n阶常微分方程的通解

n阶常微分方程是指对应于n个未知函数y=y(x)的n个变量，关于同一个变量x 的n个微分方程的合成，形如： $$\begin{cases} F_1(x, y_1, y_2,...,y_n)=0 \\

F_2(x, y_1, y_2,...,y_n)=0 \\ ... \\ F_n(x, y_1, y_2,...,y_n)=0 \end{cases}$$ 通

解n阶常微分方程就是指找到使上述n个方程同时满足的y=y(x)的函数表达式。一般情况下，n阶常微分方程的通解可以用Cauchy-Lipschitz定理求得：该定

理认为：若存在一个区域Ω，其中$y_i(x)\in C^1(\Omega),i=1,2,...,n，并且存

在微分矩阵A=[a_{ij}]，其中$a_{ij}=\frac{\partial F_i}{\partial

y_j}(x,y_1,y_2,...,y_n)$，且A是在Ω上连续可逆的，则方程组在Ω上有唯一解。故，n阶常微分方程的通解就是对应的解析解，即使得上述n个方程同时

满足的y=y(x)的函数表达式。

8.1.n阶常系数线性方程的解法

第二讲§4.2 n 阶常系数线性齐次方程的解法(2学时) 教学目的: 本节主要讨论n 阶常系数线性齐次方程的解法。教学要求: 掌握n 阶常系数线性齐次方程的一些解法，了解复值函数与复值解的有关结论。教学重点: n 阶常系数齐次线性方程的特征根法和待定系数法教学难点: 特征根法和待定系数法教学方法: 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。教学手段: 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。上一节我们已详细地讨论线性方程通解的结构问题,但是如何求通解的方法还没有具体给出,事实上,对一般的线性方程是没通用的解法.本节介绍求解常系数齐次线性方程通解的方法,是在线性方程基本理论上化为解一个相应的代数方程,而不必进行积分运算.进而介绍可化为常系数齐次线性方程的解法. 讨论常系数线性方程的解法时,需要涉及到定变量的变值函数及复指数函数的问题.为此首先作一介绍. 一. 复值函数与复值解 1. 复值函数若)()(t t ψ?和是区间b t a ≤≤上定义的实函数,我们称) 1(),()()(2 -=+=i t i t t z ψ?为区间b t a ≤≤上的复值函数. 若)(),(t t ψ?在b t a ≤≤上连续，则称z(t)在b t a ≤≤上连续. 若)(),(t t ψ?在b t a ≤≤上可微，则称z(t)在b t a ≤≤上可微. 且z(t)的导数为: ,dt d i dt d dt dz ψ?+= 复函数求导法则与实函数相同. 2．复指数函数 ()()(cos sin )i t t z t e e t i t αβαββ+==+，欧拉公式:cos sin i e i θθθ=+ 3．复值解定义定义在区间a t b ≤≤上的实变量复值函数)(t z x =称为方程(4.5)的复值解，如果 ()(1)11()()()()n n n n z p t z p t z p t z f t --'++++= 对于a t b ≤≤恒成立。对线性方程的复值解有下面的两个结论：

微分方程求通解的方法

微分方程求通解的方法微分方程是描述物理现象、经济行为、生物进化等问题的重要数学工具。求解微分方程的通解是理解问题本质和构建数学模型的关键一步。下面将介绍常见的几种求解微分方程通解的方法。 1. 变量分离法：适用于可分离变量的微分方程，即可写成形如dy/dx = f(x)/g(y) 的方程。主要步骤是将方程中 x 和 y 以及其导数的项分别放到等式两边，然后分离变量，最后积分得到解。 2. 齐次方程法：适用于齐次线性微分方程，即可化为形如 dy/dx = f(y/x) 的方程。通过引入新变量 y/x = z，将原方程转化为可分离变量的形式，然后求解得到 z(x)。最后将 z(x) 代入 y/x = z，得到通解。 3. 齐次线性微分方程法：适用于一阶齐次线性微分方程，即形如 dy/dx + P(x)y = 0 的方程。通过引入积分因子mu(x) = exp(∫ P(x)dx)，将原方程转化为可积分的形式，然后求解得到通解。 4. 一阶线性非齐次微分方程法：适用于一阶线性非齐次微分方程，即形如 dy/dx + P(x)y = Q(x) 的方程。通过求解对应的齐次方程的通解，并利用常数变易法，将方程变为可积分的形式，然后求解得到通解。 5. Bernoulli 方程法：适用于形如 dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n 的Bernoulli 方程。通过引入新变量 z = y^(1-n)，将方程转化为线性微分方程形式，然后求解得到通解。

