常微分方程的解

常微分方程的解

是千儿的首篇笔记啦(^_−)☆

这一系列笔记大概是来梳理一下各种常微分方程的解法。证明部分暂时不会作为重点。这篇笔记将梳理常微分方程的基本解法。笔记主要采用的教材是丁同仁老师的《常微分方程教程》。

〇、一些名词

1、常微分方程

凡是联系自变量 x ，这个自变量的未知函数 y = y(x)

及其直到 n 阶导数在内的函数方程

f(x,y,y',y'',...,y^{(n)}) = 0 叫做常微分方程，并称 n

为常微分方程的阶。

如果在上式中， f 对 y,y',...,y^{(n)} 而言都是一次的，那么我们称该方程为线性常微分方程，否则称其为非线性的。如果未知函数是多元的，那么称之为偏微分方程。

在学习常微分方程的过程中，需要辩证地看待常微分方程和偏微分方程的关系，并及时进行转换。这样就可以灵活地求解常微分方程。

2、解和通解

若函数 y = \varphi (x) 在区间 j 内连续，且存在直到n 阶的导数。若把 \varphi (x) 及其对应的各阶导数代入原

方程，得到关于 x 的恒等式，那么我们称 y = \varphi(x)

是原方程在区间 j 上的一个解。如果解 y = \varphi(x, c_1,

c_2,...,c_n) 中包含 n 个独立的任意常数

c_1,c_2,...,c_n ，那么我们称其为通解。若解中不包含任意常数，那么我们称其为特解。

3、初等积分法

初等积分法是用一些初等函数或它们的积分来表示微分方程的解的方法。这也是我们在本节中讨论的方法。

一、恰当方程

对于形如 p(x,y)\text dx + q(x,y)\text dy = 0 的方程，如果存在一个可微函数 \phi (x,y) 使得 \text d \phi (x,y) = p(x,y)\text dx = q(x,y) \text dy，那么我们称其为一个恰当方程，或全微分方程。

恰当方程有解的充要条件是 \frac {\partial p(x,y)} {\partial y} = \frac{ \partial q(x,y)}{\partial x} 。证明略。（后续有机会会补上的...）

二、变量分离方程

仍是形如 p(x,y)\text dx + q(x,y)\text dy = 0 的方程，如果 p(x,y) 与 q(x,y) 均可以写成独立的关于 x 与 y 的函数的乘积，即 p(x,y) = x_1(x) y_2(y) ， q(x,y) =

x_2(x) y_1(y) ，那么原方程可以转化为 \frac

{x_1(x)}{x_2(x)}\text dx + \frac{y_1(y)}{y_2(y)} \text dy = 0 。那么我们可以直接积分，得到原方程的解。

需要注意的是，分母为0的情况需要单独讨论，否则容易漏解。

分离变量方程是微分方程的基础，我们求解微分方程最基本的思想就是将方程转化为分离变量方程。

三、一阶线性方程与常数变易法

我们称形如 \frac {\text dy}{\text dx} + p(x)y =

q(x) 的方程为一阶线性微分方程，因为这种方程关于 y 与

y' 都是一次的。其中，若 q(x) = 0 ，则称之为一阶线性齐次方程，否则称为一阶线性非齐次方程。

对于一阶线性齐次方程 y' + p(x)y = 0 ，我们可以直接分离变量，得到 \frac {\text dy}{y} + p(x) \text dx =

0 。这样容易得到解 y = ce^{-\int p(x)\text dx} ，其中

c 为常数。

对于非齐次的类型，我们同样进行上述操作，得到 \frac {\text dy}{y} = - p(x) \text dx + \frac{q(x)}{y} \text dx ，积分得到 y = e^{-\int p(x) \text dx}e^{\int

