实数与向量的积(一)
高三数学向量专题复习(高考题型汇总及讲解)(1)
向量专题复习向量是高考的一个亮点，因为向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。
一、平面向量加、减、实数与向量积 （一）基本知识点提示1、重点要理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、反向量、相等向量、两向量的夹角等概念。
2、了解平面向量基本定理和空间向量基本定理。
3、向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4、向量形式的三角形不等式：｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a ±b ｜≤｜a ｜+｜b ｜(试问：取等号的条件是什么?)；向量形式的平行四边形定理：2（｜a ｜2+｜b ｜2）=｜a －b ｜2+｜a +b ｜25、实数与向量的乘法（即数乘的意义）实数λ与向量的积是一个向量，记λ，它的长度与方向规定如下：(1)｜λa ｜=｜λ｜²｜a ｜;(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ=0时，λ=,方向是任意的.6、共线向量定理的应用：若≠，则∥⇔存在唯一实数对λ使得=λ⇔x 1y 2-x 2y 1=0(其中=（x 1，y 1），=（x 2，y 2）) （二）典型例题例1、O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足).,0[||||+∞∈++=λλAC AB 则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心+是在∠BAC 的平分线上，∴选B例2、对于任意非零向量与，求证：｜｜｜-｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜证明：(1)两个非零向量与不共线时，+的方向与，的方向都不同，并且｜｜-｜｜＜｜±｜＜｜｜+｜｜(3)两个非零向量a 与b 共线时，①a 与b 同向，则a +b 的方向与a 、b 相同且｜a +b ｜=｜a ｜＋｜b ｜.②a 与b 异向时，则a +b 的方向与模较大的向量方向相同，设|a |＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。
向量与实数之间的计算公式
向量与实数之间的计算公式向量与实数是线性代数中的重要概念，它们之间的计算关系在数学和物理学中都有着广泛的应用。
在本文中，我们将探讨向量与实数之间的计算公式，包括向量的数乘、向量加法、向量减法等基本运算，以及这些运算在实际问题中的应用。
1. 向量的数乘。
向量的数乘是指一个向量与一个实数相乘的运算。
假设有一个向量a和一个实数k，那么向量a乘以实数k的结果是一个新的向量，记作ka。
具体计算公式如下：ka = (ka1, ka2, ..., kan)。
其中，a = (a1, a2, ..., an)是原始向量，k是实数，ka是数乘后的新向量。
数乘的运算规律包括分配律、结合律和交换律，即：k(a + b) = ka + kb。
(k1k2)a = k1(k2a)。
k(a + b) = ka + kb。
数乘的概念在物理学中有着广泛的应用，例如力的大小和方向就可以用向量来表示，而力的大小和方向的变化可以通过数乘来描述。
2. 向量加法。
向量加法是指两个向量相加的运算。
假设有两个向量a和b，它们的加法结果记作a + b，具体计算公式如下：a +b = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)。
其中，a = (a1, a2, ..., an)和b = (b1, b2, ..., bn)分别是两个原始向量，a + b是它们相加后的新向量。
向量加法满足交换律和结合律，即：a +b = b + a。
(a + b) + c = a + (b + c)。
向量加法在几何学中有着重要的应用，例如两个力的合成就可以用向量加法来表示。
3. 向量减法。
向量减法是指一个向量减去另一个向量的运算。
假设有两个向量a和b，它们的减法结果记作a b，具体计算公式如下：a b = (a1 b1, a2 b2, ..., an bn)。
其中，a = (a1, a2, ..., an)和b = (b1, b2, ..., bn)分别是两个原始向量，a b是它们相减后的新向量。
实数和向量的积
实数和向量的积【基础知识精讲】1.实数与向量的积的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，记λa ，它的长度与方向规定如下：(1)｜λ｜=｜λ｜·｜｜;(2)当λ＞0时，λ的方向与的方向相同；当λ＜0时，λ的方向与的方向相反；当λ=0时，λ=,方向是任意的.2.实数和向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么：(1)λ(μa)=λμ(2)(λ+μ) =λ+μ(3)λ(a +b )=λa +λb3.两个向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得=λa .4.平面向量基本定理 如果1e ，2e ，是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使：=λ11e +λ22e 其中不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 注意：(1)平面内的任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式.(2)上面分解是唯一的.向量的加法、减法、实数与向量的积的混合运算称为向量的线性运算，也叫做向量的初步运算.任一平面直线型图形都可以表示为某些向量的线性组合.【重点难点解析】1.实数与向量的积的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是实数与向量相乘的分配律有两种不同形式.(λ+μ) a =λa +μa 和λ(a +b )=λa +λb ；实数与向量相乘的运算中的关键是等式两边向量的模相等的同时，方向也必须相同.2.掌握实数与向量积的概念，运算及两个向量共线的充要条件. 例1 化简32［(4-3)+31-41 (6-7)］= . 例2 设，是不共线的两个向量，已知=2+k ，=+, CD =a -2b ，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.例4 已知□ABCD ，E 、F 分别是DC 和AB 的中点，判断AE 、CF 是否平行?分析：要判断、是否平行，就是判断能否用表示出来. 解：设=,=因为E 、F 分别是DC 和AB 的中点 所以=21 =21 =21 例5 求向量,:【难题巧解点拔】例1 设M 为△ABC 的重心，证明对任意一点O ，有OM =31( ++)例2 如图，已知在△ABC 中，D 是BC 上的一点，且DCBD =λ.试证：=λλ++1 例3 若O 、A 、B 三点不共线，已知=m ·+n ·,m ·n ∈R,且m+n=1,那么P 点位置如何?请说明理由.例4 求证：平行四边形一顶点和对边中点的连线三等分此平行四边形的一条对角线(如图)【典型热点考题】例1 若AB =31e , CD =-51e 且｜AD ｜=｜BC ｜,则四边形ABCD 是( )A.平行四边形B.菱形C.等腰梯形D.非等腰的梯形 例2 已知λ，u ∈R ，则在以下各命题中，正确的命题共有( )(1)λ＜0，≠时，λ与的方向一定相反(2)λ＞0，≠时，λ与的方向一定相同(3)λ≠0，≠时，λ与是共线向量(4)λu ＞0，a ≠0时，λa 与u a 的方向一定相同(5)λu ＜0，a ≠0时，λa 与u a 的方向一定相反A.2个B.3个C.4个D.5个例3 梯形ABCD ，AB ∥CD ，且||2|| ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，如图，若AB =a ,AB =b ，试用a ，b 表示BC 和MN ，则= .。
8.0.2实数与向量的乘积(附录2)
一、实数与向量的乘积(向量的数乘) 可以验证，向量数乘满足下面的运算律: 设 , R ①
( a) ()a
(a b) a b （分配律）
② ( )a a a（分配律）
③
例1.计算： (1) (3) 4a 12a (2) 3(a b) 2(a b) a 5b
例5. 对于任意两个非零向量a, b 已知 OA 4b ，求
解：AB OB OA b 证
A, B, C 三点共线.
