均值不等式的正确使用及例题
均值不等式常考题型【范本模板】
均值不等式及其应用一．均值不等式1。
(1）若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤(当且仅当b a =时取“="） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“="） （3)若*,R b a ∈,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab （当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ （当且仅当1x =时取“=”）；若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=") 3.若0>ab ，则2≥+ab b a （当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=") 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“="） 注：（1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三相等"（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋错误! （2）y ＝x ＋错误!解：（1）y ＝3x 2＋错误!≥2错误!＝错误! ∴值域为[错误!，+∞）(2）当x ＞0时,y ＝x ＋错误!≥2错误!＝2;当x ＜0时， y ＝x ＋错误!= －（－ x －错误!）≤－2错误!=－2∴值域为（－∞，－2］∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值. 解：因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-,即1x =时,上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
高中数学人教版必修5——第十三讲均值不等式(解析版)
高中数学人教版必修5——第十三讲均值不等式(解析版)第十三讲均值不等式(解析版)在高中数学的学习中，均值不等式是一条非常重要的数学定理。
它能够帮助我们找到一组数的平均值与其他特定的数值之间的关系。
本文将详细解析高中数学人教版必修5中的第十三讲——均值不等式。
一、均值不等式的定义和性质均值不等式实际上是按平均值来衡量一组数与其他数值之间的大小关系。
它包含了算术平均值、几何平均值和平方平均值等不同的形式。
算术平均值是最为熟悉的一种形式，它表示一组数相加后除以元素个数得到的结果。
几何平均值是将一组数相乘后开根号得到的结果。
平方平均值是将一组数的平方相加后除以元素个数再开根号得到的结果。
在不等式的关系中，对于正实数来说，有以下几个性质：1. 当所有元素相等时，算术平均值、几何平均值和平方平均值相等。
2. 当所有元素不相等时，算术平均值大于几何平均值，而几何平均值大于平方平均值。
3. 对于正实数来说，算术平均值大于几何平均值，并且它们都大于平方平均值。
二、均值不等式的应用均值不等式在数学问题的解决中具有广泛的应用。
它可以帮助我们证明和推导其他重要的数学关系。
1. 证明与推导在证明和推导方面，均值不等式可以帮助我们解决一些复杂的不等式问题。
通过运用不同形式的均值不等式，我们可以逐步地推导出更为严格的不等式关系。
例如，在求证某个不等式问题时，我们可以使用算术平均值与几何平均值之间的关系来逐步推导出正确的结论。
2. 理解与比较均值不等式还能够帮助我们理解和比较数列的大小关系。
通过对数列的算术平均值、几何平均值和平方平均值的比较，我们可以得出一些关于数列性质的结论。
例如，当一组数的算术平均值大于几何平均值时，就能够说明这组数存在着某种程度的波动和不均匀性。
三、均值不等式的例题解析下面，我们将通过一些例题来具体解析均值不等式的应用。
例题1：已知a、b、c为正实数，证明(a+b)(a+c)(b+c)≥8abc。
解析：我们可以通过均值不等式来证明这个不等式关系。
均值不等式应用(技巧)
均值不等式应用（技巧）整理一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
技巧二：凑系数例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
技巧三： 分离例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
技巧四：换元技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+的单调性。
均值不等式(基本不等式+知识点+例题+习题)pdf版
t
t
t
答案：[2, )
例 2 求函数 y x2 3 的最小值． x2 1
解析：令 x2 1 t,t 1，则 x2 t2 1 ，带入原式化简得 y t 2 2 2 ， t
当 t 2 即 t 2 时等号成立． t
答案： 2 2
例 3 已知 x 1，求 f (x) x2 x 1 的最小值． 2x 1
2
2
2 | 10
[不等式] 练习答案：
1
2
38
对勾函数：
形如 f (x) ax b (ab 0) 的函数． x
利用对勾函数性质可解决均值不等式等号不成立时的情况．
性质
a 0,b 0
y
a 0,b 0 y
图像
2 ab
Obxab a NhomakorabeaO
x
-2 ab
定义域
值域 奇偶性 渐近线
{x | x 0}
2
题型四：分离换元法求最值（二次比一次或一次比二次时用）
例 1 求函数 y x2 3 (x 1) 的值域． x 1 2
解析：令 x 1 t,t 3 ，则 x t 1，带入原式得到 y (t 1)2 3 t 4 2 ，
2
t
t
t 4 2 2 t 4 2 2 ，当 t 4 即 t 2 时等号成立．
解析：构造对勾函数 y 3x 12 ，由函数性质可知 x (3, ) 时函数单调递减， x
故
y
3x
12 x
y(3)
13
．
答案： (, 13]
练习 1 练习 2
已知 x 0 ，求函数 y x 4 的最小值． x4
已知 x 3，求函数 y 2x 3 的值域． 2x
均值不等式公式总结及应用
均值不等式应用1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥(当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x+≤-(当且仅当1x =-时取“=”）若0x≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数地积为定植时，可以求它们地和地最小值，当两个正数地和为定植时，可以求它们地积地最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．b5E2R 。
