北师大版高中数学必修二第二章圆与方程小结与复习教案
2.2.2圆的一般方程 教案 (高中数学必修二北师大版)
2．2圆的一般方程(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握圆的一般方程；(2)了解二元一次方程表示圆的条件；(3)会将一般方程化为标准方程．2．过程与方法通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力．3．情感态度与价值观渗透数形结合，化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生大胆创新、勇于探索．●重点难点重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化．难点：对圆的一般方程的应用．通过圆的两种形式的互化，加强对圆方程的理解．(教师用书独具)●教学建议本节是学习了圆的标准方程后，继续对圆的方程的学习，教学时可以把圆的标准方程展开得圆的一般方程，然后把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0方程化为圆的标准方程，注意指出圆心、半径以及表示圆的充要条件，让学生学会探索发现．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒通过引导学生对圆的标准方程和一般方程的互化，进一步认识圆的方程⇒通过例1及变式训练，使学生掌握二元二次方程是否表示圆的条件⇒通过例2及互动探究，使学生掌握如何求圆的一般方程⇒通过例3及变式训练，使学生掌握圆一般方程的应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么图形？【提示】方程可配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝4表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆．1．圆的一般方程的定义当D 2＋E 2－4F >0时，称二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0为圆的一般方程．22心和半径．【思路探究】 解答本题可直接利用D 2＋E 2－4F ＞0是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数．【自主解答】 法一 由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0， 可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2， 因此，当m ＝2时，它表示一个点； 当m ≠2时，原方程表示圆的方程， 此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|.法二 原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2， 因此，当m ＝2时，它表示一个点； 当m ≠2时，表示圆的方程．此时圆心(2m ，－m )，半径r ＝5|m －2|.1．对于二元二次方程中变量含参数的，在求解时，常结合分类讨论的思想分析方程反映的曲线特征．2．解决这种类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即①x 2与y 2的系数是否相等；②不含xy 项．当它具有圆的一般方程的特征时，再看D 2＋E 2－4F ＞0是否成立，也可以通过配方化成“标准”形式后，观察等号右边是否为正数．判断下列二元二次方程能否表示圆，若能，求出圆心、半径． (1)x 2＋y 2－x ＋y ＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax －2ay ＋a 2＝0.【解】 (1)原方程可化为(x －12)2＋(y ＋12)2＝12，故能表示圆，圆心(12，－12)半径22.(2)原方程可化为(x ＋a )2＋(y －a )2＝a 2， 当a ＝0时表示一个点； 当a ≠0时表示圆，此时圆心(－a ，a )，半径为|a |.(1)△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－1,5)、B (－2，－2)、C (5,5)，求其外接圆的方程； (2)已知点A (0,2)，B (4,0)，求过点A 、B 及原点O 的圆的方程．【思路探究】 由于所给的条件与圆心和半径无直接关系，可以利用圆的一般方程，用待定系数法求解．【自主解答】 (1)设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.由题设得方程组{ －D ＋5E ＋F ＋26＝0 －2D －2E ＋F ＋8＝0 5D ＋5E ＋F ＋50＝0， 解得D ＝－4，E ＝－2，F ＝－20.∴△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0. (2)法一 设所求的圆的一般方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因为A ，B ，O 在圆上，有{ 2E ＋F ＋4＝0 4D ＋F ＋16＝0， F ＝0 解得{ D ＝－4 E ＝－2. F ＝0所以所求圆的方程是x 2＋y 2－4x －2y ＝0.法二 因为A ，B ，O 构成直角三角形，其外接圆的圆心应在斜边的中点上．∵A (0,2)，B (4,0)，∴M (2,1)．又AB ＝16＋4＝25，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.1．本题与圆心坐标和圆的半径没有关系，所以选用圆的一般式方程．本题也可利用△ABC 与外接圆的几何性质求解，即外接圆的圆心是△ABC 三边垂直平分线的交点，因此可先求其中两边的垂直平分线，其交点就是外接圆圆心，然后再求半径．2．求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： ①根据题意，选择标准方程或一般方程；②根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组； ③解出a ，b ，r 或D ，E ，F ，代入标准方程或一般方程．对于本例(1)，试用“外心是三角形三边的垂直平分线的交点”这个性质求解． 【解】 AB 边的垂直平分线的方程为：x ＋7y －9＝0， BC 边的垂直平分线的方程为：x ＋y －3＝0，由{ x ＋7y －9＝0 x ＋y －3＝0，得圆心坐标为(2,1)， ∴半径为[2－(－2)]2＋[1－(－2)]2＝5.所以△ABC 外接圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝25.C 的轨迹方程． 【思路探究】 设C (x ，y )根据条件列出等式即可． 【自主解答】 法一 设AB 中点为D ， 则D 点坐标为(1,0)，设C (x ，y )， ∵△ABC 为Rt △，∴|CD |＝12|AB |.即(x －1)2＋y 2＝12(3＋1)2＋0∴(x －1)2＋y 2＝4，又∵A 、B 、C 三点构成三角形，∴y ≠0.故直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)． 法二 设直角顶点C (x ，y )， ∵AC ⊥BC ，A (－1,0)，B (3,0)， ∴k AC ·k BC ＝－1，∴y x ＋1×y x －3＝－1， ∴x 2＋y 2－2x －3＝0，又∵A 、B 、C 构成三角形，∴A 、B 、C 不共线．∴y ≠0.故所求直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0.(y ≠0)1．求轨迹方程的常用方法有直接法、代入法，要根据题目的条件，选用适当的求轨迹的方法．2．要注意验证轨迹上是否有应去掉或漏掉的点．已知P 是圆x 2＋y 2＝16上的动点，A (12,0)，M 为P A 的中点，求点M 的轨迹方程． 【解】 设M (x ，y )，∵A (12,0)，M 为P A 的中点， ∴P (2x －12,2y )．∵P 为圆x 2＋y 2＝16上的动点，∴(2x －12)2＋4y 2＝16，即(x －6)2＋y 2＝4.忽视二元二次方程表示圆的条件致误已知定点A (a,2)在圆x 2＋y 2－2ax －3y ＋a 2＋a ＝0的外部，求a 的取值范围． 【错解】 ∵点A 在圆外，∴a 2＋4－2a 2－3×2＋a 2＋a ＞0， ∴a ＞2.【错因分析】 本题错解的根本原因在于没有把握住圆的一般式方程的定义．二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时，需D 2＋E 2－4F ＞0，所以，本题除了点在圆外的条件以外，还应注意方程表示圆这一隐含条件．【防范措施】 二元二次方程表示圆时一定要注意其等价条件即D 2＋E 2－4F ＞0. 【正解】 ∵点A 在圆外，∴{ a 2＋4－2a 2－3×2＋a 2＋a ＞0， (－2a )2＋(－3)2－4(a 2＋a )＞0，∴⎩⎨⎧a ＞2， a ＜94，即2＜a ＜94，∴a 的范围是2＜a ＜94.。
北师大版高中数学必修二学案：第二章章末复习课(二)(1)
1．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是( )
A．a＜－2或a＞B．－＜a＜2
C．a＞1D．a＜1
2．以点(－3,4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋4)2＝16
B．(x＋3)2＋(y－4)2＝16
C．(x－3)2＋(y＋4)2＝9
D．(x＋3)2＋(y－4)2＝9
3．过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是( )
A．0°＜α≤30°B．0°＜α≤60°
C．0°≤α≤30°D．0°≤α≤60°
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立得方程组，消元后得到一个一元二次方程，在判别式Δ>0的前提下，可利用根与系数的关系求弦长．
(2)几何方法：若弦心距为d，圆半径为r，则弦长为l＝2.
