2016初三联赛试题与答案
2016年学区九年级数学竞赛试卷
2016年九年级数学竞赛试卷 第4页 共6页2016年学区九年级数学竞赛试卷题号 一 二 三 总分 11 12 13 14 得分 评卷人一、选择题（本大题满分30分，每小题6分）1．小李乘自行车上学，冲过横涂在马路的一条20cm 宽的尚未干的白色石灰浆条沿直路前进．如果自行车轮胎直径为60cm ，在短时间以后，自行车的一个轮胎在马路上留下痕迹是（ ）A ．间隔为60cm 宽的白点B ．间隔为（60π-20）cm 宽的白点C ．间隔为（120π-20）cm 宽的白点D ．20cm 宽的白线 2．已知x +1x ＝3，21x +x 2＝a ，x 3+31x＝b ，则a 3-b 2=（ ） A ．19 B ．94 C ．0D ．无法计算3．△ABC 的三边长为a ，b ，c ，满足条件2b ＝1a +1c，则b 边所对的角B 的大小是（ ） A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．锐角、直角、钝角都有可能 4．满足x 2-4y 2=2011的整数对（x ，y ）的组数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．35．有1997盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为l ，2，…，1997，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下；再将编号为3的倍数的灯线拉一下；最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，3次拉完后亮着的灯数为（ ） A ．1464盏 B ．533盏C ．999盏D ．998盏二、填空题（本大题满分30分，每小题6分）1.实数x 、y 满足x 2－2x －4y ＝5，记t ＝x －2y ，则t 的取值范围为___________________． 2.x 是整数，并且x+1整除x 3-2010，x 的最大值是___________________．3.如图，菱形ABCD 边长为a ，点O 在对角线AC 上一点，且OA=a ，OB=OC=OD=1,则a 等于___________________．4.如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为∠ACB 的平分线，若AC=14,BC=20，CD=12，则CE 的长等于___________________．第3题图2016年九年级数学竞赛试卷 第4页 共6页5.如图，正方形ABCD 的边长为1，E 是CD 边外的一点，满足：CE ∥BD ，BE BD =， 则CE = ．三、解答题（本大题满分60分，每小题15分）11.试确定，对于怎样的正整数a ，方程2254(3)290x a x a -++-=有正整数解？并求出方程的所有正整数解．12.某市出租车的起步费定为5元（可行驶2千米），往后每多行1千米的车费增加2元（不足1千米按1千米计算），某星期天小聪同学从甲地到乙地乘出租车共付车费35元；如果从甲地到乙地先步行800米，然后乘出租车也需付车费35元。
2016年全国初中数学联赛试题+答案
2016年全国初中数学联赛试题+答案2016年全国初中数学联合竞赛试题第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)一、选择题（本题满分42分，每小题7分） (本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.)1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知123t =-，a 是t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则112b a-=（ ）.A 12 .B 32.C 1 .D32.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 （ ）.A9种.B10种.C11种.D12种3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：333321(1),2631,=--=-2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）.A6858.B6860.C9260.D92623(B）.已知二次函数21(0)y ax bx a=++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a b-为整数时，ab=（）.A0.B 14.C34-.D2-4.已知O e的半径OD垂直于弦AB,交AB于点C，连接AO并延长交O e于点E,若8,AB=2CD=,则BCE∆的面积为（）.A12.B15.C16.D185.如图，在四边形ABCD中，090BAC BDC∠=∠=，5AB AC==1CD=,对角线的交点为M，则DM=( ).A 32.B53.C 22 .D 126.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( ).A 12 .B 23 .C 34.D 1二、填空题（本题满分28分，每小题7分）(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2（B ）】 已知ABC ∆的顶点A 、C 在反比例函数3y x=（x >）的图象上，090ACB ∠=,030ABC ∠=,AB x ⊥轴，点B 在点A 的上方，且6,AB =则点C 的坐标为 .1(B).已知ABC ∆的最大边BC 上的高线AD 和中线AM恰好把BAC ∠三等分，3AD =,则AM = .2(A).在四边形ABCD 中，BC ∥AD ,CA 平分BCD ∠,O 为对角线的交点，,CD AO =,BC OD =则ABC ∠=.3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 .3(B).若质数p、q满足：340,111,--=+<则pq的q p p q最大值为 .4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M,则M的最大值为 .第二试(3月20日上午9:50 —11:20)一、（本题满分20分）已知,a b为正整数，求22=---能取到的最小M a ab b324正整数值.二、（本题满分25分）(A).如图，点C在以AB为直径的O e上，CD AB⊥于点D,点E在BD上，,=四边形DEFM是正方形，AMAE AC的延长线与O e交于点N.证明:FN DE=.(B ).已知：5,a b c ++= 22215,a b c ++= 33347.ab c ++=求222222()()()aab b b bc c c ca a ++++++的值.三、（本题满分25分）(A ).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xyyz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.(B ).如图，在等腰ABC ∆中,5,AB AC ==D为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ⋅的值.2016年全国初中数学联合竞赛试题及详解 第一试(3月20日上午8:30 - 9:30)一、选择题（本题满分42分，每小题7分） (本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.)1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x的小数部分.已知123t =-，a 是t 的小数部分，b 是t-的小数部分，则112b a-=（ ）.A 12 .B 32.C 1 .D3【答案】A . 【解析】123,132,23t ==+<<-Q 3234,∴<+< 即34,t <<33 1.a t ∴=-= 又23,231,t -=--<<-4233,∴-<-<-(4)23,b t ∴=---=1123311,22222(23)31b a ∴-==-=--故选A .2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 （ ）.A 9种.B 10种 .C 11种.D 12种【答案】C .【解析】设购买三种图书的数量分别为,,,x y z 则30101520500x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，即30341002y z x y z x +=-⎧⎨+=-⎩，解得20210y xz x=-⎧⎨=+⎩依题意得，,,x y z 为自然数（非负整数），故010,x ≤≤x 有11种可能的取值（分别为0,1,2,,9,10)L ，对于每一个x 值，y 和z 都有唯一的值（自然数）相对应. 即不同的购书方案共有11种，故选C .3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：333321(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ）.A 6858.B 6860 .C 9260 .D 9262 【答案】B . 【解析】[]3322(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)k k k k k k k k ⎡⎤+--=+--+++-+-⎣⎦22(121)k =+ （其中k 为非负整数），由22(121)2016k +≤得，9k ≤0,1,2,,8,9k ∴=L ，即得所有不超过2016的“和谐数”，它们的和为333333333331(1)(31)(53)(1715)(1917)1916860.⎡⎤--+-+-++-+-=+=⎣⎦L 故选B .3(B ）.已知二次函数21(0)y axbx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a b -为整数时，ab =（ ）.A 0 .B 14.C 34-.D 2-【答案】B .【解析】依题意知0,0,10,2b a a b a <-<++= 故0,b < 且1b a =--，(1)21a b a a a -=---=+，于是10,a -<< 1211a ∴-<+<又a b -为整数，210,a ∴+= 故1,2a b =-=14ab =，故选B . 4.已知O e 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O e 于点E ,若8,AB =2CD =,则BCE ∆的面积为（ ）.A 12 .B 15 .C 16 .D 18【解析】设,OC x =则2,OA OD x ==+OD AB⊥Q 于,C 14,2AC CB AB ∴=== 在Rt OAC ∆中，222,OC AC OA +=即2224(2),x x +=+解得3x =，即3OC =（第4题答案图） Q 为ABE ∆的中位线，2 6.BE OC ∴== AE Q 是O e 的直径，90,∴∠=o114612.22BCE S CB BE ∆∴=⋅=⨯⨯= 故选A .5.如图，在四边形ABCD中，090BAC BDC ∠=∠=，5AB AC ==,1CD =,对角线的交点为M ，则DM =( ).A 32.B 53.C 22 .D 12（第5题答案图）【答案】D .【解析】过点A作AH BD⊥于点,H 则AMH∆～,CMD ∆,AH AMCD CM∴=1,CD =Q,AMAH CM∴=设,AM x = 则5,5CM x AH x=∴=-在Rt ABM ∆中，2225,BM AB AM x =+=+ 则255AB AMx AH BMx ⋅==+25,55x xxx =-+显然0x ≠，化简整理得2255100xx -+=解得5,2x =（25x =不符合题意，舍去），故5,2CM =在Rt CDM ∆中，2212DM CM CD =-=,故选D .6.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( ).A 12 .B 23 .C 3【答案】C . 【解析】22(23)(23)(1)34232M xy y x z xy y x x y x xy y x =++=++--=---++222211122332222y x y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+--++-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦222211113322222244y x x x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--++=-+---+≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当1,02x y ==时，M 取等号，故max 34M =，故选C .二、填空题（本题满分28分，每小题7分）(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2（B ）】 已知ABC ∆的顶点A 、C 在反比例函数3y x=（x >）的图象上，090ACB ∠=,030ABC ∠=,AB x ⊥轴，点B 在点A 的上方，且6,AB =则点C 的坐标为 .【答案】3,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【解析】如图，过点C 作CD AB ⊥于点D .在Rt ACB ∆中，cos 33BC AB ABC =⋅∠= 在Rt BCD∆中，33sin 2CD BC B =⋅=（第1题答案图）9cos ,2BD BC B =⋅=32AD AB BD ∴=-=,设33,,,C m A n m n ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，依题意知0,n m >>故33,CD n m AD =-=，于是3323332n m mn ⎧-=⎪⎪-=⎩ 解得33m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故点C 的坐标为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.1(B).已知ABC ∆的最大边BC 上的高线AD 和中线AM恰好把BAC ∠三等分，3AD =则AM = .【答案】2. 【解析】（第1题答案图1 ） （ 第1题答案图2）依题意得BAD DAM MAC ∠=∠=∠,090,ADB ADC ∠=∠= 故ABC ACB∠≠∠.(1)若ABC ACB ∠>∠时，如答案图1所示，ADM ∆≌,ADB ∆1,2BD DM CM ∴== 又AM 平分,DAC ∠ 1,2AD DM AC CM ∴==在Rt DAC ∆中，即1cos ,2DAC ∠=060,DAC ∴∠= 从而090,30BAC ACD ∠=∠=.在Rt ADC ∆中，tan 3tan 603,CD AD DAC =⋅∠=⋅=o 1.DM =在Rt ADM ∆中，222AM AD DM =+=.(2)若ABC ACB ∠<∠时，如答案图2所示.同理可得2AM =.综上所述，2AM =.2(A).在四边形ABCD 中，BC ∥AD ,CA 平分BCD ∠,O 为对角线的交点，,CD AO =,BC OD =则ABC ∠=.【答案】126o.【解析】设,OCD ADO αβ∠=∠=,CA Q 平分BCD ∠,OCD OCB α∴∠=∠=, BCQ ∥AD,,ADO OBC DAO OCB βα∴∠=∠=∠=∠=,(第2题答案图)OCD DAO α∴∠=∠=,AD CD ∴=,Q ,CD AO =AD AO ∴=,ADO AOD BOC OBC β∴∠=∠=∠=∠=,OC BC ∴=,,BC OD =,OC OD ∴=ODC OCD α∴∠=∠=,180BOC ODC OCD BOC OBC OCB ∠=∠+∠∠+∠+∠=o2,2180,βααβ=+=o解得36,72αβ==oo，72DBC BCD ∴∠=∠=o,,BD CD AD ∴==18054,2ABD BAD β-∴∠=∠==o o故126ABC ABD DBC ∠=∠+∠=o.3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 . 【答案】167334.【解析】设两个三位数分别为,x y ，则10003x y xy +=，①31000(31000),y xy x y x ∴=-=-故y 是x 的正整数倍，不妨设y tx =（t 为正整数），代入①得10003,t tx +=1000,3tx t+∴=x Q是三位数，10001003tx t +∴=≥，解得 1000,299t ≤t Q 为正整数，t ∴的可能取值为1,2,3.验证可知，只有2t =符合，此时167,334.x y == 故所求的六位数为167334.3(B).若质数p 、q 满足：340,111,q p p q --=+<则pq 的最大值为 . 【答案】1007. 【解析】由340q p --=得，34,p q =-2224(34)343,33pq q q q q q ⎛⎫∴=-=-=-- ⎪⎝⎭因q 为质数，故pq 的值随着质数q 的增大而增大，当且仅当q 取得最大值时，pq 取得最大值. 又111p q +<，34111,q q ∴-+<3284q ∴<，因q 为质数，故q的可能取值为23,19,17,13,11,7,5,3,2，但23q =时，3465513p q =-==⨯不是质数，舍去. 当19q =时,3453p q =-=恰为质数.故max max 19,()53191007q pq ==⨯=.4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M ,则M 的最大值为 .【答案】10. 【解析】(依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论,确定M 的最大值.(1)若5个1分布在同一列，则5M =； (2)若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3，故2515320M ≤⨯+⨯=,故10M ≤;(3) 若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3，故351525330M ≤⨯+⨯+⨯=,故10M ≤;(4) 若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾.综上所述，10.M ≤另一方面，如下表的例子说明M 可以取到10.故M 的最大值为10.1 1 1 4 51 12 4 52 2 2 4 53 3 245 3 3 3 4 5第二试(3月20日上午9:50— 11:20)一、（本题满分20分） 已知,a b 为正整数，求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值.【解析】解：因,a b 为正整数，要使得22324M a ab b =---的值为正整数，则有2a ≥.当2a =时，b 只能为1，此时 4.M =故M 能取到的最小正整数值不超过4.当3a =时，b 只能为1或2.若1,18b M ==;若2b =，则7M =.当4a =时，b 只能为1或2或3.若1,38b M ==;若2,24b M ==;若3,b =则2M =.(下面考虑：22324M aab b =---的值能否为1？)（反证法）假设1M =，则223241aab b ---=，即22325a ab b -=+，2(3)25a ab b -=+ ①因b 为正整数，故25b +为奇数，从而a 为奇数，b为偶数，不妨设21,2a m b n =+=，其中,m n 均为正整数，则22222(3)(21)3(21)(2)4(332)3a ab m m n m m mn n ⎡⎤-=++-=+--+⎣⎦即2(3)a ab -被4除所得余数为3，而252(2)141b n n +=+=+被4除所得余数为1，故①式不可能成立，故1M ≠.因此，M 能取到的最小正整数值为2. 二、（本题满分25分）(A ).如图，点C 在以AB 为直径的O e 上，CD AB⊥于点D ,点E 在BD 上，,AE AC =四边形DEFM 是正方形，AM的延长线与O e 交于点N .证明:FN DE =.(第2(A)题答案图)【证明】：连接BC 、.BN AB Q 为O e 的直径，CD AB ⊥于点D90ACB ANB ADC ∴∠=∠=∠=o,,CAB DAC ACB ADC ∠=∠∠=∠Q ,ACB ADC ∴∆∆∽,AC ABAD AC∴=2AC AD AB ∴=⋅由四边形DEFM 是正方形及CD AB ⊥于点D 可知: 点M 在CD 上，DE DM EF MF ===,,NAB DAM ANB ADM ∠=∠∠=∠Q ,ANB ADM ∴∆∆∽,AN ABAD AM∴=,AD AB AM AN ∴⋅=⋅2,AC AM AN ∴=⋅,AE AC =Q 2AE AM AN∴=⋅以点F 为圆心、FE 为半径作,F e 与直线AM 交于另一点P ,则F e 与AB 切于点E ,即AE 是F e 的切线，直线AMP 是F e 的割线，故由切割线定理得2AE AM AP =⋅AN AP ∴=,即点N 与点P 重合，点N 在F e 上，FN FE DE∴==.(注：上述最后一段得证明用了“同一法”) (B ).已知：5,a b c ++= 22215,a b c ++= 33347.ab c ++=求222222()()()aab b b bc c c ca a ++++++的值.【解析】由已知得22221()()5ab bc ca a b c a b c ⎡⎤++=++-++=⎣⎦由恒等式3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---得，4735(155),abc -=⨯-1abc ∴=-又22()()()5(5)55(1)a ab b a bc a b ab bc ca c c ++=+++-++=--=-同理可得22225(4),5(4)b bc c a c ca a b ++=-++=-∴原式=[]35(4)(4)(4)1256416()4()a b c a b c ab bc ca abc ---=-+++++-125[6416545(1)]625.=⨯-⨯+⨯--=【注：恒等式32)()()()t b t c t a b c t ab bc ca t abc--=-+++++-】三、（本题满分25分）(A ).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(3) 求111xyyz zx++的值. (4) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++. 【解析】（1）解：由等式222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++=，去分母得222222(1)(1)(1((1)(1)(1)4z xy x y z y z x xyz--+--+--=，22222222222()()()3()0,y z xy z x yz x y z y z x z x y xyz x y z xyz ⎡⎤++-+++++++++-=⎣⎦()()()()0xyz xy yz zx x y z xy yz zx x y z xyz ++-+++++++-=，∴[()](1)0xyz x y z xy yz zx -++++-=，1,10xy yz zx xy yz zx ++≠∴++-≠Q ，()0,xyz x y z ∴-++=xyz x y z ∴=++，∴原式= 1.x y zxyz++= （2）证明：由（1）得计算过程知xyz x y z ∴=++，又Q ,,x y z 为正实数,9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx ∴+++-++9()()()8()()x y y z z x x y z xy yz zx =+++-++++ 222222()()()6x y z y z x z x y xyz =+++++-222()()()0.x y z y z x z x y =-+-+-≥∴9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++. 【注：222222()()()2x y y z z x x y xyy z yz z x zx xyz+++=++++++222222()()()2x y z y z x z x y xyz=++++++222222()()3x y z xy yz zx x y xy y z yz z x zx xyz++++=++++++222222()()()3x y z y z x z x y xyz=++++++】(B ).如图，在等腰ABC ∆中,5,AB AC ==D为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ⋅的值.第3（B ）题答案图）【解析】如图，连接,,AE ED CF ,则,AB AC =Q ABD ACB ∴∠=∠Q点C关于直线AD的对称点为点E,,BED BCF AED ACD ACB ∴∠=∠∠=∠=∠,ABD AED ∴∠=∠,,,A E B D∴四点共圆,BED BAD ∴∠=∠(同弧所对得圆周角相等)BAD BCF∴∠=∠,,,,A B F C ∴四点共圆，AFB ACB ABD ∴∠=∠=∠,AFB ABD ∴∆∆∽,AB AFAD AB∴=()225 5.AD AF AB ∴⋅=== （注：若共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆，也可以说成：若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆）。
初三竞赛数学试题(含答案)
2016年初三数学培优模拟试题一、选择题（10×4=32分）1、已知2110 x x x x-<<，则，，的大小关系是 （ ） （A ）21x x x << （B ）21x x x << （C ）21x x x << （D ）21x x x<<2、方程1)1(32=-++x x x 的所有整数解的个数是（ ）A.．5个 Ｂ．4个 Ｃ．3个 Ｄ．2个3、如图，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字，若左图轮子上方的箭头指着的数字为a ，右图轮子上方的箭头指着的数字为b ，数对（a ，b ）所有可能的个数为n ，其中a +b 恰为偶数的不同数对的参数为m ，则m/n 等于 （ ） A 、21 B 、61 C 、125 D 、434、古人用天干和地支记次序，其中天干有10个：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸。
地支也有12个：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列成如下两行：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸……子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅……，则当第2次甲和子在同一列时，该列的序号是 （ ）A. 31B. 61C. 91D. 52120a b c x ax bx c x x ++=已知、、为实数，关于的二次方程有两个非零实根、，221211x x x 则：下列关于的一元二次方程中以、为根的是 （ ） 2222222222222222()(2)0()(2)0()(2)0()(2)0.A c x b ac x aB c x b ac x aC c x b ac x aD c x b ac x a +-+=--+=+--=---=；；； 6、24ABC D AC F BC ∆如图，已知的面积为，点在线段上，点在线段延长线上，4BC CF DCEF =且，四边形为平行四边形，则：图中阴影部分面积为（ ）A 、3B 、4C 、6D 、87．如图，AB 是⊙O 的直径，C 为AB 上一个动点（C 点不与A 、B 重合），CD ⊥AB ，AD 、CD 分别交⊙O 于E 、F ，则与AB •AC 相等的一定是 ( ）A ．AE •ADB ．AE •EDC ．CF •CD D ．CF •FD 8．已知二次函数c bx ax y ++=2的x 与y 的部分对应值如下表：且方程02=++c bx ax 的两根分别为1x 、)(212x x x <，下面说法错误．．的是( ) ． A ．5,2=-=y x ； B ．212<<x ；C ．当21x x x <<时，0>y ；D ．当21=x 时，y 有最小值． 9．如图，从1×2的矩形ABCD 的较短边AD 上找一点E ，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE 、DE ，当剪下的两个正方形的面积之和最小时，点E 应选在（ ）．A ．AD 的中点；B ．AE ：ED=2:)15(-；C ．AE ：ED=1:2；D ．AE ：ED=2:)12(-．10.如右图，以半圆的一条弦AN 为对称轴将AN ︵ 折叠过来和直径MN 交于点B ，如果MB ：BN =2：3，且MN =10，则弦AN 的长为（ ） A .53 B .54C .34D .35 第10题二、填空题（8×4=32分）11、如下左图，动点C 在⊙O 的弦AB 上运动，AB=32，连接OC ，CD ⊥OC 交⊙O 于D ，则CD 的最大值为_____12、如右上图，已知P 是正方形ABCD 外一点，且PA=3，PB=4，则PC 的最大值是___3+413、0110101111121262...)2(a x a x a x a x a x x ++++++=--，则=+++++24681012a a a a a a -3214．设,C ,C ,C 321… … 为一群圆, 其作法如下：1C 是半径为a 的圆, 在1C 的圆内作四个相等的圆2C (如图), 每个圆2C 和圆1C 都内切, 且相邻的两个圆2C 均外切, 再在每一个圆2C 中, 用同样的方法作四个相等的圆3C , 依此类推作出,C ,C ,C 654…… , 则(1) 圆2C 的半径长等于(）a(用a 表示)；(2) 圆k C 的半径为-1）k-1a( k 为正整数，用a 表示，不必证明) 15、下列两个方程组与有相同的解，则m+n=3889 ． 16、某工程队要招聘甲乙两种工种的工人150名，甲乙两种工种工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的两倍，问甲乙两种工种的人数各聘 50、100 时可使得每月所付工资最少，最小值是 130000 ．17、对于正数x ，规定f （x ）= x 1x +,例如f （3）=33134=+，f （13）=1131413=+，计算f （12006）+ f （12005）+ f （12004）+ …f （13）+ f （12）+ f （1）+ f（1）+ f （2）+ f （3）+ … + f （2004）+ f （2005）+ f （2006）= 2006 .18、如图，△AOB 和△ACD 均为正三角形，且顶点B 、D 均在双曲线)0(4>=x xy 上，则图中S △OBP =D ．A .32B .33C .34D .4三、解答题19. （2011安徽芜湖，22，10分）在复习《反比例函数》一课时，同桌的小明和小芳有一个问题观点不一致.小明认为如果两次分别从1～6六个整数中任取一个数，第一个数作为点(),P m n 的横坐标，第二个数作为点(),P m n 的纵坐标，则点(),P m n 在反比例函数12y x =的图象上的概率一定大于在反比例函数6y x=的图象上的概率，而小芳却认为两者的概率相同.你赞成谁的观点？（1）试用列表或画树状图的方法列举出所有点(),P m n 的情形； （2）分别求出点(),P m n 在两个反比例函数的图象上的概率，并说明谁的观点正确.【答案】解: （1）列表如下： ………………………………………………………………6分画树状图如下：………………………………………………………………6分(2)由树状图或表格可知，点(),P m n共有36种可能的结果，且每种结果出现的可能性相同，点（3，4），(4，3)，（2,6），（6,2）在反比例函数12yx=的图象上，……………7分点 (2，3)，（3,2），（1，6），（6,1）在反比例函数6yx=的图象上, …………………8分故点(),P m n在反比例函数12yx=和6yx=的图象上的概率相同,都是41.369=………9分所以小芳的观点正确. ………………………………………………………………10分20、问题探究（1）请在图①的正方形ABCD内，画出使∠APB＝90°的一个．．点P，并说明理由．（2）请在图②的正方形ABCD内（含边），画出使∠APB＝60°的所有．．的点P，并说明理由．问题解决如图③，现有一块矩形钢板ABCD，AB＝4，BC＝3，工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△CP’D钢板，且∠APB＝∠CP’D＝60°，请你在图③中画出符合要求的点P和P’，并求出△APB的面积（结果保留根号）．【关键词】正方形对角线等边三角形圆周角性质三角形面积【答案】解：（1）如图①，连接AC、BD交于点P，则∠APB＝90°，∴点P 为所求，（2）如图②，画法如下：1）以AB 为边在正方形内作等边△ABP；2）作△ABP 的外接圆⊙O，分别与AD 、BC 交于点E 、F ．∵在⊙O 中，弦AB 所对的弧APB 上的圆周角均为60°，∴弧EF 上的所有点均为所求的点P ， （3）如图③，画法如下： 1）连接AC ；2）以AB 为边作等边△ABE；3）作等边△ABE 的外接圆⊙O，交AC 于点P ； 4）在AC 上截取AP’＝CP ． 则点P 、P’为所求．（评卷时，作图准确，无画法的不扣分） 过点B 作BG⊥AC，交AC 于点G ． ∵在Rt△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3， ∴AC＝522=+BC AB ． ∴BG＝512=⋅AC BC AB ． 在Rt△ABG 中，AB ＝4， ∴AG＝51622=+BG AB ． 在Rt△BPG 中，∠BPA＝60°， ∴PG＝5343351260tan =⨯=︒BG ， ∴AP＝AG+PG ＝534516+． ∴S △APB ＝25324965125345162121+=⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯=⋅BG AP21、如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x 米． （1）用含x 的式子表示横向甬道的面积；（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？ 【关键词】二次函数的极值问题【答案】26．解：（1）横向甬道的面积为：()2120180150m 2x x += （2）依题意：2112018028015028082x x x +⨯+-=⨯⨯ 整理得：21557500x x -+=125150x x ==，（不符合题意，舍去）∴甬道的宽为5米．（3）设建设花坛的总费用为y 万元．()21201800.028******** 5.72y x x x x +⎡⎤=⨯⨯-+-+⎢⎥⎣⎦20.040.5240x x =-+当0.5 6.25220.04b x a =-==⨯时，y 的值最小． 因为根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，6x ∴=当米时，总费用最少．最少费用为：20.0460.56240238.44⨯-⨯+=万元22、如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处． （1）直接写出点E 、F 的坐标；（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式； （3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．（第2题）26. (本题满分12分)解：（1）(31)E ，；(12)F ，．（2）在Rt EBF △中，90B ∠= ，…….1分EF ∴=设点P 的坐标为(0)n ，，其中0n >， 顶点(12)F ，， ∴设抛物线解析式为2(1)2(0)y a x a =-+≠．①如图①，当EF PF =时，22EF PF =，221(2)5n ∴+-=．解得10n =（舍去）；24n =．(04)P ∴，．24(01)2a ∴=-+． 解得2a =． ∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+。