(2)求最值地条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量地取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛地应用』应用一：求最值例1：求下列函数地值域（1）y ＝3x 2＋12x2（2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例已知54x<，求函数14245y x x =-+-地最大值.解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =.评注：本题需要调整项地符号，又要配凑项地系数，使其积为定值.技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-地最大值.解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积地形式，但其和不是定值.注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可.当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-地最大值为8.评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值. 变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=地最大值. 解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫⎝⎛∈=23,043x 时等号成立.技巧三： 分离例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+地值域. 解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）地项，再将其分离.当,即时,59y ≥=（当且仅当x ＝1时取“＝”号）. 技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x ＋1，化简原式在分离求最值.22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t-+-++==++）当,即t=时,59y ≥=（当t=2即x ＝1时取“＝”号）.评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值.即化为()(0,0)()Ay mg x B A B g x =++>>，g(x)恒正或恒负地形式，然后运用均值不等式来求最值.例：求函数2y =地值域.(2)t t =≥，则2y 1(2)t t t ==+≥因10,1tt t >⋅=，但1t t =解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性.因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52y ≥.所以，所求函数地值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 练习．求下列函数地最小值，并求取得最小值时，x 地值.（1）231,(0)x x y x x ++=>（2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈2．已知01x <<，求函数y =.；3．203x <<，求函数y =. 条件求最值 1.若实数满足2=+ba ，则b a 33+地最小值是.分析：“和”到“积”是一个缩小地过程，而且b a33⋅定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：b a33和都是正数，b a 33+≥632332==⋅+b a b a当b a33=时等号成立，由2=+b a 及b a 33=得1==b a 即当1==b a 时，b a 33+地最小值是6．变式：若44log log 2x y +=，求11x y+地最小值.并求x,y 地值技巧六：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号地条件地一致性，否则就会出错.. 2：已知0,0x y>>，且191x y+=，求x y +地最小值.错解．．：0,0x y >>，且191xy +=，∴()1912x y x y x y ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭故 ()min 12x y += .错因：解法中两次连用均值不等式，在x y +≥x y =，在19x y +≥19x y=即9y x =,取等号地条件地不一致，产生错误.因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题地必要步骤，而且是检验转换是否有误地一种方法.正解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y xx y=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += . 变式： （1）若+∈R y x ,且12=+y x ，求yx11+地最小值(2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+yb xa ，求y x +地最小值技巧七已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2 地最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤a 2＋b 22.同时还应化简1＋y 2 中y 2前面地系数为 12 ， x 1＋y 2 ＝x2·1＋y 22＝2 x ·12＋y 22下面将x ，12＋y 22分别看成两个因式：x ·12＋y 22≤x 2＋(12 ＋y 22)22＝x 2＋y 22 ＋122＝34即x1＋y 2 ＝ 2 ·x12＋y 22≤342技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab地最小值.分析：这是一个二元函数地最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行地；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和地形式，又有积地形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式地途径进行.