平面向量的减法及几何意义

向量减法运算及其几何意义以前台胞春节期间来大陆探亲，乘飞机从台北到香港，再从香港到上海，若台北到香港的位移用向量a 表示，香港到上海的位移用向量b 表示，台北到上海的位移用向量c 表示．想一想，向量a 、b 、c 有何关系？ 1．相反向量定义如果两个向量长度__相等__，而方向__相反__那么称这两个向量是相反向量性质①对于相反向量有：a ＋(－a )＝ 0②若a 、b 互为相反向量，则a ＝ －b ，a ＋b ＝ 0 ③零向量的相反向量仍是零向量2．向量的减法 定义a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的__相反向量__ 作法在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝ BA →.如图所示几何 意义 如果把两个向量a 、b 的起点放在一起，则a －b 可以表示为从向量b 的__终点__指向向量a 的__终点__的向量[知识点拨]1.向量减法的三角形法则中，BA →表示a －b ，强调了差向量的“箭头”指向被减向量．即作非零向量a ，b 的差向量a －b ，可以简记为“共起点，连终点指向被减”．2．由上可知，可以用向量减法的三角形法则作差向量；也可以用向量减法的定义a －b ＝a ＋(－b )(即平行四边形法则)作差向量，显然，此法作图较烦琐．3．如图，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线所对应的向量AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ，这一结论在以后的学习中应用非常广泛．1．△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，则AB →＝( D ) A ．a －bB ．b －aC ．a ＋bD ．－a －b[解析] AB →＝CB →－CA →＝－BC →－CA →＝－a －b ．2．如图所示，已知ABCDEF 是一个正六边形，O 是它的中心，其中OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则EF →等于( D )A ．a ＋bB ．b －aC ．c －bD ．b －c[解析] 如图EF →＝CB →＝OB →－OC →．3．化简AB →＋DA →－DB →－BC →－CA →的结果是 AB →．[解析] 将能够首尾相连的或变号后能首尾相连的放在一起运算，即AB →＋DA →－DB →－BC →－CA →＝(AB →＋BD →＋DA →)－(BC →＋CA →)＝0－BA →＝AB →．4．四边形ABCD 是边长为1的正方形，则|AB →－AD →|＝ 2 ．[解析] |AB →－AD →|＝|DB →|＝12＋12＝2．命题方向1 ⇨三角形法则下的向量加减法运算 典例1 化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)． [思路分析][解析] 方法一(统一成加法) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝AD →＋DA →＝0．方法二(利用OA →－OB →＝BA →) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)－CD →＋BD →＝CB →－CD →＋BD →＝DB →＋BD →＝0．方法三(利用AB →＝OB →－OA →)设O 是平面内任意一点，则(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(OB →－OA →)－(OD →－OC →)－(OC →－OA →)＋(OD →－OB →)＝OB →－OA →－OD →＋OC →－OC →＋OA →＋OD →－OB →＝0．『规律总结』 掌握向量加、减法的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识，可以将杂乱的向量运算有序化处理，进行向量的加减运算时，常用的变形如下：(1)运用AB →＝－BA →化减为加；(2)运用AB →＋BA →＝0或AB →＋BC →＝AC →化繁为简； (3)运用AB →＝OB →－OA →转化为共起点的两个向量的差． 〔跟踪练习1〕化简：(1)OA →－OD →＋AD →； (2)AB →＋DA →＋BD →－BC →－CA →．[解析] (1)方法一 OA →－OD →＋AD →＝DA →＋AD →＝0． 方法二 OA →－OD →＋AD →＝OA →＋AD →－OD →＝OD →－OD →＝0．(2)AB →＋DA →＋BD →－BC →－CA →＝AB →＋DA →＋BD →＋CB →＋AC →＝(AB →＋BD →)＋(AC →＋CB →)＋DA →＝AD →＋AB →＋DA →＝AD →＋DA →＋AB →＝0＋AB →＝AB →．