高三高考数学总复习《直线与圆》题型归纳与汇总
直线与圆题型总结
高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程1 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系．2、设圆满足：(1)截轴所得弦长为2；(2)被轴分成两段弧，其弧长的比为，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程．类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程1 已知圆，求过点与圆相切的切线．2 两圆与相交于、两点，求它们的公共弦所在直线的方程．3、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。
练习：1．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程2、过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线的方程为 3、已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为.类型三：弦长、弧问题1、求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长2、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为3、求两圆0222=-+-+y x y x 和522=+y x 的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系1、若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，实数m 的取值范围 2圆上到直线的距离为1的点有个？3、直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是4、若直线2+=kx y 与圆1)3()2(22=-+-y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是.5、 圆上到直线的距离为的点共有（）．（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个6、 过点作直线，当斜率为何值时，直线与圆有公共点 类型五：圆与圆的位置关系1、判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 的位置关系2圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有条。
直线与圆的高考常见题型总结
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知识篇 新高考名师护航
高二数学 2023 年 10 月
解得
5
a)≤ (
a-3)+2 ,
2
2
2
1
3
≤a≤ 。
3
2
(
2
0
2
3 年 新 高 考 Ⅰ 卷 )过 点 (
0,
例 6
与圆 x2 +y2 -4
-2)
x-1=0 相 切 的 两 条 直
y -2)<1,
2
2
,
方程 xc
o
sθ+ (
s
i
nθ=1(
0≤θ≤2π)
θ
y-2)
无解。因此经过任意点的直线均为有限个。
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高二数学 2023 年 10 月
(
对于 B:
不在任一直线上。
0,
2)
对于 C:
做圆 x + (
y-2)=1 的 外 切 正
2
故选 ABD。
2
n 边形 即 可。 (将 正 n 边 形 的 中 心 置 于 (
0,
,
中心到边的距离 设 为 1,此 正 n 边 形 即 满
2)
足题意)
例 4
2
x-y-3=0 的距离为(
5
A.
5
对 于 D:注 意 到 任 意 三 条 直 线 若 能 围 成
高考热点 2
2
(写 出 所 有 真
其中真命 题 的 代 号 是
。
命题的代号)
高考数学直线与圆归纳总结
高考数学直线与圆归纳总结直线与圆是高中数学中重要的几何概念。
在高考数学中，直线与圆的相关知识点常常出现，并且在解决几何问题时扮演着重要的角色。
下面将对高考数学中涉及直线与圆的知识进行归纳总结。
一、直线与圆的位置关系1. 直线和圆可能有三种位置关系：相离、相切和相交。
a. 如果直线和圆没有交点，则称直线和圆相离。
b. 如果直线与圆有且仅有一个交点，则称直线与圆相切。
c. 如果直线与圆有两个交点，则称直线与圆相交。
2. 判断直线与圆的位置关系的方法：a. 判断直线与圆相离：计算直线到圆心的距离是否大于圆的半径。
b. 判断直线与圆相切：计算直线到圆心的距离等于圆的半径。
c. 判断直线与圆相交：计算直线到圆心的距离小于圆的半径。
二、直线与圆的方程1. 直线的一般方程：Ax + By + C = 0。
直线的一般方程表示直线上的所有点 (x, y)，满足方程左侧等式。
2. 圆的标准方程：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2。
圆的标准方程表示平面上距离圆心 (a, b) 距离为半径 r 的点 (x, y)。
3. 直线与圆的方程应用：a. 直线与圆的相交问题可以通过联立直线和圆的方程求解。
b. 直线与圆的相切问题可以通过判断直线方程是否与圆方程有且仅有一个交点来确定。
三、直线与圆的性质1. 切线与半径的关系：切线与半径的夹角是直角，即切线垂直于半径。
2. 切线的性质：a. 切点：切线与圆的交点称为切点。
b. 切线长度：切点到圆心的距离等于半径的长度。
c. 外切线：若直线与圆内切于一点，则这条直线称为外切线。
d. 内切线：若直线切圆于两个相交点，则这条直线称为内切线。
3. 弦的性质：弦是圆上的两个点之间的线段。
弦的性质有：a. 弦长：弦长等于圆心到弦的距离的两倍。
b. 直径：直径是通过圆心的弦。
直径等于半径的两倍。
四、圆的位置关系1. 同心圆：具有共同圆心的多个圆称为同心圆。
2. 内切圆与外接圆：如果一个圆与另一个圆有且仅有一个切点，则这两个圆称为内切圆与外接圆。
高考数学真题题型分类解析专题专题07 直线与圆
高考数学真题题型分类解析高考数学真题题型分类解析 专题07直线与圆直线与圆命题解读考向考查统计1.高考对直线的考查，重点是直线的倾斜角与斜率、直线方程的求法、两条直线的位置关系、距离公式、对称问题等。
2.高考对圆的考查，重点是圆的标准方程与一般方程的求法，除了待定系数法外，要特别要重视利用几何性质求解圆的方程。
同时，除了直线与圆、圆与圆的位置关系的判断，还特别要重视直线与圆相交所得弦长及相切所得切线的问题。
3.其他就是直线、圆与其他知识点的交汇。
直线与圆的位置关系2023·新高考Ⅰ卷，62022·新高考Ⅱ卷，152023·新高考Ⅱ卷，152024·新高考Ⅱ卷，10（多选题的一个选项中考查）圆与圆的位置关系2022·新高考Ⅰ卷，14直线的斜率2022·新高考Ⅱ卷，3命题分析2024年高考新高考Ⅰ卷未直接考查直线与圆的相关知识点，Ⅱ卷在多选题的一个选项中考到了直线与圆相切的问题，其实在压轴题中也有直线斜率的影子，后续专题再呈现。
其实直线与圆直接考查的话，难度一般是较易的，一般计算不出错即可。
在一些上难度的题型中，往往有直线斜率的一些影子。
直线与圆考查应关注：直线、圆的方程及位置关系，直线方程的求解、直线过定点问题的求解、含参直线方程中参数取值范围求解、直线与圆的位置关系中涉及的弦长与切线方程的求解。
以常规题型、常规解法为主要方向，常结合基本不等式、函数、三角形面积等知识考查最值问题。
预计2025年高考还是主要考查直线与圆的位置关系。
试题精讲一、多选题1．（2024新高考Ⅱ卷·10）抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +−=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（ ）A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||PQ =C ．当||2PB =时，PA AB ⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个一、单选题1．（2023新高考Ⅰ卷·6）过点()0,2−与圆22410x y x +−−=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（ ）A ．1B2．（2022新高考Ⅱ卷·3）图1是中国称为步，垂直距离称为举，图2是某古1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的成公差为0.1的等差数列，且直线A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.93．（2022新高考Ⅰ卷·14）写出与圆是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ′′′′是桁是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中111,DD CC 邻桁的举步之比分别为1111111,0.5,DD CC BB k OD DC CB ==OA 的斜率为0.725，则3k =（ ）与圆221x y +=和22(3)(4)16x y −+−=都相切的一条直是桁，相邻桁的水平距离1,,BB AA 是举，1231,AAk k BA ==．已知123,,k k k 一条直线的方程．由图像可知由图像可知，，共有三条直线符合条件又由方程22(3)(4)16x y −+−=和x 即为过两圆公共切点的切线方程即为过两圆公共切点的切线方程，，又易知两圆圆心所在直线OC 的方程为直线OC 与直线10x +=的交点为条件条件，方程为(当切线为l时，因为14 3OOk=，所以O到l的距离||19116td==+，解得当切线为m时，设直线方程为kx由题意211344pkk p=+++=，解得kp．（新高考卷）设点有公共点，则a的取值范围是．5．（2023新高考Ⅱ卷·15）已知直线:10l x my −+=与2:14C x y −+= 交于A ，B 两点，写出满足“ABC面积为85”的m 的一个值．一、直线的倾斜角和斜率1、直线的倾斜角若直线l 与x 轴相交，则以x 轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与l 重合所成的角称为直线l 的倾斜角，通常用，，， αβγ表示（1）若直线与x 轴平行（或重合），则倾斜角为0 （2）倾斜角的取值范围[0)，∈απ 2、直线的斜率设直线的倾斜角为α，则α的正切值称为直线的斜率，记为tan =k α （1）当2=πα时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的（2）倾斜角α与斜率k 的关系当0=k 时，直线平行于轴或与轴重合；当0>k 时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随k 的增大而增大； 当0<k 时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随k 的增大而增大； 3、过两点的直线斜率公式已知直线上任意两点，11()，A x y ，22()，B x y 则2121−=−y y k x x （1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．（2）若12=x x ，则直线AB 的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 4、三点共线两直线，AB AC 的斜率相等→、、A B C 三点共线；反过来，、、A B C 三点共线，则直线，AB AC 的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在．二、直线的方程1、直线方程的五种形式在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） 3、线段中点坐标公式若点12，P P 的坐标分别为1122()()，，，x y x y 且线段12PP 的中点M 的坐标为()，x y ，则121222+= + = x x x y y y ，此公式为线段12PP 的中点坐标公式． 