解决直线与圆相交问题时，常利用几何方法，即构造直角三角形，利用勾股定理，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，圆心和切点的连线垂直于切线．
(2)m取何值时两圆内切？
(3)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
跟踪训练3 已知两个圆C1：x2＋y2＝4，C2：x2＋y2－2x－4y＋4＝0，直线l：x＋2y＝0，求经过C1和C2的交点且和l相切的圆的方程．
类型四 数形结合思想的应用
例4 曲线y＝1＋与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是( )
(2)求半径为，圆心在直线y＝2x上，被直线x－y＝0截得的弦长为4的圆的方程．
反思与感悟 求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：
2.2.1圆的标准方程 教案 (高中数学必修二北师大版)
2．1圆的标准方程(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握圆的标准方程．(2)会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程．2．过程与方法进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力．3．情感、态度与价值观培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学习的兴趣．●重点难点重点：圆的标准方程．难点：圆的标准方程的应用．通过对圆的标准方程的认识，掌握求圆的方程需要确定的量：a、b、r，从而掌握如何由已知条件来求圆的方程．(教师用书独具)●教学建议本节课的主要任务就是求圆的方程，教学时通过例题的讲解，让学生自己比较，归纳两类求圆方程的方法：(1)根据题设条件，列出关于a、b、r的方程组，解方程组得到a，b，r 的值，写出圆的标准方程．(2)根据圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心和半径大小，然后再写出圆的标准方程．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒引导学生回答问题，掌握圆的标准方程⇒通过例1及变式训练，使学生掌握直接根据条件求圆的标准方程⇒通过例2及变式训练，使学生掌握如何判断点和圆的位置关系⇒通过例3及变式训练，使学生掌握圆的标准方程的应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(1)在平面直角坐标系中，确定圆的几何要素是什么？(2)到点(1,2)距离等于1的点(x ，y )的集合怎样用方程表示？ 【提示】 (1)圆心和半径；(2)(x －1)2＋(y －2)2＝1，化简得(x －1)2＋(y －2)2＝1.1．圆的标准方程A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)．3．点与圆的位置关系已知圆O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则 点P 在圆O 外⇔d >r ； 点P 在圆O 上⇔d ＝r ；点P 在圆O 内⇔d <r .【思路探究】 利用待定系数法，构造方程求解a ，b ，r 或者利用几何法找出圆的圆心和半径．【自主解答】 法一 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则{2a －b －3＝0，(5－a )2＋(2－b )2＝r 2，(3－a )2＋(－2－b )2＝r 2，解得{a ＝2，b ＝1，r ＝10.∴圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 法二 ∵圆过A (5,2)，B (3，－2)两点，∴圆心一定在线段AB 的垂直平分线上，线段AB 的垂直平分线方程为y ＝－12(x －4)，由⎩⎨⎧2x －y －3＝0，y ＝－12(x －4)，解得{x ＝2，y ＝1. 即圆心C 的坐标为(2,1)． ∴r ＝|CA |＝(5－2)2＋(2－1)2＝10.∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.1．本题的法二是利用了圆的几何特点求出圆心及半径写出了圆的标准方程． 2．用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤： ①设出圆的标准方程；②根据条件得关于a ，b ，r 的方程组，并解方程组得a ，b ，r 的值； ③代入标准方程，得出结果．一圆过原点O 和点P (1,3)，圆心在直线y ＝x ＋2上，求此圆的标准方程． 【解】 ∵圆心在直线y ＝x ＋2上，∴设圆心坐标为(a ，a ＋2)，半径为r ，则圆的方程为(x －a )2＋(y －a －2)2＝r 2. ∵点O (0,0)和P (1,3)在圆上，∴{(0－a )2＋(0－a －2)2＝r 2，(1－a )2＋(3－a －2)2＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝－14，r 2＝258.∴圆的标准方程是(x ＋14)2＋(y －74)2＝258.断点A (2,2)，B (1,8)，C (6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外．【思路探究】 确定圆心、半径，写出圆的标准方程，求出点到圆心的距离，作出判断． 【自主解答】 由已知条件及圆的性质可知，圆心M 在直径PQ 的中点处， ∴圆心M 的坐标为(0,1)．半径r ＝12|PQ |＝12×(－5－5)2＋(6＋4)2＝5 2.∴圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝50， ∵|AM |＝(2－0)2＋(2－1)2＝5＜r ， ∴点A 在圆内， ∵|BM |＝(1－0)2＋(8－1)2＝50＝r ， ∴点B 在圆上． ∵|CM |＝(6－0)2＋(5－1)2＝52＞r ，∴点C 在圆外．1．本题中已知直径的端点确定圆的方程是关键． 2．点和圆位置关系的判定步骤(1)求出圆的半径r 和点到圆心的距离d ； (2)比较r 与d 的大小；(3)由r 与d 的大小关系判断点和圆的位置关系．若点(3，a )在圆x 2＋y 2＝16的外部，则a 的取值范围是________．【解析】 ∵(3，a )在圆x 2＋y 2＝16的外部，∴9＋(a )2＞16， ∴a ＞7.【答案】 (7，＋∞)【思路探究】 x 2＋y 2有何几何意义？【自主解答】 设d 2＝x 2＋y 2，则x 2＋y 2的几何意义是圆上任意一点到原点距离的平方．如图所示，显然原点O 和圆心C 的连线与圆的交点到原点的距离的平方即为所求最值．又|OC |＝32＋42＝5，∴|OP 1|＝|OC |－|P 1C |＝5－2＝3， |OP 2|＝|OC |＋|CP 2|＝5＋2＝7. ∴|OP 1|2＝9，|OP 2|2＝49.∴x 2＋y 2的最小值为9，最大值为49.本题以圆为载体求函数的最值，求解过程中，注意代数与几何的联系，以化归的思想实现两者的转化，另外数形结合思想在求解过程中起到了桥梁作用，使问题的求解更形象、直观．几种常见代数式的几何意义：(1)x 2＋y 2：点(x ，y )与原点的距离的平方．(2)(x －a )2＋(y －b )2：点(x ，y )与点(a ，b )的距离的平方． (3)yx 表示点(x ，y )与原点(0,0)所在直线的斜率． (4)y －b x －a表示点(x ，y )与点(a ，b )所在直线的斜率．已知圆心在x 轴上的圆C 与x 轴交于两点A (1,0)， B (5,0)．(1)求此圆的标准方程；(2)设P (x ，y )为圆C 上任意一点，求点P (x ，y )到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值和最小值．【解】 (1)由题意，结合图(1)可知圆心C (3,0)，r ＝2，所以圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4.。
