三阶常系数微分方程的通解

三阶常系数微分方程的通解:常系数线性微分方程：y″′-

2y″+y′-2y=0，①①对应的特征方程为：λ3-2λ2+λ-2=0，②将②化简得：（λ2+1）（λ-2）=0，求得方程②的特征根分别为：

λ1=2，λ2=±i，于是方程①的基本解组为：e2x，cosx，sinx，从而方程①的通解为：y(x)＝C1e2x+C2cosx+C3sinx，其中C1，C2，C3为任意常量。扩展资料：(1+y)dx-(1-x)dy=0==>dx-

dy+(ydx+xdy)=0==>∫dx-∫dy+∫(ydx+xdy)=0==>x-y+xy=C(C是常数)此方程的通解是x-y+xy=C。

微分方程通解总结

微分方程通解总结微分方程通解总结微分方程是数学中的一个重要分支，其应用广泛，涉及到物理、化学、工程等多个领域。微分方程通解是解决微分方程问题的关键，本文将对微分方程通解进行全面详细的总结。一、概念及分类 1. 概念：微分方程通解是指能够满足给定微分方程所有初值条件的函数族。 2. 分类：（1）一阶常系数线性微分方程：dy/dx+ay=f(x) （2）一阶非齐次线性微分方程：dy/dx+p(x)y=q(x) （3）二阶常系数线性齐次微分方程：d²y/dx²+ay=0 （4）二阶常系数线性非齐次微分方程：d²y/dx²+ay=f(x)

二、求解方法 1. 一阶常系数线性微分方程：（1）特征根法：先求出对应的齐次线性微分方程的通解，然后采用待定系数法求出非齐次线性微分方程的特殊解。（2）常数变易法：将未知常数看作变量，将原式变为一元函数，然后求导再代入原式得到一个关于未知常数的一阶常微分方程，解出后再代入原式得到通解。 2. 一阶非齐次线性微分方程：（1）常数变易法：同上。（2）待定系数法：根据非齐次项的形式，猜测一个特殊解的形式，然后代入原式求出待定系数。 3. 二阶常系数线性齐次微分方程：（1）特征根法：先求出对应的齐次线性微分方程的通解，然后根据初始条件求出未知常数得到特定解，最终得到通解。

4. 二阶常系数线性非齐次微分方程：（1）待定系数法：根据非齐次项的形式猜测一个特殊解的形式，然后代入原式求出待定系数。（2）常数变易法：将未知常数看作变量，将原式变为一元函数，然后求导再代入原式得到一个关于未知常数的二阶常微分方程，解出后再代入原式得到通解。三、注意事项 1. 求解过程中需要注意初始条件和边界条件的使用。 2. 待定系数法需要根据非齐次项猜测特殊解的形式，并且需要保证猜测的特殊解不在齐次方程的通解中。 3. 特征根法需要求出齐次微分方程的特征根和对应的特征向量，然后根据初始条件求出未知常数得到特定解。 4. 常数变易法需要将未知常数看作变量，然后求导再代入原式得到一个关于未知常数的一阶或二阶常微分方程，最终解出未知常数得到通解。

几类三阶常微分方程的通解公式【开题报告】

毕业论文开题报告数学与应用数学几类三阶常微分方程的通解公式一、选题的背景、意义常微分方程是指包含一个自变量和它的未知函数以及未知函数的微分的等式。微分方程差不多是和微积分同时产生的，它的形成和发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关。20世纪30年代中期法国数学家勒雷和绍尔建立了LeraySchauder度理论[1]。他们的方法用于研究线性微分、积分、泛函数方程时，取得了巨大成功。常微分方程在很多学科领域内有着重要的作用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等等，这些问题都可以归结为高阶微分方程的模型[1，2]，或者化为研究解的性质的问题。很多物理与技术问题都可以化归为微分方程的求解问题。牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，就会有解方程的方法[3-5]。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置。有关三阶常微分方程的求解研究已经取得了较为丰富的结果，下面对研究三阶常微分方程的通解详见文献[6-10]。二、研究的基本内容与拟解决的主要问题本文主要是对三阶常微分方程通解的研究，具体研究的基本内容与拟解决的主要问题如下：问题1 如果已知三阶线性微分方程 ()()()() +++= y P x y Q x y R x y f x ''''''

