均值不等式放缩
基本不等式放缩法
基本不等式放缩法是解决数学问题中的一种常用技巧，特别是在证明不等式时。
放缩法的核心思想是通过适当的放大或缩小某些项，使得原始的不等式更容易处理或者更容易证明。
以下是一些常见的放缩技巧：
1. 添加或舍弃一些正项（或负项）：在保持不等式方向不变的前提下，可以适当添加或去掉一些不影响不等式成立的正项或负项。
2. 先放缩再求和（或先求和再放缩）：根据问题的需要，可以先对某些项进行放缩，然后再进行求和，或者先求和再对结果进行放缩。
3. 逐项放大或缩小：对不等式中的每项单独进行放缩，然后合并结果。
4. 固定一部分项，放缩另外的项：在某些情况下，可以固定一部分项不变，只对其他项进行放缩。
5. 函数放缩：利用函数的单调性进行放缩，例如，对于递增函数，可以放大小的值，缩小大的值。
6. 裂项放缩：将复杂的项分解成更简单的形式，然后进行放缩。
7. 均值不等式放缩：利用算术平均值大于等于几何平均值的性质进行放缩。
8. 二项放缩：在涉及二项式的情况下，可以利用二项式的性质进行放缩。
9. 指数函数放缩：例如，对于指数函数e^x，有e^x ≥x + 1 当x ≥0。
10. 利用导数判断函数的单调性：通过求导数来判断函数的单调性，然后根据单调性进行放缩。
在实际应用中，放缩法往往需要结合具体问题灵活运用，有时还需要与其他数学方法（如代换法、综合法、反证法等）结合使用。
通过放缩，可以将复杂的不等式转化为更易于处理的形式，从而简化问题的解决过程。
几个常用不等式证明不等式方法辛
不等式是高等数学中的一个重要工具。
运用它可以对变量之间的大小关系进行估计，并且一些重要的不等式在现代数学的研究中发挥着重要作用。
这里首先介绍几个常用的不等式，然后再介绍证明不等式的一些方法。
几个重要的不等式 1．平均值不等式设12,,,n a a a 非负，令111()(0)nrr r kk M a a r n =⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭∑（当r<0且至少有一0ka =时，令()0r M a =），111()()nkk A a M a a n ===∑，112()()111nn H a M a a a a -==++，11()nnk k G a a =⎛⎫= ⎪⎝⎭∏，称r M 是r 次幂平均值，A 是算数平均值，H 是调和平均值，G 是几何平均值，则有()()()H a G a A a ≤≤，等式成立的充要条件是12,na a a ===；一般的，如果s>0，t<0，则有()()()t s M a G a M a ≤≤，等式成立的充要条件是12,na a a ===。
2．赫尔德（Holder ）不等式设()0,0,1,2,,,1,2,,j i j a a i n j m>>==，且11mjj a==∑，则1111111()()()()m mnnna a a a m m iiii i i i a a a a ===≤∑∑∑，等式成立的充要条件是(1)()(1)()11,1,2,,m i i nnm kki i a a i n aa=====∑∑。
3．柯西-许瓦兹（Cauchy-Schwarz ）不等式设,,1,2,,i i a b i n =为实数，则112222111||n nni i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑。
4．麦克夫斯基(Minkowsk)不等式 设()0,1,2,,,1,2,,,1j i a i n j m r >==>，则111(1)()(1)()111[()][()][()]nnnm r r m r r r r iiiii i i a aa a===++≤++∑∑∑，等式成立的充要条件是(1)()(1)()11()(),1,2,,()()rm ri i nnr m r kki i a a i n aa=====∑∑。
导数中放缩法(切线放缩、对数均值不等式)
导数中放缩法(切线放缩、对数均值不等式)导数证明中的常用放缩在导数证明中，常用的放缩方法有切线放缩、对数放缩、指数放缩、指对放缩和三角函数放缩等。
其中，常用的放缩公式包括对数放缩和指数放缩。
一、常用放缩公式1.对数放缩对数放缩常常可以将一个函数放缩成一次函数或双撇函数，常用的对数放缩公式包括：lnx≤x-1，lnx<x，ln(1+x)≤xlnxx-1/x，x>1lnxx/2，0<x<1lnx≤x^2-x，ln(1+x)≤x-x^2/2，-1<x<∞ln(1+x)≥x/(1+x)，ln(1+x)>x/2，x>02.指数放缩指数放缩常常可以将一个函数放缩成一次函数或二次函数，常用的指数放缩公式包括：ex≥x+1，ex>x，ex≥ex，x≤0ex<1-x，ex<1-x+x^2/2，x<0ex≥1+x+x^2，ex≥1+x+x^2+x^3，x>03.指对放缩指对放缩常常可以将一个函数的导数放缩成一个常数，常用的指对放缩公式包括：ex-lnx≥(x+1)-(x-1)/2，x>04.三角函数放缩三角函数放缩常常可以将一个函数放缩成一个三角函数或二次函数，常用的三角函数放缩公式包括：XXX<x<tanx，sinx≥x-x^2，-1≤x≤1cosx≤1-sin^2x，-1≤x≤1二、经典例题以函数f(x)=lnx+ax^2+(2a+1)x为例，讨论其单调性和当a<0时的最大值。
