一阶常系数微分方程的通解
一阶常系数微分方程的通解
一阶常系数微分方程是一类重要的微分方程，它受到了许多数学家、工程师和物理学家的广泛关注。一阶常系数微分方程的形式如下：
dy/dx+py= q (1)
其中p, q 是常数，y 是函数，x 是变量。解一阶常系数微分方程的通解可表示为：
y（x）=e^(px)+∫qe^(px)dx
首先，我们可以用微积分法将等式 (1) 变换为：
dy/e^(px)= qdx
因此，可以用积分法求出通解中一部分的积分式：
∫qe^(px)dx=q/(p+0)∫e^(px)dx=q/p∫e^(px)dx
再将上一步的结果代入积分式中，我们就可以求出原通解如下：
y（x）=Ce^(px)+q/p∫e^(px)dx
其中C为任意常数。
从上面的结果可以看出，一阶常系数微分方程的通解是由一个指数形式和一个积分式组成的。一阶常系数微分方程广泛应用于物理学、工程学和数学中。例如，它用于描述物质、波动等许多变化的情况，帮助我们精确理解物理现象，解决实际问题，非常实用。
总而言之，一阶常系数微分方程的通解是一种更精确的方法来描述变化，并且它可以用于解决具体的问题。它的通用解表示为一个指数形式加上一个积分式，给出一种更精确的理解视角。
常见的常微分方程的一般解法
常见的常微分方程的一般解法总结了常见常微分方程的通解。 如无意外，本文将不包括解的推导过程。 常微分方程，我们一般可以将其归纳为如下n类： 1.可分离变量的微分方程（一阶） 2.一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶），包含伯努 利 3.二阶常系数微分方程（二阶） 4.高阶常系数微分方程（n阶），包含欧拉 1.可分离变量的微分方程（一阶） 这类微分方程可以变形成如下形式： f ( x ) d x = g ( y ) d y f(x)dx=g(y)dy f(x)dx=g(y)dy 函数可以通过同时整合两边来解决。难点主要在于不定积分，不定积分是最简单的微分方程。 p.s. 某些方程看似不可分离变量，但是经过换元之后，其实还是可分离变量的，不要被这种方程迷惑。 2.一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶） 形如 d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) dxdy+P(x)y=Q(x) 的方程叫做一阶线性微分方程，若 Q ( x ) Q(x) Q(x)为0，则方程齐次，否则称为非齐次。
解法：直接套公式： y ( x ) = e − ∫ P ( x ) d x ( ∫ e ∫ P ( x ) d x Q ( x ) d x + C ) y(x)=e^{- \int{P(x)}dx}(\int{e^{\int{P(x)dx}}Q(x)}dx+C) y(x)=e−∫P(x)dx(∫e∫P(x)dxQ(x)dx+C) 多套几遍熟练就好。 伯努利方程 形如 d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) y n , n ∈R , n ≠ 1 \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n},n\in\mathbb{R},n\ne1 dxdy+P(x)y=Q(x)yn,n∈R,n=1 的方程称为伯努利方程，这种方程可以通过以下步骤化为一阶线性微分方程： y − n d y d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) y^{- n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x) y−ndxdy +P(x)y1−n=Q(x) 1 1 − n ⋅ d y 1 − n d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) \frac{1}{1-n}·\frac{dy^{1-n}}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x) 1−n1⋅dxdy1−n+P(x)y1−n=Q(x) 令 y 1 − n = u y^{1-n}=u y1−n=u，方程两边同时乘以 1 − n 1-n 1−n，得到 d u d x + ( 1 − n ) P ( x ) u = ( 1 − n ) Q ( x ) \frac{du}{dx}+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x) dxdu +(1−n)P(x)u=(1−n)Q(x)
一阶微分方程通解的方法