[中学联盟]江苏省句容市石狮中学2016届九年级上学期竞赛数学试题
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绝密★启用前[中学联盟]江苏省句容市石狮中学2016届九年级上学期竞赛数学试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：48分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（题型注释）1、设m 是整数,关于x 的方程mx 2—（m —1）x+1=0有有理根，则方程的根为（ ）。
A ． B ．C ．D ．有无数个根2、如图，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上一点，且为半圆的，设扇形AOC 、△COB 、弓形BmC 的面积分别为、、，则下列结论正确的是（ ）。
A.<<B.<<C.<<D.<<3、函数图像的大致位置如图所示，则ab ，bc ，2a+b ，，，b 2—a 2 等代数式的值中，正数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4、已知abc 0，而且，那么直线y=px+p 一定通过（ ）。
A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第三、四象限D ．第一、四象限5、已知的三边长为a ，b ，c ，且满足方程a 2x 2—（c 2—a 2—b 2）x+b 2=0，则方程根的情况是（ ）。
A ．有两相等实根B ．有两相异实根C ．无实根D ．不能确定6、设a=，b=，c=，则a ，b ，c 之间的大小关系是（ ）A ．a<b<cB ．c<b<aC ．c<a<bD ．a<c<b第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）7、从1，2，3，4中任取3个数，作为一个一元二次方程的系数，则构作的一元二次方程有实根的概率是__________。
8、若x+y= —1，则x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4的值等于_______。
2016年全国初中数学联合竞赛试题及详细解答(含一试二试)
2016年全国初中数学联合竞赛试题第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)一、选择题（本题满分42分，每小题7分） (本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.) 1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知23t =-a 是t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则112b a-= （ ） .A 12.B 3.C 1 .D 3 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 （ ）.A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：333321(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ）.A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262 3(B ）.已知二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a b -为整数时，ab = （ ）.A 0 .B 14 .C 34- .D 2-4.已知O e 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O e 于点E ,若8,AB =2CD =,则BCE ∆的面积为 （ ）.A 12 .B 15 .C 16 .D 185.如图，在四边形ABCD 中，090BAC BDC ∠=∠=，5AB AC ==1CD =,对角线的交点为M ，则DM = ( ).A 3.B 5.C 22 .D 126.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( ).A 12 .B 23 .C 34.D 1 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2（B ）】 已知ABC ∆的顶点A 、C 在反比例函数y x=（0x >）的图象上，090ACB ∠=,030ABC ∠=,AB x ⊥轴，点B 在点A 的上方，且6,AB =则点C 的坐标为 .1(B).已知ABC ∆的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分，AD =则AM = .2(A).在四边形ABCD 中，BC ∥AD ,CA 平分BCD ∠,O 为对角线的交点，,CD AO =,BC OD =则ABC ∠= .3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 .3(B).若质数p 、q 满足：340,111,q p p q --=+<则pq 的最大值为 . 4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M ,则M 的最大值为 .第二试(3月20日上午9:50 — 11:20)一、（本题满分20分）已知,a b 为正整数，求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值.二、（本题满分25分）(A ).如图，点C 在以AB 为直径的O e 上，CD AB ⊥于点D ,点E 在BD 上，,AE AC =四边形DEFM 是正方形，AM 的延长线与O e 交于点N .证明:FN DE =.(B ).已知：5,a b c ++= 22215,a b c ++= 33347.a b c ++=求222222()()()a ab b b bc c c ca a ++++++的值.三、（本题满分25分）(A ).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.(B ).如图，在等腰ABC ∆中,5,AB AC ==D 为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ⋅的值.2016年全国初中数学联合竞赛试题详解 第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分. 1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知t =a 是t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则112b a-= （ ）.A 12.B .C 1 .D 【答案】A .【解析】22,t ==+<<Q 324,∴<+< 即34,t <<3 1.a t ∴=-=又221,t -=---<-423,∴-<-<-(4)2b t ∴=---=11211,2222b a ∴-==-=故选A .2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 （ ）.A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种【答案】C .【解析】设购买三种图书的数量分别为,,,x y z 则30101520500x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，即30341002y z x y z x +=-⎧⎨+=-⎩，解得20210y xz x=-⎧⎨=+⎩ 依题意得，,,x y z 为自然数（非负整数），故010,x ≤≤x 有11种可能的取值（分别为0,1,2,,9,10)L ，对于每一个x 值，y 和z 都有唯一的值（自然数）相对应. 即不同的购书方案共有11种，故选C .3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：333321(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ）.A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262 【答案】B .【解析】[]3322(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)k k k k k k k k ⎡⎤+--=+--+++-+-⎣⎦22(121)k =+ （其中k 为非负整数），由22(121)2016k +≤得，9k ≤0,1,2,,8,9k ∴=L ，即得所有不超过2016的“和谐数”，它们的和为333333333331(1)(31)(53)(1715)(1917)1916860.⎡⎤--+-+-++-+-=+=⎣⎦L 故选B . 3(B ）.已知二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a b -为整数时，ab =（ ） .A 0 .B 14 .C 34- .D 2- 【答案】B .【解析】依题意知0,0,10,2ba ab a<-<++= 故0,b < 且1b a =--， (1)21a b a a a -=---=+，于是10,a -<< 1211a ∴-<+<又a b -为整数，210,a ∴+= 故1,2a b =-=14ab =，故选B . 4.已知O e 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O e 于点E ,若8,AB =2CD =,则BCE ∆的面积为（ ）.A 12 .B 15 .C 16 .D 18【解析】设,OC x =则2,OA OD x ==+OD AB ⊥Q 于,C 14,2AC CB AB ∴=== 在Rt OAC ∆中，222,OC AC OA +=即2224(2),x x +=+解得3x =，即3OC = （第4题答案图）OC Q 为ABE ∆的中位线，2 6.BE OC ∴== AE Q 是O e 的直径，90,B ∴∠=o 114612.22BCE S CB BE ∆∴=⋅=⨯⨯= 故选A .5.如图，在四边形ABCD 中，090BAC BDC ∠=∠=，5AB AC ==1CD =,对角线的交点为M ，则DM = ( ).A 3.B 5.C 2 .D 12（第5题答案图）【答案】D . 【解析】过点A 作AH BD ⊥于点,H 则AMH ∆～,CMD ∆,AH AMCD CM∴=1,CD =Q,AMAHCM ∴=设,AM x = 则,CM x AH =∴=在Rt ABM ∆中，BM == 则AB AMAH BM⋅===显然0x ≠，化简整理得22100x -+=解得2x =（x =，故2CM =在Rt CDM ∆中，12DM ==,故选D . 6.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( ).A 12 .B 23 .C 34.D 1【答案】C .【解析】22(23)(23)(1)34232M xy y x z xy y x x y x xy y x y =++=++--=---++222211122332222y x y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+--++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦222211113322222244y x x x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--++=-+---+≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当1,02x y ==时，M 取等号，故max 34M =，故选C . 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2（B ）】 已知ABC ∆的顶点A 、C 在反比例函数y x=（0x >）的图象上，090ACB ∠=,030ABC ∠=,AB x ⊥轴，点B 在点A 的上方，且6,AB =则点C 的坐标为 .【答案】322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 【解析】如图，过点C 作CD AB ⊥于点D . 在Rt ACB ∆中，cos 33BC AB ABC =⋅∠= 在Rt BCD ∆中，33sin 2CD BC B =⋅=（第1题答案图） 9cos ,2BD BC B =⋅=32AD AB BD ∴=-=,设33,C m A n ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭， 依题意知0,n m >>故33,CD n m AD =-=3323332n m mn ⎧-=⎪⎪-=⎩ 解得323m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故点C 的坐标为322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 1(B).已知ABC ∆的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分，3AD =则AM = .【答案】2.【解析】（第1题答案图1 ） （ 第1题答案图2）依题意得BAD DAM MAC ∠=∠=∠,090,ADB ADC ∠=∠= 故ABC ACB ∠≠∠. (1)若ABC ACB ∠>∠时，如答案图1所示，ADM ∆≌,ADB ∆1,2BD DM CM ∴== 又AM 平分,DAC ∠ 1,2AD DM AC CM ∴==在Rt DAC ∆中，即1cos ,2DAC ∠= 060,DAC ∴∠= 从而0090,30BAC ACD ∠=∠=.在Rt ADC ∆中，tan 3tan 603,CD AD DAC =⋅∠==o 1.DM =在Rt ADM ∆中，222AM AD DM =+=.(2)若ABC ACB ∠<∠时，如答案图2所示.同理可得2AM =.综上所述，2AM =. 2(A).在四边形ABCD 中，BC ∥AD ,CA 平分BCD ∠,O 为对角线的交点，,CD AO =,BC OD =则ABC ∠= .【答案】126o.【解析】设,OCD ADO αβ∠=∠=,CA Q 平分BCD ∠,OCD OCB α∴∠=∠=,BC Q ∥AD ,,ADO OBC DAO OCB βα∴∠=∠=∠=∠=, (第2题答案图) OCD DAO α∴∠=∠=,AD CD ∴=,Q ,CD AO =AD AO ∴=,ADO AOD BOC OBC β∴∠=∠=∠=∠=,OC BC ∴=, Q ,BC OD =,OC OD ∴=ODC OCD α∴∠=∠=,180BOC ODC OCD BOC OBC OCB ∠=∠+∠∠+∠+∠=o Q2,2180,βααβ∴=+=o解得36,72αβ==o o ，72DBC BCD ∴∠=∠=o,,BD CD AD ∴==18054,2ABD BAD β-∴∠=∠==o o 故126ABC ABD DBC ∠=∠+∠=o.3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 . 【答案】167334.【解析】设两个三位数分别为,x y ，则10003x y xy +=，①31000(31000),y xy x y x ∴=-=-故y 是x 的正整数倍，不妨设y tx =（t 为正整数），代入①得10003,t tx +=1000,3t x t +∴=x Q 是三位数，10001003tx t+∴=≥，解得 1000,299t ≤t Q 为正整数，t ∴的可能取值为1,2,3.验证可知，只有2t =符合，此时 167,334.x y == 故所求的六位数为167334.3(B).若质数p 、q 满足：340,111,q p p q --=+<则pq 的最大值为 . 【答案】1007.【解析】由340q p --=得，34,p q =-2224(34)343,33pq q q q q q ⎛⎫∴=-=-=-- ⎪⎝⎭因q 为质数，故pq 的值随着质数q 的增大而增大，当且仅当q 取得最大值时，pq 取得最大值.又111p q +<，34111,q q ∴-+<3284q ∴<，因q 为质数，故q 的可能取值为 23,19,17,13,11,7,5,3,2，但23q =时，3465513p q =-==⨯不是质数，舍去.当19q =时,3453p q =-=恰为质数.故max max 19,()53191007q pq ==⨯=.4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M ,则M 的最大值为 . 【答案】10.【解析】(依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论,确定M 的最大值.(1)若5个1分布在同一列，则5M =；(2)若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3，故 2515320M ≤⨯+⨯=,故10M ≤;(3) 若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3，故 351525330M ≤⨯+⨯+⨯=,故10M ≤;(4) 若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾. 