6. 二阶常系数线性齐次微分方程法：适用于形如 d^2y/dx^2 + a dy/dx + by = 0 的二阶齐次线性微分方程。通过猜测特解的形式，结合特征方程的根的情况，得到通解。 7. 变参数法：适用于形如 d^2y/dx^2 + P(x) dy/dx + Q(x) y = F(x) 的二阶非齐次线性微分方程。通过猜测特解的形式，代入原方程并求导，得到特解的形式参数。将特解代入齐次方程的通解和特解的线性组合中，得到非齐次方程的通解。 8. 拉普拉斯变换法：适用于线性微分方程组的求解。通过对微分方程组进行拉普拉斯变换，将微分方程转化为代数方程，然后求解代数方程得到解，再通过拉普拉斯逆变换得到微分方程组的通解。以上是一些常见的求解微分方程通解的方法。在实际问题中，可能需要结合具体的问题和条件，选择合适的方法进行求解。此外，还可以利用数值方法或计算工具辅助求解微分方程。

第四章 n阶线性微分方程(10学时)

第四章n阶线性微分方程(10学时) 教学目的: 本章主要讨论n阶线性微分方程的基本理论，常数变易法，常系数线性方程的解，n阶线性微分方程的降阶以及二阶线性方程的幂级数解法。教学要求: 掌握线性微分方程的基本理论和常系数线性方程的解法，会把高阶微分方程降阶以及会用幂级数解法解某些二阶线性方程。教学重点: 齐次和非齐次线性微分方程的解性质与结构；常数变易思想；常系数齐次线性方程的特征根法和待定系数法；高阶可积类型的解法；幂级数解法。教学难点: 函数的线性相关性；Wronsky行列式的定义及其性质；特征根法和待定系数法；幂级数解法。教学方法:讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。教学手段: 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。课题导入在第二章介绍了一阶微分方程的解法,在实际应用中，还常常遇到高阶微分方程，本章我们将介绍高阶微分方程的求解方法和理论，在微分方程的理论中，线性微分方程的理论占有非常重要的地位，这不仅是线性微分方程最简单，它的一般理论已被研究得十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础。本章重点介绍线性微分方程的基本理论和常系数方程的解法，对于高阶方程的降阶问题和二阶线性方程的幂级数解法也作简单介绍。第一讲§ 4.1 n阶线性微分方程的一般理论(3学时) 教学目的: 本节主要讨论线性齐次和非齐次微分方程的基本概念、基本理论和常数变易法。教学要求: 掌握线性微分方程的基本概念和基本理论。教学重点: 齐次和非齐次线性微分方程的解性质与结构；常数变易思想。教学难点: 函数的线性相关性；Wronsky行列式的定义及其性质。教学方法: 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。教学手段: 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 n阶线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程，它的理论发展十分完善，本节将介绍它的基本理论。 4.1.1. 线性微分方程的一般概念我们将未知函数x及其各阶导数dx dt ,…, n n dt x d 均为一次的n阶微分方程称为n线性微

常见的常微分方程的一般解法

常见的常微分方程的一般解法总结了常见常微分方程的通解。如无意外，本文将不包括解的推导过程。常微分方程，我们一般可以将其归纳为如下n类： 1.可分离变量的微分方程（一阶） 2.一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶），包含伯努利 3.二阶常系数微分方程（二阶） 4.高阶常系数微分方程（n阶），包含欧拉 1.可分离变量的微分方程（一阶）这类微分方程可以变形成如下形式： f ( x ) d x = g ( y ) d y f(x)dx=g(y)dy f(x)dx=g(y)dy 函数可以通过同时整合两边来解决。难点主要在于不定积分，不定积分是最简单的微分方程。 p.s. 某些方程看似不可分离变量，但是经过换元之后，其实还是可分离变量的，不要被这种方程迷惑。 2.一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶）形如 d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) dxdy+P(x)y=Q(x) 的方程叫做一阶线性微分方程，若 Q ( x ) Q(x) Q(x)为0，则方程齐次，否则称为非齐次。