\frac{q(x)}{y}\text dx} ，于是我们设未知的 e^{\int

\frac{q(x)}y \text dx} = c(x) ，即设 y = c(x) e^{-\int p(x)\text dx} ，得到 y' + p(x)y = c'(x)e^{-\int p(x) \text dx} = q(x) ，则 c(x) = \int q(x)e^{\int

p(x)\text dx} \text dx ，就可以得到对应方程的通解。

在其中，我们将齐次方程解中的常数 c 采用未知函数

c(x) 代换的方法称为常数变易法。

四、初等变换法

1、齐次微分方程

形如 \frac{\text dy}{ \text dx} = \varphi (\frac yx) 的微分方程称为齐次微分方程。

在齐次微分方程中，我们可以采用比值代换，令 u =

\frac yx ，则 \text dy = u \text dx + x \text du ，于是方程转化为 u + \frac{x \text du}{\text dx} =

\varphi(u) ，即 \frac{\text du}{\varphi(u) -u} = \frac {\text dx}{x} 。这样，我们就可以把方程两侧直接积分求解。

此外，对于某些含有常数项的方程，我们可以尝试将其进行平移变换，得到齐次微分方程。例如，形如 \frac{\text dy}{\text dx} = f \bigg( \frac {ax + by + c}{mx + ny + l} \bigg) 的微分方程，我们在 \begin{vmatrix} a & b\\ m & n \end{vmatrix} \neq 0 时，可以进行平移变换化为齐次

微分方程，否则可以直接进行代换 u = mx + ny ，得到

\frac {\text du}{\text dx} = a+ f\bigg(\frac{ u +

c}{\lambda u + l} \bigg) ，这是一个变量分离的方程。

2、伯努利(bernoulli)方程

形如 \frac{\text dy}{\text dx} + p(x) y = q(x) y ^ {\alpha} 的方程称为伯努利(bernoulli)方程，其中 \alpha 为常数。

显然， \alpha = 0 或 1 时，方程转化为一阶线性微分

方程。否则，我们两侧同乘 y^{-\alpha} ，得到 y^{-\alpha} \frac {\text dy} {\text dx} + p(x) y^{1-\alpha } =

q(x) ，即 \frac 1 {1-\alpha} · \frac {\text dy^{1-

\alpha}}{\text dx} + p(x) y^{1-\alpha} = q(x) ，则方程化为一阶线性微分方程。

3、黎卡提(riccati)方程

若微分方程 \frac { \text dy}{\text dx} = f(x,y) ，且 f(x,y) 是关于 y 的二次方程，即 \frac { \text

dy}{\text dx} = p(x) y^2 + q(x)y + r(x) ，那么我们称之为二次微分方程，又叫黎卡提(riccati)方程。对于此方程，

我们无法用初等积分法得到通解。但在我们得知一个特解 y = \varphi (x) 的情况下，我们可以求出通解。

我们设 y = u + \varphi(x) ，则 \frac { \text

du}{\text dx} + \varphi ' (x)= p(x) (u^2 + 2u

\varphi(x) + \varphi^2(x)) + q(x)(u + \varphi(x)) +

r(x) 。

根据 \varphi '(x) = p(x)\varphi ^2(x) +

q(x)\varphi (x) + r(x) ，得到 \frac { \text du}{\text dx}= p(x)u^2 + \big(p(x)\varphi(x) + q(x)\big)u 是伯努利方程，从而可解。

关于Riccati方程的进一步知识，我们将在后面讨论。

五、积分因子法

我们仍然考虑形如 p(x,y) \text dx + q(x,y)\text dy = 0 的方程，如果其不为恰当方程，那么我们尝试配凑函数

\mu (x,y) 使得 \mu(x,y)p(x,y) \text dx +

\mu(x,y)q(x,y)\text dy = 0 ，也即使 \frac{ \partial

\mu p} {\partial y} = \frac{ \partial \mu q} {\partial x} 成立。

这样，我们就把原方程变成了偏微分方程。但是这个偏微分方程实际上是等价于原方程的，所以积分因子法只能求解一些特殊类型的微分方程。

我暂时把一些新的笔记放在个人博客上，有空的时候放在知乎上。本文的门户网站如下: