(完整版)高中数学《对数函数的概念》教案北师大必修1
对数函数
一．教学目标
1．知识技能
①对数函数的概念，熟悉2log x
y =的图象,
②了解对数函数的反函数. 2．过程与方法
让学生通过类比思想由指数函数的概念得出对数函数的概念 3．情感、态度与价值观
①培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力； ②培养学生严谨的科学态度. 二．学法与教学用具
1．学法：通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现函数的性质； 2．教学手段：多媒体计算机辅助教学． 三．教学重点、难点
1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数2log x
y =的图象,
2、难点：用对称性画2log x
y =的图象,.
四．教学过程 1．设置情境
在科学上，考古学家利用
log
P 估算出土文物或古遗址的年代，对于每一个C 14含
量P ，通过关系式，都有唯一确定的年代t 与之对应．同理，对于每一个对数式log x
a y =中
的x ，任取一个正的实数值，y 均有唯一的值与之对应，所以log x
a y x =关于的函数．
2．探索新知
一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
提问：（1）．在函数的定义中，为什么要限定a ＞0且a ≠1．
（2）．为什么对数函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）的定义域是（0，+∞）
组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解.
答：①根据对数与指数式的关系，知log a y x =可化为y
a x =，由指数的概念，要使
y a x =有意义，必须规定a ＞0且a ≠1．
②因为log a y x =可化为y x a =，不管y 取什么值，由指数函数的性质，y
a ＞0，所以
(0,)x ∈+∞．
3、研究对数函数的反函数
提问：指数函数y=a x
(a>0且≠1)和对数函数y=log a x(a>0且a ≠1)有什么关系? 答：指数函数y=a x
和对数函数y=log a x 刻画的是同一对变量 x, y 之间的关系， 但是，在指数函数y=a x
中,x 是自变量, y 是x 的函数, 其定义域是R,值域是 (0,+ ∞)；在对数函数x=log a y 中, y 是自变量, x 是y 的函数,其定义域是 (0,+ ∞),值域是R 。
于是，我们得出反函数是定义：
像y=a x
和x=log a y 这样的两个函数叫作互为反函数。
通常情况下,用x 表示自变量, y 表示函数,所以,指数函数y=a x
是对数函数 y =log a x 的反函数;同时,对数函数y =log a x 是指数函数y=a x
的反函数 4、例题分析：
例1、 求下列函数的定义域：
()21log a y x =；
（2）2
log (4)a y x =-； 解（1）因为2
0x >，即0x ≠，所以函数2log a y x =的定义域是()(),00,-∞+∞U . （2）因为240x ->，即2
40x -<，所以函数2log (4)a y x =-的定义域是()2,2-.
例2、 求下列函数的反函数：
(1) y =lgx (2) y =log 0.5x (3) y=5x
(4) y=(0.8)x
解（1）对数函数y =lgx ，它的底数是10，所以它的反函数是指数函数y =10x (2) y=(0.5)
x
(3) y =log 5x (4) y =log 0.8x
5、拓展延伸——研究函数2log x
y =的图象,
方法1 . 描点法作图
先完成P 91表3-9，并根据此表用描点法或用电脑画出函数2log x
y =的图象, 再利用电0.5x
x … 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 … 2log x y =
…
-3
-2
-1
1
2
3
…
方法2.利用对称性画图 x
… 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 … 2log x y =
…
-3
-2
-1
1
2
3
…
得出图象：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=2x
…
1/8 1/4 1/2 1
2
4
8
…
结论:
1、互为反函数的两个函数图象关于y=x 对称
2、互为反函数的两个函数其中一个函数图象过点（a,b ）， 则另一个必过点（b,a ）
6、课堂小结
➢ 1、对数函数的概念 ➢ 2、对数函数的反函数 ➢ 3、函数y =log 2x 图像画法 7、作业
课堂作业: 习题3-5 A 组1、3 课外作业:
1.看书P89—P93，梳理对数函数的定义、反函数概念等知识点.
2.思考：
(1)对比指数函数的定义、图象和性质，预习课本p90-93,了解和对数函数的图象
和性质. (2)思考题：
若函数 ， 求a 的取值范围.
1
2[log >∞+=y x y a ）上恒有，在。
新版高中数学北师大版必修1课件3.5.1-3.5.2对数函数的概念、对数函数y=log2x的图像和性质
当堂检测
一
二
三
二、反函数
对数函数y=logax(a>0,a≠1)和指数函数y= ax (a>0,a≠1)互为反函
数.
【做一做 2】
若函数 f(x)=
1 3
������
的反函数是 y=g(x),则
g(3)=( )
A.217
B.27
C.-1
D.1
解析:由已知得 g(x)=log1x,于是 g(3)=log13=-1.