C
B A
AC OC OA 3b AC 3AB AC ∥ AB
O
一般地, A, B, C三点共线
The Vector Multiplied by a Real Number
一、实数与向量的乘积(向量的数乘) 定义：实数 和向量 a 的乘积是一个向量 记作 a ， 它的长度与方向规定如下： (1) | a | | || a |
0 时， a 与 a 同方向 (2) a(a 0) 的方向 0 时， a 与 a 反方向 0 时， 0a 0 ；
. .
1 a0 a a 1 b0 a a
例 3．在 ABC 中，G 是中线 AD, BE 的
交点，若 AB a , AC b ，试用 a , b 表 示 BC, AD, AG, CG
A
a
G B
D
b
E
C
例4.已知P 1P 3PP2 ,
1若 P1P2 P2 P, 则
.
2若 P2 P1 P1P, 则
.
二、向量平行的条件 平行向量基本定理
（1）非零向量 a , b ，若 a b ，则 a // b ；
向量的数乘(1、3)
向量的数乘（1、3）备课人：徐卫萍 审核人：姜利娟教学目标：（1）掌握向量的数乘(实数与向量的积)定义及实数与向量积的运算律；（2）理解两个向量共线定理；教学重点、难点；向量的数乘(实数与向量的积)的定义、运算律，向量共线定理教学过程：（一） 复习：1、 向量加减法的运算法则；2、 向量运算的三角形法则、平行四边形法则3、 向量加减法运算律二、新课讲解1、向量数乘的定义：2、根据向量数乘的定义,验证向量数乘满足下面的运算律,实数μλ,与向量, a ,b 有如下运算律成立：3、 向量数乘作图：例1、已知向量a 和b ，求作向量a 52⋅-和向量b a 32-例2、计算:（1）)2(2)(3b a b a +-- (2) )243(3)362(2-+---+注：向量数乘与实数乘法有哪些相同和不同点？例3、若0)3(21)31(2 =+-+--b x c b a x ，已知c b a ,,为已知向量，求未知向量x.课堂小结：本节课所要掌握的数学知识：向量的数乘(实数与向量的积)定义及实数与向量积积的运算律本节课所要掌握的数学方法：数形结合课堂作业：1、 计算：（1）)54(3b a +- （2）)23()42(6b a b a ---2、 如图，已知向量b a,，求作向量： （1）a 2- （2）b a +- （3）b a -23、 已知向量212e e a +=,1235b e e =- ，求43a b - （用12,e e 表示）4、已知OA 和OB 是不共线的向量，AP tAB = (),t R ∈试用OA 和OB 表示OP 。
课外作业:1、已知OA ，OB 是菱形的一组邻边，且.,OA a OB b == 菱形的对角线交点为D ，则OD =2、计算(1) 3(53)2(6)a b a b --+ （2）4(35)2(368)a b c a b c -+---+3、已知向量,a b 且3()2(2)4()0x a x a x a b ++---+= ,求x。
沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》(第1课时)教学设计
沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》（第1课时）教学设计一. 教材分析沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》是本册教材中的一个重要内容，主要让学生了解实数与向量相乘的定义和性质。
本节课的内容对于学生来说是比较抽象的，需要通过具体实例和实际操作来理解和掌握。
教材中通过丰富的例题和练习题，帮助学生逐步掌握实数与向量相乘的方法和应用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的实数和向量的基础知识，对于实数与向量的乘法有一定的了解。
但是，对于实数与向量相乘的定义和性质，以及其在实际问题中的应用，还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，需要注重学生的实际操作和思考，通过具体的实例和问题，引导学生理解和掌握实数与向量相乘的概念和方法。
三. 教学目标1.了解实数与向量相乘的定义和性质。
2.能够运用实数与向量相乘的方法解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.实数与向量相乘的定义和性质。
2.实数与向量相乘的方法和应用。
五. 教学方法1.实例教学法：通过具体的实例，引导学生理解和掌握实数与向量相乘的概念和方法。
2.问题驱动法：通过提出实际问题，引导学生运用实数与向量相乘的方法解决问题。
3.小组合作法：通过小组合作讨论，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教材和教学参考书。
2.教学PPT或者黑板。
3.练习题和测试题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，如一个人在平面上向右移动3个单位，向上移动2个单位，引导学生思考如何用数学语言来描述这个人的移动。
2.呈现（15分钟）介绍实数与向量相乘的定义和性质，通过具体的实例来解释和展示实数与向量相乘的方法。
3.操练（15分钟）让学生分组进行实际操作，利用实数与向量相乘的方法解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成教材中的练习题，检验学生对实数与向量相乘的理解和掌握程度。
黑龙江省绥化市第九中学高二理科新人教A版选修2-1第三章空间向量与立体几何导学案
⿊龙江省绥化市第九中学⾼⼆理科新⼈教A版选修2-1第三章空间向量与⽴体⼏何导学案1. 理解空间向量的概念，掌握其表⽰⽅法；2. 会⽤图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；3. 能⽤空间向量的运算意义及运算律解决简单的⽴体⼏何中的问题．8486 复习1：平⾯向量基本概念：具有和的量叫向量，叫向量的模（或长度）；叫零向量，记着；叫单位向量.叫相反向量， a的相反向量记着 .叫相等向量. 向量的表⽰⽅法有，，和共三种⽅法.复习2：平⾯向量有加减以及数乘向量运算：1. 向量的加法和减法的运算法则有法则和法则.2. 实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是⼀个量，记作，其长度和⽅向规定如下： (1)|λa |＝ .(2)当λ＞0时，λa 与A. ；当λ＜0时，λa 与A. ；当λ＝0时，λa ＝ .3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成⽴吗？加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ）数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb⼆、新课导学※学习探究探究任务⼀：空间向量的相关概念问题：什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表⽰？新知：空间向量的加法和减法运算：空间任意两个向量都可以平移到同⼀平⾯内，变为OB =， AB = ，试试：1. 分别⽤平⾏四边形法则和三⾓形法则求,.a b a b +-.2. 