理的逆定理进行判定即可.
易
错
易
［答案］ 解：∵a2=（ 6）2=6，b2=1，c2=（ 5）2=5，
混
分 ∴a2=b2+c2，∴ 三角形是直角三角形.
析
第二课时 勾股定理的逆定理
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［易错］解：∵a2=（ 6）2=6，b2=1，c2=（ ）2=5，
7，24，25；8，15，17；9，12，15 等
第二课时 勾股定理的逆定理
考
点
清
单
解
读
归纳总结
判断一个三角形是不是直角三角形的步骤
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第二课时 勾股定理的逆定理
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对点典例剖析
考
点
典例
将下列各组数据作为三角形的边长，能够组成直
清
单
）
解 角三角形的是（
读
A. 2，2，3
B. 1.5，2，2.5
勾股定理及其逆定理
勾股定理及其逆定理一、勾股定理勾股定理是数学中的基础定理之一，它描述了直角三角形中的关系。
根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
用公式表示就是：c² = a² + b²，其中c表示斜边的长度，a和b分别表示两条直角边的长度。
勾股定理的历史可以追溯到公元前6世纪的中国和印度，但最早被发现并应用的是中国的古代数学家勾股。
因此，这个定理被称为勾股定理。
勾股定理的应用非常广泛，特别是在测量和计算方面。
例如，我们可以利用勾股定理来计算三角形的边长、角度以及面积等。
在实际应用中，我们经常会遇到需要使用勾股定理解决问题的情况。
二、勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理是指，如果一个三角形的三条边满足c² = a² + b²，那么这个三角形一定是直角三角形。
这个逆定理也被称为勾股定理的逆命题。
为了证明逆定理的正确性，我们可以通过数学推导来证明。
假设一个三角形的三条边为a、b、c，且满足c² = a² + b²。
首先，我们可以假设这个三角形不是直角三角形，即不存在直角。
根据三角形的角度性质可知，三角形的三个角度之和为180度。
如果这个三角形不是直角三角形，那么它的三个角度之和一定小于180度。
假设三个角度分别为A、B、C，且A + B + C < 180度。
然后，我们可以使用余弦定理来推导c²的表达式。
根据余弦定理，c² = a² + b² - 2ab·cosC。
将这个表达式代入c² = a² + b²中，得到a² + b² - 2ab·cosC = a² + b²。
经过简化后可得- 2ab·cosC = 0，即cosC = 0。
根据余弦函数的性质可知，当cosC = 0时，角C等于90度。
勾股定理复习
3．若等腰三角形中相等的两边长 ． 第三边长为16 为10cm,第三边长为 cm,那么第 第三边长为 那么第 三边上的高为 ( D) A. 12 cm B. 10 cm C. 8 cm D. 6 cm
4如图，在△ABC中，AB=AC，D点在 延长线上， 如图， 点在CB延长线上 如图 中 ， 点在 延长线上， A 求证： 求证：AD2-AB2=BD·CD 证明： 证明：过A作AE⊥BC于E 作 ⊥ 于 D 在Rt △ADE中， AD2=AE2+DE2 中 在Rt △ABE中， AB2=AE2+BE2 中 ∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2) = DE2- BE2 = (DE+BE)·( DE- BE) = (DE+CE)·( DE- BE) =BD·CD ∵AB=AC，∴BE=CE ， B E C
直角三角形
三角形的三边长a、 、 满足 满足： 三角形的三边长 、b、c满足：a2 + b2 = c2 那么这个三角形是直角三角形。 那么这个三角形是直角三角形。 直角三角形 已知： 已知： ABC中，AB=c BC=a CA=b △ 中 且a2+b2=c2 求证： 求证： ABC是直角三角形 △ 是直角三角形
.观察下列表格 观察下列表格： 7 .观察下列表格：
猜想 列举 3、4、5 12、 5、12、13 7、24、25 24、
……
32=4+5 52=12+13 72=24+25 ……
13、 13、b、c
132=b+c
请你结合该表格及相关知识，求出b 请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值. 的值. 即b= 84 ，c= 85
A B
17.2勾股定理的逆定理2—子龙
A B
CD 2 3 AC 2 19
D
在等腰△ABC中，AB＝AC＝13cm ，BC=10cm, 求△ABC的面积和AC边上的高.