法一：a ＝30－2bb ＋1 ， ab ＝30－2bb ＋1 ·b ＝－2 b 2＋30bb ＋1 由a ＞0得，0＜b ＜15 令t ＝b +1，1＜t ＜16，ab ＝－2t 2＋34t －31t ＝－2（t ＋16t ）＋34∵t ＋16t≥2t ·16t＝8∴ab ≤18 ∴y ≥118当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立.法二：由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵a ＋2b ≥22 ab ∴ 30－ab ≥22 ab 令u ＝ab 则u 2＋2 2 u －30≤0， －5 2 ≤u ≤3 2 ∴ab ≤3 2 ，ab ≤18，∴y ≥118点评：①本题考查不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,地应用、不等式地解法及运算能力；②如何由已知不等式230ab a b =++）（+∈R b a ,出发求得ab 地范围，关键是寻找到ab b a 与+之间地关系，由此想到不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,，这样将已知条件转换为含ab 地不等式，进而解得ab 地范围.变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 地最小值.2.若直角三角形周长为1，求它地面积最大值.技巧九、取平方5、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 地最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间地不等关系，a ＋b2≤a 2＋b 22，本题很简单3x ＋2y ≤ 2 （3x ）2＋（2y ）2 ＝ 2 3x ＋2y ＝2 5 解法二：条件与结论均为和地形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积地形式，再向“和为定值”条件靠拢.W ＞0，W 2＝3x ＋2y ＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x )2·(2y )2 ＝10＋(3x ＋2y )＝20∴ W ≤20 ＝2 5变式:求函数15()22y x <<地最大值.解析：注意到21x -与52x -地和为定值.2244(21)(52)8y x x ==+≤+-+-=又0y >，所以0y <≤当且仅当21x -=52x -，即32x=时取等号.故max y =. 评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件.总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式.应用二：利用均值不等式证明不等式1．已知c b a ,,为两两不相等地实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2221）正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc 例6：已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=.求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又111a b c a a a -+-==≥可由此变形入手.解：a 、b 、c R +∈，1a b c ++=.∴111a b c a a a -+-==≥.同理11b -≥，11c -≥.上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得111221118ac ab a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.当且仅当13a b c ===时取等号. 应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知0,0x y>>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立地实数m 地取值范围.解：令,0,0,x y k x y +=>>191x y +=，99 1.x y x y kx ky ++∴+=1091y x k kx ky∴++= 10312k k∴-≥⋅ .16k ∴≥ ，(],16m ∈-∞ 应用四：均值定理在比较大小中地应用： 例：若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1ba Rb a Q b a P b a+=+=⋅=>>，则R Q P ,,地大小关系是. 分析：∵1>>b a ∴0lg ,0lg >>b a21=Q （p b a b a =⋅>+lg lg )lg lgQ ab ab b a R ==>+=lg 21lg )2lg(∴R>Q>P .版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.HbmVN 。
高中均值不等式讲解及习题
高中均值不等式讲解及习题一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）3.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x2（2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式的应用（习题+标准答案）
均值不等式的应⽤（习题+标准答案）均值不等式的应⽤(习题+答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————⽇期：均值不等式应⽤⼀．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最⼩值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最⼩值，正所谓“积定和最⼩，和定积最⼤”．（2）求最值的条件“⼀正，⼆定，三取等”(3)均值定理在求最值、⽐较⼤⼩、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题⽅⾯有⼴泛的应⽤．应⽤⼀：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧⼀：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最⼤值。
均值不等式公式总结及应用