-2-
5.1 对数函数的概念 5.2 对数函数y=log2x的图像和性质
首页
课前篇 自主预习
课堂篇 探究学习
当堂检测
一
二
三
一、对数函数的概念
一般地,函数 y=logax (a>0,a≠1)叫作对数函数,其中x是自变量,函 数的定义域是(0,+∞).a叫作对数函数的底数.特别地,我们称以10为
底的对数函数y=lg x为常用对数函数;称以无理数e为底的对数函数
⑥y=12log3x 中,系数是12,而不是 1,故不是对数函数.
答案:(1)2 (2)①
-9-
5.1 对数函数的概念 5.2 对数函数y=log2x的图像和性质
探究一
探究二
探究三
首页 易错辨析
课前篇 自主预习
课课堂堂篇篇 探探究究学学习习
当堂检测
1.对数函数是一个形式定义:
2.求对数函数的解析式时,主要采用待定系数法求出底数a的值, 即得其解析式.
y=ln x为自然对数函数.
【做一做1】 若函数f(x)=(a2-a+1)log(a+1)x是对数函数,则实数
a=
.
解析:由a2-a+1=1,解得a=0,1.
北师大版高中数学必修1《三章 指数函数和对数函数 5 对数函数 5.1 对数函数的概念》优质课教案_17
【教学设计·中学数学】《对数函数的概念》教学设计对数函数的概念一、教学目标：1.知识与技能理解对数函数的概念，了解对数函数与指数函数的关系.2.过程与方法从指数函数入手，引出对数函数的概念及对数函数与指数函数的关系。
3.情感、态度与价值观增强数学的理性思维能力及用普遍联系、变化发展的眼光看待问题的能力，体会对数函数的价值，形成正确的价值观二、教学重点、难点重点：（1）对数函数的概念；（2）对数函数与指数函数的相互转化.难点：对数函数概念的理解；三、学法与教法1、学法：复习回顾，类比归纳，语言表达。
2、教法：探究讨论法。
四、教学设计（一）：复习（1）：函数的概念是什么？（2）：什么是一一映射？（设计目的：本节要学习对数函数，而对数函数是一个新的函数函数模型，所以必须从基本的函数概念入手对其进行分析。
）（二）：新知探究：1.引入在细胞分裂的问题中，细胞分裂个数y和分裂次数x的函数关系,用正整数指数函数y=2x表示.在学习过程中我们已经把它推广到实数指数函数.那么如果分裂次数未知，细胞个数已知，完成下表（引导学生填表并观察，归纳出分裂次数x 与细胞个数y 之间的对应关系y x 2log =）2：探究一思考： 一般的指数函数y =a x (a >0,a ≠1)中的两个变量,能不能把y 当作自变量,使得x是y 的函数?指数函数y =a x (a>0,a ≠1),对于x 每一个确定值,y 都有唯一确定的值和它对应.并且当2121y y x x≠≠时，如图（1）。
就是说，指数函数反应的了数集R 与数集{y|y>0}之间的一一对应。
可见，对于任意y ∈(0,+∞)有唯一x ∈R 满足y =a x把y 当作自变量,x 是y 的函数，即)1,0(log ≠>=a a y x a图（1）函数)1,0(log ≠>=a a y x a 叫作对数函数，这里0.1,0>≠>y a a 自变量 习惯上，自变量用x 表示，所以这个函数就写成 )1,0(log ≠>=a a x y a我们把函数)1,0(log ≠>=a a x ya 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是),(),,0(+∞-∞+∞值域，a 叫作对数函数的底数。
高一数学北师大版必修1教学教案第三章5-1对数函数的概念(4)
对数的概念教学设计《对数的概念》本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点,在此之前，学生已经学习了指数、指数函数的内容，了解了指数运算是已知底数和指数求幂值，而对数是已知底数和幂值求指数的运算，两者是互逆的关系，对数的概念是学习对数函数的入门课，对数函数对于学生来说又是一个全新的函数模型，它是在指数函数的基础上，对函数类型的扩展，是本章的重点内容。
一、设计思路1、指导思想本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，为学习对数函数作好准备，起到了承上启下的作用.同时,也对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想有着很重要的意义。
2、教学目标根据教学大纲的要求，以及对教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标：（1）知识与技能①理解对数的概念；②掌握对数式与指数式的互化；③理解对数的性质.（2）过程与方法在概念理解的过程中，培养学生分析转化的意识和逆向思维能力.（3）情感、态度与价值观通过教师指导下学生的自主学习、相互交流和探索活动，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神，激发学生的学习兴趣，让学生感受成果的喜悦.在解决问题的过程中，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的好习惯.（4）现代教学手段：应用多媒体、几何画板等工具来展示对数与指数的关系，使学生对对数的概念有进一步的认识。
3、重难及难点重点：对数的概念；对数式与指数式的相互转化。
难点：对数概念的理解；对数性质的理解。
4、教法和学法：教法：游戏教学法；引导发现法；讲练结合法；借助多媒体课件。
学法：自主学习；合作交流；思考探究。
在新课改的理念下，教师和学生的主体地位已经发生了改变，为了更好地体现以学生为主体的课堂教学。
二、教学准备教学资源上，制作课件，导学案，准备几何画板，三角板，彩色粉笔。
课堂教学中，注重师生之间、生生之间相互作用的过程，强调多边互动，共同掌握知识，充分调动学生的参与的积极性。
三、教学过程(一)游戏引入比一比，看谁算的又对又快：那么 ()25=的值为多少？设计意图：以游戏的形式教学，低起点，让学生在生动活泼的气氛中，不知不觉地体会对数运算与幂运算是互逆的，同时在()25=中遇到了困难，会激发学生的求知欲望。
新教材高中数学第四章对数运算与对数函数1对数的概念课件北师大版必修第一册
解(1)∵ln(log2x)=0,∴log2x=1.∴x=21=2.
