向量公式汇总
向量的基本运算公式大全
向量的基本运算公式大全下面是向量的基本运算公式大全：1.向量加法：o a + b = b + a（交换律）o(a + b) + c = a + (b + c)（结合律）2.向量减法：o a - b = a + (-b)3.向量数量乘法：o ka = ak（交换律，其中k是标量）o(kl)a = k(la)（结合律）4.零向量：o a + 0 = ao a + (-a) = 05.向量点乘（内积）：o a·b = b·a（交换律）o(ka)·b = k(a·b) = a·(kb)（分配律）o a·(b + c) = a·b + a·c（分配律）6.向量叉乘（外积）：o a×b = -(b×a)（反对称性）o a×(b + c) = a×b + a×c（分配律）o(ka)×b = k(a×b) = a×(kb)（分配律）7.向量混合积：o a·(b×c) = b·(c×a) = c·(a×b)8.长度（模）：o||a|| = √(a·a)9.单位向量：o一个向量除以其长度得到单位向量： a/||a||10.平行和垂直：o两个向量平行：a与b平行，当且仅当存在标量k，使得a = kb或b = ka。
o两个向量垂直：a与b垂直，当且仅当a·b = 0。
这些是向量的基本运算公式，它们形成了向量运算的基础，可以用于解决向量计算和几何问题。
需要注意的是，这些公式适用于向量的二维、三维或更高维度空间。
具体运用时，根据具体的向量运算要求和问题，选择合适的公式和运算规则。
(完整版)向量公式汇总
向量公式汇总平面向量1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b 的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。
若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。
向量的基本运算公式大全
向量的基本运算公式大全一、向量的定义与基本概念向量是具有大小和方向的量，可以用一个有序数对或有序三元组表示。
例如，二维平面上的向量（a，b）表示从原点出发，沿着横坐标轴正方向移动a 个单位，再沿着纵坐标轴正方向移动b个单位。
向量可分为有序实数对和有序复数对两种类型。
二、向量的加法与减法运算1.向量加法：两个向量相加，结果是一个新的向量，其大小等于两个向量的大小的和，方向与两个向量的方向相同。
例如，向量A（a1，b1）与向量B （a2，b2）相加，结果为向量C（a1+a2，b1+b2）。
2.向量减法：两个向量相减，结果是一个新的向量，其大小等于两个向量的大小的差，方向与减数的方向相反。
例如，向量A（a1，b1）与向量B（a2，b2）相减，结果为向量C（a1-a2，b1-b2）。
三、向量的数乘运算1.向量与实数的乘积：将一个实数k与一个向量A相乘，结果是一个新的向量，其大小为原向量A大小的k倍，方向与原向量A的方向相同。
例如，向量A（a，b）与实数k相乘，结果为向量（ka，kb）。
2.向量与复数的乘积：将一个复数k与一个向量A相乘，结果是一个新的向量，其大小为原向量A大小的|k|倍，方向与原向量A的方向相同。
例如，向量A（a，b）与复数k相乘，结果为向量（ka，kb）。
四、向量的标量积与向量积1.标量积：两个向量A（a，b）和B（c，d）的标量积为一个实数，计算公式为：A·B = a*c + b*d。
标量积满足交换律和结合律，可用于表示向量之间的相似程度。
2.向量积：两个向量A（a，b）和B（c，d）的向量积为一个新的向量，计算公式为：AB = (ad - bc，bc - ab)。
向量积满足右手法则，可用于表示两个向量之间的垂直关系。
五、向量的模与单位向量1.向量的模：向量A（a，b）的模为其横纵坐标平方和的平方根，计算公式为：|A| = √(a + b)。
2.单位向量：一个向量的模为1时，该向量称为单位向量。
向量公式大全
向量公式大全向量公式大全1. 向量加法AB+BC=AC a+b=(x+x' ，y+y') a+0=0+a=a 运算律：交换律：a+b=b+a 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)2. 向量减法AB-AC二CB即“共同起点，指向被减”如果a、b 是互为相反的向量，那么a=-b ，b=-a，a+b=0.0 的反向量为0 a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3. 数乘向量实数入和向量a的乘积是一个向量，记作入a,且I入a I = I入I ? I a I当入〉0时，入a与a同方向当入v0时，入a与a反方向当入=0时，入a=0,方向任意当a=0时，对于任意实数入，都有入a=0『ps.按定义知，如果入a=0,那么入=0或a=0』实数入向量a的系数，乘数向量入a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩当I入1> 1时，表示向量a的有向线段在原方向（入〉0）或反方向（入v 0）上伸长为原来的I入I倍当I入Iv 1时，表示向量a的有向线段在原方向（入〉0）或反方向（入v 0）上缩短为原来的I入I倍数乘运算律:结合律：（入a）?b二入（a ?b）=（a ?入b）向量对于数的分配律（第一分配律）：（入+卩）a=入a+卩a.数对于向量的分配律（第二分配律）：入（a+b）=入a+入b.数乘向量的消去律：① 如果实数入工0且入a二入b,那么a=b② 如果a z 0且入a=卩a,那么入=卩4. 向量的数量积定义：已知两个非零向量a,b作OA二a,OB=b则/ AOB称作a和b 的夹角，记作〈a,b〉并规定0W〈a,b > <n两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?b 若a、b 不共线，则a?b=|a| ?|b| ?cos〈a，b〉若a、b 共线，则a?b=+-I aII b I向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y ?y'向量数量积运算律a?b=b?a( 交换律)(入a) ?b=入(a ?b)(关于数乘法的结合律)(a+b) ?c=a?c+b?c( 分配律)向量的数量积的性质a?a=|a|2a丄b 〈 => a?b=0|a ?b| < |a| ?|b|向量的数量积与实数运算的主要不同点『重要』1、(a?b)?c 丰 a?(b ?c)例如：(a ?b)2 丰 a2?b22、由a ?b=a?c (a 工0)，推不出b=c3、|a?b| 丰 |a| ?