一阶微分方程通解的方法 一阶微分方程通解的方法 一阶微分方程通解是数学分析中最基本的内容之一。一般来说，一阶微分方程通常可以用积分的方法解决。 1.积分 首先，我们可以用积分的方法来求解一阶微分方程。积分可以用来求解不同微分方程的通解。例如，一阶线性微分方程可以通过下列方法求解： 设y=f(x)是一阶线性微分方程的解，则有： $$frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$$ 则有： $$y=e^{int p(x) dx} int q(x)e^{-int p(x)dx}dx+C$$ 其中C是任意常数。 2.变量变换 对于一些形式简单的一阶微分方程，我们可以通过变量变换来求解。变量变换是指把原来的微分方程中的变量，换成某种新的变量，从而使得微分方程的形式变得简单，从而可以以更简单的方法求解。 例如，设y=f(x)是类型为： $$frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$$ 的一阶线性微分方程的解，则可以采用变量变换的形式进行求解：设$tau=int p(x)dx$，则有： $$frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$$
变形为： $$frac{dy}{dtau}+y=q(x)e^{-tau}$$ 则有： $$y=e^{tau} int q(x)e^{-tau}dtau+C$$ 其中C为任意常数。 3.特征方程 另一种常用的一阶微分方程求解方法是特征方程法。特征方程法是指利用特征方程的特性来求解一阶微分方程。特征方程法用于求解线性和非线性的一阶微分方程。特征方程法的基本步骤如下：（1）把原微分方程变形为特征方程； （2）求解特征方程的根； （3）根据特征方程的根来求解原微分方程的解。 例如，设y=f(x)是类型为： $$frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$$ 的一阶线性微分方程的解，则可以采用特征方程的形式进行求解：设特征方程为： $$lambda+p(x)=0$$ 则有： $$lambda=-p(x) Rightarrow y=C exp(-int p(x) dx) int q(x)e^{int p(x)dx}dx+C$$ 其中C是任意常数。 以上就是一阶微分方程的通解的方法。以上三种方法可以用来求
一阶常微分方程习题
一阶常微分方程习题（一） 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x+c y=e+e=cex 另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e. 2. ydx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：ydx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=| )1(|ln 1+x c 3．dx dy =y x xy y 32 1++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 2 1+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x)(1+y)=cx 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有：
-1 12++u u du=x 1dx ln(u+1)x=c-2arctgu 即 ln(y+x)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11 u - du=sgnx x 1dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e 2 e-3e=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln x y 令x y =u ,则dx dy =u+ x dx du u+ x dx du =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln x y =cy. 10. dx dy =e
一阶常微分方程的解法
