第四章 刚体力学

第四章
§3.1 刚体运动学 一、刚体
刚体力学
定义：在任何情况下形状和大小都不发生变化 的力学研究对象。 mj ij
r c
二、刚体运动的基本形式 A. 刚体的平动
mi
二、刚体运动的基本形式 A. 刚体的平动 mj mj mj mj mj mj mi mi mi mi mj mi mi mi
J 1 J 2 恒量
角动量守恒定理：若定轴转动的刚体所受对转 轴的合外力矩恒为零，则刚体角动量保持不变。
2 i
令 J mi R
Lz Liz ( mi R )
2 i
转动惯量
令 J mi R
则：
Lz Liz ( mi R )
2 i
2 i
Lz J
对Z轴的角动量
dL 由于M ，则 dt
dL d M J J dt dt
即：
定轴转动刚体的动能定理：对转轴的外力矩对 转动刚所作的功，等于刚体转动动能的增量。
3. 刚体的重力势能
刚体有质心，其重力势能决定于刚体质心距 势能零点的高度，与刚体的方位无关。
Y
M
vC
任取一质元其势能为 m
i
gyi
C mi
E p mi gyi
i
yC
O
yi
X
m y M
MgyC
对（1）式求导：
rj
mj
rij
i
O
m ri
v j vi a j ai
rj ri rij (1)
选取参考 点O，则： rij
c
B. 刚体的定轴转动
C. 刚体的一般运动 平动＋转动
C. 刚体的一般运动
平动＋转动
蔡斯勒斯定理：刚体的任一位移总可以表示为 一个随质心的平动加上绕质心的转动。
r
抵消
已知： 求：
N
M
T2 解： T1 1）研究对象： m1.m2 .m3 T1 ' m3 g T ' 2 2）受力分析 a1 m1 m2 3）建立轴的正向 m1g a m2 g 2
r
m1.m2 .m3.r a1.a2：
T1
+ T 1 m1
T2 m3 g T 2 a1
1 (2m1 m2 ) g m2m3 g m1 m2 g a1 aT 2 22 m1 m2 1 m1 m2 m3 2 2m1m2 g 讨论：当 m3 0 时 T1 T2
(m1 m2 ) g a1 a2 1 m1 m2 m3 1 2 2m1m2 g m1m3 g 2 T1 1 m1 m2 m3 2
a2
r
m1g T1 m1a1 (1)
T2 m2 g m2a2 (2)
T1r T2 r J (3)
m1g
m2
1 2 J m3 r (4) 2 m2 g
a1 a2 r (5)
(m1 m2 ) g 解上面五式得： a1 a2 1 m1 m2 m3 2
i
略去下标 M M i ri Fi F1 r1 F2 r2 ......
i
二、刚体角动量，转动定律
刚体是一个质点系，刚体的角动量应该等于各质元 角动量的矢量和。
二、刚体转轴角动量，转动定律
刚体是一个质点系，刚体的角动量应该等于各质元角 动量的矢量和。

将棒分割成许多质元 Li vi m1, m2 mi mn Ri m i ri mi 对O点的角动量： O
J
o
F
联立解得：
50tdt 25rad/s
0
1
§3.3 刚体转动中的功和能 一、力矩作功 考虑一微小过程： +
O
d ds F r MM
时间 dt内，角位移为 d
dA F ds F cos rd dA Fr sin d Md cos sin dA Md (1)
总力矩：M M 重 M 轴
mgl cos 3g M 2 cos (与 有关） 1 2 J 2l ml 3
M 3g cos J 2l
N
而
d d d d dt d dt d
r