解法：直接套公式： y ( x ) = e − ∫ P ( x ) d x ( ∫ e ∫ P ( x ) d x Q ( x ) d x + C ) y(x)=e^{- \int{P(x)}dx}(\int{e^{\int{P(x)dx}}Q(x)}dx+C) y(x)=e−∫P(x)dx(∫e∫P(x)dxQ(x)dx+C) 多套几遍熟练就好。伯努利方程形如 d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) y n , n ∈R , n ≠ 1 \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n},n\in\mathbb{R},n\ne1 dxdy+P(x)y=Q(x)yn,n∈R,n=1 的方程称为伯努利方程，这种方程可以通过以下步骤化为一阶线性微分方程： y − n d y d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) y^{- n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x) y−ndxdy +P(x)y1−n=Q(x) 1 1 − n ⋅ d y 1 − n d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) \frac{1}{1-n}·\frac{dy^{1-n}}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x) 1−n1⋅dxdy1−n+P(x)y1−n=Q(x) 令 y 1 − n = u y^{1-n}=u y1−n=u，方程两边同时乘以 1 − n 1-n 1−n，得到 d u d x + ( 1 − n ) P ( x ) u = ( 1 − n ) Q ( x ) \frac{du}{dx}+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x) dxdu +(1−n)P(x)u=(1−n)Q(x)

高数微分方程求解

学习目的：理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的阶，微分方程的通解、特解及微分方程的初始条件等学习重点：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始条件学习难点：微分方程的通解概念的理解学习内容： 1、首先通过几个具体的问题来给出微分方程的基本概念。（1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M （x ,y ）处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。解设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足 x dx dy 2= （1）同时还满足以下条件： 1=x 时，2=y （2）把（1）式两端积分，得 ?=xdx y 2 即 C x y +=2 （3）其中C 是任意常数。把条件（2）代入（3）式，得 1=C ，由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程： 12+=x y （4）（2）列车在平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度2 /4.0s m -. 问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？解设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数)(t s s =满足： 4.02 2-=dt s d （5）此外，还满足条件：

0=t 时，20,0== =dt ds v s （6） (5)式两端积分一次得： 14.0C t dt ds v +-== （7）再积分一次得 2122.0C t C t s ++-= （8）其中21,C C 都是任意常数。把条件“0=t 时20=v ”和“0=t 时0=s ”分别代入（７）式和（８）式，得 0 ,2021==C C 把21,C C 的值代入（7）及（8）式得 ,204.0+-=t v （9） t t s 202.02+-= （10）在（9）式中令0=v ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间： )(504 .020 s t == 。再把5=t 代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程 ).(5005020502.02m s =?+?-= 上述两个例子中的关系式（1）和（5）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。 2、定义一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系到的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。本章只讨论常微分方程。微分方程中所出现的求知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程 ()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+- 是四阶微分方程。一般地，n 阶微分方程的形式是 ,0),,',,()(=n y y y x F （11）其中F 是个2+n 变量的函数。这里必须指出，在方程（11）中，) (n y 是必须出现的，而

常微分方程的格式

常微分方程的格式随着科学技术的不断发展，微分方程在各个领域中得到了广泛应用。微分方程是一种描述自然现象的数学模型，它可以用来描述物理、化学、生物等领域中的很多现象。其中，常微分方程是一种最为基本和重要的微分方程，它的解法和应用都十分广泛。在本文中，我们将介绍常微分方程的格式及其相关知识。一、常微分方程的定义常微分方程是指只包含一个自变量和其导数的一阶或高阶微分方程，即形如y' = f(x,y) 或y'' = f(x,y,y')的微分方程。其中，y表示未知函数，x表示自变量，f(x,y)表示已知函数。常微分方程是一种描述自然现象的数学模型，它可以用来描述很多物理、化学、生物等领域中的现象。二、常微分方程的基本形式常微分方程可以写成一般形式y^(n) = f(x,y,y',y'',...,y^(n-1))，其中y^(n)表示y的n阶导数。根据方程的阶数，可以将常微分方程分为一阶和高阶两类。 1、一阶常微分方程一阶常微分方程的一般形式为y' = f(x,y)，其中y'表示y对x 的一阶导数，f(x,y)表示已知函数。一阶常微分方程可以进一步分类为可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程等几种类型。（1）可分离变量方程可分离变量方程的一般形式为dy/dx = f(x)g(y)，其中f(x)和