4、两直线的夹角公式若直线11y k x b =+与直线22y k x b =+的夹角为α，则2112tan 1k k k k α−=+.三、两直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程平行垂直11112222:0:0++=++=l A x B y C l A x By C1221122100且−=−≠A B A B B C B C12120+=A A B B111222::=+=+l y k x b l y k x b （斜率存在）11,22::==l x x l x x （斜率不存在）1212,=≠k k b b 或 1212,,==≠x x x x x x121=−i k k 或12与k k 中有一个为0，另一个不存在．四、三种距离1、两点间的距离平面上两点111222(,),(,)P x y P x y 的距离公式为12||=P P． 特别地，原点O （0，0）与任一点P （x ，y ）的距离||=OP 2、点到直线的距离点000(,)P x y 到直线:0++=l Ax By C 的距离=d 特别地，若直线为l ：x =m ，则点000(,)P x y 到l 的距离0||=−d m x ；若直线为l ：y =n ，则点000(,)P x y 到l 的距离0||=−d n y 3、两条平行线间的距离已知12,l l 是两条平行线，求12,l l 间距离的方法：（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．（2）设1122:0,:0++=++=l Ax By C l Ax By C ，则1l 与2l 之间的距离=d注：两平行直线方程中，x ，y 前面对应系数要相等． 4、双根式双根式()=±f x 型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解．五、圆1、圆的四种方程（1）圆的标准方程：222()()−+−=x a y b r ，圆心坐标为（a ，b ），半径为(0)>r r（2）圆的一般方程：22220(40)++++=+−>x y Dx Ey F D E F ，圆心坐标为,22−− D E ，半径r（3）圆的直径式方程：若1122(,),(,)A x y B x y ，则以线段AB 为直径的圆的方程是1212()()()()0−−+−−=x x x x y y y y2、点与圆的位置关系判断（1）点00(,)P x y 与圆222()()−+−=x a y b r 的位置关系： ①222()()−+−>⇔x a y b r 点P 在圆外； ②222()()−+−=⇔x a y b r 点P 在圆上； ③222()()−+−<⇔x a y b r 点P 在圆内．（2）点00(,)P x y 与圆220++++=x y Dx Ey F 的位置关系：①2200000++++>⇔x y Dx Ey F 点P 在圆外； ②2200000++++=⇔x y Dx Ey F 点P 在圆上； ③2200000++++<⇔x y Dx Ey F 点P 在圆内．六、直线与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系判断（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）圆心(,)a b 到直线0Ax By C ++=的距离，则d =：d r <⇔直线与圆相交，交于两点,P Q ，||PQ =d r =⇔直线与圆相切； d r >⇔直线与圆相离（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）由2220()()Ax By C x a y b r++= −+−= ， 消元得到一元二次方程20p x q x t ++=，20p x q x t ++=判别式为∆，则：0∆>⇔直线与圆相交； 0∆=⇔直线与圆相切； 0∆<⇔直线与圆相离．七、两圆位置关系的判断用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：设两圆12,O O 的半径分别是,R r ，（不妨设R r >），且两圆的圆心距为d ，则：d R r <+⇔两圆相交； d R r =+⇔两圆外切； R r d R r −<<+⇔两圆相离 d R r =−⇔两圆内切；0d R r ≤<−⇔两圆内含（0d =时两圆为同心圆）设两个圆的半径分别为R r ，，R r >，圆心距为d ，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含几何特征 d R r >+d R r =+R r d R r −<<+d R r =−d R r <−代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4321【直线与圆常用结论直线与圆常用结论】】一、直线1、点关于点对称点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点11()，P x y 关于点00()，Q x y 的对称点为22()，′P x y ，则根据中点坐标公式，有12012022+=+ = x x x y y y 可得对称点22()，′P x y 的坐标为0101(22)，−−x x y y 2、点关于直线对称点11()，P x y 关于直线:0++=l Ax By C 对称的点为22()，′P x y ，连接′PP ，交l 于M 点，则l 垂直平分′PP ，所以′⊥PP l ，且M 为′PP 中点，又因为M 在直线l 上，故可得12121022′⋅=− ++++= l PP k k x x y y AB C ，解出22()，x y 即可．3、直线关于点对称法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 4、直线关于直线对称求直线1:0++=l ax by c ，关于直线2:0++=l dx ey f （两直线不平行）的对称直线3l 第一步：联立12，l l 算出交点00()，P x y第二步：在1l 上任找一点（非交点）11()，Q x y ，利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点22()，′Q x y 第三步：利用两点式写出3l 方程 5、常见的一些特殊的对称点()，x y 关于x 轴的对称点为()，−x y ，关于y 轴的对称点为()，−x y ．点()，x y 关于直线=y x 的对称点为()，y x ，关于直线=−y x 的对称点为()，−−y x ． 点()，x y 关于直线=x a 的对称点为(2)，−a x y ，关于直线=y b 的对称点为(2)，−x b y ． 点()，x y 关于点()，a b 的对称点为(22)，−−a x b y ．点()，x y 关于直线+=x y k 的对称点为()，−−k y k x ，关于直线−x y =k 的对称点为()，+−k y x k ． 6、过定点直线系过已知点00()，P x y 的直线系方程00()−=−y y k x x （k 为参数）． 7、斜率为定值直线系斜率为k 的直线系方程=+y kx b （b 是参数）． 8、平行直线系与已知直线0++=Ax By C 平行的直线系方程0++=Ax By λ（λ为参数）． 9、垂直直线系与已知直线0++=Ax By C 垂直的直线系方程0−+=Bx Ay λ（λ为参数）． 10、过两直线交点的直线系过直线1111:0++=l A x B y C 与2222:0++=l A x B y C 的交点的直线系方程：111222()0+++++=A x B y C A x B y C λ（λ为参数）．二、圆1、圆的参数方程①222(0)+=>x y r r 的参数方程为cos sin = =x r y r θθ（θ为参数）；②222()()(0)−+−=>x a y b r r 的参数方程为cos sin =+ =+x a r y b r θθ（θ为参数）．注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为(cos ,sin )++a r b r θθ（θ为参数，,（）a b 为圆心，r 为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值． 2、关于圆的切线的几个重要结论（1）过圆222x y r +=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为200x x y y r +=． （2）过圆222()()x a y b r −+−=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为200()()()()x a x a y b y b r −−+−−=（3）过圆220x y D x E y F ++++=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为0000022x x y y x x y y D E F ++++⋅+⋅+= （4）求过圆222x y r +=外一点00(,)P x y 的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条；②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为00()y y k x x −=−，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于k 的方程，求出k 值．若求出的k 值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的k 值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．一、单选题1．（2024·江西新余·二模）已知直线0x ay −=交圆C：2220x y y +−−=于M ，N 两点，则“MCN △为正三角形”是“0a =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2024·陕西西安·三模）若过点0,1P 可作圆22240x y x y a +−−+=的两条切线，则a 的取值范围是（ ） A ．()3,+∞B ．()1,3−C ．()3,5D ．()5,+∞【答案答案】】C【分析分析】】根据点在圆外即可求解.【详解详解】】圆22240x y x y a +−−+=，即圆()()22125x y a −+−=−，则50a −>，解得5a <．的距离的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．（2024·四川成都·三模）已知直线1:10l x ay −+= 与:11C x a y −+−= 相交于 A B ， 两点，若ABC 是直角三角形，则实数 a 的值为（ ）A ．1 或 1−B 或C ．17− 或 1−D ．17− 或5．（2024·湖南邵阳·三模）已知直线l ：1x y +=，过直线l 上的任意一点P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，则APB ∠的最大值为（ ） A ．3π4B ．2π3C ．π2D ．π6当OP 最小时最小时，，则sin APO ∠又因为OP 的最小值即为圆心此时2sin ,2APO APO ∠=∠故选故选：：C ． 6．（2024·重庆·二模）已知圆:O 若92PA PB ⋅= ，则OP =（ ） A B ．3C ．设,APO BPO OP α∠=∠=则23sin ,cos x xxαα==cos cos212sin APB ∠α==−3,x y P +=是圆O 外一点，过点P 作圆O 的两条切线7．（2024·北京·三模）已知圆()2:11C x y +−=和两点()()(),0,,00A t B t t −>，若圆C 上存在点P ，使得0PA PB ⋅=，则t 的取值范围为（ ）A ．(]0,1B ．[]1,3C ．[]2,3D ．[]3,4故选故选：：B A ．()2,6B ．()3,5C ．()()2,35,6∪D ．()()2,36,+∞∪9．（2024·北京·三模）已知直线，圆:16O x y +=，下列说法错误．．的是（）A ．对任意实数a ，直线l 与圆O 有两个不同的公共点；B ．当且仅当12a =−时，直线l 被圆O 所截弦长为C ．