常见的常微分方程的一般解法

常见的常微分方程的一般解法总结了常见常微分方程的通解。如无意外，本文将不包括解的推导过程。常微分方程，我们一般可以将其归纳为如下n类： 1.可分离变量的微分方程（一阶） 2.一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶），包含伯努利 3.二阶常系数微分方程（二阶） 4.高阶常系数微分方程（n阶），包含欧拉 1.可分离变量的微分方程（一阶）这类微分方程可以变形成如下形式： f ( x ) d x = g ( y ) d y f(x)dx=g(y)dy f(x)dx=g(y)dy 函数可以通过同时整合两边来解决。难点主要在于不定积分，不定积分是最简单的微分方程。 p.s. 某些方程看似不可分离变量，但是经过换元之后，其实还是可分离变量的，不要被这种方程迷惑。 2.一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶）形如 d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) dxdy+P(x)y=Q(x) 的方程叫做一阶线性微分方程，若 Q ( x ) Q(x) Q(x)为0，则方程齐次，否则称为非齐次。

解法：直接套公式： y ( x ) = e − ∫ P ( x ) d x ( ∫ e ∫ P ( x ) d x Q ( x ) d x + C ) y(x)=e^{- \int{P(x)}dx}(\int{e^{\int{P(x)dx}}Q(x)}dx+C) y(x)=e−∫P(x)dx(∫e∫P(x)dxQ(x)dx+C) 多套几遍熟练就好。伯努利方程形如 d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) y n , n ∈R , n ≠ 1 \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n},n\in\mathbb{R},n\ne1 dxdy+P(x)y=Q(x)yn,n∈R,n=1 的方程称为伯努利方程，这种方程可以通过以下步骤化为一阶线性微分方程： y − n d y d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) y^{- n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x) y−ndxdy +P(x)y1−n=Q(x) 1 1 − n ⋅ d y 1 − n d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) \frac{1}{1-n}·\frac{dy^{1-n}}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x) 1−n1⋅dxdy1−n+P(x)y1−n=Q(x) 令 y 1 − n = u y^{1-n}=u y1−n=u，方程两边同时乘以 1 − n 1-n 1−n，得到 d u d x + ( 1 − n ) P ( x ) u = ( 1 − n ) Q ( x ) \frac{du}{dx}+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x) dxdu +(1−n)P(x)u=(1−n)Q(x)

微分方程习题及答案

微分方程习题 §1 基本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. （1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22 （2）?'=''=+y 0 22 2t -)(,1e y y y x dt 2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=. 3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。 §2可分离变量与齐次方程 1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=?+?xdy y ydx x ；（3） 23xy xy dx dy =-；（4）0)22()22 (=++-++dy dx y y x x y x . 2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；

（2）2 1 ,12= =+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='x y y y x ；（2）03)(233=-+dy xy dx y x . 4. 求下列微分方程的特解（1） 1 ,0 22=-==x y y x xy dx dy ；（2）1 ,02)3(0 22==+-=x y xydx dy x y . 5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2 )(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+' （3）11 +-= 'y x y （4）0)1()1(2 2 =++++dy y x xy x dx xy y 6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a . 7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系. 8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉

几类三阶常微分方程的通解公式【文献综述】

毕业论文文献综述数学与应用数学几类三阶常微分方程的通解公式一、前言部分数学分析中研究了变量的各种函数及函数的微分与积分。如函数未知，但知道变量与函数的代数关系式，便组成代数方程，通过求解代数方程解出未知函数。同样，如果知道自变量、未知函数及函数的导数组成的关系式，得到的便是微分方程。如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程就叫做常微分方程。常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置。塞蒙斯(Simmons)曾如此评价微分方程在数学中的地位：“300年来分析是数学里首要的分支，而微分方程又是分析的心脏．这是初等微积分的天然后继课，又是为了解物理科学的一门最重要的数学，而且在它所产生的较深的问题中，它又是高等分析里大部分思想和理论的根源．”很多物理与技术问题可以化归为常微分方程的求解问题，如自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，而上述这些问题都可以化为求常微分方程的解，因此，学好微分方程的求解相当重要．微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。又因为许多力学，电学与生物化学的模型都可以归结为高阶微分方程的模型(见文献[1，2])，因此探求高阶微分方程的求解是一项既有实际意义又有理论意义的工作。二、主题部分有关三阶常微分方程的求解研究已经取得了较为丰富的结果，许多数学家早已经对这个课题展开过讨论，并做了很多相关的课题研究和论文。现将已有文献的研究结果综述如下：文献[2]中讲述线性微分方程的基本理论和常微分方程的解法，也简单介绍某些高阶微分的降阶方法。关于线性微分方程的解法，作者介绍了五种较常用的方法：（1）求常系数齐次线性微分方程的基本解组的特征根法（欧拉待定指数函数法）；（2）求常系数非齐次线性微分方程的特解的待定系数法和拉普拉斯变换法；（3）求一般非齐次线性微分方程特

关于高阶微分方程的解法

关于高阶微分方程的解法微积分作为数学的一个分支，是许多领域不可或缺的基础学科。其中微分方程作为微积分的重要内容，在自然科学和工程技术领域中应用广泛。高阶微分方程是微分方程理论中最基本的部分之一，它的解法十分重要。一阶微分方程的解法较为简单，但是对于高阶微分方程，往往需要更多的数学工具和技巧才能解决。常见的高阶微分方程有二阶、三阶和四阶，其解法常常依据微分方程的特点来进行分类。一、二阶微分方程的解法：在二阶微分方程中，方程中最高阶的导数项是二阶导数，通常表示为y''。二阶微分方程的解法分为三类：常系数线性齐次方程、常系数线性非齐次方程和变系数线性齐次方程。（1）常系数线性齐次方程 y''+by'+cy=0 其中，b和c为常数。这类方程的特征方程为 λ^2+bλ+c=0

特征方程的两个根分别为： λ1=(-b+√(b^2-4ac))/2a λ2=(-b-√(b^2-4ac))/2a 考虑根的情况： ①当根为实数且不相等时，方程的通解为y=c1e^λ1x+c2e^λ2x。 ②当根为实数且相等时，方程的通解为y=(c1+c2x)e^λx。 ③当根为虚数时，解可以表示为y=e^ax[c1cos(bx)+c2sin(bx)]，其中a 为实部，b为虚部。（2）常系数线性非齐次方程 y''+by'+cy=f(x) 这类方程的通解由齐次方程的通解和非齐次线性方程的一个特解相加得到。（3）变系数线性齐次方程 y''+p(x)y'+q(x)y=0

这类方程的解法依赖于特殊函数及其性质，在现代数学中有广泛的应用。例如，Bessel函数、Legendre函数以及超几何函数等。二、三阶微分方程的解法：三阶微分方程是一种常见的高阶微分方程，由三个未知函数组成。这种情况下，解决方程的方法可能涉及到不同变量的分离、非线性变换、特殊函数等方法。（1）三阶常系数齐次方程 y'''+by''+cy'+dy=0 通常采用特征根法将此类方程转换成某种代数形式的方程和其解法。（2）三阶常系数非齐次方程 y'''+by''+cy'+dy=f(x) 方程的通解由齐次方程通解和非齐次线性方程的一个特解相加得到。（3）三阶非线性方程 y'''=f(y'',y',y,x)