g(y)是已知函数。这种类型的方程可以通过分离变量的方法解出。（2）齐次方程齐次方程的一般形式为dy/dx = f(y/x)，其中f(y/x)是已知函数。这种类型的方程可以通过变量代换的方法解出。（3）一阶线性方程一阶线性方程的一般形式为dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x) 和q(x)是已知函数。这种类型的方程可以通过积分因子的方法解出。 2、高阶常微分方程高阶常微分方程的一般形式为y^(n) = f(x,y,y',y'',...,y^(n-1))，其中y^(n)表示y的n阶导数。高阶常微分方程可以通过变量代换的方法、特征方程的方法、常数变易法等方法解出。三、常微分方程的解法常微分方程的解法有很多种，其中比较常用的方法有分离变量法、变量代换法、积分因子法、特征方程法、常数变易法等。 1、分离变量法分离变量法是一种比较简单的解法，适用于可分离变量方程。具体步骤如下：（1）将方程两边同时乘以dx和dy，得到dy = f(x)g(y)dx。（2）将方程两边同时除以g(y)，得到1/g(y)dy = f(x)dx。（3）对两边同时积分，得到ln|y| = F(x) + C，其中F(x)是 f(x)的不定积分，C是常数。

常微分方程的通解

常微分方程的通解常微分方程是数学中最基础，也是最重要的一个分支。它是用来描述物理量及其变化规律的有限差分近似模型，是许多科学和工程应用中的基础。任何物理系统的解决方案首先都会以常微分方程来表达，知道方程的解决方案有助于进一步研究物理系统。常微分方程的重要性不言而喻，可以说获得其通解是常微分方程研究的核心内容和最重要的一步。而常微分方程的通解，则是在特定条件下解析求得常微分方程及其一般解的方式。具体来说，通解是指满足常微分方程中特定条件的特殊解的总和，也就是说，它可以求得所有的解的总和，包括对特定边界和初始值的总体解决方案。它能够提供更加完善全面的物理系统的模拟框架，从而进一步深入地分析物理系统的复杂性，确定运动物体等物理量的数学模型，模拟和预测物理系统的运动等。求常微分方程通解的方法也有多种，比如可以利用对应方程的相关积分、级数解、矩阵解等方法进行求解。其中，利用矩阵解求常微分方程通解时，首先需要将二阶以上常微分方程转为一阶的形式，从而形成一组齐次非齐次方程。接着，再利用矩阵解法进行解析求解常微分方程，得到准确的通解。当然，以上只是常微分方程求通解的一些基本方法，实际上，求解方法还包括微分变换、拉普拉斯变换等，而且在实际应用中，还可以根据具体情况来考虑利用近似解的方法。总之，常微分方程的通解是研究常微分方程最重要的一个步骤，它能够得到物理系统的更加完善的模拟框架，从而进一步研究物理系统的运动规律等复杂性。实际上，求解常微分方程的通解有不同的方法，可以根据实际的需要而灵活使用。最后，要牢记，只有充分理解常微分方程并获得其正确的解才能进一步深入地研究物理系统。

常微分方程期末考试练习题及答案.

一，常微分方程的基本概念常微分方程：含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。 2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。 3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。 4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。 5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。（方程线性与否与自变量无关）。如：xy（2）-5y，+3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。二.可分离变量的方程 A.变量分离方程

1.定义：形如 dx dy =f （x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。这里f （x ），φ（x ）分别是x ，y 的连续函数。 2.解法：分离变量法⎰ ⎰ +=c dx x f y dy )()(ϕ. （*）说明： a 由于（*）是建立在φ（y ）≠0的基础上，故而可能漏解。需视情况补上φ（y ）=0的特解。（有时候特解也可以和通解统一于一式中） b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。例1.0)4(2=-+dy x x ydx 解：由题意分离变量得：04 2=+-y dy x dx 即： 0)141(41=+--y dy dx x x 积分之，得：c y x x =+--ln )ln 4(ln 4 1 故原方程通解为：cx y x =-4)4( （c 为任意常数），特解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。 *例2.若连续函数f （x ）满足 2 ln )2 ()(20 +=⎰ dt t f x f x ，则f （x ）是？解：对给定的积分方程两边关于x 求导，得： )(2)('x f x f = （变上限求积分求导）分离变量，解之得：x Ce x f 2)(= 由原方程知： f （0）=ln2，代入上解析式得： C=ln2， B.可化为分离变量方程的类型。解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知