对任意实数a ，圆O 不关于直线l 对称；D ．存在实数a ，使得直线l 与圆O 相切．10．（2024·江西鹰潭·三模）已知m ∈R ，直线1:20l mx y m ++=与2:40l x my m −+=的交点P 在圆C ：()()()222340x y r r −+−=>上，则r 的最大值是（ ）A ．．．．【答案答案】】D【分析分析】】根据两直线方程可知两直线分别过定点且垂直根据两直线方程可知两直线分别过定点且垂直，，可求得P 点轨迹方程点轨迹方程，，再由圆与圆的位置关系找出圆心距与两圆半径之间的关系可得结果.二、多选题11．（2024·湖南长沙·三模）已知圆 ()22:24C x y ++=，直线 ()():1210l m x y m m ++−+=∈R ，则（ ）A ．直线 l 恒过定点 ()1,1−B ．当0m =时，圆C 上恰有三个点到直线l 的距离等于 1 C ．直线l 与圆C 可能相切D ．若圆C 与圆 22280x y x y a +−++=恰有三条公切线，则8a =12．（2024·山西临汾·三模）已知,E F 是以为半径的圆上任意两点，且满足，P是EF 的中点，若存在关于()3,0对称的,A B 两点，满足0PA PB ⋅=，则线段AB 长度的可能值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．613．（2024·河南郑州·三模）已知直线:10l ax by ++=（,a b 不同时为0），圆22:20C x y x +−=，则（ ）A ．当221b a −=时，直线l 与圆C 相切B ．当2a b +=−时，直线l 与圆C ．当1,1a b ==−时，与圆C 外切D ．当1,1a b ==−时，直线l 与坐标C 不可能相交外切且与直线l 相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线与坐标轴相交于,A B 两点，则圆C 上存在点P 抛物线满足0PA PB ⋅=14．（2024·山东青岛·三模）已知动点M N ， 分别在圆()()221:121C x y −+−= 和 ()()222:343C x y −+−=上，动点P 在 x 轴上，则（ ）A ．圆2C 的半径为3B ．圆1C 和圆2C 相离C ．PM PN +的最小值为D．过点P 做圆1C15．（2024·浙江温州·二模）已知圆1与圆2相交于122C AB C AB S S =△△，则实数a 的值可以是（ ）A ．10B ．2C ．223D ．14316．（2024·浙江绍兴·三模）已知M ，N 为圆224x y +=上的两个动点，点1,1P −，且PM PN ⊥，则（）A ．max2PM =B ．maxMN=C ．PMN 外接圆圆心的轨迹方程为22113222x y++−=D ．PMN 重心的轨迹方程为22551666x y++−=对于C 中，设PMN 的外接圆的圆心则有22(1)(1)4(x y ++−=−即22113()()222x y ++−=，对于D 中，设PMN 的重心为点由C 项知PMN 的外接圆的圆心点三、填空题17．（2024·广东汕头·三模）已知圆（i ）则圆C 的标准方程为；（ii ）若直线AB 关于y a =对称的直线知圆C 经过()2,0A ，()0,2B ，()2,4C 三点， 的直线与圆C 有公共点，则a 的取值范围是.18．（2024·天津和平·三模）已知圆C 以点1,1为圆心，且与直线相切，则满足以上条件的圆C 的半径最大时，圆C 的标准方程为．19．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）点1,P a −关于直线0x y −=的对称点在圆22(2)(4)13x y −+−=内，则实数a 的取值范围是．因为(),1Q a −在圆22(2)(4)13x y −+−=的内部的内部，，所以22(2)(14)13a −−+−<，解得40a -<<，即实数a 的取值范围是()4,0−． 故答案为故答案为：：()4,0−．20．（2024·湖南·二模）已知直线l 是圆22:1O x y +=的切线，点()2,1A −和点()0,3B 到l 的距离相等，则直线l 的方程可以是.（写出一个满足条件的即可）。
高三总复习直线与圆的方程知识点总结及典型例题
直线与圆的方程一、直线的方程 1、倾斜角：，范围0≤α＜π，x l //轴或与x 轴重合时，α=00。
2、斜率： k=tan α α与κ的关系：α=0⇔κ=0已知L 上两点P 1（x 1,y 1） 0＜α＜02>⇔k πP 2（x 2,y 2） α=κπ⇔2不存在`⇒k=1212x x y y -- 022<⇔<<κππ当1x =2x 时，α=900，κ不存在。
当0≥κ时，α=arctank ，κ＜0时，α=π+arctank 3、截距（略）曲线过原点⇔横纵截距都为0。
几种特殊位置的直线 ①x 轴：y=0 ②y 轴：x=0 ③平行于x 轴：y=b!④平行于y 轴：x=a ⑤过原点：y=kx两个重要结论：①平面内任何一条直线的方程都是关于x 、y 的二元一次方程。
②任何一个关于x 、y 的二元一次方程都表示一条直线。
5、直线系：（1）共点直线系方程：p 0（x 0,y 0）为定值，k 为参数y-y 0=k （x-x 0） '特别：y=kx+b ，表示过（0、b ）的直线系（不含y 轴）（2）平行直线系：①y=kx+b ，k 为定值，b 为参数。
②AX+BY+入=0表示与Ax+By+C=0 平行的直线系 ③BX-AY+入=0表示与AX+BY+C 垂直的直线系（3）过L 1,L 2交点的直线系A 1x+B 1y+C 1+入（A 2X+B 2Y+C 2）=0（不含L2） 6、三点共线的判定：①AC BC AB =+，②K AB =K BC ，③写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。
二、两直线的位置关系（说明：当直线平行于坐标轴时，要单独考虑） 2、L 1 到L 2的角为0，则12121tan k k k k •+-=θ（121-≠k k ）3、夹角：12121tan kk k k +-=θ4、点到直线距离：2200BA c By Ax d +++=（已知点（p 0(x 0,y 0)，L ：AX+BY+C=0）①两行平线间距离：L 1=AX+BY+C 1=0 L 2：AX+BY+C 2=0⇒2221B A c c d +-=②与AX+BY+C=0平行且距离为d 的直线方程为Ax+By+C ±022=+B A d③与AX+BY+C 1=0和AX+BY+C 2=0平行且距离相等的直线方程是0221=+++C C BY AX 5、对称：（1）点关于点对称：p(x 1,y 1)关于M （x 0,y 0）的对称)2,2(1010Y Y X X P --'：（2）点关于线的对称：设p(a 、b)一般方法：如图：(思路1)设P 点关于L 的对称点为P 0(x 0,y 0) 则Kpp 0﹡K L =－1P , P 0中点满足L 方程:解出P 0(x 0,y 0)（思路2）写出过P ⊥L 的垂线方程，先求垂足，然后用中点坐标公式求出P 0(x 0,y 0)的坐标。
2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块14-直线与圆
(一) 直线与直线的方程 1、直线的倾斜角与斜率锐角直角钝角零角▪直线的倾斜角图形○ 温馨提示1. 直线都存在唯一的倾斜角, 但不一定存在斜率, 倾斜角为90∘的直线没有斜率.2. 直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量, 斜率侧重于代数角度, 倾斜角侧重于几何角度.3. 由直线的斜率k的范围求倾斜角α的范围时,要注意α的取值范围,即0∘≤α< 90∘或90∘<α<180∘ ,此时k=tanα的图象是不连续的.模块十四：直线与圆的方程1 直线的倾斜角 强调“两个方向”: x 轴的正向，直线向上的 1. 直线的倾斜角的定义 方向; 直线相对于 x 轴正向的倾斜程度.当直线 l 与 x 轴相交时,我们以 x 轴为基准, x 轴正向与直线 l 向上的方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角. 当直线 l 和 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0∘ . 直线的倾斜角 α 的取值 范围为 0∘≤α<180∘ . 2. 直线的倾斜角的意义1) 直线的倾斜角体现了直线相对于 x 轴正向的倾斜程度.2) 在平面直角坐标系中, 每一条直线都有一 个确定的倾斜角. 3) 如图所示, 倾斜角相同, 未必表示同一条直线. 2 直线的斜率 一条直线有唯一的倾斜角, 但一个倾斜 1.直线的斜率 角可以对应无数条直线.倾斜角不是 90∘ 的直线,它的倾斜角 α 的正切值叫做这条直 线的斜率. 斜率通常用 k 表示,即 k =tanα,0∘≤α<180∘ ,且 α 900. 当倾斜角 α=90∘ 时，直线的斜率不存在2. 直线的斜率公式 P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)k =(y 2−y 1x 2−x 1) 或 k =(y 1−y 2x 1−x 2) (x 1≠x 2) 的直线的斜率公式: 3 斜率与倾斜角的关系注: “/”表示“逐渐增大”. ○ 直线的方向向量图示P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 都是直线的方 向向量.若直线 l 1,l 2 重合，仍然有 k 1 =‰，这是利用斜率证明三 点共线的方法当 l 1,l 2 的斜率都不存在时, 两直线也平行。
高中数学直线和圆知识点总结+习题
直线和圆一．直线1．斜率与倾斜角：tan k θ=，[0,)θπ∈（1）[0,2πθ∈时，0k ≥；（2）2πθ=时，k 不存在；（3）(,)2πθπ∈时，0k <（4）当倾斜角从0︒增加到90︒时，斜率从0增加到+∞；当倾斜角从90︒增加到180︒时，斜率从-∞增加到02．直线方程（1）点斜式：)(00x x k y y -=-（2）斜截式：y kx b =+（3）两点式：121121x x x x y y y y --=--（4）截距式：1x y a b +=（5）一般式：0C =++By Ax 3．距离公式（1）点111(,)P x y ，222(,)P x y 之间的距离：12PP =（2）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离：d =（3）平行线间的距离：10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离：d =4．位置关系（1）截距式：y kx b =+形式重合：1212k k b b ==相交：12k k ≠平行：1212 k k b b =≠垂直：121k k ⋅=-（2）一般式：0Ax By C ++=形式重合：1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B =平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠垂直：12120A AB B +=相交：1221A B A B ≠5．直线系1112220A x B y C A x B y C λ++++=＋（）表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所有直线方程（不含2l ）二．圆1．圆的方程（1）标准形式：222()()x a y b R -+-=（0R >）（2）一般式：220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）（3）参数方程：00cos sin x x r y y r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ是参数）【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决.（4）以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--=2．