一阶常微分方程的解法 微积分理论中，微分方程是一个非常重要的分支，它们通常用来描述一些变化或进化过程中的物理现象、生物现象或经济现象等等。其中，一阶常微分方程是微分方程中最简单的一类。在这篇文章中，我们将介绍一阶常微分方程的求解方法。 一、分离变量法 分离变量法是求解一阶常微分方程最简单也是最常用的方法。这个方法的基本思想是将微分方程中的变量分开，并将每个变量移到不同的方程两侧，最终得到可以分别积分的两个方程。具体来说，如果给定一个一阶常微分方程 $$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$ 我们可以将它改写为 $$dy=f(x,y)dx$$ 然后对两边同时积分，得到
$$\int dy=\int f(x,y)dx+C$$ 其中C为常数。 这个方法的局限性在于只适用于一些特定的微分方程，例如y'=ky这类的方程就可以很容易地用这个方法求解。 举个例子，考虑方程 $$\frac{dy}{dx}=x^2y$$ 我们将它改写为 $$\frac{dy}{y}=x^2dx$$ 然后对两边同时积分，得到 $$\ln|y|=\frac{1}{3}x^3+C$$
最终解为 $$y=Ce^{\frac{1}{3}x^3}$$ 其中C为常数。 二、齐次方程 如果方程中的所有项均能够写成y和x的某个函数的乘积，那 么这个方程就是齐次方程。对于这类方程，我们可以利用变量替 换来把它转化为分离变量的形式。具体来说，如果给定一个一阶 常微分方程 $$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$$ 我们可以进行变量替换，令y=ux，其中u是关于x的未知函数。因此， $$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$$
一阶线性微分方程的解法
一阶线性微分方程的解法 一、引言 微分方程是数学中的一种重要工具，用于描述自然界中的各种变化规律。其中，一阶线性微分方程是最基本、最常见的微分方程类型之一。本文旨在介绍一阶线性微分方程的解法，包括常数变易法和常系数法两种方法。 二、常数变易法 常数变易法是一种求解一阶线性非齐次微分方程的常用方法。设待解方程为： $$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$ 其中，$P(x)$和$Q(x)$是已知函数，$y$是未知函数。 1. 求解齐次方程 将方程改写为： $$\frac{dy}{dx}+P(x)y=0$$ 解这个方程得到齐次方程的通解$y_h$。 2. 特解的猜测 对于非齐次方程，我们猜测其特解为$y_p=u(x)y_h$，其中$u(x)$是待定函数。 3. 求解待定函数
将$y_p$代入原方程，解得待定函数$u(x)$。 4. 得到通解 将齐次方程的通解$y_h$与特解$y_p$相加，得到原方程的通解 $y=y_h+y_p$。 三、常系数法 对于具有形如$\frac{dy}{dx}+ay=b$的一阶线性非齐次微分方程，我们可以使用常系数法进行求解。 1. 求解齐次方程 将方程改写为$\frac{dy}{dx}+ay=0$，解这个方程得到齐次方程的通解$y_h$。 2. 特解的猜测 对于非齐次方程，我们猜测其特解为$y_p=C$，其中$C$是常数。 3. 求解待定常数 将$y_p$代入原方程，解得待定常数$C$。 4. 得到通解 将齐次方程的通解$y_h$与特解$y_p$相加，得到原方程的通解 $y=y_h+y_p$。 四、实例分析
现以一个具体的例子来说明一阶线性微分方程的解法。 考虑方程$\frac{dy}{dx}+2xy=x^2$，我们首先求解齐次方程 $\frac{dy}{dx}+2xy=0$，得到齐次方程的通解$y_h=Ce^{-x^2}$，其中$C$为常数。 然后猜测非齐次方程的特解为$y_p=Ax^2$，将其代入原方程，得到待定常数$A=\frac{1}{2}$。 因此，原方程的通解为$y=Ce^{-x^2}+\frac{1}{2}x^2$。 五、总结 本文介绍了一阶线性微分方程的两种解法：常数变易法和常系数法。在使用这两种方法求解方程时，首先需要求解齐次方程，然后再根据 特解的形式进行猜测，并通过待定常数或待定函数的求解得到特解。 最后，将齐次方程的通解与特解相加，得到原方程的通解。这些方法 为解决一阶线性微分方程提供了有效的途径，对于深入理解微分方程 及其应用具有重要意义。
一阶线性微分方程的解法
一阶线性微分方程的解法 在数学中，一阶线性微分方程是指形如$y'+p(x)y=q(x)$的微分方程，其中$p(x)$和$q(x)$是已知的函数，$y$是未知函数。这种微分方程的解法方法非常多样，这篇文章将会介绍三种较为常见的解法方法。 方法一：分离变量法 分离变量法是解一阶微分方程最基础的方法，它的核心思想是将微分方程中的未知函数和自变量分别放到方程两侧，并将所有包含未知函数的项移到一侧，包含自变量的项移到另一侧，然后对方程两侧进行积分即可得到解。 例如，对于微分方程$y'+p(x)y=q(x)$，我们可以将其改写为$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$，然后将$y$和$q(x)$的项分别移到方程两侧，得到$\frac{dy}{dx}=q(x)-p(x)y$。然后对两侧同时积分，得到$$y=\frac{1}{p(x)}\left[c+\int p(x)q(x)dx\right]$$ 其中$c$是积分常数。