点C 在线段AB 上，且52AC CB =,则AC = AB , BC = AB . 反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？⑴加法交换律：A. + B. = B. + a ；⑵加法结合律：(A. + b ) + C. =A. + (B. + c )；⑶数乘分配律：λ(A. + b ) =λA. +λb ．※典型例题例 1 已知平⾏六⾯体''''ABCD A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：AB BC + ⑴；'AB AD AA ++⑵；1'2AB AD CC ++ ⑶1(')2AB AD AA ++ ⑷．变式：在上图中，⽤',,AB AD AA 表⽰'',AC BD 和'DB.⼩结：空间向量加法的运算要注意：⾸尾相接的若⼲向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若⼲向量之和时，可通过平移使它们转化为⾸尾相接的向量．. b1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进⾏简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共⾯向量定理及它们的推论；3. 能⽤空间向量的运算意义及运算律解决简单的⽴体⼏何中的问题．⼀、课前准备（预习教材P 86~ P 87，找出疑惑之处）复习1：化简：⑴ 5（32a b - ）+4（23b a -）；⑵ ()()63a b c a b c -+--+- .复习2：在平⾯上，什么叫做两个向量平⾏？在平⾯上有两个向量,a b ，若b 是⾮零向量，则a与b平⾏的充要条件是⼆、新课导学※学习探究探究任务⼀：空间向量的共线问题：空间任意两个向量有⼏种位置关系？如何判定它们的位置关系？新知：空间向量的共线：1. 如果表⽰空间向量的所在的直线互相或，则这些向量叫共线向量，也叫平⾏向量.2. 空间向量共线：定理：对空间任意两个向量,a b （0b ≠ ）， //a b的充要条件是存在唯⼀实数λ，使得推论：如图，l 为经过已知点A 且平⾏于已知⾮零向量的直线，对空间的任意⼀点O ，点P 在直线l 上的充要条件是试试：已知5,28,AB a b BC a b =+=-+()3CD a b =-，求证: A,B,C 三点共线.反思：充分理解两个向量,a b共线向量的充要条件中的0b ≠，注意零向量与任何向量共线.※典型例题例 1 已知直线AB ，点O 是直线AB 外⼀点，若OP xOA yOB =+，且x +y ＝1，试判断A,B,P 三点是否共线？变式：已知A,B,P 三点共线，点O 是直线AB 外⼀点，若12OP OA tOB =+，那么t ＝例2 已知平⾏六⾯体''''ABCD A B C D -，点M 是棱AA '的中点，点G 在对⾓线A 'C 上，且CG:GA '=2:1,设CD =a ，',CB b CC c ==，试⽤向量,,a b c 表⽰向量',,,CA CA CM CG .变式1：已知长⽅体''''ABCD A B C D -，M 是对⾓线AC '中点，化简下列表达式：⑴ 'AA CB - ;⑵ '''''AB B C C D ++⑶ '111222AD AB A A +-D试试：若空间任意⼀点O 和不共线的三点A,B,C 满⾜关系式111236OP OA OB OC =++,则点P 与 A,B,C共⾯吗？反思：若空间任意⼀点O 和不共线的三点A,B,C 满⾜关系式OP xOA yOB zOC =++,且点P 与 A,B,C 共⾯，则x y z ++= .※典型例题例1 下列等式中，使M ,A ,B ,C 四点共⾯的个数是（）①;OM OA OB OC =--②111;532OM OA OB OC =++③0;MA MB MC ++=④0OM OA OB OC +++= . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4变式：已知A,B,C 三点不共线，O 为平⾯ABC 外⼀点，若向量()17,53OP OA OB OC R λλ=++∈则P ,A,B,C 四点共⾯的条件是λ=例2 如图，已知平⾏四边形ABCD,过平⾯AC 外⼀点O 作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,,F ,G ,H,并且使,OE OF OG OHk OA OB OC OD==== 求证：E,F ,G ,H 四点共⾯.变式：已知空间四边形ABCD 的四个顶点A,B,C,D 不共⾯，E,F ,G ,H 分别是AB,BC,CD,AD 的中点，求证：E,F ,G ,H 四点共⾯.⼩结：空间向量的化简与平⾯向量的化简⼀样，加法注意向量的⾸尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的⽅向.※动⼿试试练1. 已知,,A B C 三点不共线，对平⾯外任⼀点，满⾜条件122555OP OA OB OC =++，试判断：点P 与,,A B C 是否⼀定共⾯？练 2. 已知32,(1)8a m n b x m n =-=++ ，0a ≠，若//a b ，求实数.x三、总结提升※学习⼩结 1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律； 2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. ※知识拓展平⾯向量仅限于研究平⾯图形在它所在的平⾯内的平移，⽽空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的⽅向移动相.※⾃我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. ⼀般 D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 在平⾏六⾯体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A、1D C 、11AC是（） A. 有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共⾯向量 D ．不共⾯向量.2. 正⽅体''''ABCD A B C D -中，点E 是上底⾯''''A B C D 的中⼼，若''BB xAD yAB zAA =++, 则x ＝，y ＝，z ＝ .3. 若点P 是线段AB 的中点，点O 在直线AB 外，则OP OA + OB .4. 平⾏六⾯体''''ABCD A B C D -, O 为A 1C 与B 1D的交点,则'1()3AB AD AA ++=AO .5. 在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平⾏；②若a 、b 所在的直线是异⾯直线，则a 、b ⼀定不共⾯；③若a 、b 、c 三向量两两共⾯，则a 、b 、c 三向量⼀定也共⾯；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意⼀个向量p 总可以唯⼀表⽰为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为（）.A ．0 B.1 C. 2D. 3 1. 