2018年江苏高考数学二轮复习：专项限时集训3函数模型、解三角形、动点轨迹背景的实际问题(word版含答案)
2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题专题4 三角函数、解三角形 第28绬 Word版含解析
1．(2016·隆化期中)在△ABC 中，如果sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，那么cos C ＝________.2.(2016·银川月考)如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点间的距离为______________m.3．(2016·安庆检测)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c .若a 2－c 2＝3bc ，sin B ＝23sin C ，则A ＝________.4．(2016·苏北四市一模)在△ABC 中，已知AB ＝3，A ＝120°，且△ABC 的面积为1534，那么边BC 的长为________．5．(2016·常州一模)在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若tan A＝7tan B ，a 2－b 2c ＝3，则c ＝________.6．(2016·东营期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则B ＝________.7．(2016·南京、盐城、徐州二模)如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，已知∠B ＝60°，AD ＝2，AC ＝10，DC ＝2，那么AB ＝________.8．已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB ＝3，AC ＝4.若存在非零实数x ，y ，使得AO→＝xAB →＋yAC →，且x ＋2y ＝1，则cos ∠BAC 的值为________． 9．△ABC 中，A 、B 、C 是其内角，若sin2A ＋sin(A －C )－sin B ＝0，则△ABC 的形状是________________三角形．10．(2016·惠州二调)在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且∠C ＝60°，c ＝3，则a ＋23cos A sin B＝________. 11．(2016·佛山期中)如图，一艘船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.12．(2016·吉安期中)在△ABC 中，D 为BC 边上一点，若△ABD 是等边三角形，且AC ＝43，则△ADC 的面积的最大值为________．13．(2016·如东高级中学期中)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a ＝8，b ＝10，△ABC 的面积为203，则△ABC 的最大角的正切值是________．14．(2016·南通二模)若一个钝角三角形的三个内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的取值范围是________．答案精析1．－14 2.502 3.π6 4.7 5.46．45°解析 由正弦定理可知a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R sin B cos A ＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝c sin C ＝2R sin C ·sin C ，∴sin C ＝1，C ＝90°.∴S ＝12ab ＝14(b 2＋c 2－a 2)，解得a ＝b ，因此B ＝45°. 7.263解析 在△ADC 中，AD ＝2，AC ＝10，DC ＝2，则cos ∠ADC ＝－22，所以∠ADC ＝135°，从而在△ABD 中，∠ADB ＝45°.又因为∠B ＝60°，由正弦定理得AD sin B ＝AB sin ∠ADB ，即232＝AB 22，解得AB ＝263. 8.23解析 设线段AC 的中点为点D ，则直线OD ⊥AC .因为AO→＝xAB →＋yAC →，所以AO →＝xAB →＋2yAD →. 又x ＋2y ＝1，所以点O 、B 、D 三点共线，即点B 在线段AC 的中垂线上，则AB ＝BC ＝3.在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠BAC ＝32＋42－322×3×4＝23. 9．等腰或直角解析 因为sin2A ＋sin(A －C )－sin B＝sin2A ＋sin(A －C )－sin(A ＋C )＝2sin A cos A －2sin C cos A＝2cos A (sin A －sin C )＝0，所以cos A ＝0或sin A ＝sin C ，所以A ＝π2或A ＝C .故△ABC 为等腰或直角三角形．10．4解析 由正弦定理知a sin A ＝c sin C ＝2，所以a ＝2sin A ，代入得原式＝2sin A ＋23cos A sin B＝4·sin (A ＋60°)sin B ＝4.11．30 2解析 依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在△AMB 中，由正弦定理得60sin45°＝BM sin30°，解得BM ＝30 2.12．4 3解析 在△ACD 中，cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝AD 2＋DC 2－482AD ·DC ＝－12，整理得AD 2＋DC 2＝48－AD ·DC ≥2AD ·DC ，∴AD ·DC ≤16，当且仅当AD ＝CD 时等号成立，∴△ADC 的面积S ＝12AD ·DC ·sin ∠ADC ＝34AD ·DC ≤4 3.13.533解析 由题意得203＝12×8×10×sin C ⇒sin C ＝32⇒C ＝π3或C ＝2π3(舍)，由余弦定理得c 2＝82＋102－2×8×10×12＝84，由三角形中大边对大角知角B 最大，则cos B ＝82＋84－1022×8×84＝384，所以tan B ＝533. 14．(2，＋∞)解析 设A 为钝角，C 为最小角，则A ＋C ＝120°，C ∈(0°，30°)，由正弦定理得m＝a c ＝sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝32tan C ＋12.而0＜tan C ＜33，∴1tan C ＞3，则m ＞2.。
2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习教学案：专题一 三角 Word版含答案
江苏 新高考新高考中，对三角计算题的考查始终围绕着求角、求值问题，以和、差角公式的运用为主，可见三角式的恒等变换比三角函数的图象与性质更为重要.三角变换的基本解题规律是：寻找联系、消除差异.常有角变换、函数名称变换、次数变换等(简称为：变角、变名、变次).备考中要注意积累各种变换的方法与技巧，不断提高分析与解决问题的能力.三角考题的花样翻新在于条件变化，大致有三类：第一类是给出三角式值(见2014年三角解答题)，第二类是给出在三角形中(见2011年、2015年、2016年三角解答题)，第三类是给出向量(见2013年、2017年三角解答题).而2012年三角解答题则是二、三类的混合.第1课时三角函数(基础课)[常考题型突破]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.[题组练透]1．(2017·江苏高考)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝ ________.解析：tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75.答案：752．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，若sin α＝35⎝⎛⎭⎫π2＜α＜π，则f ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝________. 解析：∵sin α＝35⎝⎛⎭⎫π2＜α＜π， ∴cos α＝－45，∴f ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22(sin α＋cos α)＝22×⎝⎛⎭⎫35－45＝－210. 答案：－2103．(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. 解析：由题意知sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角， 所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45. tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－45×53＝－43.答案：－434．在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13，则sin A ＝________.解析：∵sin(C －A )＝1，∴C －A ＝90°，即C ＝90°＋A ，∵sin B ＝13，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin(90°＋2A )＝cos 2A ＝13，即1－2sin 2A ＝13，∴sin A ＝33.答案：33[方法归纳]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)图象变换：y ＝sin x ――――――――――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)――――――――――――→纵坐标变为原来的A (A ＞0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． [题组练透]1．(2016·全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．解析：因为y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，所以把y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象至少向右平移2π3个单位长度可得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象． 答案：2π32.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG (点G 是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝________.解析：由题意得，A ＝3，T ＝4＝2πω，ω＝π2.又∵f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数，∴φ＝π2＋k π，k ∈Z ，取k ＝0，则φ＝π2，∴f (x )＝－3sin π2x ，∴f (1)＝－ 3.答案：－ 33.(2017·天津高考改编)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，|φ|＜π.若f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则ω＝________，φ＝________.解析：∵f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0， ∴11π8－5π8＝T4(2m ＋1)，m ∈N ， ∴T ＝3π2m ＋1，m ∈N ， ∵f (x )的最小正周期大于2π，∴T ＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x 3＋φ. 由2sin ⎝⎛⎭⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z. 又|φ|＜π，∴取k ＝0，得φ＝π12. 答案：23 π124．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π5，若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为______．解析：由f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)对任意x ∈R 成立，知f (x 1)，f (x 2)分别是函数f (x )的最小值和最大值．又要使|x 1－x 2|最小，∴|x 1－x 2|的最小值为f (x )的半个周期，即为2.答案：2 [方法归纳]1．三角函数的单调区间y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)，单调递减区间是⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z)；y ＝cos x 的单调递增区间是[]2k π－π，2k π(k ∈Z)，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z)；y ＝tan x 的递增区间是⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z)． 2．三角函数的奇偶性与对称性y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z)时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z)时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)求得． y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z)时为奇函数．[题组练透]1．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，则函数f (x )的最小正周期为________，f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 解析：周期T ＝2π2＝π，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin 2π3＝ 3. 答案：π32．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． 解析：依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]， 因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1. 答案：13．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω＞0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，则f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的单调递增区间为________． 解析：依题意知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，于是有T ＝2πω＝2×π2＝π，ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.当2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z 时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6单调递增．因此，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π6，π3. 答案：⎣⎡⎦⎤－π6，π3[方法归纳]1．正弦定理及其变形在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a2R，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等． 2．余弦定理及其变形在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.3．三角形面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .[题组练透]1．(2017·盐城期中)在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则此三角形的最大内角的大小为________．解析：由正弦定理及sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7知，a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，可设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k ，且角C 是最大内角，由余弦定理知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9k 2＋25k 2－49k 22×3k ×5k ＝－12，因为0°<C <180°，所以C ＝120°.答案：120°2．在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝2，D 为AB 的中点，△BCD 的面积为334，则AC ＝________.解析：因为S △BCD ＝12BD ·BC sin B ＝12×1×BC ×sin π3＝334，所以BC ＝3.由余弦定理得AC 2＝4＋9－2×2×3×cos π3＝7，所以AC ＝7.答案：73．(2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C＝513，a ＝1，则b ＝________. 解析：在△ABC 中，∵cos A ＝45，cos C ＝513，∴sin A ＝35，sin C ＝1213，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365. 又∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin Bsin A ＝1×636535＝2113.答案：2113[方法归纳][A 组——抓牢中档小题]1．(2017·苏北四市期末)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωπx －π6(ω>0)的最小正周期为15，则f ⎝⎛⎭⎫13的值为________．解析：因为f (x )的最小正周期为2πωπ＝15，所以ω＝10，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫10πx －π6，所以f ⎝⎛⎭⎫13＝sin ⎝⎛⎭⎫10π3－π6＝sin 19π6＝－sin π6＝－12. 答案：－122．在平面直角坐标系xOy 中，角θ的终边经过点P (－2，t )，且sin θ＋cos θ＝55，则实数t 的值为________．解析：∵角θ的终边经过点P (－2，t )， ∴sin θ＝t4＋t 2，cos θ＝－24＋t 2， 又∵sin θ＋cos θ＝55， ∴t 4＋t 2＋－24＋t 2＝55，即t －24＋t2＝55， 则t ＞2，平方得t 2－4t ＋44＋t 2＝15，即1－4t 4＋t 2＝15，即4t 4＋t 2＝45， 则t 2－5t ＋4＝0，则t ＝1(舍去)或t ＝4. 答案：43．(2017·南京、盐城一模)将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位后，所得函数为偶函数，则φ＝____________.解析：将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位后，所得函数为f (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2(x －φ)＋π3，即f (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2x ＋⎝⎛⎭⎫π3－2φ.因为f (x )为偶函数，所以π3－2φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝－π12－k π2，k ∈Z ，因为0＜φ＜π2，所以φ＝5π12. 答案：5π124．设函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(0＜x ＜π)，当且仅当x ＝π12时，y 取得最大值，则正数ω的值为________．解析：由条件得sin ⎝⎛⎭⎫π12ω＋π3＝1，又0＜x ＜π，ω＞0，故π12ω＋π3＝π2，ω＝2. 答案：25．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2b ＝a ＋c ，若sin B ＝45，cos B ＝9ac，则b 的值为________．解析：∵2b ＝a ＋c ，sin B ＝45，cos B ＝9ac ，sin 2B ＋cos 2B ＝1，∴ac ＝15，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－18＝(a ＋c )2－48＝4b 2－48，得b ＝4.答案：46．(2017·扬州期末)已知cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝130<α<π2，则sin(π＋α)＝________. 解析：因为cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝13⎝⎛⎭⎫0<α<π2， 所以π3<π3＋α<5π6，有sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋α＝223，所以sin(π＋α)＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π3＋α＋2π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋αcos 2π3＋cos ⎝⎛⎭⎫π3＋αsin 2π3 ＝223×⎝⎛⎭⎫－12＋13×32＝3－226. 答案：3－2267．(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝________.解析：因为角α与角β的终边关于y 轴对称， 所以α＋β＝2k π＋π，k ∈Z ，所以cos(α－β)＝cos(2α－2k π－π)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝－⎣⎡⎦⎤1－2×⎝⎛⎭⎫132＝－79. 答案：－798．在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则b c ＝________.解析：∵在△ABC 中，A ＝2π3， ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .∵a ＝3c ，∴3c 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴b 2＋bc －2c 2＝0， ∴(b ＋2c )(b －c )＝0，∴b －c ＝0，∴b ＝c ，bc ＝1.答案：19．若f (x )＝3sin(x ＋θ)－cos(x ＋θ)⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π2是定义在R 上的偶函数，则θ＝________.解析：因为f (x )＝3sin(x ＋θ)－cos(x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ－π6为偶函数，所以θ－π6＝k π＋π2，k ∈Z.即θ＝k π＋2π3.因为－π2≤θ≤π2，所以θ＝－π3.答案：－π310．在△ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若a ＝5，A ＝π4，cos B ＝35，则c ＝________.解析：根据题意得，sin B ＝45，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝22(sin B ＋cos B )＝22×75＝7210，由a sin A ＝c sin C ，得5sinπ4＝c 7210，解得c ＝7. 答案：711．(2017·无锡期末)设f (x )＝sin 2x －3cos x ·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，则f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调递增区间为________．解析：f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ＝12(1－cos 2x )＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12，当2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z 时，函数f (x )单调递增，令k ＝0，得－π6≤x ≤π3，所以函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π3. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π3 12．函数y ＝a sin(ax ＋θ)(a ＞0，θ≠0)图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值为________．解析：易知函数y ＝a sin(ax ＋θ)(a ＞0，θ≠0)的最大值为a ，最小值为－a ，最小正周期T ＝2πa ，所以相邻的最高点与最低点的距离为⎝⎛⎭⎫πa 2＋4a 2≥2×πa×2a ＝2π，当且仅当πa ＝2a ，即a ＝2π2时等号成立．答案：2π13．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是________． 解析：由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435， 可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435， 即32sin α＋32cos α＝435，∴3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 答案：－4514．(2017·苏锡常镇一模)已知sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝________. 解析：∵sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝3sin αcos π6＋3cos α·sin π6＝332sin α＋32cos α，∴tan α＝32－33.又tan π12＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－π4＝tan π3－tan π41＋tan π3tanπ4＝3－13＋1＝2－3， ∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝tan α＋tanπ121－tan αtanπ12 ＝32－33＋2－31－32－33×()2－3＝23－4.答案：23－4[B 组——力争难度小题]1．如图，已知A ，B 分别是函数f (x )＝3sin ωx (ω＞0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝π2，则该函数的最小正周期是________．解析：设函数f (x )的最小正周期为T ，由图象可得A ⎝⎛⎭⎫T 4，3，B ⎝⎛⎭⎫3T 4，－3，则OA ―→·OB ―→＝3T 216－3＝0，解得T ＝4. 答案：42．(2017·南京考前模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－cos ωx (ω＞0)．若函数f (x )的图象关于直线x ＝2π对称，且在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是单调函数，则ω的取值集合为____________． 解析：f (x )＝32sin ωx ＋12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －12cos ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6， 因为f (x )的图象关于直线x ＝2π对称，所以f (2π)＝±1，则2πω－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，所以ω＝k 2＋13，k ∈Z.因为函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是单调函数， 所以最小正周期T ≥2⎣⎡⎦⎤π4－⎝⎛⎭⎫－π4， 即2πω≥π，解得0＜ω≤2，所以ω＝13或ω＝56或ω＝43或ω＝116.当ω＝13时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6， x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，13x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π4，－π12， 此时f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上为增函数； 当ω＝56时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫56x －π6， x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，56x －π6∈⎣⎡⎦⎤－3π8，π24， 此时f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上为增函数； 当ω＝43时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫43x －π6， x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，43x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π2，π6， 此时f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上为增函数； 当ω＝116时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫116x －π6， x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，116x －π6∈⎣⎡⎦⎤－5π8，7π24， 此时f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上不是单调函数； 综上，ω∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，56，43.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，56，433．△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，若3cos A ＋sin A 3sin A －cos A＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π12，则tan A ＝________.解析：3cos A ＋sin A3sin A －cos A＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π32sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝－tan ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－A －π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π12， 所以－A －π3＝－7π12，所以A ＝7π12－π3＝π4，所以tan A ＝tan π4＝1.答案：14．已知函数f (x )＝A sin(x ＋θ)－cos x2cos ⎝⎛⎭⎫π6－x 2(其中A 为常数，θ∈(－π，0))，若实数x 1，x 2，x 3满足：①x 1＜x 2＜x 3，②x 3－x 1＜2π，③f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，则θ的值为________．解析：函数f (x )＝A (sin x cos θ＋cos x sin θ)－cos x 2·⎝⎛⎭⎫32cos x 2＋12sin x 2＝A (sin x cos θ＋cos xsin θ)－32×1＋cos x 2－14sin x ＝⎝⎛⎭⎫A cos θ－14sin x ＋⎝⎛⎭⎫A sin θ－34cos x －34，故函数f (x )为常数函数或为周期T ＝2π的周期函数．又x 1，x 2，x 3满足条件①②③，故f (x )只能为常数函数，所以⎩⎨⎧A cos θ－14＝0，A sin θ－34＝0，则tan θ＝3，又θ∈(－π，0)，故θ＝－2π3.答案：－2π3第2课时平面向量(基础课)[常考题型突破][必备知识](1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向，不能盲目转化．(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，和向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，减向量的方向是指向被减向量．(3)A ，B ，C 三点共线的充要条件是存在实数λ，μ，有OA ―→＝λOB ―→＋μOC ―→，且λ＋μ＝1.(4)C 是线段AB 中点的充要条件是OC ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)．G 是△ABC 的重心的充要条件为GA ―→＋GB ―→＋GC ―→＝0.[题组练透]1．(2017·盐城期中)设向量a ＝(2，－6)，b ＝(－1，m )，若a ∥b ，则实数m ＝________. 解析：因为a ∥b ，所以2m －(－1)×(－6)＝0，所以m ＝3. 答案：32．(2017·镇江模拟)已知△ABC 和点M 满足MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0.若存在实数m 使得AB ―→＋AC ―→＝mAM ―→成立，则m ＝________.解析：由MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为底边BC 的中点，则AM ―→＝23AD ―→＝23×12(AB ―→＋AC ―→)＝13(AB ―→＋AC ―→)，∴AB ―→＋AC ―→＝3AM ―→，故m ＝3.答案：33.(2017·南京考前模拟)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AB ＝2CD ，M 为CD 的中点，N 为线段BC 上一点(不包括端点)，若AC ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，则1λ＋3μ的最小值为________．解析：以AB 为x 轴，A 为坐标原点建立直角坐标系如图所示，设B (2,0)，C (1，t )，M ⎝⎛⎭⎫12，t ，N (x 0，y 0)， 因为N 在线段BC 上，所以y 0＝t1－2(x 0－2)， 即y 0＝t (2－x 0)， 因为AC ―→＝λAM ―→＋μAN ―→， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝12λ＋μx 0，t ＝λt ＋μy 0，即t ＝λt ＋μy 0＝λt ＋μt (2－x 0)，因为t ≠0，所以1＝λ＋μ(2－x 0)＝λ＋2μ－μx 0＝λ＋2μ－⎝⎛⎭⎫1－12λ， 所以3λ＋4μ＝4，这里λ，μ均为正数，所以4⎝⎛⎭⎫1λ＋3μ＝(3λ＋4μ)⎝⎛⎭⎫1λ＋3μ＝3＋12＋4μλ＋9λμ≥15＋236＝27, 所以1λ＋3μ≥274当且仅当4μλ＝9λμ，即λ＝49，μ＝23时取等号．所以1λ＋3μ的最小值为274.答案：274[方法归纳][必备知识]1．数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ. 2．三个结论：(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB ―→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. [题组练透]1．(2017·山东高考)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．解析：因为(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2|·|e 1＋λe 2|＝3－λ21＋λ2，故3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33.答案：33 2．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 解析：易知|a ＋2b |＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝4＋4×2×1×12＋4＝2 3.答案：2 33．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(tm ＋n )，则实数t的值为________．解析：∵n ⊥(tm ＋n )，∴n ·(tm ＋n )＝0， 即tm ·n ＋|n |2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0. 又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4. 答案：－44．(2017·南京、盐城二模)已知平面向量AC ―→＝(1,2)，BD ―→＝(－2,2)，则AB ―→·CD ―→的最小值为________．解析：设A (a ，b )，B (c ，d )， ∵AC ―→＝(1,2)，BD ―→＝(－2,2)， ∴C (a ＋1，b ＋2)，D (c －2，d ＋2)，则AB ―→＝(c －a ，d －b )，CD ―→＝(c －a －3，d －b )，∴AB ―→·CD ―→＝(c －a )(c －a －3)＋(b －d )2＝(c －a )2－3(c －a )＋(b －d )2＝⎝⎛⎭⎫c －a －322－94＋(b －d )2≥－94.∴AB ―→·CD ―→的最小值为－94.答案：－945．已知边长为6的正三角形ABC ，BD ―→＝12BC ―→，AE ―→＝13AC ―→，AD 与BE 交于点P ，则PB ―→·PD ―→的值为________．解析：由题意可得点D 为BC 的中点，以点D 为坐标原点，BC ，AD所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0,0)，A (0，33)，B (－3,0)，C (3,0)，E (1,23)，直线BE 的方程为y ＝32(x ＋3)与AD (y 轴)的交点为P ⎝⎛⎭⎫0，332，所以PB ―→·PD ―→＝⎝⎛⎭⎫－3，－332·⎝⎛⎭⎫0，－332＝274.答案：274[方法归纳]1．(2017·南京三模)在四边形ABCD 中，BD ＝2，且AC ―→·BD ―→＝0，(AB ―→＋DC ―→)·(BC ―→＋AD ―→)＝5，则四边形ABCD 的面积为________．解析：因为AC ―→·BD ―→＝0，所以AC ―→⊥BD ―→，所以以BD 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，建立直角坐标系，因为BD ＝2，所以可设B (b,0)，D (2＋b,0)，A (0，a )，C (0，c )，所以AB ―→＝(b ，－a )，DC ―→＝(－2－b ，c )，BC ―→＝(－b ，c )，AD ―→＝(2＋b ，－a )，所以AB ―→＋DC ―→＝(－2，c －a )，BC ―→＋AD ―→＝(2，c －a )，因为(AB ―→＋DC ―→)·(BC ―→＋AD ―→)＝5，所以－4＋(c －a )2＝5，即(c －a )2＝9，所以|AC ―→|＝| c －a |＝3，所以四边形ABCD 的面积为12×AC ×BD ＝12×3×2＝3.答案：32．已知圆O 的半径为2，AB 是圆O 的一条直径，C ，D 两点都在圆O 上，且|CD ―→|＝2，则|AC ―→＋BD ―→|＝________.解析：如图，连结OC ，OD ，则AC ―→＝AO ―→＋OC ―→，BD ―→＝BO ―→＋OD ―→， 因为O 是AB 的中点， 所以AO ―→＋BO ―→＝0， 所以AC ―→＋BD ―→＝OC ―→＋OD ―→， 设CD 的中点为M ，连结OM ， 则AC ―→＋BD ―→＝OC ―→＋OD ―→＝2OM ―→， 显然△COD 是边长为2的等边三角形， 所以|OM ―→|＝3，故|AC ―→＋BD ―→|＝|2OM ―→|＝2 3. 答案：2 33.(2017·南通三模)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝DC ＝2.若E ，F 分别是线段DC 和BC 上的动点，则AC ―→·EF ―→的取值范围是________．解析：法一：因为AC ―→＝AB ―→＋BC ―→，EF ―→＝EC ―→＋CF ―→，所以AC ―→·EF ―→＝(AB ―→＋BC ―→)·(EC ―→＋CF ―→)＝AB ―→·EC ―→＋BC ―→·CF ―→＝3|EC ―→|－2|CF ―→|，因为E ，F 分别是线段DC 和BC 上的动点，且BC ＝DC ＝2，所以|EC ―→|∈[0,2]，|CF ―→|∈[0,2]，所以由不等式的性质知AC ―→·EF ―→的取值范围是[－4，6]．法二：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则C (3,2)，因为E ，F 分别是线段DC 和BC 上的动点，且BC ＝DC ＝2，所以可设E (x ，2)，F (3，y )，所以AC ―→＝(3,2)，EF ―→＝(3－x ，y －2)，且x ∈[1,3]，y ∈[0,2]，所以AC ―→·EF ―→＝3(3－x )＋2(y －2)＝5－3x ＋2y ∈[－4,6]，即AC ―→·EF ―→的取值范围是[－4,6]．答案：[－4,6] [方法归纳]1．利用平面向量解决几何问题的两种方法2．求解向量数量积最值问题的两种方法[课时达标训练] [A 组——抓牢中档小题]1．(2017·南京学情调研)设向量a ＝(1，－4)，b ＝(－1，x )，c ＝a ＋3b .若a ∥c ，则实数x ＝________.解析：因为a ＝(1，－4)，b ＝(－1，x )，c ＝a ＋3b ＝(－2，－4＋3x )．又a ∥c ，所以－4＋3x －8＝0，解得x ＝4.答案：42．(2017·无锡期末)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)，若a －b 与ma ＋b 垂直，则m 的值为________．解析：因为a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)，所以a －b ＝(1,2)，ma ＋b ＝(2m ＋1，m －1)，因为a －b 与ma ＋b 垂直，所以(a －b )·(ma ＋b )＝0，即2m ＋1＋2(m －1)＝0，解得m ＝14.答案：143．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 解析：由题意知a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎨⎧k ＝13，λ＝－13.答案：－134．已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为________． 解析：∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝1－2cos 〈a ，b 〉＝0，∴cos 〈a ，b 〉＝22，∴〈a ，b 〉＝π4.答案：π45．若单位向量e 1，e 2的夹角为π3，向量a ＝e 1＋λe 2(λ∈R)，且|a |＝32，则λ＝________.解析：由题意可得e 1·e 2＝12，|a |2＝(e 1＋λe 2)2＝1＋2λ×12＋λ2＝34，化简得λ2＋λ＋14＝0，解得λ＝－12.答案：－126．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.解析：由题意得c ·a |c ||a |＝c ·b |c ||b |⇒c ·a |a |＝c ·b |b |⇒5m ＋85＝8m ＋2025⇒m ＝2. 答案：27．(2017·常州模拟)已知点G 是△ABC 的重心，过G 作一条直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM ―→＝x AB ―→，AN ―→＝y AC ―→，则xy x ＋y的值为________．解析：由已知得M ，G ，N 三点共线，即AG ―→＝λAM ―→＋(1－λ)AN ―→＝λx AB ―→＋(1－λ)y AC ―→， ∵点G 是△ABC 的重心，∴AG ―→＝23×12(AB ―→＋AC ―→)＝13(AB ―→＋AC ―→)，∴⎩⎨⎧λx ＝13，(1－λ)y ＝13，即⎩⎨⎧λ＝13x，1－λ＝13y，得13x ＋13y＝1， 即1x ＋1y ＝3，通分变形得，x ＋y xy ＝3，∴xy x ＋y ＝13.答案：138．已知A ，B ，C 三点不共线，且AD ―→＝－13AB ―→＋2AC ―→，则S △ABD S △ACD＝________.