)

mg
即
积分得：
d d
一、 刚体定轴转动的角动量定理
Z
MZ
d F M Z J J
M Z dt Jd (1)
（1）式两边积分：
设 t1 t2时间内，角速度 由
1 2
dt

t2
t1
M Z dt J 2 J 1 (2)

t2
t1
M Z dt J 2 J 1 (2)
2. 外力F不在转动平面内
F|| : 对刚体转动不起作用；
方向：右手螺旋
Z
MZ
F
F : 其力矩由（）定义： 1
r
F F
M r F
3. 刚体同时受几个力矩时，总力矩为
M M1 M2 ... Mn
Z轴方向
M z M iz ri Fi F1 r1 F2 r2 ......
解：
J总 J杆 J子弹
1 2 Ml ma 2 3
M
a
l
m
四、转动定理的应用
i) 常用于研究刚体 质点构成的系统；
ii) 质点作受力分析，刚体作力矩分析；
iii) 质点－牛顿定律二，刚体－转动定律；
iv) 关联方程
a R
例3-2: 质量分别为m1、m2的物体通过轻绳挂在质 量为m3半径为 的圆盘形滑轮上。求物体m1、m2 加速度以及绳子张力 T1、T2。（绳子质量不计）
解法3：用机械能守恒求解 研究对象：棒和地球
受力分析：保守内力（重力）作功
N
r
)
水平状态机械能
E 0
J 2 l E mg sin 2 2

mg
角时机械能
由机械能守恒：
3g sin l
求导可得
d 3g cos dt 2l
§3.4 刚体的角动量定理与角动量守恒
Z
Li mi ri vi
vi Li mi ri vi Ri m i v r i i ri 大小：L m r v O i i i i L j rj 总角动量 L大小： vj n
mj
L
Li
Z
mi 对O点的角动量：
L mi rvi i
i＝1
方向如图，可见角动量不一定与Z轴方向相同。
L
Li
Ri

Z L iz
mi
vi
在Z轴的分量
O
ri
Liz Liz Li cos
mj
故：
mi ri vi cos mi Ri ( Ri ) 2 mi Ri
三、刚体定轴转动的描述
任一垂直于转轴的平面称为转动平面。
可用，，，描写刚体运动 方向：右手螺旋
o

P ri mi )
参考方向
d dt
w
vi
o
P点： vi ri
切向加速度
法向加速度
a ri
an ri 2
§3.2 刚体定轴转动定律
质点系角动量定理的一般形式 在转轴（z轴）上分量
dL M外 dt
dLz Mz dt
上式略去下标，简写为
dL M dt
z
一、刚体受力矩
1. 外力Fi在转动平面内
Fi
Fin
Fi
i
Mi ri Fi …… (1)
(Fi : 力的切向分量）
大小：Miz ri Fi sin i ri Fi
M J
形似
F ma
M J
定轴转动定律：刚体所受合外力矩在定轴上的 分量等于刚体对同一转轴的转动惯量与角加速 度的乘积。
说明：
i ) 刚体产生角加速度原因是受外力矩M 作用。 M 与 是投影量（代数量），同正负；
ii) M 与J 是对同一转轴而言的，J 大于零；
iii) 定律是瞬时对应关系。
本章教学要求： 了解转动惯量概念。理解刚体转动中的功和能的 概念。理解刚体绕定轴转动的转动定律和刚体在 绕定轴转动情况下的角动量守恒定律。了解进动 的概念。 本章重点： 刚体绕定轴转动的转动定律和刚体在绕定轴转动 情况下的角动量守恒定律。刚体质点系统的运动 问题。 本章难点： 刚体绕定轴转动，刚体角动量守恒定律。
得：
3g sin l
2
……(*)
得：
3g sin l
2
……(*)
N
3g sin l
r
)
mg 对(*) 式求导： d 3g d 3g 2 cos cos dt l dt l
d 3g cos dt 2l
1. 刚体的转动动能 1 1 2 2 2 mi： Eki mi vi mi ri 2 2 1 Ek Eki (mi ri 2 ) 2 2 更精确表示：
n


vimi r
i
M
1 2 2 Ek lim mi ri mi Ek 2 0 i 1 n 1 1 2 2 2 ( r dm) J 2 M 2