位置关系（1）点00(,)P x y 和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系：当22200()()x a y b R -+-<时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=内部当22200()()x a y b R -+-=时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=上当22200()()x a y b R -+->时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=外（2）直线0Ax By C ++=和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系：判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++=的距离d =R 的大小关系当d R <时，直线和圆相交（有两个交点）；当d R =时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）；当d R <时，直线和圆相离（无交点）；判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系．(2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．3．圆和圆的位置关系判断圆心距12d O O =与两圆半径之和12R R +，半径之差12R R -（12R R >）的大小关系当12d R R >+时，两圆相离，有4条公切线；当12d R R =+时，两圆外切，有3条公切线；当1212R R d R R -<<+时，两圆相交，有2条公切线；当12d R R =-时，两圆内切，有1条公切线；当120d R R ≤<-时，两圆内含，没有公切线；4．当两圆相交时，两圆相交直线方程等于两圆方程相减5．弦长公式：l =例题：例1若圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点，则实数k 的取值范围是________．例2已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是____________．例3设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________．例4若a ，b ，c 是直角三角形ABC 三边的长(c 为斜边)，则圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为________．例5已知⊙M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点．(1)若|AB |＝423，求|MQ |及直线MQ 的方程；(2)求证：直线AB 恒过定点．例6过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．例7圆x 2－2x ＋y 2－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为________．例8圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为____________________．例9已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________________．例10(1)与曲线C ：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0相内切，同时又与直线l ：y ＝2－x 相切的半径最小的圆的半径是________．(2)已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2＝1则2x －y 的最大值为________，最小值为________．例11已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________．例12已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________．例13平面直角坐标系xoy 中，直线10x y -+=截以原点O （1）求圆O 的方程；（2）若直线l 与圆O 切于第一象限，且与坐标轴交于D ，E ，当DE 长最小时，求直线l 的方程；（3）设M ，P 是圆O 上任意两点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线MP 、NP 分别交于x 轴于点（m ，０）和（n ，０），问mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．例14圆x 2+y 2=8内一点P （－1，2），过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A 、B 两点.（1）当α=43π时,求AB 的长；（2）当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程.例15已知半径为5的动圆C 的圆心在直线l :x －y +10=0上.(1)若动圆C 过点(－5,0),求圆C 的方程;(2)是否存在正实数r ,使得动圆C 中满足与圆O :x 2+y 2=r 2相外切的圆有且仅有一个，若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.。
高考数学复习考点题型专题讲解20 直线与圆
高考数学复习考点题型专题讲解专题20 直线与圆高考定位考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.1.(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( )A.1B. 2C.3D.2答案 B解析记点A(0，－1)，直线l：y＝k(x＋1)，由l恒过定点B(－1，0)，当AB⊥l时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，最大值为 2.故选B.2.(2022·北京卷)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝( )A.12B.－12C.1D.－1答案 A解析依题意可知圆心坐标为(a，0)，又直线2x＋y－1＝0是圆的一条对称轴，所以2a＋0－1＝0，所以a＝12，故选A.3.(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则( )A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当∠PBA最小时，|PB|＝3 2D.当∠PBA最大时，|PB|＝3 2答案ACD解析设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，半径为4，由题意知直线AB的方程为x4＋y2＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝|5＋2×5－4|5＝115>4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋115，又4＋115<5＋1255＝10，故A正确；易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝115－4，又115－4<1255－4＝1，故B不正确；过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA 最小时，点P与N重合，|PB|＝|MB|2－|MN|2＝52＋（5－2）2－42＝32；当∠PBA 最大时，点P 与Q 重合，|PB |＝32，故C ，D 都正确.综上，选ACD. 4.(2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为________.答案 (x －2)2＋(y －3)2＝13或(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x －43)2＋(y －73)2＝659或(x －85)2＋(y －1)2＝16925解析 依题意设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F ＞0. 若过(0，0)，(4，0)，(－1，1)，则⎩⎨⎧F ＝0，16＋4D ＋F ＝0，1＋1－D ＋E ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧F ＝0，D ＝－4，E ＝－6，满足D 2＋E 2－4F ＞0，所以圆的方程为x 2＋y 2－4x －6y ＝0， 即(x －2)2＋(y －3)2＝13； 若过(0，0)，(4，0)，(4，2)，则⎩⎨⎧F ＝0，16＋4D ＋F ＝0，16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0， 解得⎩⎨⎧F ＝0，D ＝－4，E ＝－2，满足D 2＋E 2－4F ＞0，所以圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y ＝0， 即(x －2)2＋(y －1)2＝5；若过(0，0)，(－1，1)，(4，2)，则⎩⎨⎧F ＝0，1＋1－D ＋E ＋F ＝0，16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，D ＝－83，E ＝－143，满足D 2＋E 2－4F ＞0， 所以圆的方程为x 2＋y 2－83x －143y ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －732＝659；若过(－1，1)，(4，0)，(4，2)，则⎩⎨⎧1＋1－D ＋E ＋F ＝0，16＋4D ＋F ＝0，16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝－165，D ＝－165，E ＝－2，满足D 2＋E 2－4F ＞0， 所以圆的方程为x 2＋y 2－165x －2y －165＝0， 即⎝⎛⎭⎪⎫x －852＋(y －1)2＝16925.5.(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x 2＋y 2＝1和(x －3)2＋(y －4)2＝16都相切的一条直线的方程________.答案 x ＝－1或7x －24y －25＝0或3x ＋4y －5＝0(答案不唯一，只需写出上述三个方程中的一个即可)解析 如图，因为圆x 2＋y 2＝1的圆心为O (0，0)，半径r 1＝1，圆(x －3)2＋(y －4)2＝16的圆心为A (3，4)，半径r 2＝4，所以|OA |＝5，r 1＋r 2＝5，所以|OA |＝r 1＋r 2，所以两圆外切，公切线有三种情况： ①易知公切线l 1的方程为x ＝－1.②另一条公切线l 2与公切线l 1关于过两圆圆心的直线l 对称. 易知过两圆圆心的直线l 的方程为y ＝43x ，由⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝43x 得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－43，由对称性可知公切线l 2过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－43.设公切线l 2的方程为y ＋43＝k (x ＋1)，因为点O (0，0)到l 2的距离为1， 所以1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪k －43k 2＋1，解得k ＝724，所以公切线l 2的方程为y ＋43＝724(x ＋1)，即7x －24y －25＝0.③还有一条公切线l 3与直线l ：y ＝43x 垂直，设公切线l 3的方程为y ＝－34x ＋t ，易知t >0，因为点O (0，0)到l 3的距离为1， 所以1＝|t |⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＋（－1）2，解得t ＝54或t ＝－54(舍去)，所以公切线l 3的方程为y ＝－34x ＋54，即3x ＋4y －5＝0.综上，所求直线方程为x＝－1或7x －24y －25＝0或3x ＋4y －5＝0.