常微分方程
常微分方程
dy y
P(
x)dx,
ln | y | P( x)dx lnC1 ,(C1为任意常数)
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx (C eC1 )
17
2. 线性非齐次方程 dy P( x) y Q( x) dx
线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.
线性齐次方程的通解是 Ce P( x)dx ,
（3）检验改进模型， 观察所得的解能够在多大程度或范围上反映实际问题，
用实际问题检验该模型， 如果存在问题，则需研究， 改进模型.
27
例 冷却问题 将一个温度为50º的物体，放在20º的恒温 环境中冷却，求物体温度变化的规律.
解 冷却定律：“温度为T的物体，在温度为 T0 的环境中 冷却的速率与温差T T0成正比.” 设物体的温度T与时间 t的函数关系为 T T (t),
(t2 x)dt xdx 0 一阶 z x y 一阶
x
未知函数是一元函数的方程为 常微分方程;
未知函数是多元函数的方程为 偏微分方程.
方程中所出现的导数的最高阶数称为 微分方程的阶.
一般的n阶微分方程为 F ( x, y, y,, y(n) ) 0,
或已解出最高阶导数 y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
9.4 微分方程的应用问题
例 把“大气压随高度变化而降低的速率与所在高度 处的气压成正比”所含关系表示出来.
解：第一步，设未知函数：
设大气压P和高度x之间的函数关系为 P P(x),
大气压随高度变化的速率为 dP
dx
第二步，根据条件写出方程 dP P, 为比例系数，
dx
第三步，取比例系数为正：因 dP 0， 故 0，
第九章 常微分方程
常微分方程的基本概念
常微分方程的基本概念什么是常微分方程常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODE）是描述自变量只有一个的函数的微分方程。
通常表示为形如dy/dx = f(x, y)的方程，其中y是未知函数，x是自变量，dy/dx表示y对x的导数，f(x, y)是已知函数。
常微分方程主要用于描述变量之间的关系和变化规律。
常微分方程的分类常微分方程可以根据其阶数、线性性质和特殊形式进行分类。
阶数根据常微分方程中导数的阶数，可以将其分为一阶常微分方程、二阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程一阶常微分方程具有形式dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是已知函数。
一阶常微分方程的解包含一个任意常数。
二阶常微分方程二阶常微分方程具有形式d²y/dx² = f(x, y, dy/dx)，其中f(x, y, dy/dx)是已知函数。
二阶常微分方程的解包含两个任意常数。
线性和非线性根据常微分方程中的未知函数和导数之间的线性关系，常微分方程可以分为线性常微分方程和非线性常微分方程。
线性常微分方程线性常微分方程具有形式aₙ(x) * dⁿy/dxⁿ + aₙ₋₁(x) * dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + … + a₁(x) * dy/dx + a₀(x) * y = f(x)，其中aₙ(x)到a₀(x)是已知函数，f(x)是已知函数。
非线性常微分方程非线性常微分方程中的未知函数和导数之间的关系是非线性的，不能表示为线性的组合。
特殊形式常微分方程可以根据其特殊形式进行分类，包括可分离变量形式、齐次形式、恰当形式等。
常微分方程的解法常微分方程的解法包括解析解和数值解。
解析解解析解是指可以用一种或多种已知的函数表达式表示出来的解。
常微分方程的解析解的求解过程可以使用分离变量法、线性常系数齐次方程解法、变量替换法等。
数值解数值解是通过数值计算方法得到的近似解。
常微分方程
(3). 对于非全微分方程,有时可以找到函数 (x, y) , 使得
(x, y)P(x, y)dx (x, y)Q(x, y)dy 0 积分因子
(4). 观察法往往很实用.