解析：如图，取AM ―→＝－13AB ―→，AN ―→＝2AC ―→，以AM ，AN 为邻边作平行四边形AMDN ，此时AD ―→＝－13AB ―→＋2AC ―→.由图可知S △ABD ＝3S △AMD ，S △ACD ＝12S △AND ，而S △AMD ＝S △AND ，所以S △ABDS △ACD＝6. 答案：69．(2017·苏锡常镇一模)在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，若点P 满足AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→，且BP ―→·CP ―→＝1，则实数λ的值为________.解析：法一：由题意可得AP ―→－AB ―→＝BP ―→＝λAC ―→.又CP ―→ ＝AP ―→－AC ―→＝AB ―→＋(λ－1)AC ―→，所以BP ―→·CP ―→＝λAB ―→·AC ―→＋λ(λ－1)|AC ―→|2＝1，即λ＋(λ2－λ)×4＝1，所以有4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－14.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，所以A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，32，C (2，0)，设P (x ，y )．所以AP ―→＝(x ，y )，AB ―→＝⎝⎛⎭⎫12，32，AC ―→＝(2,0)．又因为AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→，所以有⎩⎨⎧x ＝2λ＋12，y ＝32，所以BP ―→＝(2λ，0)，CP ―→＝⎝⎛⎭⎫2λ－32，32.由BP ―→·CP ―→＝1可得4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－14.答案：1或－1410．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(0，t 2＋1)，则当t ∈[－3，2]时，⎪⎪⎪⎪a －t b|b |的取值范围是________．解析：由题意，b |b |＝(0,1)，根据向量的差的几何意义，⎪⎪⎪⎪a －t b |b |表示同起点的向量t b|b |的终点到a 的终点的距离，当t ＝3时，该距离取得最小值1，当t ＝－3时，该距离取得最大值13，即⎪⎪⎪⎪a －t b|b |的取值范围是[1，13 ]． 答案：[1，13 ]11.(2017·南通二调)如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5.若AB ―→·AD ―→＝－7，则BC ―→·DC ―→的值是________．解析：法一：由AB ―→·AD ―→＝－7得，(OB ―→－OA ―→)·(OD ―→－OA ―→)＝－7，即(OB ―→－OA ―→)·(OB ―→＋OA ―→)＝7，所以OB ―→2＝7＋OA ―→2＝7＋9＝16，所以|OB ―→|＝|OD ―→|＝4.所以BC ―→·DC ―→＝(OC ―→－OB ―→)·(OC ―→－OD ―→)＝(OC ―→－OB ―→)·(OC ―→＋OB ―→)＝OC ―→2－OB ―→2＝25－16＝9.法二：以O 为原点，OC 为x 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则C (5,0)，设B (x 1，y 1)，A (x 2，y 2)，则D (－x 1，－y 1)，x 22＋y 22＝9，由AB ―→·AD ―→＝－7，得(x 1－x 2，y 1－y 2)·(－x 1－x 2，－y 1－y 2)＝－7，得x 21＋y 21＝16，而BC ―→·DC ―→＝(5－x 1，－y 1)·(5＋x 1，y 1)＝25－x 21－y 21＝25－16＝9.答案：912．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠DAB ＝60°，EC ―→＝2DE ―→，则AE ―→·DB ―→的值为________．解析：如图所示，∵EC ―→＝2DE ―→，∴DE ―→＝13DC ―→.∵菱形ABCD 的边长为a ， ∠DAB ＝60°， ∴|DA ―→|＝|DC ―→|＝a ，DA ―→·DC ―→＝|DA ―→||DC ―→|cos 120°＝－12a 2，∵DB ―→＝DA ―→＋DC ―→，∴AE ―→·DB ―→＝(AD ―→＋DE ―→)(DA ―→＋DC ―→) ＝⎝⎛⎭⎫AD ―→＋13 DC ―→(DA ―→＋DC ―→)＝－DA ―→2＋13DC ―→2－23DA ―→·DC ―→＝－a 2＋13a 2＋13a 2＝－a 23.答案：－a 2313．在矩形ABCD 中，边AB ，AD 的长分别为2和1，若E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，且满足|BE ―→||BC ―→|＝|CF ―→||CD ―→|，则AE ―→·AF ―→的取值范围是________． 解析：法一：取A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图所示直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (2，1)．∵|BE ―→||BC ―→|＝|CF ―→||CD ―→|，得2|BE ―→|＝|CF ―→|，设E (2，y )(0≤y ≤1)，则F (2－2y,1)．∴AE ―→·AF ―→＝(2，y )·(2－2y,1)＝2(2－2y )＋y ＝4－3y ∈[1,4]． 法二：∵|BE ―→||BC ―→|＝|CF ―→||CD ―→|，则|CF ―→|＝2|BE ―→|. ∵0≤|BE ―→|≤1，∴AE ―→·AF ―→＝(AB ―→＋BE ―→)·(AD ―→＋DF ―→) ＝AB ―→·DF ―→＋BE ―→·AD ―→＝2|DF ―→|＋|BE ―→| ＝2(2－|CF ―→|)＋|BE ―→|＝4－3|BE ―→|∈[1,4]． 答案：[1,4]14．(2017·全国卷Ⅱ改编)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)的最小值是________．解析：如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，设P (x ，y )，则PA ―→＝(－x, 3－y )，PB ―→＝(－1－x ，－y )，PC―→＝(1－x ，－y )，所以PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2⎝⎛⎭⎫y －322－32，当x ＝0，y ＝32时，PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)取得最小值，为－32. 答案：－32[B 组——力争难度小题]1.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，AM ―→＝2MD ―→.若AC ―→·BM ―→＝－3，则AB ―→·AD ―→＝________.解析：由题意可得AC ―→＝AD ―→＋DC ―→＝AD ―→＋12AB ―→，BM ―→＝AM ―→－AB ―→＝23AD ―→－AB ―→，则AC ―→·BM ―→＝⎝⎛⎭⎫AD ―→＋12 AB ―→ ·⎝⎛⎭⎫23 AD ―→－AB ―→＝－3， 则23|AD ―→|2－12|AB ―→|2－23AB ―→·AD ―→＝－3， 即6－8－23AB ―→·AD ―→＝－3，解得AB ―→·AD ―→＝32.答案：322．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ，b 是互相垂直的单位向量，且(a －c )·(3b －c )＝1，则|c |的最大值为________．解析：法一：由题意可得(a －c )·(3b －c )＝－a ·c －3b ·c ＋|c |2＝1，则|c |2－(a ＋3b )·c －1＝0.又|a ＋3b |＝2，设a ＋3b 与c 的夹角为θ，θ∈[0，π]， 则|c |2－2|c |cos θ－1＝0，－2≤2cos θ＝|c |－1|c |≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧|c |2－2|c |－1≤0，|c |2＋2|c |－1≥0， 解得2－1≤|c |≤2＋1，则|c |max ＝2＋1.法二：不妨设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )，则(a －c )·(3b －c )＝(1－x ，－y )·(－x ，3－y )＝1，化简得⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －322＝2，圆心⎝⎛⎭⎫12，32到坐标原点的距离为1，则|c |max ＝2＋1.答案：2＋13．(2017·苏州考前模拟)已知点A (1，－1)，B (4,0)，C (2，2)．平面区域D 由所有满足AP ―→＝λAB ―→＋μAC ―→(1<λ≤a,1<μ≤b )的点P (x ，y )组成的区域．若区域D 的面积为16，则a ＋b 的最小值为________．解析：如图，延长AB 至点N ，延长AC 至点M ，使得AN ＝aAB ，AM ＝bAC .四边形ABEC 、四边形ANGM 、四边形EHGF 均为平行四边形． 由条件知，点P (x ，y )组成的区域D 为图中的阴影部分，即四边形EHGF (不含边界EH ，EF )．∵AB ―→＝(3,1)，AC ―→＝(1,3)，BC ―→＝(－2,2)． ∴|AB |＝10，|AC |＝10，|BC |＝22，cos ∠CAB ＝10＋10－82×10×10＝35，sin ∠CAB ＝45.∴四边形EHGF 的面积为(a －1)10×(b －1)10×45＝16.∴(a －1)(b －1)＝2，a ＋b ＝a ＋⎝⎛⎭⎫2a －1＋1＝(a －1)＋2a －1＋2.由a >1，b >1知，当且仅当a －1＝2，即a ＝b ＝2＋1时，a ＋b 取得最小值22＋2. 答案：22＋24．(2017·江苏高考)如图，在同一个平面内，向量OA ―→，OB ―→，OC ―→的模分别为1,1，2，OA ―→与OC ―→的夹角为α，且tan α＝7，OB ―→与OC ―→的夹角为45°.若OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R)，则m ＋n ＝________.解析：法一：如图，以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (1，0)，由tan α＝7，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 得sin α＝752，cos α＝152，设C (x C ，y C )，B (x B ，y B )， 则x C ＝|OC ―→|cos α＝2×152＝15，y C ＝|OC ―→|sin α＝2×752＝75，即C ⎝⎛⎭⎫15，75. 又cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，sin(α＋45°)＝752×12＋152×12＝45，则x B ＝|OB ―→|cos(α＋45°)＝－35，y B ＝|OB ―→|sin(α＋45°)＝45，即B ⎝⎛⎭⎫－35，45. 由OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，可得⎩⎨⎧15＝m －35n ，75＝45n ，解得⎩⎨⎧m ＝54，n ＝74，所以m ＋n ＝54＋74＝3.法二：由tan α＝7，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 得sin α＝752，cos α＝152，则cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，所以OB ―→·OC ―→＝1×2×22＝1，OA ―→·OC ―→＝1×2×152＝15，OA ―→·OB ―→＝1×1×⎝⎛⎭⎫－35＝－35， 由OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，得OC ―→·OA ―→＝m OA ―→2＋n OB ―→·OA ―→，即15＝m －35n .①同理可得OC ―→·OB ―→＝m OA ―→·OB ―→＋n OB ―→2， 即1＝－35m ＋n .②①＋②得25m ＋25n ＝65，即m ＋n ＝3.答案：3第3课时解三角形(能力课)[常考题型突破][例1] (2016·江苏高考)在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫A －π6的值． [解] (1)因为cos B ＝45，0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35.由正弦定理知AC sin B ＝ABsin C，所以AB ＝AC ·sin Csin B＝6×2235＝5 2.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， 所以A ＝π－(B ＋C )，于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4 ＝－cos B cos π4＋sin B sin π4.又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.因为0＜A ＜π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210. 因此，cos ⎝⎛⎭⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6 ＝－210×32＋7210×12＝72－620. [方法归纳][变式训练]1．(2017·南京、盐城一模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b sin 2C ＝c sin B .(1)求角C ；(2)若sin ⎝⎛⎭⎫B －π3＝35，求sin A 的值． 解：(1)由正弦定理及b sin 2C ＝c sin B ， 得2sin B sin C cos C ＝sin C sin B ， 因为sin B >0，sin C >0，所以cos C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)因为C ＝π3，所以B ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3， 所以B －π3∈⎝⎛⎭⎫－π3，π3， 又sin ⎝⎛⎭⎫B －π3＝35， 所以cos ⎝⎛⎭⎫B －π3＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫B －π3＝45. 又A ＋B ＝2π3，即A ＝2π3－B ， 所以sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝sin ⎣⎡⎦⎤π3－⎝⎛⎭⎫B －π3＝sin π3cos ⎝⎛⎭⎫B －π3－cos π3sin ⎝⎛⎭⎫B －π3＝32×45－12×35＝43－310. 2．(2017·苏北四市一模)在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan B ＝2，tan C ＝3.(1)求角A 的大小； (2)若c ＝3，求b 的长．解：(1)因为tan B ＝2，tan C ＝3，A ＋B ＋C ＝π，所以tan A ＝tan [π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－2＋31－2×3＝1.又A ∈(0，π)，所以A ＝π4.(2)因为tan B ＝sin Bcos B＝2，且sin 2B ＋cos 2B ＝1， 又B ∈(0，π)，所以sin B ＝255.同理可得sin C ＝31010.由正弦定理，得b ＝c sin Bsin C ＝3×25531010＝2 2.[例2] ，b ，c ，且△ABC 面积的大小为S ，3AB ―→·AC ―→＝2S .(1)求sin A 的值；(2)若C ＝π4，AB ―→·AC ―→＝16，求b .[解] (1)由3AB ―→·AC ―→＝2S ，得3bc cos A ＝2×12bc sin A ，即sin A ＝3cos A .整理化简得sin 2A ＝9cos 2A ＝9(1－sin 2A )， 所以sin 2A ＝910.又A ∈(0，π)，所以sin A >0，故sin A ＝31010. (2)由sin A ＝3cos A 和sin A ＝31010， 得cos A ＝1010， 又AB ―→·AC ―→＝16，所以bc cos A ＝16， 得bc ＝1610. ① 又C ＝π4，所以sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝31010×22＋1010×22＝255. 在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C ，得b 255＝c 22， 即c ＝104b . ② 联立①②得b ＝8.[方法归纳]1．(2017·南通三调)已知△ABC 是锐角三角形，向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3，sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3，n ＝(cos B ，sin B )，且m ⊥n .(1)求A －B 的值；(2)若cos B ＝35，AC ＝8，求BC 的长．解：(1)因为m ⊥n ，所以m ·n ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3cos B ＋sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3－B ＝0， 又A ，B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以A ＋π3－B ∈⎝⎛⎭⎫－π6，5π6， 所以A ＋π3－B ＝π2，即A －B ＝π6.(2)因为cos B ＝35，B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin B ＝45. 所以sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6 ＝sin B cos π6＋cos B sin π6＝45×32＋35×12＝43＋310. 由正弦定理，得BC ＝sin Asin B ×AC ＝43＋31045×8＝43＋3.2．(2017·镇江调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(a －c ，b ＋c )，n ＝(b －c ，a )，且m ∥n .(1)求B ；(2)若b ＝13，cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝33926，求a .解：(1)因为m ∥n ，所以a (a －c )－(b ＋c )(b －c )＝0，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12， 又B ∈(0，π)，故B ＝π3. (2)由(1)得A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，所以A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6， 又cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝33926，所以sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝51326，所以sin A ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫A ＋π6－π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π6sin π6＝51326×32－33926×12＝3926. 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B， 可得a ＝b ·sin A sin B ＝13×392632＝1.[例3] (2017·南通调研)如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b (sin C ＋cos C )．(1)求∠ABC ；(2)若∠A ＝π2，D 为△ABC 外一点，DB ＝2，DC ＝1，求四边形ABDC 面积的最大值．[解] (1)在△ABC 中，因为a ＝b (sin C ＋cos C )，所以sin A ＝sin B (sin C ＋cos C )，所以sin(B ＋C )＝sin B (sin C ＋cos C )，所以sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B sin C ＋sin B cos C,所以cos B sin C ＝sin B sin C ，又因为C ∈(0，π)，故sin C ≠0，所以cos B ＝sin B ，即tan B ＝1.又B ∈(0，π)，所以B ＝π4. (2)在△BCD 中，DB ＝2，DC ＝1，BC 2＝12＋22－2×1×2×cos D ＝5－4cos D .又A ＝π2，由(1)可知∠ABC ＝π4， 所以△ABC 为等腰直角三角形，S △ABC ＝12×BC ×12×BC ＝14BC 2＝54－cos D ， 又S △BDC ＝12×BD ×DC ×sin D ＝sin D, 所以S 四边形ABDC ＝54－cos D ＋sin D ＝54＋2sin ⎝⎛⎭⎫D －π4. 所以当D ＝3π4时，四边形ABDC 的面积有最大值，最大值为54＋ 2. [方法归纳](2017·苏北三市模拟)如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，且∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列．(1)求sin ∠CED ；(2)求BE 的长．解：设∠CED ＝α.因为∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列，所以2∠BEC ＝∠CBE ＋∠BCE ，又∠CBE ＋∠BEC ＋∠BCE ＝π，所以∠BEC ＝π3.(1)在△CDE 中，由余弦定理得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ，由题设知7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD －6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理得EC sin ∠EDC ＝CD sin α， 于是sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217， 即sin ∠CED ＝217. (2)由题设知0<α<π3， 由(1)知cos α＝1－sin 2α＝ 1－2149＝277， 又∠AEB ＝π－∠BEC －α＝2π3－α， 所以cos ∠AEB ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3·sin α＝－12cos α＋32sin α＝－12×277＋32×217＝714. 在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE ＝714， 所以BE ＝47.[课时达标训练]1．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)设BC ―→·CA ―→＝CA ―→·AB ―→，求证：△ABC 是等腰三角形；(2)设向量s ＝(2sin C ，－3)，t ＝(cos 2C ，cos C )，且s ∥t ，sin A ＝13，求sin ⎝⎛⎭⎫π3－B 的值．解：(1)证明：由BC ―→·CA ―→＝CA ―→·AB ―→，得ab cos C ＝bc cos A .化简且由正弦定理得，sin A cos C ＝sin C cos A ，∴sin(A －C )＝0.∴A ＝C .故△ABC 是等腰三角形．。
2018年江苏高考数学二轮复习练习：专项限时集训3 以构建函数模型、解三角形、动点轨迹为背景的实际问题
专项限时集训(三) 以构建函数模型、解三角形、动点轨迹为背景的实际问题(对应学生用书第117页)(限时：60分钟)1．(本小题满分14分)(2017·盐城市滨海县八滩中学二模)如图4是一“T”型水渠的平面视图(俯视图)，水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4 m ，东西向渠宽2m(从拐角处，即图中A ，B 处开始)．假定渠内的水面始终保持水平位置(即无高度差)．图4(1)在水平面内，过点A 的一条直线与水渠的内壁交于P ，Q 两点，且与水渠的一边的夹角为θ⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2，将线段PQ 的长度l 表示为θ的函数；(2)若从南面漂来一根长为7 m 的笔直的竹竿(粗细不计)，竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠(不会卡住)？请说明理由.【导学号：56394096】[解] (1)由题意，PA ＝2sin θ，QA ＝4cos θ，所以l ＝PA ＋QA ，即l ＝2sin θ＋4cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2. 4分(2)设f (θ)＝2sin θ＋4cos θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2. 由f ′(θ)＝－2cos θsin 2θ＋4sin θcos 2θ＝22sin 3θ－cos 3θsin 2θcos 2θ， 6分令f ′(θ)＝0，得tan θ0＝22. 8分且当θ∈(0，θ0)，f ′(θ)＜0；当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0，π2，f ′(θ)＞0， 所以，f (θ)在(0，θ0)上单调递减；在⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0，π2上单调递增， 所以，当θ＝θ0时，f (θ)取得极小值，即为最小值．当tan θ0＝22时，sin θ0＝13，cos θ0＝23， 所以f (θ)的最小值为36，12分即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为3 6 m.因为36＞7，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠.14分2．(本小题满分14分)(2017·江苏省宿迁市三模)某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图5所示．圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E 为上切点)，与左右两边相交(F ，G 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1 m 且AB AD ≥12，设∠EOF ＝θ，透光区域的面积为S .图5(1)求S 关于θ的函数关系式，并求出定义域；(2)根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边AB 的长度．[解] (1)过点O 作OH ⊥FG 于H ，∴∠OFH ＝∠EOF ＝θ； 又OH ＝OF sin θ＝sin θ，FH ＝OF cos θ＝cos θ，∴S ＝4S △OFH ＋4S 扇形OEF ＝2sin θcos θ＋4×12θ＝sin 2θ＋2θ； ∵AB AD ≥12，∴sin θ≥12，∴θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2； ∴S 关于θ的函数关系式为S ＝sin 2θ＋2θ，θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2；6分(2)由S 矩形＝AD ·AB ＝2×2sin θ＝4sin θ，则透光区域与矩形窗面积比值为2sin θcos θ＋2θ4sin θ＝cos θ2＋θ2sin θ，设f (θ)＝cos θ2＋θ2sin θ，θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2，则f ′(θ)＝－12sin θ＋sin θ－θcos θ2sin 2θ ＝sin θ－θcos θ－sin 3θ2sin 2θ ＝sin θcos 2θ－θcos θ2sin 2θ＝cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2θ－θ2sin 2θ； 10分∵π6≤θ＜π2，∴12sin 2θ≤12， ∴12sin 2θ－θ＜0， ∴f ′(θ)＜0，∴f (θ)在θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2上是单调减函数； ∴当θ＝π6时f (θ)取得最大值为π6＋34，此时AB ＝2sin θ＝1(m)；∴当透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，所求AB 的长度为1 m ．14分3．(本小题满分14分)(扬州市2017届高三上学期期中)如图6，某市在海岛A 上建了一水产养殖中心．在海岸线l 上有相距70公里的B 、C 两个小镇，并且AB ＝30公里，AC ＝80公里，已知B 镇在养殖中心工作的员工有3百人，C 镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在BC 之间建一个码头D ，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1∶2.图6(1)求sin ∠ABC 的大小；(2)设∠ADB ＝θ，试确定θ的大小，使得运输总成本最少．[解] (1)在△ABC 中，cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝900＋4 900－ 64002×30×70＝－17，所以sin ∠ABC ＝437.4分(2)在△ABD 中，由ADsin ∠ABD＝ABsin θ＝BDsin ∠BAD得：30sin θ＝AD437＝BD－17sin θ＋437cos θ.所以AD ＝12037sin θ，BD ＝12037cos θ－307sin θsin θ＝12037cos θsin θ－307.6分设水路运输的每百人每公里的费用为k 元，陆路运输的每百人每公里的费用为2k 元， 则运输总费用y ＝(5CD ＋3BD )×2k ＋8×k ×AD ＝2k [5(70－BD )＋3BD ＋4AD ] ＝20k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤35－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1237cos θsin θ－37＋4×1237sin θ＝20k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤35＋67＋2437·2－cos θsin θ. 令H (θ)＝2－cos θsin θ，则H ′(θ)＝1－2cos θsin 2θ，令H ′(θ)＝0，解得：cos θ＝12，θ＝π3. 10分当0＜θ＜π3时，H ′(θ)＜0，H (θ)单调递减；当π3＜θ＜π2时，H ′(θ)＞0，H (θ)单调递增， ∴θ＝π3时，H (θ)取最小值，同时y 也取得最小值．此时BD ＝12037cos θsin θ－307＝907，满足0＜907＜70，所以点D 落在BC 之间．所以θ＝π3时，运输总成本最小.14分4．(本小题满分16分) 如图7所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得∠DBC ＝45°，根据以上数据计算cos θ的值．图7[解] 由∠DAC ＝15°，∠DBC ＝45°可得∠BDA ＝30°，∠DBA ＝135°，∠BDC ＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，4分由内角和定理可得∠DCB ＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得50sin 30°＝DBsin 15°，即DB ＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°)＝252(3－1)，10分又25sin 45°＝2523－＋θ，即25sin 45°＝2523－cos θ，得到cos θ＝3－1.16分5．(本小题满分16分)(镇江市2017届高三上学期期末)如图8，某公园有三条观光大道AB ，BC ，AC 围成直角三角形，其中直角边BC ＝200 m ，斜边AB ＝400 m ．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB ，BC ，AC 大道上嬉戏，所在位置分别记为点D ，E ，F .图8(1)若甲、乙都以每分钟100 m 的速度从点B 出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲、乙两人之间的距离； (2)设∠CEF ＝θ，乙丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且∠DEF ＝π3，请将甲乙之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离． [解] (1)依题意得BD ＝300，BE ＝100，在△ABC 中，cos B ＝BC AB ＝12，∴B ＝π3，2分在△BDE 中，由余弦定理得：DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD ·BE ·cos B ＝3002＋1002－2·300·100·12＝70 000，∴DE ＝1007.6分 即甲、乙两人之间的距离为1007 m ．7分(2)由题意得EF ＝2DE ＝2y ，∠BDE ＝∠CEF ＝θ， 在直角三角形CEF 中，CE ＝EF ·cos∠CEF ＝2y cos θ，9分在△BDE 中，由正弦定理得BE sin ∠BDE ＝DE sin ∠DBE ，即200－2y cos θsin θ＝ysin 60°，∴y ＝10033cos θ＋sin θ＝503sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3，0＜θ＜π2，12分所以当θ＝π6时，y 有最小值50 3.14分故甲、乙之间的最小距离为50 3 m ．16分6．(本小题满分16分)(2017·江苏省盐城市高考数学三模)一儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施，其轴截面如图9中实线所示．ABCD 是等腰梯形，AB ＝20米，∠CBF ＝α(F 在AB 的延长线上，α为锐角)．圆E 与AD ，BC 都相切，且其半径长为100－80 sin α米．EO 是垂直于AB 的一个立柱，则当sin α的值设计为多少时，立柱EO 最矮？【导学号：56394097】图9[解] 如图所示，以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系．因为B (10,0)，k BC ＝tan α，所以直线BC 的方程为：y ＝tan α(x －10)，即x tan α－y －10tan α＝0，4分设圆心E (0，t )(t ＞0)，由圆E 与直线BC 相切，得100－80sin α＝|－t －10tan α|1＋tan 2α＝t ＋10tan α1cos α，所以EO ＝t ＝100－90sin αcos α，8分令f (α)＝100－90sin αcos α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f ′(α)＝100⎝⎛⎭⎪⎫sin α－910cos 2α， 设sin α0＝910，α0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.列表如下：所以当α＝α0，即sin α＝10时，f (α)取最小值.15分所以当sin α＝910时，立柱EO 最矮.16分。
2018年江苏高考数学二轮复习课件：第1部分+知识专题突破+专题5 三角函数与解三角形
3． (2016· 江苏高考)在锐角三角形 ABC 中， 若 sin A＝2sin Bsin C， 则 tan Atan Btan C 的最小值是________．
8 [在锐角三角形 ABC 中，
∵sin A＝2sin Bsin C， ∴sin(B＋C)＝2sin Bsin C， ∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，等号两边同除以 cos Bcos C，得
法二
y＝sin 2x， 联立两曲线方程，得 y＝cos x，
两曲线交点个数即为方程组解的个数，
也就是方程 sin 2x＝cos x 解的个数．方程可化为 2sin xcos x＝cos x， 即 cos x(2sin x－1)＝0，
1 ∴cos x＝0 或 sin x＝2. π π 3 5 ①当 cos x＝0 时，x＝kπ＋2，k∈Z，∵x∈[0,3π]，∴x＝2，2π，2π，共 3 个； 1 π 5 13 17 ②当 sin x＝2时，∵x∈[0,3π]，∴x＝6，6π， 6 π， 6 π，共 4 个． 综上，方程组在[0,3π]上有 7 个解，故两曲线在[0,3π]上有 7 个交点．]
tan B＋tan C＝2tan Btan C.
tan B＋tan C 2tan Btan C ∴tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝ ＝ .① tan Btan C－1 tan Btan C－1 ∵A，B，C 均为锐角， ∴tan Btan C－1>0，∴tan Btan C>1. tan A 由①得 tan Btan C＝ . tan A－2 tan A 又由 tan Btan C>1 得 >1， tan A－2 ∴tan A>2.
2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：6个解答题专项强化练(五) 函 数 Word版含解析
6个解答题专项强化练(五) 函 数1．已知函数f (x )＝x |2a －x |＋2x ，a ∈R.(1)若a ＝0，判断函数y ＝f (x )的奇偶性，并加以证明； (2)若函数f (x )在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；(3)若存在实数a ∈[－2,2]，使得关于x 的方程f (x )－tf (2a )＝0有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．解：(1)函数y ＝f (x )为奇函数． 证明如下：当a ＝0时，f (x )＝x |x |＋2x ， 所以f (－x )＝－x |x |－2x ＝－f (x )， 所以函数y ＝f (x )为奇函数．(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(2－2a )x ，x ≥2a ，－x 2＋(2＋2a )x ，x <2a ，当x ≥2a 时，y ＝f (x )的对称轴为x ＝a －1； 当x ＜2a 时，y ＝f (x )的对称轴为x ＝a ＋1， 所以当a －1≤2a ≤a ＋1时，f (x )在R 上是增函数， 即－1≤a ≤1时，函数f (x )在R 上是增函数．(3)方程f (x )－tf (2a )＝0的解即为方程f (x )＝tf (2a )的解． ①当－1≤a ≤1时，函数f (x )在R 上是增函数，所以关于x 的方程f (x )＝tf (2a )不可能有三个不相等的实数根． ②当a ＞1时，即2a ＞a ＋1＞a －1，所以f (x )在(－∞，a ＋1)上单调递增，在(a ＋1,2a )上单调递减，在(2a ，＋∞)上单调递增，所以当f (2a )＜tf (2a )＜f (a ＋1)时，关于x 的方程f (x )＝tf (2a )有三个不相等的实数根， 即4a ＜t ·4a ＜(a ＋1)2，因为a ＞1，所以1<t <14⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2. 设h (a )＝14⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2(a >1)， 因为存在a ∈[－2,2]，使得关于x 的方程f (x )＝tf (2a )有三个不相等的实数根， 所以1＜t ＜h (a )max .又可证h (a )＝14⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2在(1,2]上单调递增， 所以h (a )max ＝h (2)＝98，所以1＜t ＜98.③当a ＜－1时，即2a ＜a －1＜a ＋1，所以f (x )在(－∞，2a )上单调递增，在(2a ，a －1)上单调递减，在(a －1，＋∞)上单调递增，所以当f (a －1)＜tf (2a )＜f (2a )时，关于x 的方程f (x )＝tf (2a )有三个不相等的实数根， 即－(a －1)2＜t ·4a ＜4a ，因为a ＜－1，所以1<t <－14⎝⎛⎭⎫a ＋1a －2， 设g (a )＝－14⎝⎛⎭⎫a ＋1a－2， 因为存在a ∈[－2,2]，使得关于x 的方程f (x )＝tf (2a )有三个不相等的实数根， 所以1＜t ＜g (a )max ，又可证g (a )＝－14⎝⎛⎭⎫a ＋1a －2在[－2，－1)上单调递减， 所以g (a )max ＝98，所以1＜t ＜98.综上，实数t 的取值范围为⎝⎛⎭⎫1，98. 2．已知函数f (x )＝a ln x －bx 3，其中a ，b 为实数，b ≠0，e 为自然对数的底数，e ＝2.718 28….(1)当a <0，b ＝－1时，设函数f (x )的最小值为g (a )，求g (a )的最大值；(2)若关于x 的方程f (x )＝0在区间(1，e]上有两个不同实数解，求ab 的取值范围．解：(1)当b ＝－1时，函数f (x )＝a ln x ＋x 3(x >0)， 则f ′(x )＝ax ＋3x 2＝a ＋3x 3x ，令f ′(x )＝0，得x ＝3－a 3，因为a <0时， 3－a3>0， 所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：所以g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 3－a 3＝a ln 3－a 3－a3 ＝a3ln ⎝⎛⎭⎫－a 3－a 3，令t (x )＝－x ln x ＋x ，则t ′(x )＝－ln x ，令t ′(x )＝0，得x ＝1， 且当x ＝1时，t (x )有最大值1， 所以g (a )的最大值为1，此时a ＝－3.(2)因为方程a ln x －bx 3＝0在区间(1，e]上有两个不同实数解， 所以a b ＝x 3ln x在区间(1，e]上有两个不同的实数解，即函数y ＝a b 的图象与函数m (x )＝x 3ln x 的图象有两个不同的交点，因为m ′(x )＝x 2(3ln x －1)(ln x )2，令m ′(x )＝0，得x ＝3e ， 所以m ′(x )，m (x )随x 的变化情况如下表：所以当x ∈(1，3e)时，m (x )∈(3e ，＋∞)， 当x ∈(3e ，e]时，m (x )∈(3e ，e 3]，结合函数图象知a ，b 满足的关系式为3e<ab ≤e 3， 即ab 的取值范围为(3e ，e 3]．3．已知函数f (x )＝ax 2－x －ln x ，a ∈R. (1)当a ＝38时，求函数f (x )的最小值；(2)若－1≤a ≤0，证明：函数f (x )有且只有一个零点； (3)若函数f (x )有两个零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝38时，f (x )＝38x 2－x －ln x (x >0)，所以f ′(x )＝34x －1－1x ＝(3x ＋2)(x －2)4x ，令f ′(x )＝0，得x ＝2， 当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增. 所以当x ＝2时，f (x )有最小值f (2)＝－12－ln 2.(2)证明：由f (x )＝ax 2－x －ln x (x >0)，得f ′(x )＝2ax －1－1x ＝2ax 2－x －1x.所以当a ≤0时，f ′(x )＝2ax 2－x －1x <0， 函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以当a ≤0时，函数f (x )在(0，＋∞)上最多有一个零点. 因为当－1≤a ≤0时，f (1)＝a －1<0，f ⎝⎛⎭⎫1e ＝e 2－e ＋a e 2>0，所以当－1≤a ≤0时，函数f (x )在(0，＋∞)上有零点． 综上，当－1≤a ≤0时，函数f (x )有且只有一个零点.(3)由(2)知，当a ≤0时，函数f (x )在(0，＋∞)上最多有一个零点． 因为函数f (x )有两个零点，所以a >0. 由f (x )＝ax 2－x －ln x (x >0)， 得f ′(x )＝2ax 2－x －1x ，令g (x )＝2ax 2－x －1. 因为g (0)＝－1<0,2a >0，所以函数g (x )在(0，＋∞)上只有一个零点，设为x 0. 当x ∈(0，x 0)时，g (x )<0，f ′(x )<0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，g (x )>0，f ′(x )>0. 所以函数f (x )在(0，x 0)上单调递减； 在(x 0，＋∞)上单调递增．要使得函数f (x )在(0，＋∞)上有两个零点， 只需要函数f (x )的极小值f (x 0)<0， 即ax 20－x 0－ln x 0<0.又因为g (x 0)＝2ax 20－x 0－1＝0，所以2ln x 0＋x 0－1>0，又因为函数h (x )＝2ln x ＋x －1在(0，＋∞)上是增函数，且h (1)＝0， 所以x 0>1，得0<1x 0<1.又由2ax 20－x 0－1＝0，得2a ＝⎝⎛⎭⎫1x 02＋1x 0＝⎝⎛⎭⎫1x 0＋122－14， 所以0<a <1.以下验证当0<a <1时，函数f (x )有两个零点．当0<a <1时，g ⎝⎛⎭⎫1a ＝2a a 2－1a －1＝1－a a >0， 所以1<x 0<1a .