热点一 直线的方程及应用1.已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 1，B 1不同时为零)，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2，B 2不同时为零)，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且A 1C 2－A 2C 1≠0；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.2.两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2(A 2＋B 2≠0). 3.点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2(A 2＋B 2≠0). 例1 (1)已知直线3x ＋2y －3＝0与直线6x ＋my ＋7＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A.4B.132C.21313D.71326(2)已知直线l 1：mx ＋y －1＝0，l 2：(2m ＋3)x ＋my －1＝0，m ∈R ，则“m ＝－2”是“l 1⊥l 2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案(1)B (2)A解析(1)由直线3x＋2y－3＝0与6x＋my＋7＝0互相平行，得m＝4，所以两直线方程分别为3x＋2y－3＝0与3x＋2y＋72＝0，所以它们之间的距离是⎪⎪⎪⎪⎪⎪72－（－3）32＋22＝132.故选B.(2)若l1⊥l2，则m(2m＋3)＋m＝0，解得m＝0或m＝－2，所以“m＝－2”是“l1⊥l2”的充分不必要条件.故选A.易错提醒 1.求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；求解两条直线平行问题时，要注意排除两条直线重合的情况.2.求两平行直线间的距离时，需注意直线方程中x，y对应的系数相等.训练1 (1)已知直线l1：x＋(2a－1)y＋2a－3＝0，l2：ax＋3y＋a2＋4＝0，则“l1∥l2”是“a＝32”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(多选)(2022·南通模拟)已知直线l过点(3，4)，点A(－2，2)，B(4，－2)到l的距离相等，则l的方程可能是( )A.x－2y＋2＝0B.2x－y－2＝0C.2x＋3y－18＝0D.2x－3y＋6＝0答案 (1)C (2)BC解析 (1)若l 1∥l 2，则a (2a －1)＝3， 且a 2＋4≠a (2a －3)， 解得a ＝32，所以充分性成立；当a ＝32时，l 1：x ＋2y ＝0，l 2：x ＋2y ＋256＝0，显然l 1∥l 2，所以必要性成立. 故“l 1∥l 2”是“a ＝32”的充要条件.(2)A ，B 在直线l 同侧时，k l ＝k AB ＝－2－24＋2＝－23，∴l ：y ＝－23(x －3)＋4，即2x ＋3y －18＝0，A ，B 在直线l 异侧时，l 过AB 中点M (1，0)，∴k l ＝0－41－3＝2，∴l ：y ＝2(x －3)＋4，即2x －y －2＝0，故选：BC.热点二 圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r .(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心为⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径为r ＝D 2＋E 2－4F2.例2 (1)(多选)(2022·潍坊调研)设圆A ：x 2＋y 2－2x －3＝0，则下列说法正确的是( ) A.圆A 的半径为2B.圆A 截y 轴所得的弦长为2 3C.圆A 上的点到直线3x －4y ＋12＝0的最小距离为1D.圆A 与圆B ：x 2＋y 2－8x －8y ＋23＝0相离(2)(2022·全国甲卷)设点M 在直线2x ＋y －1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M 上，则⊙M 的方程为________.答案 (1)ABC (2)(x －1)2＋(y ＋1)2＝5解析 (1)把圆A 的方程x 2＋y 2－2x －3＝0化成标准方程为(x －1)2＋y 2＝4， 所以圆A 的圆心坐标为(1，0)，半径为2，A 正确； 圆A 截y 轴所得的弦长|CD |＝2×4－1＝23，B 正确； 圆心(1，0)到直线3x －4y ＋12＝0的距离为3，故圆A 上的点到直线3x －4y ＋12＝0的最小距离为3－2＝1，C 正确；圆B ：x 2＋y 2－8x －8y ＋23＝0的圆心为(4，4)，半径为3，根据（4－1）2＋42＝5可知，圆A 与圆B 外切，D 错误.故选ABC. (2)法一 设⊙M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎨⎧2a ＋b －1＝0，（3－a ）2＋b 2＝r 2，a 2＋（1－b ）2＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1，r 2＝5，∴⊙M 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝5.法二 设⊙M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， 则M (－D 2，－E2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2·（－D 2）＋（－E2）－1＝0，9＋3D ＋F ＝0，1＋E ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧D ＝－2，E ＝2，F ＝－3，∴⊙M 的方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝5. 规律方法 解决圆的方程问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.训练2 (1)已知圆C 与x 轴的正半轴相切于点A ，圆心在直线y ＝2x 上，若点A 在直线x －y －4＝0的左上方且到该直线的距离等于2，则圆C 的标准方程为( ) A.(x －2)2＋(y ＋4)2＝4B.(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝16 C.(x －2)2＋(y －4)2＝4D.(x －2)2＋(y －4)2＝16(2)已知直线l 过点A (a ，0)且斜率为1，若圆x 2＋y 2＝4上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为( )A.32B.±3 2C.±2D.± 2 答案 (1)D (2)D解析 (1)∵圆C 的圆心在直线y ＝2x 上， ∴可设C (a ，2a )，又圆C 与x 轴的正半轴相切于点A ， ∴a >0，且圆C 的半径r ＝2a ，A (a ，0). ∵点A 到直线x －y －4＝0的距离d ＝2， ∴d ＝|a －0－4|1＋1＝2，解得a ＝6或a ＝2， ∴A (2，0)或A (6，0)，又点A 在直线x －y －4＝0的左上方， ∴A (2，0)，∴C (2，4)，r ＝4，∴圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝16.故选D. (2)因为直线l 过点A (a ，0)且斜率为1， 所以其方程为y ＝x －a ， 即x －y －a ＝0.因为圆x 2＋y 2＝4上恰有3个点到l 的距离为1， 所以圆心到直线的距离为1， 即|－a |2＝1，解得a ＝± 2.故选D. 热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离. 判断方法：(1)点线距离法(几何法).(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，方程组⎩⎨⎧Ax ＋By ＋C ＝0，（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.考向1 直线与圆的位置关系例3 (1)(2022·北京石景山区二模)已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝9，过点D (1，2)的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则弦AB 长度的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4(2)(2022·新高考Ⅱ卷)设点A (－2，3)，B (0，a )，若直线AB 关于y ＝a 对称的直线与圆(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝1有公共点，则a 的取值范围是________. 答案 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，32解析 (1)根据题意圆C ：(x －3)2＋y 2＝9，圆心C (3，0)，半径为3，点D (1，2)在圆C 的内部.当直线DC 垂直于直线l 时，即点D 为AB 的中点时，弦AB 最短. ∵|DC |＝（3－1）2＋（0－2）2＝22， ∴|AB |min ＝2r 2－|DC |2＝29－8＝2. 故选B.(2)法一 由题意知点A (－2，3)关于直线y ＝a 的对称点为A ′(－2，2a －3)， 所以k A ′B ＝3－a 2，所以直线A ′B 的方程为y ＝3－a2x ＋a ，即(3－a )x －2y ＋2a ＝0. 由题意知直线A ′B 与圆(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝1有公共点， 易知圆心为(－3，－2)，半径为1， 所以|－3（3－a ）＋（－2）×（－2）＋2a |（3－a ）2＋（－2）2≤1，整理得6a 2－11a ＋3≤0，解得13≤a ≤32，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，32.法二 易知(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝1关于y 轴对称的圆的方程为(x －3)2＋(y ＋2)2＝1，由题意知该对称圆与直线AB 有公共点.直线AB 的方程为y ＝a －32x ＋a ，即(a －3)x －2y ＋2a ＝0，又对称圆的圆心为(3，－2)，半径为1， 所以|3（a －3）＋（－2）×（－2）＋2a |（a －3）2＋（－2）2≤1， 整理得6a 2－11a ＋3≤0，解得13≤a ≤32，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，32.法三 易知(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝1关于y 轴对称的圆的方程为(x －3)2＋(y ＋2)2＝1， 由题意知该对称圆与直线AB 有公共点. 设直线AB 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋3＋2k ＝0，因为对称圆的圆心为(3，－2)，半径为1， 所以|5k ＋5|k 2＋（－1）2≤1，解得－43≤k ≤－34，又k ＝a －32，所以－43≤a －32≤－34， 解得13≤a ≤32，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，32.考向2 圆与圆的位置关系例4 (1)(2022·台州调研)已知圆O 1：x 2－2ax ＋y 2＋a 2－1＝0与圆O 2：x 2＋y 2＝4有且仅有两条公共切线，则正数a 的取值范围为( ) A.(0，1) B.(0，3) C.(1，3) D.(3，＋∞)(2)(多选)已知圆C 1：x 2＋y 2－10x －10y ＝0和圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋2y －40＝0，则( )A.