全微分方程
例: ( y2 x)dx 2y(x y)dy 0
解法一:
因为
P 2 y Q
y
x
全微分方程
取 x0 0, y0 0,
d (xy) x2 y2 ( dx dy ) 0 xy
1 则 x2 y2 是积分因子,
d(xy) dx dy x2y2 x y 0
1 ln | x | C. xy y
注意:其他类型的微分方程往往可以化成上述类型
例:
y
1
x cos y sin 2y
视 x 为 y 函数,可化成线性方程
u x du u2 dx u 1
(1 1)du 1 dx
u
x
u y x
y
y Ce x
*可化为齐次方程的方程
方程
dy dx
ax by c a1x b1 y c1
，c
0或c1
0
解法：若
ab 0
a1 b1
则先令
ax by c 0, a1x b1 y c1 0,
求出解 x0 , y0 , 再作变量代换
ex
x3.
2.设f (t)在[0,)上连续且满足
f (t) e4t2
f (1 x2 y2 )dxdy,求f (t)
x2 y2 4t2
2
f (t) e4t2
2
d
2t f ( 1 r)rdr＝e4t2 2
2t f ( 1 r)rdr，
0
02
常微分方程
称为局部截断误差。 显然，这个误差在逐 步计算过程中会传播， 积累。因此还要估计 这种积累
yn +1 = yn + hf ( xn , yn )
步计算是精确的前提下， ， 定义 在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考虑 称为局部截断误差 的截断误差 Ri = y(xi+1) − yi+1 称为 局部截断误差 /* local
当 β−1≠0 时，为隐式公 则为显式公式 显式公式。 式; β−1=0 则为显式公式。
f n = f ( xn , y n )
基于数值积分的构造法 上积分， 将 y′ = f ( x , y ) 在[ xn− p , xn+1 ] 上积分，得到
xi +1 xn− p
y ( xn +1 ) − y ( xn − p ) = ∫
f ( x, y ( x))dx
x n +1
n− p
只要近似地算出右边的积分 I k ≈ ∫x f ( x, y ( x )) dx ，则可通 只要近似地算出右边的积分 过 yn+1 = yn− p + I k近似y(xn+1) 。而选用不同近似式 Ik，可得到不 同的计算公式。 同的计算公式。
为了考察数值方法提供的数值解，是否有实用价值，需要知道如下几个结论： ① 步长充分小时，所得到的数值解能否逼近问题得真解；即收敛性问题 ② 误差估计 ③ 产生得舍入误差，在以后得各步计算中，是否会无限制扩大；稳定性问题
8.1 Euler公式 公式
做等距分割，利用数值微分代替导数项，建立差分方程。
为了使解存在唯一，一般，要加限制条件在f上，要求f对y满足Lipschitz条件：
常微分方程解法
常微分方程解法常微分方程是数学中的一门重要分支，研究描述自然界和社会现象中变化规律的方程。
解常微分方程的方法多种多样，下面将介绍常见的几种解法。
一、分离变量法分离变量法适用于形如dy/dx=f(x)g(y)的一阶常微分方程。
解题步骤如下：1. 将方程写成dy/g(y)=f(x)dx的形式，将变量分离。
2. 对两边同时积分，得到∫dy/g(y)=∫f(x)dx。
3. 左边的积分可以通过换元或者使用常见函数的积分公式进行计算。
4. 右边的积分可以通过与左边的积分结果进行比较来判断是否需要使用特殊的积分技巧。
5. 对左右两边同时积分后，解出方程中的积分常数。
6. 将积分常数代回原方程中，得到完整的解。
二、常数变易法常数变易法适用于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的一阶常微分方程。
解题步骤如下：1. 先求出对应的齐次方程dy/dx+p(x)y=0的通解。
2. 假设原方程的特解为y=u(x)v(x)，其中u(x)是一个待定的函数，v(x)是齐次方程的通解。
3. 将y=u(x)v(x)代入原方程中，整理后得到关于u(x)和v(x)的方程。
4. 解出关于u(x)的方程，得到u(x)的值。
5. 将u(x)的值代入v(x)中，得到特解。
6. 特解与齐次方程的通解相加，即得到原方程的完整解。
三、二阶齐次线性方程解法二阶齐次线性方程的一般形式为d^2y/dx^2+p(x)dy/dx+q(x)y=0。
解题步骤如下：1. 求解对应的齐次方程d^2y/dx^2+p(x)dy/dx+q(x)y=0的特征方程r^2+p(x)r+q(x)=0，其中r为未知数。
2. 求解特征方程得到两个不同的根r1和r2。
3. 根据r1和r2的值，得到齐次方程的通解y=c1e^r1x+c2e^r2x，其中c1、c2为任意常数。
四、变量替换法变量替换法适用于形如dy/dx=f(y/x)的一阶常微分方程。
解题步骤如下：1. 进行变量替换，令u=y/x，即y=ux。
常微分方程基本概念
注1:称函数y (x, c1,, cn )含有n个独立常数,是指
存在(x, c1,, cn )的某一邻域,使得行列式
c1
(, ',, (n1) )
(c1, c2 ,, cn )
'
c1
(n1)
c1
c2
cn
'
c2
'
cn 0
(n1) (n1)
为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实 际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件.