1) 解f(x)的定义域为(0,∞)，求导得f'(x)=1/x+2ax+2a+1.当a≥-1/2时，f'(x)>0，因此f(x)在(0,∞)上单调递增；当a<-1/2时，f'(x)<0，因此f(x)在(0,∞)上单调递减。
2) 当a0，因此g(x)在(0,∞)上单调递增，且有g(x)≤g(1)=ln1-2/3=-2/3.又因为f(x)可以表示为f(x)=g(x)+(2a+1)x+ax^2+2/3x，因此有f(x)≤g(1)+(2a+1)x+ax^2+2/3x=-2/3+(2a+1)x+ax^2+2/3x=2/3x+ax^2+(2a+1)x-2/3.当2/3x+ax^2+(2a+1)x-2/3取到最大值时，有x=-(2a+1)/(2a),此时f(x)的最大值为-2/3+(2a+1)^2/(4a)-a(2a+1)^2/(4a)=-3/4a。
均值不等式放缩二次项系数
均值不等式放缩二次项系数在数学的世界里，不等式是一种重要的数学工具，用于描述数之间的大小关系。
而均值不等式作为一类重要的不等式，在数学证明和应用中具有广泛的应用价值。
其中，均值不等式放缩二次项系数更是一种重要的技巧，可以用于简化和优化复杂的不等式问题。
均值不等式放缩二次项系数是指通过调整不等式中二次项系数的形式，使得不等式更易于处理和求解。
在许多实际问题中，不等式的二次项系数可能比较复杂，导致求解困难。
而通过均值不等式放缩二次项系数，可以将复杂的二次项系数变成更简单的形式，从而更方便地进行计算和推导。
下面，我们以一个具体的例子来说明均值不等式放缩二次项系数的思想和方法。
假设我们需要证明以下不等式：(a+b+c)^2>=3(ab+bc+ca)其中，a、b、c为任意实数。
这是一个典型的二次项系数较为复杂的不等式。
首先，我们对不等式两边进行展开，得到：a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)>=3(ab+bc+ca)接下来，我们将不等式左边的二次项系数进行放缩。
根据均值不等式的思想，我们可以将二次项系数进行平均化处理，从而得到更简单的形式。
具体而言，我们将不等式左边的二次项系数2进行拆分，得到：a^2+b^2+c^2+(ab+bc+ca)+(ab+bc+ca)>=3(ab+bc+ca)然后，我们继续对不等式进行变形和简化，得到：(a^2+b^2+c^2)/3+(ab+bc+ca)/3+(ab+bc+ca)>= 3(ab+bc+ca)接下来，我们可以观察到，不等式的左边有两个相同的项(ab+bc+ca)，而右边只有一个。
这时，我们可以使用均值不等式的思想，将两个相同的项进行合并和简化。
具体而言，我们可以将两个相同的项(ab+bc+ca)进行合并，得到：(a^2+b^2+c^2)/3+2(ab+bc+ca)/3>=3(ab+bc+ca)最后，我们再次进行变形和整理，得到：(a^2+b^2+c^2)/3>=(ab+bc+ca)/3通过以上的推导和变形，我们就成功地将原始的不等式转化成了一个更简单的形式。
不等式放缩法常用公式
不等式放缩法常用公式1.AM-GM不等式：对于任意的非负实数$a_1,a_2,cdots,a_n$，有 $frac{a_1+a_2+cdots+a_n}{n}geqsqrt[n]{a_1a_2cdots a_n}$。
2. Cauchy-Schwarz不等式：对于任意的实数$a_1,a_2,cdots,a_n$ 和 $b_1,b_2,cdots,b_n$，有$(a_1b_1+a_2b_2+cdots+a_nb_n)^2leq(a_1^2+a_2^2+cdots+a_n^2) (b_1^2+b_2^2+cdots+b_n^2)$。
3. 切比雪夫不等式：对于任意的实数 $a_1,a_2,cdots,a_n$，有$max_i|a_i-frac{a_1+a_2+cdots+a_n}{n}|leqfrac{sum_{i=1}^n|a _i-frac{a_1+a_2+cdots+a_n}{n}|}{n}$。
4. Jensen不等式：设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，$a_1,a_2,cdots,a_nin I$ 且 $sum_{i=1}^nalpha_i=1$，则有$f(sum_{i=1}^nalpha_ia_i)leqsum_{i=1}^nalpha_if(a_i)$。