三阶常系数齐次线性微分方程通解结构

三阶常系数齐次线性微分方程通解结构三阶常系数齐次线性微分方程是指形如$ay+by+cy+dy=0$的三阶常系数齐次线性微分方程，其中a，b，c，d均为常数。因此，三阶常系数齐次线性微分方程又称为三阶常系数线性普通微分方程，是初等微积分学中较为重要的一类微分方程。二、定理假设 y = y(x)为$ay+by+cy+dy=0$的通解，则满足下列条件：（1）若 $b^2-3ac>0$，则存在常数$C_1、C_2、C_3$，使得通解可以表示为 $$y=C_1e^{lambda_1x}+C_2e^{lambda_2x}+C_3e^{lambda_3x}$$ 其中$lambda_1、lambda_2、lambda_3$分别为 $$lambda_1= frac{-b-sqrt{b^2-3ac}}{3a}，lambda_2= frac{-b+frac{sqrt{3}}{2}isqrt{4ac-b^2}}{3a}，lambda_3= frac{-b-frac{sqrt{3}}{2}isqrt{4ac-b^2}}{3a}$$ （2）若$b^2-3ac=0$，则存在常数$C_1、C_2、C_3$，使得通解可以表示为 $$y=C_1x^3+C_2x^2+C_3x+C_4$$ （3）若$b^2-3ac<0$，则存在常数$C_1、C_2、C_3$，使得通解可以表示为 $$y=C_1cos(lambda_1x)+C_2sin(lambda_1x)+C_3cos(lambda_2x)+C

_4sin(lambda_2x)$$ 其中$lambda_1、lambda_2$分别为 $$lambda_1=-frac{b}{3a}+frac{sqrt{3}}{3a}sqrt{3ac-b^2}，lambda_2=-frac{b}{3a}-frac{sqrt{3}}{3a}sqrt{3ac-b^2}$$ 三、公式从上述定理中可以看出，三阶常系数齐次线性微分方程的通解可以分为三类：（1）$b^2-3ac>0$的情况： $$y=C_1e^{lambda_1x}+C_2e^{lambda_2x}+C_3e^{lambda_3x}$$ （2）$b^2-3ac=0$的情况： $$y=C_1x^3+C_2x^2+C_3x+C_4$$ （3）$b^2-3ac<0$的情况： $$y=C_1cos(lambda_1x)+C_2sin(lambda_1x)+C_3cos(lambda_2x)+C _4sin(lambda_2x)$$ 四、推导（1）$b^2-3ac>0$的情况：两边同时乘以$e^{-lambda_1x}，e^{-lambda_2x}， e^{-lambda_3x}$，得到

考研数学三(常微分方程与差分方程)模拟试卷23(题后含答案及解析)

考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷23(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1．设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y1=ex，y2=2xex，y3=3e-x，则该微分方程为( )． A．y’’’-y’’-y’+y=0 B．y’’’+y’’-y’-y=0 C．y’’’+2y’’-y’-2y=0 D．y’’’-2y’’-y’+2y=0 正确答案：A 解析：由y1=ex，y2=2xex，y3=3e-x为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为λ1=λ2=1，λ3=-1，其特征方程为(λ-1)2(λ+1)=0，即λ3-λ2-λ+1=0，所求的微分方程为y’’’-y’’-y’y=0，选A．知识模块：常微分方程与差分方程 2．设y=y(x)为微分方程2xydx+(x2-1)dy=0满足初始条件y(0)=1的解，则y(x)dx为( )． A．-ln3 B．ln3 C． D．正确答案：D 解析：由2xydx+(x2-1)dy=0得=0，积分得ln(x2-1)+lny=lnC，从而y=由y(0)=1得C=-1，于是故，选 D．知识模块：常微分方程与差分方程 3．微分方程y’’-4y=x+2的通解为( )． A．(C1+C2x)e2x- B．(C1+C2x)e-2x- C．C1e-2x+C2e2x- D．C1e-2x+C2e2x- 正确答案：D 解析：微分方程y’’-4y=0的特征方程为λ2-4=0，特征值为-2，2，则方程y’’-4y=0的通解为C1e-2x+C2e2x，显然方程y’’-4y=x+2有特解，选D．知识模块：常微分方程与差分方程