(2)∵log2(lg x)=1,∴lg x=2.∴x=102=100.
(3)由3lo g 3 √ =9 得√=9,解得 x=81.
规律方法
1
2
在对数的运算中,常见的对数的基本性质有:(1)负数和零没有对数;
1
解(1)log24=-2.
(2)log10100=2,或 lg 100=2.
(3)loge16=a,或 ln 16=a.
1
3
-
(4)64 =
1
.
4
(5)xz=y(x>0,且 x≠1,y>0).
探究点二 利用对数式与指数式的关系求值
【例2】 求下列各式中x的值:
(1)4x=5·3x; (2)log7(x+2)=2;
3.常见误区:易忽视对数式中底数与真数的范围.
学以致用•随堂检测全达标
1.将log5b=2化为指数式是( C )
A.5b=2 B.b5=2
C.52=b D.b2=5
2.已知ln x=2,则x等于(
A.±2
B.e2
C.2e
)
D.2e
答案 B
解析 由ln x=2,得e2=x,即x=e2.
3.(多选题)下列选项中,可以求对数的是(
A.0
B.-5 C.π
)
D.7
答案 CD
解析 根据对数的定义可知0和负数没有对数,所以选项A,B没有对数,π>0,
选项C有对数.又7>0,所以选项D有对数.
4.已知a=log23,则2a=
.
答案 3
解析 由a=log23,化对数式为指数式可得2a=3.
北师大版高一数学必修一对数函数的概念说课稿
北师大版高一数学必修一《对数函数的概念》说课稿（逐字稿）尊敬的各位考官大家好，我是今天的06号考生，今天我说课的题目是对数函数的概念。
接下来我将从教材分析、学情分析、教学过程（手势）等几个方面展开我的说课。
一、说教材《对数函数的概念》选自北师大版高中数学必修一第四章第三节第一课时，本节课的主要内容是：对数函数的概念。
二、说学情深入了解学生是新课标要求下教师的必修课，学生已经学习了指数和对数的互化，以及对数的基本运算，并且这一阶段高一学生具有较强的逻辑思维能力，教师在教学过程中要着重抓住这一特点。
三、说教学目标依据学生的知识水平和年龄特点，以及本节课在教材中所处的地位及作用，我制定了以下教学目标：1.学生掌握对数函数的概念以及反函数的求法。
2.学生经过思考和讨论的过程，提高发现和解决问题的能力。
3.提升数学抽象、数学运算素养。
四、说教学重难点要上好一节数学课，在教学内容上一定要做到突出重点、突破难点。
根据本节课的内容，确定教学重点为掌握对数函数的概念。
教学难点为反函数的求法。
五、说教法和学法结合本节课的内容和学生的认知规律，我主要采用讲授法、启发法、小组合作、自主探究等教学方法。
在学法上,我主要采用观察法、合作交流法、归纳总结法等教学方法。
六、说教学过程古语说“凡事预则立，不预则废”，为了更好的以学定教，我会让学生在课前完成一份前置作业（预习单），分为两部分：1.是旧知连接，出一些本课知识紧密相关的已经学过的练习题，这样可以很好的摸清学生基础。
2.是新知速递，是让学生自己先进行预习，完成一些与本课知识相关的基础的练习，从而培养学生的预习能力。
为了实现这节课的教学目标，突出重点，突破难点，整节课的教学分几个部分进行环节一：创设情境，引入新课良好的导入是激发学生求知欲与好奇心的有效方法，因此，我将出示关于细胞分裂的过程视频，请同学们写出分裂次数x与细胞总数y的函数关系。
即y=2x，请同学们思考一下，分裂出一万个细胞，需要经过多少次呢？就此引入本节课的主要内容。
3.3对数函数y=logax的图像和性质-北师大版高中数学必修第一册(2019版)教案
3.3 对数函数y=loga x的图像和性质-北师大版高中数学必修第一册（2019版）教案一、前置知识1.指数函数的定义及其图像和性质2.对数函数的定义及其图像和性质二、知识解析1. 对数函数y=loga x的定义对数函数y=loga x (a>0，且a≠1)表示以a为底数，x的对数，其中a称为底数，x称为真数，y为对数。
可以用以下公式表示：y=loga x ⇔ a^y=x (a>0，且a≠1，x>0，y∈R)其中，a>0，a≠1是对数函数的定义域。
2. 对数函数y=loga x的图像对数函数y=loga x的图像可以通过构造表格得到，具体如下：x loga xa^-2 -2a^-1 -1a^0 0a^1 1a^2 2……a^(1/k) 1/ka^k k……将表格中的x和y坐标对应，可以得到对数函数y=loga x的图像。
对数函数y=loga x的图像的主要特点如下：1.当x=a^0=1时，y=0。
2.当0<x<1时，-∞<loga x <0，即函数的值单调减少。
3.当x>1时，0<loga x <+∞，即函数的值单调增加。
4.对于任何底数a，当x=a时，y=1。
3. 对数函数y=loga x的性质对数函数y=loga x的性质如下：1.对于任何底数a，当x=a时，y=1。
2.对于任何底数a和正整数k，有loga (x^k)=k·loga x。
3.对于任何底数a、正整数m和n，有loga (x m·y n)=m·loga x+n·loga y。
4.对于任何底数a和正整数k，有loga (1/x^k)=-k·loga x。