求满足定解条件的求解问题称为定解问题.
常见的定解条件是初始条件,n阶微分方程的初
始条件是指如下的n个条件:
当x
x 0时,
y
y0 ,
dy dx
y (1) 0
,,
d (n1) y dxn1
y (n1) 0
这里x0 , y0 , y0(1) ,, y0(n1)是给定的 n 1个常数.
定义6 在通解中给任意常数以确定的值而得到的解 称ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方程的特解.
例如 y sinx, y cosx都是方程 y" y 0的特解. 可在通解y c1sinx c2cosx中分别取 c1 1, c2 0,得到 : y sinx,
c1 0, c2 1,得到 : y cosx.
3 定解条件
tx
dx dt
3
x
0;
d4x d2x (4) dt4 5 dt2 3x sin t;
都是常微分方程
2.偏微分方程 如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两 个以上,称为偏微分方程.
如 (5) z z z ;
x y
常微分方程
, cn ) 的一个邻域，使得
, c1 ′ , c1 , c2 ′ , c2 , , cn ′ cn ( n 1) cn
≠0
( n 1) ( n 1) , , c1 c2
,
则称 y = ( x, c1 ,
, cn ) 含有n个相互独立的常数。
y 例： = c1 cos x + c2 sin x 是 y′′ + y = 0 的通解。 因为 y′ = c1 sin x + c2 cos x 而
是
在 (∞, +∞)上的解。
2
y = tan(t )
例：xdx +
x = 1+ x
'
在 (
π π
, ) 上的解。 2 2
ydy = 0 有隐式解 x 2 + y 2 = C （ C 为任意常数）。
n 阶方程的通解： 把含有 n 个相互独立的任意常数
c 称为 c1，c 2， ， n 的解 y＝ x1，c1， ，c n） n 阶方程的通解。 （
耦合摆的动态演示
摆长减小的单摆
我们只研究这样一个方程:
θ( t ) 2 2 t 10 θ ( t ) + 2 θ( t ) =0 t 10 t 10 t
用Maple7编写的单摆模型的动态示意图
1.1.2 微分方程的基本概念
凡含有自变量、未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程称为 微分方程。例如：
用maple 7解双摆的运动微分方程
2 2 θ1 ( t ) = 10 θ2 ( t ) 20 θ1 ( t ) t
2
2 2 θ2 ( t ) = 20 θ1 ( t ) 20 θ2 ( t ) t
常微分方程
●凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。
●未知函数是一元函数的，叫做常微分方程。
未知函数是多元函数的，叫做偏微分方程。
●微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。
●在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数(解微分方程)，就是说，找出这样的函数，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。
这个函数就叫该微分方程的解。
●如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。
●设微分方程中的未知函数为y=y(x),如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是x=x0时，y=y0,或写成y|x=x0=y0,其中x0，y0都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是：x=x0时，y=y0,y′=y0′,或写成y|x=x0=y0,y′|x=x0=y0′，其中x0，y0和y0′都是给定的值，上述这种条件叫做初始条件。
●确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解。
●求微分方程y′=f(x,y)满足初始条件y|x=x0=y0的特解这样一个问题，叫做一阶微分方程的初值问题，记作{y′=f(x,y);y|x=x0=y0}●可分离变量方程。
一阶可分离变量方程：dy/dx=f(x)/g(y),可分离变量为：∫g(y)dy=∫f(x)dx,设g(y)、f(x)的原函数分别为G(y)、F(x),则可解出方程的通解：G(y)=F(x)+C。
●例：求微分方程dy/dx=2xy的通解。
解：方程是可分离变量的，分离变量后得dy/y=2xdx,两端积分∫dy/y=∫2xdx,得ln|y|=x2+C1,从而y=±e C1e x2。