5. 柯西不等式：对于任意的非负实数 $a_1,a_2,cdots,a_n$ 和$b_1,b_2,cdots,b_n$，有$(sum_{i=1}^na_ib_i)^2leq(sum_{i=1}^na_i^2)(sum_{i=1}^nb_i^ 2)$。
6. 反柯西不等式：对于任意的非负实数$a_1,a_2,cdots,a_n$ 和 $b_1,b_2,cdots,b_n$，有$(sum_{i=1}^na_ib_i)^2geqfrac{(sum_{i=1}^na_i)^2(sum_{i=1}^ nb_i)^2}{n^2}$。
7. 平均值不等式：对于任意的非负实数 $a_1,a_2,cdots,a_n$，有 $frac{a_1+a_2+cdots+a_n}{n}geqsqrt[n]{a_1a_2cdots a_n}$。
高中数学放缩法技巧全总结
高中数学放缩法技巧全总结高中数学中的放缩法是一种常用的解题技巧，它通过适当调整式子的形式，进行等价转化，从而简化计算或者明晰问题的关键点。
下面总结了一些常见的高中数学放缩法技巧。
1. 分子分母同乘：当分式的分子和分母中含有相同的因式时，可以将分子和分母同时乘以这个因式的倒数，从而得到一个等价的分式。
这样做的好处是可以简化分式，消去分子分母中的公因式。
2. 导数法：在解决函数极值问题时，可以利用导数的概念进行放缩。
通过求函数的导数，并研究导数的正负性，可以找到函数的极值点。
这种方法可以有效地缩小问题的范围，简化计算。
3. 均值不等式：均值不等式是一种常用的放缩方法，它通过寻找合适的均值来放缩不等式。
常见的均值不等式有算术-几何均值不等式、柯西-施瓦茨不等式等。
通过将不等式的两边同时取均值，可以得到一个更简单的等价不等式。
4. 三角函数变换：在解决三角函数相关的问题时，可以利用三角函数的性质进行放缩。
常见的三角函数变换有和差化积、倍角公式等。
通过适当的变换，可以将原问题转化为更容易处理的形式。
5. 幂函数变换：在解决幂函数相关的问题时，可以利用幂函数的性质进行放缩。
常见的幂函数变换有换元法、幂函数的反函数等。
通过适当的变换，可以使问题的形式更简单，更易于分析。
6. 递推关系式：在解决数列相关的问题时，可以利用递推关系式进行放缩。
通过找到数列的递推关系式，可以将原问题转化为递推问题。
递推关系式可以帮助我们找到数列的通项公式，从而简化问题的求解过程。
以上是一些高中数学中常用的放缩法技巧。
通过灵活运用这些技巧，可以在解题过程中简化计算、明晰问题的关键点，从而更高效地解决数学问题。
均值不等式的正确使用及例题
均值不等式的正确使用及例题利用不等式求最值，要注意不等式成立的条件、等号成立的条件以及定值的条件，初学不等式时容易用错，现通过比较来说明均值不等式的正确使用。
（一）均值不等式有许多变形式子，使用哪一个不等式要选准 均值不等式是指),(2+∈≥+R b a ab b a ，它的变形式子有2)2(b a ab +≤，222b a ab +≤，≤+2)(b a)(222b a +等。
由此可知，在求ab 的最大值时至少有两个不等式可供选择，那么选择哪一个更好呢？通过比较发现，若已知b a +是定值，求ab 的最大值可使用第一个不等式；若已知22b a +是定值，求ab 的最大值可用第二个不等式，若求b a +的最大值可用第三个不等式。
（二）使用均值不等式求最值，定值是前提例1. 已知正数a 、b 满足3222=+b a ，求12+b a 的最大值。
（三）连续使用不等式（连续放缩）求最值，等号必须同时成立例2. 已知0>>b a ，求)(42b a b a -+的最小值。
二. 均值不等式的应用（一）用于比较大小例1.若b a >1>，b a P lg lg ⋅=，)lg (lg 21b a Q +⋅=，2lg b a R +=，则（ ） A ．P R <Q <B. Q P <R <C. P Q <R <D. R P <Q < 例2.若)0(21>++=a aa p ，≤-=1(arccos t q )1≤t 则下列不等式恒成立的是（ ） A. q p >≥π B. 0≥>q p C. q p ≥>4 D. 0>≥q p（二）用于求取值范围例3. 若正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 。
（三）用于证明不等式例4. 已知i 、m 、n 是正整数，且<1n m i <≤，求证：.)1()1(m n n m +>+三. 均值不等式中等号不成立时最值的求法利用均值不等式求最值是高中数学中常用方法之一，应注意“一正二定三相等”。
高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结(无师自通)
