交叉熵损失函数的导数
【深度学习】softmax回归——原理、one-hot编码、结构和运算、交叉熵损失
【深度学习】softmax回归——原理、one-hot编码、结构和运算、交叉熵损失1. softmax回归是分类问题 回归（Regression）是⽤于预测某个值为“多少”的问题，如房屋的价格、患者住院的天数等。
分类（Classification）不是问“多少”，⽽是问“哪⼀个”，⽤于预测某个事物属于哪个类别，如该电⼦邮件是否是垃圾邮件、该图像是猫还是狗、该⽤户接下来最有可能看哪部电影等。
分类问题也有些许差别：（1）我们只对样本的硬性类别感兴趣，即属于哪个类别；（2）我们希望得到软性类别，即每个类别的概率是多少。
这两者的界限往往很模糊，我们通常使⽤软性类别的模型来进⾏硬性分类。
这也是softmax模型的原理。
2. 如何表⽰分类问题——独热编码（one-hot encoding） 我们需要在分类问题中表⽰类别（标签）。
最直接的想法是选择y\in \left\{1,2,3 \right\}，其中的整数分别代表每个类别，如果类别之间有⼀些⾃然顺序，⽐如\left\{\text{婴⼉},\text{⼉童},\text{青少年},\text{年青⼈},\text{中年⼈},\text{⽼年⼈}\right\}，那么将这个问题转变为回归问题并保留这种格式是有意义的。
但是，⼀般的分类问题并不与类别之间的⾃然顺序有关。
对此，我们使⽤⼀种简单的表⽰⽅法：独热编码（one-hot encoding）。
独热编码是⼀个向量，它的分量和类别数⽬⼀样多，类别对应的分类设置为1，其他所有分量设置为0。
例如，⼀个图像分类问题，输⼊图像是⼀个2\times 2的灰度图像，可以⽤⼀个标量表⽰每个像素值，每个图像对应四个特征x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}。
输⼊图像被分类为“猫”、“狗”、“鸡”，那么标签y就是⼀个三维向量，其中\left(1,0,0\right)对应于“猫”，\left(0,1,0\right)对应于“狗”，\left(0,0,1\right)对应于“鸡”：y\in\left\{\left(1,0,0\right),\left(0,1,0\right),\left(0,0,1\right)\right\}3. ⽹络结构 为了获得所有可能类别的概率，我们需要⼀个多输出的模型，每个类别对应⼀个输出。
交叉熵 推导
交叉熵推导全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：交叉熵（Cross Entropy）是一种在信息论和机器学习中经常使用的指标，用于衡量两个概率分布之间的差异性。
在机器学习中，交叉熵通常被用作损失函数，用于衡量模型输出的概率分布与真实标签之间的差异，从而指导模型参数的优化。
在本文中，我们将介绍交叉熵的定义，推导过程以及在机器学习中的应用。
让我们定义两个概率分布P和Q，它们分别表示模型输出的概率分布和真实标签的概率分布。
交叉熵的定义如下：\[H(P, Q) = - \sum_x p(x) \log q(x)\]x表示样本，p(x)和q(x)分别表示样本x在分布P和Q下的概率。
交叉熵可以理解为模型输出概率分布和真实标签概率分布之间的不匹配程度。
如果两个概率分布完全相同，那么交叉熵的值将为0，表示两者完全一致；而如果两个概率分布差异很大，那么交叉熵的值将会很大，表明它们之间存在很大的不匹配。
接下来，让我们来推导交叉熵的表达式。
根据交叉熵的定义，我们可以将其展开为：将概率分布Q表示为模型输出概率分布的形式，即q(x) = f(x)，其中f(x)表示模型输出的概率分布。