考研数学一(高等数学)-试卷31

考研数学一（高等数学）-试卷31 (总分：110.00，做题时间：90分钟) 一、选择题(总题数：5，分数：10.00) 1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数： 2.00） __________________________________________________________________________________________ 解析： 2.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y 1=e x，y 2=2xe x，y 3=3e -x，则该微分方程为( )．（分数：2.00） A. √ B. C. D. 解析：解析：由y 1 =e x，y 2 =2xe x，y 3 =3e -x为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为λ1 =λ2 =1，λ3 =一1，其特征方程为(λ一1) 2 (λ+1)=0，即λ3一λ2一λ+1=0，所求的微分方程为y""-y"-y"+y=0，选(A)． 3.设φ1 (x)，φ2 (x)为一阶非齐次线性微分方程y"+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )．（分数：2.00） A.C[φ1 (x)+φ2 (x)] B.C[φ1 (x)一φ2 (x)] C.C[φ1 (x)一φ2 (x)]+φ2 (x) √ D.[φ1 (x)一φ2 (x)]+Cφ2 (x) 解析：解析：因为φ1 (x)，φ2 (x)为方程y’+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以φ1 (x)一φ2 (x)为方程y"+P(x)y=0的一个解，于是方程y"+P(x)y=Q(x)的通解为C[φ1(x)一φ2(x)]+φ2(x)，选(C)．4.微分方程y"一4y=e 2x +x的特解形式为( )．（分数：2.00） A.ae 2x +bx+c B.ax 2 e 2x +bx+c C.axe 2x +bx 2 +cx D.axe 2x +bx+c √ 解析：解析：y"一4y=0的特征方程为λ2一4=0，特征值为λ1 =一2，λ2 =2．y"一4y=e 2x的特解形式为y 1 =axe 2x，y"一4y=x的特解形式为y 2 =bx+c，故原方程特解形式为axe 2x +bx+c，应选(D)． 5.微分方程y"一4y=x+2的通解为( ) （分数：2.00） A. B. C. D. √ 解析：解析：微分方程y"一4y=0的特征方程为λ2一4=0，特征值为一2，2，则方程y"一4y=0的通解为C 1 e -2x +C 2 e 2x，显然方程y"一4y=x+2有特解，选(D)．二、填空题(总题数：15，分数：30.00) 6.微分方程y"+ytanx=cosx的通解为 1．（分数：2.00）

考研数学二常微分方程模拟试卷23_真题(含答案与解析)-交互

考研数学二（常微分方程）模拟试卷23 (总分48, 做题时间90分钟) 1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1. 已知y 1 (x)和y 2 (x)是方程y ' +p(x)y=0的两个不同的特解，则方程的通解为( ) SSS_SINGLE_SEL A y=Cy 1 (x)。 B y=Cy 2 (x)。 C y=C 1 y 1 (x)+C 2 y 2 (x)。 D y=C[y 1 (x)一y 2 (x)]。该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D 解析：由于y 1 (x)和y 2 (x)是方程y ' +p(x)y=0的两个不同的特解，则y 1 (x)一y 2 (x)为该方程的一个非零解，则y=[y 1 (x)一y 2 (x)]为该方程的解。 2. 已知，y 1 =x，y 2 =x 2，y 3 =e x为方程y '' +p(x)y ' +q(x)y=f(x)的三个特解，则该方程的通解为( ) SSS_SINGLE_SEL A y=C 1 x+C 2 x 2 +e x。 B y=C 1 x 2 +C 2 e x +x。 C y=C 1 (x一x 2 )+C 2 (x一e x )+x。 D y=C 1 (x一x 2 )+C 2 (x 2一e x )。该题您未回答:х该问题分值: 2 答案:C 解析：方程y '' +P(x)y ' +g(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程，则(x一x 2 )和(x一e x )为其对应齐次方程的两个线性无关的特解，则原方程通解为 y=C 1 (x一x 2 )+C 2 (x一e x )+x，故选C。 3. 函数y=C 1 e x +C 2 e －2x +xe x满足的一个微分方程是( )