需要注意的是，上式中$p(x)$不能为零，否则分母为零无法得 到有意义的解。此外，在$y$的通解中，$c$是任意常数，可以通 过初始条件来确定。 方法二：常数变易法 常数变易法是一种适用于非齐次线性微分方程的解法方法。它 的思想是假设未知函数$y$可以表示为其对应的齐次方程的通解 $y_c$和一个特解$y_p$的和，即$y=y_c+y_p$，然后通过对 $y_p$的猜测来求解$y_p$，并将其代入原方程。 对于一阶非齐次线性微分方程$y'+p(x)y=q(x)$，对应的齐次方 程是$y'+p(x)y=0$，它的通解为$y_c=ce^{-\int p(x)dx}$。我们假设 特解的形式为$y_p=u(x)e^{-\int p(x)dx}$，其中$u(x)$是待求函数。将$y_p$带入原方程，得到$$u'(x)=q(x)e^{\int p(x)dx}$$ 我们可以 通过对$u'(x)$进行积分来求出$u(x)$，从而求出特解$y_p$，最终 方程的通解即为$y_c+y_p$。 方法三：常系数齐次线性微分方程法
一阶常系数偏微分方程解析解
一阶常系数偏微分方程解析解 一阶常系数偏微分方程解析解是指采用初始值或边界条件，利用某些恒定系数来求解常系数偏微分方程的数学解法。它是微分方程研究中存在时间演化的实际问题的一种基本解法。 一阶常系数偏微分方程的解析解的理论和计算是非常复杂的，但由它可以得到一个有限的函数系列，可以用来找出特定的方程的所有解。一阶常系数偏微分方程解析解可以分为两类：一类是解析解，另一类是特殊解。 解析解法主要是利用常数系数求解方程，它们可以根据一定的方程、边界条件或初值条件给出解析解。解析解可能是数学解，也可以是拟合解，因此它是一种复杂又模糊的概念。解析解有两个分支：求解方程的一般解，及求解方程的特殊解。 一般解是指根据一般方程的定义来求解的解，它包括特殊解的一般形式。一类特殊解就是一阶常系数偏微分方程的通解，它代表方程有无穷多解。它通常定义为一类关于一定常数的（这些常数满足方程的特征方程）解的积分形式。另一类特殊解是特解，它是方程的特定解。特解的求解往往是特殊的类型，要求满足特殊的初值条件或边界条件。 解析解法与其他解法相比，具有独特的优势，它能够快速获得解的全部信息，从而快速了解问题的演化过程，以及更直观地理解问题的本质。 此外，解析解也是一种精确而有效的解法，它可以准确地计算出
某一时刻问题的状态值，而且不需要大量的计算量。因此，对于已知初值、边界条件的函数，解析解も一种非常有效的工具，可以帮助我们快速准确获得解的所有信息。 总之，一阶常系数偏微分方程解析解是研究微分方程中存在时间演化问题的基本解法，其优点是快速而准确地求解方程，可以准确计算问题的状态值，它能够很快求出定义中各常数系数的值，从而可以快速求出各种特殊解，这些特殊解可以求出问题的全部解，并可以更加直观地掌握问题的演化趋势。
一阶常微分方程解法总结
一阶常微分方程解法总结 1.可分离变量法： 可分离变量法适用于能够将微分方程分离成自变量和因变量的乘积形 式的情况。具体步骤如下： （1）将方程两边分离变量； （2）对分离后的变量进行积分，得到两边的原函数； （3）解得的原函数通常包含一个未知常数c； （4）如果已知初始条件，代入原函数求解常数c。 2.齐次方程法： 齐次方程法适用于能够将微分方程转化成齐次方程的情况。具体步骤 如下： （1）将方程化为齐次形式，即将自变量和因变量分别除以一些函数； （2）引入新的未知函数y/x=u，并对其求导； （3）将方程转化为u的微分方程，通常是可分离变量方程； （4）解出u的方程后，再回代u，得到原方程的解。 3.线性方程法： 线性方程法适用于形如y'+p(x)y=q(x)的一阶常微分方程，其中p(x) 和q(x)是已知函数。具体步骤如下： （1）确定常系数线性微分方程形式，即观察到y'+p(x)y=q(x)形式 的方程；
（2）找到方程的积分因子，通常是乘以一个指数函数，使得方程变 得可积分； （3）将方程两边乘以积分因子，并利用乘积法则进行变换； （4）对两边进行积分，并解出原方程的解。 4.变量代换法： 变量代换法是通过引入新的未知函数来将微分方程转化为更简单的形式。具体步骤如下： （1）通过变量代换，将微分方程转化为新的未知函数和新的自变量； （2）求出新的微分方程的解； （3）将新的解代回原来的未知函数和自变量，得到原方程的解。 5.恰当微分方程法： 恰当微分方程法适用于能够通过乘以适当的积分因子使得微分方程成 为恰当微分方程的情况。具体步骤如下： （1）判断初始微分方程是否是恰当微分方程； （2）计算方程的积分因子； （3）乘方程的积分因子，并判断是否为恰当微分方程； （4）解恰当微分方程。 以上是一阶常微分方程解法的五种常用方法的总结。对于不同类型的 微分方程，选择合适的解法可以更好地求解方程，但也需要多加练习和实践，熟练掌握方程的转化和求解技巧。
