一阶常微分方程的通解和特解
第三节 一阶线性微分方程
sin 2 y e cos y dy dy C
sin y
dy C
sin y
)C
e sin y [2 sin ye sin y 2 e sin y cos y dy C ]
2(sin y 1) Ce
sin y
将 x 1 , y 0 代入上式 , 得 C 3 ,
x0 P ( x )dx x x0 P ( x )dx ye dx y 0 . x0 Q ( x ) e
x x
小结
1.齐次线性微分方程
y P ( x ) y 0
y Ce P ( x )dx ;
2. 非齐次线性微分方程 (1) 公式
所求特解为 x 2(sin y 1) 3e sin y .
例6 如图所示，平行于 y 轴的动直线被曲 线 y f ( x ) (0 f ( x ) x 3 )与 y x 3 ( x 0) 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x ).
解
1 1 y ln ydy C ln y
1 1 2 2 (ln y ) C ln y
( x cos y sin 2 y ) y 1 例5 求特解 y x 1 0
1 解 将方程变形 , 得 dy , dx x cos y sin 2 y
y P ( x ) y Q ( x )
y e P ( x )dx [ Q( x ) e P ( x )dx dx C ];
P ( x )dx
( 2)令 y u( x )e
用常数变易法求解.
一阶微分方程的通解的方法
一阶微分方程的通解的方法
嘿，一阶微分方程那可是数学里超重要的家伙！想求一阶微分方程的通解，首先得看它是啥类型。
要是可分离变量的，那就像拆礼物一样把变量分开，两边积分就搞定啦！这简单得就像走平路，一路顺畅。
可别忘了确定积分常数哦，不然就像建房子没打地基，那可不行。
那齐次方程呢？通过巧妙的变量代换，把它变成可分离变量的形式。
这就好比变魔术，一下子就把难题变简单了。
在这个过程中，可不能粗心大意，一步错步步错呀！
线性方程也有办法。
找到积分因子，就像找到了一把万能钥匙，能打开通解的大门。
这多棒啊！要是找错了积分因子，那可就麻烦啦，就像在黑夜里迷路一样。
说到安全性和稳定性，只要按照正确的方法步骤来，就不会出大问题。
就像开车遵守交通规则，一路平安。
可要是瞎搞乱来，那肯定得出乱子。
一阶微分方程的应用场景那可多了去了。
在物理学中，比如研究物体的运动，它能帮我们搞清楚物体的速度和位置随时间的变化。
这多厉害啊！在经济学中，也能用来分析市场的变化。
简直就是个万能工具。
优势也很明显呀！它能把复杂的问题简单化，让我们更容易理解和解决问题。
就像有了一把锋利的刀，能轻松切开难题这个大西瓜。
举个实际案例吧！比如我们想知道一个物体在重力作用下的自由落体运动。
用一阶微分方程就能求出物体的速度和位置随时间的变化。
这效果多好啊！能让我们准确地预测物体的运动轨迹。
一阶微分方程就是这么牛！求通解的方法简单又实用，应用场景广泛，优势明显。
大家一定要好好掌握，让它成为我们解决问题的得力助手。
一阶线性微分方程及其解法2
f ( xy , x y)
2 2
x 2
2
xy
2
xy 2 f ( x, y ) x y 2 0
x2 y2 0 . x2 y2 0
1 , x 1 2 因此方程满足初始条件的特解为
由y
0得 C
1 1 1 y 2 x 2x2
2
y 这是齐次方程， 令 u ,即 y xu x
故 代入得：
dy du ux dx dx
du u ux dx u 1
2
这是关于变量u与x的可分离变量方程， 进行分离变量整理，并两边积分，
得：
1 1 dx 1 du x u
u ln|u| ln|x| ln|c
y 3 x y
其中 P ( x ) 1 ,
dx
Q( x ) 3 x
e x 3 xe x dx C ex
x
3 xde
dxdx C 3x e
C
e x 3( xe x e x dx) C
k t e m
k t g e m dt
k k t t m e m g d (e m ) C C k
k t e m (g
m k
k t em
mg Ce C) k
k t m
由 v t 0 0 得
1 1 C 1 x2 2 xC 2 2 x x x 2
1 , x 1 2 因此方程满足初始条件的特解为
由y
0得 C
常微分方程解法
常微分方程解法常微分方程是数学中的一门重要分支，研究描述自然界和社会现象中变化规律的方程。
解常微分方程的方法多种多样，下面将介绍常见的几种解法。
一、分离变量法分离变量法适用于形如dy/dx=f(x)g(y)的一阶常微分方程。