我们可以得到：对上式进行求和，得到交叉熵的总体表达式为：我们将交叉熵写成更通用的形式，即交叉熵损失函数为：\[\mathrm L = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sum_{k=1}^{K} y_k^{(i)} \log(\hat{y}^{(i)}_k)\]m表示样本数目，K表示类别数目，y_k^{(i)}表示第i个样本的真实标签的第k个类别的概率，\hat{y}_k^{(i)}表示模型输出的第i个样本在第k个类别上的预测概率。
通过最小化交叉熵损失函数，我们能够使模型的输出概率分布接近于真实标签的概率分布，从而提高模型的准确性。
在实际应用中，交叉熵通常与Softmax函数结合使用。
Softmax 函数能够将模型输出的原始分数转化为概率分布，使得输出值在0到1之间，并且所有输出值的总和等于1。
损失函数公式
损失函数公式损失函数用来评价模型的预测值和真实值不一样的程度，损失函数越好，通常模型的性能越好。
不同的模型用的损失函数一般也不一样。
损失函数分为经验风险损失函数和结构风险损失函数。
经验风险损失函数指预测结果和实际结果的差别，结构风险损失函数是指经验风险损失函数加上正则项。
常见的损失函数以及其优缺点如下：0-1损失函数(zero-one loss)0-1损失是指预测值和目标值不相等为1，否则为0:L ( Y , f ( X ) ) = \left\{ \begin{array} { l } { 1 , Y \neq f ( X ) } \\ { 0 , Y = f ( X ) } \end{array} \right. \\特点：(1)0-1损失函数直接对应分类判断错误的个数，但是它是一个非凸函数，不太适用.(2)感知机就是用的这种损失函数。
但是相等这个条件太过严格，因此可以放宽条件，即满足|Y-f(x)|<T时认为相等，L ( Y , f ( X ) ) = \left\{ \begin{array} { l } { 1 , | Y - f ( X ) | \geq T } \\ { 0 , | Y = f ( X ) | < T } \end{array}\right. \\2.绝对值损失函数绝对值损失函数是计算预测值与目标值的差的绝对值：L(Y,f(x))=|Y-f(x)|\\3. log对数损失函数log对数损失函数的标准形式如下：L(Y, P(Y|X)) = -logP(Y|X) \\特点：(1) log对数损失函数能非常好的表征概率分布，在很多场景尤其是多分类，如果需要知道结果属于每个类别的置信度，那它非常适合。
(2)健壮性不强，相比于hinge loss对噪声更敏感。
(3)逻辑回归的损失函数就是log对数损失函数。
4.平方损失函数平方损失函数标准形式如下：L ( Y | f ( X ) ) = \sum _ { N } ( Y - f ( X ) ) ^ { 2 } \\特点：(1)经常应用与回归问题5. 指数损失函数（exponential loss）指数损失函数的标准形式如下：L(Y|f(X)) = exp[-yf(x)] \\特点：(1)对离群点、噪声非常敏感。
交叉熵损失 crossentropyloss
交叉熵损失（Cross Entropy Loss）1. 介绍交叉熵损失（Cross Entropy Loss）是一种常用的损失函数，广泛应用于分类问题中。
在机器学习和深度学习中，我们通常需要训练一个模型来对输入数据进行分类，而交叉熵损失可以帮助我们衡量模型的预测结果与真实标签之间的差异，并通过反向传播算法来更新模型的参数，从而使模型能够更好地进行分类任务。
2. 信息论基础在理解交叉熵损失之前，我们先来了解一些信息论的基础知识。
信息熵（Entropy）是信息论中的一个概念，用来衡量一个随机变量的不确定性。
对于一个离散型随机变量X，其概率分布为P(X)，则其信息熵定义如下：%20=%20-%20_{i=1}^{n}P(X=i))其中，n表示随机变量X的取值个数。
信息熵越大，表示随机变量的不确定性越高。