5.对于任何底数a和正实数x、y，有loga x+loga y=loga (xy)。
6.对于任何底数a和正实数x、y，有loga x-loga y=loga (x/y)。
北师大版高中数学必修一数学必修第一册：4.1《对数的概念》教案
对数的概念【教学目标】1．理解对数的概念。
(重点)2．掌握指数式与对数式的互化。
(重点)3．掌握对数的基本性质。
(难点)【教学重难点】1．对数的概念。
2．指数式与对数式的互化。
3．对数的基本性质。
【教学过程】一、基础铺垫1．对数的定义(1)对数的有关概念(2)对数的底数a的取值范围是a>0，且a≠1．3二、新知探究1．指数式与对数式的互化 【例1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)2－7＝1128；(2)33＝27；(3)10－1＝0.1；(4)log1232＝－5；(5)lg 0.001＝－3；(6)ln e ＝1．[解] (1)log 21128＝－7；(2)log 327＝3；(3)log 100.1＝－1；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5＝32；(5)10－3＝0.001；(6)e 1＝e 。
【教师小结】利用对数与指数间的互化关系时，要注意各字母位置的对应关系，其中两式中的底数是相同的。
【跟踪训练】1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式。
①35＝243；②⎝ ⎛⎭⎪⎫13m＝5．73；③log1216＝－4； ④ln 10＝2．303．[解] ①log 3243＝5；②log135．73＝m ；③⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16；④e 2．303＝10. 2．对数基本性质的应用【例2】 (1)求下列各式中x 的值。
①log (2x 2－1)(3x 2＋2x －1)＝1；②log 2(log 3(log 4x ))＝0.[解] (1)①由log (2x 2－1)(3x 2＋2x －1)＝1得⎩⎨⎧ 3x 2＋2x －1＝2x 2－1，3x 2＋2x －1>0，2x 2－1>0且2x 2－1≠1.解得x ＝－2． ②由log 2(log 3(log 4x ))＝0可得log 3(log 4x )＝1，故log 4x ＝3，所以x ＝43＝64．【教师小结】（1）对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0(a >0且a ≠1)。
北师大版数学高一- 北师大版必修一示范教案3.5.3对数函数的图像和性质(1)
5.2 y＝log2x的图像和性质5．3 对数函数的图像和性质(1)导入新课思路1.复习以下内容：(1)对数函数的定义；(2)对数函数的反函数．这些定义与性质有什么作用呢？这就是我们本堂课的主讲内容，教师点出课题．推进新课新知探究下面研究对数函数y＝log2x的图像和性质．可以用两种不同方法画出函数y＝log2x的图像．方法一：描点法．先列出x，y的对应值表如下：图2方法二：画出函数x＝log2y的图像，再变换为y＝log2x的图像．由于指数函数y＝a x和对数函数x＝log a y所表示的x和y这两个变量间的关系是一样的，因而函数x＝log2y和y＝2x的图像是一样的(如图3(1))．用x表示自变量，把x轴、y轴的位置互换，就得到y＝log2x的图像(如图3(2))．(1) (2)图3 图4 习惯上，x轴在水平位置，y轴在竖直位置，把图3(2)翻转，使x轴在水平位置，得到通常的y＝log2x的图像(如图4)．观察对数函数y＝log2x的图像，过点(1,0)，即x＝1时，y＝0；函数图像都在y轴右边，表示了零和负数没有对数；当x＞1时，y＝log2x的图像位于x轴上方，即x＞1时，y ＞0；函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数．对数函数y＝log a x(a＞0，a≠1)，在其底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图像和性质可以总结如下表．a＞10＜a＜1 图像性质(1)定义域：(0，＋∞)(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(2)值域：R(3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0(3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0(4)当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0(4)当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0(5)是(0，＋∞)上的增函数(5)是(0，＋∞)上的减函数提出问题1根据你掌握的知识目前比较数的大小有什么方法？