解题步骤如下：1. 将方程写成dy/g(y)=f(x)dx的形式，将变量分离。
2. 对两边同时积分，得到∫dy/g(y)=∫f(x)dx。
3. 左边的积分可以通过换元或者使用常见函数的积分公式进行计算。
4. 右边的积分可以通过与左边的积分结果进行比较来判断是否需要使用特殊的积分技巧。
5. 对左右两边同时积分后，解出方程中的积分常数。
6. 将积分常数代回原方程中，得到完整的解。
二、常数变易法常数变易法适用于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的一阶常微分方程。
解题步骤如下：1. 先求出对应的齐次方程dy/dx+p(x)y=0的通解。
2. 假设原方程的特解为y=u(x)v(x)，其中u(x)是一个待定的函数，v(x)是齐次方程的通解。
3. 将y=u(x)v(x)代入原方程中，整理后得到关于u(x)和v(x)的方程。
4. 解出关于u(x)的方程，得到u(x)的值。
5. 将u(x)的值代入v(x)中，得到特解。
6. 特解与齐次方程的通解相加，即得到原方程的完整解。
三、二阶齐次线性方程解法二阶齐次线性方程的一般形式为d^2y/dx^2+p(x)dy/dx+q(x)y=0。
解题步骤如下：1. 求解对应的齐次方程d^2y/dx^2+p(x)dy/dx+q(x)y=0的特征方程r^2+p(x)r+q(x)=0，其中r为未知数。
2. 求解特征方程得到两个不同的根r1和r2。
3. 根据r1和r2的值，得到齐次方程的通解y=c1e^r1x+c2e^r2x，其中c1、c2为任意常数。
四、变量替换法变量替换法适用于形如dy/dx=f(y/x)的一阶常微分方程。
解题步骤如下：1. 进行变量替换，令u=y/x，即y=ux。
一阶常微分方程
Chapter 1 First-order ordinary differential equations (ODE)一階常微分方程1.1 基本概念()x f y =或()t f y =，y 是x 或t 的函數，y 是因變數(dependent variable )，x 或t 是自變數(independent variable )◎ 微分方程(differential equations)：一方程式包含有因變數y 關於自變數x 或t的導數(derivatives)y y ′ ,&或微分(differentials)dy 。
◎ 常微分方程(ordinary differential equations, ODE)：一微分方程包含有一個或數個因變數（通常為()x y ）關於僅有一個自變數x 的導數。
Ex. 222)2(2 ,09 ,cos y x y e y y x y y x y x +=′′+′′′′=+′′=′◎ 偏微分方程(partial differential equations, PDE)：一微分方程包含至少有一個因變數關於兩個以上自變數的部分導數。
Ex. 02222=∂∂+∂∂yux u◎ 微分方程的階數：在微分方程式中所出現最高階導數的階數。
◎ 線性微分方程：在微分方程式中所出現的因變數因變數因變數或其導數僅有一次式(first degree)而無二次以上的乘積（自變數可以有二次以上的乘積）。
Ex. x y y x y cos 24=+′+′′ 因變數：y ，自變數：x ，二階線性常微分方程 x y y y y cos 24=+′+′′ 因變數：y ，自變數：x ，二階非線性常微分方程 222)2(2 y x y e y y x x +=′′+′′′′ 因變數：y ，自變數：x ，三階非線性常微分方程□ 一階常微分方程(first-order ordinary differential equations)隱式形式(implicit form) 表示 0),,(=′y y x F (4)顯式形式(explicit form) 表示 ),(y x f y =′Ex. 隱式形式ODE 0423=−′−y y x ，當0≠x 時，可表示為顯式形式234y x y =′□ 解的概念(concept of solution)在某些開放間隔區間b x a <<，一函數)(x h y =是常微分方程常微分方程0),,(=′y y x F 的解，其函數)(x h 在此區間b x a <<是明確(defined)且可微分的(differentiable)，其)(x h 的曲線（或圖形）是被稱為解答曲線(solution curve)。
数学物理方程的解析解法
数学物理方程的解析解法在数学和物理领域，解析解法是一种重要的方法，用于求解各种数学物理方程。
与数值解法相比，解析解法能够给出方程的精确解，对于深入理解问题的本质和推导更深层次的结论非常有帮助。