高中数学 2.2.2圆的一般方程教案 北师大必修2
2.2.2圆的一般方程一、三维目标1、知识与技能：(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件．(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。
(3)培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
2、过程与方法：通过对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
3、情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。
二、教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D 、E 、F ．教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用 三、教学方法：学导式 四、教学过程 （一）、课题引入问题：求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程。
利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。
（二）、探索研究：请同学们写出圆的标准方程：(x －a)2＋(y －b)2=r 2，圆心(a ，b)，半径r ． 把圆的标准方程展开，并整理：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2=0．取222,2,2r b a F b E a D -+=-=-=得022=++++F Ey Dx y x ① 这个方程是圆的方程．反过来给出一个形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0配方得44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ ② (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？(1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程②表示（1）当0422>-+F E D 时，表示以（-2D，-2E ）为圆心,F E D 42122-+为半径的圆； （2）当0422=-+F E D 时，方程只有实数解2D x -=，2E y -=，即只表示一个点（-2D ，-2E）； （3）当0422<-+F E D 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形 综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆只有当0422>-+F E D 时，它表示的曲线才是圆，我们把形如022=++++F Ey Dx y x 的表示圆的方程称为圆的一般方程()2214x y ++=我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)(1)①x 2和y 2的系数相同，不等于0．②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
数学北师大版高中必修2圆的标准方程教案
圆的标准方程教案一、教材分析本章将在上章学习了直线与方程的基础上，学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系，了解空间直角坐标系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。
二、教学目标1、知识目标：使学生掌握圆的标准方程并依据不同条件求得圆的方程。
2、能力目标：(1)使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。
(2)体会数形结合思想，形成代数方法处理几何问题能力(3)培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。
三、重点、难点、疑点及解决办法1、重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确。
2、难点：圆的方程的应用。
3、解决办法充分利用课本提供的2个例题，通过例题的解决使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。
四、学法在课前必须先做好充分的预习，让学生带着疑问听课，以提高听课效率。
采取学生共同探究问题的学习方法，五、教法先让学生带着问题预习课文，对圆的方程有个初步的认识，在教学过程中，主要采用启发性原则，发挥学生的思维能力、空间想象能力。
在教学中，还不时补充练习题，以巩固学生对新知识的理解，并紧紧与考试相结合。
六、教学步骤一、导入新课首先让学生回顾上一章的直线的方程是怎么样求出的。
二、讲授新课1、新知识学习在学生回顾确定直线的要素——两点（或者一点和斜率）确定一条直线的基础上，回顾确定圆的几何要素——圆心位置与半径大小，即圆是这样的一个点的集合在平面直角坐标系中，圆心可以用坐标表示出来，半径长是圆上任意一点与圆心的距离，根据两点间的距离公式，得到圆上任意一点的坐标满足的关系式。
经过化简，得到圆的标准方程2、知识巩固学生口答下面问题1、求下列各圆的标准方程。
①圆心坐标为（-4，-3）半径长度为6；②圆心坐标为（2，5）半径长度为3；2、求下列各圆的圆心坐标和半径。
①②3、知识的延伸根据“曲线与方程”的意义可知，坐标满足方程的点在曲线上，坐标不满足方程的点不在曲线上，为了使学生体验曲线和方程的思想，加深对圆的标准方程的理解，教科书配置了例1。
北师大版数学高一必修2教案 2.2《圆的方程》教学设计
2.2《圆的方程》教学设计【教学目标】1. 掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程。
2. 在掌握圆的标准方程的基础上，掌握圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程022=++++F Ey Dx y x 表示圆的条件．能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。
【导入新课】情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 新授课阶段1.圆的标准方程的推导确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A (a ,b )，半径为r 。
（其中a 、b 、r 都是常数，r >0）设M (x ,y )为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P ={M ||MA |=r },由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件r = ①化简可得：222()()x a y b r -+-= ②从而得到圆的标准方程222()()x a y b r -+-=方程②就是圆心为A (a ,b ),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