2判断函数的单调性有哪些方法和步骤？3判断函数的奇偶性有哪些方法和步骤？活动：学生回忆，教师引导，教师提问，学生回答，学生之间可以相互交流讨论，学生有困难教师点拨．问题(1)学生回顾数的大小的比较的方法，有些数一眼就能看出大小，有些数比较抽象，就用到某些函数的图像和性质，要分别对待，具体问题具体分析．问题(2)学生回顾判断函数的单调性的方法和步骤，严格按步骤与规定．问题(3)学生回顾判断函数的奇偶性的方法和步骤，严格按步骤与规定．讨论结果：(1)比较数的大小：①作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大．②作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小．③计算出每个数的值，再比较大小．④是两个以上的数，有时采用中间量比较．⑤利用图像法．⑥利用函数的单调性．(2)常用的方法有定义法、图像法、复合函数的单调性的判断．利用定义证明单调性的步骤：①在给定的区间上任取两个自变量的值x1，x2，且x1＜x2.②作差或作商(同号数)，注意变形．③判断差的符号，商与1的大小．④确定增减性．对于复合函数y＝f[g(x)]可以总结为：当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数y＝f[g(x)]是增函数；当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时，复合函数y＝f[g(x)]是减函数．又简称为口诀“同增异减”．(3)有两种方法：定义法和图像法．利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；③作出相应结论：若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数；若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．图像法：偶函数的图像关于y轴对称；奇函数的图像关于原点对称．这也可以作为判断函数奇偶性的依据．下面看它们的应用．应用示例思路1例1 比较下列各组数中的两个值的大小：(1)log25.3，log24.7；(2)log0.27，log0.29；(3)log3π，logπ3；(4)log a3.1，log a5.2(a ＞0，a≠1)．活动：学生思考、交流，教师要求学生展示自己的思维过程，并及时评价．对(1)与(2)由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成，直接利用对数函数的单调性；作出图像，利用图像法比较；计算出结果；作差利用对数函数的性质．对(4)因为底数的大小不确定，因此要分别讨论，再利用对数函数的单调性；作差利用对数函数的性质；转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小．对(3)两个对数式的底数和真数均不相同．设法找到一个具体的对数函数，根据这个函数的单调性来比较它们的大小，题中所给的对数式的底数和真数都不相同，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，一般选择“0”或“1”作为中间量进行比较．解：(1)解法一：用图形计算器或多媒体画出对数函数y＝log2x的图像，如图5.图5在图像上，横坐标为4.7的点在横坐标为5.3的点的下方，所以log24.7＜log25.3.解法二：由函数y＝log2x在R＋上是单调增函数，且4.7＜5.3，所以log24.7＜log25.3.(2)因为0.2＜1，函数y＝log0.2x是减函数，7＜9，所以log0.27＞log0.29.(3)解法一：因为函数y＝log3x和函数y＝logπx都是定义域上的增函数，所以logπ3＜logππ＝1＝log33＜log3π.所以logπ3＜log3π.解法二：直接利用对数的性质，logπ3＜1，而log3π＞1，因此logπ3＜log3π.(4)解法一：当a＞1时，y＝log a x在(0，＋∞)上是增函数，且3.1＜5.2，所以log a3.1＜log a5.2.当0＜a＜1时，y＝log a x在(0，＋∞)上是减函数，且3.1＜5.2，所以log a3.1＞log a5.2.点评：对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件并未指明时，需要对底数a进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握．同时本题采用了多种解法，从中还体现了数形结合的思想方法，要注意体会和运用.变式训练0.8两值的大小．比较log20.7与log13解：考查函数y＝log2x.因为2＞1，所以函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数．x，又0.7＜1，所以log20.7＜log21＝0.