命题方向2 ⇨利用已知向量表示其他向量典例2 如图，在正六边形ABCDEF 中，O 为中心，若OA →＝a ，OE →＝b ，用向量a 、b 表示向量OB →、OC →和OD →．[思路分析] 观察图形→找已知向量与所求向量的关系→利用法则写出结果[解析] 解法一：在▱OAFE 中，OF 为对角线，且OA ，OF ，OE 起点相同，应用平行四边形法则，得OF →＝OA →＋OE →＝a ＋b ．∵OC →＝－OF →，∴OC →＝－a －b ． 而OB →＝－OE →＝－b ，OD →＝－OA →＝－a ， ∴OB →＝－b ，OC →＝－a －b ，OD →＝－a ． 解法二：由正六边形的几何性质，得 OD →＝－a ，OB →＝－b ，BC →＝－OA →＝－a ． 在△OBC 中，OC →＝OB →＋BC →＝－a －b ． 解法三：由正六边形的几何性质，得 OB →＝－b ，OD →＝－a ．在▱OBCD 中，OC →＝OB →＋OD →＝－a －b ．『规律总结』 解此类问题要根据图形的几何性质，运用向量的平行四边形法则和三角形法则解题．要特别注意向量的方向以及运算式中向量之间的关系．〔跟踪练习2〕如图所示，解答下列各题：(1)用a 、d 、e 表示DB →； (2)用b 、c 表示DB →； (3)用a 、b 、e 表示EC →； (4)用c 、d 表示EC →． [解析] (1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝d ＋e ＋a ＝a ＋d ＋e ．(2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c ． (3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝a ＋b ＋e ． (4)EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－c －d ． 向量加减法的综合运用典例3 已知O 为四边形ABCD 所在平面外的一点，且向量OA →，OB →，OC →，OD →满足OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状为__平行四边形__．[思路分析] 向量a ＋b ，a －b 的几何意义在证明、运算中具有重要的应用．对于平行四边形、菱形、矩形、正方形对角线具有的性质要熟悉并会应用．基本思路是：先对向量条件化简、转化，再找(作)图形(三角形或平行四边形)，确定图形的形状，利用图形的几何性质求解．[解析] ∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →， ∴OA →－OD →＝OB →－OC →，∴DA →＝CB →． ∴|DA →|＝|CB →|，且DA ∥CB ， ∴四边形ABCD 是平行四边形．〔跟踪练习3〕在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则必有( C )A ．AD →＝0 B ．AB →＝0或AD →＝0 C ．四边形ABCD 为矩形 D ．四边形ABCD 为正方形错误使用向量的减法法则典例4 如图，已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 的向量分别为r 1，r 2，r 3，求OD →．[错解] 因为OD →＝OC →＋CD →，CD →＝BA →＝OB →－OA →，所以OD →＝OC →＋OB →－OA →＝r 3＋r 2－r 1． [错因分析] 错误地使用了向量的减法法则．[正解] 因为OD →＝OC →＋CD →，CD →＝BA →＝OA →－OB →，所以OD →＝OC →＋OA →－OB →＝r 3＋r 1－r 2． [误区警示] 已知平面向量的起点与终点的多个向量的加减运算，可以灵活运用向量加法的运算律，遵循“首尾相接”的原则即可．〔跟踪练习4〕如图所示，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，求OD →．[解析] BC →＝OC →－OB →＝c －b ，又AD →＝BC →，∴AD →＝c －b ， ∴OD →＝OA →＋AD →＝a ＋c －b ． K 课堂达标验收e tang da biao yan shou1．下列等式：①0－a ＝－a ；②－(－a )＝a ； ③a ＋(－a )＝0；④a ＋0＝a ；⑤a －b ＝a ＋(－b )； ⑥a ＋(－a )＝0． 正确的个数是( C ) A ．3 B ．4 C ．5D ．62．在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，则AB →等于( B ) A ．a ＋b B ．－a －b C ．a －bD ．