n阶常系数齐次线性常微分方程通解的简单证法

n阶常系数齐次线性常微分方程通解的简单证法 n阶常系数齐次线性常微分方程通解的简单证法 n阶常系数齐次线性常微分方程通解的简单证法是一种常用的求解常微分方程的方法。一般情况下，n阶常系数齐次线性常微分方程可以表示为： $$a_n\frac{d^nx}{dt^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}x}{dt^{n- 1}}+\cdots+a_1\frac{dx}{dt}+a_0x=f(t)$$ 其中，$a_n$、$a_{n-1}$、$\cdots$、$a_0$是常数，$f(t)$是右端函数。首先，我们计算特征方程的根，即求解： $$a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0=0$$ 当特征方程的根有重根时，求解该常微分方程的通解可以通过以下变换得到： $$x=C_1e^{\lambda_1t}+C_2te^{\lambda_1t}+\cdots+C_{m-1}t^{m-1}e^{\lambda_1t}+C_me^{\lambda_2t}+C_{m+1}te^{\lambda_2t}+\cd ots+C_{n-1}t^{n-1}e^{\lambda_2t}+C_nt^ne^{\lambda_2t}$$ 这里，$C_1$、$C_2$、$\cdots$、$C_n$是常数，而$\lambda_1$、

$\lambda_2$是特征方程的根，其中$\lambda_1$可能与$\lambda_2$相等。当特征方程的根没有重根时，求解该常微分方程的通解可以通过以下变换得到： $$x=C_1e^{\lambda_1t}+C_2e^{\lambda_2t}+\cdots+C_ne^{\lambda_ nt}$$ 这里，$C_1$、$C_2$、$\cdots$、$C_n$是常数，而$\lambda_1$、$\lambda_2$、$\cdots$、$\lambda_n$是特征方程的根。最后，我们可以利用条件判断法来求解$C_1$、$C_2$、$\cdots$、$C_n$的值，从而得到n阶常系数齐次线性常微分方程的通解。因此，n阶常系数齐次线性常微分方程通解的简单证法就是通过先计算特征方程的根，然后根据特征方程的根的形式写出通解，最后利用条件判断法得到常数的值，从而得到n阶常系数齐次线性常微分方程的通解。

高阶常系数齐次线性微分方程的解法

高阶常系数齐次线性微分方程的解法凯歌【摘要】常微分方程是微积分学的重要组成部分，求解高阶微分方程是常微分方程的一难点问题，通常用适当的变量代换，达到降阶的目的来解决问题。结合多年的教学经验，归纳总结给出高阶常系数齐次线性微分方程的一些求解方法，包括常系数齐次线性微分方程和欧拉方程以及可降阶的高阶微分方程等，并通过例题阐述各种方法。%Ordinary Differential equation is an important part of differential and integration. Solving Ordinary Differential equation of difficult prob-lem is the differential equations of high order. Generally, in order to achieve the purpose to solve problems, it uses an appropriate variable substitution. With many years of teaching experience, summarizes to give some methods for solving the linear differential equation of higher-order, including homogeneous linear differential equation with constant coefficient, Euler equations and higher-order differential of reduce order and so on, gives an example to explain a variety of methods.【期刊名称】《现代计算机（专业版）》【年(卷),期】2016(000)002 【总页数】4页(P26-28,51) 【关键词】微分方程;特征方程;欧拉方程;齐次方程【作者】凯歌【作者单位】内蒙古财经大学统计与数学学院，呼和浩特 010070

常微分方程通解、特解、所有解的区别与联系

常微分方程通解、特解、所有解的区别与联系刘雄伟;王晓【摘要】通过具体实例分析、讨论了高等数学中常微分方程的通解、特解和微分方程的所有解之间的区别与联系,并对高等数学教材中二阶线性微分方程的降阶法与二阶常系数非齐次线性微分方程特解求解过程中的作法进行了说明. 【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2014(030)002 【总页数】3页(P88-90) 【关键词】高等数学;常微分方程;通解;定解条件;特解【作者】刘雄伟;王晓【作者单位】国防科技大学理学院,湖南长沙410073;国防科技大学理学院,湖南长沙410073 【正文语种】中文【中图分类】O175.1 在国内的高等数学教材与常微分方程教材中，对于n阶常微分方程 , (1) 关于通解、特解通常定义如下[1,2]：如果包含有n个相互独立的任意常数C1,C2,…,Cn的关系式