再考查函数y＝log13因为0＜13＜1，所以函数y ＝log 13x 在(0，＋∞)上是减函数． 又1＞0.8，所以log 130.8＞log 131＝0.所以log 20.7＜0＜log 130.8.点评：题中所给的对数式的底数和真数都不相同，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，一般选择“0”或“1”作为中间量进行比较，这里的中间量是0.例2 求下列函数的定义域：(1)y ＝log a x 2；(2)y ＝log a (4－x )．活动：学生回忆，教师提示，学生展示解题过程，教师巡导，及时评价学生．此题主要利用对数及对数函数的定义及y ＝log a x 的定义域(0，＋∞)求解．教师引导，学生回答，求函数定义域时应首先考虑函数解析式，这两类题既有二次根式，又有对数和指数式，且真数和指数中含有变量，因此考虑被开方数非负；零和负数没有对数等；转化为不等式来解．解：(1)要使函数有意义，则需x 2＞0，即x ≠0，所以定义域为{x |x ≠0}；(2)因为4－x ＞0，即x ＜4，所以函数定义域为{x |x ＜4}．点评：该题主要考查对数函数及其性质，根据函数的解析式，列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可．思路2例1 已知f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，试比较f (x )与g (x )的大小．活动：学生先思考讨论，再交流回答，教师要求学生展示自己的思维过程，教师根据实际，可以提示引导．学生回忆数的大小的比较方法，选择合适的．要比较两个代数式的大小，通常采取作差法或作商法，作差时，所得差同零比较；作商时，应先分清代数式的正负，再将商同“1”比较大小．因为本题中的f (x )与g (x )的正负不确定，所以采取作差比较法．解：f (x )，g (x )的定义域都是(0,1)∪(1，＋∞)． f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝1＋log x 3－log x 4＝log x 34x .(1)当0＜x ＜1时，若0＜34x ＜1，即0＜x ＜43，此时log x 34x ＞0，即0＜x ＜1时，f (x )＞g (x )；若34x ≥1，即x ≥43，这与0＜x ＜1相矛盾． (2)当x ＞1时，若34x ＞1，即x ＞43，此时log x 34x ＞0，即x ＞43时，f (x )＞g (x )； 若34x ＝1，即x ＝43，此时log x 34x ＝0，即x ＝43时，f (x )＝g (x )； 若0＜34x ＜1，即0＜x ＜43，此时log x 34x ＜0，即1＜x ＜43时，f (x )＜g (x )．综上所述，当x ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞时，f (x )＞g (x )； 当x ＝43时，f (x )＝g (x )；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43时，f (x )＜g (x )． 点评：对数值的正负取决于对数的底数和真数的关系．而已知条件并未指明时，需要对底数和真数进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握，注意体会和运用. 变式训练已知log m 5＜log n 5，比较m ，n 的大小．活动：学生观察思考，交流探讨，教师提示，并评价学生的思维过程．已知对数式的大小关系，要求我们确定底数的大小关系，若变量在真数位置上，我们就可以解决这个问题了，我们设法对原式进行变换使变量在真数位置上，我们知道log 5m 和log m 5的关系是倒数关系，有了这个关系，题中已知条件就变为1log 5m ＜1log 5n，由已知条件知道m 、n 都大于0，且都不等于1，据此确定m ，n 的大小关系．解：因为log m 5＜log n 5，所以1log 5m ＜1log 5n. ①当m ＞1，n ＞1时，得0＜1log 5m ＜1log 5n， 所以log 5n ＜log 5m .所以m ＞n ＞1.②当0＜m ＜1,0＜n ＜1时，得1log 5m ＜1log 5n＜0， 所以log 5n ＜log 5m .所以0＜n ＜m ＜1.③当0＜m ＜1，n ＞1时，得log 5m ＜0，log 5n ＞0，所以0＜m ＜1，n ＞1.所以0＜m ＜1＜n .综上所述，m ，n 的大小关系为m ＞n ＞1或0＜n ＜m ＜1或0＜m ＜1＜n .点评：分类讨论是解题的关键.例2 求函数y ＝log 2(x 2－x －6)的单调区间，并证明．活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导．求函数的单调区间一般用定义法，有时也利用复合函数的单调性．