江西省南昌市10所省重点中学命制2013届高三第二次模拟突破冲刺数学(理)试题(八)

2013届高三第二次模拟突破冲刺数学（理）试题（八）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

每小题只有一个正确选项）1．复数ii z -+=1)2(2（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．命题甲：(){y x .2≠x 或3≠y }；命题乙：(){y x ,5≠+y x }，则甲是乙的 ( )A.充分非必要条件；B.必要非充分条件；C.充要条件；D.既不是充分条件，也不是必要条件.3．在长为10㎝的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm 2与49 cm 2之间的概率为 （ ）A ．51 B ．52 C ．54 D ．103 4．设a ，b ，c 是空间三条直线，,αβ是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是 ( )A.当c α⊥时，若c β⊥，则α∥βB. 当b α⊂时，若b β⊥，则α⊥βC.当b α⊂，且c 是a 在α内的射影时，若b c ⊥，则a b ⊥D.当b α⊂，且c α⊄时，c ∥α，则b ∥c5．在数列{n a }中，若对任意的n 均有n a ＋1n a ＋＋n a ＋2为定值*()n N ∈，且72a =，93a =，984a =则数列n a 的前100项的和S 100＝ ( )A ．132B ．299C ．68D ．99 6．执行如图所示的程序框图，输出的k 值是 ( )A ．3B 。

4C 。

5D 。

6 7．设等差数列{}n a 满足：22222233363645sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，公差(1,0)d ∈-. 若当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是( ) A. 74,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B . 43,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．已知椭圆：)0,(12222>=+b a by a x 和圆O ：222b y x =+，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为B A ,. 若椭圆上存在点P ，使得0=⋅PB PA ，则椭圆离心率e 的取值范围是（ ） A ．)1,21[B 。

]22,0( C 。

]22,21[ D 。

)1,22[9．如图，AB 是圆O 的直径，C 、D 是圆O 上的点，∠CBA=60°，∠ABD=45° CD xOA yBC =+，则x y += （ ）A ．33-B ．13-C ．23D ．3- 10．设函数)(x f 的定义域为R ,若存在常数0>k ,使2013|||)(|x k x f ≤对一切实数x 均成立,则称)(x f 为“好运”函数.给出下列函数:①2)(x x f =;②x x x f cos sin )(+=;③1)(2++=x x x x f ;④13)(+=xx f.其中)(x f 是“好运”函数的序号为 . A 。

① ② B 。

① ③ C 。

③D 。

② ④二、填空题： （本大题共4小题，每小题5分 ，共20分。

）11．32()n x x-的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则它的常数项是 ．12．已知M ，N 为平面区域360200x y x y x --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩内的两个动点向量a =（1，3）则MN ·a的最大值是13．设随机变量ξ服从正态分布N （3，4），若P （ξ＜2a －3）＝P （ξ＞a ＋2），则a 的值为______________.14．研究问题：“已知关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解集为（1，2），解关于x 的不等式02>+-a bx cx ”，有如下解法：由0)1()1(022>+-⇒>+-xc x b a c bx ax ，令x y 1=，则)1,21(∈y ，所以不等式02>+-a bx cx 的解集为），（121。

类比上述解法，已知关于x 的不等式0k x b x a x c++<++的解集为(2,1)(2,3)-- ，则关于x 的不等式0111<--+-cx bx ax kx 的解集为 . 三、选作题：本小题5分。

15．（1）．若关于x 的不等式|)32||12(||1|-++≥-x x a 的解集非空，则实数a 的取值范围是 。

（2）. 直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==242222t y tx （其中t 为参数），圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是 。

四、 解答题：本大题共6小题，共75分。

16．（本小题满分12分） 设函数a x x x x f ++=2cos cos sin 3)(. （Ⅰ）写出函数的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）当]3,6[ππ-∈x 时，函数)(x f 的最大值与最小值的和为23，求)(x f 的解析式；（Ⅲ）将满足（Ⅱ）的函数)(x f 的图像向右平移12π个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，再向下平移21，得到函数)(x g ，求)(x g 图像与x 轴的正半轴、直线2π=x 所围成图形的面积。