考研数学二(常微分方程)-试卷10

考研数学二（常微分方程）-试卷10 (总分：82.00，做题时间：90分钟) 一、选择题(总题数：4，分数：8.00) 1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数： 2.00） __________________________________________________________________________________________ 解析： 2.方程y""一3y"+2y=e x +1+e x cos2x的特解形式为( ) （分数：2.00） A.y=axe x +b+Ae x eos2x。 B.y=ae x +b+e x (Acos2x+Bsin2x)。 C.y=axe x +b+xe x (Acos2x+Bsin2x)。 D.y=axe x +b+e x (Aeos2x+Bsin2x)。√ 解析：解析：齐次微分方程y""一3y"+2y=0的特征方程为λ2一3λ+2=0．特征根为λ=1，λ=2，则方程y""一3y"+2y=e x +1+e x cos2x的特解为y=axe x +b+e x (Acos2x+Bsin2x)，故选D。 3.微分方程y""+y=x 2 +1+sinx的特解形式可设为( ) （分数：2.00） A.y * =ax 2 +bx+c+x(Asinx+Bcosx)。√ B.y * =x(ax 2 +bx+c+Asinx+Beosx)。 C.y * =ax 2 +bx+c+Asinx。 D.y * =ax 2 +bx+c+Acosx。解析：解析：对应齐次方程y""+y=0的特征方程为λ2+1=0，特征根为λ=±i，对于方程y""+y=x 2+1=e 0(x 2+1)，0不是特征根，从而其特解形式可设为y *=ax 2+bx+c，y 1 *=ax 2+bx+c 对于方程y""+y=sinx，i为特征根，从而其特解形式可设为 y 2* =x(Asinc+Bcosx)，因此y""+y=x 2 +1+sinx的特解形式可设为y * =ax 2 +bx+c+x(Asinx+Bcosx)。 4.微分方程y""一λ2 y=e λx +e -λx (λ＞0)的特解形式为( ) （分数：2.00） A.a(e λx +e -λx )。 B.ax(e λx +e -λx )。 C.x(ae λx +be -λx )。√ D.x 2 (ae λx +be -λx )。解析：解析：原方程对应的齐次方程的特征方程为r 2一λ2 =O，其特征根为r 1,2=±λ，所以y""一λ 2 y=e λx的特解为y 1* =axe λx，y""一λ2 y=e λ2 x的特解为y 2 * =bxe -λx，根据叠加原理可知原方程的特解形式为y * =y 1* +y 2* =x(ae+be －λx )，y * =y 1* +y 2* =s(ae λx +be -λx )，因此选C。二、填空题(总题数：16，分数：32.00) 5.微分方程xy"+2y=xlnx 1。（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]） 6.微分方程(y+x 2 e -x )dx一xdy=0的通解是y= 1。（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：x(一e -x +C)）解析：解析：微分方程(y+x 2 e -x )dx一xdy=0，

微分方程习题及答案

微分方程习题 §1根本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. （1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22 （2） ⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt 2..已知曲线族,求它响应的微分方程（个中21C , ,C C 均为常数）（一般办法：对曲线簇方程求导,然后消去常数,方程中常数个数决议求导次数.）（1）1)(22=++y C x ; （2）x C x C y 2cos 2sin 21+=. 3．写出下列前提肯定的曲线所知足的微分方程. （1）曲线在()y x ,处切线的斜率等于该点横坐标的平方. （2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,,PQ 为y 轴等分. （3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q ,PQ 长度为2,且曲线过点（2,0）. §2可分别变量与齐次方程 1.求下列微分方程的通解（1） 2 211y y x -='-; （2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ; （3） 23xy xy dx dy =-; （4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x . 2．求下列微分方程的特解

（1）0 ,02=='=-x y x y e y ; （2）2 1 ,12==+'=x y y y y x 3.求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='x y y y x ; （2）03)(233=-+dy xy dx y x . 4.求下列微分方程的特解（1） 1 ,0 22=-==x y y x xy dx dy ; （2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y . 5. 用恰当的变换调换化简方程,并求解下列方程（1）2)(y x y +='; （2）)ln (ln y x y y y x +=+' （3）11 +-= 'y x y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y 6. 求一曲线,使其随意率性一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a . 7.设质量为m 的物体自由下落,所受空气阻力与速度成正比,并设开端下落时)0(=t 速度为0,求物体速度v 与时光t 的函数关系.