两圆相交B.公共弦长为410C.两圆相离D.公共弦长为210 答案 (1)C (2)AB解析 (1)由题意知圆O 1与圆O 2相交，圆O 1：x 2－2ax ＋y 2＋a 2－1＝0的圆心(a ，0)，半径为1.所以1<a 2<3，又a >0，解得a ∈(1，3)， 故选C.(2)由题意知，圆C 1的标准方程为(x －5)2＋(y －5)2＝50， ∴圆心为C 1(5，5)，半径为r 1＝52， 圆C 2的标准方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝50， ∴圆心为C 2(3，－1)，半径为r 2＝52， ∴两圆的圆心距d ＝（5－3）2＋[5－（－1）]2＝210， ∴|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2，∴两圆相交，故选项A 正确，选项C 错误； 设两圆的公共弦长为L ， 则⎝ ⎛⎭⎪⎫L 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫d 22＝r 2(r ＝r 1＝r 2)， ∴L ＝410，故选项B 正确，选项D 错误.故选AB.规律方法 1.与圆的弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.2.两圆相交公共弦的方程可通过两圆方程相减求得，进而在一个圆内，利用垂径定理求公共弦长.训练3(多选)(2022·武汉模拟)已知直线l：kx－y－k＋1＝0，圆C的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝16，则下列选项正确的是( )A.直线l与圆一定相交B.当k＝0时，直线l与圆C交于两点M，N，点E是圆C上的动点，则△MNE面积的最大值为37C.当l与圆有两个交点M，N时，|MN|的最小值为2 6D.若圆C与坐标轴分别交于A，B，C，D四个点，则四边形ABCD的面积为48答案AC解析∵直线l：kx－y－k＋1＝0过定点P(1，1).又(1－2)2＋(1＋2)2＝10<16，∴点P在圆内，因此直线与圆一定相交，故A正确；当k＝0时，直线y＝1，代入圆的方程得(x－2)2＋(1＋2)2＝16，解得x＝2±7，因此|MN|＝27，∵圆心为(2，－2)，圆半径为r＝4，∴圆心到直线l的距离为d＝3，因此E到直线l的距离的最大值为h＝4＋3＝7，∴△MNE面积最大值为S＝12×7×27＝77，故B错误；当l与圆有两个交点M，N时，|MN|最小，PC⊥l，|PC|＝（1－2）2＋（1＋2）2＝10，因此|MN |min ＝242－（10）2＝26，故C 正确；在圆方程(x －2)2＋(y ＋2)2＝16中分别令x ＝0和y ＝0可求得圆与坐标轴的交点坐标为A (2－23，0)，B (2＋23，0)，C (0，－2＋23)，D (0，－2－23)， ∴|AB |＝43，|CD |＝43，四边形ABCD 的面积为S ＝12×43×43＝24，故D 错误.故选AC. 热点四 隐圆问题在解决某些解析几何问题时，题设条件看似与圆毫无关系，但通过对题目条件的分析、转化后，会发现此问题与圆有关，进而利用圆的性质解题，一般我们称之为隐圆问题. 例5(2022·济南模拟)已知直线kx －y ＋2k ＝0与直线x ＋ky －2＝0相交于点P ，点A (4，0)，O 为坐标原点，则tan∠OAP 的最大值为( )A.2－3B.33 C.1 D. 3答案 B解析 直线kx －y ＋2k ＝0恒过定点M (－2，0)，直线x ＋ky －2＝0恒过定点N (2，0)， 又易知两直线垂直，故P 点轨迹是以(0，0)为圆心，2为半径的圆，除去与x 轴的交点， 于是得x 2＋y 2＝4(x ≠±2)，如图，观察图形可知，射线AP 绕点A 旋转∠OAP ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，当旋转到与圆O ：x 2＋y 2＝4相切时，∠OAP 最大，因为|OA|＝4，AP′为切线，点P′为切点，|OP′|＝2，∠OP′A＝π2，则∠OAP′＝π6，所以∠OAP最大值为π6，所以(tan∠OAP)max＝tan π6＝33.规律方法确定隐圆的几种方法：(1)借助圆的定义；(2)借助距离的平方和为常数；(3)借助平面向量的数量积为定值；(4)借助距离比值为常数(PAPB＝λ，λ>0且λ≠1，动点P的轨迹为阿波罗尼斯圆).训练4 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0，2)，若圆C上存在点M，满足|MA|2＋|MO|2＝10，则实数a的取值范围是________.答案[0，3]解析设M(x，y)，由|MA|2＋|MO|2＝10可得x2＋(y－2)2＋x2＋y2＝10，即x2＋(y－1)2＝4，则点M在圆x2＋(y－1)2＝4上，由题目条件可知点M在圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1上，所以两圆相交或相切，则2－1≤（a－0）2＋（a－2－1）2≤1＋2，解得0≤a≤3.一、基本技能练1.过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )A.x－y＋1＝0B.x＋y－3＝0C.2x－y＝0或x＋y－3＝0D.2x－y＝0或x－y＋1＝0答案 D解析当直线过原点时，满足题意，方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设方程为xa＋y－a＝1，∵直线过(1，2)，∴1a－2a＝1，∴a＝－1，∴方程为x－y＋1＝0，故选D.2.已知圆C：x2＋y2＝r2(r>0)，直线l：x＋3y－2＝0，则“r>3”是“直线l与圆C相交”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析由题意知圆心(0，0)到直线x＋3y－2＝0的距离d＝|－2|1＋3＝1，当r>3时，直线与圆相交，当直线与圆相交，则d＝1<r，故“r>3”是“直线l与圆C相交”的充分不必要条件.故选A.3.(2022·厦门模拟)已知O为坐标原点，直线l：y＝kx＋(2－2k)上存在一点P，使得|OP|＝2，则k的取值范围为( )A.[3－2，3＋2]B.(－∞，2－3]∪[2＋3，＋∞)C.[2－3，2＋3]D.(－∞，3－2]∪[3＋2，＋∞)解析 点O (0，0)到直线l ：y ＝kx ＋(2－2k )的距离d ＝|2－2k |k 2＋1. 由题意得坐标原点到直线l 距离d ≤|OP |， 所以|2－2k |k 2＋1≤2， 解得2－3≤k ≤2＋3，故k 的取值范围为[2－3，2＋3]，故选C.4.(2022·北京海淀区一模)已知直线l ：ax ＋by ＝1是圆x 2＋y 2－2x －2y ＝0的一条对称轴，则ab 的最大值为( )A.14B.12 C.1 D. 2 答案 A解析 圆x 2＋y 2－2x －2y ＝0的圆心为(1，1)，直线l ：ax ＋by ＝1是圆x 2＋y 2－2x －2y ＝0的一条对称轴. 可得a ＋b ＝1， 则ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14， 当且仅当a ＝b ＝12时，取等号.所以ab 的最大值为14，故选A.5.(2022·西安模拟)过点P (5，1)作圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的割线l 交圆C 于A ，B 两点，点C 到直线l 的距离为1，则PA →·PB →的值是( ) A.32 B.33 C.6 D.不确定解析 由题意，可得向量PA →与PB →共线且方向相同，圆C 的圆心为(－1，2)，半径为2，如图所示，其中PD 为切线，根据切割线定理，则PA →·PB →＝|PA →|·|PB →|＝|PD →|2＝|PC →|2－|CD →|2＝62＋12－22＝33.故选B.6.(2022·广州二模)已知直线x ＋y ＋1＝0与x ＋2y ＋1＝0相交于点A ，过点A 的直线l 与圆M ：x 2＋y 2＋4x ＝0相交于点B ，C ，且∠BMC ＝120°，则满足条件的直线l 的条数为( )A.0B.1C.2D.3 答案 B解析 由题意得点A (－1，0)，圆M ：x 2＋y 2＋4x ＝0的标准方程为(x ＋2)2＋y 2＝4，圆心(－2，0)，半径r ＝2， 由∠BMC ＝120°，可得圆心M 到直线l 的距离d ＝1，直线l 过点A (－1，0)， 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1， 圆心M 到直线l 的距离d ＝1，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0. 圆心M (－2，0)到直线l 的距离d ＝|－2k －0＋k |k 2＋1＝|－k |k 2＋1＝1，此方程无解.故满足条件的直线l 的条数为1，故选B.7.已知两条直线l 1：2x －3y ＋2＝0，l 2：3x －2y ＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都在变动)与l 1，l 2都相交，并且l 1，l 2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹方程为( )A.(y－1)2－x2＝65B.x2－(y－1)2＝65C.y2－(x＋1)2＝65D.(x＋1)2－y2＝65 答案 D解析设动圆圆心P(x，y)，半径为r，则P到l1的距离d1＝|2x－3y＋2|13，P到l2的距离d2＝|3x－2y＋3|13，因为l1，l2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24.∴2r2－d21＝26，2r2－d22＝24，化简后得r2－d21＝169，r2－d22＝144，相减得d22－d21＝25，将d1，d2代入距离公式后化简可得(x＋1)2－y2＝65，故选D.8.(2022·江门模拟)已知M是圆C：x2＋y2＝1上一个动点，且直线l1：mx－ny－3m＋n ＝0与直线l2：nx＋my－3m－n＝0(m，n∈R，m2＋n2≠0)相交于点P，则|PM|的取值范围是( )A.[3－1，23＋1]B.[2－1，32＋1]C.[2－1，22＋1]D.[2－1，33＋1]答案 B解析依题意，直线l1：m(x－3)－n(y－1)＝0恒过定点A(3，1)，直线l2：n(x－1)＋m(y－3)＝0恒过定点B(1，3)，显然直线l1⊥l2，因此，直线l1与l2交点P的轨迹是以线段AB为直径的圆，其方程为：(x－2)2＋(y－2)2＝2，圆心N(2，2)，半径r2＝2，而圆C 的圆心C (0，0)，半径r 1＝1， 如图：|NC |＝22>r 1＋r 2，所以两圆外离，由圆的几何性质得： |PM |min ＝|NC |－r 1－r 2＝2－1， |PM |max ＝|NC |＋r 1＋r 2＝32＋1，所以|PM |的取值范围是[2－1，32＋1].故选B.9.(多选)已知直线l 1：(a ＋1)x ＋ay ＋2＝0，l 2：ax ＋(1－a )y －1＝0，则( ) A.l 1恒过点(2，－2)B.若l 1∥l 2，则a 2＝12C.若l 1⊥l 2，则a 2＝1D.当0≤a ≤1时，直线l 2不经过第三象限 答案 BD解析 l 1：(a ＋1)x ＋ay ＋2＝0⇔a (x ＋y )＋x ＋2＝0， 令⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2， 即直线恒过点(－2，2)，故A 不正确；若l 1∥l 2，则有(a ＋1)(1－a )＝a 2，解得a 2＝12，经检验满足条件，故B 正确；若l 1⊥l 2，则有a (a ＋1)＋a (1－a )＝0，解得a ＝0，故C 不正确； 若直线l 2恒过点(1，1)且不经过第三象限，则当1－a ≠0时，a a －1<0，解得0<a <1，当a＝1时，直线l2：x＝1，也不过第三象限，当a＝0时，直线l2：y＝1，也不过第三象限，综上可知，当0≤a≤1时，直线l2不经过第三象限，故D正确.10.(多选)(2022·全国名校大联考)如图，O为坐标原点，B为y轴正半轴上一点，矩形OABC为圆M的内接四边形，OB为直径，|OC|＝3|OA|＝3，过直线2x＋y－4＝0上一点P作圆M的两条切线，切点分别为E，F，则下列结论正确的是( )A.圆M的方程为x2＋(y－1)2＝1B.直线AB的斜率为2C.