定义法求函数的单调区间，其步骤是：①确定函数的定义域，在定义域内任取两个变量x 1和x 2，通常令x 1＜x 2；②通过作差比较f (x 1)和f (x 2)的大小，来确定函数的单调递增区间和单调递减区间(注意保持变量x 1和x 2的“任意性”)；③再归纳结论．解法一：由x 2－x －6＞0，得x ＜－2或x ＞3，不妨设x 1＜x 2＜－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝log 2(x 21－x 1－6)－log 2(x 22－x 2－6)＝log 2x 21－x 1－6x 22－x 2－6＝log 2x 1－3x 1＋2x 2－3x 2＋2. 因为x 1＜x 2＜－2，所以x 1－3＜x 2－3＜0，x 1＋2＜x 2＋2＜0.所以x 1－3x 1＋2x 2－3x 2＋2＞1.所以log 2x 21－x 1－6x 22－x 2－6＝log 2x 1－3x 1＋2x 2－3x 2＋2＞0， 即f (x 1)－f (x 2)＞0，f (x 1)＞f (x 2)．所以函数f (x )＝log 2(x 2－x －6)在区间(－∞，－2)上是减函数．同理，函数f (x )＝log 2(x 2－x －6)在区间(3，＋∞)上是增函数．解法二：令u ＝x 2－x －6，则y ＝log 2u .因为y ＝log 2u 为u 的增函数，所以当u 为x 的增函数时，y 为x 的增函数；当u 为x 的减函数时，y 为x 的减函数．由x 2－x －6＞0，得x ＜－2或x ＞3，借助于二次函数的图像，可知当x ∈(－∞，－ 2)时，u 是x 的减函数，当x ∈(3，＋∞)时，u 是x 的增函数．所以原函数的单调减区间是(－∞，－2)，单调增区间是(3，＋∞)．点评：本题考查复合函数单调性的判定方法．一般地，设函数y ＝f (u )，u ＝g (x )都是给定区间上的单调函数．若y ＝f (u )，u ＝g (x )在给定区间上的单调性相同，则函数y ＝f [g (x )]是增函数；若y ＝f (u )，u ＝g (x )在给定区间上的单调性相反，则函数y ＝f [g (x )]是减函数． 知能训练1．函数y ＝log 2x －2的定义域是( )．A ．(3，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．[4，＋∞) 2．求y ＝log 0.3(x 2－2x )的单调递减区间．3．求函数y ＝log 2(x 2－4x )的单调递增区间．答案：1.要使函数有意义，需log 2x －2≥0，log 2x ≥2，x ≥4，因此函数的定义域是[4，＋∞)，选D.2．先求定义域：由x 2－2x ＞0，得x (x －2)＞0，所以x ＜0或x ＞2.因为函数y ＝log 0.3t 是减函数，故所求单调减区间即为t ＝x 2－2x 在定义域内的增区间． 又t ＝x 2－2x 的对称轴为x ＝1，所以所求单调递减区间为(2，＋∞)．3．先求定义域：由x 2－4x ＞0得x (x －4)＞0，所以x ＜0或x ＞4.又函数y ＝log 2t 是增函数，故所求单调递增区间即为t ＝x 2－4x 在定义域内的单调递增区间．因为t ＝x 2－4x 的对称轴为x ＝2，所以所求单调递增区间为(4，＋∞)．拓展提升探究y ＝log a x 的图像随a 的变化而变化的情况．用计算机先画出y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 12x ，y ＝log 13x 的图像，如图6.图6通过观察图像可总结如下规律：当a ＞1时，a 值越大，y ＝log a x 的图像越靠近x 轴；当0＜a ＜1时，a 值越大，y ＝log a x 的图像越远离x 轴．课堂小结本节课复习了对数函数及其性质，借助对数函数的性质的运用，我们对函数的单调性和奇偶性又进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，对常考的内容进行了学习，要高度重视，特别是要和高考接轨，注意题目的形式和难度．作业1．求函数y ＝lg x ＋lg(5－2x )的定义域．解：要使函数有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ≥0，5－2x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x <52，解得1≤x ＜52. 所以函数的定义域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，52. 2．求函数y ＝log 12(x 2－2x －3)的单调区间，并用单调定义给予证明．解：∵x 2－2x －3＞0，∴x ＞3或x ＜－1.单调减区间是(3，＋∞)，单调增区间是(－∞，－1)．证明：设x 1，x 2∈(3，＋∞)且x 1＜x 2，则y 1＝log 12(x 21－2x 1－3)，y 2＝log 12(x 22－2x 2－3)，(x 21－2x 1－3)－(x 22－2x 2－3)＝(x 2－x 1)[2－(x 1＋x 2)]．