若324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++， 0a ≠ ，若//a b ，求实数,x y .2.已知两个⾮零向量21,e e不共线,12,AB e e =+ 121228,33AC e e AD e e =+=-. 求证：,,,A B C D 共⾯．A B C D F E G H§3.1.3．空间向量的数量积（1）1. 掌握空间向量夹⾓和模的概念及表⽰⽅法；2.复习1：什么是平⾯向量a 与b的数量积？复习2：在边长为1的正三⾓形⊿ABC 中，求AB BC ?⼆、新课导学※学习探究探究任务⼀：空间向量的数量积定义和性质问题夹⾓和空间线段的长度问题？新知：1) 两个向量的夹⾓的定义：已知两⾮零向量,a b在空间⼀点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠做向量a 与b 的夹⾓，记作 .试试：⑴范围: ,a b ≤<>≤,a b ?? =0时,a b 与 ;,a b ?? =π时,a b 与⑵ ,,a b b a <>=<>成⽴吗？⑶,a b <>=，则称a 与b 互相垂直，记作 .2) 向量的数量积：已知向量,a b ，则叫做,a b作a b ? ，即a b ?=.规定:零向量与任意向量的数量积等于零.反思：⑴两个向量的数量积是数量还是向量？⑵ 0a ?= （选0还是0 ）⑶你能说出a b ?的⼏何意义吗？ 3) 空间向量数量积的性质：（1）设单位向量e ，则||cos ,a e a a e ?=<>．（2）a b a b ⊥??=．＝ .4) 空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ?=?=?．（2）a b b a ?=?（交换律）．（3）()a b c a b a c ?+=?+?（分配律反思：⑴ )()a b c a b c ??=??（吗？举例说明.⑵若a b a c ?=? ，则b c =吗？举例说明.⑶若0a b ?= ，则00a b ==或吗？为什么？※典型例题例1 ⽤向量⽅法证明：在平⾯上的⼀条直线，如果和这个平⾯的⼀条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.变式1：⽤向量⽅法证明：已知：,m n 是平⾯α内的两条相交直线，直线l 与平⾯α的交点为B ，且,l m l n ⊥⊥. 求证：l α⊥．例2 如图，在空间四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，BD =，3CD =，30ABD ∠= ，60ABC ∠= ，求AB 与CD 的夹⾓的余弦值变式：如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB =2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的⾓为（）A. 60°B. 90°C. 105°D. 75°例3 如图，在平⾏四边形ABCD-A 1B 1C 1D 1中，4,3AB AD ==,'5AA =,90BAD ∠=?,'BAA ∠='DAA ∠=60°,求'AC 的长.※动⼿试试练1. 已知向量,a b满⾜1a = ，2b = ，3a b +=，则a b -= ____.练 2. 222,,22a b a b ==?=-已知, 则a b 与的夹⾓⼤⼩为_____. 三、总结提升※学习⼩结1..向量的数量积的定义和⼏何意义.2. 向量的数量积的性质和运算律的运⽤.※知识拓展向量给出了⼀种解决⽴体⼏何中证明垂直问题，求两条直线的夹⾓和线段长度的新⽅法.学习评价※⾃我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. ⼀般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1. 下列命题中：①若0a b ?= ，则a ，b 中⾄少⼀个为0②若a 0≠ 且a b a c ?=? ，则b c =③()()a b c a b c ??=??④22(32)(32)94a b a b a b +?-=-正确有个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2. 已知1e 和2e 是两个单位向量，夹⾓为3π，则下⾯向量中与212e e -垂直的是（）A. 12e e +B. 12e e -C. 1eD. 2e 3.已知ABC ?中，,,A B C ∠∠∠所对的边为,,a b c ，且3,1a b ==,30C ∠=?,则BC CA ?=4. 已知4a = ，2b =，且a 和b 不共线，当 a b λ+ 与a b λ-的夹⾓是锐⾓时，λ的取值范围是 .5. 已知向量,a b满⾜4a = ，2b = ，3a b -= ，则a b +=____课后作业：1. 已知空间四边形ABCD 中，AB CD ⊥，AC BD ⊥，求证：AD BC ⊥.2. 已知线段AB 、BD 在平⾯α内,BD ⊥AB , 线段AC α⊥,如果AB ＝a ,BD ＝b ,AC ＝c ,求C 、D 间的距离.D B C§3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表⽰1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表⽰；2. 掌握空间向量的坐标运算的规律；⼀、课前准备（预习教材P 92-96找出疑惑之处）复习1：平⾯向量基本定理：对平⾯上的任意⼀个向量P ，,a b 是平⾯上两个向量，总是存在实数对(),x y ，使得向量P 可以⽤,a b 来表⽰，表达式为，其中,a b 叫做 . 若a b ⊥，则称向量P 正交分解.复习2：平⾯向量的坐标表⽰：平⾯直⾓坐标系中，分别取x 轴和y 轴上的向量,i j 作为基底，对平⾯上任意向量a ，有且只有⼀对实数x ，y ，使得a xi y j =+，，则称有序对(),x y 为向量a 的，即a ＝ .⼆、新课导学※学习探究探究任务⼀：空间向量的正交分解问题：对空间的任意向量a ，能否⽤空间的⼏个向量唯⼀表⽰？如果能，那需要⼏个向量？这⼏个向量有何位置关系？新知：⑴空间向量的正交分解：空间的任意向量a，均可分解为不共⾯的三个向量11a λ、22a λ、33a λ，使112233a a a a λλλ=++ . 如果123,,a a a两两，这种分解就是空间向量的正交分解.(2)空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c ，对空间任⼀向量p ，存在有序实数组{,,}x y z ，使得p xa yb zc =++. 把的⼀个基底，,,a b c 都叫做基向量.反思：空间任意⼀个向量的基底有个.⑶单位正交分解：如果空间⼀个基底的三个基向量互相，长度都为，则这个基底叫做单位正交基⑷空间向量的坐标表⽰：给定⼀个空间直⾓坐标系O -xyz 和向量a ，且设i 、j 、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正⽅向的单位向量，则存在有序实数组{,,}x y z ，使得a xi y j zk =++，则称有序实数组{,,}x y z 为向量a的坐标，记着p =.