综上所述，10.M ≤另一方面，如下表的例子说明M 可以取到10.故M 的最大值为10.第二试(3月20日上午9:50 — 11:20)一、（本题满分20分）已知,a b 为正整数，求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值.【解析】解：因,a b 为正整数，要使得22324M a ab b =---的值为正整数，则有2a ≥.当2a =时，b 只能为1，此时 4.M =故M 能取到的最小正整数值不超过4.当3a =时，b 只能为1或2.若1,18b M ==;若2b =，则7M =.当4a =时，b 只能为1或2或3.若1,38b M ==;若2,24b M ==;若3,b =则2M =. (下面考虑：22324M a ab b =---的值能否为1？)（反证法）假设1M =，则223241a ab b ---=，即22325a ab b -=+， 2(3)25a a b b -=+ ①因b 为正整数，故25b +为奇数，从而a 为奇数，b 为偶数，不妨设21,2a m b n =+=，其中,m n 均为正整数，则22222(3)(21)3(21)(2)4(332)3a a b m m n m m mn n ⎡⎤-=++-=+--+⎣⎦即2(3)a a b -被4除所得余数为3，而252(2)141b n n +=+=+被4除所得余数为1，故①式不可能成立，故1M ≠.因此，M 能取到的最小正整数值为2.二、（本题满分25分）(A ).如图，点C 在以AB 为直径的O e 上，CD AB ⊥于点D ,点E 在BD 上，,AE AC =四边形DEFM 是正方形，AM 的延长线与O e 交于点N .证明:FN DE =.(第2(A)题答案图)【证明】：连接BC 、.BN AB Q 为O e 的直径，CD AB ⊥于点D90ACB ANB ADC ∴∠=∠=∠=o,,CAB DAC ACB ADC ∠=∠∠=∠Q ,ACB ADC ∴∆∆∽,AC AB AD AC∴=2AC AD AB ∴=⋅ 由四边形DEFM 是正方形及CD AB ⊥于点D 可知:点M 在CD 上，DE DM EF MF ===,,NAB DAM ANB ADM ∠=∠∠=∠Q ,ANB ADM ∴∆∆∽,AN AB AD AM∴=,AD AB AM AN ∴⋅=⋅2,AC AM AN ∴=⋅ ,AE AC =Q 2AE AM AN ∴=⋅以点F 为圆心、FE 为半径作,F e 与直线AM 交于另一点P ,则F e 与AB 切于点E ,即AE 是F e 的切线，直线AMP 是F e 的割线，故由切割线定理得2AE AM AP =⋅AN AP ∴=,即点N 与点P 重合，点N 在F e 上，FN FE DE ∴==.(注：上述最后一段得证明用了“同一法”)(B ).已知：5,a b c ++= 22215,a b c ++= 33347.a b c ++= 求222222()()()a ab b b bc c c ca a ++++++的值. 【解析】由已知得22221()()52ab bc ca a b c a b c ⎡⎤++=++-++=⎣⎦ 由恒等式3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---得，4735(155),abc -=⨯-1abc ∴=-又22()()()5(5)55(1)a ab b a b c a b ab bc ca c c ++=+++-++=--=- 同理可得22225(4),5(4)b bc c a c ca a b ++=-++=-∴原式=[]35(4)(4)(4)1256416()4()a b c a b c ab bc ca abc ---=-+++++- 125[6416545(1)]625.=⨯-⨯+⨯--=【注：恒等式32()()()()()t a t b t c t a b c t ab bc ca t abc ---=-+++++-】三、（本题满分25分）(A ).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且 222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= . (3) 求111xy yz zx++的值. (4) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.【解析】（1）解：由等式222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++=， 去分母得222222(1)(1)(1((1)(1)(1)4z x y x y z y z x xyz --+--+--=，222222222222()()()3()0,x y z xy z x yz x y z y z x z x y xyz x y z xyz ⎡⎤++-+++++++++-=⎣⎦ ()()()()0xyz xy yz zx x y z xy yz zx x y z xyz ++-+++++++-=，∴[()](1)0xyz x y z xy yz zx -++++-=，1,10xy yz zx xy yz zx ++≠∴++-≠Q ，()0,xyz x y z ∴-++=xyz x y z ∴=++，∴原式= 1.x y z xyz++= （2）证明：由（1）得计算过程知xyz x y z ∴=++，又Q ,,x y z 为正实数,9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx ∴+++-++9()()()8()()x y y z z x x y z xy yz zx =+++-++++222222()()()6x y z y z x z x y xyz =+++++-222()()()0.x y z y z x z x y =-+-+-≥∴9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.【注：222222()()()2x y y z z x x y xy y z yz z x zx xyz +++=++++++ 222222()()()2x y z y z x z x y xyz =++++++222222()()3x y z xy yz zx x y xy y z yz z x zx xyz ++++=++++++222222()()()3x y z y z x z x y xyz =++++++】(B ).如图，在等腰ABC ∆中,5,AB AC ==D 为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ⋅的值.（第3（B ）题答案图）【解析】如图，连接,,AE ED CF ,则,AB AC =Q ABD ACB ∴∠=∠Q 点C 关于直线AD 的对称点为点E ,,BED BCF AED ACD ACB ∴∠=∠∠=∠=∠ ,ABD AED ∴∠=∠,,,A E B D ∴四点共圆,BED BAD ∴∠=∠(同弧所对得圆周角相等) BAD BCF ∴∠=∠,,,,A B F C ∴四点共圆，AFB ACB ABD ∴∠=∠=∠,AFB ABD ∴∆∆∽,AB AF AD AB ∴=225 5.AD AF AB ∴⋅===（注：若共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆，也可以说成：若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆）------------------------------------------------------------------------ 怎样才能学好数学一、把握好课堂的每一分钟如今的小学数学教师，都比较重视课堂教学的效益，所以，老师最期盼的事情就是：学生能够专心听讲，眼睛时刻盯在老师身上，或者盯在黑板上。
2016年全国初中数学联赛试题及答案
2016年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知t =，a 是t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则112b a -= （ ）A.12． ． C.1． 【答】A.∵2t ==+324<+，∴31a t =-=.又∵2t -=-423-<-<-，∴(4)2b t =---=∴11122b a -===. 2．三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案共有 （ ）A ．9种．B ．10种．C ．11种．D ．12种．【答】C.设购买三种图书的数量分别为,,a b c ，则30a b c ++=，101520500a b c ++=，易得202b a =-，10c a =+，于是a 有11种可能的取值（分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）.对于每一个a 值，对应地可求出唯一的b 和c ， 所以，不同的购书方案共有11种.3．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”。
如: 3321(1)=--，332631=-，2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ）A ．6858．B ．6860．C ．9260．D ．9262．【答】B.注意到332(21)(21)2(121)k k k +--=+，由22(121)2016k +≤得||10k <.取k ＝0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，即得所有的不超过2016的“和谐数”，它们的和为 333333333[1(1)](31)(56)(1917)1916860--+-+-++-=+= .4．已知⊙O 的半径OD 垂直于弦AB ，交AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，若AB ＝8,CD ＝2，则△BCE 的面积为 （ ）A.12．B.15．C.16．D.18．【答】A.设OC x =，则OA =OD 2x =+，在Rt △OAC 中，由勾股定理得222OC AC OA +=，即2224(2)x x +=+，解得3x =.又OC 为△ABE 的中位线，所以26BE OC ==. 所以直角△BCE 的面积为1122CB BE ⋅=. 5．如图，在四边形ABCD 中，90BAC BDC ∠=∠=︒，AB AC ==1CD =，对角线的交点为M ，则DM ＝ （ ）．．． D.12． 【答】D.作AH BD ⊥于点H ，易知△AMH ∽△CMD ，所以AH AM CD CM=，又1CD =，所以 AM AH CM= ① 设AM x =，则CM x =.在Rt △ABM中，可得AB AM AH BM ⋅==.=，解得x =x =舍去）.所以2CM =，12DM ==. 6．设实数,,x y z 满足1x y z ++=，则23M xy yz xz =++的最大值为 （ ） A.12． B. 23． C.34． D. 1． 【答】C.23(23)(1)M xy yz xz xy y x x y =++=++--2234232x xy y x y =---++22221112[2()()]332()222y x y x x x x =-+-+--++-22112()22y x x x =-+--++ 2211332()()2244y x x =-+---+≤， 所以23M xy yz xz =++的最大值为34. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）B C1．已知△ABC 的顶点A 、C在反比例函数0)y x x=>的图象上，90ACB ∠=︒，ABC ∠＝30°，AB ⊥x 轴，点B 在点A 的上方，且AB ＝6，则点C 的坐标为_______．【答】2). 作CD AB ⊥于点D，易求得CD =，32AD =.设(C m，(A n ，结合题意可知0n m >>，(D n m，所以CD n m =-，AD m n =-，故2n m -=，32m n -=，联立解得2m =，n =所以，点C的坐标为(2)2. 2．在四边形ABCD 中，//BC AD ，CA 平分BCD ∠，O 为对角线的交点，CD AO =，BC OD =，则ABC ∠＝ ．【答】126︒.因为//BC AD ，CA 平分BCD ∠，所以DAC ACB ACD ∠=∠=∠，所以DA DC =，又CD AO =，所以AD AO =，所以ADO AOD ∠=∠.记DAC ACB ACD ∠=∠=∠＝α，ADO AOD β∠=∠=. 又//BC AD ，所以△ADO ∽△CBO ，结合AD AO =可得OC BC =，且CBO COB β∠=∠=. 又BC OD =，所以OC OD =，所以ODC OCD α∠=∠=.结合图形可得：2βα=且2180αβ+=︒，解得36α=︒，72β=︒.所以72DBC DCB ∠=∠=︒，所以BD CD AD ==，所以54DAB DBA ∠=∠=︒，于是可得126ABC ABD DBC ∠=∠+∠=︒.3．有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数.这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 ．【答】167334.设两个三位数分别为x 和y ，由题设知10003x y xy += ①由①式得31000(31000)y xy x y x =-=-，故y 是x 的整数倍，不妨设y tx =（t 为正整数），代入①式得10003t tx +=，所以10003t x t +=.因为x 是三位数，所以10001003t x t+=≥，从而可得1000299t ≤，又t 为正整数，故t 的可能的取值只能是1，2，3.验证可知：只有t ＝2符合题意.所以t ＝2，167x =，334y =，所求的六位数为167334.4．将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M ，则M 的最大值为 ．【答】10.依据5个1分布的列数的不同情形分别求M 的最大值.若5个1分布在同一列，则M ＝5；若5个1分布在两列中，则由题设知这两列中出现的最大数至多为3，故2515320M ≤⨯+⨯=，所以10M ≤；若5个1分布在三列中，则由题设知这三列中出现的最大数至多为3，故351525330M ≤⨯+⨯+⨯=，所以10M ≤； 若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，与题设矛盾. 综上所述，10M ≤； 另一方面，右边给出的例子说明M 可以取到10.故M 的最大值为10.第一试(B)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.题目和解答与（A ）卷第1题相同.2．题目和解答与（A ）卷第2题相同.3．已知二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点（1，0）.当a b -为整数时， ab ＝ （ ）A ．0．B ．14． C ．34-． D ．2-． 【答】B.由于二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点（1，0）和（0，1），故0a <，02b a-<，10a b ++=，所以0b <且1b a =--，于是可得10a -<<. 当21a b a -=+为整数时，因为1211a -<+<，所以210a +=，故12a =-，12b =-，所以14ab =. 4．题目和解答与（A ）卷第4题相同.5．题目和解答与（A ）卷第5题相同.6. 题目和解答与（A ）卷第6题相同.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知△ABC 的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分，AD =则AM ＝_______．【答】2.显然ABC ACB ∠≠∠.若ABC ACB ∠>∠，则由已知条件易知△ADM ≌△ADB ，所以BD =DM 12CM =.又因为AM 平分DAC ∠，所以，由角平分线定理可得12AD DM AC CM ==，即1cos 2DAC ∠=，所以DAC ∠＝60︒，进而可得90BAC ∠=︒，30ACD ∠=︒.在Rt △ADC中，AD =30ACD ∠=︒，可求得3CD =，所以1DM =.在Rt △ADM中，由勾股定理得2AM ==.若ABC ACB ∠<∠，同理可求得2AM =.2．题目和解答与（A ）卷第1题相同.3．若质数,p q 满足：340q p --=，111p q +<.则pq 的最大值为 ．【答】1007.由340q p --=得34p q =-，所以(34)pq q q =-，显然(34)q q -的值随着质数q 的增大而增大，当且仅当q 取得最大值时pq 取得最大值.又因为111p q +<，即p q +＝44q -111<，所以29q <.因为q 为质数，所以q 的可能的取值为23，19，17，13，11，7，5，3，2.当q ＝23时，34p q =-＝65，不是质数；当q ＝19时，34p q =-＝53，是质数.所以，q 的最大值为19，pq 的最大值为53×19＝1007.4. 题目和解答与（A ）卷第3题相同.第二试 （A ）一、（本题满分20分）已知,a b 为正整数，求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值. 解 因为,a b 为正整数，要使得22324M a ab b =---的值为正整数，显然有2a ≥.当2a =时，b 只能为1，此时4M =，故22324M a ab b =---能取到的最小正整数值不超过4.………………5分当3a =时，b 只能为1或2.