|b|4、由|a|=|b| ，推不出a=b 或a=-b5、向量向量积定义：两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a x b.若a、b 不共线，则a x b 的模是：l a x b I =|a| ?|b| ?sin 〈a, b> .a x b 的方向是：垂直于a和b,且a、b和a x b按这个次序构成右手系.若a、 b 共线，则a x b=0.性质I a x b I是以a和b为边的平行四边形面积a x a=0a//b 〈=> a x b=0运算律a x b=-b x a（入a）x b二入（a x b）=a x （入b）（a+b）x c=a x c+b x c.『ps.向量没有除法“向量AB/向量CD是没有意义的』6. 向量的三角形不等式II a I - I b ll<l a+b l<l a I + I b I①当且仅当a、b 反向时，左边取等号②当且仅当a、b 同向时，右边取等号I I a I - I b II<I a-b I<I a I + I b I①当且仅当a、b 同向时，左边取等号②当且仅当a、b 反向时，右边取等号三点共线定理若0C=\ OA +卩OB ,且入+ □ =1 ,贝S A、B、C三点共线三角形重心判断式在厶ABC中，若GA +GB +GC=OU GABC的重心向量共线的重要条件若b z0,则a//b的重要条件是存在唯一实数入，使a二入b, xy'-x'y=0『零向量0 平行于任何向量』向量垂直的充要条件a丄b的充要条件是a ?b=0 xx'+yy'=07. 定比分点定比分点公式P1P二入？PP2设P1、P2是直线上的两点，P是直线上不同于P1、P2的任意一点则存在一个实数入，使P1P=X? PP2,入叫做点P分有向线段P1P2 所成的比若P1（x1,y1）, P2（x2,y2）, P（x,y），则有0P=（0P1 哉0P2）（1 + 入）（定比分点向量公式）x=（x1+ 入x2）/（1+ 入）y=（y1+入y2）/（1+入）（定比分点坐标公式）。
向量公式汇总
向量公式汇总平面向量1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?b。
若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉；若a、b共线，则a?b=+-∣a∣∣b∣。
向量公式大全
向量公式设a=（x，y），b=(x'，y')。
1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算xx：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0." 0的反向量为0AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
"注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
"实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算xx结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
3、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。
若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。
向量公式大全
向量公式之蔡仲巾千创作设a=（x，y），b=(x'，y')。
1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将暗示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，暗示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，暗示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
3、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。
若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。
数学向量公式总结
数学向量公式总结数学向量公式是高中数学中不可或缺的一个部分，它在数学的许多领域都有着广泛的应用，如几何、物理、工程等。
向量是有大小和方向的量，可以表示为一个有向线段，并且可以进行运算。
以下是一些常用的数学向量公式：1. 向量的模长公式：向量v的模长表示为|v|，其计算公式为：|v| = √(v1 + v2 + v3 + ... + vn)其中，v1、v2、v3、...、vn为向量v的各个分量。
2. 向量的单位向量公式：向量v的单位向量表示为v，其计算公式为：v = v / |v|其中，|v|为向量v的模长。
3. 向量的点积公式：向量v和向量w的点积表示为v·w，其计算公式为：v·w = v1w1 + v2w2 + v3w3 + ... + vnwn其中，v1、v2、v3、...、vn为向量v的各个分量，w1、w2、w3、...、wn为向量w的各个分量。
4. 向量的叉积公式：向量v和向量w的叉积表示为v×w，其计算公式为：v×w = (v2w3 - v3w2)i + (v3w1 - v1w3)j + (v1w2 - v2w1)k 其中，i、j、k为x、y、z轴的单位向量。
5. 平面向量的共线关系公式：若向量a、b、c共线，则有：a = kb + lc其中，k、l为实数。
6. 向量的投影公式：向量v在向量u上的投影表示为proj_u v，其计算公式为：proj_u v = (v·u) / |u|其中，|u|为向量u的模长。
除了上述公式，还有许多与向量相关的公式，例如向量的夹角、向量的平移、旋转等。
掌握这些公式对于解决数学问题、理解物理现象等都有着很大的帮助。
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向量公式汇总
平面向量
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a；
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”
a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').
