(整理)高一数学向量的加减法

［教材优化全析］
1.向量的加法 （1）引入
①某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：
+BC =AC . A B C
②若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ，则两次的位移和：AB +BC =AC .
③某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ，则两次的位移和：
AC +BC =AC . A B
C
上述①②③三个小题，说明向量共线、不共线时都可依据向量的运算法则
求“和”.
（2）向量的加法的定义 已知向量a 、b ，在平面内任取一点A ，作=a ，=b ，则向量叫
做向量a 、b 的和.记作a +b ，即a +b =+BC =AC .
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
对于零向量与任意向量a ，有a +0=0+a =a .
（3）两个向量的和向量的作法
如图（1）、（2）、（3）中，=a ，BC =b ，则+BC =AC
.
(1)
(2)
(3)
A C
①三角形法则：上面的（1）、（2）、（3）中各有两个向量，把其中一个向量的起点平移，使之与第二个向量的终点重合，则第一个向量的起点指向第二个向量终点的向量，就是两个向量的和向量.常说两个向量“首尾相接”. 1°三角形法则对于两个向量共线时也适用. 2°可将向量加法的三角形法则推广到多个向量相加的多边形法则. 3°任何一个向量均可以写成两个任意向量之和，只要注意到这个向量的全析提示
向量运算是运用向量方法解决问题的基本工具，而向量的加法运算是最基本的向量运算之一，向量加法
的平行四边形法则与三角形法则和物理中力的合成、速度的合成完全一
致.
思维拓展
两个向量的和仍是一个向量，这
如同两个力的合力仍是力（向量）一样.
全析提示
向量有几何表示法和字母表示法两种情况.用几何法表示时，箭头所指的方向是正方向；用字母表示时，起点字母在前，终点字母在后，方向由起点指向终点.
思维拓展 向量是既有大小又有方向的量，
向量的模与方向可通过解三角形的知识求得；对于首尾相连的几个向量的和,等于以第一个向量的起点为起
点，第n 个向量的终点为终点的向量.
起点、终点即可，如：=+,如下所示，O点具有任意性.
A
B O
课本99页例1.求a+b,在平面内任取一点O，平移a、b使之首尾相接，求和向量.实际上我们常在其中a或b上取一点，只平移一个向量即可.如可把a 的起点移至b的终点可求和向量.
②平行四边形法则
由同一点A为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形ABCD，则以A为起点的对角线就是a与b的和.这种作两个向量和的方法叫做平行四边形法则.
不能.因为不可能以两平行向量为邻边作平行四边形.所以，平行四边形法则对于两个向量共线时不适用.
（3）两向量的和向量与原向量之间的关系（方向与模）.
①当向量a、b不共线时，a+b的方向与a、b不同向，且|a+b|＜|a|+|b|.②当向量a、b同向时，a+b的方向与a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|.
当向量a、b反向时，若|a|＞|b|,则a+b的方向与a同向，且|a+b|=|a|－|b|.若|a|＜|b|,则a+b的方向与a反向，且|a+b|=|b|－|a|.
（4）向量的运算律
①交换律：a+b=b+a.
证明：当向量a、b不共线时如下图，作平行四边形ABCD，使=a,=b
,
则BC=b,DC=a.
全析提示
不管平面内的点O选在何处，对于首尾相连的两个和向量，它的方向总是由第一向量的起点指向第二向量的终点.
要点提炼
在几何中向量的加法是用几何作图来定义的.它有两种法则，其中三角形法则比平行四边形法则更具有一般性.像两个向量共线时就只能用三角形法则了.
全析提示
当向量a、b不共线时，|a|、|b|及|a+b|构成一个三角形的三条边，由三角形的性质可知：｜|a|－|b|｜＜|a+b|＜|a|+|b|；当向量a、b共线时，|a|、|b|及|a+b|可理解成同一直线上的线段相加减.
要点提炼
向量的加法同实数的加法一样，满足交换律与结合律.
因为=+=a+b,=+=b+a，
所以a+b=b+a.
当向量a、b共线时，若a与b同向，由向量加法的定义知：
a+b与a同向，且|a+b|=|a|+|b|，
b+a与a同向，且|b+a|=|b|+|a|，
所以a+b=b+a；
若a与b反向，不妨设|a|＞|b|，同样由向量加法的定义知：
a+b与a同向，且|a+b|=|a|－|b|,
b+a与a同向，且|b+a|=|a|－|b|,
所以a+b=b+a.