若b ＝1，则M =18；若b ＝2，则M =7.当4a =时，b 只能为1或2或3.若b ＝1，则M =38；若b ＝2，则M =24；若b ＝3，则M =2.………………10分下面考虑： 22324M a ab b =---的值能否为1？若1M =，即223241a ab b ---=，即22325a ab b -=+ ①，注意到25b +为奇数，所以a 是奇数， b 是偶数，此时，223a ab -被4除所得余数为3，25b +被4除所得余数为1，故①式不可能成立，即1M ≠.因此，22324M a ab b =---能取到的最小正整数值为2. ……………………20分二、（本题满分25分）如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，CD AB ⊥于点D ，点E 在BD 上，AE AC =，四边形DEFM 是正方形，AM 的延长线与⊙O 交于点N .证明：FN DE =.证明 连接BC 、BN .∵AB 为⊙O 的直径，CD AB ⊥，∴90ACB ANB ADC ∠=∠=∠=︒.∵CAB DAC ∠=∠，ACB ADC ∠=∠，∴△ACB ∽△ADC ， ∴AC AB AD AC=，∴2AC AD AB =⋅. ……………………5分 又由DEFM 为正方形及CD AB ⊥可知：点M 在CD 上，B ADE DM EF MF ===.∵NAB DAM ∠=∠，ANB ADM ∠=∠，∴△ANB ∽△ADM ，∴AN AB AD AM =， ∴AD AB AM AN ⋅=⋅.∴2AC AM AN =⋅，又AE AC =，∴2AE AM AN =⋅.……………………15分 以F 为圆心、FE 为半径作⊙F ，与直线AM 交于另一点P ，显然：⊙F 与AB 切于点E .于是，由切割线定理可得2AE AM AP =⋅.∴AN AP =，∴点N 即为点P ，∴点N 在⊙F 上，∴FN FE DE ==.……………………25分三、（本题满分25分）已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++=. （1）求111xy yz zx++的值. （2）证明：9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.解 （1）由等式222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++=得 222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4z x y x y z y z x xyz --+--+--=，展开整理得222222222222[()()()]()4x y z x yz xy z x y z y z x z x y x y z xyz ++-++++++++=， 即()()()()0xyz xy yz xz x y z xy yz xz x y z xyz ++-+++++++-=，所以[()](1)0xyz x y z xy yz xz -++++-=. ……………………10分 又因为1xy yz zx ++≠，所以()0xyz x y z -++=，所以xyz x y z =++，因此，1111xy yz zx++=. ……………………15分（2）因为,,x y z 为正数，所以9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++-++＝9()()()8()()x y y z z x x y z xy yz zx +++-++++ ＝2222226x y xy x z xz y z yz xyz +++++-＝222()()()0x y z y z x z x y -+-+-≥，所以9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.……………………25分第二试 （B ）一、（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.二、（本题满分25分）已知：5a b c ++=，22215a b c ++=，33347a b c ++=.求222222()()()a ab b b bc c c ca a ++++++的值.解 因为5a b c ++=，22215a b c ++=，所以22222()()()10ab bc ac a b c a b c ++=++-++=，所以5ab bc ac ++=. ……………………5分 结合恒等式3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ac ++-=++++---，可得4735(155)abc -=- 50=，所以1abc =-. ……………………10分 而22()()()a ab b a b a b c ab bc ac ++=+++-++5(5)55(4)c c =--=-. ……………15分 同理可得225(4)b bc c a ++=-，225(4)c ca a b ++=-，所以 222222()()()125(4)(4)(4)a ab b b bc c c ca a a b c ++++++=---125[6416545(1)]=-⨯+⨯--625=. ……………………25分三、（本题满分25分）如图，在等腰△ABC中，AB AC ==D 为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线AD 的对称点为点E ，EB 的延长线与AD 的延长线交于点F ，求AD AF ⋅的值. 解 连接AE 、ED 、CF ，由题设条件可知ABC ACB AED ∠=∠=∠，所以A 、E 、B 、D 四点共圆，于是可得BED BAD ∠=∠.……………………10分又因为点C 和点E 关于直线AD 对称，所以BED BCF ∠=∠.……………………15分因此BAD BCF ∠=∠，所以A 、B 、F 、C 四点共圆，又AB AC =，所以ABD ACB AFB ∠=∠=∠， ……………………20分所以△ABD ∽△AFB ，所以AB AD AF AB =，所以25AD AF AB ⋅==. ……………………25分E C。
“周报杯”2016年全国初中数学竞赛试题及参考答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2016年全国初中数学竞赛试题1．用圆珠笔或钢笔作答；2．解答书写时不要超过装订线；3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设1a ，则代数式32312612a a a 的值为( ).（A ）24 （B ）25 （C ）10 （D ）122．对于任意实数a b c d ，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：（a b ，）△（c d ，）＝（ac bd ad bc ，）．如果对于任意实数u v ， 都有（u v ，）△（x y ，）＝（u v ，），那么（x y ，）为( ).（A ）（0，1） （B ）（1，0） （C ）（﹣1，0） （D ）（0，-1）3．若1x ，0y ，且满足3y yxxy x x y ，，则x y 的值为( ).（A ）1 （B ）2 （C ）92 （D ）1124．点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S 四边形，，则13S S 与24S S 的大小关系为( ).（A ）1324S S S S （B ）1324S S S S （C ）1324S S S S （D ）不能确定5．设3333111112399S L ，则4S 的整数部分等于( ).（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 .7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .8．如图，点A B ，为直线y x 上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x（x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC ，则224OC OD 的值为 .9．若y a ，最小值为b ，则22a b 的值为.10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a 的两个整数根恰好比方程20x ax b 的两个根都大1，求a b c 的值.12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线223y x于P ，Q 两点.（1）求证：∠ABP =∠ABQ ；（2）若点A 的坐标为（0，1），且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解析式.14．如图，△ABC 中，60BAC ，2AB AC ．点P 在△ABC 内，且52PA PB PC ，求△ABC 的面积．“《数学周报》杯”2020年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1．A解：因为1a ， 1a ， 262a a ， 所以322312612362126261261260662126024.a a a a a a a a a a a （）（）2．B解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v ，，即(1)0(1)0u x vy v x uy，对任何实数u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得（x y ，）=（1，0）．3．C解：由题设可知1y y x ，于是341y y x yx x ，所以 411y ，故12y，从而4x ．于是92x y．4．C解：如图，连接DE ，设1DEFS S ，则1423S S EF S BF S，从而有1324S S S S ．因为11S S ，所以1324S S S S ．5．A解：当2 3 99k L ，时，因为 32111112111k k k k k k k，所以3331111115111239922991004SL .于是有445S ，故4S 的整数部分等于4．二、填空题6．3＜m ≤4解：易知2x 是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x ，12x x m ．显然1242x x ，所以122x x ，164m ≥0，即2，164m≥0，所以2 ， 164m ≥0，解之得 3＜m ≤4.7．19解： 在36对可能出现的结果中，有4对：（1，4），（2，3），（2，3），（4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369. 8．6解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，） 因为点C D ，在双曲线1y x上，所以11ab cd ，．由于AC a b，BD c d ，又因为2BD AC ，于是22222242c d a b c cd d a ab b ，（）所以 22224826a b c d ab cd （）， 即224OC OD 6.9．32解：由1x ≥0，且12x≥0，得12≤x ≤1．21122y由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =．当12x =或1时，2y 取到最小值12，故b =．所以，2232a b．10．84解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则22235a b ＝1225． ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以FE AFCB AC，即1212b a b ，故 12()a b ab ． ②由①②得2222122524a b a b ab a b （），解得a ＋b ＝49（另一个解－25舍去），所以493584a b c ．三、解答题11．解：设方程20x ax b 的两个根为 ，，其中 ，为整数，且 ≤ ，则方程20x cx a 的两根为11 ，，由题意得11a a，，两式相加得 2210 ， 即 (2)(2)3 ，所以 2123 ，； 或232 1. ， 解得 11 ，；或53.，又因为[11]a b c（）， 所以012a b c ，；或者8156a b c ，，故3a b c ，或29.12．证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ，连接 AH BD QB QCQH ，.因为AB 为⊙1O 的直径，所以∠ADB ∠BDQ 90°，故BQ 为⊙2O 的直径.于是CQ BC BH HQ ，.又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ，所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. 所以点P 为CH 的中点.13．解：（1）如图，分别过点P Q ， 作y 轴的垂线，垂足分别为C D ， .设点A 的坐标为（0，t ），则点B 的坐标为（0，-t ）.设直线PQ 的函数解析式为y kx t ,并设P Q ，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由223y kx t y x，，得 2203x kx t ，于是 32P Q x x t ，即 23P Qt x x .于是222323P P Q Qx t y t BC BD y t x t 22222()333.222()333P P Q P P Q P Q Q P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x 又因为PQx PCQD x ，所以BC PCBD QD . 因为∠BCP ∠90BDQ ，所以△BCP ∽△BDQ ， 故∠ABP =∠ABQ .（2）解法一 设PC a ，DQ b ，不妨设a ≥b >0，由（1）可知∠ABP =∠30ABQ ，BC，BD，所以 AC2 ，AD=2 .因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ .于是PC AC DQ AD，即a b，所以a b ．由（1）中32P Q x x t ，即32ab，所以32ab a b ，于是可求得2a b将b代入223y x ，得到点Q，12）.再将点Q 的坐标代入1y kx，求得k所以直线PQ的函数解析式为1y .根据对称性知，所求直线PQ的函数解析式为1y，或1y .解法二 设直线PQ 的函数解析式为y kx t ,其中1t .由（1）可知，∠ABP =∠30ABQ ，所以2BQ DQ .故2Q x .将223Q Qy x代入上式，平方并整理得4241590Q Q x x ，即22(43)(3)0Q Q x x .所以Q x又由 (1)得3322P Q x x t ，32P Q x x k.若Q x代入上式得P x 从而2()3P Q k x x .同理，若Q x可得P x 从而2()3P Q k x x .所以，直线PQ的函数解析式为1y，或1y .14．解：如图，作△ABQ ，使得QAB PAC ABQ ACP ，则△ABQ ∽△ACP . 由于2AB AC ，所以相似比为2.于是224AQ AP BQ CP ．60QAP QAB BAP PAC BAP BAC .由:2:1AQ AP 知，90APQ，于是3PQ ．所以 22225BP BQ PQ ，从而90BQP ．于是222()28AB PQ AP BQ故21sin 602ABC S AB AC AB．。
2016年全国初中数学联赛试题-含详细解析
2016 年全国初中数学联赛（决赛）试题
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三、（本题满分 25 分）
(A).已知正实数 x, y, z 满足： xy yz zx 1 ,且
(x2 1)( y2 1) ( y2 1)(z2 1) (z2 1)(x2 1) 4 .
xy
yz
zx
(1) 求 1 1 1 的值. xy yz zx
格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过 2.考虑每列中各数之和，设这
5 个和的最小值为 M ,则 M 的最大值为
.
第二试
(3 月 20 日上午 9:50 — 11:20) 一、（本题满分 20 分）
已知 a,b 为正整数，求 M 3a2 ab2 2b 4 能取到的最小正整数值.
上，ACB 900 , ABC 300 , AB x 轴，点 B 在点 A 的上方，且 AB 6, 则点 C 的坐
标为
.
1(B). 已 知 ABC 的 最 大 边 BC 上 的 高 线 AD 和 中 线 AM 恰 好 把 BAC 三 等 分 ，
AD 3 ,则 AM .
2(A). 在 四 边 形 ABCD 中 ， BC ∥ AD , CA 平 分 B C D, O 为 对 角 线 的 交 点 ，
30 本，那么不同的购书方案有
2016 年全国初中数学联赛（决赛）试题
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2016 年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
(3 月 20 日上午 8:30 - 9:30)
一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分）
(本题共有 6 个小题，每题均给出了代号为 A,B,C,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正 确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得 7 分；不选、选错或选 出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得 0 分.)