思考：如何判定点在圆外还是圆内呢？点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外（2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上（3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内 例1 平面内有两定点A （－1，0）、B （1，0），在圆（x －3)2＋(y －4)2=4上求一点P ，使取得最大值或最小值，并求出最大值和最小值．【解法一】 连结PO 并延长一倍至Q ，则PO 为△PAB 的中线，PQ 为平行四边形的一条对角线，利用三角形中线长公式或利用平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和，得∣AP ∣2＋∣BP ∣2=2＋2∣OP ∣2当PO 经过已知圆圆心C （3，4）时，∣OP ∣有最大值和最小值．此时PO 的方程为y= 43x ,该方程与圆的方程（x －3)2＋(y －4)2=4联列解得 P 1（95 ，125 ），P 2（215 ，285）．由圆的方程（x －3)2＋(y －4)2=4知，圆的半径为r =2，∣OC ∣=5故∣OP ∣最大值为∣OP 2∣=5＋2=7，∣OP ∣的最小值为∣OP 1∣=5－2=3．∣AP ∣2＋∣BP ∣2的最大值为2＋2×49=100，∣AP ∣2＋∣BP ∣2的最小值为2＋2×9=20．【解法二】 设p (3＋2cosθ，4＋2sinθ），则∣AP ∣2＋∣BP ∣2=（4＋2cosθ）2＋（4＋2sinθ）2 ＋(2＋2cosθ）2＋（4＋2sinθ）2=60＋24cosθ＋32sinθ=60＋40cos(θ－φ)（cosφ= 35 ,sinφ=45) ∵cos(θ－φ)max =1, cos(θ－φ)min =－1,∴∣AP ∣2＋∣BP ∣2的最大值为60＋40=100，∣AP ∣2＋∣BP ∣2的最小值为60－40=20．当cos(θ－φ) =1 时，cosφ= 35 ，sinφ=45 , cosθ= 35 ，sinθ = 45此时P 点坐标为（215 ，285）．当cos(θ－φ) =－1 时，cosφ= 35 ，sinφ=45 , cosθ=－ 35 ， sinθ=－45此时P 点坐标为（95 ，125）． 2.圆的一般式方程根据圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2=r 2，圆心(a ，b )，半径r ．把圆的标准方程展开，并整理：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2=0．取222,2,2r b a F b E a D -+=-=-=得022=++++F Ey Dx y x ① 这个方程是圆的一般式方程。
高中数学圆的一般方程 教案 北师大必修2 教案
练习1：P134练习1、2；
例1：（P132例4）求过三点 的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
思考2：试总结求圆的方程的基本步骤。（待定系数法）
例2：（P133例5）已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆
上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。
思考3：试叙述求轨迹方程的基本步骤
1．（1）圆 的圆心和半径是多少？
（2）若将上述方程改写成 后，它还表示圆吗？
（3）是否形如 的方程都表示圆呢？举例说明。
2．对于方程 ，当满足怎样的条件时表示圆？
（提出问题，引入课题）
二．探索新知：
1．对于方程 ，配方得到：
；
（1）当 时，方程表示以 为圆心，
为半径的圆；
（2）当 时，方表示点 ；
例3：（作业本B P69）过点Q（2，-4）作圆 的割线，交圆O于点A，B，求AB中点P的轨迹方程。
练习2：P134练习3；P135B组1、2
四．本节小结：
1．方程 表示圆需要满足的条件；
2．用待定系数法求圆的方程的基本步骤；
3．求轨迹方程的一般方法
作业
P134/A组1、6；P135/B组3
后记
教学目标
1．经历圆的一般方程认识过程及其特点的讨论，提高学生从特殊到一般的归纳概括能力；
2．掌握圆的一般方程及其特点，；
3．会由圆的方程求出圆心和半径，会用待定系数法求圆的一般方程。
本节重点
圆的一般方程的特征和求圆的一般方程
本节难点
求轨迹方程的思想方法
教学模式
教学过程
主要内容及板书
摘要与反思
一．复习引入：
（3）当 时，方程不表示任何图形。
高中数学学案北师大版必修2 圆的标准方程 教案
教学设计2．1圆的标准方程整体设计教学分析作为一般曲线的典型例子，课本安排了本节“圆的标准方程”．圆是学生比较熟悉的曲线，在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究它的方程，它与其他图形的位置关系及其应用．同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的标准方程，就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础，也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用．今天学习圆的标准方程，由于“圆的标准方程”一节内容的基础性和应用的广泛性，对圆的标准方程要求层次是“掌握”．为了激发学生的主体意识，教学生学会学习和学会创造，同时培养学生的应用意识，本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计，所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题，从而引导学生进行探究的课堂教学模式，教师在教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机地结合起来．教师的每项教学措施，都是给学生创造一种思维情境，一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会，激发学生的求知欲，促使学生解决问题．三维目标1．使学生掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程，能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力．2．会用待定系数法求圆的标准方程，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，形成代数方法处理几何问题的能力，从而激发学生学习数学的热情和兴趣，培养学生分析、概括的思维能力．3．理解掌握圆的切线的求法．包括已知切点求切线；从圆外一点引切线；已知切线斜率求切线等．把握运动变化原则，培养学生树立相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点，欣赏和体验圆的对称性，感受数学美．重点难点教学重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确．教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)情境一：如图1，已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶．一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？图1如图2，以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，问题可以转化为求圆上的点的纵坐标，这就需要建立圆的方程．为此我们学习圆的标准方程．情境二：课前准备：用淀粉在一张白纸上画上海和山．引入：说明最终在白纸上要表演的是一个小魔术，名称是《日出》，所以还缺少一个太阳，请学生帮助在白纸上画出太阳．要求其他学生在自己的脑海里也构出自己的太阳．图2课堂估计：一种是非尺规作图(指出数学作图的严谨性)；一种作出后有同学觉得不够美(点评：其实每人心中都有一个自己的太阳，每个人都有自己的审美观点)．然后上升到数学层次：不同的圆心和半径对应着不同的圆，进而对应着不同的圆的方程．从用圆规作图复习初中所学圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹．那么在给定圆心和半径的基础上，结合我们前面所学的直线方程的求解，应该如何建立圆的方程？思路2.(直接导入)同学们，我们知道直线可以用一个方程表示，那么，圆可以用一个方程表示吗？圆的方程怎样来求呢？这就是本堂课的主要内容，教师板书本节课题圆的标准方程．推进新课新知探究提出问题①已知两点A(2，－5)，B(6,9)，如何求它们之间的距离？若已知C(3，－8)，D(x，y)，又如何求它们之间的距离？②具有什么性质的点的轨迹称为圆？