因±e C1仍是任意常数，把它记作C，便得方程的通解y=Ce x2。
●齐次方程。
如果一阶微分方程dy/dx=f(x,y)中的函数f(x,y)可写成y/x的函数，即f(x,y)=φ(y/x),则称这方程为齐次方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
常微分方程一、常微分方程解的概念⎧⎪⎨⎪⎩通解：相互独立的未知常数的个数=阶数常微分方程的解特解：未知常数确定其余解：既非通解，也非特解 二、知识网络图122'()()()()()'()()'()(),(),(),(),()'()()()()'()()()'n y u x Pdx Pdx z y n dy y x g x h y g x dx h y y x y x u x u u x y xy x y x y y x P x y Q x y e Qe dx C y x P x y Q x y z ϕϕϕϕϕϕ-=-=⎧=⇒=⎪⎪⎛⎫⎨ ⎪⎪ ⎪=⇒=-±-⎪ ⎪⎩ ⎪ ⎪⎰⎰+=⇒=+ ⎪⎝⎭+=⇒⎰⎰⎰变量全可分离微一换元分阶另讲线性（伯努利）常微分方程12()''122121()(1)()(1)()()()''()(,')'()(,)1''()(,')'()(,)'''00()(c n p y p y r x r xrx x x n P x z n Q x y x f x y x f x y p x f x p y x f y y p y f y p p y C e C e y py qy r pr q y C x C e y e C α==⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪+-=-⎪⎩⎩⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⇒=⎪⎩=+++=⇒++==+=可降阶齐次方程常系高数阶线性2*max{,}*()1(1)11os sin )()()()'''()()[()cos ()sin ][()cos ()sin ]'()'t x k xn n x n m l m n k xl l n n n n n n x e x C x f x P x e y x Q x e y py qy f x f x e P x x P x x y x e R x x S x x x y p x y p xy p y f x y λλλλββωωωω=---=⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪+⎪⎩⎪⎩⎧=⇒=⎪⎪++==+⎨⎪⎪⇒=+⎩++++=⇒ 二阶以上（欧拉）1213232112212311322()'(),''()[''()'()],,''()'()0,,''()'()()''()'()()()(t ty k y y y ky y x e y t y x e y t y t t y p x y q x y y C y C y y y y y p x y q x y f x y p x y q x y f x y C y y C y --≠-≠-⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪==-⎩++=⇒=+++=⇒++==-+- 化为关于的常系数线性方程线是的特解性解的通解为构31**1212)''()'()()()y y y p x y q x y f x f x y y y y ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪+⎪⎪⎪⎪⎪++=+⇒=++⎪⎩⎩⎩三、典型例题例1.设方程()y x y x y ϕ'=+的特解为ln x y x =，则22()x y y xϕ=- ．例2.函数221c x e c y +=（21,c c 为任意常数）是微分方程02'"=--y y y 的----（D ）（A ）通解 （B ）特解 （C ）非解 （D ）是解，但不是通解，也不是特解． 例3.求解下列微分方程： （1）()1xdy y x dx =-．[解] 分离变量得1(1)dy dx y x=-， 两边积分得通解 ln ln ln y x x C =-+，即x y Cxe -=．（2）()()02222=++++-dy y xy x x dx y xy x y ．[解] 令u x y =，方程化为()dx x du u u u u 21122-=+++ 或 dx x du u u 21112-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++， 两边积分得 ln arctan 2ln ln u u x C +=-+，即2arctan uux eC =将xy u =代入得原方程的通解arctan yxxye C =．（3）)cos(y x y +='．