因为f ⎝⎛⎭⎫1e ＝a e 2－1e ＋1＝e 2－e ＋a e 2>0，且f (x 0)<0. 所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，x 0上有一个零点. 又因为f ⎝⎛⎭⎫2a ＝4a a 2－2a －ln 2a ≥2a －⎝⎛⎭⎫2a －1＝1>0(因为ln x ≤x －1)，且f (x 0)<0. 所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫x 0，2a 上有一个零点． 所以当0<a <1时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，2a 内有两个零点. 下面证明：ln x ≤x －1. 设t (x )＝x －1－ln x (x >0)， 所以t ′(x )＝1－1x ＝x －1x ， 令t ′(x )＝0，得x ＝1. 当x ∈(0,1)时，t ′(x )<0； 当x ∈(1，＋∞)时，t ′(x )>0.所以函数t (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 所以当x ＝1时，t (x )有最小值t (1)＝0.所以t (x )＝x －1－ln x ≥0，得ln x ≤x －1成立． 综上，实数a 的取值范围为(0,1)． 4．已知函数f (x )＝a e xx ＋x .(1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线经过点(0，－1)，求a 的值；(2)是否存在负整数a ，使函数f (x )的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由；(3)设a >0，求证：函数f (x )既有极大值，又有极小值． 解：(1)∵f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2x 2，∴f ′(1)＝1，f (1)＝a e ＋1,∴函数f (x )在(1，f (1))处的切线方程为 y －(a e ＋1)＝x －1. 又直线过点(0，－1)，∴－1－(a e ＋1)＝－1，解得a ＝－1e .(2)若a <0，f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2x 2，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(－∞，0)上无极值； 当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(0,1)上无极值．法一：在x ∈(1，＋∞)时，若f (x )在x 0处取得符合条件的极大值f (x 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0>1，f (x 0)>0，f ′(x 0)＝0，则⎩⎨⎧x 0>1， ①a e x 0x＋x 0>0， ②a e x 0(x 0－1)＋x20x 20＝0， ③由③得a e x 0＝－x 20x 0－1，代入②得－x 0x 0－1＋x 0>0，结合①可解得x 0>2，再由f (x 0)＝a e x 0x 0＋x 0>0，得a >－x 20e x 0.令h (x )＝－x 2e x ，则h ′(x )＝x (x －2)e x ，当x >2时，h ′(x )>0，即h (x )是增函数， 所以a >h (x 0)>h (2)＝－4e2，又a <0，故当极大值为正数时，a ∈⎝⎛⎭⎫－4e 2，0，从而不存在负整数a 满足条件． 法二：在x ∈(1，＋∞)时，令H (x )＝a e x (x －1)＋x 2，则H ′(x )＝(a e x ＋2)x ， ∵x ∈(1，＋∞)，∴e x ∈(e ，＋∞)， ∵a 为负整数，∴a ≤－1，∴a e x ≤a e ≤－e ， ∴a e x ＋2<0，∴H ′(x )<0， ∴H (x )在(1，＋∞)上单调递减，又H (1)＝1>0，H (2)＝a e 2＋4≤－e 2＋4<0， ∴∃x 0∈(1,2)，使得H (x 0)＝0， 且1<x <x 0时，H (x )>0，即f ′(x )>0； x >x 0时，H (x )<0，即f ′(x )<0. ∴f (x )在x 0处取得极大值f (x 0)＝a e x 0x 0＋x 0. (*) 又H (x 0)＝a e x 0(x 0－1)＋x 20＝0，∴a e x0x0＝－x0x0－1代入(*)得，f(x0)＝－x0x0－1＋x0＝x0(x0－2)x0－1<0，∴不存在负整数a满足条件．(3)证明：f′(x)＝a e x(x－1)＋x2x2，设g(x)＝a e x(x－1)＋x2，则g′(x)＝x(a e x＋2)，因为a>0，所以当x>0时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x<0时，g′(x)<0，g(x)单调递减，故g(x)至多有两个零点．又g(0)＝－a<0，g(1)＝1>0，所以存在x1∈(0,1)，使g(x1)＝0，再由g(x)在(0，＋∞)上单调递增知，当x∈(0，x1)时，g(x)<0，故f′(x)＝g(x)x2<0，f(x)单调递减；当x∈(x1，＋∞)时，g(x)>0，故f′(x)＝g(x)x2>0，f(x)单调递增．所以函数f(x)在x1处取得极小值.当x<0时，e x<1，且x－1<0，所以g(x)＝a e x(x－1)＋x2>a(x－1)＋x2＝x2＋ax－a，函数y＝x2＋ax－a是关于x的二次函数，必存在负实数t，使g(t)>0，又g(0)＝－a<0，故在(t,0)上存在x2，使g(x2)＝0，再由g(x)在(－∞，0)上单调递减知，当x∈(－∞，x2)时，g(x)>0，故f′(x)＝g(x)x2>0，f(x)单调递增；当x∈(x2,0)时，g(x)<0，故f′(x)＝g(x)x2<0，f(x)单调递减．所以函数f(x)在x2处取得极大值.综上，函数f(x)既有极大值，又有极小值．5．已知函数f(x)＝e x－ax－1，其中e为自然对数的底数，a∈R.(1)若a＝e，函数g(x)＝(2－e)x.①求函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调区间；②若函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≤m ，g (x )，x >m 的值域为R ，求实数m 的取值范围；(2)若存在实数x 1，x 2∈[0,2]，使得f (x 1)＝f (x 2)，且|x 1－x 2|≥1，求证：e －1≤a ≤e 2－e. 解：(1)a ＝e 时，f (x )＝e x －e x －1，①h (x )＝f (x )－g (x )＝e x －2x －1，h ′(x )＝e x －2，由h ′(x )＞0，解得x ＞ln 2，由h ′(x )＜0，解得x ＜ln 2， 故函数h (x )在(ln 2，＋∞)上单调递增，在(－∞，ln 2)上单调递减． ②f ′(x )＝e x －e ，当x ＜1时，f ′(x )＜0，f (x )在(－∞，1)上单调递减， 当x ＞1时，f ′(x )＞0，f (x )在(1，＋∞)上单调递增，m ≤1时，f (x )在(－∞，m ]上单调递减，则值域是[e m －e m －1，＋∞)， g (x )＝(2－e)x 在(m ，＋∞)上单调递减，则值域是(－∞，(2－e)m )， ∵F (x )的值域是R ，故e m －e m －1≤(2－e)m ， 即e m －2m －1≤0，(*) 设h (m )＝e m －2m －1，由①可知m ＜0时，h (m )＝e m －2m －1＞h (0)＝0， 故(*)不成立，令h ′(m )＝e m －2＝0，得m ＝ln 2，∵h (m )在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2,1)上单调递增，且h (0)＝0，h (1)＝e －3＜0， ∴0≤m ≤1时，h (m )≤0恒成立，故0≤m ≤1.m ＞1时，f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，m ]上单调递增， 故函数f (x )＝e x －e x －1在(－∞，m ]上的值域是[－1，＋∞)， g (x )＝(2－e)x 在(m ，＋∞)上单调递减，值域是(－∞，(2－e)m )， ∵F (x )的值域是R ， ∴－1≤(2－e)m ，即1＜m ≤1e －2. 综上，实数m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，1e －2.(2)证明：f ′(x )＝e x －a ，若a ≤0，则f ′(x )＞0，此时f (x )在R 上递增， 由f (x 1)＝f (x 2)，可得x 1＝x 2，与|x 1－x 2|≥1矛盾，∴a ＞0且f (x )在(－∞，ln a ]上单调递减，在[ln a ，＋∞)上单调递增， 若x 1，x 2∈(－∞，ln a ]，则由f (x 1)＝f (x 2)可得x 1＝x 2，与|x 1－x 2|≥1矛盾， 同样不能有x 1，x 2∈[ln a ，＋∞)，不妨设0≤x 1＜x 2≤2，则有0≤x 1＜ln a ＜x 2≤2，∵f (x )在(x 1，ln a )上单调递减，在(ln a ，x 2)上单调递增，且f (x 1)＝f (x 2)， ∴x 1≤x ≤x 2时，f (x )≤f (x 1)＝f (x 2)，由0≤x 1＜x 2≤2且|x 1－x 2|≥1，得1∈[x 1，x 2]， 故f (1)≤f (x 1)＝f (x 2)，又f (x )在(－∞，ln a ]上单调递减，且0≤x 1＜ln a ， 故f (x 1)≤f (0)，故f (1)≤f (0)，同理f (1)≤f (2)，即⎩⎪⎨⎪⎧e －a －1≤0，e －a －1≤e 2－2a －1，解得e －1≤a ≤e 2－e ， ∴e －1≤a ≤e 2－e.6．已知函数f (x )＝e x sin x －cos x ，g (x )＝x cos x －2e x ，其中e 是自然对数的底数． (1)判断函数y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内零点的个数，并说明理由； (2)任意x 1∈⎣⎡⎦⎤0，π2，存在x 2∈⎣⎡⎦⎤0，π2，使得不等式f (x 1)＋g (x 2)≥m 成立，试求实数m 的取值范围；(3)若x ＞－1，求证：f (x )－g (x )＞0.解：(1)函数y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内零点的个数为1， 理由如下：因为f (x )＝e x sin x －cos x ， 所以f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＋sin x . 因为x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以f ′(x )＞0. 所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是单调递增函数． 因为f (0)＝－1＜0，f ⎝⎛⎭⎫π2＝e π2>0，根据函数零点存在性定理得函数y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内零点的个数为1. (2)因为不等式f (x 1)＋g (x 2)≥m 等价于f (x 1)≥m －g (x 2)，所以对任意x 1∈⎣⎡⎦⎤0，π2，存在x 2∈⎣⎡⎦⎤0，π2，使得不等式f (x 1)＋g (x 2)≥m 成立，等价于 f (x )min ≥(m －g (x ))min ， 即f (x )min ≥m －g (x )max .当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＋sin x ＞0，故f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增， 所以x ＝0时，f (x )取得最小值－1，又g ′(x )＝cos x －x sin x －2e x ，由于0≤cos x ≤1，x sin x ≥0，2e x ≥2， 所以g ′(x )＜0，故g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 因此，x ＝0时，g (x )取得最大值－ 2. 所以m ≤－2－1，即实数m 的取值范围为(－∞，－2－1]．(3)证明：当x ＞－1时，要证f (x )－g (x )＞0，只要证f (x )＞g (x )， 只要证e x sin x －cos x ＞x cos x －2e x ， 只要证e x sin x ＋2e x ＞cos x ＋x cos x ， 由于sin x ＋2＞0,1＋x ＞0， 只要证e x x ＋1＞cos xsin x ＋2.下面证明x ＞－1时，不等式e x x ＋1＞cos xsin x ＋2成立．令h (x )＝e x x ＋1，则h ′(x )＝x e x(x ＋1)2，当x ∈(－1,0)时，h ′(x )＜0，h (x )单调递减； 当x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增．所以当且仅当x ＝0时，h (x )取得极小值也就是最小值为1， 即e xx ＋1≥1，当x ＝0时，取“＝”． 又因为cos x －sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ≤2， 当x ＝2k π－π4时，k ∈Z 时取“＝”．所以cos x －sin x ≤2，即cos xsin x ＋2≤1，当x ＝2k π－π4时，k ∈Z 时取“＝”．所以e x x ＋1＞cos x sin x ＋2.综上所述，当x ＞－1时，f (x )－g (x )＞0成立．。
专题03 三角函数讲-2018年高考数学二轮复习讲练测江苏
2018年高三二轮复习讲练测之讲案【苏教版数学】专题三 三角函数考向一 三角恒等变形 1.讲高考（1） 考纲要求：1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差 的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换.（2）命题规律：1.预计2018年高考仍将在角的变换、角的范围、方面对三角恒等变形进行考查，对两角和与差、二倍角公式将重点考查；2.对三角恒等变换的考查力度与以往不会有变化，还是和向量、不等式等综合考察，复习时需加强这方面的训练.例1【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，cos()αβ-=___________. 【答案】79-【考点】1.同角三角函数；2.诱导公式；3.两角差的余弦公式.【名师点睛】本题考查了角的对称的关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含，α与β关于y 轴对称，则2k αβππ+=+ ，若α与β关于x 轴对称，则02k αβπ+=+ ，若α与β关于原点对称，则2k αβππ-=+ k Z ∈.例2在锐角三角形ABC 中，若sin A =2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是 ▲ . 【答案】8【解析】sin sin()2sin sin tan tan 2tan tan A B+C B C B C B C ==⇒+=，又tan tan tan tan tan 1B+CA=B C -，因此tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan 22tan tan tan tan tan tan 8,A B C A B C A B C A B C A B C =++=+≥⇒≥即最小值为8.【考点】三角恒等变换，切的性质应用【名师点睛】消元与降次是高中数学中的主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形ABC 中恒有tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++，这类同于正、余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时应多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识．此类问题的求解有两种思路：一是边化角，二是角化边．2.讲基础1．巧记六组诱导公式 对于“απ±2k ，Z k ∈的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限．2.“死记”两组三角公式（1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±βαααβαtan tan 1tan tan )tan( ±=±（2）二倍角的正弦、余弦、正切公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=ααα2tan 1tan 22tan -=3.讲典例【例1】【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】设α为锐角，若4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 212πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．【答案】17250【解析】sin 212πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ππ2ππsin 2sin2cos264266ααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 因为α为锐角, 所以2ππ3πππ24sin 1cos sin22sin cos 66566625ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=∴+=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2ππ167cos22cos 121662525αα⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因此sin 212πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 22471722252550⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.【趁热打铁】【无锡市2018届高三上期中基础性检测】已知22sin 2sin cos 3cos 0x x x x +-=，则cos 2x =______________.【答案】0或45-【名师点睛】观察次数上的差异和角的差异，故齐次化、弦切互化和用二倍角公司分别计算tan ,cos 2x x .【例2】【溧水高级中学2018届高三上期初模拟】已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ,2πβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 7cos29β=-，()7sin 9αβ+=. （1）求cos β的值； （2）求sin α的值.【答案】（1）1cos 3β=-（2）13【名师 点睛】据β的范围，确定cos 0β<，直接利用二倍角的余弦，求cos β的值；（2）根据（1）求 出sin β，再求出()42cos 9αβ+=-，通过 ()()()cos cos sin sin sin sin ααββαββαββ⎡⎤=+-=+-+⎣⎦，求sin α的值.【趁热打铁】已知()10,,cos 3απα∈=-. （1）求cos 4πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值； （2）求223sin πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 【答案】（1）426-；（2）427318-.【解析】（1）∵22sin cos 1αα+=， 1cos 3α=-∴28sin 9α=，又∵()0,απ∈ ∴22sin 3α=，又∵cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭= cos cos sin sin 44ππαα+=212222323⎛⎫-+⋅= ⎪⎝⎭ 426-． （2）∵22sin 3α=， 1cos 3α=- ，42sin22sin cos 9ααα=⋅=-227cos2cos sin 9ααα=-=-， 2sin 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=22sincos2cos sin233ππαα⋅+⋅= 371422929---⋅+⋅427318-=． 【名师点睛】复合角与特殊角有关，故可以利用两角和差的公式计算，注意需要计算2α的三角函数．4.讲方法三角恒等变形是指利用同角公式、诱导公式、两角和与差的三角函数公式等对三角式进行各种有目的的变形.变形中主要涉及角、函数名、结构、运算方式的变形，其技巧常有化异为同、辅助角、三角代换、和差配凑、幂指变换等.三角恒等变形涉及范围广泛，包括三角式的化简、求值、恒等式的证明、三角不等式的证明等，熟练掌握同角公式、诱导公式、两角和与差的三角函数公式，倍角公式，降幂公式，辅助角公式等是解决问题的前提.几个常见的变形切入点： ①ααcos sin 可凑倍角公式； ②αcos 1±可用升次公式；③αsin 1±可化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-±απ2cos 1，再用升次公式；或21sin sin cos 22ααα⎛⎫±=± ⎪⎝⎭④()ϕααα++=+sin cos sin 22b a b a （其中 ab=ϕtan ）这一公式应用广泛，熟练掌握. ⑤当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；⑥当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． ⑦常见的配角技巧：22αα=⋅；()ααββ=+-；()αββα=--；1[()()]2ααβαβ=++-；1[()()]2βαβαβ=+--；()424πππαα+=--；()44ππαα=--. 5.讲易错若函数1cos 2()sin cos()224sin()2xx xf x a x ππ+=--+的最大值为2，试确定常数a 的值．【错因】上述表达式中要根据诱导公式以及二倍角公式的降幂变形，最后利用辅助角公式将函数转化为关于x 的三角函数的表达式，用错公式是本题出错的原因.【正解】∵222cos 111()sin cos cos sin sin()4cos 222244x x x a f x a x a x x x ϕ=+=+=++，1tan a ϕ=，由已知得214154a a +=⇒=±. 考向二 三角函数的图象和性质 1.讲高考（1）考纲要求：1.能画出sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x 轴交点等），理解正切函数的性质；3.了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义：能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解参数A ，ω，ϕ对函数图象变化的影响.（2）命题规律：1.预计2016年高考仍将作为基础内容出现于综合题中，分值为5到12分；2.