交叉熵（Cross Entropy）则是用来衡量两个概率分布之间的差异，特别是在分类问题中，我们可以将模型的预测结果看作是一个概率分布，真实标签也可以看作是一个概率分布。
交叉熵定义如下：%20=%20-%20_{i=1}^{n}P(i))其中，P表示真实标签的概率分布，Q表示模型的预测结果的概率分布。
交叉熵越小，表示模型的预测结果与真实标签之间的差异越小。
3. 交叉熵损失函数在分类问题中，我们通常使用交叉熵损失函数来衡量模型的预测结果与真实标签之间的差异。
对于一个具有n个类别的分类问题，真实标签可以表示为一个n维的向量，其中只有一个元素为1，其余元素为0。
假设模型的预测结果为一个n维的向量，表示各个类别的预测概率，我们可以使用交叉熵损失函数来计算模型的损失。
交叉熵损失函数的定义如下：%20=%20-_{i=1}^{n}P(i))其中，P表示真实标签，Q表示模型的预测结果。
交叉熵损失越小，表示模型的预测结果与真实标签之间的差异越小。
4. 交叉熵损失的优势交叉熵损失在分类问题中具有以下几个优势：4.1. 反映模型的不确定性交叉熵损失可以反映模型的不确定性，当模型的预测结果与真实标签之间的差异较大时，交叉熵损失会较大，反之亦然。
损失函数计算公式
损失函数计算公式
损失函数是用来衡量我们模型预测结果与真实结果之间差距的函数，常见的损失函数有均方误差、交叉熵、对数损失等。
以下是常见损失函数的计算公式：
1. 均方误差（Mean Squared Error，MSE）:
$$
MSE(y, \hat{y}) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(y_i-\hat{y}_i)^2 $$
其中，y为真实结果，$\hat{y}$为模型预测结果，n为数据集样本数量。
2. 交叉熵（Cross-Entropy）:
$$
Cross\_Entropy(y, \hat{y}) = -
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n[y_i\log\hat{y}_i+(1-y_i)\log(1-
\hat{y}_i)]
$$
其中，y为真实结果，$\hat{y}$为模型预测结果，n为数据集样本数量。
3. 对数损失（Logarithmic Loss）:
$$
Log\_Loss(y, \hat{y}) = -
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n[y_i\log\hat{y}_i+(1-y_i)\log(1-
\hat{y}_i)]
$$
其中，y为真实结果，$\hat{y}$为模型预测结果，n为数据集样本数量。
以上是常见的三种损失函数的计算公式，实际应用中也有其他类型的损失函数。
交叉熵损失函数的导数
交叉熵损失函数的导数
交叉熵损失函数（CEL）是机器学习中最常用的损失函数之一，其可以用来衡量预测值和目标值之间的不一致性。
本文将讨论交叉熵损失函数的导数，以及如何使用它来优化神经网络模型。
首先，让我们来解释交叉熵损失函数。
它是一种度量预测值和目标值之间差距的损失函数，它可以用来优化神经网络模型。
它通过计算预测值和实际值之间的差别来度量不一致性，它的定义如下：
CEL（P，Q）= -Σp（x）* log（q（x））
其中p（x）为输入样本的概率分布，q（x）为预测值，即网络输出的概率分布，Σ代表所有可能输入样本的概率之和。
接下来，我们来讨论交叉熵损失函数的导数，它可以用来应对和调整神经网络模型。
它表示交叉熵损失函数对于神经网络模型中参数的导数，求导公式如下：
CEL（P，Q）的导数= -Σp（x）* q（x）的导数
其中q（x）的导数表示网络输出的概率分布对于神经网络模型中参数的偏导数。
接下来，我们来看看如何使用交叉熵损失函数的导数来优化神经网络模型。
通常情况下，首先对交叉熵损失函数求导，然后使用梯度下降算法来更新参数。
