浙工大 自控 电子教案

第4章 控制系统稳定性分析4.1 稳定性定义与稳定性条件当系统受到扰动后，其状态偏离平衡状态，在随后所有时间内，系统的响应可能出现下列情况：1)系统的自由响应是有界的； 2)系统的自由响应是无界的；3)系统的自由响应不但是有界的，而且最终回到原先的平衡状态。

李雅普诺夫把上述三种情况分别定义为稳定的、不稳定的和渐进稳定的。

显然，如果系统不稳定，则系统的响应是无界的，系统的输出将逐渐增加直到损坏系统，或者进入振荡状态。

因此，系统稳定是保证系统能正常工作的首要条件。

稳定性是控制系统最基本的性质。

李雅普诺夫用范数作为状态空间“尺度”的度量。

4.1.1 范数的概念描述n 维向量空间，与描述二维、三维空间一样，也要引入“尺度”的概念，来度量向量的“长度”。

可以人为地定义向量空间的“尺度”标准，这个标准称为向量的范数，记为⋅。

范数的定义有很多种，下面介绍常用的欧氏范数，它是二维、三维空间中长度概念的推广。

1. 向量的范数定义：n 维向量空间的范数定义为[T n x x x x L 21=]22221n x x x x +++=L (4.1)例如，二维向量空间的范数定义为：[T x x x 21=]2221x x x +=；三维向量空间的范数定义为[T x x x x 321=]232221x x x x ++=。

2. 矩阵的范数如果把矩阵A 的全体看作是一个向量空间，那么可以把每一个矩阵称为向量空间中的一个向量，这样就可以定义矩阵的范数。

n m ×nm × 定义：矩阵A 的范数定义为n m × (4.2)nm mn m m n a a a a a a A ×⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=L M O M ML 2111211∑∑===nj mi ijaA 112(4.3)例如，矩阵的范数为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22211211a a a a A 222221212211a a a a A +++=4.1.2 平衡状态系统没有输入作用时，处于自由运动状态。

当系统到达某状态，并且维持在此状态而不再发生变化的，这样的状态称为系统的平衡状态。

根据平衡状态的定义可知，连续系统)(x f x=&的平衡状态是满足平衡方程即e x 0=x&0)(=e x f 的系统状态。

离散系统))(()1(k x f k x =+的平衡状态，是对所有的k ，都满足平衡方程e x ),(k x f x e e =的系统状态。

首先讨论线性系统的平衡状态。

由于平衡状态为Ax x=&0=e Ax ，因此，当A 为非奇异矩阵时，系统只有一个平衡状态0=e x ；当A 为奇异矩阵时，系统有无穷多个平衡状态。

对于非线性系统，可能有一个平衡状态，也可能有多个平衡状态。

这些平衡状态都可以由平衡方程解得。

下面举例说明。

例4.1 求下列非线性系统的平衡状态⎩⎨⎧−+=−=3221211x x x x x x && 解 由平衡状态定义，平衡状态e e x x 1[= 应满足Te x ]201=e x03221=−+e e e x x x 得0322=−e e x x 0)1)(1(222=−+e e e x x x因此，非线性系统有三个平衡状态：[]T e x 001=，[]T e x 102−=，[]T e x 103=。

4.1.3 李雅普诺夫稳定性定义1892年，李雅普诺夫给出了稳定性的一般定义，这个定义直到现在仍然是最严格和最一般的定义。

现介绍如下：1. 稳定定义：如果对于任意给定的每个实数0>ε，都对应存在着另一实数0),(0>t εδ，使得从满足不等式),(00t x x e εδ≤−的任意初态出发的系统响应0x x ，在所有的时间内都满足ε≤−e x x ，则称系统的平衡状态是稳定的。

若e x δ与的选取无关，则称平衡状态是一致稳定的。

0t e x 李雅普诺夫稳定的几何含义是：当给定任意正数ε为半径的球域)(εs ，总能找到一个相应的0>δ为半径的另一个球域)(δs ，当t 无限增大时，从)(δs 球域内的状态轨迹总不越出)(εs 的球域，这个平衡状态就是李雅普诺夫意义下稳定的。

二维状态空间的李氏稳定性的几何意义如图4.1(a)所示。

e x 2. 渐近稳定定义：若平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的，并且当时，，即x e ∞→t e x t x →)(0)(lim =−∞→e t x t x ，则称平衡状态是渐进稳定的。

其几何意义如图4.1(b)所示。

e x 3. 大范围（渐近）稳定定义：如果对任意大的δ，系统总是稳定的，则称系统是大范围（渐进）稳定的。

如果系统总是渐进稳定的，则称系统是大范围渐进稳定的。

4不稳定定义：如果对于某一实数0>ε，不论δ取多小，由)(δs 内出发的轨迹，至少有一条轨迹越出)(εs ，则称平衡状态为不稳定，其几何意义如图4.1(c)所示。

e x 必须注意，对于不稳定状态的轨迹尽管越出了)(εs ，却不意味着轨迹将趋于无穷远处，这是因为对于非线性系统的轨迹还可能趋于)(εs 以外的某个极限。

对于线性系统，如果是不稳定的，那么状态轨迹一定是趋于无穷的。

在控制工程中，一般希望系统是大范围渐进稳定的，如果系统不是大范围渐进稳定的，那么就会遇到确定渐进稳定的最大范围的问题，这常常是困难的。

对于线性系统，因为只有一个平衡状态，所以，如果线性系统是稳定的，那么也一定是大范围渐进稳定的。

(a) 李氏稳定 (b) 渐近稳定 (c) 不稳定图4.1 李氏稳定性定义的几何意义 (见教材)为了更形象地表述李氏稳定性的含义，还可以用图4.2所示的物理系统来说的。