17. （本小题满分12分）在2013年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题．规定：至少正确回答其中2题的便可通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答；考生乙每题正确回答的概率都为23，且每题正确回答与否互不影响．(I)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列，并计算其数学期望；(II)试用统计知识分析比较两考生的通过能力．18． (本小题满分12分)已知几何体BCDE A -的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．(Ⅰ)求此几何体的体积； (Ⅱ)求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值； (Ⅲ)探究在DE 上是否存在点Q ，使得BQ AQ ⊥，并说明理由．19．（本小题满分12分）已知函数()ln f x x =，若存在()g x 使得()()g x f x ≤恒成立，则称()g x 是()f x 的一个“下界函数” ．(I)如果函数()ln tg x x x=-（t 为实数）为()f x 的一个“下界函数”， 求t 的取值范围； （II ）设函数()()12x F x f x e ex=-+，试问函数()x F 是否存在零点，若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由．20. （本小题满分13分）已知点F 是椭圆)0(11222>=++a y ax 的右焦点，点(,0)M m 、(0,)N n 分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0=⋅NF MN ．若点P 满足PO ON OM +=2． (Ⅰ)求点P 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线a x -=分别交于点S 、T （O 为坐标原点），试判断FS FT ⋅是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知A(,)，B(,)是函数的图象上的任意两点（可以重合），点M在直线上，且.（1）求+的值及+的值（2）已知，当时，+++，求；（3）在（2）的条件下，设=，为数列{}的前项和，若存在正整数、，使得不等式成立，求和的值.2013届高三模拟试（8）数学（理）参考答案三、选作题：本小题5分。

15.(1) (][)+∞⋃-∞-,53,; 15.(2) 26 三、 解答题：本大题共6小题，共75分。

16.（本小题满分12分）设函数a x x x x f ++=2cos cos sin 3)(. （Ⅰ）写出函数的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）当]3,6[ππ-∈x 时，函数)(x f 的最大值与最小值的和为23，求)(x f 的解析式；（Ⅲ）将满足（Ⅱ）的函数)(x f 的图像向右平移12π个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，再向下平移21，得到函数)(x g ，求)(x g 图像与x 轴的正半轴、直线2π=x 所围成图形的面积。

解（Ⅰ）21)62sin(22cos 12sin 23)(+++=+++=a x a x x x f π， （2分）∴π=T .由πππππk x k 2236222+≤+≤+，得πππk x kx +≤≤+326. 故函数)(x f 的单调递减区间是)](32,6[Z k k k ∈++ππππ. （6分） （2）1)62sin(21.65626,36≤+≤-∴≤+≤-∴≤≤-ππππππx x x Q . 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈3,6ππx 时，原函数的最大值与最小值的和23)2121()211=++-+++a a （， 21)62sin()(,0++=∴=∴πx x f a . （8分）（3）由题意知x x g sin )(= （10分）⎰-=220|cos sin ππx xdx =1 （12分）17. （本小题满分12分）在2013年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题．规定：至少正确回答其中2题的便可通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答；考生乙每题正确回答的概率都为23，且每题正确回答与否互不影响．(I)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列，并计算其数学期望； (II)试用统计知识分析比较两考生的通过能力．解析：(I)设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为ξ、η，则ξ的可能取值为1，2，3，P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝3)＝C 34C 02C 36＝15， ∴考生甲正确完成题数的分布列为ξ 1 2 3P 15 35 15E ξ＝1×15＋2×35＋3×15＝2.（4分）又η～B (3，23)，其分布列为P (η＝k )＝C k 3·(23)k ·(13)3－k ，k ＝0，1，2，3；∴Eη＝np ＝3×23＝2.（6分） (II)∵Dξ＝(2－1)2×15＋(2－2)2×35＋(2－3)2×15＝25，Dη＝npq ＝3×23×13＝23，（8分）∴Dξ<Dη.∵P (ξ≥2)＝35＋15＝0.8，P (η≥2)＝1227＋827≈0.74，∴P (ξ≥2)>P (η≥2)．（10分）从回答对题数的数学期望考查，两人水平相当；从回答对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大．因此可以判断甲的实验通过能力较强．（12分）18． (本小题满分12分)已知几何体BCDE A -的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．(Ⅰ)求此几何体的体积； (Ⅱ)求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值； (Ⅲ)探究在DE 上是否存在点Q ，使得BQ AQ ⊥，并说明理由． 解：（Ⅰ）由该几何体的三视图可知AC 垂直于底面B C E D ，且4===AC BC EC ，1=BD ，∴104)14(21=⨯+⨯=BCED S ，3404103131=⨯⨯=⋅=AC S V BCED ， 此几何体的体积为340； 3分解法一：（Ⅱ）过点B 作ED BF //交EC 于F ，连接AF ，则FBA ∠或其补角即为异面直线DE 与AB 所成角，在B A F ∆中，24=AB ，5916=+==AF BF ，∴ 5222cos 222=⋅-+=∠AB BF AF AB BF ABF ；即异面直线DE 与AB 所A BC DE F成角的余弦值为522。