一阶常微分方程
一阶常微分方程 一阶常微分方程（Ordinary Differential Equation，简称ODE）是一类重要的数学模型，它可以用来描述大量的现实世界的物理系统或者生物系统。它是定义在有界区间上的可微函数的一阶求导方程。其形式为：$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$ 其中，$y=y(x)$，表示随着$x$变化，$y$也会随之变化；而$f(x, y)$则表示$y$对$x$的变化率，即$y$的导数。 一阶常微分方程可以分为两类：一类是线性方程，其形式为： $$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$ 其中$P(x)$和$Q(x)$是有限可微函数。这类方程被称为常系数线性方程，它们的解可以表示为： $$y=e^{-\int P(x)dx}\left[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + c \right]$$ 还有一类是非线性方程，其形式为： $$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$ 其中$f(x,y)$是有限可微函数。这类方程的解不能通过积分求得，只能通过数值方法求解，如Euler法、龙格库塔法和Runge-Kutta法等。
一阶常微分方程可以用来描述很多现实世界的物理系统或者生物系统。例如，可以用一阶常微分方程描述悬挂体的平衡性，可以用来描述水的流动，也可以用来描述人类的行为。 一阶常微分方程的解方法也很多。例如，可以使用分析解法，如积分法、变分法、Laplace变换法等；也可以使用数值解法，如Euler法、龙格库塔法和Runge-Kutta法等。 一阶常微分方程在现代科学技术中有着重要的作用，它可以用来描述和分析现实世界各种系统的行为，从而更好地分析和控制这些系统。
一阶线性微分方程的求解方法
一阶线性微分方程的求解方法微分方程是数学中基础的一部分，也是理论和应用有机结合的工具。其中，一阶线性微分方程在应用中非常常见。本文将介绍一阶线性微分方程的求解方法。 1. 定义和形式 一阶线性微分方程具有以下形式： $$ \frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x) $$ 其中，$y$是未知函数，$p(x)$和$q(x)$是已知函数，$x$是自变量，$y(x)$的一阶导数$\frac{dy}{dx}$表示对$y$的变化率。 2. 常数变易法 一阶线性微分方程的求解方法之一是使用常数变易法。我们把$y(x)$表示成$y=C\cdot u(x)$的形式，其中$C$是任意常数， $u(x)$是一个待求的函数。我们将它代入微分方程中，得到：
$$ C \cdot \frac{du}{dx} + p(x)C\cdot u(x) = q(x) $$ 这是一个一阶常系数齐次线性微分方程，可以使用常数变易法 求解。首先，我们将方程转化为标准形式： $$ \frac{du}{dx} + p(x)u(x) = \frac{q(x)}{C} $$ 然后，我们求解齐次方程： $$ \frac{du}{dx} + p(x)u(x) = 0 $$ 它的通解为$u(x)=Ce^{-\int p(x)dx}$，其中$C$是任意常数。接 下来，我们要找到一个特解，使得它满足非齐次方程。我们设一 个满足条件的特解$u_{p}(x)$，将它代入非齐次方程中，得到：$$ \frac{du_{p}}{dx} + p(x)u_{p}(x) = \frac{q(x)}{C} $$ 我们可以使用常数变易法求解它的特解，方法和齐次方程相同。最后，我们将通解和特解相加，就可以得到非齐次方程的通解：
一阶微分方程的通解
一阶微分方程的通解 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢§2一阶微分方程的初等解法 第二章一阶微分方程的初等解法 §变量分离方程与变量替换§线性微分方程与常数变易法§恰当微分方程与积分因子一阶微分方程的初等解法：将微分方程的求解问题化为积分问题。 §变量分离方程与变量替换 人口模型 dt 求解即 当是一个解. dy (2)当两边积分得ln y 故 一、变量分离方程 dy 1.变量分离方程的形式 f ( x)是x的连续函数是y的连续函数.