16届江苏省初中数学竞赛试卷(初三c卷)
第16届江苏省初中数学竞赛试卷（初三C卷）一、选择题（共6小题，每小题6分，满分36分）1．（6分）已知，则的值为（）A．5B．6C．3D．42．（6分）若两个方程x2+ax+b＝0和x2+bx+a＝0只有一个公共根，则（）A．a＝b B．a+b＝0C．a+b＝1D．a+b＝﹣1 3．（6分）下列给出的4个命题：命题1 若|a|＝|b|，则a|a|＝b|b|；命题2 若a2﹣5a+5＝0，则；命题3 若x的不等式（m+3）x＞1的解集是x＜，则m＜﹣3；命题4 若方程x2+mx﹣1＝0中m＞0，则该方程有一正根和一负根，且负根的绝对值较大．其中正确的命题的个数是（）A．1B．2C．3D．44．（6分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝BC＝2，AC＝6，AD＝3，则CD的长为（）A．4B．4C．3D．35．（6分）已知三角形的每条边长的数值都是2001的质因数，那么这样的不同的三角形共有（）A．6B．7C．5D．96．（6分）12块规格完全相同的巧克力，每块至多被分为两小块（可以不相等），如果这12块巧克力可以平均分给n名同学，则n可以为（）A．26B．23C．17D．15二、填空题（共8小题，每小题5分，满分40分）7．（5分）若＝3，＝2，且ab＜0，则a﹣b＝．8．（5分）如图，D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的点，且DE∥BA，DF∥CA，（1）要使四边形AFDE是菱形，则要增加条件：；（2）要使四边形AFDE是矩形，则要增加条件：．9．（5分）方程的解是．10．（5分）要使26+210+2x为完全平方数，那么非负整数x可以是．（要求写出x的3个值）11．（5分）如图，直线y＝﹣2x+6与x轴、y轴分别交于P、Q两点，把△POQ沿PQ翻折，点O落在R处，则点R的坐标是．12．（5分）如图，已知八边形ABCDEFGH中4个正方形的面积分别为25，144，48，121个平方单位，PR＝13（单位），则该八边形的面积＝平方单位．13．（5分）如图，设△ABC的两边AC与BC之和为a，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则a的取值范围是．14．（5分）如图，一个田字形的区域A、B、C、D栽种观赏植物，要求同一个区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有4种不同的植物可供选择，那么有种栽种方案．三、解答题（共4小题，满分64分）15．（16分）某商店有A种练习本出售，每本零售价为0.30元，1打（12本）售价为3.00元，买10打以上的，每打还可以按2.70付款．（1）初三（1）班共57人，每人需要1本A种练习本，则该班集体去买时，最少需付多少元？（2）初三年级共227人，每人需要1本A种练习本，则该年级集体去买时，最少需付多少元？16．（16分）设x1、x2是方程2x2﹣4mx+2m2+3m﹣2＝0的两个实根，当m为何值时，x12+x22有最小值，并求这个最小值．17．（16分）（1）已知：如图1，在四边形ABCD中，BC⊥CD，∠ACD＝∠ADC．求证：AB+AC＞；（2）已知：如图2，在△ABC中，AB上的高为CD，试判断（AC+BC）2与AB2+4CD2之间的大小关系，并证明你的结论．18．（16分）编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A和B中．15号弹珠在篮子A 中，把这个弹珠从篮子A移至篮子B中，这时篮子A中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加，篮子B中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加．问原来在篮子A中有多少个弹珠？第16届江苏省初中数学竞赛试卷（初三C卷）参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题6分，满分36分）1．（6分）已知，则的值为（）A．5B．6C．3D．4【分析】先化简a，b后，再代入代数式求值．【解答】解：∵a＝＝，b＝＝，∴＝＝5．故选：A．【点评】先化简再代入，是求值题的一般步骤；不化简，直接代入，虽然能求出结果，但往往导致繁琐的运算．2．（6分）若两个方程x2+ax+b＝0和x2+bx+a＝0只有一个公共根，则（）A．a＝b B．a+b＝0C．a+b＝1D．a+b＝﹣1【分析】设出公共根x0构造二元一次方程组，解出符合条件的公共根．【解答】解：设公共根为x0，则．①﹣②，得（a﹣b）（x0﹣1）＝0，当a＝b时，方程可能有两个公共根，不合题意；当x0＝1时，a+b＝﹣1．故选：D．【点评】考查了一元二次方程的解．本题利用两个方程有公共根建立了方程组来求a，b 的关系．3．（6分）下列给出的4个命题：命题1 若|a|＝|b|，则a|a|＝b|b|；命题2 若a2﹣5a+5＝0，则；命题3 若x的不等式（m+3）x＞1的解集是x＜，则m＜﹣3；命题4 若方程x2+mx﹣1＝0中m＞0，则该方程有一正根和一负根，且负根的绝对值较大．其中正确的命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】命题1、代入特殊值验证正确与否；命题2、根据求根公式求的a值，然后与1比较大小后再来解；命题3、根据不等式的性质作答；命题4、根据根与系数的关系解答．【解答】解：命题1、当a＝﹣1，b＝1时，a|a|≠b|b|；故本选项错误；命题2、原方程的解是a＝．①当a＝时，1﹣a＝﹣＜0，所以；当a＝时，1﹣a＝﹣＜0，所以；故本选项正确；命题3、若x的不等式（m+3）x＞1的解集是x＜，则m+3＜0，即m＜﹣3，故本选项正确；命题4、∵x1•x2＝﹣1＜0，∴方程x2+mx﹣1＝0中m＞0，则该方程有一正根和一负根；∵x1+x2＝﹣m，且m＞0，∴﹣m＜0，即x1+x2＜0；∴该方程有一正根和一负根，且负根的绝对值较大．故该选项正确；综上所述，命题2、3、4正确，共3个．故选：C．【点评】本题综合考查了根与系数的关系、绝对值、一元一次不等式及二次根式的性质与化简．都是比较基础的题目，在解得过程中只要细心一点儿就行了．4．（6分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝BC＝2，AC＝6，AD＝3，则CD的长为（）A．4B．4C．3D．3【分析】作辅助线构建直角三角形，可得∠DAE＝60°，再根据三角函数求出AF，DF 的长，从而得到CF的长．根据勾股定理即可求出CD的长．【解答】解：过B点作BE⊥AC于E，过D点作DF⊥AC于F，∵AB＝BC＝2，AC＝6，∴cos∠BAE＝，即∠BAE＝30°．∵∠BAD＝90°，∴∠DAE＝60°．∵AD＝3，∴AF＝1.5，DF＝1.5，∴CF＝6﹣1.5＝4.5．∴CD＝＝3．故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形、三角函数、勾股定理等知识．难度较大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．5．（6分）已知三角形的每条边长的数值都是2001的质因数，那么这样的不同的三角形共有（）A．6B．7C．5D．9【分析】此题先将2001分解质因数，得到3、23、29三个质数，再根据三角形边的关系组成不同的三角形即可解答．【解答】解：2001＝3×23×29，3、23、29都是质数，能组成三角形的有3、3、3，23、23、23，29、29、29，3、23、23，3、29、29，23、23、29，23、29、29，共能组成7个不同的三角形．故选：B．【点评】本题主要考查分解质因数的方法以及三角形各边的关系，熟练掌握分解质因数的方法是解题的关键．三角形两边之和大于第三边．6．（6分）12块规格完全相同的巧克力，每块至多被分为两小块（可以不相等），如果这12块巧克力可以平均分给n名同学，则n可以为（）A．26B．23C．17D．15【分析】根据题意先做出假设，再根据实际进行分析，得出必要的答案．【解答】解：12块巧克力均分给15名同学，每人应分得块，因此，可将每块巧克力按4：1的比例分为两小块，其中12位同学每人得1块大的，另3位同学每人得4快小的，所以n可以为15；故选：D．【点评】此题考查了应用类问题；解题的关键是读懂题意，根据实际情况找出之间的关系．二、填空题（共8小题，每小题5分，满分40分）7．（5分）若＝3，＝2，且ab＜0，则a﹣b＝﹣7．【分析】因为＝2，所以b＞0，又因为ab＜0，所以a＜0，可解得若a＝﹣3，再计算即可．【解答】解：根据二次根式的性质，得a＝±3，b＝4．又ab＜0，则a＝﹣3．则a﹣b＝﹣3﹣4＝﹣7．【点评】熟练根据平方根的意义确定a，b的值，然后代值计算，注意根据ab＜0进行值的取舍．8．（5分）如图，D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的点，且DE∥BA，DF∥CA，（1）要使四边形AFDE是菱形，则要增加条件：AE＝AF；（2）要使四边形AFDE是矩形，则要增加条件：∠BAC＝90°．【分析】（1）根据DE∥BA，DF∥CA，可以得出四边形AFDE是平行四边形，再菱形的判定定理，只要邻边相等即可判定是菱形，所以可以添加这个条件；（2）根据DE∥BA，DF∥CA，可以得出四边形AFDE是平行四边形，再矩形的判定定理，只要有一个角是90°，就可以得出它是矩形．【解答】解：（1）∵DE∥BA，DF∥CA，∴四边形AFDE是平行四边形，当AE＝AF，∴平行四边形AFDE是菱形；（2）∵DE∥BA，DF∥CA，∴四边形AFDE是平行四边形，当∠BAC＝90°，∴平行四边形AFDE是矩形；故答案为：（1）AE＝AF等，（2）∠BAC＝90°等．【点评】此题主要考查了矩形的判定方法与菱形的判定定方法，题目直接可查特殊四边形的判定，这也是中考中热点问题，应熟练掌握它们之间的区别．9．（5分）方程的解是x＝﹣5.5．【分析】先将方程变形为，﹣＝﹣，根据左右两边分别通分，整理求得结果即可．【解答】解：原方程变形为：﹣＝﹣，左右两边分别通分得到：＝∴（x+2）（x+3）＝（x+8）（x+9），整理，得12x+66＝0，解得x＝﹣5.5，经检验，x＝﹣5.5是原方程的解．故答案为：﹣5.5．【点评】本题考查了解分式方程，注：将分母小的移到一边，分母大的移到一边，通分后即可找到规律．10．（5分）要使26+210+2x为完全平方数，那么非负整数x可以是0，9，12．．（要求写出x的3个值）【分析】根据完全平方公式得到（25+1）2＝210+2•25+1＝210+26+1，要使26+210+2x为完全平方数，2x可以为1，即2x＝1＝20，即可解得x的值；又（25+23）2＝210+2•28+26＝210+26+29，或（26+23）2＝212+2•29+26＝210+26+212，同样能得到x的值．【解答】解：∵26＝（23）2，210＝（25）2，∴（25+1）2＝210+2•25+1＝210+26+1，∴要使26+210+2x为完全平方数，2x可以为1，即2x＝1＝20，解得x＝0；又∵（25+23）2＝210+2•28+26＝210+26+29，∴要使26+210+2x为完全平方数，2x可以为29，即2x＝29，解得x＝9；又∵（26+23）2＝212+2•29+26＝210+26+212，∴要使26+210+2x为完全平方数，2x可以为212，即2x＝212，解得x＝12；故答案为：0，9，12．【点评】本题考查了完全平方公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2．也考查了正整数的幂的性质．11．（5分）如图，直线y＝﹣2x+6与x轴、y轴分别交于P、Q两点，把△POQ沿PQ翻折，点O落在R处，则点R的坐标是．【分析】先设出R点的坐标，再由一次函数的性质分别求出P、Q两点的坐标，再根据图形翻折不变性的性质可得到OP＝RP，OQ＝RQ，利用两点间的距离公式即可求解．【解答】解：设R（a，b），∵直线y＝﹣2x+6与x轴、y轴分别交于P、Q两点，∴令x＝0，则y＝6，令y＝0，则x＝3，∴P（3，0），Q（0，6），∴OP＝3，OQ＝6，∵△PQR是沿QP翻折而成的，∴RP＝OP，OQ＝QR，∴＝OP＝3，＝OQ＝6，解得a＝，b＝，故R点的坐标为：（，）．故答案为：（，）．【点评】本题考查的值图形翻折变换的性质及两点间的距离公式，熟知图形翻折变换的性质是解答此题的关键．12．（5分）如图，已知八边形ABCDEFGH中4个正方形的面积分别为25，144，48，121个平方单位，PR＝13（单位），则该八边形的面积＝428+66平方单位．【分析】由PR＝13、PS＝12、RS＝5得出PS⊥SR，PQ⊥QR，求出四边形PQRS的面积，作QI⊥PR交PS于I，BJ⊥AP交AP的延长线于J，利用全等证出QI＝BJ，推出S△APB+S＝S四边形PQRS，再把各部分的面积相加即可得到答案．△EFR【解答】解：∵4个正方形的面积分别为25，144，48，121，∴边长分别为：5、12、4、11，∵PR＝13、PS＝12、RS＝5，∴PS⊥SR，PQ⊥QR，∴S四边形PQRS＝（PS•SR+PQ•QR）＝30+22，显然S△HSG+S△CDQ＝S四边形PQRS，如图作QI⊥PR，交PS于I，BJ⊥AP交AP的延长线于J，∵BP＝PQ，∠BJP＝∠QIP＝90°，∵∠APB+∠QPS＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠QPS＝∠BPJ，∴Rt△PQI≌Rt△PBJ，∴QI＝BJ，∴S△APB＝S△PSQ，同理S△EFR＝S△QSR，则S△APB+S△EFR＝S四边形PQRS，故八边形的面积＝3（30+22）+144+48+121+25，＝428+66．故答案为：428+66．【点评】本题主要考查了面积与等积变换，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理的逆定理等知识点，正确求出各部分的面积是解此题的关键．题目较好但有一定难度．13．（5分）如图，设△ABC的两边AC与BC之和为a，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则a的取值范围是10＜a≤10．【分析】根据题设知三角形ABC是直角三角形，由勾股定理求得AB的长度及由三角形的三边关系求得a的取值范围；然后根据题意列出二元二次方程组，通过方程组求得xy 的值，再把该值依据根与系数的关系置于一元二次方程z2﹣az+＝0中，最后由根的判别式求得a的取值范围．【解答】解：∵M是AB的中点，MC＝MA＝5，∴△ABC为直角三角形，AB＝10；∴a＝AC+BC＞AB＝10；令AC＝x、BC＝y．∴，∴xy＝，∴x、y是一元二次方程z2﹣az+＝0的两个实根，∴△＝a2﹣4×≥0，即a≤10．综上所述，a的取值范围是10＜a≤10．故答案为：10＜a≤10．