AD 12
S ABC 60
120 A BE 13
A
A
E
两个直角三角形中，如果有一条公共边， 可利用勾股定理建立方程求解 C B C B .
已知：如图，四边形ABCD中，∠A ＝900，AB＝3， BC＝12 ，CD＝13 , AD＝4，求四边形ABCD的面积?
SABCD 6 30 36 SABCD 30 6 24
A 4 3 B
D
3 4 A 13 12 C
如图BE⊥AE, ∠A=∠EBC=60°,AB=4,BC= 2 3 CD= 3 ,DE=3,求证:AD⊥CD
D
3
90
3
C
60° A 4
2
E
2 3 2 3
2 3 60°
B
一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中 ∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各 边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？此时四 边形ABCD的面积是多少? C C 13 D D 30 12 46 5 A B A3 B
SABCD 6 30 36
如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上， A 求证：AD2-AB2=BD· CD 证明：过A作AE⊥BC于E D 在Rt △ADE中， AD2=AE2+DE2 在Rt △ABE中， AB2=AE2+BE2 ∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2) = DE2- BE2 = (DE+BE)· ( DE- BE) = (DE+CE)· ( DE- BE) =BD· CD ∵AB=AC，∴BE=CE
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A 10 F
6如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬
到点B处吃食,要爬行的最短路程( 取3）是(
)
A.20cm
B.10cm
C.14cm D.无法确定B
2O
蛋糕 B
周长的一半
C
６
B
8
８
A
A
课堂小结： 勾股定理很重要， 数形结合解法妙， 面积助解不可少， 隐含条件要想到， 不见直角三角形， 自己动手来构造。
18.2 勾股定理的逆定理
例1：如图,小明和小方分别在C处同时出发,小明以
每小时40千米的速度向南走,小方以每小时30千米的
速度向西走,2小时后,小明在A处,小方在B处,请求出
AB的距离.
B
C
A
例2“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各 自沿一固定方向航行, “远航”号每小时航行16海里, “海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半 小时后相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向 航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?
B
CD B
A
1.三角形ABC中,∠A.∠B.∠C.的对边分别是a.b.c,
且 c+a=2b, c – a=
1
──
b,则三角形ABC的形状是
(A )
2
A 直角三角形
B 等边三角形
C 等腰三角形
D 等腰直角三角形
2.如图，两个正方形的面积分别 为64，49，则AC= 17 .
A
64 D
49 C
3、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上
练习：3如图,点A是一个半径为 400 m的圆形森
林公园的中心,在森林公园附近有 B .C 两个村庄,
现要在 B.C 两村庄之间修一条长为 1000 m 的笔
直公路将两村连通,经测得 ∠B=60°,∠C=30°,
问此公路是否会穿过该森林公园?请通过计算说
明.
400
A
60°
B
D 1000
30° C
4
的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求 （1）
CF=？
（ 2）EC=？
10
A
8 10
D
8-X
E
8-X X
B
6
F4 C
4、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边 AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC沿直线AD折叠， 使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
A
6
6E x
4
x 8-x C
Ｄ D
已知点A（0，-2），点B(4,0),在X轴上求点P， 使得三角形APB为等腰三角形
• 5在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四 边形OABC是矩形，点A,C的坐标分别为
A(10,0)B(0,4),点D是OA的中点，点P在BC 边上运动，当三角形ODP是腰长为5的等腰
三பைடு நூலகம்形时，点P坐标是多少？
SA+SB=SC C A
第8题图
B
5如图，长方体的长为15 cm，宽为 10 cm，高为20 cm，点B离点C 5 cm,
一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面 从点 A爬到点B，需要爬行的最短距 离是多少？
5B
C
20
15
A 10
E
5B C
20
15
A 10 F
E C5 B
20
A 10
5
B C
20
15 A 20
B
5 E 10 C