Φ(x,y,C1,C2,…,Cn)=0 (2) 确定的函数y=φ(x,C1,C2,…,Cn)是(1)的解，则称(2)为(1)的通解.通过初值条件 y(x0)=y1,y′(x0)=y2,…,y(n-1)(x0)=yn (3) 确定通解中的任意常数后，得到的解Φ(x,y)=0称为(1)的特解. 对于非数学专业的学生来说，在高等数学课程的常微分方程学习过程中，通解、特解、所有解的定义及相互关系，二阶齐次线性微分方程降阶法和二阶常系数非齐次线性微分方程所设特解的处理方式，一直是学生在学习过程中容易产生困惑的内容.为了更好的理解和求解常微分方程，关于常微分方程的通解、特解和微分方程的所有解的基本概念和求解过程中的一些处理方式有几点需要特别注意. (i) 通解并不一定包含微分方程的所有解. 例如[1]，y=sin(x+C)是微分方程 (4) 的通解，但y=±1也是(4)的解，显然不包含在通解中，即通解不包含方程的所有解.因此，在做练习时，应该注意求解微分方程与求微分方程通解的差别.一般来说，求解微分方程应该将满足微分方程的所有解求出，而求通解只需要求得一个包含与微分方程阶数相同个数的、相互独立的任意常数的解即可.同时通解也不唯一，如微分方程[3] xy′-3y=0 (5) 在全体实数范围内通解可以为y=Cx3，也可以是

拉普拉斯变换的作用及意义

拉普拉斯变换的作用及意义魏明彬【摘要】拉普拉斯变换是求解n阶常系数线性微分方程的重要方法,而一般的常微分方程教材对此叙述都比较简略.文章对此作了探讨,阐述了拉普拉斯变换在求解n 阶常系数微分方程中的作用及意义. 【期刊名称】《成都师范学院学报》【年(卷),期】2013(029)001 【总页数】5页(P101-105) 【关键词】拉普拉斯变换;初值问题;初值解;通解【作者】魏明彬【作者单位】成都师范学院数学系,成都611130 【正文语种】中文【中图分类】O175 对于初值问题凡是学过常微分方程的人都知道，其基本解法是，先求出常系数线性微分方程(1)的通解y=φ(x，C1，…，Cn)，再代入初始条件(2)，确定 n个任意常数，从而得到其初值解但是，很多人不知道，这种解法，其实存在着很大的缺陷。我们本来只需要求一个初值解，但在解答过程当中，我们却先求出了通解，这实际上做了很多

无用功。而要想克服这个缺陷，就要想办法先用上初始条件。由此出发，就引出了拉普拉斯变换。下面，我们先给出拉普拉斯变换的定义及有关性质。定义设f(t)在［0，+∞)有定义，∀a＞0，在闭区间［0，a］可积，如果无穷含参积分收敛，则称的拉普拉斯变换，简记为F(s)=L［f(t)］。称F(s)为f(t)的象函数，称f(t)为F(s)的原函数［2］。由上述定义可知，并不是所有在［0，+∞)有定义且可积的函数f(t)都存在拉普拉斯变换，那么，满足什么条件，f(t)存在拉普拉斯变换呢?我们有下面的充分条件: 定理1 如果f(t)在［0，+∞)上逐段连续，且存在M ＞0，s0≥0，使得t≥0时，有|f(t)|＜Mes0t，则当 s ＞ s0时，F(s)存在［2］。上面定义的拉普拉斯变换有如下两个最重要的性质: 定理2 (线性性质)如果f1(t)，f2(t)在［0，+∞)都存在拉普拉斯变换，而C1，C2 是两个任意常数，则有L［C1f1(t)+C2f2(t)］=C1L［f1(t)］+C2L［f2(t)］［2］。定理3 (原函数的微分性质)如果f(t)在［0，+∞)存在n阶连续导数，且存在拉普拉斯变换，则f'(t)，f″(t)，…，f(n)(t)均存在拉普拉斯变换，并且有以上三个定理的证明见参考文献［2］，不再赘述。使用拉普拉斯变换求解初值问题的一般方法是解得Y(s)=［F(s)－H(s)］/G(s)→拉普拉斯变换表中公式的线性组合→查表得解。求解n阶常系数线性微分方程的初值问题，通常有三种方法:1、先求出对应齐次线性微分方程的基本解组，再用常数变易法求出非齐次线性微分方程的一个特解，从而得到非齐次线性微分方程的通解y=φ(x，C1，…，Cn)，最后代入初始条件，确