b －a[解析] AB →＝CB →－CA →＝－BC →－CA →＝－a －b ，故选B ． 3．化简AC →－BD →＋CD →－AB →得( D ) A ．AB → B ．DA → C ．BC →D ．0[解析] 原式＝(AC →－AB →)＋(CD →＋DB →)＝BC →＋CB →＝0． 4．在▱ABCD 中，AC →－AD →等于( A ) A ．AB → B ．BA → C ．CD →D ．DB →[解析] AC →－AD →＝DC →，在▱ABCD 中，DC →＝AB →．5．已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且四边形ABCD 为平行四边形，则( B ) A ．a ＋b ＋c ＋d ＝0 B ．a －b ＋c －d ＝0 C ．a ＋b －c －d ＝0D ．a －b －c ＋d ＝0[解析] 如图，a －b ＝OA →－OB →＝BA →，c －d ＝OC →－OD →＝DC →，又四边形ABCD 为平行四边形，则BA →＝CD →，即BA →－CD →＝0，所以BA →＋DC →＝0，即a －b ＋c －d ＝0.故选B ．A 级 基础巩固一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是( C )A ．AB →＝DC → B ．AD →＋AB →＝AC → C ．AB →－AD →＝BD →D ．AD →＋CB →＝0[解析] A 项显然正确，由平行四边形法知B 正确；C 项中AB →－AD →＝DB →，故C 错误；→项中AD →＋CB →＝AD →＋DA →＝0，故选C ．2．化简以下各式：①AB →＋BC →＋CA →； ②AB →－AC →＋BD →－CD →； ③OA →－OD →＋AD →； ④NQ →＋QP →＋MN →－MP →． 结果为零向量的个数是( D ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] ①AB →＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →＝AC →－AC →＝0；②AB →－AC →＋BD →－CD →＝(AB →＋BD →)－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0； ③OA →－OD →＋AD →＝(OA →＋AD →)－OD →＝OD →－OD →＝0； ④NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝NP →＋PM →＋MN →＝NM →－NM →＝0．3．四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝( A )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c[解析] DC →＝DB →＋BC →＝AB →－AD →＋BC →＝a －b ＋c ．4．若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( B ) A ．EF →＝OF →＋OE → B ．EF →＝OF →－OE → C ．EF →＝－OF →＋OE →D ．EF →＝－OF →－OE →5．若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是( C ) A ．[3,8] B ．(3,8) C ．[3,13]D ．(3,13)[解析] 由于BC →＝AC →－AB →，则有|AB →|－|AC →|≤|BC →|≤|AB →|＋|AC →|，即3≤|BC →|≤13． 6．O 是四边形ABCD 所在平面上任一点，AB →∥CD →，且|OA →－OB →|＝|OC →－OD →|，则四边形ABCD 一定为( D )A ．菱形B ．任意四边形C ．矩形D ．平行四边形[解析] 由|OA →－OB →|＝|OC →－OD →|知|BA →|＝|DC →|，且AB →∥CD →故四边形ABCD 是平行四边形．二、填空题7．若非零向量a 与b 互为相反向量，给出下列结论：①a ∥b ；②a ≠b ；③|a |≠|b |；④b ＝－a .其中所有正确命题的序号为__①②④__．[解析] 非零向量a 、b 互为相反向量时，模一定相等，因此③不正确． 8．若向量a 、b 方向相反，且|a |＝|b |＝1，则|a －b |＝__2__． 三、解答题9．已知|AB →|＝3，|AC →|＝4，∠BAC ＝90°，求|AB →－AC →|． [解析] ∵AB →－AC →＝CB →，∠BAC ＝90°， ∴|CB →|＝5，∴|AB →－AC →|＝5．10．如图，已知向量a 和向量b ，用三角形法则作出a －b ＋a ．