1. 均值不等式法例1 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n !求证.2)1(2)1(2+<<+n S n n n例2 已知函数bxa x f 211)(⋅+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121)()2()1(1−+>++++n n n f f f ! 例3 求证),1(221321N n n n C C C Cn n nn n n ∈>⋅>++++−!.例4 已知222121n a a a +++=L ，222121n x x x +++=L ，求证：n n x a x a x a +++!2211≤1.2．利用有用结论例5 求证.12)1211()511)(311)(11(+>−++++n n ! 例6 已知函数.2,,10,)1(321lg )(≥∈≤<⋅+−++++=∗n N n a nn a n x f xx x x 给定!求证：)0)((2)2(≠>x x f x f 对任意∗∈N n 且2≥n 恒成立。
例7 已知112111,(1).2n nna a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥；)(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828e ≈L）例8 已知不等式21111[log ],,2232n n N n n ∗+++>∈>L 。
2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。
设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤>=−−n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+<n n b ba n再如：设函数()x f x e x =−。
（Ⅰ）求函数()f x 最小值；（Ⅱ）求证：对于任意n N ∗∈，有1().1nn k k ene =<−∑ 例9 设n n na )11(+=，求证：数列}{n a 单调递增且.4<n a3. 部分放缩例10 设++=a na 21111,23a aa n ++≥L ,求证：.2<n a例11 设数列{}n a 满足()++∈+−=N n na a a n n n 121，当31≥a 时证明对所有,1≥n 有：2)(+≥n a i n ； 21111111)(21≤++++++na a a ii !. 4 . 添减项放缩例12 设N n n∈>,1，求证)2)(1(8)32(++<n n n . 例13 设数列}{n a 满足).,2,1(1,211!=+==+n a a a a nn n 证明12+>n a n 对一切正整数n 成立；5 利用单调性放缩: 构造函数例14 已知函数223)(x ax x f −=的最大值不大于61，又当]21,41[∈x 时.81)(≥x f （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设∗+∈=<<N n a f a a n n ),(,21011，证明.11+<n a n 例15 数列{}n x 由下列条件确定：01>=a x ，,211⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+n n n x a x x N n ∈． （I） 证明：对2≥n总有a x n≥；(II) 证明：对2≥n 总有1+≥n n x x6 . 换元放缩例16 求证).2,(1211≥∈−+<<∗n N n n n n例17 设1>a ，N n n ∈≥,2，求证4)1(22−>a n a n.7 转化为加强命题放缩例18 设10<<a ，定义a a a a a nn +=+=+1,111，求证：对一切正整数n 有.1>n a 例19 数列{}n x 满足.,212211nx x x x n n n +==+证明.10012001<x例20 已知数列｛a n｝满足：a 1＝32，且a n＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1∗≥∈－－（，）＋－ （1）求数列｛a n ｝的通项公式；（2）证明：对一切正整数n 有a 1•a 2•……a n <2•n！8. 分项讨论例21 已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足.1,)1(2≥−+=n a S n n n（Ⅰ）写出数列}{n a 的前3项321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）证明：对任意的整数4>m ，有8711154<+++ma a a !.9. 