[解]令u y x =+， 11cos du y u dx '=+=+，tan 2u x C =+，()tan 2x y x C +=+． （4）x e x y dxdysin cos -=+． [解法一]利用公式()x x P cos =，()x e x Q sin -=代入求解公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(()sin x e x C -=+． [解法二] sin sin (cos )1xx dyee x y dx +=，sin ()'()'x ye x C =+，()sin x y e x C -=+． （5）yy x y 2sin cos 1+=' ．[解] 方程可化成 x x x dydx2sin cos =-， 通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dy e y e x ydy ydycos cos 2sin sin 2sin 2y C e y =-- ． （6）求方程)2(2223y x y y x -='．[解法一] 方程可化成3221y x x y dx dy -=-， 作变量代换 2-=y u ，dx dy y dx du 32--=，或 dxdu y dx dy 321-=， 代入得212x u x dx du =+，解得()C x x C dx e x e u dx x dx x +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=--⎰ln 12222， 2-=y u 代回得原方程的通解()C x y x +=ln 22．[解法二] 原方程是齐次方程，作变量代换x y u /=即可化为变量可分离方程，解略．（7）()2321y y '+-=''．[解] 令p y ='，则dy dp p y =''，方程化为()2321p dydp p +-=，解得 1211C py ++=，即 ()21211C y p -=+， 所以 ()1211C y C y p ---±=，即 ()1211C y C y dx dy---±=，或 ()dx dy C y C y ±=---2111， 积分可得方程的通解 ()()12122=-+-C y C x ．（8）x xe y y y 265=+'-''．[解] 对应的齐次方程065=+'-''y y y 的特征方程为0652=+-r r 有两个实根3,221==λλ。
因此齐次方程的通解为 x x e C e C Y 3221+=，)(x f x xe 2=，2是特征方程的单根，因此应设原方程的特解为()x e B Ax x y 2+=*，代入原方程可得 x B A Ax =-+-22，比较两端同次幂的系数得 02,12=-=-B A A 。
解得 1,21-=-=B A因此求得一个特解为 x e x x y 2121⎪⎭⎫⎝⎛--=*从而原方程的通解为y xx e C e C 3221+=x e x x 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛--+．（9）()x x e y y y x3cos cos 2122+=+'-''．解：对应齐次方程022=+'-''y y y 的特征方程为0222=+-r r ，其特征根i r ±=1，故齐次方程的通解为()x C x C e Y x sin cos 21+= 对非齐次项)(x f 中的第一部分x e xcos 21，由于i i ±=±1βα是方程的特征根，故设 ()x B x A xe y x sin cos 11*1+=，对非齐次项)(x f 中的第二部分x e x3cos 21，由于i i 31±=±βα不是特征根，故设()x B x A e y x 3sin 3cos 22*2+=，则可设非齐次方程的特解为()()x B x A e x B x A xe y x x 3sin cos sin cos 2211*+++=，将*y 及其一、二阶导数代入原方程，比较系数得01=A ，1612-=A ，411=B ，02=B 。
故原方程的通解为：()x e x xe x C x C e y x x x3cos 161sin 41sin cos 21-++=． （10） ()()0323222=-++--dy e x y dx xe x yy ．[解] 这是全微分方程，可采用分组组合凑微法由原方程可得 ()0332232=++---dy y dx x dy e x dx xe yy ， 故 ()()0332=++-y xd ex d y， 所以原方程的通通解为 C y ex x y=++-323．例4．