本文将介绍几种常见的数学物理方程解析解法，并探讨其应用。
一、一阶常微分方程的解析解法一阶常微分方程是描述许多物理现象的重要工具，其解析解法可以通过分离变量、齐次线性微分方程、一阶线性非齐次微分方程、可降阶的方程等方法来求解。
1. 分离变量法分离变量法适用于可将微分方程写成dy/dx=f(x)g(y)的形式。
通过将方程两边同时对x和y进行积分，将方程分离成两个单独的积分方程，再通过求解这些积分方程得到最终解。
2. 齐次线性微分方程法齐次线性微分方程形式为dy/dx=f(ax+by)，其中a和b为常数。
通过令y=vx，将原微分方程转换成常数系数线性微分方程，然后利用常数系数线性微分方程的求解方法，求解得到最终解。
3. 一阶线性非齐次微分方程法一阶线性非齐次微分方程可写成dy/dx+p(x)y=q(x)的形式。
通过求解对应的齐次线性微分方程的通解，再通过变量分离法求解非齐次线性微分方程特解，最后将通解和特解相加得到最终解。
4. 可降阶的微分方程法可降阶的微分方程法适用于微分方程可以通过降低微分方程的阶数来求解的情况。
通过采用变量替换的方法，将高阶微分方程转化为一阶微分方程，然后利用一阶微分方程的解析解法求解。
二、二阶常微分方程的解析解法二阶常微分方程常见于描述自由振动、电路分析、传热过程等物理问题。
解析解法可以通过特征根法、常系数非齐次线性微分方程法等方法来求解。
1. 特征根法特征根法适用于形如d²y/dx²+p(x)dy/dx+q(x)y=f(x)的二阶常微分方程。
通过假设y=e^(mx)，将方程代入原方程得到特征方程，然后求解特征方程的根，再根据特征根的求解结果构造齐次解和非齐次解，最终得到最终解。
一阶线性微分方程57993
求出通解后，将 z y1n 代入即得
y1n z
(1n) P ( x ) dx
(1n ) P ( x ) dx
e
( Q( x)(1 n)e
dx C ).
例4 求方程 dy 4 y x2 y 的通解. dx x
解 两端除以 y 12，得 1 dy 4 y x2 , y dx x
P ( x ) dx
y Ce .
2. 线性非齐次方程 dy P( x) y Q( x). dx
常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.
实质:未知函数的变量代换. 新未知函数 u( x) 原未知函数 y( x), 作变换 y u( x)e P( x)dx y u( x)e P( x)dx u( x)[ P( x)]e P( x)dx ,
第四节 一阶线性微分方程
一、线性方程 二、贝努利方程
一、线性方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P( x) y Q( x) dx 当Q( x) 0, 上述方程称为齐次的.
当Q( x) 0, 上述方程称为非齐次的.
例如 dy y x2 , dx x sin t t 2 , 线性的；
令 z y , 2 dz 4 z x2 ,
dx x
解得
z
x2
x 2
C
,
即
y
x4
x 2
C
2
.
例5 求方程 dy y a(ln x) y2 的通解. dx x
解
两端除以 y2，得
y2 dy y1 a(ln x), dx x
第十二章 第2节 一阶微分方程
2cos x C, 2
为所求解.
7
例5. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原子
的含量 M 成正比 ,已知 t = 0 时铀的含量为M 0 , 求在衰变
过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.
解: 根据题意 , 有
dM dt
M
( 0)
M t0 M 0 (初始条件)
17
例6 求 dy ( x y)2的通解. dx
解 令 x y u, dy du 1 代入原方程 dx dx
du 1 u2 解得 arctanu x C, dx
代回 u x y,得 arctan( x y) x C, 原方程的通解为 y tan( x C) x.
x
u xu 2u2 u , 1u u2
14
1u 3u2 2u
u2 u3
du
1 x
dx
,
两端积分
ln(u 1) 3 ln(u 2) 1 ln u ln x lnC,
2
2
u 1 3 Cx. u(u 2)2
微分方程的解为 ( y x)2 Cy( y 2x)3 .
利用初始条件,得 C 1 ln ( mg ) ,
代入上式后化简,
得特解
k v
m
g
(1
e
k m
t
)
k
说明:
lim
t
v
m
g
k
, 跳伞后阶段接近于等速运动9 .