借助数学归纳法例22（Ⅰ）设函数)10( )1(log )1(log )(22<<−−+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值；（Ⅱ）设正数n p p p p 2321,,,,!满足12321=++++n p p p p !，求证：np p p p p p p p n n −≥++++222323222121log log log log !10. 构造辅助函数法例23 已知()f x = 2ln 243x x +−,数列{}n a 满足()()*11 2 ,0211N n a f a n an ∈=<<−++（1）求()f x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡−021，上的最大值和最小值; （2）证明：102n a −<<; （3）判断n a 与1()n a n N ∗+∈的大小，并说明理由.例24 已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n =L，，．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x>，21121(1)3n na x xx ⎛⎞−−⎜⎟++⎝⎠≥，12n =L ，，； （Ⅲ）证明：2121n n a a a n +++>+L ．例25 已知函数f(x)=x 2-1(x>0)，设曲线y=f(x)在点（x n ,f(x n )）处的切线与x 轴的交点为（x n+1,0）(n∈N *). (Ⅰ) 用x n 表示x n+1； （Ⅱ）求使不等式1n n x x +≤对一切正整数n 都成立的充要条件，并说明理由；（Ⅲ）若x 1=2，求证：.31211111121−≤++++++n n x x x !例1 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k !=+=2121)1(+=++<+<k k k k k k ∵，)21(11∑∑==+<<∴nk n n k k S k ，即.2)1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2ba ab +≤，若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(21+>++=+<∑=n n n k S nk n ，就放过“度”了！②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。
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均值不等式放缩【例32】设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n ，求证：.2)1(2)1(2+<<+n S n n n ．【解析】此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k=+=；2121)1(+=++<+<k k k k k k ，)21(11∑∑==+<<∴nk nn k k S k ，即.2)1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n ． 注：①应注意把握放缩的“度”，上述不等式右边放缩用的是均值不等式2ba ab +≤，若放成1)1(+<+k k k ，则得2)1(2)3)(1()1(21+>++=+<∑=n n n k S nk n ，就放过“度”了！②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里na a na a a a a a n nnn n n22111111++≤++≤≤++ ；其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用．【例33】已知函数bxa x f 211)(⋅+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f ． 【解析】)2211()()1()0(22114111414)(⨯->++⇒≠∙->+-=+=n f f x x f xx x x .2121)21211(41)2211()2211(112-+=+++-=⨯-++⨯-++-n n n n n ．【例34】已知b a ,为正数，且111=+b a ，试证：对每一个*∈N n ，1222)(+-≥--+n n n n n b a b a ． 