反求下列微分方程:（1）求具有特解123,2,3x x x y e y xe y e --===的三阶常系数线性齐次微分方程． [解] 由特解形式可知，其相应特征方程的根为1231,1r r r ==-=则特征方程为232(1)(1)10r r r r r +-=+--=，故所求方程为''''''0y y y y +--=． （2）若22123,,x x x x x x x y xe e y xe e y xe e e --=+=+=+-是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求该微分方程．[解] 2131213,()()x x y y e y y y y e --=-+-=则其相应的齐次方程为20y y y '''--=， 将1y 代入2()y y y f x '''--=，得2(12)x y y y x e '''--=-．例5．若x x e x e y )1(2++=是方程x ce by y a y =+'+''的解,求c b a ,,及该方程通解． [解法一] 将x x e x e y )1(2++=代入原方程比较系数得3-=a ，2=b ，1-=c ． [解法二] 由方程非齐次项知非齐次解中只会出现xe ，则x e y 21=必为齐次的解， 若xxe 是齐次解，则1为特征方程的二重根，于是xe y =2为齐次的解， 则齐次方程的特征方程为(1)(2)0r r --=，齐次方程为023=+'-''y y y ， 于是3-=a ，2=b ，将x xe y =代入方程x ce y y y =+'-''23，得1-=c ， 故所求方程的通解为x x x xe e c e c y ++=221． 例6．设)(xf =-x sin ⎰-xdt t f t x 0)()(,其中)(x f 为连续函数.求)(x f ．[解]⎰⎰+-=xx dt t tf dt t f xx x f 0)()(sin )(，⎰-='xdt t f x x f 0)(cos )(，)(sin )(x f x x f --=''，则x x f x f sin )()(=+''，且(0)0f =，1)0(='f 设x x f x f sin )()(=+''的通解为12()cos sin (cos sin )f x C x C x x a x b x =+++， 将其特解(cos sin )x a x b x +代入x x f x f sin )()(=+''，得12,0a b ==， 则原方程的通解为12()cos sin (cos )2f x C x C x x x =++．由0)0(=f 和1)0(='f 可得，120,12C C ==，，则()(sin cos )2f x x x x =+． 例7．设)(x f 在R 上有定义，且()()()()()y f x f y f x f y x f -+=+1，其中()0f '存在，求()f x ．[解]令0=y ，有 ()00=f ,因()()()()()()()()()220001lim lim lim [1]01y y y f x y f x f x f y f x f x f y f x f y y→→→+-+''===+-，解得()()C x f x f +'=0arctan ，由()00=f ，得所求函数为 ()()[]x f x f 0tan '= ． 例8．设()x y y =在()∞+∞-,内具有二阶导数，且()y x x y =≠',0是()x y y =的反函数， （1）试将()y x x =所满足的()222sin ()0d x dx y x dy dy++=变换为()x y y =满足的微分方程；（2）求变换后的微分方程满足初始条件()()00,032y y '==的解．[解] （1）,1y dy dx '=则3222y y dy dx y y dy x d '''-=⋅'''-=，代入原方程得x y y sin =-'' （2）设该方程的通解为12cos sin x xy C e C ea xb x -=+++，将其特解cos sin A x B x +代入方程，得0,12a b ==-，则其通解为121sin 2x x y C e C e x -=+-，由()()300,02y y '==，得x e e y xx s i n 21--=-．四、差分方程（仅数三要求）1、一阶常系数线性齐次差分方程,01=++t t ay y通解为 ,)()(t c a C t y -⋅=2、一阶常系数线性非齐次差分方程),(1t f ay y t t =++通解为 .)(*t c t y t y y += 其中*t y 是非齐次差分方程的特解． 1) ),()(t P t f m =（1）若,1-≠a 令 );(t Q y m t =* （2）若,1-=a 令 );(t tQ y m t =* 2）)()(t P d t f m t ⋅=， )0(≠d （1）若,0≠+d a 令 );(t Q d y m t t ⋅=* （2）若,0=+d a 令 );(t Q td y m t t ⋅=*例1 差分方程051021=-++t y y t t 的通解为 . 