⑸设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB＝ .⑹向量的直⾓坐标运算：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++；⑵a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---；⑶λa ＝123(,,)a a a λλλ()R λ∈；⑷a ·b ＝112233a b a b a b ++.试试： 1. 设23a i j k =-+，则向量a 的坐标为 .2. 若A (1,0,2)，B (3,1,1)-，则AB＝ . 3. 已知a ＝(2,3,5)-，b ＝(3,1,4)--，求a ＋b ，a －b ，8a ，a ·b※典型例题例1 已知向量,,a b c 是空间的⼀个基底，从向量,,a b c 中选哪⼀个向量，⼀定可以与向量,p a b =+q a b =-构成空间的另⼀个基底？变式：已知O,A,B,C 为空间四点，且向量,,OA OB OC不构成空间的⼀个基底，那么点O,A,B,C 是否共⾯？⼩结：判定空间三个向量是否构成空间的⼀个基底的⽅法是：这三个向量⼀定不共⾯. 例2 如图，M,N 分别是四⾯体QABC 的边OA,BC 的中点，P ,Q 是MN 的三等分点，⽤,,OA OB OC表⽰OP 和OQ .变式：已知平⾏六⾯体''''ABCD A B C D -，点G是侧⾯''BB C C 的中⼼，且OA a =，',OC b OO c == ，试⽤向量,,a b c 表⽰下列向量: ⑴''',,;OB BA CA ⑵ OG .※动⼿试试练1. 已知()()()2,3,1,2,0,3,0,0,2a b c =-==，求：⑴()a b c ?+ ；⑵68a b c +- .练2. 正⽅体''''ABCD A B C D -的棱长为2，以A 为坐标原点，以'AB,AD,AA 为x 轴、y 轴、z 轴正⽅向建⽴空间直⾓坐标系，则点1D ，',AC AC 的坐标分别是，， .三、总结提升※学习⼩结1. 空间向量的正交分解及空间向量基本定理；2. 空间向量坐标表⽰及其运算※知识拓展建⽴空间直⾓坐标系前，⼀定要验证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则根据已知条件，.※⾃我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. ⼀般 D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 若{}a,,b c为空间向量的⼀组基底，则下列各项中，能构成基底的是（）A.,,a a b a b +-B. ,,b a b a b +-C. ,,c a b a b +-D. 2,,a b a b a b ++-2. 设i 、j 、k 为空间直⾓坐标系O -xyz 中x 轴、y 轴、z 轴正⽅向的单位向量，且AB i j k =-+-，则点B 的坐标是 3. 在三棱锥OABC 中，G 是ABC ?的重⼼（三条中线的交点），选取,,OA OB OC 为基底，试⽤基底表⽰OG ＝4. 正⽅体''''ABCD A B C D -的棱长为2，以A 为坐标原点，以'AB,AD,AA为x 轴、y 轴、z 轴正⽅向建⽴空间直⾓坐标系，E 为BB 1中点，则E 的坐标是 .5. 已知关于x 的⽅程()222350x t x t t --+++=有两个实根，c a tb =+ ，且()()1,1,3,1,0,2a b =-=-，当t ＝时，c的模取得最⼤值. 1. 已知()()3,5,7,2,4,3A B =-=-,求,,AB BA线段AB的中点坐标及线段AB 的长度.2. 已知,,a b c 是空间的⼀个正交基底，向量,,a b a b c +- 是另⼀组基底，若p 在,,a b c 的坐标是()1,2,3，求p 在,,a b a b c +-的坐标.§3.1.5空间向量运算的坐标表⽰1. 掌握空间向量的长度公式、夹⾓公式、两点间距离公式、中点坐标公式；※典型例题例1. 如图,在正⽅体1111ABCD A B C D -中，点11,E F 分别是1111,A B C D 的⼀个四等分点，求1BE 与1DF 所成的⾓的余弦值．变式：如上图,在正⽅体1111A B C D A B C D -中，1111113A BB E D F ==，求1BE 与1DF 所成⾓的余弦值．例2. 如图，正⽅体1111ABCD A B C D -中，点E,F 分别是111,BB D B 的中点，求证：1EF DA ⊥.变式：如图，正⽅体1111ABCD A B C D -中，点M 是AB 的中点，求1DB 与CM 所成⾓的余弦值.1. 若a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则312123a a ab b b ==是//a b的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分⼜不不要条件2. 已知()()2,1,3,4,2,a b x =-=-，且a b ⊥，则x ＝ .3. 已知()()1,0,0,0,1,1A B -,OA OB λ+ 与OB 的夹⾓为120°，则λ的值为（）A. B. C. D. 4. 若()()2,2,0,3,2,a x b x x ==-，且,a b 的夹⾓为钝⾓，则x 的取值范围是（）A. 4x <-B. 40x -<<C. 04x <<D. 4x >5. 已知 ()()1,2,,,1,2a y b x =-=，且(2)//(2)a b a b +-，则（）A. 1,13x y ==B. 1,42x y ==-C. 12,4x y ==- D. 1,1x y ==-1. 如图，正⽅体''''ABCD ABC D -棱长为a ，⑴求'',A B B C 的夹⾓；⑵求证：''A B AC ⊥.2. 如图，正⽅体1111ABCD A B C D -中，点M,N 分别为棱11,A A B B 的中点，求CM 和1D N 所成⾓的余弦值.§3.1 空间向量及其运算（练习）1. 熟练掌握空间向量的加法，减法，向量的数乘运算，向量的数量积运算及其坐标表⽰；a xi y j zk =++，则称有序实数组{,,}x y z 为向量a的坐标，记着p =.10. 设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB ＝ .11. 向量的直⾓坐标运算：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴a ＋b ＝；⑵a －b ＝；⑶λa ＝；⑷a ·b ＝※动⼿试试 1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平⾏；②若a 、b 所在的直线是异⾯直线，则a 、b ⼀定不共⾯；③若a 、b 、c 三向量两两共⾯，则a 、b 、c 三向量⼀定也共⾯；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意⼀个向量p 总可以唯⼀表⽰为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为（）A ．0 B. 1 C. 2 D. 3 2．在平⾏六⾯体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A、1D C 、11AC 是（） A ．