【点评】本题综合考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线及根的判别式．此题的综合性比较强，解题时，还利用了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式的知识点．14．（5分）如图，一个田字形的区域A、B、C、D栽种观赏植物，要求同一个区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有4种不同的植物可供选择，那么有84种栽种方案．【分析】本题可以根据A，C所种的种数相同和不同来分类，然后再考虑B，D有多少种种法，最后求得结果．【解答】解：若A，C种同一种植物，则A，C有4×1种栽种方法，B，D都有3种栽种法，共有4×3×3＝36种栽种方案；若A，C种不同的植物，则有4×3种栽种法，B，D都有2种栽种法，一共有4×3×2×2＝48种栽种法．所以共有36+48＝84种．故答案为：84．【点评】本题考查理解题意能力，关键是分类思想的运用以及意全面地考虑问题，否则容易得到错误的结果．三、解答题（共4小题，满分64分）15．（16分）某商店有A种练习本出售，每本零售价为0.30元，1打（12本）售价为3.00元，买10打以上的，每打还可以按2.70付款．（1）初三（1）班共57人，每人需要1本A种练习本，则该班集体去买时，最少需付多少元？（2）初三年级共227人，每人需要1本A种练习本，则该年级集体去买时，最少需付多少元？【分析】（1）根据题意知，班级有57人有两种方案可以实行，可买5打或4打加9本，分别求出需要多少钱，（2）由于227＝12×18+11，于是可以这样买：买19打或18打加11本，求出两种买法所需要的钱．【解答】解：（1）可买5打或4打加9本，前者需要付款3.00×5＝15（元），后者只需要付款3.00×4+0.3×9＝14.7（元），故该班集体去买时，最少需要付14.7元，（2）227＝12×18+11，可买19打或18打加11本，前者需要付款2.7×19＝51.30（元），后者需要付款2.7×18+0.3×11＝51.90（元），比前者还要多付0.6元，故该年级集体去买，最少需付51.30元．【点评】本题主要考查应用类问题的知识点，解答本题的关键是熟练理解题意，此题难度不大．16．（16分）设x1、x2是方程2x2﹣4mx+2m2+3m﹣2＝0的两个实根，当m为何值时，x12+x22有最小值，并求这个最小值．【分析】由韦达定理知x12+x22是关于m的二次函数，是否是在抛物线的顶点处取得最小值，就要看自变量m的取值范围，从判别式入手．【解答】解：∵x1、x2是方程2x2﹣4mx+2m2+3m﹣2＝0的两个实根，∴△＝（﹣4m）2﹣4×2×（2m2+3m﹣2）≥0，可得m≤，又x1+x2＝2m，x1x2＝，∴x12+x22＝2+＝2+，∵m≤，∴﹣m≥﹣＞0，∴当m＝时，x12+x22取得最小值为2×+＝．【点评】本题考查了某一区间的条件限制的二次函数最值问题及根的判别式，难度较大，关键掌握：当抛物线的顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值，当抛物线的顶点不在该区间内，二次函数的最值在区间内两端点处取得．17．（16分）（1）已知：如图1，在四边形ABCD中，BC⊥CD，∠ACD＝∠ADC．求证：AB+AC＞；（2）已知：如图2，在△ABC中，AB上的高为CD，试判断（AC+BC）2与AB2+4CD2之间的大小关系，并证明你的结论．【分析】（1）连接BD，利用三角形三边关系可得AB+AD＞BD，再利用勾股定理和等量代换即可证明．（2）如图，作EB⊥AB，EB＝2CD，利用（1）的结论即可证明．【解答】解：（1）连接BD，∵∠ACD＝∠ADC，∴AC＝AD，∵AB+AD＞BD，∵BC⊥CD，∴∠BCD＝90°，∴BD＝，∴AB+AC＞；（2）大小关系是（AC+BC）2≥AB2+4CD2，当A、C、F三点共线时，取“＝”．理由为：如图，作FB⊥AB，截FB＝2CD，∵由①可知AC2+BC2≥AB2+BF2∴（AC+BC）2≥AB2+4CD2，当ACF三点共线时，取“＝”．【点评】此题主要考查三角形三边关系和勾股定理等知识点，难易程度适中，是一道典型的题目．18．（16分）编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A和B中．15号弹珠在篮子A 中，把这个弹珠从篮子A移至篮子B中，这时篮子A中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加，篮子B中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加．问原来在篮子A中有多少个弹珠？【分析】解析本题涉及A中原有弹珠，A、B中号码数的平均数，故引入三个未知数．根据题意说明列出方程组，求的x的值即为所求．【解答】解：设原来篮子A中有弹珠x个，则篮子B中有弹珠（25﹣x）个．又记原来A中弹珠号码数的平均数为a，B中弹珠号码数的平均数为b．则由题意得，由②得a＝由③得b＝将a、b代入①解得x＝9，答：原来篮子A中有9个弹珠．【点评】本题考查三元一次方程组的应用．解决本题的关键是设定恰当的未知数，尤其是原来A中弹珠号码数的平均数为a，B中弹珠号码数的平均数为b；再根据题意列出方程组．。
2016-2017学年江苏省南京九中九年级(上)竞赛数学试卷(解析版)
2016-2017学年江苏省南京九中九年级（上）竞赛数学试卷一、选择题1．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．x2+by+c=0 B．x2+5x=x2+1 C．D．2．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣1=0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定3．（3分）某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%，则平均每次降价（）A．10% B．19% C．9.5% D．20%4．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BOC=110°，AD∥OC，则∠AOD=（）A．70°B．60°C．50°D．40°5．（3分）在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）A．40cm B．60cm C．80cm D．100cm6．（3分）以3、4为两边的三角形的第三边长是方程x2﹣13x+40=0的根，则这个三角形的周长为（）A．15或12 B．12 C．15 D．以上都不对二、填空题7．（3分）把方程（x+3）（2x+5）+x（3x﹣1）=0化为一般形式，这个方程的根的判别式的值等于．8．（3分）若a是方程x2﹣x﹣1=0的一个根，则代数式a2﹣a的值是．9．（3分）已知方程4x2﹣5x﹣6=0的两个根是x1、x2，则x1+x2=，x1•x2=．10．（3分）关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣x+m2﹣3m=3有一个根是1，则m 的值为．11．（3分）写出一个一元二次方程，使方程的两个根分别为﹣3，2，并且二次项系数为1．．12．（3分）到点O的距离等于4的点的集合是．13．（3分）如图，⊙O的半径为10，弦AB的长为12，OD⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，则OD=，CD=．14．（3分）若⊙O的半径为6cm，OA、OB的长分别为5cm、6cm，则点A、B 与⊙O的位置是：点A在⊙O，点B在⊙O．15．（3分）以矩形ABCD的顶点A为圆心作⊙A，要使B、C、D三点中至少有一点在⊙A内，且至少有一点在⊙A外，如果BC=12，CD=5，则⊙A的半径r的取值范围为．16．（3分）平面上一点M到⊙O上的最长距离为10cm，最短距离为2cm，那么⊙O的半径长为．三、解答题17．解下列方程：（1）7（2x﹣3）2=28（2）（y+2）2=3y+6（3）x（2x﹣4）=5﹣8x（4）3x（x﹣1）=2（1﹣x）18．已知关于x的方程kx2+2（k+1）x+k﹣1=0有实数根，求k的取值范围．19．小明同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，他是这样做的：由于a≠0，方程ax2+bx+c=0变形为x2+x=﹣﹣﹣﹣﹣﹣第一步x2+x+（）2=﹣+（）2﹣﹣﹣﹣第二步（x+）2=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣第三步x+=（b2﹣4ac＞0）﹣﹣第四步x=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣第五步（1）小明的解法从第步开始出现错误；（2）当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是；（3）用配方法解方程：2x2﹣6x+4=0．20．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？21．某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，（1）问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？（2）问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润最大？22．如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是的中点．求证：四边形AOBC是菱形．23．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为多少？2016-2017学年江苏省南京九中九年级（上）竞赛数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．x2+by+c=0 B．x2+5x=x2+1 C．D．【解答】解：A、含有两个未知数，所以A选项错误；B、整理得到5x﹣1=0，所以B选项错误；C、y2++6=0是一元二次方程，所以C选项正确；D、方程左边不是整式，所以D选项错误．故选：C．2．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣1=0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定【解答】解：方程x2+mx﹣1=0的判别式为△=m2+4＞0，所以该方程有两个不相等的实数根，故选：A．3．（3分）某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%，则平均每次降价（）A．10% B．19% C．9.5% D．20%【解答】解：设平均每次降价x，根据题意得（1﹣x）2=81%，解得x=0.1或1.9x=1.9不符合题意，舍去平均每次降价10%．故选：A．4．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BOC=110°，AD∥OC，则∠AOD=（）A．70°B．60°C．50°D．40°【解答】解：∵∠BOC=110°，∠BOC+∠AOC=180°∴∠AOC=70°∵AD∥OC，OD=OA∴∠D=∠A=70°∴∠AOD=180°﹣2∠A=40°故选：D．5．（3分）在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）A．40cm B．60cm C．80cm D．100cm【解答】解：连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，交圆O于点E，∵直径为200cm，AB=160cm，∴OA=OE=100cm，AM=80cm，∴OM===60cm，∴ME=OE﹣OM=100﹣60=40cm．故选：A．6．（3分）以3、4为两边的三角形的第三边长是方程x2﹣13x+40=0的根，则这个三角形的周长为（）A．15或12 B．12 C．15 D．以上都不对【解答】解：x2﹣13x+40=0，（x﹣5）（x﹣8）=0，则x﹣5=0，x﹣8=0，解得：x1=5，x2=8，设三角形的第三边长为x，由题意得：4﹣3＜x＜4+3，解得1＜x＜7，∴x=5，三角形周长为3+4+5=12，故选：B．二、填空题7．（3分）把方程（x+3）（2x+5）+x（3x﹣1）=0化为一般形式5x2+10x+15=0，这个方程的根的判别式的值等于﹣200．【解答】解：原方程可化为：5x2+10x+15=0，∵a=5，b=10，c=15，∴△=b2﹣4ac=100﹣4×5×15=﹣200．故答案为5x2+10x+15=0，﹣200．8．（3分）若a是方程x2﹣x﹣1=0的一个根，则代数式a2﹣a的值是1．【解答】解：把x=a代入x2﹣x﹣1=0得a2﹣a﹣1=0，所以a2﹣a=1．故答案为1．9．（3分）已知方程4x2﹣5x﹣6=0的两个根是x1、x2，则x1+x2=，x1•x2=﹣．【解答】解：∵方程4x2﹣5x﹣6=0的两个根是x1、x2，∴x1+x2=，x1•x2=﹣=﹣，故答案为：；﹣．10．（3分）关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣x+m2﹣3m=3有一个根是1，则m 的值为3．【解答】解：把x=1代入（m+1）x2﹣x+m2﹣3m=3得m+1﹣1+m2﹣3m=3，整理得m2﹣2m﹣3=0，解得m1=3，m2=﹣1，而m+1≠0，所以m=3．11．（3分）写出一个一元二次方程，使方程的两个根分别为﹣3，2，并且二次项系数为1．x2+x﹣6=0．【解答】解：设方程为x2+mx+n=0，∵方程的两个根分别为﹣3，2，∴﹣3+2=﹣m，﹣3×2=n，解得m=1，n=﹣6，∴该方程为x2+x﹣6=0，故答案为：x2+x﹣6=0．12．（3分）到点O的距离等于4的点的集合是以点O为圆心，以4为半径的圆．【解答】解：到点O的距离等于8的点的集合是：以点O为圆心，以4为半径的圆．故答案是：以点O为圆心，以4为半径的圆．13．（3分）如图，⊙O的半径为10，弦AB的长为12，OD⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，则OD=8，CD=2．【解答】解：∵OD⊥AB，OD过圆心O，∴AD=BD=AB=6，由勾股定理得：OD===8，CD=OC﹣OD=10﹣8=2，故答案为：8，2．14．（3分）若⊙O的半径为6cm，OA、OB的长分别为5cm、6cm，则点A、B 与⊙O的位置是：点A在⊙O圆内，点B在⊙O圆上．【解答】解：∵⊙O的半径是6cm，点A、B与圆心O的距离分别为5cm、6cm，∴点A在圆内，点B在圆上．故答案为圆内，圆上15．