具体而言，梯度下降算法可以计算出每个参数的梯度，然后根据梯度更新参数，这也就是所谓的“学习率”。
当然，为了更有效地优化神经网络模型，还有一些更复杂的优化方法，比如Adam算法。
但是，在这里，我们只讨论最简单的优化方
法，即使用交叉熵损失函数及其导数来优化。
总之，今天我们讨论了交叉熵损失函数的导数，并看到如何使用它来优化神经网络模型。
它是一种用来衡量预测值和目标值之间的不一致性的损失函数，可以通过计算梯度来更新参数，从而使神经网络模型更准确。
神经网络系列之三--损失函数
神经⽹络系列之三--损失函数第3章损失函数3.0 损失函数概论3.0.1 概念在各种材料中经常看到的中英⽂词汇有：误差，偏差，Error，Cost，Loss，损失，代价......意思都差不多，在本书中，使⽤“损失函数”和“Loss Function”这两个词汇，具体的损失函数符号⽤J来表⽰，误差值⽤loss表⽰。
“损失”就是所有样本的“误差”的总和，亦即（m为样本数）：损失 = \sum^m_{i=1}误差_iJ = \sum_{i=1}^m loss在⿊盒⼦的例⼦中，我们如果说“某个样本的损失”是不对的，只能说“某个样本的误差”，因为样本是⼀个⼀个计算的。
如果我们把神经⽹络的参数调整到完全满⾜独⽴样本的输出误差为0，通常会令其它样本的误差变得更⼤，这样作为误差之和的损失函数值，就会变得更⼤。
所以，我们通常会在根据某个样本的误差调整权重后，计算⼀下整体样本的损失函数值，来判定⽹络是不是已经训练到了可接受的状态。
损失函数的作⽤损失函数的作⽤，就是计算神经⽹络每次迭代的前向计算结果与真实值的差距，从⽽指导下⼀步的训练向正确的⽅向进⾏。
如何使⽤损失函数呢？具体步骤：1. ⽤随机值初始化前向计算公式的参数；2. 代⼊样本，计算输出的预测值；3. ⽤损失函数计算预测值和标签值（真实值）的误差；4. 根据损失函数的导数，沿梯度最⼩⽅向将误差回传，修正前向计算公式中的各个权重值；5. goto 2, 直到损失函数值达到⼀个满意的值就停⽌迭代。
3.0.2 机器学习常⽤损失函数符号规则：a是预测值，y是样本标签值，J是损失函数值。
Gold Standard Loss，⼜称0-1误差loss=\begin{cases} 0 & a=y \\ 1 & a \ne y \end{cases}绝对值损失函数loss = |y-a|Hinge Loss，铰链/折页损失函数或最⼤边界损失函数，主要⽤于SVM（⽀持向量机）中loss=max(0,1-y \cdot a), y=\pm 1Log Loss，对数损失函数，⼜叫交叉熵损失函数(cross entropy error)loss = -\frac{1}{m} \sum_i^m y_i log(a_i) + (1-y_i)log(1-a_i) \qquad y_i \in \{0,1\}Squared Loss，均⽅差损失函数loss=\frac{1}{2m} \sum_i^m (a_i-y_i)^2Exponential Loss，指数损失函数loss = \frac{1}{m}\sum_i^m e^{-(y_i \cdot a_i)}3.0.3 损失函数图像理解⽤⼆维函数图像理解单变量对损失函数的影响图3-1 单变量的损失函数图图3-1中，纵坐标是损失函数值，横坐标是变量。
逻辑回归交叉熵损失函数
逻辑回归交叉熵损失函数逻辑回归（logistic regression）是一种分类算法，用于预测一个事件的概率，它通常被用来解决二元分类问题。
逻辑回归的核心是一个假设函数，它将输入特征映射到一个实数域值，该值表示分类结果的概率。
在该函数中，使用了一个称为sigmoid函数的特殊函数。
sigmoid函数的输出范围在0到1之间，它可以认为是事件发生的概率。
逻辑回归的训练过程是通过最小化一个损失函数来实现的，其中最广泛使用的是交叉熵损失函数。