三角函数的周期性、单调性、有界性及图象的平移和伸缩变换，以函数性质为主的结合图象的综合题，在复习时应予以关注.例1. 【2016江苏，9】定义在区间[0，3π]上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是 . 【答案】7【考点】三角函数图象【名师点睛】求函数图象的交点个数，有两种方法：一是直接求解，如本题，解一个简单的三角方程，此方法立足于易于求解；二是数形结合，分别画出函数图象，数出交点个数，此法直观，但对画图要求较高，必须准确，尤其是要明确函数的增长幅度.例 2. 【2017天津，理7】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则ω=_______，ϕ=________ 【答案】23ω=，12ϕπ=【考点】求三角函数的解析式【名师点睛】有关sin()y A x ωϕ=+问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定A ，再根据周期或12周期或14周期求出ω，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的ϕ值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求ω或ϕ的值或最值或范围等.讲基础函数sin y x =的图象变换得到sin()y A x ωϕ=+的图象的步骤（1）确定sin()(0,0,||)y A x k A ωϕωϕπ=++>><中的参数的方法： 在由图象求解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则2M m A -=，2M mk +=，ω由周期T 确定，即由2T πω=求出，ϕ由特殊点确定．（2）由sin y x =的图象变换到sin()y A x ωϕ=+的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是||ϕ个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是||(0)ϕωω>个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是于x ω加减多少值．3.讲典例【例1】【福建省数学基地校2018届高三毕业班总复习 三角函数 单元过关测试卷（文科，B 卷）】数学试题将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()f x 的图象. （Ⅰ）写出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若对任意x ∈ ,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， ()()210f x mf x --≤恒成立，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）求实数a 和正整数n ，使得()()F x f x a =-在[]0,n π上恰有2017个零点.【答案】（1）()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）0m ≥（3）见解析 【解析】（Ⅰ） ()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（Ⅲ）问题可转化为研究直线y a =与曲线()y f x =的交点情况.()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0,π上的草图为：当1a >或1a <-时，直线y a =与曲线()y f x =没有交点；当1a =或1a =-时，直线y a =与曲线()y f x = []0,π上有1个交点，由函数()y f x =的周期性可知，此时2017n =； 当331,122a a <<-<<时，直线y a =与曲线()y f x = []0,π上有2个交点，由函数()y f x =的周期性可知，直线直线y a =与曲线()y f x = []0,n π上总有偶数个交点； 当32a =时，直线y a =与曲线()y f x = []0,π上有3个交点，由函数()y f x =的周期性及图象可知，此时1008n =.综上所述，当1a =， 2017n =或1a =-， 2017n =，或3,10082a n ==时， ()()F x f x a =-在[]0,n π上恰有2017个零点.【趁热打铁】【2017届四川资阳市高三上学期第一次诊断数学（理）】已知函数()12sin cos 62f x x x πωω⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭ (其中0ω>)的最小正周期为π.(Ⅰ) 求ω的值；(Ⅱ) 将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象.求函数()g x 在[]ππ-，上零点. 【答案】（Ⅰ）1ω=；（Ⅱ）6π-和56π. 【解析】 (Ⅰ) ()2112sin cos 3sin cos cos 622f x x x x x x πωωωωω⎛⎫=-⋅+=⋅-+ ⎪⎝⎭ 31sin2cos2sin 2226x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.由最小正周期22T ππω==，得1ω=.【名师点睛】(Ⅰ)首先利用两角差的正弦函数与倍角公式化简函数的解析式，然后根据周期求得ω的值；(Ⅱ)首先根据三角函数图象的平移伸缩变换法则求得()g x 的解析式，然后利用正弦函数的图象与性质求得函数的零点、两角差的正弦函数；2、倍角公式；3、三角函数图象的平移伸缩变换；4、正弦函数的图象与性质.【例2】 【江西省K12联盟2018届高三教育质量检测（理）】函数()2sin 1cos 22wx wx f x -=+，且12w >， x R ∈，若()f x 的图像在()3,4x ππ∈内与x 轴无交点则w 的取值范围是__________．【答案】7111115,,12161216⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 【解析】()2sin 12cos sin 2224wx wx f x wx π-⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，显然π2T >，故1ω12<<.由对称中心可知： k π4wx π+=，可得： 1x k π4πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭， k Z ∈，假设在区间()3,4ππ内存在交点，可知：11416312k k ω-<<-，当k 2,3,4=时， 771111155ωωω16121612164<<<<<<，，，现不属于区间()3,4ππ，所以以上的并集在全集1ω12<<中做补集，得7111115ω,,12161216⎡⎤⎡⎤∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故答案为： 7111115,,12161216⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦点睛：本题采用了正难则反的策略把无交点问题转化为有交点问题，利用补集思想得到最终的结果，对于否定性问题经常这样思考． 【趁热打铁】函数()2sin 1cos 22x x f x ωω-=+，且0w >， x R ∈，若()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调函数，则ω的取值范围是__________． 【答案】点睛：一般地，如果()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调函数，我们通常利用对称轴去讨论，本题需求出对称轴，区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦应该在相邻的两个对称轴之间，通过不等式组解出整数k 的值从而确定104ω<≤．讲方法1.函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象的作法（1）五点法：用“五点法”作sin()y A x ωϕ=+的简图，主要是通过变量代换，设z x ωϕ=+，由z 取0，2π，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象． （2）图象变换法：由函数sin y x =的图象通过变换得到sin()y A x ωϕ=+的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．2.确定sin()(0,0)y A x b A ωϕω=++>>的步骤和方法 （1）求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则2M m A -=，2M mb +=.（2）求ω，确定函数的周期T ，则可得2Tπω=. （3）求ϕ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y b =的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定ϕ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时0x ωϕ+=；“第二点”(即图象的“峰点”)时2x πωϕ+=；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时x ωϕπ+=；“第四点”(即图象的“谷点”)时32x πωϕ+=；“第五点”时2x ωϕπ+=．3.利用三角函数图象与x 轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的12个最小正周期，可求解参数ω的值，利用图象的最高点、低点为三角函数最值点，可求解参数A 的值．在求函数值域时，由定义域转化成x ωϕ+的范围，即把x ωϕ+看作一个整体，再结合三角函数的图象求解．5.讲易错函数|sin |cos 1y x x =-的最小正周期与最大值的和为 .【错因】在求函数的最小正周期的时候，未结合函数图象考虑，得到函数的最小正周期为π.【正解】∵1sin 21,(22)21sin 21,(22)2x k x k y x k x k ππππππ⎧-≤<+⎪⎪=⎨⎪---≤<⎪⎩，作出其图象，知原函数的最小正周期为2π，最大值为12-，故最小正周期和最大值之和为122π-. 考向三 解三角形 1.讲高考（1）考纲要求：1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.掌握运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.（2）命题规律：1.预计2018年高考将以正弦、余弦定理的直接应用为主要考查目标，以解答题形式出现的可能性较大，难度以中档题为主，注意与基本不等式的综合；2.结合几何知识（平面几何或立体几何）构建综合性的应用题是可能的发展方向，复习时需加以关注.例1【2018 江苏】如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为107cm ，容器Ⅱ的两底面对角线11,EG E G 的长分别为14cm 和62cm .分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm. 现有一根玻璃棒l，其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）CC上，求l没入水中部分的长度；（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱1GC上，求l没入水中部分的长度.（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱1【答案】（1）玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm .（2）玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm .答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm .( 如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为24cm )（2）如图，1,O O 是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义，1OO ⊥平面EFGH ， 所以平面11E EGC ⊥平面EFGH ，1O O EG ⊥ .同理111O O E G ⊥，记玻璃棒的另一端落在1GC 上点N 处.过G 作1GK E G ⊥⊥，K 为垂足， 则132GK OO == . 因为1114,62EG E G == ，所以16214242KG -==， 从而222211243240GG KG GK =+=+=. 设1,,EGG ENG αβ∠=∠=则114sin sin cos 25KGG KGG πα⎛⎫=+∠=∠= ⎪⎝⎭.因为2παπ<<，所以3cos 5α=-.在ENG 中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=. 因为02πβ<<，所以24cos 25β=.于是()()424373sin sin sin sin cos cos sin 5255255NEG παβαβαβαβ⎛⎫∠=--=+=+=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭.记EN与水面的交点为2P ，过2P 作22PQEG ⊥，2Q 为垂足，则22P Q ⊥平面EFGH ，故2212PQ =，从而 22220sin P Q EP NEG==∠.答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm .(如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为20cm )【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向； 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化； 第三步：求结果．例2．【2017届湖北荆荆襄宜四地七校联盟高三理上联考】如图，我海监船在D 岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A 处，此时测得其东北方向与它相距16海里的B 处有一外国船只，且D 岛位于海监船正东142海里处。
2018版高考数学理江苏专用大二轮总复习与增分策略配套课件：专题三 三角函数、解三角形与平面向量 第
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4.(2016·江 苏 ) 在 锐 角 三 角 形 ABC 中 ， 若 sin A ＝ 2sin Bsin C ， 则tan Atan Btan C的最小值是____8____.
解析
答案
考情考向分析
正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查： 1.边和角的计算； 2.三角形形状的判断； 3.面积的计算； 4.有关的范围问题.由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行 命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视.
解析
答案
(则2)若θ＝f_(x_－)_＝_π3__3_s_in. (x＋θ)－cos(x＋θ)(－π2≤θ≤π2)是定义在 R 上的偶函数， 解析 f(x)＝2sin(x＋θ－π6)， 由题意得 θ－π6＝π2＋kπ(k∈Z)， 因为－π2≤θ≤π2，所以 k＝－1，θ＝－π3.
解析答案
热点二 正弦定理、余弦定理
专题三 三角函数、解三角形与平面向量
第2讲 三角变换与解三角形
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高考真题体验
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64 1.(2016·课标全国丙改编)若 tan α＝34，则 cos2α＋2sin 2α＝___2_5____.
解析 tan α＝34， 则 cos2α＋2sin 2α＝cocos2sα2α＋＋2ssiinn22αα＝11＋＋4tatann2αα＝6245.
解析答案
(2)求sin A＋sin C的取值范围. 解 由(1)知，C＝π－(A＋B) ＝π－(2A＋π2)＝π2－2A>0，∴A∈(0，π4)， 于是 sin A＋sin C＝sin A＋sin(π2－2A) ＝sin A＋cos 2A＝－2sin2A＋sin A＋1 ＝－2(sin A－14)2＋98， ∵0<A<π4，∴0<sin A< 22， 因此 22<－2(sin A－14)2＋98≤98，
2018年江苏高考数学二轮复习练习：5_三角函数与解三角形有答案
专题限时集训(五) 三角函数与解三角形(对应学生用书第89页) (限时：120分钟)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．) 1．(江苏省苏州市2017届高三上学期期中)已知tan α＝－43，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 7 [∵tan α＝－43，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－43－11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝7.]2．(江苏省南通市如东高中2017届高三上学期第二次调研)函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的单调增区间为________．⎝⎛⎭⎪⎫k π－π6，k π＋5π6，k ∈Z [由k π－π2＜x －π3＜k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6＜x ＜k π＋5π6，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π－π6，k π＋5π6，k ∈Z .]3．(贵州遵义市2017届高三第一次联考)已知倾斜角为α的直线l 过x 轴上一点A (非坐标原点O )，直线l 上有一点P (cos 130°，sin 50°)，且∠APO ＝30°，则α等于________．100°或160° [因为P (cos 130°，sin 50°)＝P (cos 130°，sin 130°)，所以∠POx ＝130°，因此α＝130°＋30°或130°－30°，即α＝160°或100°.]4．(山东省枣庄市2017届高三上学期期末)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，tan(α－π)＝－34，则sin α＋cos α的值是________．－15 [tan(α－π)＝tan α＝－34，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以sin α＋cos α＝－15.]5．(山东省枣庄市2017届高三上学期期末)已知函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值为________.【导学号：56394033】6 [将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度，得y ＝cos ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ3，又因为所得的图象与原图象重合，所以ωπ3＝2k π，即ω＝6k (k ∈Z ) ，因为ω＞0，所以ω的最小值为6.]6．(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足2b cos A ＝2c －3a ，则角B 的大小为________．π6[∵2b cos A ＝2c －3a ， ∴cos A ＝2c －3a 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc，整理可得：c 2＋a 2－b 2＝3ac ，∴cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π6.]7．(天津六校2017届高三上学期期中联考)将函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象．则y ＝g (x )图象一条对称轴是________．x ＝π3[函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再向右平移π6个单位长度，得y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，对称轴为2x －π6＝π2＋k π(k ∈Z )，x ＝π3＋k π2(k ∈Z )．]图5－78．(四川省2016年普通高考适应性测试)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图5－7所示，则函数f (x )的解析式为________.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 [A ＝2，T 4＝5π12－π6⇒T ＝π，ω＝2πT ＝2,2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝2⇒5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )⇒φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，∵|φ|＜π2，∴φ＝－π3.]9．(江苏省苏州市2017届高三上学期期中)若函数y ＝tan θ＋cos 2θ＋1sin 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2，则函数y 的最小值为________．2 [由题意：函数y ＝tan θ＋cos 2θ＋1sin 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2， 化简：y ＝sin θcos θ＋2cos 2θ－1＋12sin θcos θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝2sin 2θ；∵0＜θ＜π2，∴0＜2θ＜π，所以：0＜sin 2θ≤1.当sin 2θ＝1时，函数y 取得最小值，即y min ＝21＝2.]10．