电容的充放电过程及其应用

电容的充放电过程及其应用

一、实验目的

1．观察RC 电路的矩形脉冲响应;

2．了解RC 微分电路、积分电路及耦合电路的作用及特点;

3．学习双踪示波器的使用方法; 二、实验原理

1． RC 串联电路的充放电过程

在由电阻R 及电容C 组成的直流串联电路中,暂态过程即是电容器的充放电过程图1,当开关K 打向位置1时,电源对电容器C 充电,直到其两端电压等于电源E;这个暂态变化的具体数学描述为q ＝CUc,而I = dq / dt ,故

dt dUc

C

dt dq i == 1 E iR Uc =+ 2 将式1代人式2,得 E RC

Uc RC dt dUc 11=+

考虑到初始条件t=0时,u C =0,得到方程的解：

[]()()

⎪⎪

⎩⎪

⎪⎨

⎧-=-=-==RC t E U E U RC t R E i RC t E U C R /exp /exp ）/-（exp -1C 上式表示电容器两端的充电电压是按指数增长的一条曲线,稳态时电容两端的电压等于电源电压E,如图2a 所示;式中RC=τ具有时间量纲,称为电路的时间常数,是表征暂态过程进行得快

慢的一个重要的物理量,由电压u c 上升到,1/e ≈,

所对应的时间即为τ;

当把开关k 1打向位置2时,电容C 通过电阻R 放电,放电过程的数学描述为

将dt dUc C

i =,代人上式得

01

=+Uc RC

dt dUc 由初始条件t ＝0时,Uc ＝E,解方程得

⎪

⎩⎪⎨⎧--=--=-=)

/exp()/exp()

/exp(RC t E U RC t R E

i RC t E Uc R

表示电容器两端的放电电压按指数律衰减到零,τ也可由此曲线衰减到所对应的时间来确定;充放电曲线如图2所示; 2. 半衰期T 1/2

图2 RC 电路的充放电曲线 a 电容器充电过程 b 电容器放电过程 U R

Uc

K

1 2 V

E R C 图1 RC 串联电路

与时间常数τ有关的另一个在实验中较容易测定的特征值,称为半衰期T 1/2,即当U C t 下降到初值或上升至终值一半时所需要的时间,它同样反映了暂态过程的快慢程度,与t 的关系为：T 1/2 =τln2 = τ或τ= 2

3. RC 电路的矩形脉冲响应;

若将矩形脉冲序列信号加在电压初值为零的RC 串联电路上,电路的瞬变过程就周期性地发生了;显然,RC 电路的脉冲响应就是连续的电容充放电过程;如图3所示;

图3 RC 电路及各元件上电压的变化规律

若矩形脉冲的幅度为U ,脉宽为t p ;电容上的电压可表示为：

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤≤⋅≤≤-=-

-211

0)1()(t t t e U t t e U t u t

t c τ

τ 电阻上的电压可表示为：

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤≤⋅-≤≤⋅=-

-2

110)(t t t e U t t e U t u t

t

R ττ

即当10t t ≤≤时,U t u i =)(,电容被充电；当21t t t ≤≤时,电容器经电阻R 放电; 4．RC 电路的应用

1微分电路;取RC 串联电路中的电阻两端为输出端,并选择适当的电路参数使时间常数τ<

dt

t du RC dt du RC i R t u i c c )

()(0⋅≈⋅

=⋅=

(t u i )(t R )

(t C )(t u i

(t u R (t u C u

u

u

-t

t

t

上式说明,输出电压)(0t u 近似地与输入电压)(t u i 成微分关系,所以这种电路称微分电路;微分电路在矩形脉冲电压)(t u i 的作用下,输出正、负尖脉冲信号;如图 4所示;在矩形正脉冲波形的前沿输出正尖脉冲波,在其后沿输出负尖脉冲波;尖脉冲在实际应用中可作为触发信号;

a 基本原理图

b 输出波形图

图4 RC 微分电路及输入和输出电压波形

2RC 耦合电路

若改变上述电路的参数,使得τ>>t p ,微分电路转变为耦合电路;其输出波形如图5所示;这种电路在多级交流放大电路中经常作为级间耦合电路;

3RC 积分电路

如果将RC 电路的电容两端作为输出端,电路参数满足τ>>t p 的条件,则成为积分电路;由于这种电路电容器充放电进行得很慢,因此电阻R 上的电压)(t u R 近似等于输入电压

)(t u i ,其输出电压)(0t u 为：

dt t u RC dt R t u C dt t i C t u t u i R c c ⋅≈⋅=⋅=

=⎰

⎰⎰)(1)(1)(1)()(0 上式表明,输出电压)(0t u 与输入电压)(t u i 近似地成积分关系;其输入、输出波形如

(t u i )

(0t

-(0t u )(t u i

(0u (u i t

t

图5 RC 耦合电路电压波形

图6所示;

图6 积分电路及输入和输出电压波形

3．测定RC电路时间常数的方法;

本实验使用双踪示波器,可以同时观察电路的输入、输出信号;

在RC电路输入矩形脉冲信号,将示波器的输入端接在电容两端,将示波器的垂直增益“微调”旋钮位于校准位置,同时将时基扫描速度“微调”旋钮位于校准位置;Y轴输入开关置于“DC”档;调节示波器使荧光屏上呈现出一个稳定的指数曲线;利用荧光屏上的坐标尺,测出电容器电压的最大值U m的格数;

)

格

(

的格数A

U

m

=

取=B格交纵轴于M,过M点引水平线交指数曲线于Q点,则Q点对应的横坐标即为时间常数τ;根据MQ的格数及所选用的“扫描时间”标称值t/div,就可以算出τ,见图7所示;

()div

/t

MQ⨯

=格

τ

图7 RC电路时间常数的测量

三、实验仪器

信号发生器、双踪示波器、电容箱、电阻箱、大电容、万用表;其中信号发生器能够产生一定频率的正弦波、方波、锯齿波等,我们这次实验主要使用方波;使用时首先选择频率范围,一排按键哪个按下就说明信号发生器这时产生的最大信号频率为按键标定值,调节频率用仪器左边旋钮;

四、预习要求

1已知矩形脉冲的频率f=200Hz,周期T= 秒;拟在示波器的荧光屏上看到二个完整周期的矩形脉冲,“扫描时间”旋钮选择在档较合适2ms/div、5ms/div、1ms/div、div、div注意：荧光屏为格

10

10⨯;

2试计算表1-7-2中各项时间常数,将计算结果填入表中,并说明是否满足该电路的条件,取脉冲宽度T

t

p2

1

=;

)(t

(t

u

i

(

t

u

)(t

u

i

23

1

t

)(t

(t

u

i