常微分方程重点

常微分方程重点第一章初等积分法 1、什么是微分方程：联系自变量，未知函数以及它们导数的关系式。。 2、微分方程的分类显式方程：八f(x”)。、隐式方程：F(x,y,y )=0 通解：n阶常微分方程的含有n个任意常数C,,C2,...C n 3、解的分类的解使y =「化0,22,...6)。特解：给通解中的任意常数以定值所得到的解。 F y = f (x y) 4、初值问题：dx ( ' y)(也叫柯西问题) y(xo) = y o 例1:求下列方程满足所给初始条件的解： f 2 ' 2 (x -1)y +2xy=0 y(0) =1 5、变量可分离方程：岸 M (x)N(y)dx P(x)Q(y)dy =0 例2:求解方程(1)矽=1一y■- (2) x(y2-1)dx y(x2-1)dy = 0 dx 出_x2 6、齐次方程：鱼「C)(类似于色= f(a*x b*y c)=V=f(a* b* ” dx x dx arx+bry+ci d-耳*-®**1 (变量代换) 例3：求解业二U dx x 十y-3 7、一阶线性微分方程：史=p(x)* y q(x)(采用常数变易法) dx |p(x)dx q(x) =0, y=c*e —p(x)dx [p(x)dx q(x)式0, y=(Jq(x)*e +c)*e x —f p( D d x f p(s)ds 定积分形式：y =(. q(s)* e x0 ds y0)e x0

例4：賽丄* y 2(x-2)2 x(0) =2 例5：(证明题)设函数f(t)在［0,=］上连续且有界，试证明：方程生• x二 dt 有解解在［0,=］上有界。 8、全微分方程：M (x, y)dx N (x, y)dy 二 0 3 例6:求解方程(2xy x2y -y-)dx (x2y2)dy = 0 (参数表示法) 克莱罗方程：y = xy "(y) 通解：y 二 ex •「(c) y 二cx 亠；(c) 特解：',消去C得特解(基解) |0 = x 十护(c) 第二章基本定理f (t)的所 .:M .: N (X y)先x后y, k M (x, y°)dx + [ N (x, y)dy = 0 '(Mdx+Ndy)=0< x y° 先y后x 打M (x, y)dx + J y N(x0,y)dy=0 (x o，y o) .:M .: N SM cN 与x有关，丄公 N cM 与y有关，——-— . M =f(x),得积分因子u(x)二e -f(x)dx .N 二二g(y),得积分因子v(y)=e *"皿 9、一阶隐式微分方程: 不显含y,F(x,y') = 0二/ =： (：)、= 沪屮⑴ 不显含x,F(y,y)=0n < , W(t) = y J (t)「 x= (t) y(t) :'(t)dt y= (t) A '■⑴ dt c '2 例7 :求解下列方程(1) xy y2(2) x、... 1 • y = y⑶.1 I

常微分知识

常微分 1.2 内容提要与释疑解难定义凡含有一元未知函数的导数或微分（一定要有）或未知函数、自变量表达式（可以没有）的等式，称为常微分方程，简称为方程微分方程的一般形式为（1）其中x是自变量，y是x的未知函数. 在方程中出现的各阶导数中最高的阶数，称为微分方程的阶。如果将某一函数y=y(x)代入微分方程（1），能使方程成为恒等式，则函数y=y(x)称为微分方程（1）的解。如果微分方程的解中所含独立的任意常数的个数（即这些常数合并不了）与方程的阶数相同，则该解为微分方程的通解（全体解）。如果指定通解中的一组任意常数等于某一组固定的数，那么得到的微分方程的解，叫做微分方程的特解或者说满足某些条件的方程的解，称为微分方程的特解，该条件称为初始条件。定义对于定义在某非空实数集D上的n个函数，若存在n个不全为零的常数，便得在D上有恒等式成立，则称函数在D上是线性相关的，若上式仅当时才能成立，则称线性无关。由定义知，若函数线性相关，则存在不全为零的常数，使得 . 不妨设，有（常数）；反之，若常数，则线性无关。例如函数，由于知线性相关。