(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)已知函数f (x )＝3sin 2ωx －cos 2ωx (其中ω∈(0,1))，若f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则f (x )在区间[0，π]上的单调递增区间为________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3 [函数f (x )＝3sin 2ωx －cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6，∵f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3ω－π6＝0，∴π3ω－π6＝k π，k ∈Z ，解得ω＝3k ＋12，∵ω∈(0,1)，∴ω＝12，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，∴f (x )的增区间为：－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，整理，得－π3＋2k π≤x ≤2π3＋2k π，k ∈Z ，∴f (x )在区间[0，π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3.]11．(2017·江苏省盐城市高考数学二模)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos α的值为________．43－310 [∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝45， 那么cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310.]12．(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32B ＋π4＝－22，且a ＋c ＝2，则△ABC 周长的取值范围是________.[2＋3，4) [∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32B ＋π4＝－22，且B 为三角形的内角，∴32B ＝π，∴B ＝2π3，又b 2＝a 2＋c 2－2ac cosB ＝(a ＋c )2－ac ＝4－ac ≥4－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝3，当且仅当a ＝c ＝1时，取等号，所以b ≥3，所以a ＋c ＋b ≥2＋3；又a ＋c ＝2＞b ，所以a ＋c ＋b ＜4，所以△ABC 周长的取值范围是[2＋3，4)．]13．(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)已知△ABC 中，sin A ＋2sin B cos C ＝0，则tanA 的最大值是________．33[∵sin A ＋2sin B cos C ＝0，∴a ＋2b cos C ＝0. ∴a ＋2b a 2＋b 2－c 22ab＝0，∴2a 2＋b 2－c 2＝0；由于tan 2A ＝1cos 2A－1.又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3b 2＋c 24bc ≥23bc 4bc ＝32，当且仅当3b ＝c 时，等号成立．即cos A 的最小值为32.故tan 2A 的最大值为13，故tan A 的最大值为33.]14．(广东2017届高三上学期阶段测评(一))函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＋1的最小正周期为π，当x ∈[m ，n ]时，f (x )至少有12个零点，则n －m 的最小值为________．16π3 [由题知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1，f (x )＝0,2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－12.由周期性可知n －m ≥5π＋π3＝16π3，∴(n －m )min ＝16π3.] 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15．(本小题满分14分)(2017·江苏省盐城市高考数学二模)如图5－8，在△ABC 中 ，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2.① ②图5－8(1)若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小；(2)若∠ABC ＝π4，求△ADC 的面积．[解] (1)设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β. 因为AD ⊥BC ，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2， 所以tan α＝12，tan β＝13，2分所以tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1.4分又∠BAC ∈(0，π)， 所以∠BAC ＝π4.6分 (2)设∠BAD ＝α.在△ABD 中，∠ABC ＝π4，AD ＝6，BD ＝3.由正弦定理得ADsinπ4＝BD sin α，解得sin α＝24.8分 因为AD ＞BD ，所以α为锐角，从而cos α＝1－sin 2α＝144. 因此sin ∠ADC ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫24＋144＝1＋74. △ADC 的面积S ＝12×AD ×DC ·sin∠ADC ＝12×6×2×1＋74＝32(1＋7).14分16．(本小题满分14分)(江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b sin 2C ＝c sin B . (1)求角C ；(2)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝35，求sin A 的值．[解] (1)由b sin 2C ＝c sin B ，根据正弦定理，得2sin B sin C cos C ＝sin C sin B ，2分 因为sin B ＞0，sin C ＞0，所以cos C ＝12，4分 又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.6分(2)因为C ＝π3，所以B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以B －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝45. 8分又A ＋B ＝2π3，即A ＝2π3－B ，所以sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝sin π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3－cos π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3 ＝32×45－12×35＝43－310. 14分17．(本小题满分14分)(江苏省南京市2017届高三上学期学情调研)如图5－9，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A ，B .若点A 的横坐标是31010，点B 的纵坐标是255.图5－9(1)求cos(α－β)的值； (2)求α＋β的值.【导学号：56394034】[解] 因为锐角α的终边与单位圆交于A ，且点A 的横坐标是31010，所以，由任意角的三角函数的定义可知，cos α＝31010，从而sin α＝1－cos 2α＝1010. 2分因为钝角β的终边与单位圆交于点B ，且点B 的纵坐标是255，所以sin β＝255，从而cos β＝－1－sin 2β＝－55. 4分(1)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＋1010×255＝－210. 8分(2)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＋31010×255＝22. 11分因为α为锐角，β为钝角，故α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以α＋β＝3π4.14分18．(本小题满分16分)(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x －12.(1)求函数f (x )的对称中心 ；(2)求f (x )在[0，π]上的单调递增区间． [解] (1)f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，4分令2x －π6＝k π，得x ＝k π2＋π12，故所求对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π12，－1，k ∈Z .8分 (2)令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z10分又由于x ∈[0，π]，所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π，故所求单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π. 16分19．(本小题满分16分)(天津六校2017届高三上学期期中联考 )已知函数f (x )＝2sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋32.(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2) 求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值及最小值．[解] (1)f (x )＝2sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋32＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x ＋32＝sin x cos x －3sin 2x ＋32＝12sin 2x －32＋32cos 2x ＋32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 3分由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z . 即f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z .6分 (2)由0≤x ≤π2得π3≤2x ＋π3≤4π3，8分 所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1.12分所以当x ＝π2时，f (x )取得最小值－32；当x ＝π12时，f (x )取得最大值1.16分20．(本小题满分16分)(山东潍坊2017届高三上学期期中联考)已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a －b ，sin A ＋sin C )与向量n ＝(a －c ，sin(A ＋C ))共线． (1)求角C 的值；(2)若AC →·CB →＝－27，求|AB →|的最小值． [解] (1)∵向量m 与向量n 共线，∴(a －b )·sin(A ＋C )＝(a －c )(sin A ＋sin C )， 2分由正弦定理可得：(a －b )b ＝(a －c )(a ＋c )， ∴c 2＝a 2＋b 2－ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∵0＜C ＜π，∴C ＝π3.7分(2)∵AC →·CB →＝－27，∴CA →·CB →＝27，∴CA →·CB →＝|CA →|·|CB →|cos C ＝12|CA →|·|CB →|＝27，10分 ∴|CA →|·|CB →|＝54，∵|AB →|2＝|CB →－CA →|2＝|CB →|2＋|CA →|2－2CB →·CA →， ∴|AB →|2≥2|CB →|·|CA →|－2×27 ＝2×54－54＝54.∴|AB →|≥36，(当且仅当|CA →|＝|CB →|＝36时，取“＝”) ∴|AB →|的最小值为3 6. 16分。
2018年江苏省高考数学第2轮复习 第2部分 八大难点突破 难点1 与三角变换、平面向量综合的三角形问题
∴缉私艇应向北偏东 47°方向追击， △ABC 中，由余弦定理可得 cos 120°＝16＋B8CB2C－AC2，∴BC≈1.686 15. B 到边界线 l 的距离为 3.8－4sin 30°＝1.8， ∵1.686 15＜1.8， ∴能用最短时间在领海内拦截成功．
若 P 是△ABC 内的一点，BA→→PP＝＝tλ||BB→→AA→ →AABB||＋＋||BB→→AA→ →CCCC||，，tλ＞＞00
⇒P 是△ABC 的内心； 若 D、E 两点分别是△ABC 的边 BC、CA 上的中点，且
D→P·P→B＝D→P·P→C E→P·P→C＝E→P·P→A
2 所以 tan 2B＝1－2tatnanB2B＝1－3132＝34.
4．实际应用中的三角形问题 在实际生活中往往会遇到关于距离、角度、高度的测量问题，可以借助平面图 形，将上述量放在一个三角形中，借助解三角形知识达到解决问题的目的．
【例 4】 (2017·江苏省淮安市高考数学二模)一缉私艇巡 航至距领海边界线 l(一条南北方向的直线)3.8 海里的 A 处，发现在其北偏东 30°方向相距 4 海里的 B 处有一走 私船正欲逃跑，缉私艇立即追击，已知缉私艇的最大航 速是走私船最大航速的 3 倍，假设缉私艇和走私船均按 直线方向以最大航速航行．
(1)若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领 海内拦截成功；(参考数据：sin 17°≈ 63， 33≈5.744 6) (2)问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明 理由．
[解] (1)设缉私艇在 C 处与走私船相遇(如图)，则 AC＝3BC.
专题03 三角函数测-2018年高考数学二轮复习讲练测江苏
2018年高三二轮复习讲练测之测案【苏教版数学】专题三 三角函数总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______一、填空题1. 【江苏省苏州市2017-2018学年高三上学期期中调研】已知πtan 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则cos2α的值是_____． 【答案】45-2. 【北京市通州区2018届高三上学期期末考试】 已知点P 的坐标是()43,1，将OP 绕坐标原点顺时针旋转3π至OQ ，那么点Q 的横坐标是_______. 【答案】532【解析】∵()43,1P 7OP ∴=，OP 绕原点按逆时针方向旋转3π至OQ ， 73POQ OP OQ π∴∠===，， 设终边为OP 的角为α， 终边为OQ 的角为β，则143773sin cos πααβα===-，；，Q 点横坐标为53773332Q x OQ cos cos cos cos sin sin πππβααα=⋅=⋅-=⋅+=（）（）．3. 【百校联盟2018届TOP20一月联考（全国Ⅰ卷）理科数学】ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()22622absinA ac sin B b sinAcosC +-=， 2b =，则ABC ∆外接圆面积的最小值为__________．【答案】98π【解析】由条件及正弦定理得()26cos ac B abcosC a -=-，∴()2222222622c a b a b c ac ab a ca ab+-+--⋅=⋅-，整理得3ac =．在ABC ∆中，由余弦定理得 ()()2242cos 21cos 61cos c a ac B ac B B =+-≥-=-，∴1cos 3B ≥，当且仅当3a c ==时等号成立．∴22sin 3B ≤．设ABC ∆外接圆的半径为r ，则2322sin 2223b r B =≥=，故324r ≥． ∴298S r ππ=≥．故ABC ∆外接圆面积的最小值为98π． 【名师点睛】点睛：解答本题时注意以下两点：（1）与解三角形有关的最值问题一般与面积有关，且常与基本不等式结合在一起考查，解题时要注意构造应用不等式的形式，同时还要说明等号成立的条件．（2）已知三角形的边和它的对角可求出三角形外接圆的半径，即2sin ar A=，此结论的用途很大，需要记住．4. 【苏州市2016届高三调研测试】已知θ是第三象限角，且2sin 2cos 5θθ-=-，则s i nc o s θθ+＝ ▲ ．【答案】3125-考点：同角三角函数关系5. 【山东省曲阜市2018届高三上学期期中考试数学（理）】已知函数()914sin 2066f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123123,,,...n n x x x x x x x x <<<<，则1231222n n x x x x x -+++++=__________．【答案】445π 【解析】2,62x k k Z πππ+=+∈ ,解得： ,62k x k Z ππ=+∈ ,函数在910,6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 的对称轴为6π ， 23π ，…… 443π .相邻对称轴间的距离为2π ，所以12263x x ππ+=⨯= ， 2324233x x ππ+=⨯= ，以此类推， 14488233n n x x ππ-+=⨯= ，这1n - 项构成以首项为3π， π为公差的等差数列，第1n -项 为883π ，所以88332n πππ-=- ，解得31n = ，所以 ()()()12231883033 (4452)n n x x x x x x πππ-⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭++++++==【名师点睛】本题考查了三角函数的零点问题，三角函数的考查重点是性质的考查，比如周期性，单调性，对称性等，处理抽象的性质最好的方法就是画出函数的图象，这样根据对称性就比较好解决了，本题有一个易错点是，会算错定义域内的零点个数，这就需结合对称轴和数列的相关知识，防止出错. 6.已知,下列结论中正确的个数是（ ）在性质“①()f x 既是奇函数,又是周期函数 ； ②()y f x =的图像关于直线2x π=对称；③()f x 的最大值为439； ④()y f x =在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数”中函数()=cos sin 2f x x x 所具有的性质有 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】①②③④【解析】在结论①中，由于()()()()cos sin 2cos sin2f x x x x x f x -=--=-=-且()()()()2cos 2sin22cos sin2f x x x x x f x p p p +=++==，所以结论①正确；在结论②中，由于cos sin 2sin sin 2222f x x x x x p p p骣骣骣琪琪琪+=++=琪琪琪桫桫桫且cos sin 2sin sin 2222f x x x x x p pp骣骣骣琪琪琪-=--=琪琪琪桫桫桫，所以结论②正确；在结论③中，由于()32sin 2sin f x x x =-+，令[]()s i n ,1t x t =?，则()362f t t t =-+，()262f t t ¢=-+，令()0f x ¢>，得3333t -<<，当31,3t 骣琪?-琪桫或3,13t 骣琪Î琪桫时函数()f t 为减函数，当33,33t 骣琪?琪桫时函数()f t 为增函数，所以当33t =即3sin 3x =时，函数()f x 取得最大值，最大值为()3ma x 334322339f x 骣琪=-??琪桫，所以结论③正确；在结论④中，由于1133,,2233骣轾琪-?犏琪犏臌桫，所以函数()f x 在区间,66p p轾-犏犏臌为增函数，所以结论④正确.故答案为①②③④． 7. 【黑龙江省哈尔滨市第三中学2017-2018届高二上学期模块考试（期末）】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且1cos cos 2a B b A c -=，则tan tan AB的值为__________． 【答案】3【解析】∵ABC ∆中， 1cos cos 2a B b A c -=，∴由正弦定理可得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -= ∴()2sin cos 2sin cos sin sin A B B A C A B -==+，∴2sin cos 2sin cos sin cos sin cos A B B A A B B A -=+ ∴sin cos 3sin cos A B B A =，∴tan sin cos 3tan cos sin A A B B A B==，故答案为3 【名师点睛】利用正弦定理和余弦定理对题设中的边角关系进行转化，要么转化为边的关系，要么转化为角的关系，有时也可能根据题设条件特征转化为边角的混合关系．8. 【江西省师范大学附属中学、九江第一中学2018届高三11月联考】设函数()π2s i n 2(,0)6fx xx ωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭R ,若将()y f x =的图象向左平移π6个单位后,所得图象关于y 轴对称.则ω的最小值为_________. 【答案】1【解析】因为将()π2sin 26f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位后得到的函数 ππππ2sin 22sin 26636y x x ωωω⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦的图象关于y 轴对称,所以ππππ362k ω+=+,即 13π,Z k k ω=+∈,所以ω的最小值为1;故填1.【名师点睛】图像变换中，应注意左右平移是变化的是自变量x 本身.9. 【宁夏银川一中2018届高三第五次月考数学（文）】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且4cos 5B =，则11tan tan A C+的值是___________.【答案】53【解析】因为,,a b c 成等比数列，所以2b ac =，由正弦定理，得2sin sin sin B A C =，因为4cos 5B =且0πB <<，所以3sin 5B =，则11cos cos tan tan sin sin A CA C A C+=+2cos sin sin cos sin 15sin sin sin sin 3A C A C B A C B B +====；故填53. 10.ABC ∆为锐角三角形，1,2BC B A =∠=∠，则AC 的取值范围为_______.11. 【山西省太原十二中2018届高三上学期1月月考数学（理）】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中由一道著名的“引葭赴氨”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思为：“今有水池1丈见方（即10CD =尺），芦苇生长在水的中央，长处水面的部分为1尺.将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示），问水深、芦苇的长度各是多少？”