综上所述，a+b=b+a.
②结合律，自己验证一下.由于向量的加法满足交换律和结合律，对于多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与任意的组合来进行了.
例如化简：（+）+=（+）+=+=.
又如化简：CM+（BC+）=（CM+）+BC=CB+BC=0,也
可写成CM+（MB+BC）=CM+MC=0.
2.向量的减法
（1）相反向量：与a长度相等、方向相反的向量叫做相反向量，
记作：－a.
①规定：零向量的相反向量仍是零向量.
②a与－a互为相反向量，即－（－a）=a.
③任意向量与它的相反向量的和是零向量，即a+（－a）=（－a）+a=0.
又如：与互为相反向量，+=0.
④如果a、b互为相反向量，那么a=－b,b=－a,a+b=0.
（2）向量减法的定义
向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，
即a－b=a+（－b）.
求两个向量的差的运算叫做向量的减法，向量的减法是向量加法的逆运算.若b+x=a,
则x叫做a与b的差，记作a－b.
（3）a－b的作法
由（a－b）+b=a+（－b）+b=a+0=a.
所以a－b就是这样一个向量，它与b的和等于a.
①已知a、b,怎样求作a－b?
解法一：已知向量a、b，在平面内任取一点O，作=a，=b,则=a －b,即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
思维拓展
当向量a与b共线时，求a与b 的和，不管是b以a的终点为起点，还是a以b的终点为起点，它们的和都是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点，从图象上看都是相等的.
要点提炼
由于向量可用表示它的有向线段的起点和终点的字母来表示，根据向量加法的三角形法则，可把首尾相连的向量先结合在一起相加.
全析提示
向量的减法与加法互为逆运算，有关向量的减法可同加法相类比，也可同实数的减法相类比.
全析提示
两个向量的差同两个向量的和一样，其运算结果仍是一个向量，它的模与方向可通过解三角形知识求得.
全析提示
由于向量是以OB的终点为起点的向量，所以根据向量加法的三角形法则有=+,即a+（a
A
解法二：在平面内任取一点O ，作=a ，=b ，则=a －b ， 即a －b 也可以表示为从向量a 的起点指向向量b 的起点的向量
.
解法三：在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =－b ,则由向量加法的平行四边形法则可得 OC =a +（－b ）=a －b .
②如下图,若a 与b 共线时，怎样作a －b ?
(1)
(2)
在平面内任取一点O
，作=a ,=b .
则为所求的向量a －b .
(1)
(2)
B
一般地，不论两向量共线还是不共线，常选取一个适当的点，通过平移把两向量的起点重合，则由减数向量的终点指向被减数向量的终点的向量，即为所求的差向量.
平行四边形ABCD 中，若设=a ，=b ，
则两条对角线都可以用a 与b 表示，借助这一模型可进一步研究有关ABCD
的一些性质.如课本103页例4.AC =a +b ,DB =a －b .
变式训练一：当a 、b b 垂直？
－b ）=b .显然减法是加法的逆运算.
思维拓展
向量a －b =a +（－b ），即向量的减法可用向量加法的三角形法则或平行四边形法则来表示，是化生为熟，化未知为已知的化归思想的具体应用.
要点提炼
若向量a 、b 是共线向量，则a ±b 与a 、b 仍是共线向量.
全析提示
从同一点出发的两个不共线向量的和、差同两个向量一起恰好构成一个平行四边形的边与对角线.
变式训练二：当a、b满足什么条件时，|a+b|=|a－b|?
变式训练三：a+b与a－b可能是相等向量吗？
变式训练四：当a与b满足什么条件时，a+b平分a与b所夹的角？
答案：一、|a|=|b|,
即ABCD为菱形，对角线互相垂直.
二、|a+b|=|a－b|，即ABCD 的对角线长相等，ABCD应为矩形，所
以应满足a与b垂直.
三、a+b与a－b 不可能相等，因为ABCD的方向不同.
四、当|a|=|b|时，对角线平分a与b所夹的角.
全析提示
以平行四边形为起点，借助平面
几何图形的性质解答上述问题.。