四边形PEMF的最小面积为2D.PA→·PC→的最小值为4 5答案AD解析由题意可得圆M的直径|OB|＝2，线段OB的中点即为圆M的圆心，所以圆M的方程为x2＋(y－1)2＝1，故A正确；易知∠AOB＝π3，从而可得∠xOC＝π3，所以直线OC的斜率为k OC＝tan π3＝3，由AB∥OC可得直线AB的斜率为k AB＝k OC＝3，故B错误；连接PM，可得Rt△PME≌Rt△PMF，所以四边形PEMF的面积为S＝2S Rt△PME＝|ME|·|PE|＝|PE|＝|PM|2－1，当直线PM与直线2x＋y－4＝0垂直时，|PM|最小，即|PM |min ＝|2×0＋1－4|5＝355，所以S min ＝255，故C 错误；因为PA →·PC →＝(PM →＋MA →)·(PM →＋MC →)＝(PM →＋MA →)·(PM →－MA →)＝PM →2－MA →2＝PM →2－1≥95－1＝45，故D 正确.故选AD.11.(2022·辽宁六校联考)已知直线l 1：y ＝(2a 2－1)x －2与直线l 2：y ＝7x ＋a 平行，则a ＝________. 答案 2解析∵两直线平行，∴⎩⎨⎧2a 2－1＝7，a ≠－2，解得a ＝2. 12.过点M (0，－4)作直线与圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0相切于A ，B 两点，则直线AB 的方程为________. 答案x －7y ＋18＝0解析 圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝4，圆心为C (－1，3)，半径为2， 由圆的切线的性质可得MA ⊥AC ， 则|MA |＝|MC |2－22＝（－1－0）2＋（3＋4）2－22＝46，所以，以点M 为圆心、以|MA |为半径的圆M 的方程为x 2＋(y ＋4)2＝46， 将圆M 的方程与圆C 的方程作差并化简可得x －7y ＋18＝0. 因此直线AB 的方程为x －7y ＋18＝0. 二、创新拓展练13.(多选)(2022·青岛质检)已知圆C1：(x－3)2＋(y－1)2＝4，C2：x2＋(y＋3)2＝1，直线l：y＝k(x－1)，点M，N分别在圆C1，C2上.则下列结论正确的有( )A.圆C1，C2没有公共点B.|MN|的取值范围是[1，7]C.过N作圆C1的切线，则切线长的最大值是4 2D.直线l与圆C1，C2都有公共点时，k≥2 3答案AC解析圆C1的圆心C1(3，1)，半径r1＝2，圆C2的圆心C2(0，－3)，半径r2＝1.对于选项A，圆心距d＝（0－3）2＋（－3－1）2＝5>r1＋r2，所以圆C1，C2外离，选项A正确；对于选项B，|MN|的最小值为d－(r1＋r2)＝2，最大值为d＋(r1＋r2)＝8，选项B错误；对于选项C，连接C1C2与圆C2交于点N(外侧交点)，过N作圆C1的切线，切点为P，此时|NP|最长，在Rt△C1PN中，|NP|＝（d＋r2）2－r21＝62－22＝42，选项C正确；对于选项D，直线l方程化为kx－y－k＝0，圆心C1到直线l的距离|2k－1|k2＋1≤2，解得k≥－3 4，圆心C2到直线l的距离|3－k|k2＋1≤1，解得k≥43，所以直线l与圆C1，C2都有公共点时，k≥43，选项D错误.故选AC.14.(多选)(2022·武汉模拟)过点P(1，1)的直线与圆C：(x－2)2＋y2＝9交于A，B两点，线段MN是圆C的一条动弦，且|MN|＝42，则( )A.△ABC面积的最大值为92B.△ABC面积的最大值为14C.|AB|的最小值为27D.|PM→＋PN→|的最小值为22－2 答案BCD解析设圆心C到直线AB的距离为d，由题意得0≤d≤2，|AB|＝29－d2，则S△ABC＝12|AB|·d＝12×29－d2·d＝9d2－d4＝－⎝⎛⎭⎪⎫d2－922＋814，当d2＝2时，(S△ABC)max＝14，故A错误，B正确；由0≤d≤2，|AB|＝29－d2知|AB|min＝29－2＝27，C正确；过圆心C作CE⊥MN于点E，则点E为MN的中点，又|MN|＝42，则|CE|＝9－8＝1，即点E的轨迹为圆(x－2)2＋y2＝1.因为|PM→＋PN→|＝2|PE→|，且|PE→|min＝|PC|－1＝2－1，所以|PM→＋PN→|的最小值为22－2，故D正确.因此应选BCD.15.(多选)(2022·南通调研)P是直线y＝2上的一个动点，过点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，A，B为切点，则( )A.弦长|AB|的最小值为3B.存在点P，使得∠APB＝90°C.直线AB经过一个定点D.线段AB的中点在一个定圆上答案ACD解析 依题意|OP |2＝|AP |2＋|AO |2＝|AP |2＋1，设AB ∩OP ＝C ，则C 为AB 的中点，且OP ⊥AB ，所以|AC |＝|AP |·|AO ||OP |＝|AP ||OP |，所以|AB |＝2|AC |＝2|OP |2－|AO |2|OP |＝21－1|OP |2，sin∠APB 2＝|OA ||OP |＝1|OP |， 又|OP |∈[2，＋∞)，所以sin∠APB 2∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，|AB |∈[3，2)，所以|AB |min ＝3，(∠APB )max＝60°，故A 正确，B 不正确；设P (t ，2)，则|OP |＝t 2＋4，所以以OP 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －t 22＋(y －1)2＝14t 2＋1， 则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －t 22＋(y －1)2－(x 2＋y 2)＝14t 2＋1－1，即tx ＋2y ＝1，则直线AB 的方程为tx ＋2y＝1，所以直线AB 过定点M ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，故C 正确；又OC ⊥MC ，|OM |＝12，所以AB 的中点C 在以OM 为直径的圆上，故D 正确；故选ACD.16.在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝1交x 轴于A ，B 两点，且点A 在点B 的左侧，若直线x ＋3y ＋m ＝0上存在点P ，使得|PA |＝2|PB |，则实数m 的取值范围为________. 答案⎣⎢⎡⎦⎥⎤－133，1解析 由题意得A (－1，0)，B (1，0)，设P (x ，y )， 则由|PA |＝2|PB |，得（x ＋1）2＋y 2＝2（x －1）2＋y 2， 即⎝⎛⎭⎪⎫x －532＋y 2＝169， 因此圆⎝⎛⎭⎪⎫x －532＋y 2＝169与直线x ＋3y ＋m ＝0有交点，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪53＋m 2≤43，解得－133≤m ≤1.故实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－133，1.17.在平面直角坐标系xOy 中，过点A (0，－3)的直线l 与圆C ：x 2＋(y －2)2＝9相交于M ，N 两点，若S △AON ＝65S △ACM ，则直线l 的斜率为________.答案 ±3147解析 由题意得C (0，2)，直线MN 的斜率存在， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线MN 的方程为y ＝kx －3， 与x 2＋(y －2)2＝9联立，得(k 2＋1)x 2－10kx ＋16＝0，Δ＝100k 2－64(k 2＋1)＝36k 2－64>0， 得k 2>169，x 1＋x 2＝10k k 2＋1，x 1x 2＝16k 2＋1. 因为S △AON ＝65S △ACM ，所以12×3×|x 2|＝65×12×|2－(－3)|×|x 1|，则|x 2|＝2|x 1|，于是x 2＝2x 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x 1＝10kk 2＋1，2x 21＝16k 2＋1两式消去x 1得k 2＝187，满足Δ>0，所以k ＝±3147. 18.(2022·浙江五校联考)已知实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －2)2＝1，则z ＝2x ＋yx 2＋y 2的取值范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，115 解析 方程(x －1)2＋(y －2)2＝1表示的是以C (1，2)为圆心，1为半径的圆，圆心C (1，2)在直线2x ＋y ＝0上方，且可知2x ＋y >0.设圆C 上任意一点P (x ，y )，过点P 作直线2x ＋y ＝0的垂线，垂足为H ，则z ＝2x ＋y x 2＋y 2＝5|2x ＋y |5x 2＋y 2＝5|PH ||OP |＝5sin∠POH .设过坐标原点的切线为y ＝kx ， 由|k －2|k 2＋1＝1可得k＝34， 所以该圆过坐标原点的切线方程为x ＝0和y ＝34x ，两个切点分别为P 1(0，2)，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫85，65，且∠POH <π2，所以当P (x ，y )在点P 1(0，2)时， sin∠POH 最小，此时z min ＝1；当P (x ，y )在点P 2⎝⎛⎭⎪⎫85，65时，sin∠POH 最大，此时z max ＝115， 所以z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，115.。
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高考数学总复习题型分类汇《直线与圆》篇经典试题大汇总目录【题型归纳】题型一倾斜角与斜率 (3)题型二直线方程 (3)题型三直线位置关系的判断 (4)题型四对称与直线恒过定点问题 (4)题型五圆的方程 (5)题型六直线、圆的综合问题 (6)【巩固训练】题型一倾斜角与斜率 (7)题型二直线方程 (8)题型三直线位置关系的判断 (9)题型四对称与直线恒过定点问题 (10)题型五圆的方程 (11)题型六直线、圆的综合问题 (12)高考数学《直线与圆》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 倾斜角与斜率例1 直线l 310y +-=，则直线l 的倾斜角为（ ）A. 0150B. 0120C. 060D. 030【答案】 A【解析】由直线l 的方程为310y +-=，可得直线的斜率为33-=k ，设直线的倾斜角为[)πα,0∈，则33tan -=α，∴︒=150α． 故选：A ．【易错点】基础求解问题注意不要算错【思维点拨】直线方程的基础问题（倾斜角，斜率与方程，注意倾斜角为α为2π，即斜率k 不存在的情况）应对相关知识点充分理解，熟悉熟练例2 已知三点()0,a A 、()7,3B 、()a C 9,2--在一条直线上，求实数a 的值.【答案】2=a 或92=a 【解析】597,35a k a k CB AB +=-= ∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴BC AB k k =，即59735a a +=-，解得2=a 或92=a ．题型二 直线方程例1 经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）．A. 2x y +=B. 1x y +=C. 1x =或1y =D. 2x y +=或x y =【答案】D【解析】若直线过原点，则直线为y x =符合题意，若直线不过原点设直线为1x y m m+=， 代入点()1,1解得2m =，直线方程整理得20x y +-=，故选D ．【易错点】截距问题用截距式比较简单，但截距式1=+n y m x 中要求m ，n 均非零。
故做题时应考虑此情形 【思维点拨】求解基本直线方程问题通常比较简单，考虑时注意每种形式的适用范围即可。
不要漏解。
题型三 直线位置关系的判断例1 直线()1:3230l kx k y +--=和()()2:2220l k x k y -++-=互相垂直，则实数k 的值是（ ）A. 2-或1-B. 2或1-C. 2-或1D. 2或1【答案】D【解析】根据直线垂直的充要条件得到： ()()()3*22*20k k k k -+-+=化简为23201k k k -+=⇒= 或2 故选择D【易错点】本题若采用斜率之积为-1求解，则容易错误。