现假设BAC θ=∠，则tan 24θπ⎛⎫+=⎪⎝⎭__________．【答案】5【名师点睛】数学文化已经成为高考的热点问题，本题实质上就是倍角公式的逆用． 12.已知2tan()5αβ+=，1tan 3β=，则tan()4πα+的值为 ．12. 【江苏省丹阳高级中学2018届高三上学期期中考试】在锐角三角形ABC 中，9tan tan tan tan tan tan A B B C C A ++的最小值为____．【解析】如图，不妨设CD=1，AD=m ，BD=n ，∴tanA=1m ，tanB=1n，（m>0，n>0），∴tanC=-tan （A+B ）=tan tan 1tan tan 1A B m nA B mn++-=-⋅-，tan 0,C >1mn ∴<，()()()29119949tan tan tan tan tan tan 111m n m n A B B C C A mn m n mn mn mn mn mn mn ++⎛⎫∴++=++⋅=+≥+ ⎪---⎝⎭()()()9194419411mn mnmn mn mn mn mn mn -⎡⎤=++-=+++⎣⎦--（） ()()91413213+12251mn mn mnmn -≥+⋅==-，当且仅当()()9141mn mnmn mn -=-，即155m n == 时取等 号.点睛:关于利用基本不等式求最值问题，需要掌握一些基本知识和基本方法，利用基本不等式求最值要注意 “一正、二定、三相等”，当两个正数的积为定值时，这两个数的和取得最小值；当两个正数的和为定值 时，这两个数的积取得最大值；利用基本不等式求最值的技巧方法有三种：第一是“１的妙用”，第二是 “做乘法”，第三是“等转不等”13. 【2017-2018学年广东省仲元中学、中山一中等七校高三第二次联考】已知()10,2sin 226k f x x k π⎛⎫>=++ ⎪⎝⎭函数与函数()cos 43g x k x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭若42,,,3363t s ππππ⎡⎤∀∈∃∈⎤⎡⎦⎣⎢⎥⎣⎦都,使得等式()()f t g s =成立,则实数k 的取值集合是________.【答案】{}2【名师点睛】本题主要考查三角函数的性质,考查了转化思想、恒成立问题与存在问题、逻辑推理能力与计算能力，本题的解答中正确理解含有全称量词和存在性量词的命题之间的关系，转化为集合之间的运算时解答的关键.14. 【四川省成都外国语学校2018届高三11月月考数学（理）】已知O 是锐角ΔABC 的外接圆圆心,cos cos 60,2,sin sin B CA AB AC mAO C B︒∠=+=则实数m 的值为_____. 【答案】32【名师点睛】本题难度较大，主要考查了平面向量的数量积、正弦定理与余弦定理、两角和与差的余弦公式．在解题中既要考虑到向量的运算，又要考虑到三角形中的边角关系，为了达到解题的目的，充分利用正余弦定理进行边角之间的转化，同时又要结合条件进行适当的公式变形． 二、解答题15. 【江苏省苏州市2017-2018学年高三上学期期中调研】已知函数()2π1sin 2(0,0)242f x ax b a b ⎛⎫=-+++>> ⎪⎝⎭的图象与x 轴相切,且图象上相邻两个最高点之间的距离 为π2． (1)求,a b 的值;(2)求()f x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】(1) 2a =, 2122b =-; (2) π4x =时, ()f x 有最大值为212+; π16x =时, ()f x 有最小值为0．【名师点睛】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的图象与性质，本题属于基础题，要求准确应用降幂公式和辅助角公式进行变形，化为标准的sin()y A x ωϕ=+形式，借助正弦函数的性质去求函数的周期、最值等，但要注意函数的定义域，求最值要给出自变量的取值.16. 【上海市长宁、嘉定区2018届高三第一次质量调研（一模）】一根长为L 的铁棒AB 欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽2AC BD ==m ．（1）设BOD θ∠=，试将L 表示为θ的函数； （2）求L 的最小值，并说明此最小值的实际意义． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】试题分析：（1）写出2cos AO θ=， 2sin BO θ=， L AO BO =+化简即可；（2）设sin cos 2sin 4x πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，换元21sin cos 2x θθ-=，此时()241x L x x =-，判断单调性并求最值. 试题解析：（1）2cos AO θ=， 2sin BO θ=． ()2sin cos 22cos sin sin cos L AO BO θθθθθθ+=+=+=， 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．点睛：单调性定义法证明时，作差后一定要变形到位，一般为几个因式相乘的形式，然后判断差的正负作出结论.17. 【福建省厦门市2018届高三年级上学期期末质检数学（理）】如图，单位圆O 与,x y 轴正半轴的交点分别为,A D ，圆O 上的点C 在第一象限.（1）若点C 的坐标为31,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，延长CD 至点B ，使得2DB =，求OB 的长； （2）圆O 上的点E 在第二象限，若23EOC π∠=，求四边形OCDE 面积的最大值.【答案】(1) 7OB =；(2) 32. 【解析】（1）由点31,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在单位圆上，可知30AOC ∠=︒，∴60COD ∠=︒．在ODB ∆中， 1OD =， 120ODB ∠=︒， 2DB =,由余弦定理得2222cos120OB OD DB OD DB =+-⋅⋅︒11421272⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭,∴7OB =,即OB 的长为7．18. 【河南省安阳市2018届高三第一次模拟考试数学（理）】已知在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足2cos a a B c +=.（Ⅰ）求证： 2B A =；（Ⅱ）若ABC ∆为锐角三角形，且2c =，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）()1,2.【解析】（Ⅰ）2cos a a B c +=，由正弦定理知sin 2sin cos sin A A B C += ()sin sin cos cos sin A B A B A B =+=+，即()sin cos sin sin cos sin A A B A B B A =-=-.因为(),0,A B π∈，所以(),B A ππ-∈-，且()()0,A B A B π+-=∈，所以()A B A π+-≠， 所以A B A =-， 2B A =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知2B A =， 32B C A B ππ=--=-. 由ABC ∆为锐角三角形得0220 23022B B B ππππ<<<<<-⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩<，得32B ππ<<.由2cos 2a a B +=得()21,212cos a B =∈+. 19. 【北京市石景山区2018届高三第一学期期末考试数学（文）】如图，在ABC 中， D 为边BC 上一点， 6AD =， 3BD =， 2DC =．（Ⅰ）若2ADB π∠=，求BAC ∠的大小； （Ⅱ）若23ADB π∠=，求ABC 的面积． 【答案】（Ⅰ）4BAC π∠=（Ⅱ）1532ABC S ∆=．（Ⅱ）过点A 作AH BC ⊥交BC 的延长线于点H ，因为23ADB π∠=，所以3ADC π∠=，所以sin 333AH AD π=⋅=，所以115322ABC S BC AH ∆=⋅=． 20. 【江苏省如皋市2017--2018学年度高三年级第一学期教学质量调研（三）】在某城市街道上一侧路边边缘1l 某处安装路灯，路宽OD 为123米，灯杆AB 长4米，且与灯柱OA 成120︒角，路灯采用可旋转灯口方向的锥形灯罩，灯罩轴线BC 与灯的边缘光线(如图BM ， BN )都成30︒角，当灯罩轴线BC 与灯杆AB 垂直时，灯罩轴线正好通过OD 的中点.（1）求灯柱OA 的高h 为多少米;（2）设ABC θ∠=，且5122ππθ≤≤，求灯所照射路面宽度MN 的最小值.【答案】（1）10AO =（2）12312-【解析】（1）连接AC ， 设ACO α∠=，则60ACB α∠=-，在直角ACO ∆中， 63cos cos OC AC αα== ， 在直角ACB ∆中， ()()4sin 60sin 60AB AC αα==-- ， 则有()634cos sin 60αα=-，解得53tan 9α= ， 在直角ACO ∆中， 53tan 63109AO ON α=⋅=⋅= . （2）以O 为坐标原点， ON ， OA 分别为,x y 轴，建立直角坐标系，则()()()0,10,23,12,123,0A B D ，又5,122ABC ππθ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦ ①若2ABC π∠=，由（1）知， 83MN = ②若5,122ABC ππθ⎡⎫∠=∈⎪⎢⎣⎭， 则直线BM 的方程为()tan 2312y x θ=-+，则12230tan M x θ=-+>； 直线BN 的方程为()tan 23123y x πθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，则1223123tan 3N x πθ=-+<⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 所以1112tan tan 3M N MN x x πθθ⎛⎫ ⎪ ⎪=-=-⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=cos cos 312sin sin 3πθθπθθ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥-⎛⎫⎢⎥+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=636311sin sin sin 23264ππθθθ=⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 又5,122ABC ππθ⎡⎫∠=∈⎪⎢⎣⎭，所以当且仅当512πθ=时， MN 取最小值12123-； 综合①②知，当512πθ=时， MN 取最小值12312-.。
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专项限时集训(三) 以构建函数模型、解三角形、动点轨迹为背景的实际问题(限时：60分钟)1．(本小题满分14分)(2017·盐城市滨海县八滩中学二模)如图4是一“T”型水渠的平面视图(俯视图)，水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4 m ，东西向渠宽2m(从拐角处，即图中A ，B 处开始)．假定渠内的水面始终保持水平位置(即无高度差)．图4(1)在水平面内，过点A 的一条直线与水渠的内壁交于P ，Q 两点，且与水渠的一边的夹角为θ⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2，将线段PQ 的长度l 表示为θ的函数；(2)若从南面漂来一根长为7 m 的笔直的竹竿(粗细不计)，竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠(不会卡住)？请说明理由.【导学号：56394096】[解] (1)由题意，PA ＝2sin θ，QA ＝4cos θ，所以l ＝PA ＋QA ，即l ＝2sin θ＋4cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2. 4分(2)设f (θ)＝2sin θ＋4cos θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2. 由f ′(θ)＝－2cos θsin 2θ＋4sin θcos 2θ＝2 22sin 3θ－cos 3θsin 2θcos 2θ， 6分 令f ′(θ)＝0，得tan θ0＝22. 8分且当θ∈(0，θ0)，f ′(θ)＜0；当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0，π2，f ′(θ)＞0， 所以，f (θ)在(0，θ0)上单调递减；在⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0，π2上单调递增， 所以，当θ＝θ0时，f (θ)取得极小值，即为最小值． 当tan θ0＝22时，sin θ0＝13，cos θ0＝23， 所以f (θ)的最小值为36，12分即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为3 6 m.因为36＞7，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠.14分2．(本小题满分14分)(2017·江苏省宿迁市三模)某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图5所示．圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E 为上切点)，与左右两边相交(F ，G 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1 m 且AB AD ≥12，设∠EOF ＝θ，透光区域的面积为S .图5(1)求S 关于θ的函数关系式，并求出定义域；(2)根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边AB 的长度．[解] (1)过点O 作OH ⊥FG 于H ，∴∠OFH ＝∠EOF ＝θ； 又OH ＝OF sin θ＝sin θ，FH ＝OF cos θ＝cos θ，∴S ＝4S △OFH ＋4S 扇形OEF ＝2sin θcos θ＋4×12θ＝sin 2θ＋2θ；∵AB AD ≥12，∴sin θ≥12，∴θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2； ∴S 关于θ的函数关系式为S ＝sin 2θ＋2θ，θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2；6分(2)由S 矩形＝AD ·AB ＝2×2sin θ＝4sin θ，则透光区域与矩形窗面积比值为2sin θcos θ＋2θ4sin θ＝cos θ2＋θ2sin θ，设f (θ)＝cos θ2＋θ2sin θ，θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2，则f ′(θ)＝－12sin θ＋sin θ－θcos θ2sin 2θ＝sin θ－θcos θ－sin 3θ2sin 2θ ＝sin θcos 2θ－θcos θ2sin 2θ＝cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2θ－θ2sin 2θ； 10分∵π6≤θ＜π2，∴12sin 2θ≤12， ∴12sin 2θ－θ＜0， ∴f ′(θ)＜0，∴f (θ)在θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2上是单调减函数； ∴当θ＝π6时f (θ)取得最大值为π6＋34，此时AB ＝2sin θ＝1(m)；∴当透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，所求AB 的长度为1 m ．14分3．(本小题满分14分)(扬州市2017届高三上学期期中)如图6，某市在海岛A 上建了一水产养殖中心．在海岸线l 上有相距70公里的B 、C 两个小镇，并且AB ＝30公里，AC ＝80公里，已知B 镇在养殖中心工作的员工有3百人，C 镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在BC 之间建一个码头D ，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1∶2.图6(1)求sin ∠ABC 的大小；(2)设∠ADB ＝θ，试确定θ的大小，使得运输总成本最少．[解] (1)在△ABC 中，cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝900＋4 900－ 64002×30×70＝－17，所以sin ∠ABC ＝437.4分(2)在△ABD 中，由ADsin ∠ABD＝ABsin θ＝BDsin ∠BAD得：30sin θ＝AD437＝BD－17sin θ＋437cos θ.所以AD ＝12037sin θ，BD ＝12037cos θ－307sin θsin θ＝12037cos θsin θ－307.6分设水路运输的每百人每公里的费用为k 元，陆路运输的每百人每公里的费用为2k 元， 则运输总费用y ＝(5CD ＋3BD )×2k ＋8×k ×AD ＝2k [5(70－BD )＋3BD ＋4AD ] ＝20k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤35－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1237cos θsin θ－37＋4×1237sin θ＝20k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤35＋67＋2437·2－cos θsin θ. 令H (θ)＝2－cos θsin θ，则H ′(θ)＝1－2cos θsin 2θ，令H ′(θ)＝0，解得：cos θ＝12，θ＝π3. 10分当0＜θ＜π3时，H ′(θ)＜0，H (θ)单调递减；当π3＜θ＜π2时，H ′(θ)＞0，H (θ)单调递增， ∴θ＝π3时，H (θ)取最小值，同时y 也取得最小值．此时BD ＝12037cos θsin θ－307＝907，满足0＜907＜70，所以点D 落在BC 之间．所以θ＝π3时，运输总成本最小.14分4．(本小题满分16分) 如图7所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得∠DAC ＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得∠DBC ＝45°，根据以上数据计算cos θ的值．图7[解] 由∠DAC ＝15°，∠DBC ＝45°可得∠BDA ＝30°，∠DBA ＝135°，∠BDC ＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ， 4分由内角和定理可得∠DCB ＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得50sin 30°＝DBsin 15°，即DB ＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°)＝252(3－1)，10分又25sin 45°＝252 3－1 sin 90°＋θ ，即25sin 45°＝252 3－1cos θ，得到cos θ＝3－1.16分5．(本小题满分16分)(镇江市2017届高三上学期期末)如图8，某公园有三条观光大道AB ，BC ，AC 围成直角三角形，其中直角边BC ＝200 m ，斜边AB ＝400 m ．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB ，BC ，AC 大道上嬉戏，所在位置分别记为点D ，E ，F .图8(1)若甲、乙都以每分钟100 m 的速度从点B 出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲、乙两人之间的距离； (2)设∠CEF ＝θ，乙丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且∠DEF ＝π3，请将甲乙之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离． [解] (1)依题意得BD ＝300，BE ＝100，在△ABC 中，cos B ＝BC AB ＝12，∴B ＝π3，2分在△BDE 中，由余弦定理得：DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD ·BE ·cos B ＝3002＋1002－2·300·100·12＝70 000，∴DE ＝1007.6分 即甲、乙两人之间的距离为1007 m ．7分(2)由题意得EF ＝2DE ＝2y ，∠BDE ＝∠CEF ＝θ， 在直角三角形CEF 中，CE ＝EF ·cos∠CEF ＝2y cos θ，9分 在△BDE 中，由正弦定理得BE sin ∠BDE ＝DE sin ∠DBE ，即200－2y cos θsin θ＝ysin 60°，∴y ＝10033cos θ＋sin θ＝503sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3，0＜θ＜π2，12分所以当θ＝π6时，y 有最小值50 3.14分 故甲、乙之间的最小距离为50 3 m ．16分6．(本小题满分16分)(2017·江苏省盐城市高考数学三模)一儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施，其轴截面如图9中实线所示．ABCD 是等腰梯形，AB ＝20米，∠CBF ＝α(F 在AB 的延长线上，α为锐角)．圆E 与AD ，BC 都相切，且其半径长为100－80 sin α米．EO 是垂直于AB 的一个立柱，则当sin α的值设计为多少时，立柱EO 最矮？【导学号：56394097】图9[解] 如图所示，以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系．因为B (10,0)，k BC ＝tan α，所以直线BC 的方程为：y ＝tan α(x －10)，即x tan α－y －10tan α＝0，4分设圆心E (0，t )(t ＞0)，由圆E 与直线BC 相切，得100－80sin α＝|－t －10tan α|1＋tan 2α＝t ＋10tan α1cos α，所以EO ＝t ＝100－90sin αcos α，8分令f (α)＝100－90sin αcos α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f ′(α)＝100⎝⎛⎭⎪⎫sin α－910cos α， 设sin α0＝910，α0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.列表如下：所以当α＝α0，即sin α＝10时，f (α)取最小值.15分 所以当sin α＝910时，立柱EO 最矮.16分。