3、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；
当λ＜0时，λa与a反方向；
当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；
当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的的数量积
定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b 的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。
若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'。
向量的数量积的运算律
a•b=b•a（交换律）；
(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律)；
（a+b)•c=a•c+b•c（分配律）；
向量的数量积的性质
a•a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a•b=0。
|a•b|≤|a|•|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律，即：(a•b)•c≠a•(b•c)；例如：(a•b)^2≠a^2•b^2。
2、向量的数量积不满足消去律，即：由a•b=a•c (a≠0)，推不出b=c。
3、|a•b|≠|a|•|b|
4、由|a|=|b| ，推不出a=b或a=-b。
5、向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。
若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。
若a、b共线，则a×b=0。
向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量积运算律
a×b=-b×a；
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
（a+b）×c=a×c+b×c.
注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。
向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；
①当且仅当a、b反向时，左边取等号；
②当且仅当a、b同向时，右边取等号。
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
① 当且仅当a 、b 同向时，左边取等号；
② 当且仅当a 、b 反向时，右边取等号。
6.定比分点
定比分点公式（向量P1P=λ•向量PP2）
设P1、P2是直线上的两点，P 是l 上不同于P1、P2的任意一点。
则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做点P 分有向线段P1P2所成的比。
若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。
（定比分点坐标公式）
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
三点共线定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A 、B 、C 三点共线
三角形重心判断式
在△ABC 中，若GA +GB +GC=O,则G 为△ABC 的重心
[编辑本段]向量共线的重要条件
若b≠0，则a//b 的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb 。
a//b 的重要条件是 xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
[编辑本段]向量垂直的充要条件
a ⊥
b 的充要条件是 a•b=0。
a ⊥
b 的充要条件是 xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.
空间向量 令=(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b =，则
),,(332211b a b a b a ±±±=+
))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ
332211b a b a b a b a ++=⋅
共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合. a ∥)(,,332211R b a b a b a b ∈===⇔λλλλ3
32211b a b a b a ==⇔ 如果三个向量．．．．,,不共面．．．：那么对空间任一向量P ，存在一个唯一的有序实数组x 、y 、z ，使z y x ++=.
推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P , 都存在唯一的有序实数组x 、y 、z 使 OC z OB y OA x OP ++=(这里隐含x+y+z≠1).
向量垂直 0332211=++⇔⊥b a b a b a b a 。
空间两个向量的夹角公式
232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a b a b a ++⋅++++=⋅⋅>=<ρρρρρρ
（a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ）。
空间两点的距离公式：
212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.
利用法向量求点到面的距离：
如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α.
.异面直线间的距离
||||
CD n d n ⋅=u u u r u u r r (12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n r ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).
B 到平面α的距离 ||||
AB n d n ⋅=u u u r u u r r （n r 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 直线AB 与平面所成角
sin ||||
AB m arc AB m β⋅=u u u r u r u u u r u r (m u r 为平面α的法向量). 利用法向量求二面角的平面角：
cos ||||m n arc m n θ⋅=u r r u r r 或cos ||||
m n arc m n π⋅-u r r u r r （m u r ，n r 为平面α，β的法向量）。