二阶常微分方程的通解
二阶常微分方程的通解公式是：:y''+py'+qy=f(x)。
二次微分方程的通解
第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐 次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程: 方程 y ''+py '+qy =0 称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数. 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解. 我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx 代入方程 y ''+py '+qy =0 得 (r 2+pr +q )e rx =0. 由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx 就是微分方程的解. 特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y ''+py '+qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出. 特征方程的根与通解的关系: (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解. 这是因为, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解, 又 x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数. 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+=. (2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分
二阶微分方程解法
第六节二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程: 方程 y+py+qy=0 称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p、q均为常数. 如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y=C1y1+C2y2就是它的通解. 我们看看, 能否适当选取r, 使y=e rx满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y=e rx代入方程 y+py+qy=0 得 (r2+pr+q)e rx=0. 由此可见, 只要r满足代数方程r2+pr+q=0, 函数y=e rx就是微分方程的解. 特征方程: 方程r2+pr+q=0叫做微分方程y+py+qy=0的特征方程. 特征方程的两个根r1、r2可用公式 2 4 2 2,1 q p p r - ± + - =
求出. 特征方程的根与通解的关系: (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解. 这是因为, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解, 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数. 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+=. (2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解. 这是因为, x r e y 11=是方程的解, 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r , 所以x r xe y 12=也是方程的解, 且 x e xe y y x r x r ==1112不是常数. 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+=. (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=a ib 时, 函数y =e (a +ib )x 、y =e (a ib )x 是微分方程的两个 线性无关的复数形式的解. 函数y =e ax cos bx 、y =e ax sin bx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解. 函数y 1 e (a +ib )x 和y 2e (a ib )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得
二阶微分方程解法
第六节二阶常系数齐次线性微分方程之袁州冬雪创作 讲授目标：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，懂得二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 讲授重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 讲授过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程:方程 y+py+qy=0 称为二阶常系数齐次线性微分方程,其中p、q均为常数. 如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解,那末y=C1y1+C2y2就是它的通解. 我们看看, 可否适当选取r,使y=e rx知足二阶常系数齐次线性微分方程,为此将y=e rx代入方程 y+py+qy=0 得 (r2+pr+q)e rx=0. 由此可见,只要r知足代数方程r2+pr+q=0,函数y=e rx就是微分方程的解. 特征方程:方程r2+pr+q=0叫做微分方程y+py+qy=0的特征方程.特征方程的两个根r1、r2可用公式
求出. 特征方程的根与通解的关系: (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时,函数x r e y 1 1=、 x r e y 22=是方程的两个线性无关的解. 这是因为, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解,又 x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数. 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+=. (2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时,函数 x r e y 11=、 x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解. 这是因为,x r e y 1 1=是方程的解,又 0)()2(12 1111=++++=q pr r xe p r e x r x r , 所以x r xe y 1 2=也是方程的解,且x e xe y y x r x r ==1 11 2不是常数. 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+=. (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=a ib 时,函数y =e (a +ib )x 、 y =e (a ib )x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解.函数 y =e ax cos bx 、y =e ax sin bx 是微分方程的两个线性无关的实数形式 的解. 函数y 1 e (a +ib )x 和y 2e (a ib )x 都是方程的解 而由欧拉公式