又如函数，其中为常数且，由于是x的函数不恒为常数，知线性无关。设是已知的关于x的函数，（2）称为二阶线性微分方程. 若，此时方程为（3）称为二阶线性齐次微分方程. 若，称方程（2）为二阶线性非齐次微分方程，且函数称为方程的自由项。关于二阶线性微分方程解的结构有以下定理定理1 设是方程（3）的两个解，则也是方程（3）的解。定理2 若是方程（3）的两个线性无关的特解，则是方程（3）的通解，其中是两个任意常数。定理1、2告诉我们求方程（3）通解的方法（1）设法求出方程（3）的两个特解；（2）验证线性无关；（3）则是方程（3）的通解. 定理3 设是方程（2）的一个特解，而是对应齐次方程（3）的通解，则是方程（2）的通解，其中是两个任意常数。总结：定理3告诉我们求方程（2）通解的方法（1）先求出方程（2）对应齐次方程（3）的通解Y（用定理1、2的方法）。（2）设法求方程（2）的一个特解。（3）是方程（2）的通解。定理4 设函数与分别是线性非齐次方程

第四章N阶线性微分方程

第四章 n阶线性微分方程 §4.1 n阶线性微分方程的一般理论一、教学目的与要求：（1）了解n阶线性微分方程与生产实践的关系；（2）掌握n阶线性微分方程的有关基本概念. （3）理解函数组在区间I上线性相关和线性无关的概念, 函数组的朗斯基(Wronski)行列式的定义. （4）掌握n阶线性齐次微分方程和n阶线性非齐次微分方程的通解结构定理及其证明. （5）掌握刘维尔(Liouvill e)公式及其应用. 二、教学重点，难点：（1）分析应用实例，建立满足相应问题的n阶线性微分方程. （2）掌握n阶线性微分方程的有关基本概念. （3）函数组在区间I上线性相关和线性无关的概念, 函数组的朗斯基(Wronski)行列式的定义, 以及它们之间的关系. （4）n阶线性齐次微分方程和n阶线性非齐次微分方程的通解结构定理及其证明. （5）刘维尔(Liouvill e)公式及其应用. 4.1.1 线性微分方程的一般概念 n阶线性微分方程在自然科学与工程技术中有着极其广泛的应用．在介绍线性方程的一般理论之前，先让我们来研究一个实际例子. 例1弹簧振动. 图 4-1 设一质量为m的物体B被系于挂在顶板上一弹簧的末端，(我们将假设弹簧的质量与这一物体的质量比较起来是小的可以忽略不计的)，现在来求该物体在外力扰动时的运动微分方程式．当物体B不受外力扰动时，重力被作用于物体B上的弹簧的弹力所平衡而处于静止位置，把物体B的静止位置取为坐标轴x的原点0，向下方向取为正向，如图4-1的(a).

若有一外力f (t )沿垂直方向作用在物体B 上，那么物体B 将离开静止位置0，如图4-1的(b )，记()x x t =表物体B 在t 时刻关于静止位置0的位移，于是22 ,dx d x dt dt 分别表示物体B 的速度和加速度．由牛顿第二定律F = ma , m 是物体B 的质量，22d x a dt =是物体B 位移的加速度，而F 是作用于物体B 上的合外力．这时，合外力F 由如下几部分构成． (1)弹簧的恢复力f 1，依虎克定律，弹簧恢复力f 1与物体B 的位移x 成正比，即 1f cx =- 式中比例常数c (>0)叫作弹性系数，根据所取的坐标系，恢复力f 1的方向与位移x 的方向相反，所以上式右端添一负号． (2)空气的阻力f 2，当速度不太大时，空气阻力f 2可取为与物体B 位移的速度成正比，亦即 2dx f dt μ =- 式中比例常数(0)μ>叫作阻尼系数，式中右边的负号，是由于阻力f 2的方向与物体B 的速度 dx dt 的方向相反． (3) 外力()f t 因此，我们得到 ()dx F cx f t dt μ =--+ 从而我们得物体B 在外力()f t 作用下的运动微分方程式 22()d x dx m cx f t dt dt μ ++= (4.1) 我们将在本章第4节，详细叙述方程(4.1)所描述的弹簧振动的性质．由于方程(4.1)是描述物体B 在外力f (t )经常作用下的运动，所以方程(4.1)亦称为阻尼强迫振动．例2 电振荡在很多无线电设备(如收音机和电视机)中,我们经常见到如图(4.2)的回路. 它由四个元件组成,即电源(设其电动势为E). 电阻R , 电感L 以及电容器C . 为了简单起见, 电容