③图3中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？图3④我们知道，在平面直角坐标系中，确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角，那么决定圆的条件是什么？⑤如果已知圆心坐标为C(a，b)，圆的半径为r，我们如何写出圆的方程？⑥圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？活动：学生回忆学过的知识，注意观察图形，教师引导，学生思考、交流，学生之间可以相互讨论，学生有困难教师及时提示点拨．①教师引导学生回顾两点之间的距离公式，要正确代入点的坐标．②学生回顾初中学习的圆的定义，教师提示利用集合观点加以解释．③观察图形，结合圆的定义说明．④通过问题③的观察，不难得出确定圆的条件．⑤1°建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示圆上任意点M的坐标，简称建系设点；2°写出适合条件P的点M的集合P＝{M|P(M)|}，简称写点集；3°用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)＝0，简称列方程；4°化方程f(x，y)＝0为最简形式，简称化简方程；5°证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．⑥问题⑤完成后，说明方程形式的特点．讨论结果：①根据两点之间的距离公式d＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2，得|AB|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝(6－2)2＋(9－5)2＝212.同理，|CD|＝(x－3)2＋(y＋8)2.②平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径(教师在黑板上画一个圆)．③圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|＝r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．④确定圆的条件是圆心和半径，只要圆心和半径确定了，那么圆的位置和大小就确定了．⑤确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为C(a，b)，半径为r(其中a，b，r都是常数，r＞0)．设M(x，y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P＝{M||MC|＝r}，由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件(x－a)2＋(y－b)2＝r，将上式两边平方得(x－a)2＋(y－b)2＝r2.化简可得(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(*)若点M(x，y)在圆上，由上述讨论可知，点M的坐标满足方程(*)，反之若点M的坐标满足方程(*)，这就说明点M与圆心C的距离为r，即点M在圆心为C的圆上．方程(*)就是圆心为C(a，b)，半径长为r的圆的方程，我们把它叫作圆的标准方程．⑥这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1.点(a，b)，r 分别表示圆心坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0,0)时，方程为x2＋y2＝r2.提出问题①根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么？②确定圆的方程的方法和步骤？③坐标平面内的点与圆有什么位置关系？如何判断？活动：学生观察圆的标准方程，指出其中的变量和常量，自己动手，画出圆，看点与圆有什么位置关系，教师可以提示引导．①从圆的标准方程中可以看出，确定圆的方程有两个要素，三个条件，两个要素即圆心和半径，三个条件是参数a，b，r且r＞0.只要两个要素或三个条件确定了，那么圆就确定了．②根据问题①我们知道，找到确定a，b，r的条件就可以了．③点与圆有什么位置关系，取决于点到圆心的距离和半径的大小关系．讨论结果：①圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2中，有三个参数a，b，r，只要求出a，b，r且r＞0，这时圆的方程就被确定了，因此确定圆的标准方程，需三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件．②确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组，求a，b，r，或直接求出圆心(a，b)和半径r，一般步骤为：根据题意，设所求的圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2；根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；解方程组，求出a，b，r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．③点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系的判断方法：当点M(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上时，点M的坐标满足方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.当点M(x0，y0)不在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上时，点M的坐标不满足方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.用点到圆心的距离和半径的大小来说明：1°点到圆心的距离大于半径，点在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，点在圆外；2°点到圆心的距离等于半径，点在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上；3°点到圆心的距离小于半径，点在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，点在圆内．应用示例思路1例1 求以C (4，－6)为圆心、半径等于3的圆的方程．解：将圆心C (4，－6)、半径等于3代入圆的标准方程，可得所求圆的方程为(x －4)2＋(y ＋6)2＝9.例2 已知两点M 1(4,9)和M 2(6,3)．求以M 1M 2为直径的圆的方程．解：根据已知条件，圆心C (a ，b )是M 1M 2的中点，那么它的坐标为a ＝4＋62＝5，b ＝9＋32＝6. 根据两点间距离公式，得圆的半径r ＝|CM 1|＝(4－5)2＋(9－6)2＝10.因此，所求圆的方程是(x －5)2＋(y －6)2＝10.点评：A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.例3 写出圆心为A (2，－3)，半径长等于5的圆的方程，并判断点M 1(5，－7)，M 2(－5，－1)是否在这个圆上．活动：学生阅读题目，分析探求，可以从计算点到圆心的距离入手，教师巡视指导，要求学生在黑板上板书，并说明自己解题的思维过程．先由圆心坐标和半径写出圆的方程，再探究点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系．解：圆心为A (2，－3)，半径长等于5的圆的方程是(x －2)2＋(y ＋3)2＝25，把点M 1(5，－7)，M 2(－5，－1)分别代入方程(x －2)2＋(y ＋3)2＝25知道，M 1的坐标满足方程，所以M 1在圆上．M 2的坐标不满足方程，M 2不在圆上．点评：本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程，然后给一个点，判断该点与圆的关系，这里体现了坐标法的思想．