二阶常系数微分方程解法
二阶常系数微分方程解法 微分方程是数学中一个非常重要的部分，它描述了很多现实生活和科学问题。其中，二阶常系数微分方程是应用广泛的一种类型的微分方程，其解法也相对较为简单，下面将详细介绍解这类微分方程的方法。 一、二阶常系数微分方程的定义和形式 二阶常系数微分方程指的是形如 y''+ay'+by=f(x) 的微分方程，其中 y、f(x)均为函数，a和b均为常数。这类微分方程中，y”表示 y 对自变量 x 的二次导数，y'表示 y 对 x 的一次导数。 二、特征方程法 解二阶常系数微分方程最常用的方法是特征方程法。根据 y=Ae^{mx} 这种形式，我们可以将 y" 和 y' 带入 y 中，得到以下等式： (Ae^{mx})''+a(Ae^{mx})'+bAe^{mx}=0 化简后可得： m^2+am+b=0 以上所得到的方程式称为特征方程，解特征方程的根 m_{1}, m_{2} 就可以得到二阶常系数微分方程的通解。 1、特征方程有两个不相等的实根 如果特征方程有两个不相等的实根 m_{1} 和 m_{2}，那么通解为： y=C_{1}e^{m_{1}x}+C_{2}e^{m_{2}x} 其中，C_1、C_2 为任意常数，分别由初始值条件所决定。 2、特征方程有两个相等的实根
如果特征方程有两个相等的实根 m，那么通解为： y=(C_1+C_2x)e^{mx} 其中，C_1、C_2 为任意常数。 3、特征方程有两个共轭复根 如果特征方程有两个共轭复根α+iβ 和α-iβ，那么通解为： y=e^{αx}(C_1\cos βx+C_2\sin βx) 其中，C_1、C_2为任意常数。 三、拉普拉斯变换法 除了特征方程法外，拉普拉斯变换法也可以用来求解二阶常系数微分方程。我 们将 y、y' 和 y" 进行拉普拉斯变换，得到： L\{y''\}=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0) L\{y'\}=sY(s)-y(0) L\{y\}=Y(s) 将以上三个式子带入二阶常系数微分方程中，消去 Y(s)，就可以得到： s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)+a(sY(s)-y(0))+bY(s)=F(s) 其中 F(s) 为右侧函数的拉普拉斯变换。解上述方程后，大概就可以求解出 Y(s)，之后再通过拉普拉斯反变换求解出 y(x)。 四、总结 解二阶常系数微分方程的特征方程法和拉普拉斯变换法是应用最广泛的两种方法，根据实际问题的不同，我们可以采用不同的方法去求解。掌握了这些方法，就可以相对轻松地解决二阶常系数微分方程的问题了。
二阶常微分方程的几种解法
二阶常系数非齐次线性微分方程的几种解法 一 公式解法 目前,国内采用的高等数学科书中, 求二阶常系数线性非奇次微分方程[1]: '''()y ay by f x ++=通解的一般方法是将其转化为对应的齐次方程的通阶与它本 身的特解之和。微分方程阶数越高, 相对于低阶的解法越难。那么二阶常系数齐 次微分方程是否可以降价求解呢? 事实上, 经过适当的变量代换可将二阶常系 数非齐次微分方程降为一阶微分方程求解。而由此产生的通解公式给出了该方程 通解的更一般的形式。 设二阶常系数线性非齐次方程为 '''()y ay by f x ++= (1) 这里b a 、都是常数。为了使上述方程能降阶, 考察相应的特征方程 20k ak b ++= (2) 对特征方程的根分三种情况来讨论。 1 若特征方程有两个相异实根12k 、k 。则方程(1) 可以写成 '''1212()()y k k y k k y f x --+= 即 '''212()()()y k y k y k y f x ---= 记'2z y k y =- , 则(1) 可降为一阶方程 '1()z k z f x -=由一阶线性方程的通解公 ()()[()]p x dx p x dx y e Q x e dx c -⎰ ⎰=+⎰[5] (3) 知其通解为 1130[()]x k x k t z e f t e dt c -=+⎰这里0()x h t dt ⎰表示积分之后的函数是以x 为自变量的。再由11230[()]x k x k t dy k y z e f t e dt c dx --==+⎰ 解得
12212()()340012 [(())]k k x x u k x k k u e y e e f t dt du c c k k --=++-⎰⎰ 应用分部积分法, 上式即为 1212212()()3400121212 1[()()]k k x k k x x x k x k t k t e e y e f t e dt f t e dt c c k k k k k k ----=-++---⎰⎰ 1122121200 121[()()]x x k x k t k x k t k k x e f t e dt e f t e dt c e c e k k --=-++-⎰⎰ (4) 2 若特征方程有重根k , 这时方程为 '''22()y ky k y f x -+=或'''()()()y ky k y ky f x ---= 由公式(3) 得到 '10[()]x kx kt y ky e e f t dt c --=+⎰ 再改写为 '10()x kx kx kt e y ke y e f t dt c ----=+⎰ 即10()()x kx kt d e y e f t dt c dx --=+⎰ 故120()()x kx kt kx kx y e x t e f t dt c xe c e -=-++⎰ (5) 例1 求解方程'''256x y y y xe -+= 解 这里2560k k -+= 的两个实根是2 , 3 2()x f x xe =.由公式(4) 得到方程的解是 332222321200x x x t t x t t x x y e e te dt e e te dt c e c e --=-++⎰⎰ 32321200x x x t x x x e te dt e tdt c e c e -=-++⎰⎰ 2 232132x x x x x e c e c e ⎡⎤=--++⎢⎥⎣⎦ 这里321c c =-. 例2 求解方程'''2ln x y y y e x -+=
二阶常系数线性微分方程的解法