[解析] 作法：作向量OA →＝a ，向量OB →＝b ，则向量BA →＝a －b ． 如图所示；作向量AC →＝a ，则BC →＝a －b ＋a ．B 级 素养提升一、选择题1．下列说法错误的是( D )A ．若OD →＋OE →＝OM →，则OM →－OE →＝OD →B ．若OD →＋OE →＝OM →，则OM →＋DO →＝OE →C ．若OD →＋OE →＝OM →，则OD →－EO →＝OM → D ．若OD →＋OE →＝OM →，则DO →＋EO →＝OM →[解析] 由向量的减法就是向量加法的逆运算可知：A ，B ，C 都正确．由相反向量定量知，共OD →＋OE →＝OM →，则DO →＋EO →＝－OD →－OE →＝－(OD →＋OE →)＝－OM →，故D 错误．2．在平面上有A 、B 、C ，三点，设m ＝AB →＋BC →，n ＝AB →－BC →，若m 与n 的长度恰好相等，则有( C )A ．A ，B ，C 三点必在一条直线上 B ．△ABC 必为等腰三角形且∠B 为顶角C ．△ABC 必为直角三角形且∠B 为直角D ．△ABC 必为等腰直角三角形[解析] 以BA →，BC →为邻边作平行四边形，则m ＝AB →＋BC →＝AC →，n ＝AB →－BC →＝AB →－AD →＝DB →，由m ，n 的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形，故选C ．3．如图，P 、Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP →＝QC →，则化简AB →＋AC →－AP →－AQ →的结果为( A )A ．0B ．BP →C ．PQ →D ．PC →[解析] AB →＋AC →－AP →－AQ →＝(AB →－AP →)＋(AC →－AQ →)＝PB →＋QC →＝0．4．已知OA →＝a ，OB →＝b ，|OA →|＝5，|OB →|＝12，∠AOB ＝90°，则|a －b |＝( C ) A ．7 B ．17 C ．13D ．8[解析] 如图，∵a －b ＝OA →－OB →＝BA →，∴|a －b |＝|BA →|＝52＋122＝13． 故选C ． 二、填空题5．已知如图，在正六边形ABCDEF 中，与OA →－OC →＋CD →相等的向量有__①__．①CF →；②AD →；③DA →；④BE →；⑤CE →＋BC →；⑥CA →－CD →；⑦AB →＋AE →．[解析] OA →－OC →＋CD →＝CA →＋CD →＝CF →； CE →＋BC →＝BC →＋CE →＝BE →≠CF →； CA →－CD →＝DA →≠CF →； AB →＋AE →＝AD →≠CF →．6．已知|a |＝7，|b |＝2，且a ∥b ，则|a －b |＝__5或9__． [解析] 当a 与b 方向相同时，|a －b |＝|a |－|b |＝7－2＝5； 当a 与b 方向相反时，|a －b |＝|a |＋|b |＝7＋2＝9． 三、解答题7．已知点B 是▱ACDE 内一点，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用a 、b 、c 表示向量CD →、BC →、BE →、CE →及BD →．[解析] ∵四边形ACDE 为平行四边形． ∴CD →＝AE →＝c ； BC →＝AC →－AB →＝b －a ； BE →＝AE →－AB →＝c －a ； CE →＝AE →－AC →＝c －b ； BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c ．8．如图，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，f 表示以下向量：(1)AC →； (2)AD →； (3)AD →－AB →； (4)AB →＋CF →；11 (5)BF →－BD →．[解析] (1)AC →＝OC →－OA →＝c －a ；(2)AD →＝AO →＋OD →＝－OA →＋OD →＝－a ＋d ；(3)AD →－AB →＝BD →＝d －b ；(4)AB →＋CF →＝OB →－OA →＋CO →＋OF →＝b －a －c ＋f ；(5)BF →－BD →＝OF →－OB →－(OD →－OB →)＝f －b －d ＋b ．C 级 能力拔高设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，|BC →|2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM→|＝( C )A ．8B ．4C ．2D ．1[解析] 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|可知，AB →与AC →垂直，故△ABC 为直角三角形，|AM →|即斜边BC 的中线，所以|AM →|＝2．。