根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数；根据坐标满足方程来看点在不在圆上——从代数到几何．例4 △ABC 的三个顶点的坐标是A (5,1)，B (7，－3)，C (2，－8)，求它的外接圆的方程．活动：教师引导学生从圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2入手，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a ，b ，r 三个参数．另外可利用直线AB 与AC 垂直平分线的交点确定圆心，从而得半径，圆的方程可求，师生总结、归纳，提炼方法．解法一：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，因为A (5,1)，B (7，－3)，C (2，－8)都在圆上，它们的坐标都满足方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧ (5－a )2＋(1－b )2＝r 2，(7－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(2－a )2＋(－8－b )2＝r 2.解此方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－3，r ＝5.所以△ABC 的外接圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.解法二：线段AB 的中点坐标为(6，－1)，斜率为－2，所以线段AB 的垂直平分线的方程为y ＋1＝12(x －6)，即x －2y －8＝0.① 同理，线段AC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫72，－72，斜率为3，所以线段AC 的垂直平分线的方程为y ＋72＝－13⎝⎛⎭⎫x －72，即x ＋3y ＋7＝0.② 解由①②组成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－3，所以圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝(5－2)2＋(1＋3)2＝5.所以△ABC 的外接圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.点评：△ABC 外接圆的圆心是△ABC 的外心，它是△ABC 三边的垂直平分线的交点，它到三顶点的距离相等，就是圆的半径，利用这些几何知识，可丰富解题思路．例5 已知圆心为C 的圆经过点A (1,1)和B (2，－2)，且圆心在直线l ：x －y ＋1＝0上，求圆心为C 的圆的标准方程．活动：学生阅读题目，分析条件，教师指导学生考虑问题的思路．(1)利用圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，只要能构造三个方程求出a ，b ，r 便可．(2)确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小．圆心为C 的圆经过点A (1,1)和B (2，－2)，由于圆心C 与A ，B 两点的距离相等，所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于|CA |或|CB |.解法一：设所求的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，将点A (1,1)和B (2，－2)代入得⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(1－b )2＝r 2，(2－a )2＋(－2－b )2＝r 2. 又圆心在l ：x －y ＋1＝0上，所以a －b ＋1＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(1－b )2＝r 2，(2－a )2＋(－2－b )2＝r 2，a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝－2，r ＝5.所以所求的圆的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25.解法二：因为A (1,1)和B (2，－2)，所以线段AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12，直线AB 的斜率为k AB ＝－2－12－1＝－3，故线段AB 的垂直平分线方程为y ＋12＝13⎝⎛⎭⎫x －32， 即x －3y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y －3＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2. 因此圆心C 的坐标为(－3，－2)，半径r ＝|AC |＝(1＋3)2＋(1＋2)2＝5，所以所求的圆的方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25.点评：比较解法一与解法二，不难看出解法二直接明了，思路明确，易于理解，而解法一则笼统，较繁．圆的几何性质的运用使圆的方程的求解运算简单、方便、快捷，这也是解析几何中以形助数的精髓，在以后的解题中要注意应用．思路2例1 图4是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB ＝20 m ，拱高OP ＝4 m ，在建造时每隔4 m 需用一个支柱支撑，求支柱A 2P 2的长度(精确到0.01 m)．图4解：建立坐标系如图，圆心在y 轴上，由题意得P (0,4)，B (10，0)．设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2，因为点P (0,4)和B (10,0)在圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 02＋(4－b )2＝r 2，102＋(0－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－10.5，r 2＝14.52. 所以这个圆的方程是x 2＋(y ＋10.5)2＝14.52.设点P 2(－2，y 0)，由题意y 0＞0，代入圆方程得(－2)2＋(y 0＋10.5)2＝14.52，解得y 0＝14.52－22－10.5≈14.36－10.5＝3.86(m)．答：支柱A 2P 2的长度约为3.86 m.例2 求与圆x 2＋y 2－2x ＝0外切，且与直线x ＋3y ＝0相切于点(3，－3)的圆的方程． 活动：学生审题，注意题目的特点，教师引导学生利用本节知识和初中学过的几何知识解题．首先利用配方法，把已知圆的方程写成标准方程，再利用两圆外切及直线与圆相切建立方程组，求出参数，得到所求的圆的方程．解：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为(1,0)，半径为1.因为两圆外切，所以圆心距等于两圆半径之和， 即(a －1)2＋(b －0)2＝r ＋1，①由圆与直线x ＋3y ＝0相切于点(3，－3)，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋3a －3·⎝⎛⎭⎫－13＝－1，|a ＋3b |1＋(3)2＝r . ②③解①②③，得a ＝4，b ＝0，r ＝2或a ＝0，b ＝－43，r ＝6.故所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36.点评：一般情况下，如果已知圆心(或易于求出)或圆心到某一直线的距离(或易于求出)，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法求出圆心坐标和半径.变式训练一圆过原点O 和点P (1,3)，圆心在直线y ＝x ＋2上，求此圆的方程．解法一：因为圆心在直线y ＝x ＋2上，所以设圆心坐标为(a ，a ＋2)．