dy 2. 变量分离方程的解法先分离变量当 再两边积分 ( x )dx dy G( y) F (P31例1) 例1 求解方程 2 y y 解: 先分离变量 dy 再两边积分, 2 说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解. 或 例2 求解方程解: 先分离变量 再两边积分, 2 dy
dx 2 解得 故通解为其中c为任意正常数. 例3 求解方程 例2) 解得 3 即 即 3 3 3 解: (1)当是一个解. (a 当 先分离变量, y x dx 再两边积分 解得 即 ( k为任意正常数) 综上, 通解为y a e
为任意常数) 故通解为其中c为任意常数. ( 此式含分离变量时丢失的解y = 0 ) (P33例4) 例4 求解方程 ( x ) y, 其中P ( x )是x 的连续函数. 解: (1)当是一个解. dy (2)当 先分离变量 再两边积分, 解得ln y dy (P42习题1(2)) 练习解方程y2dx 并求满足初值条件 的特解. 解当 0 : 是一个解. 再两边积分解得 即 为任意常数) 1 综上, 通解为 为任意常数), 另有解
一阶微分方程的通解
一阶微分方程的通解 §2一阶微分方程的初等解法第二章一阶微分方程的初等解法§2.1 变量分离方程与变量替换§2.2 线性微分方程与常数变易法§2.3 恰当微分方程与积分因子一阶微分方程的初等解法：将微分方程的求解问题化为积分问题。 §2.1 变量分离方程与变量替换 dN rN dy N ( P 5人口模型) dt 求解d dt rN即dx ay . N ( t0 ) N 0 (1)当y 0 : 是一个解. dy (2)当y 0: y adx , 两边积分得ln y ax c 故y Ceax一、变量分离方程dy 1.变量分离方程的形式d x f ( x ) ( y ).f ( x)是x的连续函数,( y)是y的连续函数.dy 2. 变量分离方程的解法先分离变量, ( y ) f ( x )dx . 当 ( y ) 0再两边积分, ( y ) f ( x )dxdyG( y)F ( x) C(P31例1) 例1 求解方程dx 3 x 2 yy 解: 先分离变量, dy 3 x 2 dxdy再两边积分,y dy 3 x dx 12说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解. 或ln y x 3 ln C例2 求解方程dx x y. 解: 先分离变量, ydy xdx再两边积分,2dy ydy xdx2解得1 y2 1 x2 1 c 2 2 2故通解为x y c , 其中c为任意正常数.dy y ( c dx ) 例3 求解方程dx x (a by ) , x 0 y 0. (P31例2)解得ln y x c13即y e x c1 3 e c1 e x 即y c ex333解: (1)当y 0 : 是一个解. (a by )dy ( c dx ) dx (2)当y 0 : 先分离变量, y xdx 再两边积分, y dy c x dx 解得a ln y by c ln x dx k 即y a
一阶线性常系数微分方程求解
第5章电容和电感 讲授板书 1、掌握一阶线性微分方程的形式，熟练掌握其解法 2、掌握利用变量代换解微分方程的方法； 一阶线性微分方程的形式,及解的形式，利用变量代换解微分方程一阶线性微分方程通解的形式，利用变量代换解微分方程 1. 组织教学 5分钟3. 讲授新课70分钟 2. 复习旧课5分钟 一阶电路 4.巩固新课5分钟 5.布置作业5分钟
一、学时：2 二、班级：06电气工程（本）/06数控技术（本） 三、教学内容： [讲授新课]： 5.3 一阶线性方程 1、定义 方程) ()(x Q y x P dx dy =+ （1）称为一阶线性微分方程。 特点 关于未知函数y 及其导数'y 是一次的。 若0)(≡x Q ，称（1）为齐次的； 若0 )(≠x Q ，称（1）为非齐次的。 如：（1）2 22'x xe xy y -=+ （2） 2 5 )1(12'+=+-x x y y 2、解法 当0)(≡x Q 时，方程（1）为可分离变量的微分方程。 当0)(≠x Q 时，为求其解首先把)(x Q 换为0，即 0)(=+y x P dx dy （2） 称为对应于（1）的齐次微分方程，求得其解 ⎰=-dx x P Ce y )( 为求（1）的解，利用常数变易法，用)(x u 代替C ，即⎰=-dx x P e x u y )()( 于是， )]([')()(x P ue e u dx dy dx x P dx x P -⎰+⎰=-- 代入（1），得 C dx e x Q u dx x P +⎰ =⎰)()( 故 ) )(()()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-。 （3）