有相同起点的向量 B ．等长向量C ．共⾯向量D ．不共⾯向量3．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2）， c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共⾯，则实数λ=（） A. 627 B. 637 C. 647 D. 657 4．若a 、b 均为⾮零向量，则||||?=a b a b 是a 与b 共线的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分⼜不必要条件5．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为（） A ．2 B ．3C ．4D ．56. 32,2,a i j k b i j k =+-=-+ 则53a b ?= （）A ．－15B ．－5C ．－3D ．－1※典型例题例1 如图，空间四边形OABC 中，,OA a OB b == ， OC c =，点M 在OA 上，且OM =2MA ,点N 为BC 的中点，则MN = .变式：如图，平⾏六⾯体''''ABCD A B C D -中，,AB a AD b ==，'AA c = ,点,,P M N 分别是'''',,CA CD C D 的中点，点Q 在'CA 上，且'41CQ QA =,⽤基底,,a b c表⽰下列向量：⑴ AP ; ⑵ AM ; ⑶ AN ; ⑷ AQ .例2 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，190,1,2,6ABC CB CA ∠=?==,点M 是1CC 的中点，求证：1AM BA ⊥.变式：正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱长为2，底⾯边长为1，点M 是BC 的中点，在直线1CC 上求⼀点N ，使得1MN AB ⊥※⾃我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. ⼀般 D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA = a ，CB =b ，1CC = c ，则1A B =（） A. +-a b c B. -+a b c C. -++a b c D.-+-a b c 2.,,m a m b ⊥⊥ (,n a b R λµλµλ=+∈向量且、0)µ≠则（）A ．//m nB ． m 与n不平⾏也不垂直C. m n ⊥， D ．以上情况都可能.3. 已知a +b +c ＝0 ，|a |＝2，|b |＝3，|c|则向量a 与b之间的夹⾓,a b <> 为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对4.已知()()1,1,0,1,0,2,a b==-且ka b + 与2a b - 互相垂直，则k 的值是（）A. .1B. 15C. 35D. 755. 若A (m ＋1，n －1,3)， B. (2m ,n ,m －2n )，C (m ＋3,n －3,9)三点共线，则m +n =如图，在棱长为1的正⽅体1111ABCD A B C D -中，点,,E F G 分别是11,,DD BD BB 的中点. ⑴求证：EF CF ⊥；⑵求EF 与CG 所成⾓的余弦；⑶求CE 的长.§3.2⽴体⼏何中的向量⽅法（1）1. 掌握直线的⽅向向量及平⾯的法向量的概念;⾏、垂直、夹⾓等⽴体⼏何问题．⼀、课前准备（预习教材P 102~ P 104，找出疑惑之处）复习1：可以确定⼀条直线；确定⼀个平⾯的⽅法有哪些？复习2：如何判定空间A ,B ,C 三点在⼀条直线上？复习3：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，a ·b ＝⼆、新课导学※学习探究探究任务⼀：向量表⽰空间的点、直线、平⾯问题：怎样⽤向量来表⽰点、直线、平⾯在空间中的位置？新知：⑴点：在空间中，我们取⼀定点O 作为基点，那么空间中任意⼀点P 的位置就可以⽤向量OP来表⽰，我们把向量OP称为点P 的位置向量. ⑵直线：①直线的⽅向向量：和这条直线平⾏或共线的⾮零向量.②对于直线l 上的任⼀点P ,存在实数t ，使得AP t AB =，此⽅程称为直线的向量参数⽅程. ⑶平⾯：①空间中平⾯α的位置可以由α内两个不共线向量确定.对于平⾯α上的任⼀点P ,,a b是平⾯α内两个不共线向量，则存在有序实数对(,)x y ,使得OP x a y b =+ .②空间中平⾯α的位置还可以⽤垂直于平⾯的直线的⽅向向量表⽰空间中平⾯的位置.⑷平⾯的法向量：如果表⽰向量n的有向线段所在直线垂直于平⾯α，则称这个向量n垂直于平⾯α,记作n ⊥α，那么向量n叫做平⾯α的法向量.试试： .1.如果,a b 都是平⾯α的法向量，则,a b的关系 .2.向量n是平⾯α的法向量，向量a 是与平⾯α平⾏或在平⾯内，则n 与a的关系是 .反思：1. ⼀个平⾯的法向量是唯⼀的吗？2. 平⾯的法向量可以是零向量吗？⑸向量表⽰平⾏、垂直关系：设直线,l m 的⽅向向量分别为,a b，平⾯,αβ的法向量分别为,u v，则① l ∥m ?a ∥b a kb ?=② l ∥α?a u ⊥ 0a u ??=③α∥β?u ∥v .u kv ?=※典型例题例1 已知两点()()1,2,3,2,1,3A B --,求直线AB与坐标平⾯YOZ 的交点.变式：已知三点()()1,2,3,2,1,2,A B ()1,1,2P ,点Q 在OP 上运动（O 为坐标原点）,求当QA QB ?取得最⼩值时,点Q 的坐标.⼩结：解决有关三点共线问题直接利⽤直线的参数⽅程即可.例2 ⽤向量⽅法证明两个平⾯平⾏的判定定理：⼀个平⾯内的两条相交直线与另⼀个平⾯平⾏，则这两个平⾯平⾏.变式：在空间直⾓坐标系中,已知()()()3,0,0,0,4,0,0,0,2A B C ,试求平⾯ABC 的⼀个法向量.⼩结：平⾯的法向量与平⾯内的任意向量都垂直.※动⼿试试练1. 设,a b分别是直线12,l l 的⽅向向量，判断直线12,l l 的位置关系：⑴ ()()1,2,2,2,3,2a b =-=-；⑵ ()()0,0,1,0,0,3a b ==.练2. 设,u v分别是平⾯,αβ的法向量，判断平⾯,αβ的位置关系：⑴ ()()1,2,2,2,4,4u v =-=--；⑵ ()()2,3,5,3,1,4u v =-=--.三、总结提升※学习⼩结1. 空间点，直线和平⾯的向量表⽰⽅法2. 平⾯的法向量求法和性质.※知识拓展：求平⾯的法向量步骤：⑴设平⾯的法向量为(,,)n x y z =；⑵找出(求出)平⾯内的两个不共线的向量的坐标；⑶根据法向量的定义建⽴关于,,x y z 的⽅程组；,即得法向量.※⾃我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. ⼀般 D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 设()()2,1,2,6,3,6a b =--=--分别是直线12,l l 的⽅向向量，则直线12,l l 的位置关系是 .2. 设()()2,2,5,6,4,4u v =-=-分别是平⾯,αβ的法向量，则平⾯,αβ的位置关系是 .3. 已知n α⊥，下列说法错误的是（）A. 