逻辑回归模型的假设函数可表示为：$$ h_\theta(x) = \frac{1}{1 + e^{-\theta^Tx}} $$其中，$\theta$是模型的参数，$x$是输入特征。
对于给定的输入特征$x$，模型的输出表示为事件发生的概率$h_\theta(x)$。
当$h_\theta(x)$大于0.5时，模型将$x$分类为正例，否则将其分类为负例。
假设我们有一组数据集$D=\{(x_i, y_i)\}_{i=1}^N$，其中$x_i$是输入特征，$y_i$是该特征所对应的标签，标签的取值为0或1。
为了训练逻辑回归模型，我们需要定义一个损失函数，它可以衡量模型预测结果的误差。
在逻辑回归中，通常采用交叉熵损失函数（cross-entropy loss function）作为损失函数。
当模型的预测结果与实际标签相符时，损失函数的值较小；反之，当它们不一致时，损失函数的值较大。
该损失函数的直观含义是：当样本的实际标签为1时，我们希望$h_\theta(x)$越大越好，因为在这种情况下，它反映了正例的概率。
反之，当样本的实际标签为0时，我们希望$h_\theta(x)$越小越好，因为这意味着模型把该样本分类为负例的概率越大。
将整个数据集的损失函数取平均值，我们可以得到模型的平均交叉熵损失函数：最小化平均交叉熵损失函数的过程通常是通过梯度下降算法来实现的。
梯度下降算法的思想是在每一步中，沿着损失函数下降最快的方向调整参数$\theta$，以达到最小化损失函数的目的。
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交叉熵损失函数的导数
在深度学习中，交叉熵损失函数通常使用以下公式表示：
C = -sum(y * log(y_hat))
为了计算交叉熵损失函数的导数，我们需要将公式中的log函数展开，并使用链式法则求导。
首先，让我们展开交叉熵损失函数：
C = -sum(y * log(y_hat))
= -sum(y * (log(y_hat_1) + log(y_hat_2) + ... +
log(y_hat_n)))
接下来，我们对每个y_hat_i进行求导：
∂C/∂y_hat_i = -sum(y * (∂log(y_hat_1) + ∂log(y_hat_2) + ... + ∂log(y_hat_n)))
为了计算导数，我们需要对log函数进行求导。
根据链式法则，我们有：
∂log(y_hat_i)/∂y_hat_i = 1/y_hat_i
因此，继续推导交叉熵损失函数的导数：
∂C/∂y_hat_i = -sum(y * (1/y_hat_1 + 1/y_hat_2 + ... +
1/y_hat_n))
= -sum(y/y_hat_1 + y/y_hat_2 + ... + y/y_hat_n)
= -sum(y * (1/y_hat_1 + 1/y_hat_2 + ... + 1/y_hat_n))
= -sum(y * (1/y_hat_1 + 1/y_hat_2 + ... + 1/y_hat_n))
综上所述，交叉熵损失函数相对于y_hat_i的导数可以表示为：
∂C/∂y_hat_i = -sum(y * (1/y_hat_1 + 1/y_hat_2 + ... +
1/y_hat_n))
这是交叉熵损失函数的导数公式，它对于深度学习中模型训练的反向
传播非常重要。
在实际应用中，这个导数用于计算模型参数的梯度，然后
使用梯度下降算法来更新模型的参数，以最小化损失函数。
需要注意的是，在实际计算中，为了避免除以零的情况，通常会在
log函数中增加一个极小的正数ϵ，即log(y_hat_i + ϵ)。
这个技巧被称
为平滑（smoothing）操作，它确保在计算过程中不会出现除以零的情况，从而保证数值的稳定性。
总结起来，交叉熵损失函数的导数对于深度学习模型的优化和训练非
常重要。
通过计算损失函数相对于预测概率向量的导数，我们可以获得梯
度信息，并使用梯度下降算法来更新模型参数，以提高模型的性能。