图4.2 李氏稳定性定义的物理意义（见教材）上述定义对于离散系统也是适用的，只是将连续时间理解为离散时间。

t k 应注意到，稳定性讨论的是系统没有输入（包括参考输入和扰动）作用或者输入作用消失以后的自由运动状态。

所以，通常通过分析系统的零输入响应，或者脉冲响应来分析系统的稳定性。

4.1.4 线性定常连续系统的稳定性条件1. SISO 线性定常连续系统稳定的条件设描述SISO 线性定常连续系统的微分方程为u b u b u b y a y a y a y a m m n n n n 01)(01)1(1)(+++=++++−−&L &L (4.4) 则系统的特征方程为0)(0111=++++=−−a s a s a s a s D n n n n L (4.5) 设特征方程(4.5)有个实根k i λ，γ对共轭复根di i j ωσ±，则系统的脉冲响应为∑∑==++=ri di i di i tki ti t B t A e eC t y i i 11)sin cos ()(ωωσλ (4.6)从上式可以看出：1）若i λ，i σ均为负实部，则有0)(lim =∞→t y t ，因此，当所有特征根的实部都为负时，系统是稳定的；2）若i λ，i σ中有一个或者几个为正，则有∞=∞→)(lim t y t ，因此，当特征根中有一个或者几个为正实部时，系统是不稳定的；3）若i λ中有一个或者几个为零，而其它i λ，i σ均为负，则有为常数。

若)(lim t y t ∞→i σ中有一个或者几个为零，而其它i λ、i σ均为负，则的稳态分量则为正弦函数。

因此，当特征根中有一个或者几个为零，而其它极点均为负实部时，系统是一种临界情况，称为临界稳定的。

临界稳定在李氏稳定性意义下是稳定的，但在工程上是不允许系统工作在临界稳定状态的，所以，临界稳定在工程上是不稳定的。

)(t y综合上面的讨论结果，可以得到下面的结论。

线性定常连续系统稳定的充分必要条件是，系统的全部特征根或闭环极点都具有负实部，或者说都位于复平面左半部。

系统稳定的充分必要条件是稳定性分析的基础，但是，直接检查全部特征根是否都具有负实部是很困难的，因此，后面将介绍各种稳定性判据。

从检查系统稳定性角度，下面介绍的稳定性必要条件有时是很有用的。

由韦达定理，特征方程的根与系数存在下列关系：i S i a ∏∑∑∑=≠≠=−≠=−=−−=−==−=ni in nnkj i k j i k j i nn nji j i j i nn ni i nn sa a s s s a a s s a a s a a 11,,31,211)1(L显然，如果上面的比值存在负值或者为零，则至少有一个正实部根。

就是说没有正实部根的必要条件是特征方程的系数同号，而且都不为零。

例如，当为负时，正实部根的实部之和必须大于负实部根的实部之和的绝对值，即必须有正实部根。

因此，有下列结论：i a n n a a /1− 系统稳定的必要条件是系统特征方程的系数同号，而且都不为零。

必须指出，这仅仅是必要条件，就是说，当特征方程的系数同号，而且都不为零时，系统并不一定稳定。

2. MIMO 线性定常连续系统稳定的条件 描述MIMO 线性定常连续系统的状态方程为(4.7) Bu Ax x+=&设A 有相异特征值n λλ,,1L ，则存在非奇异线性变换x P x =，使A 为对角矩阵，即)(11n diag AP P A λλL ==− 非奇异线性变换后的状态方程的零输入解为)0()()0()(1x e e diag x e t x t t t A n λλL == 由于x P x 1−=，)0()0(1x P x −=，所以，原状态方程的零输入解为)0()0()(1x e x P Pe t x At t A ==− (4.8)可见，11)(1−−==P e e Pdiag P Pe e t tt A At n λλL (4.9)将上式展开，的每个元素都是的线性组合，所以可写成矩阵多项式At e t t n e e λλ,,1Lt n t ni ti Atn i e R e R e R e λλλ++==∑=L 111所以，)0(][)0()(11x e R e R x e t x t n t At n λλ++==L (4.10)从上式可见，当A 的所有特征值位于复平面左半平面，即0)Re(<i λ，n i ,,1L =，则对任意，有，系统渐进稳定。

只要有一个特征值的实部大于零，对于，)0(x 0)(lim =∞→t x t 0)0(≠x ∞=∞→)(lim t x t ，系统不稳定。

当有特征值的实部等于零，而其它特征值的实部小于零，则随着时间的增加，趋于常值或者为正弦波，系统是李雅普诺夫意义下稳定的，或者称为临界稳定的。

)(t x 当A 具有重特征值时，含有诸项，稳定性结论同上。

)(t x L ,,2t t e t te λλ 从上述分析，可以看出MIMO 线性定常连续系统的稳定性条件。