首先求斜率变形时分母不为0，分母为零，实际上上是一条竖线（k 不存在）；其次垂直时应为：121-=k k （斜率均存在）或21k k ，中一为0，一不存在若用0:1=++c by ax l ，0:2=++t ny mx l 垂直的充要条件：0=+bn am ，则避免上述问题【思维点拨】 直线位置关系问题（平行与垂直）应熟练掌握其判断方法。
一般而言，除一般式其他形式可能漏解（忽略了k 不存在的情况）。
在做题时应该考虑全面，避免少解题型四 对称与直线恒过定点问题例1 点()2,4关于直线230x y +-=的对称点的坐标为_________．【答案】()2,2-【解析】设对称点坐标为()00,x y ，则对称点与已知点连线的中点为0024,22x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由题意可得()00004122{ 2423022y x x y -=-++⨯+-=，解得002{ 2x y =-= 所以对称点坐标为()2,2-．【易错点】此题求点可以设点，利用对称（实则用中垂线），建立方程组求解；亦可先求过该点与已知线垂直的直线方程，联立求交点，反推对称点（中点坐标公式）即可【思维点拨】对称问题像点关于点对称点关于直线对称，直线关于直线对称，其本质都是点点对称。
当点运动则轨迹（曲线）得到而已。
点点对称根据中点坐标公式转化，有时候利用中垂线特性（垂直，平分）进行求解例2 直线()32y kx k k R =-+∈必过定点（ ）．A. ()3,2B. ()3,2-C. ()3,2--D. ()3,2-【答案】A【解析】()32y k x =-+，当3x =时， 2y =，直线过()3,2定点，故选A ．【易错点】对直线方程的常见表达式应熟悉熟练，并能进行恰当变形【思维点拨】直线过定点关键是把所有参数提出来，保证参数后面为零。
即可求得题型五 圆的方程例1 若圆心在x O 位于y 轴左侧，且与直线20x y += 相切，则圆O 的方程是A ．22(5x y -+=B ．22(5x y ++=C ．22(5)5x y -+=D ．22(5)5x y ++= 【答案】D【解析】设圆心(,0)(0)O a a <，=，即||5a =，解得5a =-，所以圆O 的方程为22(5)5x y ++=．例2圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为C 的标准方程为 ．【答案】22(2)(1)4x y -+-=【解析】设圆心为(2,)b b ，则圆的半径为2b ，圆心到x 轴的距离为b ，所以0b =>，解得1b =，所以圆C 的标准方程为 22(2)(1)4x y -+-=．例3 已知圆经过点()1,2-A ，圆心在直线02=+y x 上且与直线:1l 01=--y x 相切，求圆的方程.【答案】见解析【解析】设圆的方程为()()()0222>=-+-r r b y a x . ∵圆心在直线x y 2-=上，∴a b 2-=，即圆心为()a a 2,-.又圆与直线01=--y x 相切，且过点()1,2-，∴r a a =-+212，()()222212r a a =+-+-，即()()()2222122213a a a +-+-=-， 解得1=a 或9=a .∴1=a ，2-=b ，2=r 或9=a ，18-=b ，338=r ，故所求圆的方程为：()()22122=++-y x ，或()()33818922=++-y x .此题也可设出圆心所在直线方程0:2=++t y x l ，联立21l l 与求圆心P ,利用P 到A 的距离与到1l 距离相等求解t 。
则方程可求【易错点】圆方程求解需要对圆的方程形式（标准式与一般式，其适用范围，两者转化）充分熟悉。
在解题时采用合适的方法（或代数法，或几何法）进行相关求解 【思维点拨】求解圆的方程问题可以采用代数方法：设合适的方程，根据条件进行转换。
变形解方程等求解；也可以采用几何法（勾股定理，相似等）进行求解题型六 直线、圆的综合问题例1 直线250x y +-+=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为( )A ．1B ．2C ．4D ．【答案】C【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离d =，半径r =4=. 例2 已知点()b a M ,在圆O ：122=+y x 外，则直线1=+by ax 与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【答案】B【解析】因为()b a M ,在圆O ：122=+y x 外，所以122>+b a ，而圆心O 到直线1=+by ax 的距离1122<+=b a d ，故直线与圆O 相交.例3 直线l ：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21x k y 与圆C ：122=+y x 的位置关系为( ) A. 相交或相切 B. 相交或相离 C. 相切 D. 相交【答案】D【解析】由于圆心()0,0 ，半径等于1，圆心到直线l ：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21x k y的距离为112d r ====＜＜， 故直线和圆相交，故选D ．例4已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为A．4 B1 C．6-【答案】D【解析】圆1C ，2C 的圆心分别为1C ，2C ，由题意知11-≥PC PM ，32-≥PC PN ， ∴421-+≥+PC PC PN PM ，故所求值为421-+PC PC 的最小值．又1C 关于x 轴对称的点为()3,23-C ， 所以421-+PC PC 的最小值为425423-=-C C ，故选A ．【易错点】此题可以采用联立方程（∆）求解；也可以采用圆心到直线的距离与半径大小比较求解；还可以利用直线l 恒过⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0，易得（可作草图）该点在圆内，故应为相交。
直线（含参数）过定点特征应有所熟悉，高考中常有涉及【思维点拨】直线与圆位置关系通常采用圆心到直线距离d 与圆半径r 大小确定。
圆:C ()()222x a y b r -+-=，直线l ：0=++C By Ax ，圆心()b a C ,到直线l 的距离为d ，则：1.r d >，直线与圆相离。
可求圆上动点到直线距离范围（最大最小）问题2.r d =，直线与圆相切。
依此可求过圆C ：222r y x =+上某点),(00y x P 的切线方程：200r y y x x =+； 一般地，过圆C ：()()222r b y a x =-+-上某点),(00y x P 的切线方程：()()()()200r b y b y a x a x =--+--. 3.r d <，直线与圆相交。
此时常用勾股定理2222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=AB d r （AB 为相交弦）来求解相关问题. 【巩固训练】题型一 倾斜角与斜率1.经过()0,2-A ，()3,5-B 两点的直线的斜率是_______，倾斜角是_______．【答案】见解析【解析】经过()0,2-A ，()3,5-B 两点的直线的斜率()12503-=----=k ，故倾斜角为︒135． 2.设点()3,2-A ，()2,3--B ，直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )A. 43≥k 或4-≤k B. 434≤≤-k C. 443≤≤-k D. 以上都不对 【答案】A【解析】求得43,4=-=PB PA k k ,结合图像知k 的范围为434≥-≤k k 或 3.直线l 过点()2,1A ，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的最大值是( )A.0B.1C.21 D.2 【答案】D【解析】如图，2=OA k ，0='l k ，只有当直线落在图中阴影部分才符合题意，故[]2,0∈k .故直线l 的斜率k 的最大值为2.题型二 直线方程1.过点()3,1A 且倾斜角为120︒的直线方程为（ ） A. 34y x =-- B. 34y x =-+ C. 32y x =-- D. 32y x =-+ 【答案】B【解析】倾斜角为120︒的直线斜率为3-.利用点斜式可得()133y x -=--.整理得34y x =-+. 2.直线l 过点()2,1-且与直线0432=+-y x 垂直，则l 的方程是( )A ．0123=-+y xB ．0723=++y xC ．0532=+-y xD ．0832=+-y x【答案】A【解析】设023:=++t y x l ，代入()2,1-.得1-=t3.已知()2,1A ,()1,3B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）．A. 0524=+-y xB. 0524=--y xC. 052=-+y xD. 052-=-y x【答案】B【解析】AB 中点为M )232(，,21-=AB k .则中垂线斜率2=k .方程为).2(223-=-x y 化简得： 0524=--y x4.已知直线l 过点()2,1，且在x 轴截距是在y 轴截距的2倍，则直线l 的方程（ ）A.052=-+y xB.052=++y xC.02=-y x 或052=-+y xD.02=-y x 或032=+-y x【答案】C【解析】当直线过原点时，又过点()2,1，∴所求直线方程为02=-y x .当直线不过原点时，由已知设直线方程为12=+my m x ，又过点()2,1，∴所求直线方程为052=-+y x ∴选C题型三 直线位置关系的判断1.已知直线20x y --=与直线0mx y +=垂直，那么m 的值是（ ）．A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】C【解析】利用垂直的条件：0)1(11=-⋅+⋅m ，得1=m2.若直线()1:34350l m x y m +++-=与直线()2:2580l x m y ++-=平行，则m 的值为（ ）． A. 133-B. 1-或7-C. 6-D. 7- 【答案】D【解析】∵12l l ，∴()()3524m m +⋅+=⨯，解得1m =-或7-，又当1m =-时，两条直线重合， 故7m =-．3.直线3x y +=和直线2x y +=的位置关系是（ ）． A. 垂直 B. 相交不垂直 C. 平行 D 重合．【答案】A【解析】∵110⨯+⨯=，∴两条直线相互垂直．故选A ．题型四 对称与过定点1.直线2130x my m -+-=，当m 变化时，所有直线都过定点（ ） A. 1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭ B. 1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 1,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】直线2130x my m -+-=，化为()2130x m y +-+=，令210{ 30x y +=+=，解得1,32x y =-=-，当m 变动时，所有直线都通过定点1,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故选D. 2.直线()():220l m n x m n y m n ++--+=，对任意,m n R ∈直线l 恒过定点_______．【答案】()1,1-【解析】()()220m n x m n y m n ++--+=可化为：()()2120m x y n x y +-+-+=，若要让m,n “失去作用”，则210{ 20x y x y +-=-+=，解得1{ 1x y =-= ，即定点为()1,1-. 3.已知直线l 经过点()6,4P ，斜率为k（1）若l 的纵截距是横截距的两倍，求直线l 的方程；（2）若1k =-，一条光线从点()6,0M 出发，遇到直线l 反射，反射光线遇到y 轴再次反射回点M ，求光线所经过的路程.【答案】（1）:230l x y -=或:2160l x y +-=；（2）【解析】（1）由题意得0k ≠。