均值不等式应用1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a=时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x2（2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2 ＝6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知54x<，求函数14245y x x =-+-的最大值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
均值不等式的正确使用及例题
利用不等式求最值，要注意不等式成立的条件、等号成立的条件以及定值的条件，初学不等式时容易用错，现通过比较来说明均值不等式的正确使用。
（一）均值不等式有许多变形式子，使用哪一个不等式要选准 均值不等式是指),(2+∈≥+R b a ab b a ，它的变形式子有2)2
(b a ab +≤，222b a ab +≤，≤+2)(b a
)(222b a +等。
由此可知，在求ab 的最大值时至少有两个不等式可供选择，那么选择哪一个更好呢？
通过比较发现，若已知b a +是定值，求ab 的最大值可使用第一个不等式；若已知22b a +是定值，求ab 的最大值可用第二个不等式，若求b a +的最大值可用第三个不等式。
（二）使用均值不等式求最值，定值是前提
例1. 已知正数a 、b 满足3222=+b a ，求12+b a 的最大值。
（三）连续使用不等式（连续放缩）求最值，等号必须同时成立
例2. 已知0>>b a ，求)
(42b a b a -+的最小值。
二. 均值不等式的应用
（一）用于比较大小
例1.若b a >1>，b a P lg lg ⋅=，)lg (lg 21b a Q +⋅=，2lg b a R +=，则（ ） A ．P R <Q <
B. Q P <R <
C. P Q <R <
D. R P <Q < 例2.若)0(21>++=a a
a p ，≤-=1(arccos t q )1≤t 则下列不等式恒成立的是（ ） A. q p >≥π B. 0≥>q p C. q p ≥>4 D. 0>≥q p
（二）用于求取值范围
例3. 若正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 。
（三）用于证明不等式
例4. 已知i 、m 、n 是正整数，且<1n m i <≤，求证：.)1()1(m n n m +>+
三. 均值不等式中等号不成立时最值的求法
利用均值不等式求最值是高中数学中常用方法之一，应注意“一正二定三相等”。
在解题的过
程中，有时往往出现“凑出了‘常数’却取不到‘等号’”的失效现象，下面浅析此时的应付对策。
（一）平衡系数，实施均拆
这是最常用的一种技巧，常有均拆整式、均拆分式、均拆幂指数等。
例1. 求函数)0(132
>+=x x x y 的最小值。
（二）引入参数，巧渡难关
例2. 用总长14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。
（三）依函数单调性处理，简捷迅速
例3. 求函数)(4
5
22R x x x y ∈++=的最小值。
例4. 求函数412
222++=
x x y 的最小值。
（四）分项拆项，观察等号 对于函数])0(()(c x R q p x
q px x f ，，、∈∈+=+ 的最值，当直接使用均值不等式失效时，除用单调性外，还可用“分项拆项法”，再用均值不等式，同时要注意等号。
例5. 已知)20[π
，∈x ，求函数+-=x y sin 1x
sin 12-的最小值。
（五）利用化归思想解决两次均值不等式等号不成立时的问题
例6. 设实数m ，n ，x ，y 满足422=+n m ，922=+y x ，求ny mx +的最大值。
四. 解决最值问题的不等式模型
最值问题一直是高考试题中的一个热点，几乎年年都有所涉及。
同时在解题的过程中，不难发现求最大（小）值问题，绝大多数都可转化为不等式问题。
下面就总结一下解决最值问题的六个常用不等式模型。
（一）运用“02≥x ”模型
对任意的R x ∈，有02≥x 恒成立，运用02≥x 等号成立的条件，可解决二次函数型的最值，
同时要区分在闭区间的最值问题。
例1.已知R y x ∈、，且1=+y x ，求22y x +的最小值。
例2.函数2cos 3cos 2+-=x x y 的最小值为（ ）
A. 2
B. 0
C. 4
1-
D. 6 （二）运用“0≥∆”模型 将函数看作关于自变量的方程，常可化为一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，运用“-=∆∈2,b R x 04≥ac ”求函数的最值。
例3. 如果实数y x ,满足3)2(22=+-y x ，那么
x y 的最大值是（ ） A. 2
1 B. 33 C. 23 D. 3 （三）运用“1|cos |1
|sin |≤≤x x ，”模型 此法主要用于求三角函数或可转化为三角函数的最值问题，解法是先化为关于正余弦函数的
一次式，再利用有界性即1|cos |1
|sin |≤≤x x ，来完成。
例4. 定义在R 上的函数x x x f cos 3sin )(+=的最大值是____。
例5. 函数x x x x f 2cos 4cos sin 3)(-=的最大值是_______。
（四）运用“ab b a R b a 2,≥+∈+，”模型
利用二元均值不等式求最值，应注意遵循条件“一正二定三相等”。
例6. 若实数b a 、满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是（ ）
A. 18
B. 6
C. 32
D. 243 （五）运用“33abc c b a R c b a ≥++∈+，、、”模型
在高考中，对于均值不等式应用已限制在二项或三项，在中学知识范围内，对三次函数求最值，运用均值不等式是行之有效的方法，但必须要符合“一正二定三相等”三条件。
例7. 已知γβαγβα、、(1sin sin sin 222=++均为锐角），那么γβαcos cos cos 的最大值等于 。
（六）运用“)()(a f x f ≤或)()(b f x f ≥”的模型
对于较困难用以上五种常用不等式模式解决的最值问题，可通过数形结合或单调性等法，得到“)()(a f x f ≤或)()(b f x f ≥”的通用模型，用等号成立条件而获解。
例8.已知函数)1[2)(2∞+∈++=，，x x a x x x f ，当2
1=a 时，求函数)(x f 的最小值。
例9. ⎪⎩
⎪⎨⎧>+-≤<+≤+=15103032)(x x x x x x x f ，，
，，的最大值是_____。
例10. 四边形ABCD 的两条对角线相交于O ，如果AOB ∆的面积为4，COD ∆的面积为16，求四边形ABCD 的面积S 的最小值，并指出S 最小时四边形ABCD 的形状。