【解析】由111=+b a 得：b a ab +=，又42)11)((≥++=++ab b a b a b a ，故4≥+=b a ab ，而nn n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110)(，令n n n b a b a n f --+=)()(，则)(n f =1111----++++n n n r r n r n n nab C b a C b a C ，∵in n i n C C -=，倒序相加得)(2n f =)()()(111111b a ab C b a b a C ab b a C n n n n r n r r r n r n n n n-------+++++++ ，而1211112422+------=⋅≥≥+==+==+n nnnn n rn r r rn n n b a b a abba b aabb a ，则)(2n f =))(22())((11rr n r n r n r r n r n r n n r n n b a b a b a b a C C C -----+-=+++++ ⋅-≥)22(n 12+n ，∴)(n f ⋅-≥)22(n n 2，即对每一个*∈N n ，1222)(+-≥--+n n n n n b a b a ．【例35】求证：),1(221321N n n n C C C C n n n n n n ∈>⋅>++++- ．【解析】 不等式左=++++n n n n n C C C C 32112222112-++++=-n n n n n 122221-⋅⋅⋅⋅⋅> =212-⋅n n ，原结论成立．【例36】已知x x e e x f -+=)(，求证：21)1()()3()2()1(nn e n f f f f +>⋅⋅⋅⋅+ ． 【解析】11)1()1()()(2121122121221121+>⋅+++=+⋅+=⋅++x x x x x x x x x x x x x x e ee e e e e e e e e e xf x f ；经过倒序相乘，就可以得到21)1()()3()2()1(nn en f f f f +>⋅⋅⋅⋅+ ．【例37】已知x x x f 1)(+=，求证：n n n n f f f f )1(2)2()3()2()1(+>⋅⋅⋅⋅ ． 【解析】2)12(2)12(11212)12()12112)(1(+-+>-++-++-++-+=-++-++k n k n k k k n k n k k n k k n k n k k ；其中：n k 2,,3,2,1 =，∵n k n k k n k n k k n k 2)12(0)2)(1(2)1(2≥-+⇒≥--=--+⋅，∴22)12112)(1(+≥-++-++n kn k n k k ，从而n n n f f f f 22)22()]2()3()2()1([+>⋅⋅⋅⋅ ，∴n n n n f f f f )1(2)2()3()2()1(+>⋅⋅⋅⋅ ．【例38】若7>k ，求证：231121111>-++++++=nk n n n S n ． 【解析】 )111()3121()2111()111(2nnk nk n nk n nk n S n +-++-+++-+++-+= ；∵当0,0>>y x 时，xyy x xy y x 211,2≥+≥+，∴4)11)((≥++y x y x ，∴y x y x +≥+411，当且仅当y x =时取到等号．∴1)1(414324214142-+-=-+++-+++-+++-+>nk n k n nk n nk n nk n nk n S n ，∴231421)1(211)1(2>+-=+->-+->k k k nk k S n ∴231121111>-++++++=nk n n n S n ． 【例39】已知))(()(21x x x x a x f --=，求证：16)1()0(2a f f ≤⋅． 【解析】16)]1()][1([)1()0(222112a x x x x a f f ≤--=⋅． 【例40】已知函数f （x ）=x2－（－1）k·2lnx （k ∈N*）．k 是奇数，n ∈N*时，求证：[f’（x ）]n－2n －1·f’（xn ）≥2n （2n －2）． 【解析】由已知得)0(22)(>+='x xx x f ，（1）当n=1时，左式=22(2)(2)0x x x x+-+=右式=0．∴不等式成立；（2）2n ≥，左式=)22(2)22()(2)]([11nn n n n n n xx xx x f x f +⋅-+='⋅-'--).11(221424221------++++=n n n n n n n n n n n x C x C x C x C ；令1224214211n n n n nn n nn n S C x C x C C xx------=++++ ．