∵x 2＞x 1＞3，∴x 2－x 1＞0,2－(x 1＋x 2)＜0.∴(x 21－2x 1－3)＜(x 22－2x 2－3)．又底数0＜12＜1， ∴y 1－y 2＞0，即y 1＞y 2.∴y 在(3，＋∞)上是减函数．同理可证y 在(－∞，－1)上是增函数．3．已知y ＝log a (2－a x)在[0,1]上是x 的减函数，求a 的取值范围．解：因为a ＞0且a ≠1，(1)当a ＞1时，函数t ＝2－a x ＞0是减函数；由y ＝log a (2－a x )在[0,1]上是x 的减函数，知y ＝log a t 是增函数，所以a ＞1；由x ∈[0,1]时，2－a x ≥2－a ＞0，得a ＜2，所以1＜a ＜2.(2)当0＜a ＜1时，函数t ＝2－a x ＞0是增函数；由y ＝log a (2－a x )在[0,1]上是x 的减函数，知y ＝log a t 是减函数，所以0＜a ＜1.由x ∈[0,1]时，2－a x ≥2－1＞0，所以0＜a ＜1.综上所述，0＜a ＜1或1＜a ＜2.设计感想本堂课主要是复习对数函数及其性质，是在以前基础上的提高与深化，它起着承上启下的作用，侧重于对数函数的单调性和奇偶性，同时又兼顾了高考常考的内容，对于对数函数的单调性需严格按定义来加以论证，对于对数函数的奇偶性的判定也要按定义来加以论证，这类问题不但技巧性较强，而且涉及面广，容量大，因此要集中精力，提高学生兴趣，加快速度，高质量完成教学任务．(设计者：路致芳)。
对数的概念课件-2023-2024学年高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册
1
25
= ；(3)3 = 5；(4)ln = −1；
(5)log 64 = 2；(6)2 log2 3 = ．
观察方程中未知数的位置的特点，分析指数式与对数式中各位置的量之间的关系．
解：由对数定义得：(1) = 34 = 81； (2)5 =
1
e
1
25
= 5−2 ，所以 = −2；
中0 为侵害面积的初始值．现在，设经过t年后，薇甘
菊的侵害面积会增长到原来的5倍，可得0 ∙ 1.057 =
50 ，即1.057 = 5．用什么样的方式表示出t的值呢?
我们经常会遇到这样的问题：已知底数和幂的值，怎样求指数呢?
对数函数定义：一般地，如果( > 0，且 ≠ 1)的次幂等于，即 =，那么数
2
理解对数的定义，利用对数定义及对数的恒等式求解．
解：由对数定义得：(1)log 5 25 = 2；(2)log 1 32 = −5；(3)3 log3 10 = 10；
2
(4)ln 1 = 0；(5)log 2.5 2.5 = 1．
求下列各式中的的值：(1)log 3 = 4；(2)log 5
log = 中，，的取值范围是什么?
底数的取值范围是 0，1 ∪ 1， + ∞ ，对数的取值范围是，真数的取值范围是ሺ0，
+ ∞ሻ．
1
对于任意的 > 0，且 ≠ 0，对数log 1，log ，log 的值有什么特点?
1
1
因为0 = 1，所以log 1 = 0；因为1 = ，所以log = 1；因为−1 = ，所以log =
− 1；这些在后面的对数计算和变形时经常用到．
新教材高中数学第四章对数运算与对数函数1对数的概念课件北师大版必修第一册
【对点练习】❶ 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)42＝16；(2)102＝100；
1
(3)42＝2；(4)log132＝－5．
2
[解析] (1)log416＝2 ． (2)lg 100＝2．
(3)log42＝12．
(4)21－5＝32．
题型二
对数基本性质的应用
例 2求下列各式中的x： (1)log3(log2x)＝0； (2)log3(log7x)＝1； (3)lg(ln x)＝1； (4)lg(ln x)＝0． [分析] 利用指数式与对数式的互化进行解答．
【对点练习】❷ 求下列各式中 x 的值：
(1)x＝log116； 2
(2)log8x＝－13；
(3)log( 2 －1)
1 3＋2
2＝x．
[解析] (1)∵x＝log2116，∴12x＝16， 即 2－x＝24．∴－x＝4，即 x＝－4．
(2)∵log8x＝－13，∴x＝8－13＝318＝12．
5．若ln e－2＝－x,则x＝____2_． [解析] 由题意可知e－2＝e－x,故x＝2．
关键能力•攻重难
题型探究
题型一
对数的定义
例 1 (1)在对数式 y＝log(x－2)(4－x)中，实数 x 的取值范围是 ___2_＜__x_＜__4_且__x_≠__3____．
(2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． ①54＝625；②log216＝4；③10－2＝0.01；④log 5125＝6．
第四章 对数运算与对数函数
§1 指数幂的拓展
【素养目标】 1．能结合指数幂解对数的相关概念,常用对数、自然对数．(数 学抽象) 3．能结合教材中的例题掌握指数与对数的互化、简单的求值．(数 学运算)