（3分）以矩形ABCD的顶点A为圆心作⊙A，要使B、C、D三点中至少有一点在⊙A内，且至少有一点在⊙A外，如果BC=12，CD=5，则⊙A的半径r的取值范围为5＜r＜13．【解答】解：根据题意画出图形如下所示：∵AB=CD=5，AD=BC=12，根据矩形的性质和勾股定理得到：BD==13．∵AB=5，BC=12，BD=AC=13，而A，C，D中至少有一个点在⊙A内，且至少有一个点在⊙A外，∴点B在⊙A内，点C在⊙A外．∴5＜r＜13．故答案是：5＜r＜13．16．（3分）平面上一点M到⊙O上的最长距离为10cm，最短距离为2cm，那么⊙O的半径长为6cm或4cm．【解答】解：当点P在圆内时，⊙O的直径长为10+2=12（cm），半径为6cm；当点P在圆外时，⊙O的直径长为10﹣2=8（cm），半径为4cm；即⊙O的半径长为6cm或4cm．故答案为：6cm或4cm．三、解答题17．解下列方程：（1）7（2x﹣3）2=28（2）（y+2）2=3y+6（3）x（2x﹣4）=5﹣8x（4）3x（x﹣1）=2（1﹣x）【解答】解：（1）7（2x﹣3）2=28，（2x﹣3）2=4，2x﹣3=±2，2x=±2+3，x1=，x2=；（2）（y+2）2=3y+6，（y+2）2﹣3（y+2）=0，（y+2）（y﹣1）=0，所以y+2=0或y﹣1=0，所以y1=﹣2，y2=1；（3）x（2x﹣4）=5﹣8x，方程整理得：2x2+4x﹣5=0，这里a=2，b=4，c=﹣5，∵△=16+40=56，∴x==，则x1=，x2=．（4）3x（x﹣1）=2（1﹣x），方程整理得：3x（x﹣1）+2（x﹣1）=0，分解因式得：（x﹣1）（3x+2）=0，解得：x1=1，x2=﹣．18．已知关于x的方程kx2+2（k+1）x+k﹣1=0有实数根，求k的取值范围．【解答】解：当k=0时，方程变为一元一次方程2x﹣1=0，此时方程有实数根；当k≠0时，∵关于x的方程kx2+2（k+1）x+k﹣1=0有实数根，∴△=[2（k+1）]2﹣4k（k﹣1）2≥0，即：12k+4≥0，解得：k≥﹣，∴k的取值范围为k≥﹣．19．小明同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，他是这样做的：由于a≠0，方程ax2+bx+c=0变形为x2+x=﹣﹣﹣﹣﹣﹣第一步x2+x+（）2=﹣+（）2﹣﹣﹣﹣第二步（x+）2=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣第三步x+=（b2﹣4ac＞0）﹣﹣第四步x=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣第五步（1）小明的解法从第四步开始出现错误；（2）当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是x=；（3）用配方法解方程：2x2﹣6x+4=0．【解答】解：（1）小明的解法从第四步开始出现错误；（2）当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是x=；（3）2x2﹣6x+4=0，x2﹣3x=﹣2，配方得：x2﹣3x+=﹣2+，即（x﹣）2=，开方得：x﹣=±，解得：x1=2，x2=1．故答案为：四；x=．20．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？【解答】解：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．根据题意得（100﹣4x）x=400，解得x1=20，x2=5．则100﹣4x=20或100﹣4x=80．∵80＞25，∴x2=5舍去．即AB=20，BC=20．答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．21．某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，（1）问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？（2）问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润最大？【解答】解：（1）设每件售价定为x元时，才能使每天利润为640元，（x﹣8）[200﹣20（x﹣10）]=640，解得：x1=12（舍去），x2=16．答：应将每件售价定为16元时，能使每天利润为640元．（2）设利润为y：则y=（x﹣8）[200﹣20（x﹣10）]=﹣20x2+560x﹣3200=﹣20（x﹣14）2+720，∴当售价定为14元时，获得最大利润；最大利润为720元．22．如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是的中点．求证：四边形AOBC是菱形．【解答】证明：连OC，如图，∵C是的中点，∠AOB=l20°∴∠AOC=∠BOC=60°，又∵OA=OC=OB，∴△OAC和△OBC都是等边三角形，∴AC=OA=OB=BC，∴四边形OACB是菱形．23．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为多少？【解答】解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB=10，∴AE=BE=5，设圆O的半径OA的长为x，则OC=OD=x∵CE=1，∴OE=x﹣1，在直角三角形AOC中，根据勾股定理得：x2﹣（x﹣1）2=52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1=25，即2x=26，解得：x=13所以CD=26（寸）．。
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∴ DCE DCG 30.5 ∴ CED 180 60 30.5 89.5 。
2016 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
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10.如图， 已知 A(1, 0), B (2, 0), C (3, 0), M 0, m m 0 为平面直角坐标系 xOy 上的四点，满 足 OP AM , AQ BM , BR CM 。若 P, Q, R 三点共线，则 m
二、（本题满分 25 分） 如 图 ， 在 ABC 中 ， AB 8, AC 10 ， D 为 ABC 内 一 点 ， 满 足 ADC 90 ，
ABD ACD 。设 E 是 BC 的中点，求 DE 的长。
。
【答案】89.5°. 证明：在 BC 上取一点 G ，使得 AB BG 。 ∵ BE 平分 ABC ，
1 ∴ ABE EBC ABC 29.5 。 2
又 BD BD, 故 ABD GBD 。
BAC 180 ABC ACB 180 59 30.5 90.5 ,
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二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分） 7．已知反比例函数 y
2015 。若 A( 6, a ), B ( 3, b), C ( 2, c) 三点都在该函数的图象上， x
则实数 a, b, c 的大小关系为 【答案】 c a b 。
。
a 2b 2b 3c 3c a 8．求值 a 2b 2b 3c 3c a
2014 2016 2016 2018 2004 2018 2013 1 2017 1 2013! 2015! 2015! 2017! 2013! 2017! 2013! 2017! 1 1 1 1 . 2012! 2013! 2016! 2017!
2
,sin cos ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ）；
,sin cos ）。
sin cos sin cos sin cos sin cos 1 sin 2 sin 2 2 sin 2 sin 2
2m m 3m m 2 2 2 2 4 m2 1 m2 9 m 2 1 m 2 m m m m 1 2 2 2 2 4 m 1 m 9 m 1 m2
第一试(C)
一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1．已知实数 a , b 满足 a 2 3a 1 0, b 2 3b 1 0 ，且 a b ，则 a 2 b ab 2 的值为（ A. 3 【答案】B。 B. 3 C. 9 D. 9 ）
a , b 是关于 x 的方程 x 2 3 x 1 0 的两个不同实根。∴ a 2b ab 2 ab a 3 1 3 3 。
m2 2 m2 3 （因为 m 0 ） 4 2m 2 m 4 9 6m 2 m 4
6 。 5
5m 4 m 2 6 0 m 2 1 5m 2 6 0 m 2
又因为 m 0 ，所以 m
30 。 5
2016 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
AE 3 , cos BAC AB 2
（ D. 90
）
C. 60
∴ BAC 30 。 又 BDF ~ BAC ，∴ BDF BAC 30 。 5． 记 [ x] 为不超过 x 的最大整数， {x} x [ x] 。若实数 a、b b 0 满足 a b[ ] b{ } ， 则下面命题不 正确的是 ． A. 若 b 是整数，则 a 是整数 C. 若 b 是有理数，则 a 是有理数 【答案】B。 （ B. 若 a 是非零整数，则 b 是整数 D. 若 a 是非零有理数，则 b 是有理数 ）
（2）解法 2：显然，抛物线与直线
AB 相交弦长 AB 2 2 。
取线段 BC 的中点 D(2, 2) ，延长 CE 与 BA 延长线相交于 F 。 则 BCF 为等腰直角三角形，且 CE EF 。 1 所以 DE / / BF , 且DE BF AB PQ 。 2 所以四边形 PQDE 为平行四边形,即 DQ / / PE , 且DQ PE 。…………………………（15） 作点 C 关于直线 AB 的对称点 G, 其坐标为（0,-2） 。 所以 PE CQ 的最小值就是线段 DG 的长度，即为 2 5 。……………………………（20）
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第二试（C）
一、（本题满分 20 分） 已知抛物线 y ax 2 bx c 的图象过 A(2, 0) ， B (0, 2) ， C (4, 2) 三点。 （1）求实数 a , b, c 的值； （2）已知 E 点坐标为（4,0），将抛物线沿直线 AB 移动，其顶点 P 保持在直线 AB 上，与 直线 AB 的另一个交点为 Q ，求 PE CQ 的最小值。 解：（1） y
1 2 1 x 2 x 2 ，∴ a , b 2, c 2 。……………………………… 2 2
（10）
（2）直线 AB : y x 2 ，若记顶点 P 坐标为 t , 2 t
PE CQ
2
t 4 2 t
2
2
t 6 2 t
【答案】
。
30 。 5
设 OAM ， OCM ， 0 、 、 90 ， 且 sin
m 1 m m 4 m2 m
2
, cos
1 1 m2 ， 2 4 m2 ， 3
sin
, cos
sin
9 m2
, cos
2．将一枚六个面点数分别为 1，2，3，4，5，6 的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次， 记第一次掷出的点数为 a ，第二次掷出的点数为 b ，则使得一元二次方程 x 2 ax b 2 0 有 相等的实数解的概率为
1 6 【答案】C。
（
1 9
）
A.
B.
C.
1 12
D.
1 18
a 2 4b 2 a 2b a 2b 0 ,∴ a 2b 。 p
2 2 2 a 2 3 b 2 3 c 2 3 2 a b b c c a 0 2 2 2
∴ a b c 3 。 故选 C。
2016 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
∴ B G D B A C 9 0 .5 ,
BDA BDG 180 29.5 90.5 60 , GDC 180 60 60 60 EDC ,
又 所以
DG AD DE , DC DC ,
DGC DEC 。
3 3
3
。
【答案】3.
a 2b 2b 3c 3c a a 2b 2b 3c 3c a
3 3
3
a 2b 2b 3c 3 a 2b 2b 3c 3c a 3 3 a 2b 2b 3c 3c a
2016 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
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BE、CF 为 ABC 的三条高线， 4.如图，在锐角 ABC 中， AD、
若 S AEF : S ABC 3 : 4 ，则 BDF A. 30 B. 45 【答案】A。 AEF ~ ABC , 由 S AEF : S ABC 3 : 4 , ∴相似比
2
2
2t 2 12t 20 2t 2 16t 40
t 2 6t 10 t 2 8t 20
………………………………………………………
（15）
2
t 3
2
12
t 4
2
22 2 10 2 5 。…………………………………（20）
9 m2 。
2
在 Rt OPA 中可知， PP 1 sin cos , OP 1 sin sin ，则 P （ sin
,sin cos ）；
2
在 Rt AQB 中可知， QQ1 sin cos , AR1 sin sin ，则 Q （ 1 sin 在 Rt BRC 中可知， RR1 sin cos , BR1 sin sin ，则 R （ 2 sin 又 P, Q, R 三点共线，故
3．定义 n ! 1 2 n 1 n ，则
1 1 1 1 2011! 2012! 2016! 2017! 1 1 1 1 C. 2013! 2014! 2016! 2017! 【答案】B。
3 1 。 36 12
20142 2015 2016 20162 2017 2018 （ 2015! 2017!
1 1 1 1 2012! 2013! 2016! 2017! 1 1 1 1 D. 2014! 2015! 2016! 2017!
）
A.
B.
20142 2015 2016 20162 2017 2018 20142 2015 2016 20162 2017 2018 2015! 2017! 2015! 2015! 2017! 2017!
A. 0 B.
1
（
）
C.
3
D. 3
【答案】C。
a 4 9 4bc 2b 2 b 4 9 4ca 2c 2 a 4 9 b 4 9 c 4 9 2a 2 2b 2 2c 2 4bc 4ca 0 c 4 9 4ab 2a 2