二阶常系数线性微分方程的解法 一、二阶常系数线性微分方程的一般形式 二阶常系数线性微分方程的一般形式为： $$y''+ay'+by=f(x)$$ 其中，$a$和$b$为常数，$f(x)$为一般函数，$y$为未知函数。 二、特征方程 为了解二阶常系数线性微分方程，我们需要首先解决特征方程的问题。特征方程是由原方程的常系数得到的，它的一般形式为： $$r^2+ar+b=0$$ 关于特征方程的特征根有以下三种情况： （1）特征根为不相等实数：$r_1\ eq r_2$。 此时，原方程的通解为： $$y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}$$ （2）特征根为相等实数：$r_1=r_2=r$。 此时，原方程的通解为： $$y=c_1e^{rx}+c_2xe^{rx}$$ （3）特征根为共轭复数：$r_1=\\alpha+i\\beta$，$r_2=\\alpha-i\\beta$，其中$\\alpha$和$\\beta$均为实数，而且$\\beta\ eq 0$。
此时，原方程的通解为： $$y=e^{\\alpha x}(c_1\\cos\\beta x+c_2\\sin\\beta x)$$ 其中，$c_1$和$c_2$均为常数。 三、常数变易法 常数变易法是解非齐次线性微分方程的常用方法。它的基本思路是先假设非齐次项的解为一个函数的形式，然后将它代入原方程，得到关于未知函数的一个代数方程，通过求解这个方程，就能得到非齐次方程的一个特解。 通过常数变易法，设非齐次项的解为$y_p(x)=u(x)v(x)$，其中$u(x)$和$v(x)$均为一般函数。将$y_p(x)$代入原方程，得到： $$u''v+2u'v'+uv''+au'v+avu'=f(x)$$ 通过适当的选择$u(x)$和$v(x)$，可以让上式左边的部分消去。一般可以选择 $u(x)$和$v(x)$为特征方程的解，即$u(x)$和$v(x)$满足： $$u''+au'+bu=0$$ $$v''+av'+bv=0$$ 此时，如果特征根为不相等实数或者共轭复数，$u(x)$和$v(x)$可以分别取不同的解，而如果特征根为相等实数，$u(x)$和$v(x)$需要取不同的线性无关解。 再考虑右边的$f(x)$，它是一般函数，所以我们需要找到一个特殊的函数，使得 它为$f(x)$的一个特解。这个特殊的函数称为待定系数。一般可以根据$f(x)$的类型，选择相应的待定系数。以下列举几种情况： （1）$f(x)=e^{kx}$，可以取待定系数为$y_p(x)=Ae^{kx}$，其中$A$为待定 常数。 （2）$f(x)=\\sin kx$或$\\cos kx$，可以取待定系数为$y_p(x)=A\\sin kx+B\\cos kx$，其中$A$和$B$均为待定常数。
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明 来源：文都教育 在考研数学中，微分方程是一个重要的章节，每年必考，其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分，它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的基础，但很多同学对其求解公式不是十分理解，做题时也感到有些困惑，为了帮助大家对其通解公式有更深的理解和更牢固的掌握，文都网校的蔡老师下面对它们进行一些分析和简捷的证明，供考研的朋友们学习参考。 一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析 通解公式：设0y py qy '''++=，,p q 为常数，特征方程02=++q p λλ的特征根为 12,λλ，则 1）当12λλ≠且为实数时，通解为1212x x y C e C e λλ=+； 2）当12λλ=且为实数时，通解为1112x x y C e C xe λλ=+； ~ 3）当12,i λλαβ=±时，通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+； 证：若02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1212(),p q λλλλ=-+ =，将其代入方程0y py qy '''++=中得1212()y py qy y y y λλλλ''''''++=-++= 212212()()()0y y y y y y y y λλλλλλ'''''''=---=---=， 令2z y y λ'=-，则11110x dz z z z z c e dx λλλ'-=⇒ =⇒=，于是121x y y c e λλ'-=，由一阶微分方程的通解公式得 221212()()()1212[][]dx dx x x x y e c e e dx C e c e dx C λλλλλλ----⎰⎰=+=+⎰⎰ (1)
二阶常微分方程解
第七节 二阶常系数线性微分方程 的解法 在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题，关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐次方程的求解方法。 §7.1 二阶常系数线性齐次方程及其求解方法 设给定一常系数二阶线性齐次方程为 22dx y d ＋p dx dy ＋qy ＝0 (7.1) 其中p 、q 是常数，由上节定理二知，要求方程(7.1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y 1,y ２就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。 我们先分析方程(7.1)可能具有什么形式的特解， 从方程的形式上来看，它的特点是22dx y d ，dx dy ，y 各乘 以常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数y ，
其22dx y d ，dx dy ，y 之间只相差一个常数因子，这样的函数有可能是方程(7.1)的特解，在初等函数中，指数函数e rx ，符合上述要求，于是我们令 y ＝e rx (其中r 为待定常数)来试解 将y ＝e rx ，dx dy ＝re rx ，22 dx y d ＝r 2e rx 代入方程(7.1) 得 r 2e rx ＋pre rx ＋qe rx ＝0 或 e rx （r 2＋pr ＋q ）＝0 因为e rx ≠0，故得 r 2 ＋pr ＋q ＝0 由此可见，若r 是二次方程 r 2＋pr ＋q ＝0 (7.2) 的根，那么e rx 就是方程(7.1)的特解，于是方程(7.1)的求解问题，就转化为求代数方程(7.2)的根问题。称(7.2)式为微分方程(7.1)的特征方程。 特征方程(7.2)是一个以r 为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根r １，r 2，称为特征根，由代数知识，特征根r 1，r 2有三种可能的情况，下面我们分别进行讨论。 (1)若特证方程(7.2)有两个不相等的实根r １，r 2， 此时e r １x ，e r2x 是方程(7.1)的两个特解。