微分方程习题及答案

微分方程习题之蔡仲巾千创作 §1基本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. （1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22 （2） ⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt 2..已知曲线族, 求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导, 然后消去常数, 方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=. 3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程. （1）曲线在()y x ,处切线的斜率即是该点横坐标的平方. （2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,, PQ 为y 轴平分. （3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q ,PQ 长度为2, 且曲线过点（2, 0）. §2可分离变量与齐次方程 1.求下列微分方程的通解（1） 2 211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ；（3） 23xy xy dx dy =-；

（4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x . 2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；（2）2 1 ,12==+'=x y y y y x 3.求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='x y y y x ；（2）03)(233=-+dy xy dx y x . 4.求下列微分方程的特解（1） 1 ,0 2 2=-==x y y x xy dx dy ；（2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y . 5. 用适当的变换替换化简方程, 并求解下列方程（1）2)(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+' （3）11 +-= 'y x y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y 6. 求一曲线, 使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和 x 轴所围城三角形面积即是常数2a .

微分方程习题及答案e

微分方程习题 §1 根本概念 1. 验证以下各题所给出的隐函数是微分方程的解. 〔1〕y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22 〔2〕⎰'=''=+y 0 222 t -)(,1e y y y x dt 2..曲线族，求它相应的微分方程〔其中21C , ,C C 均为常数〕〔一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.〕〔1〕1)(22=++y C x ；〔2〕x C x C y 2cos 2sin 21+=. 3．写出以下条件确定的曲线所满足的微分方程。〔1〕曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。〔2〕曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。〔3〕曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点〔2，0〕。 §2可别离变量与齐次方程 1.求以下微分方程的通解〔1〕2211y y x -='-；〔2〕0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ；〔3〕23xy xy dx dy =-；〔4〕0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x . 2．求以下微分方程的特解〔1〕0 ,02=='=-x y x y e y ；〔2〕2 1 ,12==+'=x y y y y x

3. 求以下微分方程的通解〔1〕)1(ln +='x y y y x ；〔2〕03)(233=-+dy xy dx y x . 4. 求以下微分方程的特解〔1〕1 ,022=-==x y y x xy dx dy ；〔2〕1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y . 5. 用适当的变换替换化简方程，并求解以下方程〔1〕2)(y x y +='；〔2〕)ln (ln y x y y y x +=+' 〔3〕11+-='y x y 〔4〕0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y 6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a . 7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系. 8. %40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？ 9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？

微分方程习题及答案

微分方程习题 §1 基本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. （1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22 （2）⎰'=''=+y 0 22 2t -)(,1e y y y x dt 2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=. 3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。 §2可分离变量与齐次方程 1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ；（3） 23xy xy dx dy =-；（4）0)22()22 (=++-++dy dx y y x x y x . 2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；（2）2 1 ,12= =+'=x y y y y x

3. 求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='x y y y x ；（2）03)(233=-+dy xy dx y x . 4. 求下列微分方程的特解（1） 1 ,0 22=-==x y y x xy dx dy ；（2）1 ,02)3(0 22==+-=x y xydx dy x y . 5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2 )(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+' （3）11 +-= 'y x y （4）0)1()1(2 2 =++++dy y x xy x dx xy y 6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a . 7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系. 8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？ 9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？

微分方程习题及答案

微分方程习题 §1 基本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. （1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22 （2）⎰'=''=+y 0 222 t -)(,1e y y y x dt 2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=. 3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。 §2可分离变量与齐次方程 1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ；（3）23xy xy dx dy =-；

（4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x . 2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；（2）2 1 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='x y y y x ；（2）03)(233=-+dy xy dx y x . 4. 求下列微分方程的特解（1）1 ,022=-==x y y x xy dx dy ；（2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y . 5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2)(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+' （3）11+-='y x y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y 6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a .