若a α?，则n a ⊥B.若//a α，则n a ⊥C.若,m α⊥，则//n mD.若,m α⊥，则n m = 4.下列说法正确的是（）A.平⾯的法向量是唯⼀确定的B.⼀条直线的⽅向向量是唯⼀确定的C.平⾯法向量和直线的⽅向向量⼀定不是零向量D.若m 是直线l 的⽅向向量，//l α，则//m α5. 已知()()1,0,1,0,3,1AB AC =-=-，能做平⾯ABC 的法向量的是（）A. ()1,2,1B.11,,13??C.()1,0,0D. ()2,1,31. 在正⽅体1111ABCD A B C D -中，求证：1DB是平⾯1ACD 的⼀个法向量.2．已知()()2,2,1,4,5,3AB AC ==，求平⾯ABC 的⼀个法向量.§3.2⽴体⼏何中的向量⽅法（2）的⽴体⼏何问题；2. 掌握向量运算在⼏何中求两点间距离和求空间图形中的⾓度的计算⽅法.⼀、课前准备（预习教材P 105~ P 107，找出疑惑之处.复习1：已知1a b ?= ，1,2a b ==，且2m a b =+ ，求m .复习2：什么叫⼆⾯⾓？⼆⾯⾓的⼤⼩如何度量？⼆⾯⾓的范围是什么？⼆、新课导学※学习探究探究任务⼀：⽤向量求空间线段的长度问题：如何⽤向量⽅法求空间线段的长度？新知：⽤空间向量表⽰空间线段，然后利⽤公式a = 求出线段长度.试试：在长⽅体''''A B C DA B C D -中，已知'1,2,1AB BC CC ===,求'AC 的长.反思：⽤向量⽅法求线段的长度，关键在于把未知量⽤已知条件中的向量表⽰.※典型例题例1 如图，⼀个结晶体的形状为平⾏六⾯体，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹⾓都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对⾓线的长与棱长有什么关系？变式1：上题中平⾏六⾯体的对⾓线1BD 的长与棱长有什么关系？变式2：如果⼀个平⾏六⾯体的各条棱长都相等，并且以某⼀顶点为端点的各棱间的夹⾓都等于α, 那么由这个平⾏六⾯体的对⾓线的长可以确定棱长吗?探究任务⼆：⽤向量求空间图形中的⾓度例2 如图，甲站在⽔库底⾯上的点A 处，⼄站在⽔坝斜⾯上的点B 处.从A ，B 到直线l （库底与⽔坝的交线）的距离,AC BD 分别为,a b ，CD 的长为c ，AB 的长为d .求库底与⽔坝所成⼆⾯⾓的余弦值.变式：如图，60?的⼆⾯⾓的棱上有,A B 两点，直线,AC BD 分别在这个⼆⾯⾓的两个半平⾯内，且都垂直于,AB 已知4,6,8AB AC BD ===,求CD 的长.※动⼿试试练1. 如图，已知线段AB 在平⾯α内，线段AC α⊥，线段BD ⊥AB ，线段'DD α⊥，'30DBD∠= ，如果AB ＝a ，AC ＝BD ＝b ，求C 、D 间的距离.练2. 如图，M 、N 分别是棱长为1的正⽅体''''ABCD A B C D -的棱'BB 、''B C 的中点．求异⾯直线MN 与'CD 所成的⾓.三、总结提升※学习⼩结 1. 求出空间线段的长度：⽤空间向量表⽰空间线段，然后利⽤公式a ； 2. 空间的⼆⾯⾓或异⾯直线的夹⾓，都可以转化为利⽤公式cos ,a ba b a b= 求解.※知识拓展解空间图形问题时,可以分为三步完成:（1）建⽴⽴体图形与空间向量的联系，⽤空间向量表⽰问题中涉及的点、直线、平⾯，把⽴体⼏何问题转化为向量问题(还常建⽴坐标系来辅助)；（2）通过向量运算，研究点、直线、平⾯之间的位置关系以及它们之间距离和夹⾓等问题；“翻译”成相应的⼏何意义.※⾃我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. ⼀般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1. 已知()()1,02,1,1,3A B -，则AB = .2. 已知1cos ,2a b =- ，则,a b 的夹⾓为 .3. 若M 、N 分别是棱长为1的正⽅体''''ABCD A B C D-的棱''',A B BB 的中点,那么直线,AM CN 所成的⾓的余弦为（）C.35D.25 4.将锐⾓为60?边长为a 的菱形ABCD 沿较短的对⾓线折成60?的⼆⾯⾓，则,AC BD 间的距离是（）A.32a C.34a 5.正⽅体'''A B C D AB C D -中棱长为a ，'13AM AC=,N 是'BB 的中点，则MN 为（）1. 如图，正⽅体''''ABCD A B C D -的棱长为1， ,M N 分别是''',BB B C 的中点，求：⑴ ',MN CD 所成⾓的⼤⼩；⑵ ,MN AD 所成⾓的⼤⼩；⑶ AN 的长度.§3.2⽴体⼏何中的向量⽅法（3）C。
实数与向量的乘积
实数与向量的应用
实数与向量的乘积在物理、工程 等领域有着广泛的应用，如力的 合成与分解、速度的计算等。
03
实数与向量的乘积运算
乘积的运算规则
结合律
对于任意实数λ、μ和向量a，有λ(μa) = (λμ)a。
分配律
对于任意实数λ、μ和向量a、b，有(λ + μ)a = λa + μa，λ(a + b) = λa + λb。
来得到。
在工程中的应用
结构力学
在工程学中，实数与向量的乘积被广泛应用 于结构力学。例如，桥梁或建筑物的结构分 析需要考虑各种力的作用，这些力可以用向 量表示，并通过实数与向量的乘积进行计算 和分析。
电气工程
在电气工程中，电流、电压和电场强度等物 理量都是向量。实数与向量的乘积可以用来 计算电路中的功率、能量等参数。
03
代数性质
实数与向量的乘积满足一系列代数性 质，如结合律、分配律等，这些性质 使得向量运算更加灵活和方便。
对未来研究的展望
拓展应用领域
实数与向量的乘积作为一种基础的数学工具，在物理、工程、计算机图形学等领域有广泛的应用。未来可以进一步探 索其在其他领域的应用，如机器学习、数据分析等。
高维向量空间的研究
目前对实数与向量的乘积的研究主要集中在二维和三维向量空间。未来可以拓展到更高维度的向量空间，研究高维空 间中实数与向量的乘积的性质和应用。
与其他数学概念的结合
实数与向量的乘积可以与其他数学概念相结合，如矩阵、张量等，产生更丰富的数学结构和性质。未来 可以探索这些结合所带来的新的数学理论和应用。
THANKS
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
●课题
§5.3.1 实数与向量的积(一)
●教学目标
(一)知识目标
1.实数与向量的积的定义；
2.实数与向量的积的运算律；
3.两向量共线的充要条件.
(二)能力目标
1.掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；
2.掌握实数与向量的积的运算律；
3.理解两个向量共线的充要条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行.
●教学重点
1.实数与向量积的定义；
2.实数与向量积的运算律；
3.两个向量共线的充要条件.
●教学难点
对向量共线的充要条件的理解.
●教学方法
启发引导式
实数与向量的积的定义可以看作是数与数的积的概念的推广.启发学生在掌握向量加法的基础上，学习实数与向量的积的概念及运算律，引导学生从特殊归纳到一般.
在学习实数与向量的积的运算律时，应启发学生寻求其与代数运算中实数乘法的运算律的相似性，但应注意它们之间的区别，从而掌握实数与向量的积及其应用.