则圆的方程为(x －a )2＋(y －a －2)2＝r 2.因为点O (0,0)和P (1,3)在圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ (0－a )2＋(0－a －2)2＝r 2，(1－a )2＋(3－a －2)2＝r 2，解得⎩⎨⎧ a ＝－14，r 2＝258.所以所求的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋142＋⎝⎛⎭⎫y －742＝258. 解法二：由题意得圆的弦OP 的斜率为3，中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，32，所以弦OP 的垂直平分线方程为y －32＝－13⎝⎛⎭⎫x －12，即x ＋3y －5＝0. 因为圆心在直线y ＝x ＋2上，且圆心在弦OP 的垂直平分线上，所以由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，x ＋3y －5＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－14，y ＝74，即圆心坐标为C ⎝⎛⎭⎫－14，74. 又因为圆的半径r ＝|OC |＝⎝⎛⎭⎫－142＋⎝⎛⎭⎫742＝258， 所以所求的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋142＋⎝⎛⎭⎫y －742＝258. 点评：圆的标准方程中有a ，b ，r 三个量，要求圆的标准方程即要求a ，b ，r 三个量，有时可用待定系数法．要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用.例3 求下列圆的方程：(1)圆心在直线y ＝－2x 上且与直线y ＝1－x 相切于点(2，－1)；(2)圆心在点(2，－1)，且截直线y ＝x －1所得弦长为2 2.解：(1)设圆心坐标为(a ，－2a )，由题意知圆与直线y ＝1－x 相切于点(2，－1)，所以|a －2a －1|12＋12＝(a －2)2＋(－2a ＋1)2，解得a ＝1.所以所求圆心坐标为(1，－2)，半径r ＝(1－2)2＋(－2＋1)2＝ 2.所以所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)设圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝r 2(r ＞0)，由题意知圆心到直线y ＝x －1的距离为d ＝|2＋1－1|12＋12＝ 2.又直线y ＝x －1被圆截得弦长为22，所以由弦长公式得r 2－d 2＝2，即r ＝2.所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4.点评：本题的两个题目所给条件均与圆心和半径有关，故都利用了圆的标准方程求解，此外平面几何的性质的应用，使得解法简便了许多，所以类似问题一定要注意圆的相关几何性质的应用，从确定圆的圆心和半径入手来解决．知能训练1．说出下列圆的圆心和半径：(1)(x －3)2＋(y －2)2＝5；(2)(x ＋4)2＋(y ＋3)2＝7；(3)(x ＋2)2＋y 2＝4.2．写出下列各圆的标准方程：(1)圆心在原点，半径是3；(2)圆心在点C (3,4)，半径是5；(3)经过点P (5,1)，圆心在点C (8，－3)；(4)圆心在点C (1,3)，并且和直线3x －4y －7＝0相切．解答：1.(1)圆心坐标是(3,2)，半径是5；(2)圆心坐标是(－4，－3)，半径是7；(3)圆心坐标是(－2,0)，半径是2.点评：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径．2．(1)由于圆心在原点，半径是3，所以圆的标准方程为(x －0)2＋(y －0)2＝32，即x 2＋y 2＝9.(2)由于圆心在点C (3,4)，半径是5，所以圆的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝(5)2，即(x －3)2＋(y －4)2＝5.(3)方法一：圆的半径r ＝CP ＝(5－8)2＋(1＋3)2＝25＝5，因此，所求圆的标准方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝25.方法二：设圆的标准方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝r 2，因为圆经过点P (5,1)，所以(5－8)2＋(1＋3)2＝r 2，r 2＝25，因此所求圆的标准方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝25.点评：这里方法一是直接法，方法二是间接法，它需要确定有关参数来确定圆的标准方程，两种方法都可，要视问题的方便而定．(4)设圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝r 2，由圆心到直线的距离等于圆的半径，所以r ＝|3－12－7|25＝1625，因此所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝25625. 点评：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程．拓展提升求圆心在直线y ＝2x 上且与两直线3x ＋4y －7＝0和3x ＋4y ＋3＝0都相切的圆的方程． 活动：学生思考交流，教师提示引导，求圆的方程，无非就是确定圆的圆心和半径，师生共同探讨解题方法．解：首先两平行线的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2＝2，所以半径为r ＝d 2＝1. 方法一：设与两直线3x ＋4y －7＝0和3x ＋4y ＋3＝0的距离相等的直线方程为3x ＋4y ＋k ＝0，由平行线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2，得|k ＋7|32＋42＝|k －3|42＋32，即k ＝－2，所以直线方程为3x ＋4y －2＝0.解3x ＋4y －2＝0与y ＝2x 组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，y ＝2x ，得⎩⎨⎧ x ＝211，y ＝411.因此圆心坐标为⎝⎛⎭⎫211，411.又半径为r ＝1，所以所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －2112＋⎝⎛⎭⎫y －4112＝1. 方法二：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －7＝0，y ＝2x 与⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y ＋3＝0，y ＝2x ，得⎩⎨⎧ y ＝1411，x ＝711和⎩⎨⎧ y ＝－611，x ＝－311.因此圆心坐标为⎝⎛⎭⎫211，411.又半径r ＝1，所以所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －2112＋⎝⎛⎭⎫y －4112＝1. 点评：要充分考虑各几何元素间的位置关系，把它转化为代数问题来处理． 课堂小结①圆的标准方程．②点与圆的位置关系的判断方法．③根据已知条件求圆的标准方程的方法．④利用圆的平面几何的知识构建方程．⑤直径端点是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0. 作业习题2—2 A 组第1题．设计感想圆是学生比较熟悉的曲线，求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点，为此本节布设了由浅入深的学习环境，先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系，逐步理解三个参数的重要性，自然形成待定系数法的解题思路，在突出重点的同时突破了难点．利用圆的标准方程由浅入深地解决问题，并通过圆的方程在实际问题中的应用，增强学生应用数学的意识．