解： 原方程的一般形式为 t y y t t 2551=++， 其对应的齐次差分方程为 ,051=++t t y y其通解为 t c C t y )5()(-= （C 为任意常数）.因t t f 25)(=是t 的一次多项式，且15-≠=a ， 故设原方程的特解为B At y t +=*，代入原方程，得,25)(5)1(t B At B t A =++++即.2566t B A At =++比较系数知725,125-==B A ，故)61(125*-=t y t ， 从而原差分方程的通解为).61(125)5()(*-+-=+=t C y t y y tt c t 例2 差分方程t t t t y y 21⋅=-+的通解为 .解： 原方程对应的齐次差分方程为,01=-+t t y y其通解为 C C t y t c ==)1()( （C 为任意常数）.因为tt t f 2)(⋅=，且0121≠=+-=+d a ，故设原方程的特解为),(2*B At y t t +=代入原方程，得 ttt t B At B t A 2)(2])1([21=+-+++ 即 .2t B A At =++比较系数知2,1-==B A ，故)2(2*-=t y t t ，从而原差分方程的通解为*()2(2)t t c t y y t y C t =+=+-.四、课后练习1.微分方程0=+'y y x 满足初始条件2)1(=y 的特解为2=xy .2.微分方程x y xy y -=-+'122的通解为21arctan y x x C =-+.3.微分方程xy y y x 2=+'的通解为x4.微分方程31()2dy y y dx x x=-满足11x y ==的特解为y =.5.微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y ==的特解为315y x =+6.微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为11ln 39y x x x =-.7.微分方程0tan )sin (=+-ydx dy y x 的通解为1sin csc 2x y C y =+.8.方程)1ln()1(+='+''+x y y x 的通解为12(1)ln(1)2y x C x x C =+++-+.9. 二阶常系数非齐次线性微分方程2432x y y y e '''-+=的通解为32122x x x y C e C e e =+-. 10. 21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++.11. 欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dxy d x 的通解为221x c x c y +=. 12.函数212x x x y C e C e xe -=++满足的一个微分方程是23x y y y e '''+-=.13.以123cos2sin 2x y C e C x C x =++为通解的一个微分方程是440y y y y ''''''-+-=. 14.设()()y P x y Q x '+=有两个解()()12,,y x y x C 为任意常数,则该方程通解是(B) (A)()()12C y x y x -⎡⎤⎣⎦ (B)()()()112y x C y x y x +-⎡⎤⎣⎦ (C)()()12C y x y x +⎡⎤⎣⎦ (D)()()()112y x C y x y x ++⎡⎤⎣⎦15.若x y e y x cos ,21==为0)()(21=+'+''y x P y x P y 的两个解,则12()()P x P x +=1-. 16.微分方程2()y x y y ''''+=满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解为322133y x =+.17.方程⎩⎨⎧-='=+'=''1)0(,1)0(222y y y y y y 的特解为x e y -=.18.若连续函数()f x 满足()320,3x xt f x f dt e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰则()f x =3232x x e e -.19. 设)(x f 连续，且()⎰--=x dt t f x t x x x f 0)(sin )(，则()f x =213cos sin 44x x x x +．20.设)(x f 连续,且满足⎰xdt t f 0)(=+x ⎰-xdt t x tf 0)(,则()f x =x e .21. 设)(x f 连续，且1()d 2()f tx t f x x =+⎰，则()f x =13x -. 22.用变量代换)0(cos π<<=t t x 化简微分方程0)1(2=+'-''-y y x y x ，则其满足2,10='===x x y y的特解为2y x =+。