●教具准备
投影仪、幻灯片
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
师：前面两节课，我们一起学习了向量加减法运算.这一节，我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简便计算及其推广.
Ⅱ.讲授新课
师：在代数运算中，ａ＋ａ＋a＝３ａ,故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，所以相同向量的求和运算也有类似的简便计算.
已知非零向量ａ，我们作出ａ＋ａ＋ａ和(－ａ)＋（－ａ）＋（－ａ）.
由图可知，OC＝OA＋AB＋BC＝ａ＋ａ＋ａ，我们把ａ＋
ａ＋ａ记作3ａ，即OC＝３ａ，显然3ａ的方向与ａ的方向相同，3
ａ的长度是ａ的长度的3倍，即
｜3ａ｜＝３｜ａ｜.
同样，由图可知，PN＝PQ＋QM＋MN＝（－ａ）＋（－ａ）＋（－ａ），我们把(－ａ)＋
（－ａ）＋（－ａ）记作－３ａ，即＝－３ａ，显然－３ａ的方向与ａ的方向相反，－
３ａ的长度是ａ的长度的3倍，即｜－３ａ｜＝３｜ａ｜.
上述过程推广后即为实数与向量的积.
1.实数与向量的积
实数λ与向量ａ的积是一个向量，记作λａ，其长度和方向规定如下：
(1)｜λａ｜＝｜λ｜｜ａ｜
(2)当λ＞０时，λａ与ａ同向；
当λ＜０时，λａ与ａ反向；
当λ＝０时，λａ＝0.
师：根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律.
2.实数与向量的积的运算律
(1)λ（μａ）＝（λμ）ａ
(2)（λ＋μ）ａ＝λａ＋μａ
(3)λ（ａ＋ｂ）＝λａ＋λｂ
说明：对于运算律的验证要求学生通过作图来进行.
3.向量ｂ与非零向量ａ共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使ｂ＝λａ.
说明：(1)推证过程引导学生自学；
(2)可让学生思考把“非零向量”的“非零”去掉后，原充要条件是否正确，目的是通过0与任意向量的平行来加强学生对于充要条件的认识.
师：下面我们通过例题分析来进一步熟悉向量与实数积的定义、运算律及两向量共线的充要条件的应用.
［例1］若3ｍ＋２ｎ＝ａ，ｍ－３ｎ＝ｂ，其中ａ，ｂ是已知向量，求ｍ，ｎ. 分析：此题可把已知条件看作向量ｍ、ｎ的方程，通过方程组的求解获得ｍ、ｎ. 解：记3ｍ＋2ｎ＝ａ①
ｍ－３ｎ＝ｂ②
3×②得３ｍ－９ｎ＝３ｂ③
①－③得11ｎ＝ａ－３ｂ.
∴ｎ＝111ａ－11
3ｂ④ 将④代入②有：ｍ＝ｂ＋３ｎ＝
113ａ＋112ｂ 评述：在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.
［例2］凸四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点分别为E 、F ，求证＝2
1(+). 解法一：构造三角形，使EF 作为三角形中位线，借助于三
角形中位线定理解决.
过点C 在平面内作＝，则四边形ABGC 是平行四边
形，故F 为AG 中点.
∴EF 是△ADG 的中位线，∴EF ?
DG 21, ∴EF ＝21DG .
而DG ＝DC ＋CG ＝DC ＋AB ， ∴EF ＝2
1（AB ＋DC ）.
解法二：创造相同起点，以建立向量间关系
如图，连EB ，EC ，则有EB ＝EA ＋AB ，
＝＋，
又∵E 是AD 之中点， ∴有EA ＋ED ＝0. 即有＋＝＋； 以与为邻边作平行四边形EBGC ，则由F 是BC 之中点，可得F 也是EG 之中点. ∴＝21＝21（＋）＝2
1（＋） Ⅲ.课堂练习
课本Ｐ105练习1，2，3，4.
Ⅳ.课时小结
师：通过本节学习，要求大家掌握实数与向量的积的定义，掌握实数与向量的积的运算律，理解两个向量共线的充要条件，并能在解题中加以运用.
Ⅴ.课后作业
(一)课本Ｐ107习题5.3 1，2，3，4
(二)1．预习P 105～Ｐ107
2．预习提纲：
(1)平面向量基本定理.
(2)定理的应用有哪些？ 1.实数与向量的积 2. ３.两向量共线的充要条件
(2)λ＞０，λａ与ａ (2)（λ＋μ）ａ＝λａ＋μａ
λ＜０，λａ与ａ (3)λ（ａ＋ｂ）＝λａ＋λｂ
●备课资料
1.错例分析
［例1］判断向量ａ＝－２e 与ｂ＝２e 是否共线?
对此题，有同学解答如下：
解：∵ａ＝－２e ，ｂ＝２e ，∴ｂ＝－ａ，∴ａ与ｂ共线.
分析：乍看上述解答，真是简单明快.然而，仔细研究题目已知，却发现
其解答存有问题，这是因为，原题已知中，对向量e 并无任何限制，那么就应允许e ＝0，而当e ＝0时，显然ａ＝0，ｂ＝0，此时，ａ不符合定理中的条件，且使ｂ＝λａ成立的
λ值也不惟一(如λ＝－１，λ＝１，λ＝２等均可使ｂ＝λａ成立)，故不能应用定理来判断它们是否共线.可见，对e ＝0的情况应另法判断才妥.
综上分析，此题应解答如下：
解：(1)当e ＝0时，则ａ＝－２e ＝0
由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也共线向量”，所以，此时ａ与ｂ共线.
(2)当e ≠0时，则ａ＝－２e ≠0，ｂ＝２e ≠0
∴ｂ＝－ａ(这时满足定理中的ａ≠0，及有且只有一个实数λ（λ＝－１），使得ｂ＝λａ成立)
∴ａ与ｂ共线.
综合(1)、(2)可知，ａ与ｂ共线.
2.用向量法解决几何问题
向量是数学中重要概念之一，是解决数学问题的得力工具，它简洁明快，许多几何里的命题，如果用向量知识来解决就显得格外简练.
［例2］如图，MN 是△ABC 的中位线，求证：MN ＝
21BC ，且MN ∥BC .
证明：∵M 、N 分别是AB 、AC 边上的中点，所以=21，=
21，=－=21-21=21（-）=21. 因此，ＮＭ＝
2
1ＢＣ且ＭＮ∥BC . ●教学后记。