另外，为了培养学生的理性思维，在例题中，设计了由特殊到一般的学习思路，培养学生的归纳概括能力．在问题的设计中，用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成．备课资料备用习题1．已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程是( )A ．(x －1)2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D ．x 2＋(y －1)2＝1分析：圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，其半径不变，只求出圆心即可，而关于直线y ＝－x 对称，则横、纵坐标交换位置，并取相反数，由圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，知对称的圆心为(0，－1)．答案：C2．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝9分析：r ＝|3×2－4×(－1)＋5|32＋42＝3. 答案：C3．已知直线5x ＋12y ＋a ＝0与圆x 2－2x ＋y 2＝0相切，则a 的值为________．分析：圆的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆心坐标为(1,0)，半径为1.由已知可得|5＋a |13＝1 |5＋a |＝13，所以a 的值为－18或8. 答案：－18或84．已知圆x 2－4x －4＋y 2＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是________．分析：由已知得圆心为P (2,0)，由点到直线距离公式，得d ＝|2－0－1|1＋1＝22. 答案：22(设计者：国建群)。
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第二章圆与方程小结与复习
一、教材分析：本章在第二章“直线与方程”的基础上，在直角坐标系中建立圆的方程，并通过圆的方程研究直线与圆、圆与圆的位置关系。
在直角坐标系中建立几何对象的方程，并通过方程研究几何对象，这是研究几何问题的重要方法，通过坐标系把点与坐标、曲线与方程联系起来，实现空间形式与数量关系的结合。
坐标法是贯穿本章的灵魂，在教学中要让学生充分的感受体验。
二、教学目标：1．了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题；掌握圆的标准方程和一般方程，加深对圆的方程的认识。
2．能根据给定的直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系，能用直线与圆的方程解决一些简单问题。
3．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会用空间两点间的距离公式。
4．通过本节的复习，使学生形成系统的知识结构，掌握几种重要的数学思想方法，形成一定的分析问题和解决问题的能力。
三、教学重点：解析几何解题的基本思路和解题方法的形成。
教学难点：整理形成本章的知识系统和网络。
四、教学过程：
（一）．知识要点：学生阅读教材142P 的小结部分． （二）．典例解析：
1．例1。
(1)求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x─y─3=0上的圆的方程; (2)求以O(0,0),A(2,0),B(0,4)为顶点的三角形OAB 外接圆的方程
解：(1)设圆心P(x 0,y 0),则有⎩⎨⎧-+-=-+-=--2
020202000)
2()3()2()5(032y x y x y x , 解得 x 0=4, y 0=5, ∴半径r=10, ∴所求圆的方程为(x─4)2
+(y─5)2
=10
(2)采用一般式,设圆的方程为x 2+y 2
+Dx+Ey+F=0,将三个已知点的坐标代入列方程组解得：D=─2, E=─4, F=0
点评：第(1),(2)两小题根据情况选择了不同形式
2．例2。
设A （－c ，0）、B （c ，0）（c >0）为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a （a >0），求P 点的轨迹
分析：给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化；主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即用代数的方法研究几何问题
解：设动点P 的坐标为（x ，y ），由|||
|PB PA =a （a >0）得2222)()(y
c x y c x +-++=a ，
化简，得（1－a 2
）x 2
+2c （1+a 2
）x +c 2
（1－a 2
）+（1－a 2
）y 2
=0
当a =1时，方程化为x =0当a ≠1时，方程化为22221()1a x c y a +-+- =222()1
ac
a -
所以当a =1时，点P 的轨迹为y 轴；当a ≠1时，点P 的轨迹是以点（1
1
22-+a a c ，0）为圆心，
|
1
22-a ac
|为半径的圆 点评：本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求同时也考查了分类讨论这一数学思想 3．例3。
已知⊙O 的半径为3，直线l 与⊙O 相切，一动圆与l 相切，并与⊙O 相交的公共弦恰为⊙O 的直径，求动圆圆心的轨迹方程
分析：问题中的几何性质十分突出，切线、直径、垂直、圆心，如何利用这些几何性质呢？
解：取过O 点且与l 平行的直线为x 轴，过O 点且垂直于l 的直线为y 轴，建立直角坐标系 设动圆圆心为M （x ，y ），⊙O 与⊙M 的公共弦为AB ，⊙M 与l 切于点C ，则|MA |=|MC | ∵AB 为⊙O 的直径，∴MO 垂直平分AB 于O
由勾股定理得|MA |2
=|MO |2
+|AO |2
=x 2
+y 2
+9，而|MC |=|y +3|，∴922++y x =|y +3| 化简得x 2
=6y ，这就是动圆圆心的轨迹方程
点评：求轨迹的步骤是“建系，设点，找关系式，除瑕点”
4．例4。
已知圆C 的圆心在直线x─y─4=0上,并且通过两圆C 1:x 2
+y 2
─4x─3=0和C 2:x 2
+y 2
─4y─3=0的交点,(1)求圆C 的方程; (2)求两圆C 1和C 2相交弦的方程
解：(1)因为所求的圆过两已知圆的交点,故设此圆的方程为：x 2
+y 2
─4x─3+λ(x 2
+y 2
─4y─3)=0,
即 (1+λ)(x 2
+y 2
)─4x─4λy─3λ─3=0,即 3141422-+-+-
+λ
λλy
x y x =0, 圆心为 (λ+12,λλ+12),由于圆心在直线x─y─4=0上,∴λ+12─λ
λ
+12─4=0, 解得 λ
=─1/3
所求圆的方程为：x 2
+y 2
─6x+2y─3=0(2)将圆C 1和圆C 2的方程相减得：x+y=0,此即相交弦的方程
点评：学会利用圆系的方程解题
5．例5。
求圆22
412390x y x y ++-+=关于直线3450x y -+=的对称圆方程 解：圆方程可化为()()22
261x y ++-=, 圆心O(-2,6),半径为1 设对称圆圆心为'
(,)O a b ，则O ‘
与O 关于直线3450x y --=对称，
因此有2
6345022
63124a b b a -+⎧⋅-⋅-=⎪⎪⎨-⎪⋅=-⎪+⎩解得325265a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴所求圆的方程为2
2
3226155x y ⎛
⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
点评：圆的对称问题可以转化为点(圆心)的对称问题，由对称性质知对称圆半径相等 （三）．课堂小结：本章的知识点主要是实现由形到数的一种转变，所以在今后的学习中要把握关键，寻求规律，掌握方法，要时刻把握好直线于圆的综合问题、相交及交点等问题的应用以及直线于圆的实际应用。
（四）．作业：教材144P 复习参考题 五、教后反思:。