二、 齐次方程
形如
d y (y)
dx x
一类常系数非齐次线性微分方程通解和特解的直接解法
第１５卷第２期（２ｏｍ）
甘啸高坪 拒
Ｖｏ１． １５ Ｎｏ．２（２０１０）
一 类 常系数非齐次线性微分方程通解和 特解 的直接解 法
温大伟 陈 莉 王红芳 魏 瑾
例 ３ 求 方 程 一５＇， ＋４ｙ＝ｅ 的特解 ． 解 方 程 对 应 齐 次 方 程 的 特 征 方 程 为
Ａ２－５Ａ＋４＝０，可 知 Ａ＝３不 是 特 征 根 ，Ｐｍ（ ）＝１，则 令 Ｑｍ＋２（ ）＝（６ ＋ｂｌｘ＋ｂ２）ｅｋ代人方程 ，消去 ｅ 比较
的 同次 幂 系数 得 ｂｏ＝０，ｂｌ＝Ｄ，ｂ 一 ，因此 方 程 的特
０１．１ ｌ ！：
则原方 程 的特解 直接 为
＋ 盎 ＋．一
（其 中 ｂｍ＝０）． （３）当 Ａ不 是特征根 时 ，２Ｘ＋ｐ≠０，Ｘ２＋ｐｈ．＋ｑ≠０
代 人方 程组 （２）可 知
６。＝ Ｏ，ｂｌ＝Ｏ，ｂｚ＝
＝
… ：
ｎｍ－６ｍ＿６ ｌ（２Ｘ＋ｐ）
Ａ２＋ｐＡ＋ｑ
’
则 原方 程 的特解 直接 为
（１）
Ｊ（ｍ＋２）ｂｏ（２Ａ ）＋６ Ｊ（ｈｚ＋ｐＡ＋ｑ）－０
｛（ｍ＋２）（ｍ＋１）ｂｏ＋６ｌ（ｍ＋１）（２Ａ＋ｐ）＋６２（Ｘ２＋ｐＡ＋ｇ）
｛（ｍ＋１）ｍｂｌ＋６２ｍ（２Ａ＋ｐ）＋ｂ３（ｋ２＋ｐＡ＋ｑ）＝ａｌ
ｆ ｌ
…·
６ｂ ＋２ｂ （２Ａ＋ｐ）＋６ ｍ＋ｌ（ ２＋ｐＡ＋ｑ）： 一ｌ
＋ｏ ｍ＋ｌ（２ａ＋ｐ）＋ｂｍ＋２（入 Ａ＋ｑ）： （２）
众所周知 ，ｎ阶常系数非齐次线性微分方程 的 上式 两端 比较 的 同次幂 系数得
微分方程的基本概念 一阶微分方程
y
x
x0
y0
过定点的积分曲线;
二阶:
y f ( x, y, y)
y
x
x0Байду номын сангаас
y0 ,
yx x0
y0
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
例 3 验证:函数 x C1 cos kt C2 sin kt是微分
方程
d2 dt
x
2
k
2
x
0
的解.
并求满足初始条
dx 件 x t0 A, dt t0 0 的特解.
f
( x)dx
C
通解
如果有y0使得g(y0)=0, 则y=y0也是解，但它可能 不包含在上述通解中，必须补上。 故通解不一定包含了方程的所有解。
二、典型例题
例1 求解微分方程 dy 2xy 的通解. dx
解 分离变量 dy 2xdx,
y
dy
两端积分 y 2xdx,
ln | y | x2 C1
解
dx dt kC1 sinkt kC2 cos kt,
d2x dt 2
k 2C1
cos
kt
k 2C2
sinkt,
将
d2 dt
x
2
和x的表达式代入原方程,
k 2 (C1 cos kt C2 sinkt) k 2(C1 cos kt C2 sinkt) 0.
故 x C1 coskt C2 sin kt 是原方程的解.
所求曲线方程为 y x2 1 .
例 2 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶,
当制动时列车获得加速度 0.4 米/秒 2,问开始制动
后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？
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一阶常微分方程的通解和特解
一阶常微分方程是应用数学中最基础的一个概念，它最主要用于概括某一变量随着另一变量变化而变化的规律，从而实现数学决策力的加强。
一阶常微分方程的求解是一个比较复杂的问题，由它可以表达出整体系统中单元发生变化以及其之间彼此关联的情况。
通过使用一阶常微分方程，我们可以通过简单的求解步骤求出一阶常系数，从而解决实际中的工程问题。
一阶常微分方程的通解和特解也是最为重要的，通解是一阶常微分方程的求解问题的普遍解，可以作为该系统求解最终结果的基准；特解是能够满足某些具体指定条件的特殊解，通常特解是整体解系中的一块侧面，可以帮助更详细的理解一阶常微分方程的特性。
最后，求解一阶常微分方程的数学模型有很多，其中一个比较常见的是采用基于向量的结构，根据该结构可以得出梯度的方向，接着通过找到合适的方向及参数组合，就可以得出系统的最优解。
结合上述的通解和特解，可以更好的实现一阶常微分方程解的优化，从而为系统提供最终特定范围解答。