由倒序相加法得：)1()1()1(2221442221-------++++++=n n n n n n n n n n x xC xx C xx C S )22(2)(2121-=+++≥-n n n n n C C C ，∴).22(-≥n S ；∴.)22(2)(2)]([1成立-≥'⋅-'-n n n n n x f x f 综上，当k 是奇数，N n +∈时，命题成立．【例41】（2007年东北三校）已知函数)1()(>-=a x a x f x ．（1）求函数)(x f 的最小值，并求最小值小于0时的a 取值范围；（2）令)1()2()1()('1'2'1-+++=-n f C f C f C n S n n n n ，求证：)2()22()('nf n S n ⋅->．【解析】ea a a a a x x x e a a ea a a a x f aa a f x f a a x f a x x f a x a aa a a x f a a x f 1min min ''''11ln ,1ln ln ,0ln ln ln 1,0)(ln ln ln 1)ln log ()(),ln log )ln log ,()(,ln log ,0)(ln log 1,ln 1,1ln ,0)(,1ln )()1(<<∴<∴-<<+<+=-=+∞---∞-<<->∴>>∴>>-=的取值范围是则即若所以上递增；上递减，在（在所以有同理：又即：由所以不等式成立。
),2()22()1ln )(22()22(ln )22()22(ln )]()()([21)(ln )()1ln ()1ln ()1ln ()()2('2211222111211122111221nf a a a a a a a C a a C a a C C C C a a C a C a C a a C a a C a a C n S n nn n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n -=--=---≥--++++++=+++-+++=-++-+-=---------【例42】（2008年江西卷）已知函数()f x ()0x ,∈+∞．对任意正数a ，证明：()12f x <<． 【解析】对任意给定的0a >，0x >，由()f x ；若令8b ax=，则8abx =①，而()f x ()1f x >11x+11a +11b +，又由28a b x +++≥，得6a b x ++≥．∴()111111f x x a b+++++32()()(1)(1)(1)a b x ab ax bx x a b ++++++=+++9()()(1)(1)(1)a b x ab ax bx x a b ++++++≥+++1()()1(1)(1)(1)a b x ab ax bx abxx a b +++++++==+++．再证()2f x <；由①②式中关于,,x a b 的对称性，不妨设x a b ≥≥．则02b <≤；当7a b +≥，则5a ≥，∴5x a ≥≥1，1，此时()2f x ；当7a b +<③，由①得，8x ab =，22211[1]114(1)2(1)b b b b b b b <-+=-++++12(1)b b -+12(1)aa -+⑤，于是()12211abf x a b ⎛<-+- ++⎝⑥；现证明11a b a b +>++11a b a b +≥++(1)(1)8ab aba b ab >+++，即8(1)(1)ab a b +>++，也即7a b +<，根据③此为显然．因此⑦得证．故由⑥得()2f x <．综上所述，对任何正数a,x ，皆有()12f x <<． 【例43】求证：213121111<++++++<n n n ． 【解析】一方面：（法一）142214131211312111=+>⎪⎭⎫⎝⎛++≥++++++n n n ；（法二）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅=++++++11131312113111211312111n n n n n n n n n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++++⋅=)13)(1(24)2(324)1)(13(2421n n n n n n n n n ()1)12()12()12(1)1()12(1)12(11222222222=++>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++--++-+⋅+=n n n n n n n n n ；另一方面：21221121312111=++<++<++++++n n n n n n n ．。